Formulirajte zakon održanja kutne količine gibanja. §2

Zakoni očuvanja kinetičke energije i zamaha dugo su se natjecali jedni s drugima, tražeći vodeću ulogu, budući da ni jedan ni drugi zakon nemaju strogo opravdanje. Međutim, znanstvenici su dugo sumnjali u postojanje veze među njima, o čemu je govorio H. Huygens (1629.-1695.). Prema Huygensu, ova veza znači da očuvanje mehaničke energije u bilo kojem jednoliko gibajućem sustavu povlači za sobom očuvanje momenta. Stoga su znanstvenici nakon duge rasprave došli do zaključka da su ti zakoni ekvivalentni. Tako je, na primjer, d’Alembert dao sljedeću izjavu o ovom pitanju: “Svatko mora dobiti slobodu da riješi ovo pitanje prema vlastitom nahođenju. Štoviše, postavljeno pitanje nije ništa drugo nego potpuno besplodna metafizička rasprava o riječima, nedostojna pažnje filozofa.”
Povezanost zakona održanja kinetičke energije i količine gibanja uspostavio je W. Pauli (1900.-1958.). Da bi dokazao tu vezu koristi se Huygensovom idejom. Citiramo: “U sustavu koji se sastoji od sudarajućih čestica s masama, brzine čestica se mijenjaju nakon udara u brzine. Očuvanje energije izražava se jednadžbom:

Neka sustav dobije dodatnu brzinu V. Brzine čestica prije udara sada će biti jednake , a nakon udara, a očuvanje energije sada se izražava relacijom:
,

Stoga:

Ubrzati V- je proizvoljna, stoga će zapisana jednakost vrijediti samo ako:

Drugim riječima, moment količine gibanja sustava prije sudara čestica, jednak izrazu na lijevoj strani, ostaje sačuvan nakon sudara.”
Ovu problematiku s obzirom na njenu posebnu važnost također ćemo razmotriti na primjeru sudara loptica, ali u nešto drugačijoj interpretaciji (slika 1).
Neka se kuglice gibaju u proizvoljnom inercijalnom referentnom okviru x-g u istom smjeru (slika 1, a) s brzinama i . Nakon udarca, brzine kuglica će poprimiti vrijednosti i . U skladu sa zakonom održanja energije vrijedit će sljedeći izraz:
, (1)

Sada razmotrite relativno gibanje, uzimajući jednu od kuglica kao referentni okvir. Da bismo to učinili, koristimo se principom obrata gibanja, odnosno dajemo objema kuglicama npr. istu brzinu, što će dovesti do zaustavljanja prve kuglice, jer će njena ukupna brzina biti nula. Brzina druge lopte bit će jednaka relativnoj brzini:
(2)
Zakon održanja kinetičke energije u ovom slučaju će imati oblik:
(3)

(4)
Rješavanjem jednadžbi (1) i (4) zajedno dobivamo izraz:
, (5)

(7)
Tako se dobiva zanimljiv rezultat: zakon održanja količine gibanja slijedi iz zakona održanja energije. Također treba napomenuti da dobiveni rezultat ne ovisi o izboru referentnog sustava.
Ako uzmemo u obzir protukretanje loptica (sl. 1, b), tada da bismo dobili točan rezultat, brzinu treba oduzeti od brzine, odnosno relativnu brzinu treba pronaći u skladu s izrazom (2) , iako, kao što se vidi sa slike, ove brzine treba dodati . Ova okolnost je zbog činjenice da su brzine kretanja svih tijela vektori, što znači da čak i kada se oduzmu njihove vrijednosti, one se mogu zbrajati.
Dakle, izraze (2), (5) i (7) treba smatrati vektorskim.
Rješavajući zajedno izraze (1) i (5), kao i (3) i (7), nalazimo brzine loptica nakon udarca, smatrajući ih vektorima:
; (8)
; (9)
; (10)
(11)
Koristeći ove izraze, nalazimo relativne brzine kuglica nakon udarca:
; (12)
(13)
Dakle, tijekom elastičnog udara, relativne brzine kuglica će samo promijeniti svoj smjer.
Izraz (1), koji karakterizira zakon očuvanja energije, može se prikazati u drugom obliku:
(14)

; (15)
, (16)

; (17)
, (18)

• odakle slijedi da je energija koju dobiva prva kuglica jednaka energiji koju daje druga kuglica.

Zamjenom vrijednosti brzina i u izraze (7) i (8) dobivamo:
; (19)
(20)
Pogledajmo sada kako će se veza između zakona održanja energije i količine gibanja ispuniti za složeniji slučaj udara - kosi udar, kada su brzine loptica koje se kreću usmjerene pod kutom jedna prema drugoj (slika 2). . Na slici su kuglice odvojene kako bi se bolje prikazale njihove brzine. Pretpostavljamo da se brzina podudara sa smjerom osi x.
Za rješavanje problema koristimo metodu obrata gibanja, dajući objema kuglicama brzinu , odnosno kao referentni okvir u relativnom gibanju odabiremo prvu kuglicu čija će ukupna brzina biti jednaka nuli. Pretpostavimo također, da pojednostavimo problem, da će rezultirajuća brzina biti usmjerena duž linije koja povezuje središta loptica. Zatim se pomoću poznatih vrijednosti brzina za drugu kuglicu konstruira paralelogram pomoću kojeg se uspostavlja veza između tih brzina i brzine u relativnom gibanju, a može se pronaći i kut, budući da dan je kut.
Koristeći paralelogram, koristeći kosinusni teorem dobivamo izraz:
(21)

• koju pretvaramo u oblik:

(22)
Iz ove jednadžbe nalazimo brzinu relativnog gibanja prije početka udara -:
(23)
Kut koji karakterizira smjer vektora nalazi se iz izraza dobivenog korištenjem kosinusnog teorema:
, (24)

• odakle dobivamo:

(25)
Dakle, kao rezultat izvedenih operacija, dobivamo uobičajeni sudar pokretne i nepokretne lopte u smjeru linije njihovih središta s početnom relativnom brzinom .
Prije nego što odredimo brzine loptica nakon njihova sudara, utvrdimo vezu između kinetičkih energija loptica u apsolutnom i relativnom gibanju:
; (26)
(27)
Jer
(28)

• Sukladno tome odredit će se druge brzine relativnog gibanja:

; (29)
(30)
Zamjenom ovih vrijednosti relativnih brzina u izraz (27), dobivamo:
(31)
Smanjujući za dva i kvadrirajući razliku brzina, transformiramo izraz (31) u oblik:
, (32)

Dodavanjem prvog člana s desne strane izraza možete eliminirati članove koji odgovaraju izrazu (26), zbog čega će izraz (32) dobiti oblik:
(33)
Smanjujući ovaj izraz i grupirajući pojmove, dobivamo:
(34)
Odredivši brzine , au skladu s izrazima (28) – (32):
(35)

• i zamijenivši ih u izraz (34), transformiramo ga u oblik:

(36)
Time smo utvrdili vezu između zakona održanja energije i količine gibanja u apsolutnom i relativnom gibanju kuglice pri kosom udaru.
Rješavajući zajedno jednadžbe (27) i (36), nalazimo brzine loptica u njihovom relativnom gibanju:
; (37)
, (38)

Kada se jednadžbe rješavaju da bi se dobilo rješenje u vektorskom obliku, kvadrate brzina treba predstaviti kao skalarni umnožak dva identična vektora.
Brzine kuglica u apsolutnom kretanju mogu se pronaći pomoću kosinusnog teorema iz paralelograma prikazanih na slici 2.
Za prvu loptu, modul brzine je određen izrazom:
, (39)

• odakle dobivamo:

(40)
Za drugu loptu, modul brzine će biti jednak:
, (41)

• gdje ga možemo pronaći:

(42)
Kutovi i , koji karakteriziraju smjerove vektora i s obzirom na vektore i , također se nalaze korištenjem kosinusnog teorema:
; (43)
(44)
Zamjenom vrijednosti brzina i iz formula (39) i (41) u ove izraze dobivamo:
; (45)
(46)
Da biste provjerili dobivena rješenja, možete pronaći vrijednosti kinetičke energije loptica nakon udarca, budući da je prije udarca njihova energija bila jednaka:
, (47)

• a nakon pogotka bit će:

(48)
Zamjenom vrijednosti kvadrata brzina u izraz (48) i iz izraza (39) i (41) dobivamo:
(49)
Sada koristimo vrijednosti modula brzine i iz izraza (37) i (38):
(50)
Zamjenom vrijednosti modula brzine u ovaj izraz u skladu s formulom (23) i izvođenjem transformacija, u konačnici dobivamo da će , odnosno zakon održanja energije biti ispunjen.
Razmotrimo sada neelastični sudar dviju loptica. U tom slučaju će se dio energije potrošiti na strukturne promjene (neelastične deformacije u kuglicama) i na njihovo zagrijavanje, odnosno promjenu unutarnje energije. Stoga će izrazi zakona održanja energije u dva referentna sustava imati oblik:
; (51)
(52)

Zajedničkim rješavanjem ovog sustava jednadžbi dobivamo zakon održanja količine gibanja u svom uobičajenom obliku:
, (53)

• odnosno gubici energije tijekom međudjelovanja tijela ne utječu na oblik ovog zakona.

Pomoću jednadžbi (51) i (53) nalazimo brzine loptica nakon njihovog neelastičnog sudara:
; (54)
(55)
Očito će izrazi (54) i (55) imati fizičko značenje samo ako radikalni izraz ima pozitivnu vrijednost. Iz ovog uvjeta možete pronaći vrijednost pri kojoj će zakon očuvanja momenta još uvijek biti zadovoljen izjednačavanjem radikalnog izraza s nulom:
(56)

, (57)

(58)
Izrazi (54) i (56), uzimajući u obzir formulu (57), mogu se prikazati kao:
; (59)
, (60)

(61)
U relativnom gibanju, izrazi za brzine će imati oblik:
; (62)
(63)
Iz gornjih izraza proizlazi da će brzine kuglica biti jednake i da će se gibati zajedno kao jedna.
Ako je koeficijent veći od jedan, tada će radikalni izraz biti negativan i izrazi za brzine će izgubiti svoje fizičko značenje. Budući da će se pri loptice kretati kao jedna jedinica, dovoljna je jedna jednadžba za određivanje brzine njihovog kretanja. Kada se još može koristiti zakon održanja količine gibanja, kada treba koristiti samo zakon održanja energije, iako će u matematičkom smislu zakon o održanju količine gibanja biti zadovoljen u ovom slučaju. Dakle, zakon očuvanja količine gibanja ima ograničenja u svojoj upotrebi. Time se još jednom potvrđuje prioritetna uloga zakona održanja energije u odnosu na zakon održanja količine gibanja. Međutim, u načelu je moguće da vrijednosti koeficijenta ne mogu biti veće od jedan, tada će oba zakona uvijek vrijediti, ali ova izjava zahtijeva eksperimentalnu provjeru.
Budući da će se kuglice kretati kao jedna cjelina istom brzinom, zakon održanja energije će imati oblik:
, (64)

• gdje je, u skladu s izrazom (61),

(65)
Rješavanjem jednadžbe (64) dobivamo:
(66)

• ili u relativnom kretanju:

(67)
Ako se sva udarna energija potroši na gubitke, odnosno kada je zadovoljen odnos:
, (68)

(69)
Istina, ostaju sumnje je li takav slučaj uopće moguć.
U §5 prvog poglavlja pokazano je da količina gibanja karakterizira tromost tijela i određena je omjerom, odnosno omjerom promjene kinetičke energije tijela i promjene njegove brzine. . U vezi s ovom definicijom tromosti tijela može se dati još jedan zaključak o zakonu održanja količine gibanja. Da bismo to učinili, koristimo izraze (15), (17) i (18), dijeleći ih s promjenom brzine prvog tijela: :
(70)
Pretvorimo dobiveni izraz u oblik:
(71)
Koristeći omjer brzine (12) u obliku:
, (72)

• Pretvorimo izraz (71) u oblik:

(73)

• odakle slijedi zakon održanja količine gibanja:

Zakoni održanja energije i količine gibanja naširoko se koriste u rješavanju raznih problema mehanike. Međutim, s obzirom na to da su ovi zakoni integralni, budući da uzimaju u obzir stanja tijela samo prije i poslije njihovog međudjelovanja, ali ne i u trenutku samog međudjelovanja, postoji opasnost od gubitka fizičkog značenja sama interakcija, izbjegavajući objašnjenje ovog fizičkog značenja zbog nedostatka njegovog razumijevanja, iako će krajnji rezultat biti točan.
Dokažimo ovu tvrdnju na primjeru kretanja čamca kada osoba u njemu baci kamen u vodu (slika 3). Nema sumnje da će se brod kretati u smjeru suprotnom od bacanja. Za rješavanje problema koristi se zakon održanja količine gibanja koji će, uzimajući u obzir smjer brzina, imati oblik:
, (74)

, (75)

• odnosno što je veća masa kamena i njegova brzina, veća je i brzina čamca.

Ako pitate nastavnike mehanike koji razlog pokreće brod, većina će odgovoriti da će se brod kretati jer mora biti zadovoljen zakon održanja količine gibanja. Takav odgovor daju jer ne mogu objasniti stvarni uzrok kretanja, iako dobro znaju da kretanje može nastati samo pod utjecajem sile. Dakle, koja će sila pokrenuti čamac?
Očito, ovdje moramo razumjeti interakciju između ljudskih ruku i kamena u trenutku bacanja. Jedini razlog za pojavu sile koja djeluje na čovjeka, a preko njega i na brod, je udar kamena. Ova sila će se pojaviti ako se kamen ubrzano kreće u trenutku bacanja. Tada će se deformirati i u njemu će se pojaviti elastične sile koje će djelovati na ruke osobe. Te su sile, kao što već znamo, sile tromosti i njihova će veličina biti jednaka umnošku mase kamena i njegove akceleracije. Također možete reći da se osoba odguruje od kamena. Međutim, riješiti ovaj problem koristeći drugi Newtonov zakon je gotovo nemoguće, jer nećemo moći pronaći ubrzanje kamena u trenutku bacanja. Brzinu njegovog kretanja u prvim trenucima kretanja puno je lakše pronaći. Dakle, korištenje integralnih zakona gibanja značajno pojednostavljuje rješavanje mnogih problema u mehanici. Istina, ne treba zaboraviti na fizičku bit fenomena koji se razmatraju. U tom će slučaju matematička snaga integralnih zakona očuvanja biti još jasnija.
Razmotrimo sada složeniji problem o kretanju kolica na kojima se nalaze dva tereta koji rotiraju u različitim smjerovima istom kutnom brzinom (slika 4). Ovaj se problem također rješava pomoću zakona održanja količine gibanja:
, (76)

Iz izraza (76) slijedi:
, (77)

• odnosno kolica će izvoditi harmonijske oscilacije. Ali koji je razlog tim fluktuacijama? Ne može se reći da se kolica pokoravaju zakonu održanja količine gibanja. Neka sila mora natjerati kolica da osciliraju, ali kakva sila? Jedini kandidat za ovu ulogu može biti samo centrifugalna sila inercije koja djeluje na rotirajuće terete:

(78)
Pod utjecajem dviju sila tromosti kolica će se kretati duž osi g. Priroda gibanja kolica može se pronaći pomoću drugog Newtonovog zakona:
(79)
Brzina kolica određena je integriranjem ovog izraza:
, (80)

• Gdje S– konstanta integracije.

Za određivanje brzine kolica potrebno je koristiti početne uvjete. Međutim, tu se javlja problem: čemu će biti jednaka brzina kolica? Pretpostavimo da su u početnom trenutku vremena neučvršćena kolica i tereti mirovali, a zatim su tereti odmah stavljeni u rotaciju konstantnom kutnom brzinom, odnosno da neće biti prijelaznog načina gibanja. Tako će veličina sila tromosti odmah poprimiti konačnu vrijednost određenu izrazom (78). Pod utjecajem inercijskih sila kolica bi se morala odmah kretati u pozitivnom smjeru. Međutim, treba imati na umu da će se trenutnom pojavom brzine kretanja tereta pojaviti teoretski beskonačno, ali praktično vrlo veliko ubrzanje u smjeru osi. g, ako su opterećenja smještena duž osi x, a odgovarajuća inercijalna sila u suprotnom smjeru, zbog koje će se kolica kretati u smjeru svog djelovanja u negativnom smjeru osi g, odnosno zapravo će doći do utjecaja na kolica.
Pretpostavimo da će početna brzina kolica biti jednaka , tada iz jednadžbe (80) dobivamo:
,

• gdje nalazimo konstantu integracije S:

(81)
U skladu s tim, brzina kolica će biti:
(82)
Integracijom ovog izraza nalazimo pomak kolica duž osi g:
(83)
Pod zadanim uvjetima kretanje kolica će biti harmonično, pa izraz u zagradi mora biti jednak nuli. Tada će zakon gibanja kolica imati oblik:
, (84)

(85)
Tada će se brzina kolica u funkciji kuta zakreta odrediti iz izraza (80):
,

• što odgovara izrazu (77).

Međutim, moguće je i drugo rješenje ovog problema, ako pretpostavimo da su kolica isprva nepomična i da se teret okreće konstantnom brzinom. Zatim, kada opterećenja zauzmu položaj duž osi x, kolica su puštena. U takvim uvjetima inercijske sile u smjeru osi g neće biti, budući da se vrijednost brzine rotacije tereta neće promijeniti, stoga neće biti utjecaja na kolica u negativnom smjeru osi g a početna brzina će mu biti nula. Tada iz jednadžbe (80) slijedi da integracijska konstanta S bit će jednako:
, (86)

• stoga će brzina kolica kao funkcija vremena imati oblik:

(87)
Integrirajući ovaj izraz kroz vrijeme, nalazimo kretanje kolica duž y-osi:
(88)

, (89)

; (90)
(91)
Dakle, povremeno promjenjiva projekcija inercijskih sila tereta na os gčini da kolica izvode harmonijske oscilacije i čak se kreću duž osi g ovisno o početnim uvjetima vožnje. Neosigurana kolica će izvoditi samo harmonijske oscilacije, dok će kolica koja su fiksirana pa otpuštena izvoditi pravocrtno gibanje, na koje će se superponirati harmonijske oscilacije.
Analiza koju smo proveli bila bi nemoguća bez uzimanja u obzir sila koje djeluju na kolica, a to su u ovom slučaju inercijske sile. Ako se kretanje kolica objašnjava potrebom da se ispuni zakon održanja količine gibanja, onda to znači da se ne govori ništa o meritumu stvari. Stoga je preporučljivo kombinirati korištenje zakona očuvanja s detaljnom analizom sile problema koji se razmatra.

Iz teorema o promjeni količine gibanja sustava mogu se dobiti sljedeće važne posljedice.

1. Neka je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli:

Tada iz jednadžbe (20) slijedi da u ovom slučaju Dakle, ako je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli, tada će vektor količine gibanja sustava biti konstantan po veličini i smjeru.

2. Neka su vanjske sile koje djeluju na sustav takve da je zbroj njihovih projekcija na neku os (na primjer, ) jednak nuli:

Tada iz jednadžbi (20) slijedi da u ovom slučaju Dakle, ako je zbroj projekcija svih vanjskih sila koje djeluju na bilo koju os jednak nuli, tada je projekcija količine gibanja sustava na tu os konstantna vrijednost.

Ovi rezultati izražavaju zakon održanja količine gibanja sustava. Iz njih slijedi da unutarnje sile ne mogu promijeniti količinu gibanja sustava. Pogledajmo neke primjere.

Fenomen trzaja ili trzaja. Ako pušku i metak smatramo jednim sustavom, tada će pritisak barutnih plinova tijekom hica biti unutarnja sila. Ova sila ne može promijeniti količinu gibanja sustava, jednaku hicu metka. Ali budući da barutni plinovi, djelujući na metak, daju mu određenu količinu gibanja usmjerenu prema naprijed, oni moraju istodobno prenijeti pušci istu količinu gibanja u suprotnom smjeru. To će uzrokovati pomicanje puške unatrag, poznato kao trzaj. Slična pojava događa se prilikom pucanja iz pištolja (povratak).

Rad propelera (elise). Propeler daje kretanje određenoj masi zraka (ili vode) duž osi propelera, odbacujući tu masu natrag. Ako bačenu masu i zrakoplov (ili brod) promatramo kao jedan sustav, tada sile međudjelovanja između propelera i okoline, kao unutarnje, ne mogu promijeniti ukupnu količinu gibanja tog sustava. Stoga, kada se masa zraka (vode) baci natrag, zrakoplov (ili brod) dobiva odgovarajuću brzinu prema naprijed tako da ukupna količina gibanja sustava koji se razmatra ostaje jednaka nuli, budući da je bila nula prije početka kretanja .

Sličan učinak postiže se djelovanjem vesala ili kotača s lopaticama.

Mlazni pogon. Kod rakete (raketa) iz otvora u repu rakete (iz mlaznice raketnog motora) velikom brzinom izbacuju se plinoviti produkti izgaranja goriva. Sile pritiska koje djeluju u ovom slučaju bit će unutarnje sile i ne mogu promijeniti zamah raketnog sustava - produkti izgaranja goriva. Ali budući da plinovi koji izlaze imaju određenu količinu gibanja usmjerenu unatrag, raketa dobiva odgovarajuću brzinu usmjerenu prema naprijed. Veličinu te brzine odredit ćemo u § 114.

Imajte na umu da propelerski motor (prethodni primjer) daje pokret objektu, kao što je avion, odbacivanjem čestica medija u kojem se kreće. U bezzračnom prostoru takvo kretanje je nemoguće. Mlazni motor prenosi gibanje odbacujući natrag mase nastale u samom motoru (produkti izgaranja). To kretanje jednako je moguće i u zračnom i u bezzračnom prostoru.

Pri rješavanju zadataka primjena teorema omogućuje isključivanje svih unutarnjih sila iz razmatranja. Stoga moramo pokušati odabrati sustav koji razmatramo na takav način da sve (ili dio) prethodno nepoznatih sila budu unutarnje.

Zakon očuvanja količine gibanja zgodno je primijeniti u slučajevima kada je promjenom translacijske brzine jednog dijela sustava potrebno odrediti brzinu drugog dijela. Konkretno, ovaj zakon se naširoko koristi u teoriji udara.

Zadatak 126. Metak mase , koji leti vodoravno brzinom i, pogađa kutiju s pijeskom postavljenu na kolicima (sl. 289). Kojom brzinom će se kolica početi kretati nakon udarca, ako je masa kolica zajedno s kutijom jednaka

Riješenje. Razmatrat ćemo metak i kolica kao jedan sustav. To će nam omogućiti da eliminiramo sile koje nastaju kada metak pogodi okvir prilikom rješavanja problema. Zbroj projekcija vanjskih sila koje djeluju na sustav na horizontalnu os Ox jednak je nuli. Dakle, ili gdje je količina gibanja sustava prije udara; - nakon udarca.

Kako su kolica prije udarca nepomična, tada .

Nakon udarca kolica i metak kreću se zajedničkom brzinom koju označavamo s v. Zatim .

Izjednačujući desne strane izraza, nalazimo

Zadatak 127. Odredite brzinu slobodnog trzaja puške ako je težina trzajnih dijelova jednaka P, težina projektila , a brzina projektila u odnosu na cijev u trenutku polijetanja.

Riješenje. Da biste eliminirali nepoznate sile pritiska praškastih plinova, promatrajte projektil i povratne dijelove kao jedan sustav.

Razmotrimo međusobno djelovanje dvaju izoliranih tijela koja ne djeluju s drugim tijelima. Pretpostavit ćemo da su sile konstantne tijekom interakcije. U skladu s drugim zakonom dinamike, promjena količine gibanja prvog tijela je:

gdje je vremenski interval interakcije.

Promjena količine gibanja drugog tijela:

gdje je sila koja djeluje s prvog tijela na drugo.

Prema trećem Newtonovom zakonu

a osim toga očito

Stoga,

Bez obzira na prirodu međudjelovanja sila i trajanje njihova djelovanja, ukupni moment dvaju izoliranih tijela ostaje konstantan.

Dobiveni rezultat može se proširiti na bilo koji broj tijela koja međusobno djeluju i na sile koje se mijenjaju tijekom vremena. Da bismo to učinili, vremenski interval tijekom kojeg se događa međudjelovanje tijela podijelimo na tako male intervale tijekom svakog od kojih se sila može smatrati konstantnom s danim stupnjem točnosti. Tijekom svakog vremenskog perioda bit će zadovoljena relacija (1.8). Stoga će vrijediti za cijeli vremenski interval

Da bismo generalizirali zaključak na tijela koja međusobno djeluju, uvodimo koncept zatvorenog sustava.

Zatvoreno je sustav tijela za koje su rezultante vanjskih sila jednake nuli.

Neka mase materijalnih točaka čine zatvoreni sustav. Promjena momenta svake od ovih točaka kao rezultat njezine interakcije sa svim ostalim točkama sustava, odnosno:

Označimo unutarnje sile koje djeluju na točku masom iz drugih točaka, točkom masom itd. (Prvi indeks označava točku na koju sila djeluje; drugi indeks označava točku na čiju os sila djela.)

Zapišimo u prihvaćenom zapisu drugi zakon dinamike za svaku točku zasebno:

Broj jednadžbi jednak je broju tijela u sustavu. Da biste pronašli ukupnu promjenu količine gibanja sustava, trebate izračunati geometrijski zbroj promjena količine gibanja svih točaka sustava. Zbrajajući jednakosti (1.9), dobivamo na lijevoj strani potpuni vektor promjena količine gibanja sustava tijekom vremena, a na desnoj strani - elementarni impuls rezultante svih sila koje djeluju u sustavu. Ali budući da je sustav zatvoren, rezultirajuće sile su jednake nuli. Zapravo, prema trećem zakonu dinamike, svaka sila u jednakosti (1.9) odgovara sili i

tj. itd.,

a rezultanta tih sila je nula. Prema tome, u cijelom zatvorenom sustavu promjena količine gibanja je nula:

ukupna količina gibanja zatvorenog sustava konstantna je veličina tijekom cijelog gibanja (zakon očuvanja količine gibanja).

Zakon očuvanja količine gibanja jedan je od temeljnih zakona fizike, koji vrijedi kako za sustave makroskopskih tijela tako i za sustave koje čine mikroskopska tijela: molekule, atomi itd.

Ako vanjske sile djeluju na točke sustava, tada se mijenja količina gibanja koju sustav posjeduje.

Napišimo jednadžbe (1.9), uključujući u njih rezultantne vanjske sile koje djeluju redom na prvu, drugu itd. Do točke th:

Zbrajanjem lijeve i desne strane jednadžbi dobivamo: lijevo - potpuni vektor promjena količine gibanja sustava; desno - impuls rezultirajućih vanjskih sila:

ili, označavajući rezultantne vanjske sile:

promjena ukupne količine gibanja sustava tijela jednaka je impulsu nastalih vanjskih sila.

Jednakost (1.13) se može napisati iu drugom obliku:

vremenska derivacija ukupne količine gibanja sustava točaka jednaka je rezultantnim vanjskim silama koje djeluju na točke sustava.

Projiciranjem vektora količine gibanja sustava i vanjskih sila na tri međusobno okomite osi, umjesto vektorske jednakosti (6.14), dobivamo tri skalarne jednadžbe oblika:

Ako je duž bilo koje osi, recimo, komponenta rezultantne vanjske sile jednaka nuli, tada se količina gibanja duž te osi ne mijenja, tj. budući da je općenito otvoren, u smjeru u kojem se sustav može smatrati zatvorenim.

Ispitivali smo prijenos mehaničkog gibanja s jednog tijela na drugo bez njegovog prijelaza na druge oblike gibanja materije.

Količina “mv pokazuje se kao mjera jednostavno prenesenog, tj. tekućeg kretanja...”.

Primjena zakona promjene količine gibanja na problem gibanja sustava tijela omogućuje isključivanje svih unutarnjih sila iz razmatranja, što pojednostavljuje teorijska istraživanja i rješavanje praktičnih problema.

1. Neka osoba stoji nepomično na kolicima koja miruju (slika 2.a). Impuls sustava čovjek-kolica je nula. Je li ovaj sustav zatvoren? Na njega djeluju vanjske sile - gravitacija i trenje između kotača kolica i poda. Općenito govoreći, sustav nije zatvoren. No, postavljanjem kolica na tračnice i odgovarajućom obradom površine tračnica i kotača, odnosno značajnim smanjenjem trenja među njima, sila trenja se može zanemariti.

Sila gravitacije, usmjerena okomito prema dolje, uravnotežena je reakcijom deformiranih tračnica, a rezultanta tih sila ne može sustavu prenijeti horizontalnu akceleraciju, tj. ne može promijeniti brzinu, a time ni količinu gibanja sustava. Stoga ovaj sustav možemo, uz određeni stupanj aproksimacije, smatrati zatvorenim.

Pretpostavimo sada da osoba napušta kolica s lijeve strane (sl. 2.b), imajući brzinu. Da bi postigao tu brzinu, osoba mora kontrakcijom mišića djelovati nogama na platformu kolica i deformirati je. Sila koja djeluje sa strane deformirane platforme na stopala osobe daje ubrzanje ljudskom tijelu s lijeve strane, a sila koja djeluje sa strane deformiranih stopala osobe (u skladu s trećim zakonom dinamike) daje ubrzanje do kolica desno. Kao rezultat toga, kada interakcija prestane (osoba siđe s kolica), kolica dobiju određenu brzinu.

Da bismo odredili brzine pomoću osnovnih zakona dinamike, bilo bi potrebno znati kako se sile interakcije između osobe i kolica mijenjaju tijekom vremena i gdje se te sile primjenjuju. Zakon očuvanja momenta omogućuje vam da odmah pronađete omjer brzina osobe i kolica, kao i naznačite njihov međusobni smjer, ako su poznate vrijednosti masa osobe i kolica.

Dok osoba stoji nepomično na kolicima, ukupna količina gibanja sustava ostaje jednaka nuli:

Brzine koje postižu osoba i kolica obrnuto su proporcionalne njihovim masama. Znak minus označava njihov suprotan smjer.

2. Ako osoba, krećući se velikom brzinom, naleti na kolica koja miruju i zaustavi se na njima, tada se kolica počnu kretati, tako da ukupna količina gibanja njih i osobe ispada jednaka količini gibanja koju osoba sama je prije imala:

3. Osoba koja se kreće velikom brzinom naleti na kolica koja se brzo kreću prema njoj i zaustavi se na njima. Dalje, sustav čovjek-kolica kreće se zajedničkom brzinom gibanja osobe i kolica jednaka je zbroju gibanja koje su imali svaki zasebno:

4. Koristeći činjenicu da se kolica mogu kretati samo po tračnicama, možemo pokazati vektorsku prirodu promjene količine gibanja. Ako osoba uđe i zaustavi se na prethodno zaustavljenim kolicima jednom duž smjera njegovog mogućeg kretanja, drugi put - pod kutom od 45°, a treći put - pod kutom od 90° u odnosu na ovaj smjer, onda u drugom slučaju brzina koju kolica postižu je otprilike jedan i pol puta manja nego u prvom, au trećem slučaju kolica su nepomična.

Razmotrimo najopćenitije zakone održanja, koji vladaju cjelokupnim materijalnim svijetom i koji u fiziku uvode niz temeljnih pojmova: energija, količina gibanja (količina gibanja), kutna količina gibanja, naboj.

Zakon očuvanja količine gibanja

Kao što je poznato, količina gibanja, odnosno impuls, umnožak je brzine i mase tijela koje se kreće: p = mv Ova fizikalna veličina omogućuje vam da pronađete promjenu gibanja tijela tijekom određenog vremenskog razdoblja. Da bi se riješio ovaj problem, morali bismo primijeniti Newtonov drugi zakon bezbroj puta, u svim međutrenucima vremena. Zakon o očuvanju količine gibanja (momentuma) može se dobiti pomoću drugog i trećeg Newtonovog zakona. Ako uzmemo u obzir dvije (ili više) materijalne točke (tijela) koje međusobno djeluju i tvore sustav izoliran od djelovanja vanjskih sila, tada se tijekom kretanja impulsi svake točke (tijela) mogu mijenjati, ali ukupni impuls sustav mora ostati nepromijenjen:

m 1 v+m 1 v 2 = konst.

Tijela koja međusobno djeluju izmjenjuju impulse zadržavajući ukupni impuls.

U općem slučaju dobivamo:

gdje je P Σ ukupni, ukupni impuls sustava, m i v i– impulsi pojedinih međusobno djelujućih dijelova sustava. Formulirajmo zakon održanja količine gibanja:

Ako je zbroj vanjskih sila jednak nuli, moment količine gibanja sustava tijela ostaje konstantan tijekom svih procesa koji se u njemu odvijaju.

Primjer djelovanja zakona očuvanja količine gibanja može se razmotriti u procesu interakcije čamca s osobom koja je zarila nos o obalu, a osoba u čamcu brzo hoda od krme do pramca. ubrzati v 1 . U tom slučaju, brod će se udaljiti od obale velikom brzinom v 2 :

Sličan primjer može se navesti i s projektilom koji je eksplodirao u zraku na nekoliko dijelova. Vektorski zbroj impulsa svih fragmenata jednak je impulsu projektila prije eksplozije.

Zakon održanja kutne količine gibanja

Pogodno je karakterizirati rotaciju krutih tijela fizičkom veličinom koja se naziva kutni moment.

Kada kruto tijelo rotira oko fiksne osi, svaka pojedinačna čestica tijela giba se po kružnici polumjera r i nekom linearnom brzinom v i. Ubrzati v i i zamah p = m i v i okomito na polumjer r i. Proizvod impulsa p = m i v i po radijusu r i naziva se kutni moment čestice:

L i= m i v i r i= P i r i·

Kutni moment cijelog tijela:

Ako linearnu brzinu zamijenimo kutnom brzinom (v i = ωr i), tada

gdje je J = mr 2 – moment tromosti.

Kutna količina gibanja zatvorenog sustava ne mijenja se tijekom vremena, tj L= const i Jω = const.

Pri tome se kutna količina gibanja pojedinih čestica rotacijskog tijela može po želji mijenjati, ali ukupna kutna količina gibanja (zbroj kutnih količina gibanja pojedinih dijelova tijela) ostaje konstantna. Zakon održanja kutne količine gibanja može se pokazati promatranjem klizača koji se okreće na klizaljkama s rukama ispruženim u stranu i rukama podignutim iznad glave. Kako je Jω = const, onda u drugom slučaju moment tromosti J opada, što znači da se kutna brzina u mora povećati, jer je Jω = const.

Zakon održanja energije

energija je univerzalna mjera različitih oblika kretanja i interakcije. Energija koju jedno tijelo daje drugom uvijek je jednaka energiji koju prima drugo tijelo. Za kvantificiranje procesa izmjene energije između tijela koja međusobno djeluju, mehanika uvodi koncept rada sile koja uzrokuje kretanje.

Kinetička energija mehaničkog sustava je energija mehaničkog gibanja tog sustava. Sila koja uzrokuje gibanje tijela obavlja rad, a energija tijela u gibanju povećava se za količinu utrošenog rada. Kao što je poznato, tijelo mase m, krećući se brzinom v, ima kinetičku energiju E=mv 2 /2.

Potencijalna energija je mehanička energija sustava tijela koja međusobno djeluju putem polja sila, na primjer putem gravitacijskih sila. Rad tih sila pri pomicanju tijela iz jednog položaja u drugi ne ovisi o putanji gibanja, već ovisi samo o početnom i konačnom položaju tijela u polju sila.

Takva polja sila nazivamo potencijalnim, a sile koje u njima djeluju nazivamo konzervativan. Gravitacijske sile su konzervativne sile, a potencijalna energija tijela mase m, podignut na visinu h iznad površine Zemlje jednaka je

E znoj = mgh,

Gdje g- ubrzanje gravitacije.

Ukupna mehanička energija jednaka je zbroju kinetičke i potencijalne energije:

E= E kin + E znoj

Zakon održanja mehaničke energije(1686, Leibniz) navodi da u sustavu tijela između kojih djeluju samo konzervativne sile ukupna mehanička energija ostaje nepromijenjena u vremenu. U tom slučaju može doći do transformacija kinetičke energije u potencijalnu energiju i obrnuto u ekvivalentnim količinama.

Postoji još jedan tip sustava u kojem se mehanička energija može smanjiti pretvorbom u druge oblike energije. Na primjer, kada se sustav kreće uz trenje, dio mehaničke energije se smanjuje zbog trenja. Takvi sustavi nazivaju se disipativan, odnosno sustavi koji rasipaju mehaničku energiju. U takvim sustavima ne vrijedi zakon održanja ukupne mehaničke energije. Međutim, kada se mehanička energija smanjuje, količina energije različite vrste uvijek se čini ekvivalentnom ovom smanjenju. Tako, energija nikada ne nestaje niti se ponovno pojavljuje, samo se mijenja iz jedne vrste u drugu. Ovdje se očituje svojstvo neuništivosti materije i njezina kretanja.

U klasičnoj mehanici postoje dva zakona održanja: zakon održanja količine gibanja i zakon održanja energije.

Tjelesni impuls

Pojam količine gibanja prvi je uveo francuski matematičar, fizičar i mehaničar. i filozof Descartes, koji je nazvao impuls količina kretanja .

S latinskog, "impuls" se prevodi kao "gurnuti, pomaknuti se".

Svako tijelo koje se giba ima zamah.

Zamislimo kolica koja miruju. Njegov zamah je nula. Ali čim se kolica počnu kretati, njihov moment više neće biti nula. Počet će se mijenjati kako se brzina mijenja.

Moment materijalne točke, ili količina kretanja – vektorska veličina jednaka umnošku mase točke i njezine brzine. Smjer vektora količine gibanja točke podudara se sa smjerom vektora brzine.

Ako govorimo o čvrstom fizičkom tijelu, tada se zamah takvog tijela naziva proizvod mase ovog tijela i brzine centra mase.

Kako izračunati količinu gibanja tijela? Možemo zamisliti da se tijelo sastoji od mnogo materijalnih točaka, odnosno sustava materijalnih točaka.

Ako - impuls jedne materijalne točke, zatim impuls sustava materijalnih točaka

To je, impuls sustava materijalnih točaka je vektorski zbroj momenta svih materijalnih točaka uključenih u sustav. Jednaka je umnošku masa tih točaka i njihove brzine.

Jedinica impulsa u međunarodnom sustavu jedinica SI je kilogram-metar u sekundi (kg m/sek).

Impulsna sila

U mehanici postoji uska veza između momenta količine gibanja tijela i sile. Ove dvije veličine povezuje veličina tzv impuls sile .

Ako na tijelo djeluje stalna silaF tijekom određenog vremenskog razdoblja t , zatim prema drugom Newtonovom zakonu

Ova formula pokazuje odnos između sile koja djeluje na tijelo, vremena djelovanja te sile i promjene brzine tijela.

Naziva se veličina jednaka umnošku sile koja djeluje na tijelo i vremena u kojem ono djeluje impuls sile .

Kao što vidimo iz jednadžbe, impuls sile jednak je razlici impulsa tijela u početnom i krajnjem trenutku vremena, odnosno promjeni impulsa tijekom nekog vremena.

Newtonov drugi zakon u obliku impulsa formuliran je na sljedeći način: promjena količine gibanja tijela jednaka je količini gibanja sile koja na njega djeluje. Mora se reći da je sam Newton izvorno formulirao svoj zakon upravo na ovaj način.

Impuls sile također je vektorska veličina.

Zakon održanja količine gibanja slijedi iz trećeg Newtonovog zakona.

Mora se zapamtiti da ovaj zakon djeluje samo u zatvorenom, ili izoliranom, fizičkom sustavu. Zatvoreni sustav je sustav u kojem tijela međusobno djeluju samo jedno s drugim, a ne s vanjskim tijelima.

Zamislimo zatvoreni sustav dva fizička tijela. Sile međusobnog djelovanja tijela nazivamo unutarnjim silama.

Impuls sile za prvo tijelo jednak je

Prema trećem Newtonovom zakonu, sile koje djeluju na tijela tijekom međusobnog djelovanja jednake su veličine, a suprotnog smjera.

Stoga je za drugo tijelo moment sile jednak

Jednostavnim izračunima dobivamo matematički izraz za zakon održanja količine gibanja:

Gdje m 1 I m 2 – tjelesne mase,

v 1 I v 2 – brzine prvog i drugog tijela prije interakcije,

v 1" I v 2" – brzine prvog i drugog tijela nakon međudjelovanja .

str 1 = m 1 · v 1 - impuls prvog tijela prije interakcije;

p 2 = m 2 · v 2 - impuls drugog tijela prije interakcije;

p 1 "= m 1 · v 1" - impuls prvog tijela nakon interakcije;

p 2 "= m 2 · v 2" - impuls drugog tijela nakon interakcije;

To je

str 1 + str 2 = p 1" + p 2"

U zatvorenom sustavu tijela samo izmjenjuju impulse. A vektorski zbroj momenta tih tijela prije njihove interakcije jednak je vektorskom zbroju njihovih momenta nakon međudjelovanja.

Dakle, kao rezultat pucanja iz pištolja, zamah samog pištolja i zamah metka će se promijeniti. Ali zbroj impulsa puške i metka u njoj prije hica ostat će jednak zbroju impulsa puške i letećeg metka nakon hica.

Pri pucanju iz topa dolazi do trzaja. Projektil leti naprijed, a sam pištolj se kotrlja unatrag. Projektil i top su zatvoreni sustav u kojem djeluje zakon održanja količine gibanja.

Zamah svakog tijela u zatvorenom sustavu mogu se promijeniti kao rezultat njihove međusobne interakcije. Ali vektorski zbroj impulsa tijela uključenih u zatvoreni sustav ne mijenja se kada ta tijela međusobno djeluju tijekom vremena, odnosno ostaje konstantan. To je ono što je zakon očuvanja količine gibanja.

Preciznije, zakon održanja količine gibanja formuliran je na sljedeći način: vektorski zbroj impulsa svih tijela zatvorenog sustava konstantna je vrijednost ako na njega ne djeluju vanjske sile ili je njihov vektorski zbroj jednak nuli.

Količina gibanja sustava tijela može se promijeniti samo kao posljedica djelovanja vanjskih sila na sustav. I tada neće vrijediti zakon održanja količine gibanja.

Mora se reći da zatvoreni sustavi ne postoje u prirodi. Ali, ako je vrijeme djelovanja vanjskih sila vrlo kratko, npr. pri eksploziji, pucnju i sl., tada se u tom slučaju zanemaruje utjecaj vanjskih sila na sustav, a sam sustav se smatra zatvorenim.

Osim toga, ako vanjske sile djeluju na sustav, ali je zbroj njihovih projekcija na jednu od koordinatnih osi jednak nuli (to jest, sile su uravnotežene u smjeru ove osi), tada je zakon očuvanja količine gibanja zadovoljen u ovom smjeru.

Naziva se i zakon održanja količine gibanja zakon očuvanja količine gibanja .

Najupečatljiviji primjer primjene zakona o održanju količine gibanja je mlazno gibanje.

Mlazni pogon

Reaktivno gibanje je gibanje tijela koje nastaje kada se neki njegov dio odvoji od njega određenom brzinom. Samo tijelo prima suprotno usmjeren impuls.

Najjednostavniji primjer mlaznog pogona je let balona iz kojeg izlazi zrak. Napuhamo li balon i pustimo ga, on će početi letjeti u smjeru suprotnom od kretanja zraka koji iz njega izlazi.

Primjer mlaznog pogona u prirodi je ispuštanje tekućine iz ploda ludog krastavca kada on pukne. U isto vrijeme, sam krastavac leti u suprotnom smjeru.

Meduze, sipe i ostali stanovnici morskih dubina kreću se tako da upijaju vodu i potom je izbacuju.

Mlazni potisak temelji se na zakonu održanja količine gibanja. Znamo da kada se raketa s mlaznim motorom kreće, kao rezultat izgaranja goriva, iz mlaznice se izbacuje mlaz tekućine ili plina ( mlazna struja ). Kao rezultat interakcije motora s tvari koja izlazi, Reaktivna sila . Budući da je raketa, zajedno s emitiranom tvari, zatvoreni sustav, impuls takvog sustava se ne mijenja s vremenom.

Reaktivna sila nastaje međudjelovanjem samo dijelova sustava. Vanjske sile nemaju utjecaja na njegov izgled.

Prije nego što se raketa počela gibati, zbroj impulsa rakete i goriva bio je nula. Posljedično, prema zakonu održanja količine gibanja, nakon uključivanja motora zbroj ovih impulsa također je jednak nuli.

gdje je masa rakete

Brzina protoka plina

Promjena brzine rakete

∆mf - Potrošnja goriva

Pretpostavimo da je raketa radila neko vrijeme t .

Dijeljenje obje strane jednadžbe s ∆ t, dobivamo izraz

Prema drugom Newtonovom zakonu reaktivna sila jednaka je

Reakcijska sila ili potisak mlaza osigurava kretanje mlaznog motora i s njim povezanog objekta u smjeru suprotnom od smjera mlazne struje.

Mlazni motori se koriste u modernim zrakoplovima i raznim projektilima, vojnim, svemirskim itd.