Primjeri kako pronaći vjerojatnost događaja. Klasična i statistička definicija vjerojatnosti

U ekonomiji, kao iu drugim područjima ljudske djelatnosti ili u prirodi, stalno imamo posla s događajima koji se ne mogu točno predvidjeti. Dakle, obujam prodaje proizvoda ovisi o potražnji koja može značajno varirati te o nizu drugih čimbenika koje je gotovo nemoguće uzeti u obzir. Stoga pri organizaciji proizvodnje i prodaji morate predvidjeti ishod takvih aktivnosti na temelju ili vlastitog prethodnog iskustva, ili sličnog iskustva drugih ljudi, ili intuicije, koja se u velikoj mjeri oslanja i na eksperimentalne podatke.

Da bi se na neki način vrednovao predmetni događaj, potrebno je uzeti u obzir ili posebno organizirati uvjete u kojima se taj događaj snima.

Poziva se provedba određenih uvjeta ili radnji za identifikaciju predmetnog događaja iskustvo ili eksperiment.

Događaj se zove slučajan, ako se kao rezultat iskustva može ili ne mora dogoditi.

Događaj se zove pouzdan, ako se nužno pojavljuje kao rezultat danog iskustva, i nemoguće, ako se ne može pojaviti u ovom iskustvu.

Na primjer, snijeg u Moskvi 30. studenog je slučajan događaj. Dnevni izlazak sunca može se smatrati pouzdanim događajem. Snježne padaline na ekvatoru mogu se smatrati nemogućim događajem.

Jedan od glavnih zadataka u teoriji vjerojatnosti je zadatak određivanja kvantitativne mjere mogućnosti da se događaj dogodi.

Algebra događaja

Događaji se nazivaju nekompatibilnima ako se ne mogu promatrati zajedno u istom iskustvu. Dakle, prisutnost dva i tri automobila u jednoj trgovini za prodaju u isto vrijeme dva su nespojiva događaja.

Iznos događaji su događaji koji se sastoje od pojave najmanje jednog od ovih događaja

Primjer zbroja događaja je prisutnost barem jednog od dva proizvoda u trgovini.

Posao događaji su događaji koji se sastoje od istodobnog događanja svih tih događaja

Događaj koji se sastoji od pojave dviju roba u prodavaonici u isto vrijeme proizvod je događaja: - pojave jednog proizvoda, - pojave drugog proizvoda.

Događaji čine potpunu skupinu događaja ako je barem jedan od njih siguran da će se dogoditi u iskustvu.

Primjer. Luka ima dva veza za prihvat brodova. U obzir se mogu uzeti tri događaja: - odsutnost brodova na vezovima, - prisutnost jednog broda na jednom od veza, - prisutnost dvaju brodova na dva veza. Ova tri događaja čine cjelovitu skupinu događaja.

Suprotan nazivaju se dva jedinstvena moguća događaja koji čine potpunu skupinu.

Ako je jedan od događaja koji je suprotan označen s , tada se suprotan događaj obično označava s .

Klasične i statističke definicije vjerojatnosti događaja

Svaki od jednako mogućih rezultata ispitivanja (pokusa) naziva se elementarni ishod. Obično se označavaju slovima. Na primjer, baca se kocka. Može postojati ukupno šest osnovnih ishoda na temelju broja bodova na stranama.

Od elementarnih ishoda možete stvoriti složeniji događaj. Dakle, slučaj parnog broja bodova određuju tri ishoda: 2, 4, 6.

Kvantitativna mjera mogućnosti nastanka predmetnog događaja je vjerojatnost.

Najčešće korištene definicije vjerojatnosti događaja su: klasični I statistički.

Klasična definicija vjerojatnosti povezana je s konceptom povoljnog ishoda.

Ishod se zove povoljan određenom događaju ako njegova pojava povlači za sobom pojavu ovog događaja.

U gornjem primjeru, predmetni događaj—paran broj bodova na otkotrljanoj strani—ima tri povoljna ishoda. U ovom slučaju general
broj mogućih ishoda. To znači da se ovdje može koristiti klasična definicija vjerojatnosti nekog događaja.

Klasična definicija jednak je omjeru broja povoljnih ishoda prema ukupnom broju mogućih ishoda

gdje je vjerojatnost događaja, je broj ishoda koji su povoljni za događaj, je ukupan broj mogućih ishoda.

U razmatranom primjeru

Statistička definicija vjerojatnosti povezana je s konceptom relativne učestalosti pojavljivanja događaja u eksperimentima.

Relativna učestalost pojavljivanja događaja izračunava se pomoću formule

gdje je broj pojavljivanja događaja u nizu eksperimenata (pokusa).

Statistička definicija. Vjerojatnost događaja je broj oko kojeg se relativna frekvencija stabilizira (postavlja) s neograničenim povećanjem broja eksperimenata.

U praktičnim problemima, vjerojatnost događaja se uzima kao relativna učestalost za dovoljno veliki broj pokušaja.

Iz ovih definicija vjerojatnosti događaja jasno je da je nejednakost uvijek zadovoljena

Za određivanje vjerojatnosti nekog događaja na temelju formule (1.1) često se koriste kombinatoričke formule pomoću kojih se nalazi broj povoljnih ishoda i ukupan broj mogućih ishoda.

Kada je novčić bačen, možemo reći da će pasti na glavu, ili vjerojatnost ovo je 1/2. Naravno, to ne znači da ako se novčić baci 10 puta, nužno će 5 puta pasti na glavu. Ako je novčić "pošten" i ako se baci mnogo puta, tada će glave polovicu vremena pasti vrlo blizu. Dakle, postoje dvije vrste vjerojatnosti: eksperimentalni I teoretski .

Eksperimentalna i teorijska vjerojatnost

Ako bacimo novčić velik broj puta - recimo 1000 - i izbrojimo koliko puta padne na glavu, možemo odrediti vjerojatnost da padne na glavu. Ako se glave bace 503 puta, možemo izračunati vjerojatnost da će pasti:
503/1000, odnosno 0,503.

Ovaj eksperimentalni određivanje vjerojatnosti. Ova definicija vjerojatnosti dolazi iz promatranja i proučavanja podataka i prilično je uobičajena i vrlo korisna. Evo, na primjer, nekih vjerojatnosti koje su određene eksperimentalno:

1. Vjerojatnost da će žena razviti rak dojke je 1/11.

2. Ako poljubite nekoga tko je prehlađen, tada je vjerojatnost da ćete i vi dobiti prehladu 0,07.

3. Osoba koja je upravo izašla iz zatvora ima 80% šanse da se vrati u zatvor.

Ako uzmemo u obzir bacanje novčića i uzmemo u obzir da je jednako vjerojatno da će ispasti glava ili rep, možemo izračunati vjerojatnost dobivanja glave: 1/2. Ovo je teorijska definicija vjerojatnosti. Evo nekih drugih vjerojatnosti koje su teoretski određene pomoću matematike:

1. Ako je u sobi 30 ljudi, vjerojatnost da dvoje od njih imaju isti rođendan (bez godine) je 0,706.

2. Tijekom putovanja upoznate nekoga, a tijekom razgovora otkrijete da imate zajedničkog prijatelja. Tipična reakcija: "Ovo ne može biti!" Zapravo, ova fraza nije prikladna, jer je vjerojatnost takvog događaja prilično visoka - nešto više od 22%.

Stoga se eksperimentalne vjerojatnosti određuju promatranjem i prikupljanjem podataka. Teorijske vjerojatnosti se određuju matematičkim zaključivanjem. Primjeri eksperimentalnih i teorijskih vjerojatnosti, kao što su oni o kojima smo govorili gore, a posebno oni koje ne očekujemo, dovode nas do važnosti proučavanja vjerojatnosti. Možete pitati: "Što je prava vjerojatnost?" Zapravo, toga nema. Vjerojatnosti unutar određenih granica mogu se odrediti eksperimentalno. One se mogu, ali ne moraju podudarati s vjerojatnostima koje dobivamo teoretski. Postoje situacije u kojima je puno lakše odrediti jednu vrstu vjerojatnosti nego drugu. Na primjer, bilo bi dovoljno pronaći vjerojatnost prehlade pomoću teorijske vjerojatnosti.

Izračun eksperimentalnih vjerojatnosti

Razmotrimo prvo eksperimentalnu definiciju vjerojatnosti. Osnovno načelo koje koristimo za izračunavanje takvih vjerojatnosti je sljedeće.

Princip P (eksperimentalno)

Ako se u eksperimentu u kojem se vrši n opažanja situacija ili događaj E pojavi m puta u n opažanja, tada se kaže da je eksperimentalna vjerojatnost događaja P (E) = m/n.

Primjer 1 Sociološko istraživanje. Provedeno je eksperimentalno istraživanje kako bi se utvrdio broj ljevorukih ljudi i ljudi čije su obje ruke podjednako razvijene.

a) Odredite vjerojatnost da je osoba dešnjak.

b) Odredite vjerojatnost da je osoba ljevak.

c) Odredite vjerojatnost da osoba jednako tečno govori objema rukama.

d) Većina turnira Profesionalne kuglačke udruge ograničena je na 120 igrača. Na temelju podataka iz ovog eksperimenta, koliko bi igrača moglo biti ljevoruko?

Riješenje

a)Broj ljudi koji su dešnjaci je 82, broj ljevorukih je 17, a broj onih koji jednako tečno govore obje ruke je 1. Ukupan broj opažanja je 100. Dakle, vjerojatnost da je osoba dešnjak je P
P = 82/100, ili 0,82, ili 82%.

b) Vjerojatnost da je osoba ljevak je P, gdje je
P = 17/100, ili 0,17, ili 17%.

c) Vjerojatnost da osoba jednako tečno govori objema rukama je P, gdje
P = 1/100, ili 0,01, ili 1%.

d) 120 bacača kugle, a iz (b) možemo očekivati da je 17% ljevorukih. Odavde
17% od 120 = 0,17,120 = 20,4,
odnosno možemo očekivati 20-ak igrača koji će biti ljevoruki.

Primjer 2 Kontrola kvalitete . Za proizvođača je vrlo važno održati kvalitetu svojih proizvoda na visokoj razini. Zapravo, tvrtke angažiraju inspektore za kontrolu kvalitete kako bi osigurale ovaj proces. Cilj je proizvesti minimalni mogući broj neispravnih proizvoda. Ali budući da tvrtka proizvodi tisuće proizvoda svaki dan, ne može si priuštiti testiranje svakog proizvoda kako bi se utvrdilo je li neispravan ili ne. Kako bi saznali koliki je postotak proizvoda neispravan, tvrtka testira mnogo manje proizvoda.
USDA zahtijeva da 80% sjemena koje prodaju uzgajivači mora proklijati. Da bi se utvrdila kvaliteta sjemena koje poljoprivredno poduzeće proizvodi, sadi se 500 sjemenki proizvedenih sjemenki. Nakon toga je izračunato da je proklijalo 417 sjemenki.

a) Kolika je vjerojatnost da će sjeme proklijati?

b) Zadovoljava li sjeme državne standarde?

Riješenje a) Znamo da je od 500 sjemenki koje su posađene 417 proklijalo. Vjerojatnost klijanja sjemena P, i
P = 417/500 = 0,834, ili 83,4%.

b) Budući da je postotak proklijalog sjemena premašio 80% prema zahtjevima, sjeme zadovoljava državne standarde.

Primjer 3 Gledanost televizije. Prema statistici, u Sjedinjenim Državama ima 105 500 000 kućanstava s televizorom. Svaki tjedan se prikupljaju i obrađuju podaci o gledanosti programa. U jednom tjednu, 7.815.000 kućanstava gledalo je hit humorističnu seriju "Everybody Loves Raymond" na CBS-u i 8.302.000 kućanstava gledalo je hit seriju "Zakon i red" na NBC-u (Izvor: Nielsen Media Research). Koja je vjerojatnost da je TV jednog kućanstva podešen na "Svi vole Raymonda" tijekom određenog tjedna na "Zakon i red"?

Riješenje Vjerojatnost da je TV u jednom kućanstvu podešen na "Svi vole Raymonda" je P, i
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4 %.
Šansa da je TV u kućanstvu podešen na Zakon i red je P, i
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ti se postoci nazivaju ocjenama.

Teorijska vjerojatnost

Pretpostavimo da provodimo eksperiment, poput bacanja novčića ili pikada, izvlačenja karte iz špila ili testiranja kvalitete proizvoda na pokretnoj traci. Svaki mogući rezultat takvog eksperimenta naziva se Egzodus . Skup svih mogućih ishoda naziva se prostor ishoda . Događaj to je skup ishoda, odnosno podskup prostora ishoda.

Primjer 4 Bacanje pikada. Pretpostavimo da u eksperimentu s bacanjem strelica strelica pogodi metu. Pronađite sve od sljedećeg:

b) Ishodni prostor

Riješenje
a) Ishodi su: pogađanje crnog (B), pogađanje crvenog (R) i pogađanje bijelog (B).

b) Prostor ishoda je (pogađanje crnog, pogađanje crvenog, pogađanje bijelog), što se može napisati jednostavno kao (H, K, B).

Primjer 5 Bacanje kocke. Kockica je kocka sa šest strana, na svakoj od kojih je nacrtana jedna do šest točaka.

Pretpostavimo da bacamo kocku. Pronaći
a) Ishodi
b) Ishodni prostor

Riješenje
a) Ishodi: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Ishodni prostor (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Vjerojatnost da se događaj E dogodi označavamo kao P(E). Na primjer, "novčić će pasti na glavu" može se označiti s H. Tada P(H) predstavlja vjerojatnost da će novčić pasti na glavu. Kada svi ishodi eksperimenta imaju istu vjerojatnost pojavljivanja, kaže se da su jednako vjerojatni. Da biste vidjeli razlike između događaja koji su jednako vjerojatni i događaja koji nisu, razmotrite cilj prikazan u nastavku.

Za metu A, događaji pogađanja crnog, crvenog i bijelog su jednako vjerojatni, budući da su crni, crveni i bijeli sektor isti. Međutim, za metu B zone s tim bojama nisu iste, odnosno njihovo pogađanje nije jednako vjerojatno.

Princip P (teorijski)

Ako se događaj E može dogoditi na m načina od n mogućih jednako vjerojatnih ishoda iz prostora ishoda S, tada teorijska vjerojatnost događaja, P(E) je
P(E) = m/n.

Primjer 6 Kolika je vjerojatnost bacanja kocke da dobijete 3?

Riješenje Postoji 6 jednako vjerojatnih ishoda na kocki i postoji samo jedna mogućnost bacanja broja 3. Tada će vjerojatnost P biti P(3) = 1/6.

Primjer 7 Koja je vjerojatnost bacanja parnog broja na kockicu?

Riješenje Događaj je bacanje parnog broja. To se može dogoditi na 3 načina (ako bacite 2, 4 ili 6). Broj jednako vjerojatnih ishoda je 6. Tada je vjerojatnost P(parni) = 3/6, odnosno 1/2.

Koristit ćemo niz primjera koji uključuju standardni špil od 52 karte. Ovaj se špil sastoji od karata prikazanih na donjoj slici.

Primjer 8 Koja je vjerojatnost izvlačenja asa iz dobro promiješanog špila karata?

Riješenje Postoje 52 ishoda (broj karata u špilu), jednako su vjerojatni (ako je špil dobro promiješan), a postoje 4 načina za izvlačenje asa, pa je prema P principu vjerojatnost
P(izvlačenje asa) = 4/52 ili 1/13.

Primjer 9 Pretpostavimo da bez gledanja izaberemo jednu lopticu iz vreće s 3 crvene i 4 zelene loptice. Kolika je vjerojatnost da odaberete crvenu kuglu?

Riješenje Postoji 7 jednako vjerojatnih ishoda izvlačenja bilo koje kuglice, a budući da je broj načina za izvlačenje crvene kuglice 3, dobivamo
P(odabir crvene lopte) = 3/7.

Sljedeće izjave proizlaze iz načela P.

Svojstva vjerojatnosti

a) Ako se događaj E ne može dogoditi, tada je P(E) = 0.
b) Ako je sigurno da će se događaj E dogoditi tada je P(E) = 1.
c) Vjerojatnost da će se dogoditi događaj E je broj od 0 do 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Na primjer, u bacanju novčića, slučaj da novčić padne na rub ima nultu vjerojatnost. Vjerojatnost da je novčić glava ili rep ima vjerojatnost 1.

Primjer 10 Pretpostavimo da su 2 karte izvučene iz špila od 52 karte. Koja je vjerojatnost da su oba vrha?

Riješenje Broj n načina za izvlačenje 2 karte iz dobro promiješanog špila od 52 karte je 52 C 2 . Budući da su 13 od 52 karte pikovi, broj načina na koji m mogu izvući 2 pika je 13 C 2 . Zatim,
P (povlačenje 2 vrha) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Primjer 11 Pretpostavimo da su 3 osobe nasumično odabrane iz grupe od 6 muškaraca i 4 žene. Koja je vjerojatnost da će 1 muškarac i 2 žene biti odabrani?

Riješenje Broj načina za odabir tri osobe iz grupe od 10 osoba je 10 C 3. Jedan muškarac se može izabrati na 6 C 1 načina, a 2 žene mogu se izabrati na 4 C 2 načina. Prema temeljnom principu brojanja, broj načina za odabir 1 muškarca i 2 žene je 6 C 1. 4 C 2 . Zatim, vjerojatnost da će 1 muškarac i 2 žene biti odabrani je
P = 6 C 1. 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Primjer 12 Bacanje kocke. Kolika je vjerojatnost bacanja ukupno 8 na dvije kocke?

Riješenje Svaka kocka ima 6 mogućih ishoda. Ishodi se udvostručuju, što znači da postoji 6,6 ili 36 mogućih načina na koje se brojevi na dvije kockice mogu pojaviti. (Bolje je ako su kocke različite, recimo da je jedna crvena, a druga plava - to će pomoći u vizualizaciji rezultata.)

Parovi brojeva koji zbrojem daju 8 prikazani su na slici ispod. Postoji 5 mogućih načina da se dobije zbroj jednak 8, stoga je vjerojatnost 5/36.

U zadacima Jedinstvenog državnog ispita iz matematike postoje i složeniji problemi vjerojatnosti (od onih koje smo razmatrali u 1. dijelu), gdje moramo primijeniti pravilo zbrajanja, množenja vjerojatnosti i razlikovati kompatibilne od nekompatibilnih događaja.

Dakle, teorija.

Zajednički i nezajednički događaji

Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugih. Odnosno, može se dogoditi samo jedan ili drugi događaj.

Na primjer, kada bacate kocku, možete razlikovati događaje poput dobivanja parnog broja bodova i dobivanja neparnog broja bodova. Ovi događaji su nespojivi.

Događaji se nazivaju zajedničkim ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog.

Na primjer, kada bacate kocku, možete razlikovati događaje kao što je bacanje neparnog broja bodova i bacanje broja bodova koji je višekratnik tri. Kada se baci trojka, događaju se oba događaja.

Zbroj događaja

Zbroj (ili kombinacija) nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od tih događaja.

pri čemu zbroj dva nekompatibilna događaja je zbroj vjerojatnosti ovih događaja:

Na primjer, vjerojatnost dobivanja 5 ili 6 bodova na kockici jednim bacanjem bit će , jer su oba događaja (bacivanje 5, bacanje 6) nedosljedna i vjerojatnost da će se dogoditi jedan ili drugi događaj izračunava se na sljedeći način:

Vjerojatnost zbroj dvaju zajedničkih događaja jednak zbroju vjerojatnosti ovih događaja ne uzimajući u obzir njihovo zajedničko pojavljivanje:

Na primjer, u trgovačkom centru dva identična aparata prodaju kavu. Vjerojatnost da će aparat ostati bez kave do kraja dana je 0,3. Vjerojatnost da će oba aparata ostati bez kave je 0,12. Nađimo vjerojatnost da će do kraja dana nestati kave u barem jednom od aparata (odnosno ili u jednom, ili u drugom, ili u oba odjednom).

Vjerojatnost prvog događaja “kava će nestati u prvom aparatu” kao i vjerojatnost drugog događaja “kava će nestati u drugom aparatu” prema uvjetu jednaka je 0,3. Događaji su suradnički.

Vjerojatnost zajedničke pojave prva dva događaja prema uvjetu je 0,12.

To znači da je vjerojatnost da će do kraja dana nestati kave u barem jednom od aparata

Zavisni i nezavisni događaji

Dva slučajna događaja A i B nazivaju se neovisnima ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerojatnost pojave drugog. Inače se događaji A i B nazivaju ovisnima.

Na primjer, kada se dvije kockice bacaju istovremeno, jedna od njih, recimo 1, a druga, 5, neovisni su događaji.

Umnožak vjerojatnosti

Umnožak (ili presjek) nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od zajedničke pojave svih tih događaja.

Ako se pojave dvije nezavisni događaji A i B s vjerojatnostima P(A) odnosno P(B), tada je vjerojatnost pojave događaja A i B u isto vrijeme jednaka umnošku vjerojatnosti:

Na primjer, zanima nas vidjeti šesticu koja se pojavljuje na kockici dvaput zaredom. Oba događaja su neovisna i vjerojatnost da se svaki od njih dogodi zasebno je . Vjerojatnost da će se oba ova događaja dogoditi izračunat će se pomoću gornje formule: .

Pogledajte izbor zadataka za uvježbavanje teme.

Vjerojatnost je stupanj (relativna mjera, kvantitativna procjena) mogućnosti nastanka nekog događaja. Kada razlozi da se neki mogući događaj stvarno dogodi pretežu od suprotnih razloga, tada se taj događaj naziva vjerojatnim, inače - malo vjerojatnim ili nevjerojatnim. Prevladavanje pozitivnih razloga nad negativnima, i obrnuto, može biti različitog stupnja, zbog čega vjerojatnost (i nevjerojatnost) može biti veća ili manja. Stoga se vjerojatnost često procjenjuje na kvalitativnoj razini, osobito u slučajevima kada je koliko-toliko točna kvantitativna procjena nemoguća ili iznimno teška. Moguće su različite gradacije “razina” vjerojatnosti.
Proučavanje vjerojatnosti s matematičkog gledišta čini posebnu disciplinu - teoriju vjerojatnosti. U teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici, koncept vjerojatnosti je formaliziran kao numerička karakteristika događaja - mjera vjerojatnosti (ili njezina vrijednost) - mjera na skupu događaja (podskupovi skupa elementarnih događaja), uzimajući vrijednosti od
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Značenje
(\displaystyle 1)
Odgovara pouzdanom događaju. Nemogući događaj ima vjerojatnost 0 (obrnuto općenito nije uvijek točno). Ako je vjerojatnost događanja događaja jednaka
(\displaystyle p)
Tada je vjerojatnost njegovog nepojavljivanja jednaka
(\displaystyle 1-p)
Konkretno, vjerojatnost
(\displaystyle 1/2)
Označava jednaku vjerojatnost pojavljivanja i nepojavljivanja događaja.
Klasična definicija vjerojatnosti temelji se na konceptu jednake vjerojatnosti ishoda. Vjerojatnost je omjer broja ishoda koji su povoljni za određeni događaj prema ukupnom broju jednako mogućih ishoda. Na primjer, vjerojatnost dobivanja glave ili repa u nasumičnom bacanju novčića je 1/2 ako se pretpostavi da se pojavljuju samo te dvije mogućnosti i da su jednako moguće. Ova klasična "definicija" vjerojatnosti može se generalizirati na slučaj beskonačnog broja mogućih vrijednosti - na primjer, ako se neki događaj može dogoditi s jednakom vjerojatnošću u bilo kojoj točki (broj točaka je beskonačan) nekog ograničenog područja prostora (ravnine), tada je vjerojatnost da će se to dogoditi u nekom dijelu ovog mogućeg područja jednaka omjeru volumena (površine) tog dijela prema volumenu (površini) područja svih mogućih točaka.
Empirijska “definicija” vjerojatnosti povezana je s učestalošću nekog događaja, a temelji se na činjenici da bi kod dovoljno velikog broja pokusa učestalost trebala težiti objektivnom stupnju mogućnosti tog događaja. U suvremenom prikazu teorije vjerojatnosti, vjerojatnost se definira aksiomatski, kao poseban slučaj apstraktne teorije mjere skupa. No, poveznica između apstraktne mjere i vjerojatnosti, koja izražava stupanj mogućnosti da se događaj dogodi, jest upravo učestalost njegova opažanja.
Vjerojatnosni opis pojedinih pojava dobio je široku raširenost u suvremenoj znanosti, posebice u ekonometriji, statističkoj fizici makroskopskih (termodinamičkih) sustava, gdje čak i u slučaju klasičnog determinističkog opisa gibanja čestica, deterministički opis cijelog sustava predstavlja značajnu vrijednost. čestica ne čini se praktično mogućim ili prikladnim. U kvantnoj fizici, opisani procesi su sami po sebi probabilistički.

Što je vjerojatnost?

Kad bih se prvi put susreo s tim pojmom, ne bih razumio o čemu se radi. Stoga ću pokušati jasno objasniti.

Vjerojatnost je šansa da će se dogoditi događaj koji želimo.

Na primjer, odlučili ste otići kod prijatelja, sjećate se ulaza, pa čak i kata na kojem živi. Ali sam zaboravio broj i lokaciju stana. A sada stojite na stubištu, a ispred vas su vrata među kojima možete birati.

Koja je šansa (vjerojatnost) da će vam, ako pozvonite na prva vrata, vaš prijatelj otvoriti vrata? Ima samo stanova, a prijatelj živi samo iza jednog od njih. S jednakim šansama možemo odabrati bilo koja vrata.

Ali kakva je to šansa?

Vrata, prava vrata. Vjerojatnost pogađanja zvonjenjem na prva vrata: . To jest, jedan put od tri ćete točno pogoditi.

Želimo znati, nakon što jednom nazovemo, koliko često ćemo pogoditi vrata? Pogledajmo sve opcije:

Ti si zvao 1 vrata
Ti si zvao 2 vrata
Ti si zvao 3 vrata

Sada pogledajmo sve opcije gdje bi prijatelj mogao biti:

A. Iza 1 vrata
b. Iza 2 vrata
V. Iza 3 vrata

Usporedimo sve opcije u obliku tablice. Kvačica označava opcije kada se vaš izbor podudara s lokacijom prijatelja, križić - kada se ne podudara.

Kako ti sve vidiš Može biti opcije lokaciju vašeg prijatelja i vaš izbor na koja ćete vrata nazvati.

A povoljni ishodi svih . Odnosno, jednom ćete pogoditi tako što ćete jednom pozvoniti na vrata, tj. .

Ovo je vjerojatnost - omjer povoljnog ishoda (kada se vaš izbor podudara s lokacijom vašeg prijatelja) prema broju mogućih događaja.

Definicija je formula. Vjerojatnost se obično označava s p, dakle:

Nije baš zgodno napisati takvu formulu, pa ćemo uzeti za – broj povoljnih ishoda, a za – ukupan broj ishoda.

Vjerojatnost se može zapisati kao postotak, potrebno je pomnožiti dobiveni rezultat sa:

Vjerojatno vam je zapela za oko riječ "ishodi". Budući da matematičari različite radnje (u našem slučaju takva je radnja zvono na vratima) nazivaju eksperimentima, rezultat takvih eksperimenata obično se naziva ishod.

Pa, ima povoljnih i nepovoljnih ishoda.

Vratimo se našem primjeru. Recimo, pozvonili smo na jedna vrata, ali nam je otvorio stranac. Nismo dobro pogodili. Kolika je vjerojatnost da će nam prijatelj otvoriti ako pozvonimo na neka od preostalih vrata?

Ako ste to mislili, onda je ovo greška. Hajdemo shvatiti.

Ostala su nam dvoja vrata. Dakle, imamo moguće korake:

1) Nazovite 1 vrata
2) Poziv 2 vrata

Prijatelj, usprkos svemu tome, sigurno stoji iza jedne od njih (uostalom, nije stajao iza ove koju smo zvali):

a) Prijatelj za 1 vrata
b) Prijatelj za 2 vrata

Nacrtajmo tablicu ponovo:

Kao što vidite, postoje samo opcije, od kojih su povoljne. Odnosno, vjerojatnost je jednaka.

Zašto ne?

Situacija koju smo razmatrali je primjer zavisnih događaja. Prvi događaj je prvo zvono na vratima, drugi događaj je drugo zvono na vratima.

I oni se nazivaju ovisni jer utječu na sljedeće radnje. Uostalom, ako se nakon prvog zvona na vratima otvori prijatelj, kolika bi bila vjerojatnost da je on bio iza jednog od druga dva? Točno, .

Ali ako postoje zavisni događaji, onda ih također mora biti nezavisna? Tako je, događaju se.

Udžbenički primjer je bacanje novčića.

Bacite novčić jednom. Koja je vjerojatnost da dobijete glave, na primjer? Tako je – jer postoje sve opcije (bilo glava ili rep, zanemarimo vjerojatnost da novčić stane na rub), ali samo nama odgovara.
Ali došlo je do glave. U redu, bacimo ga ponovno. Koja je vjerojatnost da sada dobijete glave? Ništa se nije promijenilo, sve je isto. Koliko opcija? Dva. S koliko smo zadovoljni? Jedan.

I neka dođe do glave barem tisuću puta zaredom. Vjerojatnost da dobijete glave odjednom bit će ista. Uvijek ima opcija, i to povoljnih.

Lako je razlikovati ovisne događaje od neovisnih:

Ako se eksperiment izvede jednom (jednom bace novčić, jednom pozvone na vrata itd.), tada su događaji uvijek neovisni.
Ako se pokus izvodi više puta (jednom se baci novčić, nekoliko puta pozvoni na vratima), tada je prvi događaj uvijek neovisan. I onda, ako se mijenja broj povoljnih ili broj svih ishoda, onda su događaji ovisni, a ako ne, nezavisni su.

Idemo malo vježbati određivanje vjerojatnosti.

Primjer 1.

Novčić se baca dva puta. Koja je vjerojatnost da dobijete glave dvaput zaredom?

Riješenje:

Razmotrimo sve moguće opcije:

Orao-orao
Glava-rep
Repovi-Glave
Repovi-repovi

Kao što vidite, postoje samo opcije. Od njih smo jedino zadovoljni. Odnosno, vjerojatnost:

Ako uvjet jednostavno traži da pronađete vjerojatnost, tada odgovor mora biti dan u obliku decimalnog razlomka. Kad bi bilo navedeno da odgovor treba dati u postotku, tada bismo množili s.

Odgovor:

Primjer 2.

U bombonijeri su sve čokolade zapakirane u isti omot. Međutim, od slatkiša - s orasima, s konjakom, s višnjama, s karamelom i s nugatom.

Kolika je vjerojatnost da uzmete jedan slatkiš i dobijete slatkiš s orasima? Dajte svoj odgovor u postocima.

Riješenje:

Koliko je mogućih ishoda? .

Odnosno, ako uzmete jedan slatkiš, to će biti jedan od onih koji su dostupni u kutiji.

Koliko povoljnih ishoda?

Jer u kutiji su samo čokolade s orasima.

Odgovor:

Primjer 3.

U kutiji od balona. od kojih su bijele i crne.

Kolika je vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice?
Dodali smo još crnih kuglica u kutiju. Kolika je sada vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice?

Riješenje:

a) U kutiji su samo kuglice. Od njih su bijeli.

Vjerojatnost je:

b) Sada ima više loptica u kutiji. A bijelih je ostalo taman toliko - .

Odgovor:

Ukupna vjerojatnost

Vjerojatnost svih mogućih događaja jednaka je ().

Recimo da se u kutiji nalaze crvene i zelene kuglice. Kolika je vjerojatnost izvlačenja crvene kuglice? Zelena lopta? Crvena ili zelena lopta?

Vjerojatnost izvlačenja crvene kuglice

Zelena kugla:

Crvena ili zelena lopta:

Kao što vidite, zbroj svih mogućih događaja jednak je (). Razumijevanje ove točke pomoći će vam u rješavanju mnogih problema.

Primjer 4.

U kutiji se nalaze markeri: zeleni, crveni, plavi, žuti, crni.

Kolika je vjerojatnost da NE nacrtate crveni marker?

Riješenje:

Izbrojimo broj povoljni ishodi.

NIJE crveni marker, to znači zeleni, plavi, žuti ili crni.

Vjerojatnost svih događaja. A vjerojatnost događaja koje smatramo nepovoljnim (kada izvadimo crveni marker) je .

Dakle, vjerojatnost da izvučete NE crveni flomaster je .

Odgovor:

Vjerojatnost da se događaj neće dogoditi jednaka je minus vjerojatnosti da će se događaj dogoditi.

Pravilo za množenje vjerojatnosti neovisnih događaja

Već znate što su nezavisni događaji.

Što ako trebate pronaći vjerojatnost da će se dva (ili više) neovisna događaja dogoditi u nizu?

Recimo da želimo znati koja je vjerojatnost da ćemo, ako jednom bacimo novčić, dvaput vidjeti glavu?

Već smo razmotrili - .

Što ako jednom bacimo novčić? Kolika je vjerojatnost da vidite orla dva puta zaredom?

Ukupno mogućih opcija:

Orao-orao-orao
Glava-glava-rep
Glava-rep-glava
Glava-rep-rep
Repovi-glave-glave
Repovi-glave-repovi
Repovi-repovi-glave
Rep-rep-rep

Ne znam za vas, ali ja sam nekoliko puta pogriješio prilikom sastavljanja ovog popisa. Wow! I odgovara nam samo opcija (prva).

Za 5 bacanja možete sami napraviti popis mogućih ishoda. Ali matematičari nisu tako marljivi kao ti.

Stoga su prvo uočili, a zatim i dokazali da se vjerojatnost određenog niza neovisnih događaja svaki put smanjuje za vjerojatnost jednog događaja.

Drugim riječima,

Pogledajmo primjer istog nesretnog novčića.

Vjerojatnost dobivanja glave u izazovu? . Sada bacamo novčić jednom.

Koja je vjerojatnost dobivanja glava u nizu?

Ovo pravilo ne funkcionira samo ako se od nas traži da pronađemo vjerojatnost da će se isti događaj dogoditi nekoliko puta zaredom.

Kad bismo htjeli pronaći niz REPOVI-GLAVE-REPOVI za uzastopna bacanja, učinili bismo isto.

Vjerojatnost slijetanja glava je - , glava - .

Vjerojatnost dobivanja niza REPOVI-GLAVE-REPOVI-REPOVI:

To možete sami provjeriti izradom tablice.

Pravilo za zbrajanje vjerojatnosti nekompatibilnih događaja.

Pa stani! Nova definicija.

Hajdemo shvatiti. Uzmimo naš izlizani novčić i bacimo ga jednom.
Moguće opcije:

Orao-orao-orao
Glava-glava-rep
Glava-rep-glava
Glava-rep-rep
Repovi-glave-glave
Repovi-glave-repovi
Repovi-repovi-glave
Rep-rep-rep

Dakle, nekompatibilni događaji su određeni, zadani slijed događaja. - to su nespojivi događaji.

Ako želimo odrediti kolika je vjerojatnost dvaju (ili više) nekompatibilnih događaja, tada zbrajamo vjerojatnosti tih događaja.

Morate razumjeti da su "glave" ili "reške" dva neovisna događaja.

Ako želimo odrediti vjerojatnost pojavljivanja niza (ili bilo kojeg drugog), tada koristimo pravilo množenja vjerojatnosti.
Kolika je vjerojatnost da ćete dobiti glave u prvom bacanju, a repove u drugom i trećem bacanju?

Ali ako želimo znati kolika je vjerojatnost dobivanja jedne od nekoliko sekvenci, na primjer, kada se glave pojave točno jednom, tj. opcije i onda moramo zbrojiti vjerojatnosti ovih nizova.

Ukupne opcije nam odgovaraju.

Istu stvar možemo dobiti zbrajanjem vjerojatnosti pojavljivanja svakog niza:

Dakle, dodajemo vjerojatnosti kada želimo odrediti vjerojatnost određenih, nekonzistentnih, nizova događaja.

Postoji odlično pravilo koje će vam pomoći da se ne zabunite kada množiti, a kada zbrajati:

Vratimo se na primjer gdje smo jednom bacili novčić i htjeli znati kolika je vjerojatnost da jednom vidimo glave.
Što ce se dogoditi?

Trebalo bi ispasti:
(glave I repovi I repovi) ILI (repovi I glave I repovi) ILI (repovi I repovi I glave).
Ovako ispada:

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 5.

U kutiji su olovke. crvena, zelena, narančasta, žuta i crna. Kolika je vjerojatnost crtanja crvenom ili zelenom olovkom?

Riješenje:

Što ce se dogoditi? Moramo vući (crveno ILI zeleno).

Sada je jasno, zbrojimo vjerojatnosti ovih događaja:

Odgovor:

Primjer 6.

Ako se kocka baci dvaput, koja je vjerojatnost da dobijete ukupno 8?

Riješenje.

Kako možemo dobiti bodove?

(i) ili (i) ili (i) ili (i) ili (i).

Vjerojatnost dobivanja jednog (bilo kojeg) lica je .

Izračunavamo vjerojatnost:

Odgovor:

Trening.

Mislim da sada razumijete kada trebate izračunati vjerojatnosti, kada ih zbrojiti, a kada pomnožiti. Nije li? Idemo malo vježbati.

Zadaci:

Uzmimo špil karata koji sadrži karte uključujući pik, srca, 13 trefova i 13 karo. Od do As svake boje.

Kolika je vjerojatnost izvlačenja trefova u nizu (prvu izvučenu kartu vraćamo u špil i miješamo)?
Koja je vjerojatnost izvlačenja crne karte (pik ili tref)?
Koja je vjerojatnost izvlačenja slike (jaket, dama, kralj ili as)?
Kolika je vjerojatnost izvlačenja dviju sličica u nizu (prvu izvučenu kartu uklanjamo iz špila)?
Kolika je vjerojatnost da ćete, uzimajući dvije karte, sakupiti kombinaciju - (jack, dama ili kralj) i nije bitan redoslijed izvlačenja karata.

odgovori:

U špilu karata svake vrijednosti to znači:
Događaji su ovisni, budući da se nakon prve izvučene karte smanjio broj karata u špilu (kao i broj "slika"). U špilu se na početku nalazi ukupan broj pukova, dama, kraljeva i aseva, što znači vjerojatnost crtanja "slike" s prvom kartom:
Budući da prvu kartu uklanjamo iz špila, to znači da su u špilu već ostale karte, uključujući i slike. Vjerojatnost crtanja slike s drugom kartom:
Budući da nas zanima situacija kada iz špila izvadimo “sliku” I “sliku”, potrebno je pomnožiti vjerojatnosti:
Odgovor:
Nakon izvlačenja prve karte, broj karata u špilu će se smanjiti, tako da nam odgovaraju dvije opcije:
1) Prva karta je As, druga je Jack, Queen ili King
2) Prvom kartom vadimo žandara, damu ili kralja, a drugom asa. (kec i (žandar ili dama ili kralj)) ili ((žandar ili dama ili kralj) i as). Ne zaboravite smanjiti broj karata u špilu!

Ako ste sami uspjeli riješiti sve probleme, onda ste super! Sada ćete rješavati probleme teorije vjerojatnosti na Jedinstvenom državnom ispitu kao ludi!

TEORIJA VJEROJATNOSTI. PROSJEČNA RAZINA

Pogledajmo primjer. Recimo da bacimo kocku. Kakva je ovo kost, znate li? To je ono što zovu kocka s brojevima na stranama. Koliko lica, toliko brojeva: od koliko do? Prije.

Dakle, bacamo kocku i želimo da se pojavi ili. I shvaćamo.

U teoriji vjerojatnosti kažu što se dogodilo povoljan događaj(ne brkati s uspješnim).

Ako se dogodi, događaj će također biti povoljan. Ukupno se mogu dogoditi samo dva povoljna događaja.

Koliko je nepovoljnih? Budući da postoji ukupno mogućih događaja, to znači da su nepovoljni događaji (ovo je ako ili ispada).

Definicija:

Vjerojatnost je omjer broja povoljnih događaja prema broju svih mogućih događaja. Odnosno, vjerojatnost pokazuje koji je udio svih mogućih događaja povoljan.

Vjerojatnost označavaju latiničnim slovom (navodno od engleske riječi probability - vjerojatnost).

Uobičajeno je mjeriti vjerojatnost kao postotak (vidi teme i). Da biste to učinili, vrijednost vjerojatnosti mora se pomnožiti s. U primjeru s kockom, vjerojatnost.

I u postocima: .

Primjeri (odlučite sami):

Koja je vjerojatnost da dobijete glave prilikom bacanja novčića? Koja je vjerojatnost slijetanja glava?
Koja je vjerojatnost dobivanja parnog broja prilikom bacanja kocke? A koji je neparan?
U kutiji jednostavne, plave i crvene olovke. Nasumično izvlačimo jednu olovku. Koja je vjerojatnost da dobijete jednostavan?

rješenja:

Koliko opcija postoji? Glava i rep - samo dvije. Koliko ih je povoljnih? Samo jedan je orao. Dakle, vjerojatnost
Isto je i s repovima: .
Ukupno opcija: (koliko stranica ima kocka, toliko različitih opcija). Povoljni: (ovo su sve parni brojevi:).
Vjerojatnost. Naravno, isto je i s neparnim brojevima.
Ukupno: . Povoljno: . Vjerojatnost: .

Ukupna vjerojatnost

Sve olovke u kutiji su zelene. Kolika je vjerojatnost crtanja crvenom olovkom? Nema šanse: vjerojatnost (uostalom, povoljni događaji -).

Takav se događaj naziva nemogućim.

Kolika je vjerojatnost da nacrtate zelenu olovku? Povoljnih događaja ima točno onoliko koliko ima i ukupnih događaja (svi događaji su povoljni). Dakle, vjerojatnost je jednaka ili.

Takav se događaj naziva pouzdanim.

Ako se u kutiji nalaze zelene i crvene olovke, kolika je vjerojatnost da ćete nacrtati zelenu ili crvenu? Opet opet. Primijetimo ovo: vjerojatnost izvlačenja zelene je jednaka, a crvena je jednaka.

U zbroju, te su vjerojatnosti potpuno jednake. To je, zbroj vjerojatnosti svih mogućih događaja jednak je ili.

Primjer:

U kutiji s olovkama su plava, crvena, zelena, obična, žuta, a ostale su narančaste. Kolika je vjerojatnost da ne nacrtate zeleno?

Riješenje:

Sjećamo se da se sve vjerojatnosti zbrajaju. I vjerojatnost da dobijete zeleno je jednaka. To znači da je vjerojatnost da ne nacrtate zeleno jednaka.

Zapamtite ovaj trik: vjerojatnost da se događaj neće dogoditi jednaka je minus vjerojatnosti da će se događaj dogoditi.

Neovisni događaji i pravilo množenja

Jednom bacite novčić i želite da oba puta ispadne glava. Koja je vjerojatnost za to?

Prođimo kroz sve moguće opcije i odredimo koliko ih ima:

Glave-Glave, Repovi-Glave, Glave-Repovi, Repovi-Repovi. Što drugo?

Ukupne opcije. Od njih nam samo jedan odgovara: Eagle-Eagle. Ukupno je vjerojatnost jednaka.

Fino. Sada bacimo novčić jednom. Izračunajte sami. Dogodilo se? (odgovor).

Možda ste primijetili da se dodavanjem svakog sljedećeg bacanja vjerojatnost smanjuje za pola. Opće pravilo je tzv pravilo množenja:

Vjerojatnosti neovisnih događaja se mijenjaju.

Što su nezavisni događaji? Sve je logično: to su oni koji ne ovise jedni o drugima. Na primjer, kada bacamo novčić nekoliko puta, svaki put dolazi novo bacanje čiji rezultat ne ovisi o svim prethodnim bacanjima. Isto tako lako možemo baciti dva različita novčića u isto vrijeme.

Još primjera:

Kocka se baca dva puta. Koja je vjerojatnost da će se pojaviti oba puta?
Novčić se baca jednom. Kolika je vjerojatnost da će prvi put biti u korist, a zatim dva puta u suprotnosti?
Igrač baca dvije kockice. Kolika je vjerojatnost da zbroj brojeva na njima bude jednak?

odgovori:

Događaji su neovisni, što znači da pravilo množenja radi: .
Vjerojatnost glava je jednaka. Vjerojatnost repova je ista. Pomnožiti:
12 se može dobiti samo ako se bace dvije -ki: .

Nespojivi događaji i pravilo zbrajanja

Događaji koji se međusobno nadopunjuju do pune vjerojatnosti nazivaju se nekompatibilnima. Kao što ime sugerira, ne mogu se dogoditi istovremeno. Na primjer, ako bacimo novčić, može ispasti ili glava ili rep.

Primjer.

U kutiji s olovkama su plava, crvena, zelena, obična, žuta, a ostale su narančaste. Kolika je vjerojatnost da nacrtate zeleno ili crveno?

Riješenje .

Vjerojatnost da nacrtate zelenu olovku je jednaka. Crvena - .

Povoljni događaji u svim: zeleno + crveno. To znači da je vjerojatnost izvlačenja zelene ili crvene jednaka.

Ista se vjerojatnost može prikazati u ovom obliku: .

Ovo je pravilo dodavanja: zbrajaju se vjerojatnosti nekompatibilnih događaja.

Problemi mješovitog tipa

Primjer.

Novčić se baca dva puta. Kolika je vjerojatnost da će rezultati bacanja biti drugačiji?

Riješenje .

To znači da ako je prvi rezultat glava, drugi mora biti rep, i obrnuto. Ispada da postoje dva para nezavisnih događaja, a ti parovi su međusobno nekompatibilni. Kako se ne zbuniti oko toga gdje množiti, a gdje zbrajati.

Za takve situacije postoji jednostavno pravilo. Pokušajte opisati što će se dogoditi pomoću veznika "I" ili "ILI". Na primjer, u ovom slučaju:

Trebalo bi se pojaviti (glave i repovi) ili (repovi i glave).

Gdje je veznik "i" bit će množenje, a gdje je "ili" bit će zbrajanje:

Pokušajte sami:

Kolika je vjerojatnost da će novčić oba puta pasti na istu stranu ako se baci dvaput?
Kocka se baca dva puta. Kolika je vjerojatnost da dobijete zbroj bodova?

rješenja:

(Padale su glave i padali repovi) ili (padali repovi i padali repovi): .
Koje su opcije? I. Zatim:
Ispalo (i) ili (i) ili (i): .

Još jedan primjer:

Bacite novčić jednom. Koja je vjerojatnost da će se glave pojaviti barem jednom?

Riješenje:

Joj, kako ne želim prolaziti kroz opcije... Glava-rep-rep, Orao-glava-rep,... Ali nema potrebe! Sjetimo se ukupne vjerojatnosti. Sjećaš li se? Kolika je vjerojatnost da orao nikada neće ispasti? Jednostavno je: glave stalno lete, eto zašto.

TEORIJA VJEROJATNOSTI. UKRATKO O GLAVNOM

Vjerojatnost je omjer broja povoljnih događaja prema broju svih mogućih događaja.

Neovisni događaji

Dva su događaja neovisna ako pojava jednog ne mijenja vjerojatnost da će se drugi dogoditi.

Ukupna vjerojatnost

Vjerojatnost svih mogućih događaja jednaka je ().

Vjerojatnost da se događaj neće dogoditi jednaka je minus vjerojatnosti da će se događaj dogoditi.

Pravilo za množenje vjerojatnosti neovisnih događaja

Vjerojatnost određenog niza neovisnih događaja jednaka je umnošku vjerojatnosti svakog događaja

Nespojivi događaji

Nekompatibilni događaji su oni koji se ne mogu dogoditi istovremeno kao rezultat eksperimenta. Niz nekompatibilnih događaja čini cjelovitu skupinu događaja.

Zbrajaju se vjerojatnosti nekompatibilnih događaja.

Nakon što smo veznicima “I” ili “ILI” opisali što bi se trebalo dogoditi, umjesto “I” stavljamo znak množenja, a umjesto “ILI” stavljamo znak zbrajanja.

Postanite YouClever student,

Pripremite se za jedinstveni državni ispit ili jedinstveni državni ispit iz matematike,

I također dobiti pristup udžbeniku YouClever bez ograničenja...