Nađi udaljenost vektora od ravnine. Jednadžba normalne ravnine

, Natjecanje "Prezentacija za lekciju"

Klasa: 11

Prezentacija za lekciju

Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

• generalizacija i sistematizacija znanja i vještina učenika;
• razvoj sposobnosti analiziranja, uspoređivanja, donošenja zaključaka.

Oprema:

• multimedijski projektor;
• Računalo;
• listovi s problemskim tekstovima

NAPREDOVANJE RAZREDA

I. Organizacijski trenutak

II. Faza ažuriranja znanja(slajd 2)

Ponavljamo kako se određuje udaljenost točke od ravnine

III. Predavanje(slajdovi 3-15)

U ovoj lekciji ćemo pogledati različite načine kako pronaći udaljenost od točke do ravnine.

Prva metoda: korak po korak računski

Udaljenost od točke M do ravnine α:
– jednaka udaljenosti do ravnine α od proizvoljne točke P koja leži na pravoj liniji a koja prolazi točkom M i paralelna je s ravninom α;
– jednaka je udaljenosti do ravnine α od proizvoljne točke P koja leži na ravnini β, koja prolazi točkom M i paralelna je s ravninom α.

Riješit ćemo sljedeće probleme:

№1. U kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke C 1 do ravnine AB 1 C.

Ostaje izračunati vrijednost duljine segmenta O 1 N.

№2. U pravilnoj šesterokutnoj prizmi A...F 1 kojoj su svi bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost od točke A do ravnine DEA 1.

Sljedeća metoda: metoda volumena.

Ako je volumen piramide ABCM jednak V, tada se udaljenost od točke M do ravnine α koja sadrži ∆ABC izračunava po formuli ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Pri rješavanju zadataka koristimo jednakost obujma jednog lika, izraženu na dva različita načina.

Riješimo sljedeći problem:

№3. Brid AD piramide DABC okomit je na ravninu osnovice ABC. Odredite udaljenost od A do ravnine koja prolazi središtima bridova AB, AC i AD, ako.

Prilikom rješavanja problema koordinatna metoda udaljenost od točke M do ravnine α može se izračunati pomoću formule ρ(M; α) = , gdje je M(x 0; y 0; z 0), a ravnina je dana jednadžbom ax + by + cz + d = 0

Riješimo sljedeći problem:

№4. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke A 1 do ravnine BDC 1.

Uvedimo koordinatni sustav s ishodištem u točki A, y-os će ići duž ruba AB, x-os duž ruba AD, a z-os duž ruba AA 1. Tada su koordinate točaka B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Napravimo jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točke B, D, C 1.

Tada je – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Prema tome, ρ =

Sljedeća metoda koja se može koristiti za rješavanje problema ove vrste je metoda problema podrške.

Primjena ove metode sastoji se u korištenju poznatih referentnih problema, koji su formulirani kao teoremi.

Riješimo sljedeći problem:

№5. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke D 1 do ravnine AB 1 C.

Razmotrimo aplikaciju vektorska metoda.

№6. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke A 1 do ravnine BDC 1.

Dakle, pogledali smo različite metode koje se mogu koristiti za rješavanje ove vrste problema. Izbor jedne ili druge metode ovisi o specifičnom zadatku i vašim željama.

IV. Grupni rad

Pokušajte riješiti problem na različite načine.

№1. Brid kocke A...D 1 jednak je . Odredi udaljenost od vrha C do ravnine BDC 1.

№2. U pravilnom tetraedru ABCD s bridom odredite udaljenost točke A od ravnine BDC

№3. U pravilnoj trokutastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1 čiji su svi bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost od A do ravnine BCA 1.

№4. U pravilnoj četverokutnoj piramidi SABCD, čiji su svi bridovi jednaki 1, nađite udaljenost od A do ravnine SCD.

V. Sažetak sata, domaća zadaća, refleksija

ZADACI C2 JEDINSTVENOG DRŽAVNOG ISPITA IZ MATEMATIKE ODREĐIVANJE UDALJENOSTI OD TOČKE DO RAVNINE

Kulikova Anastasia Yurievna

Student 5. godine, Odsjek za matematiku. analiza, algebra i geometrija EI KFU, Ruska Federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

znanstveni voditelj dr. sc. ped. znanosti, izvanredni profesor EI KFU, Ruska Federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

Posljednjih godina u zadacima Jedinstvenog državnog ispita iz matematike pojavili su se zadaci za izračunavanje udaljenosti od točke do ravnine. U ovom članku, na primjeru jednog problema, razmatraju se različite metode za pronalaženje udaljenosti od točke do ravnine. Najprikladnija metoda može se koristiti za rješavanje različitih problema. Nakon što ste riješili problem pomoću jedne metode, možete provjeriti točnost rezultata pomoću druge metode.

Definicija. Udaljenost od točke do ravnine koja ne sadrži tu točku je duljina okomice povučene iz te točke na zadanu ravninu.

Zadatak. Zadan je pravokutni paralelopiped ABSD.A. 1 B 1 C 1 D 1 sa stranama AB=2, prije Krista=4, A.A. 1 =6. Pronađite udaljenost od točke D Gornja traka ACD 1 .

1 način. Korištenje definicija. Pronađite udaljenost r( D, ACD 1) od točke D Gornja traka ACD 1 (slika 1).

Slika 1. Prva metoda

Izvršimo D.H.⊥AC, dakle, po teoremu o tri okomice D 1 H⊥AC I (dd 1 H)⊥AC. Izvršimo direktno D.T. okomito D 1 H. Ravno D.T. leži u ravnini dd 1 H, stoga D.T.⊥A.C.. Stoga, D.T.⊥ACD 1.

ADC nađimo hipotenuzu AC i visine D.H.

Iz pravokutnog trokuta D 1 D.H. nađimo hipotenuzu D 1 H i visine D.T.

Odgovor: .

Metoda 2.Metoda volumena (korištenje pomoćne piramide). Problem ovog tipa može se svesti na problem izračunavanja visine piramide, gdje je visina piramide tražena udaljenost od točke do ravnine. Dokažite da je ta visina tražena udaljenost; nađi volumen ove piramide na dva načina i izrazi tu visinu.

Imajte na umu da ovom metodom nema potrebe konstruirati okomicu iz dane točke na danu ravninu.

Kuboid je paralelopiped čija su sva lica pravokutnici.

AB=CD=2, prije Krista=OGLAS=4, A.A. 1 =6.

Potrebna udaljenost bit će visina h piramide ACD 1 D, spušten s vrha D na bazi ACD 1 (slika 2).

Izračunajmo volumen piramide ACD 1 D dva puta.

Pri računanju u prvom načinu za osnovicu uzimamo ∆ ACD 1 tada

Kod računanja na drugi način za bazu uzimamo ∆ ACD, Zatim

Izjednačimo desne strane zadnje dvije jednakosti i dobijemo

Slika 2. Druga metoda

Od pravokutnih trokuta ACD, DODATI 1 , CDD 1 pronađite hipotenuze koristeći Pitagorin teorem

ACD

Izračunajte površinu trokuta ACD 1 pomoću Heronove formule

Odgovor: .

3 načina. Metoda koordinata.

Neka se da točka M(x 0 ,g 0 ,z 0) i ravnina α , dano jednadžbom sjekira+po+cz+d=0 u pravokutnom kartezijevom koordinatnom sustavu. Udaljenost od točke M na ravninu α može se izračunati pomoću formule:

Uvedimo koordinatni sustav (slika 3). Ishodište koordinata u točki U;

Ravno AB- os x, ravno Sunce- os g, ravno BB 1 - os z.

Slika 3. Treća metoda

B(0,0,0), A(2,0,0), S(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Neka ax+po+ cz+ d=0 – jednadžba ravnine ACD 1 . Zamjena koordinata točaka u nju A, C, D 1 dobivamo:

Jednadžba ravnine ACD 1 će uzeti oblik

Odgovor: .

4 načina. Vektorska metoda.

Uvedimo bazu (slika 4) , .

Slika 4. Četvrta metoda

Promotrimo određenu ravninu π i proizvoljnu točku M 0 u prostoru. Odaberimo za avion jedinični normalni vektor n sa početak u nekoj točki M 1 ∈ π, a neka je p(M 0 ,π) udaljenost od točke M 0 do ravnine π. Zatim (sl. 5.5)

r(M 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

budući da |n| = 1.

Ako je zadana ravnina π pravokutni koordinatni sustav sa svojom općom jednadžbom Ax + By + Cz + D = 0, tada je njegov vektor normale vektor s koordinatama (A; B; C) i možemo odabrati

Neka su (x 0 ; y 0 ; z 0) i (x 1 ; y 1 ; z 1) koordinate točaka M 0 i M 1 . Tada vrijedi jednakost Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, budući da točka M 1 pripada ravnini, a koordinate vektora M 1 M 0 nalaze se: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 - y 1 ; z 0 - z 1 ). Snimanje skalarni proizvod nM 1 M 0 u koordinatnom obliku i transformacijom (5.8) dobivamo

budući da je Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Dakle, da biste izračunali udaljenost od točke do ravnine, trebate zamijeniti koordinate točke u općoj jednadžbi ravnine, a zatim podijeliti apsolutnu vrijednost rezultat normalizirajućim faktorom jednakim duljini odgovarajućeg normalnog vektora.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela u Ruskoj Federaciji - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Ovaj članak govori o određivanju udaljenosti od točke do ravnine. Analizirajmo ga metodom koordinata, koja će nam omogućiti da pronađemo udaljenost od zadane točke u trodimenzionalnom prostoru. Kako bismo to potvrdili, pogledajmo primjere nekoliko zadataka.

Udaljenost od točke do ravnine nalazi se pomoću poznate udaljenosti od točke do točke, pri čemu je jedna od njih zadana, a druga je projekcija na zadanu ravninu.

Kada je u prostoru određena točka M 1 s ravninom χ, tada se kroz točku može povući pravac okomit na ravninu. H 1 je njihova zajednička točka presjeka. Iz ovoga dobivamo da je isječak M 1 H 1 okomica povučena iz točke M 1 na ravninu χ, gdje je točka H 1 osnovica okomice.

Definicija 1

Udaljenost od dane točke do osnovice okomice povučene iz dane točke na danu ravninu naziva se.

Definicija se može napisati u različitim formulacijama.

Definicija 2

Udaljenost od točke do ravnine je duljina okomice povučene iz dane točke na danu ravninu.

Udaljenost od točke M 1 do ravnine χ određuje se na sljedeći način: udaljenost od točke M 1 do ravnine χ bit će najmanja od dane točke do bilo koje točke na ravnini. Ako se točka H 2 nalazi u ravnini χ i nije jednaka točki H 2, tada dobivamo pravokutni trokut oblika M 2 H 1 H 2 , koji je pravokutan, gdje se nalazi krak M 2 H 1, M 2 H 2 – hipotenuza. To znači da slijedi M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 smatra se nagnutom, koja je povučena iz točke M 1 na ravninu χ. Imamo da je okomica povučena iz dane točke na ravninu manja od nagnute povučene iz točke na danu ravninu. Pogledajmo ovaj slučaj na donjoj slici.

Udaljenost od točke do ravnine - teorija, primjeri, rješenja

Postoji niz geometrijskih problema čija rješenja moraju sadržavati udaljenost točke od ravnine. Mogu postojati različiti načini da se to identificira. Za rješavanje upotrijebite Pitagorin poučak ili sličnost trokuta. Kada je prema uvjetu potrebno izračunati udaljenost od točke do ravnine, zadane u pravokutnom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora, rješava se koordinatnom metodom. Ovaj odlomak govori o ovoj metodi.

Prema uvjetima zadatka imamo da je zadana točka u trodimenzionalnom prostoru s koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) s ravninom χ, potrebno je odrediti udaljenost od M 1 do ravnina χ. Za rješavanje ovog problema koristi se nekoliko metoda rješenja.

Prvi način

Ova se metoda temelji na pronalaženju udaljenosti od točke do ravnine pomoću koordinata točke H 1, koje su osnovica okomice iz točke M 1 na ravninu χ. Zatim morate izračunati udaljenost između M 1 i H 1.

Za rješavanje problema na drugi način upotrijebimo normalnu jednadžbu zadane ravnine.

Drugi način

Po uvjetu imamo da je H 1 osnovica okomice koja je spuštena iz točke M 1 na ravninu χ. Zatim odredimo koordinate (x 2, y 2, z 2) točke H 1. Potrebna udaljenost od M 1 do ravnine χ nalazi se formulom M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, gdje je M 1 (x 1, y 1, z 1) i H 1 (x 2, y 2, z 2). Da biste riješili, morate znati koordinate točke H 1.

Imamo da je H 1 presječna točka ravnine χ s pravcem a, koji prolazi kroz točku M 1 koja se nalazi okomito na ravninu χ. Iz toga slijedi da je potrebno sastaviti jednadžbu pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadanu ravninu. Tada ćemo moći odrediti koordinate točke H 1. Potrebno je izračunati koordinate točke presjeka pravca i ravnine.

Algoritam za određivanje udaljenosti od točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravnine χ:

Definicija 3

• nacrtati jednadžbu pravca a koji prolazi točkom M 1 i istovremeno
• okomito na χ ravninu;
• pronaći i izračunati koordinate (x 2 , y 2 , z 2 ) točke H 1, koje su točke
• presjek pravca a s ravninom χ ;
• izračunajte udaljenost od M 1 do χ pomoću formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Treći način

U zadanom pravokutnom koordinatnom sustavu O x y z nalazi se ravnina χ, tada dobivamo normalnu jednadžbu ravnine oblika cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. Odavde dobivamo da je udaljenost M 1 H 1 s točkom M 1 (x 1 , y 1 , z 1) povučena na ravninu χ, izračunata formulom M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Ova formula je valjana jer je ustanovljena zahvaljujući teoremu.

Teorema

Ako je točka M 1 (x 1, y 1, z 1) dana u trodimenzionalnom prostoru, koja ima normalnu jednadžbu ravnine χ oblika cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, tada se izračunavanje udaljenosti od točke do ravnine M 1 H 1 dobiva iz formule M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, budući da je x = x 1, y = y 1 , z = z 1.

Dokaz

Dokaz teorema svodi se na pronalaženje udaljenosti od točke do pravca. Odavde dobivamo da je udaljenost od M 1 do χ ravnine modul razlike numeričke projekcije radijus vektora M 1 s udaljenosti od ishodišta do χ ravnine. Tada dobivamo izraz M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Vektor normale ravnine χ ima oblik n → = cos α, cos β, cos γ, a duljina mu je jednaka jedinici, n p n → O M → je numerička projekcija vektora O M → = (x 1, y 1 , z 1) u smjeru određenom vektorom n → .

Primijenimo formulu za izračunavanje skalarnih vektora. Tada dobivamo izraz za nalaženje vektora oblika n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , budući da je n → = cos α , cos β , cos γ · z i O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Koordinatni oblik pisanja imat će oblik n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , zatim M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorem je dokazan.

Odavde dobivamo da se udaljenost od točke M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravnine χ izračunava zamjenom cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 u lijeva strana normalne jednadžbe ravnine umjesto x, y, z koordinata x 1, y 1 i z 1, koji se odnosi na točku M 1, uzimajući apsolutnu vrijednost dobivene vrijednosti.

Pogledajmo primjere određivanja udaljenosti od točke s koordinatama do zadane ravnine.

Primjer 1

Izračunajte udaljenost od točke s koordinatama M 1 (5, - 3, 10) do ravnine 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Riješenje

Riješimo problem na dva načina.

Prva metoda počinje izračunavanjem vektora smjera pravca a. Po uvjetu imamo da je zadana jednadžba 2 x - y + 5 z - 3 = 0 opća jednadžba ravnine, a n → = (2, - 1, 5) normalni vektor zadane ravnine. Koristi se kao vektor smjera prave a, koja je okomita na zadanu ravninu. Potrebno je napisati kanonsku jednadžbu pravca u prostoru koji prolazi kroz M 1 (5, - 3, 10) s vektorom smjera s koordinatama 2, - 1, 5.

Jednadžba će postati x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Moraju se odrediti točke presjeka. Da biste to učinili, nježno kombinirajte jednadžbe u sustav kako biste prešli s kanonskih na jednadžbe dviju linija koje se sijeku. Uzmimo ovu točku kao H 1. Shvaćamo to

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Nakon toga morate omogućiti sustav

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Okrenimo se pravilu rješenja Gaussovog sustava:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Dobivamo da je H 1 (1, - 1, 0).

Izračunavamo udaljenost od zadane točke do ravnine. Uzimamo točke M 1 (5, - 3, 10) i H 1 (1, - 1, 0) i dobivamo

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Drugo rješenje je prvo dovesti zadanu jednadžbu 2 x - y + 5 z - 3 = 0 u normalni oblik. Odredimo faktor normalizacije i dobijemo 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. Odavde izvodimo jednadžbu ravnine 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Lijeva strana jednadžbe izračunava se zamjenom x = 5, y = - 3, z = 10, a trebate uzeti udaljenost od M 1 (5, - 3, 10) do 2 x - y + 5 z - 3 = 0 modulo. Dobijamo izraz:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Odgovor: 230.

Kada je χ ravnina određena jednom od metoda u odjeljku o metodama za određivanje ravnine, tada prvo trebate dobiti jednadžbu χ ravnine i izračunati potrebnu udaljenost bilo kojom metodom.

Primjer 2

U trodimenzionalnom prostoru zadaju se točke s koordinatama M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Izračunaj udaljenost od M 1 do ravnine A B C.

Riješenje

Prvo trebate napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadane tri točke s koordinatama M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Slijedi da problem ima rješenje slično prethodnom. To znači da udaljenost od točke M 1 do ravnine A B C ima vrijednost 2 30.

Odgovor: 230.

Pronalaženje udaljenosti od zadane točke na ravnini ili do ravnine s kojom su paralelne pogodnije je primjenom formule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Iz toga proizlazi da se normalne jednadžbe ravnina dobivaju u nekoliko koraka.

Primjer 3

Odredite udaljenost od zadane točke s koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do koordinatne ravnine O x y z i ravnine zadane jednadžbom 2 y - 5 = 0.

Riješenje

Koordinatna ravnina O y z odgovara jednadžbi oblika x = 0. Za ravninu O y z je normalno. Stoga je potrebno zamijeniti vrijednosti x = - 3 u lijevu stranu izraza i uzeti apsolutnu vrijednost udaljenosti od točke s koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do ravnine. Dobivamo vrijednost jednaku - 3 = 3.

Nakon transformacije normalna jednadžba ravnine 2 y - 5 = 0 poprimit će oblik y - 5 2 = 0. Zatim možete pronaći traženu udaljenost od točke s koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do ravnine 2 y - 5 = 0. Zamjenom i računanjem dobivamo 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Odgovor: Tražena udaljenost od M 1 (- 3, 2, - 7) do O y z ima vrijednost 3, a do 2 y - 5 = 0 ima vrijednost 5 2 - 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter