Svojstva tangente. Tangentna linija Pravilo tangente

Definicija. Tangenta na kružnicu je pravac u ravnini koja s kružnicom ima točno jednu zajedničku točku.

Evo nekoliko primjera:

Krug sa središtem O dodiruje ravnu liniju l u točki A

S bilo kojeg mjesta M Izvan kružnice mogu se povući točno dvije tangente

Razlika između tangente l, sekans prije Krista i ravno m, koja nema zajedničkih točaka s kružnicom

Mogli bismo ovdje završiti, ali praksa pokazuje da nije dovoljno samo upamtiti definiciju – potrebno je naučiti vidjeti tangente na crtežima, poznavati njihova svojstva, a uz to i pravilno vježbati u primjeni tih svojstava rješavajući stvarne probleme. Sve ćemo to učiniti danas.

Osnovna svojstva tangenti

Kako biste riješili bilo koji problem, morate znati četiri ključna svojstva. Dva od njih su opisana u bilo kojoj knjizi/udžbeniku, ali posljednja dva su nekako zaboravljena, ali uzalud.

1. Tangente povučene iz jedne točke su jednake

Malo više smo već govorili o dvije tangente povučene iz jedne točke M. Dakle:

Tangentni segmenti na kružnicu povučeni iz jedne točke su jednaki.

Segmenti prije podne I B.M. jednak

2. Tangenta je okomita na polumjer povučen u točku dodirivanja

Pogledajmo ponovno gornju sliku. Nacrtajmo radijuse O.A. I O.B., nakon čega nalazimo da su kutovi OAM I O.B.M.- ravno.

Polumjer povučen na točku dodira je okomit na tangentu.

Ova se činjenica može koristiti bez dokaza u bilo kojem problemu:

Polumjeri povučeni na tangentu okomiti su na tangente

Usput, napomena: ako nacrtate segment OM, tada dobivamo dva jednaka trokuta: OAM I O.B.M..

3. Odnos tangente i sekante

Ali ovo je ozbiljnija činjenica, a većina školaraca to ne zna. Promotrimo tangentu i sekantu koje prolaze kroz istu zajedničku točku M. Naravno, sekans će nam dati dva segmenta: unutar kruga (segment prije Krista- naziva se i akord) i izvana (tako ga zovu - vanjski dio M.C.).

Umnožak cijele sekante i njenog vanjskog dijela jednak je kvadratu tangente

Odnos sekante i tangente

4. Kut između tangente i tetive

Još naprednija činjenica koja se često koristi za rješavanje složenih problema. Toplo preporučam uzimanje u servis.

Kut između tangente i tetive jednak je upisanom kutu koji spaja ta tetiva.

Odakle poanta? B? U stvarnim problemima obično "iskoči" negdje u stanju. Stoga je važno naučiti prepoznati ovu konfiguraciju na crtežima.

Ponekad je bitno :)

\[(\Veliki(\tekst(Središnji i upisani kutovi)))\]

Definicije

Središnji kut je kut čiji vrh leži u središtu kružnice.

Upisani kut je kut čiji vrh leži na kružnici.

Mjera stupnja kružnog luka je mjera stupnja središnjeg kuta koji ga spaja.

Teorema

Stupanjska mjera upisanog kuta jednaka je polovici stupnjevne mjere luka na kojem leži.

Dokaz

Dokaz ćemo provesti u dvije faze: prvo ćemo dokazati valjanost tvrdnje za slučaj kada jedna od stranica upisanog kuta sadrži promjer. Neka je točka $B$ vrh upisanog kuta $ABC$, a $BC$ promjer kružnice:

Trokut $AOB$ je jednakokračan, $AO = OB$ , $\kut AOC$ je vanjski, tada $\kut AOC = \kut OAB + \kut ABO = 2\kut ABC$, gdje $\kut ABC = 0,5\cdot\kut AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)$.

Sada razmotrite proizvoljni upisani kut $ABC$ . Nacrtajmo promjer kružnice $BD$ iz vrha upisanog kuta. Dva su moguća slučaja:

1) promjer siječe kut na dva kuta $\kut ABD, \kut CBD$ (za svaki od njih je teorem točan kao što je gore dokazano, stoga je točan i za izvorni kut, koji je zbroj ovih dva i prema tome jednaka polovici zbroja lukova na koje se oslanjaju, odnosno jednaka polovici luka na koji se oslanja). Riža. 1.

2) promjer nije prerezao kut na dva kuta, tada imamo još dva nova upisana kuta $\kut ABD, \kut CBD$, čija stranica sadrži promjer, dakle, za njih vrijedi teorem, tada je vrijedi i za izvorni kut (koji je jednak razlici ta dva kuta, što znači da je jednak polurazlici lukova na koje se oslanjaju, odnosno jednak polovici luka na kojem počiva) . Riža. 2.

Posljedice

1. Upisani kutovi koji spajaju isti luk su jednaki.

2. Upisani kut koji zahvata polukrug je pravi kut.

3. Upisani kut jednak je polovici središnjeg kuta kojeg spaja isti luk.

\[(\Large(\text(Tangenta na krug)))\]

Definicije

Postoje tri vrste relativnih položaja linije i kruga:

1) pravac $a$ siječe kružnicu u dvije točke. Takav se pravac naziva sekantom. U ovom slučaju, udaljenost $d$ od središta kružnice do ravne crte manja je od polumjera $R$ kružnice (slika 3).

2) pravac $b$ siječe krug u jednoj točki. Takav se pravac naziva tangenta, a njihova zajednička točka $B$ naziva se dodirna točka. U ovom slučaju $d=R$ (slika 4).

Teorema

1. Tangenta na kružnicu je okomita na polumjer povučen u točku dodirivanja.

2. Ako linija prolazi kroz kraj polumjera kružnice i okomita je na taj polumjer, tada je tangenta na kružnicu.

Posljedica

Tangentni segmenti povučeni iz jedne točke na kružnicu su jednaki.

Dokaz

Povucimo dvije tangente $KA$ i $KB$ na kružnicu iz točke $K$:

To znači da su $OA\perp KA, OB\perp KB$ poput radijusa. Pravokutni trokuti $\trokut KAO$ i $\trokut KBO$ jednaki su po kateti i hipotenuzi, dakle $KA=KB$ .

Posljedica

Središte kružnice $O$ leži na simetrali kuta $AKB$ kojeg tvore dvije tangente povučene iz iste točke $K$.

\[(\Large(\text(Teoremi koji se odnose na kutove)))\]

Teorem o kutu između sekanti

Kut između dviju sekanti povučenih iz iste točke jednak je polurazlici stupnjeva stupnjeva većeg i manjeg luka koje sijeku.

Dokaz

Neka $M$ bude točka iz koje su povučene dvije sekante kao što je prikazano na slici:

Pokažimo to $\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$.

$\kut DAB$ je vanjski kut trokuta $MAD$, dakle $\kut DAB = \kut DMB + \kut MDA$, gdje $\kut DMB = \kut DAB - \kut MDA$, ali su kutovi $\kut DAB$ i $\kut MDA$ upisani, tada $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$, što je i trebalo dokazati.

Teorem o kutu između tetiva koje se sijeku

Kut između dviju tetiva koje se sijeku jednak je polovici zbroja stupnjeva lukova koje oni sijeku: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\desno)\]

Dokaz

$\kut BMA = \kut CMD$ kao okomiti.

Iz trokuta $AMD$: $\kut AMD = 180^\circ - \kut BDA - \kut CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)$.

Ali $\kut AMD = 180^\circ - \kut CMD$, iz čega zaključujemo da \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ osmijeh\preko(CD)).\]

Teorem o kutu između tetive i tangente

Kut između tangente i tetive koja prolazi kroz točku dodirivanja jednak je polovici stupnjeve mjere luka obuhvaćenog tetivom.

Dokaz

Neka pravac $a$ dodiruje kružnicu u točki $A$, $AB$ je tetiva te kružnice, $O$ je njezino središte. Neka pravac koji sadrži $OB$ siječe $a$ u točki $M$ . Dokažimo to $\kut BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)$.

Označimo $\kut OAB = \alpha$ . Budući da su $OA$ i $OB$ radijusi, tada $OA = OB$ i $\kut OBA = \kut OAB = \alfa$. Tako, $\buildrel\smile\over(AB) = \kut AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)$.

Budući da je $OA$ polumjer povučen na tangentnu točku, tada $OA\perp a$, to jest $\kut OAM = 90^\circ$, prema tome, $\kut BAM = 90^\circ - \kut OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)$.

Teorem o lukovima spojenim jednakim tetivama

Jednake tetive spajaju jednake lukove manje od polukrugova.

I obrnuto: jednake lukove spajaju jednake tetive.

Dokaz

1) Neka $AB=CD$ . Dokažimo da su manje polukružnice luka .

Na tri strane, dakle, $\kut AOB=\kut COD$ . Ali zbog $\kut AOB, \kut COD$ - središnji kutovi oslonjeni na lukove $\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)$ prema tome, dakle $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$.

2) Ako $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$, To $\trokut AOB=\trokut COD$ na dvije stranice $AO=BO=CO=DO$ i kut između njih $\kut AOB=\kut COD$ . Prema tome, i $AB=CD$ .

Teorema

Ako radijus raspolavlja tetivu, onda je okomit na nju.

Vrijedi i obrnuto: ako je radijus okomit na tetivu, tada je u točki presjeka prepolovljuje.

Dokaz

1) Neka $AN=NB$ . Dokažimo da je $OQ\perp AB$ .

Razmotrite $\trokut AOB$ : jednakokračan je, jer $OA=OB$ – polumjeri kružnice. Jer $ON$ je medijan povučen na bazu, onda je to također i visina, dakle, $ON\perp AB$ .

2) Neka $OQ\perp AB$ . Dokažimo da je $AN=NB$ .

Slično, $\trokut AOB$ je jednakokračan, $ON$ je visina, dakle, $\ON$ je medijan. Prema tome, $AN=NB$ .

\[(\Large(\text(Teoremi koji se odnose na duljine segmenata)))\]

Teorem o umnošku odsječaka tetive

Ako se dvije tetive kružnice sijeku, tada je umnožak odsječaka jedne tetive jednak umnošku odsječaka druge tetive.

Dokaz

Neka se tetive $AB$ i $CD$ sijeku u točki $E$ .

Razmotrimo trokute $ADE$ i $CBE$ . U tim su trokutima kutovi $1$ i $2$ jednaki jer su upisani i počivaju na istom luku $BD$, a kutovi $3$ i $4$ su jednaki kao okomiti. Trokuti $ADE$ i $CBE$ su slični (na temelju prvog kriterija sličnosti trokuta).

Zatim $\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)$, odakle $AE\cdot BE = CE\cdot DE$ .

Teorem tangente i sekante

Kvadrat tangente jednak je umnošku sekante i njezinog vanjskog dijela.

Dokaz

Neka tangenta prolazi kroz točku $M$ i dodiruje kružnicu u točki $A$ . Neka sekanta prolazi točkom $M$ i siječe kružnicu u točkama $B$ i $C$ tako da je $MB< MC$ . Покажем, что $MB\cdot MC = MA^2$ .

Razmotrite trokute $MBA$ i $MCA$ : $\kut M$ je zajednički, $\kut BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)$. Prema teoremu o kutu između tangente i sekante, $\kut BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \kut BCA$. Dakle, trokuti $MBA$ i $MCA$ slični su pod dva kuta.

Iz sličnosti trokuta $MBA$ i $MCA$ imamo: $\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)$, što je ekvivalentno $MB\cdot MC = MA^2$ .

Posljedica

Umnožak sekante povučene iz točke $O$ s njezinim vanjskim dijelom ne ovisi o izboru sekante povučene iz točke $O$ .

Bodovi $x_0\u\mathbb(R)$ , i u njemu je diferencijabilan: $f \in \mathcal(D)(x_0)$ . Tangenta na graf funkcije $f$ u točki $x_0$ naziva se graf linearne funkcije zadan jednadžbom $y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb(R)$ .

Ako funkcija

f

ima u točki

x_0

beskonačna derivacija

f"(x_0) = \pm \infty,

tada je tangenta u ovoj točki okomita linija dana jednadžbom

x = x_0.

Komentar

Iz definicije izravno proizlazi da graf tangente prolazi točkom $(x_0,f(x_0))$ . Kutak $\alfa$ između tangente na krivulju i osi Ox zadovoljava jednadžbu

$\ime operatera(tg)\,\alpha = f"(x_0)= k,$

Gdje $\ime operatera(tg)$ označava tangentu, i $\ime operatera (k)$ - koeficijent nagiba tangente. Derivacija u točki $x_0$ jednaka nagibu tangente na graf funkcije $y = f(x)$ u ovom trenutku.

Tangenta kao granični položaj sekante

Neka $f\točka U(x_0) \do \R$ I $x_1 \u U(x_0).$ Zatim ravna linija koja prolazi kroz točke $(x_0,f(x_0))$ I $(x_1,f(x_1))$ zadan jednadžbom

$y = f(x_0) + \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0)(x-x_0).$

Ovaj pravac prolazi točkom $(x_0,f(x_0))$ za bilo koga $x_1\u U(x_0),$ i njegov kut nagiba $\alpha(x_1)$ zadovoljava jednadžbu

$\ime operatera(tg)\,\alpha(x_1) = \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0).$

Zbog postojanja funkcije izvoda $f$ u točki $x_0,$ ide do granice na $x_1 \ do x_0,$ nalazimo da postoji granica

$\lim\limits_(x_1 \to x_0) \operatorname(tg)\,\alpha(x_1) = f"(x_0),$

a zbog neprekidnosti arktangensa i graničnog kuta

$\alpha = \imeoperatora(arctg)\,f"(x_0).$

Pravac koji prolazi točkom $(x_0,f(x_0))$ i koji ima maksimalni kut nagiba koji zadovoljava $\ime operatera(tg)\,\alpha = f"(x_0),$ dana je jednadžbom tangente:

$y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0).$

Tangenta na kružnicu

Pravac koji s kružnicom ima jednu zajedničku točku i s njom leži u istoj ravnini naziva se tangenta na kružnicu.

Svojstva

Tangenta na kružnicu je okomita na polumjer povučen u točku dodirivanja.
Tangentni segmenti na kružnicu povučeni iz jedne točke jednaki su i čine jednake kutove s ravnom crtom koja prolazi kroz tu točku i središte kružnice.
Duljina tangentnog segmenta povučena na kružnicu jediničnog polumjera, uzeta između točke dodirivanja i točke presjeka tangente sa zrakom povučenom iz središta kružnice, tangens je kuta između te zrake i smjer od središta kružnice do dodirne točke. "Tangenta" od lat. tangente- "tangenta".

Varijacije i generalizacije

Jednostrane polutangente

Ako postoji prava derivacija $f"_+(x_0)< \infty,$ Da desna polutangenta na graf funkcije $f$ u točki $x_0$ zove zraka

y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x\geqslant x_0.

Ako postoji lijeva derivacija $f"_-(x_0)< \infty,$ Da lijeva polutangenta na graf funkcije $f$ u točki $x_0$ zove zraka

y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.

Ako postoji beskonačna desna derivacija $f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ $f$ u točki $x_0$ zove zraka

x = x_0,\;  y\geqslant f(x_0)\;  (y \leqslant f(x_0)).

Ako postoji beskonačna lijeva derivacija $f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ zatim desna polutangenta na graf funkcije $f$ u točki $x_0$ zove zraka

x = x_0,\;  y \leqslant f(x_0)\;  (y \geqslant f(x_0)).

vidi također

Normalno, binormalno

Napišite recenziju o članku "Tangencijalna linija"

Književnost

Toponogov V. A. Diferencijalna geometrija krivulja i ploha. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
// Enciklopedijski rječnik Brockhausa i Efrona: u 86 svezaka (82 sveska i 4 dodatna). - St. Petersburg. , 1890-1907.

Odlomak koji karakterizira tangentu

- Na mjestima! - vikao je mladi časnik na vojnike okupljene oko Pierrea. Taj je mladi časnik, očito, prvi ili drugi put ispunjavao svoju dužnost i stoga se prema vojnicima i prema zapovjedniku odnosio s posebnom jasnoćom i formalnošću.
Kotrljajuća paljba topova i pušaka pojačala se po čitavom polju, posebno lijevo, gdje su bili Bagrationovi bljeskovi, ali zbog dima pucnjeva nije se moglo vidjeti gotovo ništa s mjesta gdje je bio Pierre. Štoviše, promatranje naizgled obiteljskog (odvojenog od svih ostalih) kruga ljudi koji su bili na bateriji zaokupilo je svu Pierreovu pažnju. Njegovo prvo nesvjesno radosno uzbuđenje, izazvano prizorom i zvukovima bojnog polja, sada je, osobito nakon pogleda na ovog usamljenog vojnika kako leži na livadi, zamijenio drugi osjećaj. Sjedeći sada na padini jarka, promatrao je lica koja su ga okruživala.
Do deset sati već je dvadeset ljudi odneseno iz baterije; dvije puške su bile razbijene, granate su sve češće pogađale bateriju, a dalekometni meci su dolijetali, zujeći i fijučući. Ali ljudi koji su bili kod baterije kao da to nisu primijetili; Veseli razgovor i šale čule su se sa svih strana.
- Kinenka! - vikao je vojnik na približavajuću se granatu koja je letjela uz zvižduk. - Ne ovdje! U pješaštvo! – kroz smijeh je dodao drugi, primijetivši da je granata preletjela i pogodila zaklonske redove.
- Koji prijatelj? - smijao se drugi vojnik čovjeku koji je čučao ispod letećeg topovskog zrna.
Nekoliko vojnika okupilo se na bedemu, gledajući što se događa ispred.
“I skinuli su lanac, vidite, vratili su se”, rekli su, pokazujući preko okna.
“Gledajte svoj posao”, viknuo im je stari dočasnik. "Vratili smo se, pa je vrijeme da se vratimo." - I podoficir, uhvativši jednoga vojnika za rame, gurne ga koljenom. Čuo se smijeh.
- Otkotrljajte se prema petoj puški! - vikali su s jedne strane.
“Odmah, prijateljskije, burlački”, začuli su se veseli povici onih koji su mijenjali oružje.
"Oh, skoro sam srušio šešir našem gospodaru", nasmijao se crveni šaljivdžija Pierreu, pokazujući zube. “Eh, nespretno”, dodao je prijekorno na topovsko zrno koje je pogodilo kotač i čovjekovu nogu.
- Hajde, lisice! - smijao se drugi pognutim milicajcima koji su ulazili u bateriju iza ranjenika.
- Nije li kaša ukusna? O, vrane, klali su! - vikali su na miliciju, koja je oklijevala pred vojnikom s odsječenom nogom.
"Još nešto, mali", oponašali su muškarce. – Oni ne vole strast.
Pierre je primijetio kako se nakon svakog pogođenog topovskog zrna, nakon svakog gubitka, sve više rasplamsavalo opće oživljavanje.
Kao iz grmljavinskog oblaka koji se sve više približavao, sve su češće, sve jače i jače, munje skrivene, plamteće vatre bljeskale po licima svih tih ljudi (kao u znak otpora onome što se događalo).
Pierre se nije veselio bojnom polju i nije ga zanimalo što se tamo događa: bio je potpuno zadubljen u razmišljanje o ovoj sve jače rasplamsanoj vatri, koja je na isti način (on je osjećao) plamtjela u njegovoj duši.
U deset sati pješaci koji su bili ispred baterije u grmlju i uz rijeku Kamenku povukli su se. Iz baterije se vidjelo kako trče nazad pored nje noseći ranjenike na puškama. Neki general sa svojom pratnjom ušao je u humak i, nakon razgovora s pukovnikom, ljutito pogledao Pierrea, ponovno sišao, naredivši pješačkom zaklonu iza baterije da legne kako bi bio manje izložen hicima. Nakon toga u redovima pješaštva, desno od baterije, začuo se bubanj i zapovjedni povici, a iz baterije se vidjelo kako se redovi pješaštva kreću naprijed.
Pierre je pogledao kroz okno. Jedno mu je lice posebno zapelo za oko. Bio je to časnik koji je, blijeda mladog lica, hodao unatrag, noseći spušteni mač, i nelagodno se osvrtao oko sebe.
Redovi vojnika pješaštva nestali su u dimu, a mogli su se čuti njihovi dugotrajni krici i česta pucnjava. Nekoliko minuta kasnije odatle su prolazile gomile ranjenika i nosila. Granate su sve češće počele pogađati bateriju. Nekoliko ljudi ležalo je neočišćeno. Vojnici su se radije i življe kretali oko topova. Nitko više nije obraćao pozornost na Pierrea. Jednom ili dvaput bijesno su vikali na njega što je na cesti. Viši časnik, namrgođena lica, krupnim je, brzim koracima prelazio s jednog pištolja na drugi. Mladi časnik, još više rumen, zapovijedao je vojnicima još revnije. Vojnici su pucali, okretali se, punili i obavljali svoj posao s napetom mukom. Poskakivale su u hodu, kao na oprugama.

Sekanta, tangenta - sve se to moglo čuti stotinama puta na satovima geometrije. Ali završetak škole je iza nas, godine prolaze, a sva ta znanja se zaboravljaju. Što biste trebali zapamtiti?

Esencija

Izraz "tangenta na krug" vjerojatno je svima poznat. Ali malo je vjerojatno da će svi moći brzo formulirati njegovu definiciju. U međuvremenu, tangenta je ravna crta koja leži u istoj ravnini kao i kružnica koja je siječe samo u jednoj točki. Može ih biti ogroman broj, ali svi imaju ista svojstva, o čemu će biti riječi u nastavku. Kao što možda pretpostavljate, dodirna točka je mjesto gdje se sijeku kružnica i pravac. U svakom konkretnom slučaju postoji samo jedan, ali ako ih je više, onda će to biti sekans.

Povijest otkrića i proučavanja

Pojam tangente pojavio se u antičko doba. Konstrukcija ovih ravnih linija, najprije u krug, a zatim u elipse, parabole i hiperbole pomoću ravnala i šestara, provedena je u početnim fazama razvoja geometrije. Naravno, povijest nije sačuvala ime pronalazača, ali je očito da su već u to vrijeme ljudi bili prilično upoznati sa svojstvima tangente na kružnicu.

U moderno doba ponovno se rasplamsao interes za ovaj fenomen – započeo je novi krug proučavanja ovog koncepta u kombinaciji s otkrivanjem novih krivulja. Tako je Galileo uveo pojam cikloide, a Fermat i Descartes konstruirali su joj tangentu. Što se krugova tiče, čini se da za starce na ovim prostorima više nema tajni.

Svojstva

Radijus nacrtan na točku sjecišta bit će ovo

glavno, ali ne i jedino svojstvo koje ima tangenta na kružnicu. Druga važna značajka uključuje dvije ravne linije. Dakle, kroz jednu točku koja leži izvan kruga, mogu se povući dvije tangente, a njihovi segmenti će biti jednaki. Postoji još jedan teorem o ovoj temi, ali se rijetko poučava kao dio standardnog školskog tečaja, iako je izuzetno zgodan za rješavanje nekih problema. Zvuči ovako. Iz jedne točke koja se nalazi izvan kružnice, na nju su povučene tangenta i sekanta. Nastaju segmenti AB, AC i AD. A je sjecište pravaca, B je dodirna točka, C i D su sjecišta. U tom će slučaju vrijediti sljedeća jednakost: duljina tangente na kvadrat kruga bit će jednaka umnošku odsječaka AC i AD.

Postoji važna posljedica gore navedenog. Za svaku točku na kružnici možete konstruirati tangentu, ali samo jednu. Dokaz za to je vrlo jednostavan: teoretski spuštajući okomicu s polumjera na njega, saznajemo da formirani trokut ne može postojati. A to znači da je tangenta jedina.

Izgradnja

Među ostalim problemima u geometriji postoji posebna kategorija, u pravilu, ne

koju vole učenici i studenti. Za rješavanje zadataka iz ove kategorije potrebni su vam samo šestar i ravnalo. Ovo su konstrukcijski zadaci. Postoje i oni za konstruiranje tangente.

Dakle, dana je kružnica i točka koja leži izvan njenih granica. I kroz njih je potrebno nacrtati tangentu. Kako to učiniti? Prije svega, potrebno je nacrtati segment između središta kružnice O i zadane točke. Zatim ga šestarom podijelite na pola. Da biste to učinili, morate postaviti radijus - nešto više od polovice udaljenosti između središta izvornog kruga i ove točke. Nakon toga trebate izgraditi dva luka koja se presijecaju. Štoviše, radijus kompasa ne treba mijenjati, a središte svakog dijela kruga bit će izvorna točka odnosno O. Sjecišta lukova moraju biti spojena, što će segment podijeliti na pola. Postavite radijus na kompasu jednak ovoj udaljenosti. Zatim konstruirajte još jedan krug sa središtem u točki sjecišta. I izvorna točka i O će ležati na njoj. U ovom slučaju će biti još dva sjecišta s kružnicom zadanom u zadatku. Oni će biti kontaktne točke za prvobitno određenu točku.

Konstrukcija tangenti na kružnicu dovela je do rođenja

diferencijalni račun. Prvi rad na ovu temu objavio je slavni njemački matematičar Leibniz. Omogućila je mogućnost pronalaženja maksimuma, minimuma i tangenti bez obzira na frakcijske i iracionalne veličine. Pa, sada se koristi za mnoge druge izračune.

Osim toga, tangenta na kružnicu povezana je s geometrijskim značenjem tangente. Odatle dolazi i naziv. Prevedeno s latinskog tangens znači "tangenta". Stoga je ovaj koncept povezan ne samo s geometrijom i diferencijalnim računom, već i s trigonometrijom.

Dva kruga

Tangenta ne utječe uvijek samo na jednu figuru. Ako se na jedan krug može povući ogroman broj ravnih linija, zašto ne bi i obrnuto? Limenka. Ali zadatak u ovom slučaju postaje ozbiljno kompliciran, jer tangenta na dvije kružnice možda neće prolaziti ni kroz jednu točku, a relativni položaj svih tih figura može biti vrlo

drugačiji.

Vrste i sorte

Kada govorimo o dvije kružnice i jednoj ili više ravnih linija, čak i ako se zna da su to tangente, nije odmah jasno kako se sve te figure nalaze jedna u odnosu na drugu. Na temelju toga razlikuje se nekoliko sorti. Dakle, krugovi mogu imati jednu ili dvije zajedničke točke ili ih uopće ne imati. U prvom slučaju će se presijecati, au drugom će se dodirivati. I ovdje se razlikuju dvije varijante. Ako je jedan krug, takoreći, ugrađen u drugi, tada se tangencija naziva unutarnjom, ako ne, onda vanjskom. Možete razumjeti relativni položaj figura ne samo na temelju crteža, već i na temelju informacija o zbroju njihovih radijusa i udaljenosti između njihovih središta. Ako su te dvije količine jednake, tada se kružići dodiruju. Ako je prvi veći, sijeku se, a ako je manji, onda nemaju zajedničkih točaka.

Isto s ravnim linijama. Za bilo koje dvije kružnice koje nemaju zajedničkih točaka, možete

konstruirajte četiri tangente. Dva od njih će se presijecati između figura, nazivaju se unutarnjim. Par drugih su vanjski.

Ako govorimo o kružnicama koje imaju jednu zajedničku točku, onda je problem uvelike pojednostavljen. Činjenica je da će, bez obzira na njihov međusobni položaj, u ovom slučaju imati samo jednu tangentu. I proći će kroz točku njihova sjecišta. Dakle, izgradnja neće biti teška.

Ako figure imaju dvije točke sjecišta, tada se za njih može konstruirati ravna linija, tangentna na kružnicu i jedne i druge, ali samo vanjske. Rješenje ovog problema je slično onome što će biti objašnjeno u nastavku.

Rješavanje problema

I unutarnju i vanjsku tangentu na dvije kružnice nije tako jednostavno konstruirati, iako se ovaj problem može riješiti. Činjenica je da se za to koristi pomoćna figura, tako da ovu metodu morate smisliti sami

dosta problematično. Dakle, zadane su dvije kružnice s različitim polumjerima i središtima O1 i O2. Za njih trebate konstruirati dva para tangenti.

Prije svega, morate izgraditi pomoćni blizu središta većeg kruga. U tom slučaju na šestaru treba utvrditi razliku polumjera dvaju početnih likova. Iz središta manje kružnice konstruiraju se tangente na pomoćnu kružnicu. Nakon toga povlače se okomice od O1 i O2 do ovih linija dok se ne sijeku s izvornim figurama. Kao što slijedi iz osnovnog svojstva tangente, tražene točke na obje kružnice su pronađene. Problem je riješen, barem prvi dio.

Da biste konstruirali unutarnje tangente, morat ćete riješiti praktično

sličan zadatak. Opet će vam trebati pomoćna figura, ali ovaj put će njen radijus biti jednak zbroju originalnih. Na njega se konstruiraju tangente iz središta jedne od tih kružnica. Daljnji tijek rješenja može se shvatiti iz prethodnog primjera.

Tangenta na krug ili čak dva ili više nije tako težak zadatak. Naravno, matematičari su odavno prestali ručno rješavati takve probleme i povjerili izračune posebnim programima. Ali ne biste trebali misliti da sada ne morate to učiniti sami, jer da biste pravilno formulirali zadatak za računalo, morate puno učiniti i razumjeti. Nažalost, postoji bojazan da će nakon konačnog prelaska na testni oblik provjere znanja, konstrukcijski zadaci učenicima stvarati sve više poteškoća.

Što se tiče pronalaženja zajedničkih tangenti za veći broj kružnica, to nije uvijek moguće, čak i ako leže u istoj ravnini. Ali u nekim slučajevima možete pronaći takvu ravnu liniju.

Primjeri iz života

Zajednička tangenta na dvije kružnice često se pojavljuje u praksi, iako to nije uvijek vidljivo. Pokretne trake, blok sustavi, prijenosni remeni s remenicama, napetost konca u šivaćem stroju, pa čak i samo lanac bicikla - sve su to primjeri iz stvarnog života. Stoga nemojte misliti da geometrijski problemi ostaju samo u teoriji: u tehnici, fizici, građevinarstvu i mnogim drugim područjima oni nalaze praktičnu primjenu.

Direktno ( MN), koja ima samo jednu zajedničku točku s krugom ( A), zove se tangens u krug.

U ovom slučaju naziva se zajednička točka točka kontakta.

Mogućnost postojanja tangens, i, štoviše, povučen kroz bilo koju točku krug, kao dodirna točka, dokazuje se na sljedeći način teorema.

Neka se zahtijeva da se izvrši krug sa središtem O tangens kroz točku A. Da biste to učinili s točke A, kao iz središta, opisujemo luk radius A.O., a od točke O, kao središte, siječemo ovaj luk u točkama B I S rješenje šestara jednako promjeru zadane kružnice.

Nakon trošenja tada akordi O.B. I OS, spojite točku A s točkicama D I E, na kojoj se ove tetive sijeku s danom kružnicom. Direktno OGLAS I A.E. - tangente na kružnicu O. Dapače, iz konstrukcije je jasno da trokuta AOB I AOC jednakokračan(AO = AB = AC) s bazama O.B. I OS, jednak promjeru kruga O.

Jer O.D. I O.E.- radijusi, dakle D - sredini O.B., A E- sredina OS, Sredstva OGLAS I A.E. - medijani, povučene na osnovice jednakokračnih trokuta, i stoga okomite na te baze. Ako je ravno D.A. I E.A. okomito na radijuse O.D. I O.E., onda oni - tangente.

Posljedica.

Dvije tangente povučene iz jedne točke na kružnicu jednake su i tvore jednake kutove s ravnom linijom koja povezuje tu točku sa središtem.

Tako AD=AE i ∠ OAD = ∠OAE jer pravokutni trokuti AOD I AOE, imajući zajedničku hipotenuza A.O. i jednaki noge O.D. I O.E.(kao radijusi) su jednaki. Imajte na umu da ovdje riječ "tangenta" zapravo znači " tangentni segment” od zadane točke do točke kontakta.