Teoremi o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava. Princip mogućih kretanja

Sustav o kojem se govori u teoremu može biti bilo koji mehanički sustav koji se sastoji od bilo kojeg tijela.

Izjava teorema

Količina gibanja (impulsa) mehaničkog sustava je veličina jednaka zbroju količina gibanja (impulsa) svih tijela uključenih u sustav. Impuls vanjskih sila koje djeluju na tijela sustava zbroj je impulsa svih vanjskih sila koje djeluju na tijela sustava.

( kg m/s)

Teorem o promjeni količine gibanja stanja sustava

Promjena količine gibanja sustava u određenom vremenskom razdoblju jednaka je impulsu vanjskih sila koje djeluju na sustav u istom vremenskom razdoblju.

Zakon očuvanja količine gibanja sustava

Ako je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli, tada je količina gibanja (količina gibanja) sustava konstantna veličina.

, dobivamo izraz teorema o promjeni količine gibanja sustava u diferencijalnom obliku:

Integrirajući obje strane rezultirajuće jednakosti tijekom proizvoljno uzetog vremenskog razdoblja između nekih i , dobivamo izraz teorema o promjeni količine gibanja sustava u integralnom obliku:

Zakon očuvanja količine gibanja (Zakon očuvanja količine gibanja) kaže da je vektorski zbroj impulsa svih tijela sustava konstantna vrijednost ako je vektorski zbroj vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli.

(moment količine gibanja m 2 kg s −1)

Teorem o promjeni kutne količine gibanja u odnosu na središte

vremenska derivacija momenta količine gibanja (kinetičkog momenta) materijalne točke u odnosu na bilo koje fiksno središte jednaka je momentu sile koja djeluje na točku u odnosu na isto središte.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Teorem o promjeni kutne količine gibanja u odnosu na os

vremenska derivacija momenta količine gibanja (kinetičkog momenta) materijalne točke u odnosu na bilo koju fiksnu os jednaka je momentu sile koja djeluje na tu točku u odnosu na istu os.

dk x /dt = M x (F ); dk g /dt = M g (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Razmotrimo materijalnu točku M masa m , krećući se pod utjecajem sile F (Slika 3.1). Zapišimo i konstruirajmo vektor kutne količine gibanja (kinetičke količine gibanja) M 0 materijalna točka u odnosu na središte O :

Razlikujmo izraz za kutni moment (kinetički moment k 0) po vremenu:

Jer dr /dt = V , zatim vektorski produkt V ⊗ m ⋅ V (kolinearni vektori V I m ⋅ V ) jednaka je nuli. U isto vrijeme d(m ⋅ V) /dt = F prema teoremu o momentu količine gibanja materijalne točke. Stoga to dobivamo

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Gdje r ⊗F = M 0 (F ) – vektor-moment sile F u odnosu na fiksni centar O . Vektor k 0 ⊥ ravnina ( r , m ⊗V ), i vektor M 0 (F ) ⊥ avion ( r ,F ), konačno imamo

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Jednadžba (3.4) izražava teorem o promjeni kutne količine gibanja (kutne količine gibanja) materijalne točke u odnosu na središte: vremenska derivacija momenta količine gibanja (kinetičkog momenta) materijalne točke u odnosu na bilo koje fiksno središte jednaka je momentu sile koja djeluje na točku u odnosu na isto središte.

Projiciranjem jednakosti (3.4) na osi Kartezijevih koordinata dobivamo

dk x /dt = M x (F ); dk g /dt = M g (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Jednadžbe (3.5) izražavaju teorem o promjeni kutne količine gibanja (kinetičke količine gibanja) materijalne točke u odnosu na os: vremenska derivacija momenta količine gibanja (kinetičkog momenta) materijalne točke u odnosu na bilo koju fiksnu os jednaka je momentu sile koja djeluje na tu točku u odnosu na istu os.

Razmotrimo posljedice koje slijede iz teorema (3.4) i (3.5).

Korolar 1. Razmotrimo slučaj kada sila F tijekom cijelog kretanja točka prolazi kroz stacionarno središte O (slučaj centralne sile), tj. Kada M 0 (F ) = 0. Tada iz teorema (3.4) slijedi da je k 0 = konst ,

oni. u slučaju središnje sile, kutni moment (kinetički moment) materijalne točke u odnosu na središte te sile ostaje konstantan po veličini i smjeru (slika 3.2).

Slika 3.2

Od stanja k 0 = konst slijedi da je putanja pokretne točke ravna krivulja, čija ravnina prolazi kroz središte te sile.

Korolar 2. Neka M z (F ) = 0, tj. sila prelazi os z ili paralelno s njim. U ovom slučaju, kao što se može vidjeti iz treće jednadžbe (3.5), k z = konst ,

oni. ako je moment sile koji djeluje na točku u odnosu na bilo koju fiksnu os uvijek jednak nuli, tada kutni moment (kinetički moment) točke u odnosu na tu os ostaje konstantan.

Dokaz teorema o promjeni količine gibanja

Neka se sustav sastoji od materijalnih točaka s masama i akceleracijama. Sve sile koje djeluju na tijela sustava dijelimo u dvije vrste:

Vanjske sile su sile koje djeluju iz tijela koja nisu uključena u razmatrani sustav. Rezultanta vanjskih sila koje djeluju na materijalnu točku s brojem ja označimo

Unutarnje sile su sile kojima tijela samog sustava međusobno djeluju. Sila kojom na točku s brojem ja vrijedi točka s brojem k, označit ćemo , a snagu utjecaja ja th točka na k th točka - . Očito, kada , tada

Koristeći uvedenu notaciju, zapisujemo drugi Newtonov zakon za svaku od razmatranih materijalnih točaka u obliku

S obzirom na to i zbrajajući sve jednadžbe drugog Newtonovog zakona, dobivamo:

Izraz predstavlja zbroj svih unutarnjih sila koje djeluju u sustavu. Prema Newtonovom trećem zakonu, u ovom zbroju, svaka sila odgovara sili tako da, prema tome, vrijedi Budući da se cijeli zbroj sastoji od takvih parova, sam zbroj je nula. Dakle, možemo pisati

Koristeći oznaku količine gibanja sustava dobivamo

Uvodeći u razmatranje promjenu momenta količine gibanja vanjskih sila , dobivamo izraz teorema o promjeni količine gibanja sustava u diferencijalnom obliku:

Dakle, svaka od posljednjih dobivenih jednadžbi dopušta nam da kažemo: promjena momenta količine gibanja sustava događa se samo kao rezultat djelovanja vanjskih sila, a unutarnje sile ne mogu utjecati na tu vrijednost.

Integrirajući obje strane dobivene jednakosti u proizvoljno uzetom vremenskom intervalu između nekih i , dobivamo izraz teorema o promjeni momenta količine gibanja sustava u integralnom obliku:

gdje su i vrijednosti količine gibanja sustava u trenucima vremena i, odnosno, i je impuls vanjskih sila u određenom vremenskom razdoblju. Sukladno prethodno rečenom i uvedenim oznakama,

Na isti način kao i za jednu materijalnu točku, izvest ćemo teorem o promjeni količine gibanja za sustav u različitim oblicima.

Transformirajmo jednadžbu (teorem o gibanju centra mase mehaničkog sustava)

na sljedeći način:

;

;

Rezultirajuća jednadžba izražava teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava u diferencijalnom obliku: derivacija količine gibanja mehaničkog sustava u odnosu na vrijeme jednaka je glavnom vektoru vanjskih sila koje djeluju na sustav .

U projekcijama na Kartezijeve koordinatne osi:

; ; .

Uzimajući integrale obiju strana zadnje jednadžbe tijekom vremena, dobivamo teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava u integralnom obliku: promjena količine gibanja mehaničkog sustava jednaka je količini gibanja glavnog vektora vanjske sile koje djeluju na sustav .

.

Ili u projekcijama na Kartezijeve koordinatne osi:

; ; .

Korolari iz teorema (zakoni očuvanja količine gibanja)

Zakon o održanju količine gibanja dobiva se kao posebni slučaj teorema o promjeni količine gibanja za sustav ovisno o karakteristikama sustava vanjskih sila. Unutarnje sile mogu biti bilo koje, budući da ne utječu na promjene količine gibanja.

Dva su moguća slučaja:

1. Ako je vektorski zbroj svih vanjskih sila primijenjenih na sustav jednak nuli, tada je količina gibanja sustava konstantna po veličini i smjeru

2. Ako je projekcija glavnog vektora vanjskih sila na bilo koju koordinatnu os i/ili i/ili jednaka nuli, tada je projekcija količine gibanja na te iste osi konstantna vrijednost, tj. i/ili i/ili respektivno.

Slični unosi mogu se napraviti za materijalnu točku i za materijalnu točku.

Zadatak. Iz pištolja čija masa M, projektil mase izleti u vodoravnom smjeru m s brzinom v. Pronađite brzinu V puške nakon pucanja.

Riješenje. Sve vanjske sile koje djeluju na mehanički sustav oružje-projektil su okomite. To znači da na temelju korolarne teorema o promjeni količine gibanja sustava imamo: .

Količina kretanja mehaničkog sustava prije paljenja:

Količina kretanja mehaničkog sustava nakon hica:

.

Izjednačavanjem desnih strana izraza dobivamo to

.

Znak "-" u dobivenoj formuli označava da će se nakon opaljenja pištolj vratiti u smjeru suprotnom od osi Vol.

PRIMJER 2. Mlaz tekućine gustoće teče brzinom V iz cijevi površine presjeka F i pod kutom udara u okomitu stijenku. Odredite pritisak tekućine na stijenku.

RIJEŠENJE. Primijenimo teorem o promjeni količine gibanja u integralnom obliku na volumen tekućine s masom m udaranje u zid tijekom određenog vremenskog razdoblja t.

JEDNADŽBA MESHCHERSKOG

(osnovna jednadžba dinamike tijela promjenjive mase)

U suvremenoj tehnologiji javljaju se slučajevi kada masa točke i sustava tijekom kretanja ne ostaje konstantna, već se mijenja. Tako, primjerice, tijekom leta svemirskih raketa, zbog izbacivanja produkata izgaranja i pojedinih nepotrebnih dijelova rakete, promjena mase doseže 90-95% ukupne početne vrijednosti. Ali ne može samo svemirska tehnologija biti primjer dinamike promjenjivog gibanja mase. U tekstilnoj industriji dolazi do značajnih promjena u masi raznih vretena, bobina, valjaka pri suvremenim brzinama rada strojeva i strojeva.

Razmotrimo glavne značajke povezane s promjenama mase na primjeru translatornog gibanja tijela promjenjive mase. Osnovni zakon dinamike ne može se izravno primijeniti na tijelo promjenjive mase. Stoga dobivamo diferencijalne jednadžbe gibanja točke promjenjive mase primjenom teorema o promjeni količine gibanja sustava.

Neka točka ima masu m+dm kreće se brzinom. Tada se određena čestica s masom odvoji od točke dm krećući se brzinom.

Količina gibanja tijela prije nego što se čestica odvoji:

Količina gibanja sustava koji se sastoji od tijela i odvojene čestice nakon njezina odvajanja:

Zatim promjena momenta:

Na temelju teorema o promjeni količine gibanja sustava:

Označimo veličinu - relativnu brzinu čestice:

Označimo

Veličina R naziva se reaktivna sila. Reaktivna sila je potisak motora izazvan izbacivanjem plina iz mlaznice.

Napokon dobivamo

-

Ova formula izražava osnovnu jednadžbu dinamike tijela promjenljive mase (formula Meščerskog). Iz posljednje formule proizlazi da diferencijalne jednadžbe gibanja točke promjenjive mase imaju isti oblik kao i za točku stalne mase, osim dodatne reaktivne sile koja djeluje na točku zbog promjene mase.

Osnovna jednadžba za dinamiku tijela promjenjive mase pokazuje da se ubrzanje ovog tijela formira ne samo zbog vanjskih sila, već i zbog reaktivne sile.

Reaktivna sila je sila slična onoj koju osjeća osoba koja puca - kod pucanja iz pištolja osjeća je ruka; Prilikom pucanja iz puške, percipira se ramenom.

Prva formula Ciolkovskog (za jednostupanjsku raketu)

Neka se točka promjenljive mase ili raketa gibaju pravocrtno pod utjecajem samo jedne reaktivne sile. Budući da je za mnoge moderne mlazne motore, gdje je maksimalna reaktivna sila (potisak motora) dopuštena konstrukcijom motora; - sila gravitacije koja djeluje na motor koji se nalazi na zemljinoj površini. Oni. gore navedeno nam omogućuje da zanemarimo komponentu u jednadžbi Meshcherskyja i prihvatimo ovu jednadžbu u obliku za daljnju analizu: ,

Označimo:

Rezerva goriva (za tekuće mlazne motore - suha masa rakete (njena preostala masa nakon izgaranja sveg goriva);

Masa čestica odvojenih od rakete; smatra se promjenjivom vrijednošću koja varira od do .

Napišimo jednadžbu pravocrtnog gibanja točke promjenljive mase u sljedećem obliku:

Budući da je formula za određivanje promjenjive mase rakete

Stoga jednadžbe gibanja točke Uzimajući integrale obiju strana dobivamo

Gdje - karakteristična brzina- to je brzina koju raketa dobije pod utjecajem potiska nakon što su sve čestice izbačene iz rakete (za tekuće mlazne motore - nakon što izgori svo gorivo).

Izvan znaka integrala (što se može učiniti na temelju teorema srednje vrijednosti poznatog iz više matematike) nalazi se prosječna brzina čestica izbačenih iz rakete.

Pogled: ovaj članak je pročitan 14066 puta

Pdf Odaberite jezik... Ruski Ukrajinski Engleski

Kratki osvrt

Cijeli materijal se preuzima iznad, nakon odabira jezika

Količina kretanja

Impuls materijalne točke - vektorska veličina jednaka umnošku mase točke i vektora njezine brzine.

Mjerna jedinica za količinu gibanja je (kg m/s).

Moment mehaničkog sustava - vektorska veličina jednaka geometrijskom zbroju (glavnom vektoru) količine gibanja mehaničkog sustava jednaka je umnošku mase cijelog sustava i brzine njegova središta mase.

Kada se tijelo (ili sustav) giba tako da mu središte mase miruje, tada je količina gibanja tijela jednaka nuli (na primjer, rotacija tijela oko nepomične osi koja prolazi kroz središte mase tijela ).

U slučaju složenog gibanja, količina gibanja sustava neće karakterizirati rotacijski dio gibanja pri rotaciji oko središta mase. Odnosno, količina gibanja karakterizira samo translatorno gibanje sustava (zajedno sa središtem mase).

Impulsna sila

Impuls sile karakterizira djelovanje sile u određenom vremenskom razdoblju.

Impuls sile tijekom konačnog vremenskog razdoblja definira se kao integralni zbroj odgovarajućih elementarnih impulsa.

Teorem o promjeni količine gibanja materijalne točke

(u diferencijalnim oblicima e ):

Vremenska derivacija količine gibanja materijalne točke jednaka je geometrijskom zbroju sila koje djeluju na točke.

(V integralni oblik ):

Promjena količine gibanja materijalne točke u određenom vremenskom razdoblju jednaka je geometrijskom zbroju impulsa sila koji djeluju na točku tijekom tog vremenskog razdoblja.

Teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava

(u diferencijalnom obliku ):

Vremenska derivacija količine gibanja sustava jednaka je geometrijskom zbroju svih vanjskih sila koje djeluju na sustav.

(u integralnom obliku ):

Promjena količine gibanja sustava u određenom vremenskom razdoblju jednaka je geometrijskom zbroju impulsa vanjskih sila koje djeluju na sustav u tom vremenskom razdoblju.

Teorem omogućuje isključivanje očito nepoznatih unutarnjih sila iz razmatranja.

Teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava i teorem o gibanju središta mase dva su različita oblika istog teorema.

Zakon očuvanja količine gibanja sustava

1. Ako je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli, tada će vektor količine gibanja sustava biti konstantan po smjeru i veličini.
2. Ako je zbroj projekcija svih vanjskih sila koje djeluju na bilo koju proizvoljnu os jednak nuli, tada je projekcija količine gibanja na tu os konstantna vrijednost.

zaključke:

1. Zakoni očuvanja pokazuju da unutarnje sile ne mogu promijeniti ukupnu količinu gibanja sustava.
2. Teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava ne karakterizira rotacijsko gibanje mehaničkog sustava, već samo translatorno.

Naveden je primjer: Odredite količinu gibanja diska određene mase ako su poznati njegova kutna brzina i veličina.

Primjer proračuna čeličnog zupčanika
Primjer proračuna cilindričnog zupčanika. Proveden je izbor materijala, proračun dopuštenih naprezanja, proračun kontaktne i savojne čvrstoće.

Primjer rješavanja problema savijanja grede
U primjeru su konstruirani dijagrami poprečnih sila i momenata savijanja, pronađen je opasan presjek i odabran je I-nosač. U zadatku je analizirana konstrukcija dijagrama pomoću diferencijalnih ovisnosti te je provedena komparativna analiza različitih presjeka grede.

Primjer rješavanja problema torzije vratila
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične osovine pri zadanom promjeru, materijalu i dopuštenom naprezanju. Tijekom rješavanja konstruiraju se dijagrami momenta, posmičnih naprezanja i kutova uvijanja. Vlastita težina osovine se ne uzima u obzir

Primjer rješavanja zadatka napetost-stlačenje štapa
Zadatak je ispitivanje čvrstoće čelične šipke pri zadanim dopuštenim naprezanjima. Tijekom rješavanja konstruiraju se dijagrami uzdužnih sila, normalnih naprezanja i pomaka. Vlastita težina štapa nije uzeta u obzir

Primjena teorema o održanju kinetičke energije
Primjer rješavanja zadatka pomoću teorema o održanju kinetičke energije mehaničkog sustava

Određivanje brzine i ubrzanja točke pomoću zadanih jednadžbi gibanja
Primjer rješavanja zadatka određivanja brzine i ubrzanja točke pomoću zadanih jednadžbi gibanja

Određivanje brzina i ubrzanja točaka krutog tijela tijekom planparalelnog gibanja
Primjer rješavanja zadatka određivanja brzina i ubrzanja točaka krutog tijela tijekom planparalelnog gibanja

Određivanje sila u šipkama ravne rešetke
Primjer rješavanja problema određivanja sila u šipkama ravne rešetke metodom Ritter i metodom rezanja čvorova

Primjena teorema o promjeni kutne količine gibanja
Primjer rješavanja zadatka pomoću teorema o promjeni kinetičke količine gibanja za određivanje kutne brzine tijela koje rotira oko nepomične osi.

(Fragmenti matematičke simfonije)

Veza između impulsa sile i osnovne jednadžbe Newtonove dinamike izražena je teoremom o promjeni količine gibanja materijalne točke.

Teorema. Promjena količine gibanja materijalne točke u određenom vremenskom razdoblju jednaka je impulsu sile () koja djeluje na materijalnu točku u istom vremenskom razdoblju. Matematički dokaz ovog teorema može se nazvati fragmentom matematičke simfonije. Evo ga.

Diferencijalna količina gibanja materijalne točke jednaka je elementarnom impulsu sile koja djeluje na materijalnu točku. Integrirajući izraz (128) za diferencijalnu količinu gibanja materijalne točke, imamo

(129)

Teorem je dokazan i matematičari svoju misiju smatraju završenom, ali inženjeri, čija je sudbina da sveto vjeruju matematičarima, imaju pitanja kada koriste dokazanu jednadžbu (129). Ali oni su čvrsto blokirani slijedom i ljepotom matematičkih operacija (128 i 129), koje nas fasciniraju i potiču da ih nazovemo fragmentom matematičke simfonije. Koliko se generacija inženjera slagalo s matematičarima i bilo zadivljeno misterijom njihovih matematičkih simbola! Ali tu je bio jedan inženjer koji se nije slagao s matematičarima i postavljao im je pitanja.

Dragi matematičari! Zašto nijedan od vaših udžbenika teorijske mehanike ne govori o procesu primjene vašeg simfonijskog rezultata (129) u praksi, na primjer, kada se opisuje proces ubrzavanja automobila? Lijeva strana jednadžbe (129) vrlo je jasna. Automobil počinje ubrzavanje od brzine i završava ga, na primjer, pri brzini. Sasvim je prirodno da jednadžba (129) postaje

I odmah se postavlja prvo pitanje: kako iz jednadžbe (130) odrediti silu pod čijim se utjecajem automobil ubrzava do brzine od 10 m/s? Odgovor na ovo pitanje ne nalazimo ni u jednom od bezbrojnih udžbenika teorijske mehanike. Idemo dalje. Nakon ubrzanja automobil se počinje gibati jednoliko brzinom 10 m/s. Koja sila pokreće automobil?????????? Ne preostaje mi ništa drugo nego crvenjeti zajedno s matematičarima. Prvi zakon Newtonove dinamike kaže da kada se automobil kreće jednoliko, na njega ne djeluju nikakve sile, a automobil, slikovito rečeno, kiha na taj zakon, troši benzin i obavlja rad, prevalivši, primjerice, put od 100 km. Gdje je sila koja je izvršila rad da se automobil pomakne 100 km? Simfonijska matematička jednadžba (130) šuti, ali život ide dalje i traži odgovor. Počinjemo ga tražiti.

Budući da se automobil giba pravocrtno i jednoliko, sila koja ga pokreće je konstantna po veličini i smjeru i jednadžba (130) postaje

(131)

Dakle, jednadžba (131) u ovom slučaju opisuje ubrzano gibanje tijela. Čemu je jednaka sila? Kako izraziti njegovu promjenu kroz vrijeme? Matematičari radije zaobilaze ovo pitanje i prepuštaju ga inženjerima, smatrajući da oni moraju tražiti odgovor na to pitanje. Inženjerima preostaje samo jedna mogućnost - uzeti u obzir da ako nakon završetka ubrzanog gibanja tijela nastupi faza jednolikog gibanja koju prati djelovanje konstantne sile, predstaviti jednadžbu (131) za trenutak prijelaza iz ubrzanog u jednoliko gibanje u ovom obliku

(132)

Strelica u ovoj jednadžbi ne označava rezultat integriranja ove jednadžbe, već proces prijelaza iz njenog integralnog oblika u pojednostavljeni oblik. Sila u ovoj jednadžbi je ekvivalentna prosječnoj sili koja je promijenila količinu gibanja tijela od nule do konačne vrijednosti. Dakle, dragi matematičari i teorijski fizičari, nepostojanje vaše metode za određivanje veličine vašeg impulsa tjera nas da pojednostavimo proceduru za određivanje sile, a nepostojanje metode za određivanje vremena djelovanja ove sile općenito nas stavlja u bezizlazan položaj te smo prisiljeni upotrijebiti izraz za analizu procesa promjene količine gibanja tijela . Rezultat je da što dulje sila djeluje, to je njen impuls veći. To jasno proturječi dugo uvriježenoj ideji da što je kraće trajanje njegovog djelovanja, to je veći impuls sile.

Skrenimo pozornost da se promjena količine gibanja materijalne točke (impuls sile) tijekom njezina ubrzanog gibanja događa pod djelovanjem Newtonove sile i sila otpora gibanju, u obliku sila koje stvaraju mehanički otpori i sila inercije. Ali Newtonova dinamika u velikoj većini problema zanemaruje silu tromosti, a Mehanodinamika tvrdi da do promjene količine gibanja tijela tijekom njegovog ubrzanog gibanja dolazi zbog viška Newtonove sile nad silama otpora gibanju, uključujući sila inercije.

Kad se tijelo giba usporeno, npr. automobil s isključenim mjenjačem, nema Newtonove sile, a do promjene količine gibanja automobila dolazi zbog viška sila otpora gibanju nad silom inercija, koja pokreće automobil kada se kreće sporo.

Kako sada možemo vratiti rezultate spomenutih "simfonijskih" matematičkih radnji (128) u glavni tok uzročno-posljedičnih odnosa? Postoji samo jedan izlaz - pronaći novu definiciju pojmova "impuls sile" i "sila udara". Da biste to učinili, podijelite obje strane jednadžbe (132) s vremenom t. Kao rezultat ćemo imati

. (133)

Napomenimo da je izraz mV/t brzina promjene momenta (mV/t) materijalne točke ili tijela. Ako uzmemo u obzir da je V/t akceleracija, onda je mV/t sila koja mijenja moment količine gibanja tijela. Ista dimenzija lijevo i desno od znaka jednakosti daje nam pravo da silu F nazovemo udarnom silom i označimo simbolom, a impuls S - udarnim impulsom i označimo simbolom. To dovodi do nove definicije udarne sile. Sila udara koja djeluje na materijalnu točku ili tijelo jednaka je omjeru promjene količine gibanja materijalne točke ili tijela i vremena te promjene.

Obratimo posebnu pozornost na to da u formiranju udarnog impulsa (134) sudjeluje samo Newtonova sila koja je promijenila brzinu automobila od nule do maksimalne - , stoga jednadžba (134) u potpunosti pripada Newtonskoj dinamici. Budući da je eksperimentalno mnogo lakše odrediti veličinu brzine nego ubrzanje, formula (134) je vrlo prikladna za proračune.

Ovaj neobičan rezultat proizlazi iz jednadžbe (134).

Obratimo pozornost na činjenicu da je prema novim zakonima mehanodinamike generator impulsa sile pri ubrzanom gibanju materijalne točke ili tijela Newtonova sila. Ona tvori ubrzanje gibanja točke ili tijela, pri čemu automatski nastaje inercijalna sila, usmjerena suprotno od Newtonove sile i udarna Newtonova sila mora nadvladati djelovanje inercijske sile, stoga se inercijalna sila mora prikazati u ravnoteža sila na lijevoj strani jednadžbe (134). Budući da je inercijalna sila jednaka masi točke ili tijela pomnoženoj s usporenjem koje stvara, tada jednadžba (134) postaje

(136)

Dragi matematičari! Vidite kakav je oblik poprimio matematički model koji opisuje udarni impuls koji ubrzava kretanje pogođenog tijela od nulte brzine do maksimalne V (11). Sada provjerimo njegov rad u određivanju udarnog impulsa, koji je jednak udarnoj sili koja je aktivirala 2. agregat SShG (Sl. 120), a mi ćemo vas ostaviti s vašom beskorisnom jednadžbom (132). Kako ne bismo komplicirali prikaz, za sada ćemo ostaviti formulu (134) i koristiti formule koje daju prosječne vrijednosti sila. Vidite u kakvu ste poziciju stavili inženjera koji pokušava riješiti određeni problem.

Počnimo s Newtonovom dinamikom. Stručnjaci su otkrili da se 2. agregat podigao na visinu od 14 m. Budući da se podigao u polju gravitacije, na visini od h = 14 m njegova se potencijalna energija pokazala jednakom

a prosječna kinetička energija bila je jednaka

Riža. 120. Fotografija turbinske sobe prije katastrofe

Iz jednakosti kinetičke (138) i potencijalne (137) energije slijedi prosječna brzina porasta agregata (sl. 121, 122)

Riža. 121. Foton turbinske sobe nakon katastrofe

Prema novim zakonima mehanodinamike, uspon agregata sastojao se od dvije faze (sl. 123): prva faza OA - ubrzani uspon i druga faza AB - spori uspon , , .

Vrijeme i udaljenost njihovog djelovanja približno su jednaki (). Tada će se kinematička jednadžba ubrzane faze podizanja agregata napisati na sljedeći način:

. (140)

Riža. 122. Pogled na bunar agregata i sam agregat nakon havarije

Zakon promjene brzine porasta agregata u prvoj fazi ima oblik

. (141)

Riža. 123. Pravilnost promjena brzine leta V pogonske jedinice

Zamjenom vremena iz jednadžbe (140) u jednadžbu (141), imamo

. (142)

Vrijeme podizanja bloka u prvoj fazi određuje se iz formule (140)

. (143)

Tada će ukupno vrijeme podizanja agregata na visinu od 14 m biti jednako . Masa agregata i poklopca je 2580 tona. Prema Newtonovoj dinamici, sila koja je podigla agregat jednaka je

Dragi matematičari! Slijedimo vaše simfonijske matematičke rezultate i zapisujemo vašu formulu (129), slijedeći Newtonovu dinamiku, kako bismo odredili udarni puls koji je pokrenuo 2. jedinicu snage

i postaviti osnovno pitanje: kako odrediti trajanje udarnog impulsa koji je pokrenuo 2. agregat????????????????

poštovani!!! Sjetite se koliko su generacije vaših kolega kredom ispisivale po pločama, nespretno učeći studente kako odrediti udarni impuls, a nitko nije objasnio kako se u svakom konkretnom slučaju može odrediti trajanje udarnog impulsa. Reći ćete da je trajanje udarnog impulsa jednako vremenskom intervalu promjene brzine agregata od nule do, pretpostavit ćemo, maksimalne vrijednosti od 16,75 m/s (139). Ona je u formuli (143) i jednaka je 0,84 s. Za sada se slažemo s vama i određujemo prosječnu vrijednost udarnog impulsa

Odmah se postavlja pitanje: zašto je veličina udarnog impulsa (146) manja od Newtonove sile od 50600 tona? Vi, dragi matematičari, nemate odgovor. Idemo dalje.

Prema Newtonskoj dinamici, glavna sila koja se odupirala porastu pogonske jedinice bila je gravitacija. Budući da je ta sila usmjerena protiv kretanja agregata, ona stvara usporenje koje je jednako ubrzanju slobodnog pada. Tada je gravitacijska sila koja djeluje na pogonsku jedinicu koja leti prema gore jednaka

Newtonova dinamika ne uzima u obzir druge sile koje su spriječile djelovanje Newtonove sile od 50 600 tona (144), a mehanodinamika tvrdi da se usponu agregata opirala i inercijalna sila jednaka

Odmah se postavlja pitanje: kako pronaći količinu usporavanja u kretanju agregata? Newtonova dinamika šuti, ali mehanodinamika odgovara: u trenutku djelovanja Newtonove sile, koja je podigla pogonski agregat, otpor su imale: sila teže i sila tromosti, stoga je jednadžba sila koje djeluju na pogon jedinica u tom trenutku zapisuje se na sljedeći način.

Količina gibanja je mjera mehaničkog gibanja, ako se mehaničko kretanje pretvara u mehaničko. Na primjer, mehaničko kretanje biljarske kugle (slika 22) prije udarca pretvara se u mehaničko kretanje kuglica nakon udarca. Za točku je količina gibanja jednaka umnošku.

Mjera sile u ovom slučaju je impuls sile

. (9.1)

Moment određuje djelovanje sile tijekom određenog vremenskog razdoblja . Za materijalnu točku teorem o promjeni količine gibanja može se koristiti u diferencijalnom obliku
(9.2) ili integralni (konačni) oblik
. (9.3)

Promjena količine gibanja materijalne točke u određenom vremenskom razdoblju jednaka je impulsu svih sila koje djeluju na točku tijekom istog vremena.

Slika 22

Pri rješavanju zadataka teorem (9.3) se češće koristi u projekcijama na koordinatne osi
;

; (9.4)

.

Pomoću teorema o promjeni količine gibanja točke moguće je riješiti probleme u kojima na točku ili tijelo koje se giba translatorno djeluju stalne ili promjenljive sile koje ovise o vremenu, a zadane i tražene veličine uključuju vrijeme kretanje i brzine na početku i kraju kretanja. Zadaci koji koriste teorem rješavaju se sljedećim redoslijedom:

1. odabrati koordinatni sustav;

2. prikazati sve zadane (aktivne) sile i reakcije koje djeluju na točku;

3. zapisati teorem o promjeni količine gibanja točke u projekcijama na odabrane koordinatne osi;

4. odrediti potrebne količine.

PRIMJER 12.

Čekić težine G=2t pada s visine h=1m na obradak u vremenu t=0,01s i utiskuje dio (slika 23). Odrediti prosječnu silu pritiska čekića na radni predmet.

Promjena količine gibanja mehaničkog sustava u određenom vremenskom razdoblju jednaka je zbroju impulsa vanjskih sila koje djeluju u istom vremenu. Ponekad je prikladnije koristiti teorem o promjeni količine gibanja u projekciji na koordinatne osi
; (9.8)
. (9.9)

Zakon o održanju količine gibanja kaže da u odsutnosti vanjskih sila, količina gibanja mehaničkog sustava ostaje konstantna. Djelovanje unutarnjih sila ne može promijeniti moment količine gibanja sustava. Iz jednadžbe (9.6) jasno je da kada
,
.

Ako
, To
ili
.

D

propeler ili propeler, mlazni pogon. Lignje se kreću u trzajima, izbacujući vodu iz mišićne vrećice poput vodenog topa (slika 25). Odbijena voda ima određenu količinu gibanja usmjerenu unatrag. Lignja dobiva odgovarajuću brzinu kretanje prema naprijed zbog reaktivne vučne sile , budući da prije lignje iskoči sila uravnotežena gravitacijom .

Primjena teorema o promjeni količine gibanja omogućuje nam isključivanje svih unutarnjih sila iz razmatranja.

PRIMJER 13.

Vitlo A s bubnjem polumjera r postavljeno je na željezničku platformu koja slobodno stoji na tračnicama (slika 26). Vitlo je dizajnirano za pomicanje tereta B mase m 1 duž platforme. Težina platforme s vitlom m 2. Bubanj vitla se okreće prema zakonu
. U početnom trenutku sustav je bio mobilan. Zanemarujući trenje, pronađite zakon promjene brzine platforme nakon okretanja vitla.

R RIJEŠENJE.

1. Razmotrite platformu, vitlo i teret kao jedan mehanički sustav na koji djeluju vanjske sile: gravitacija tereta i platforme i reakcije I
.

2. Budući da su sve vanjske sile okomite na os x, tj.
, primjenjujemo zakon očuvanja momenta mehaničkog sustava u projekciji na x-os:
. U početnom trenutku sustav je bio nepomičan, dakle,

Izrazimo količinu gibanja sustava u proizvoljnom trenutku vremena. Platforma se kreće naprijed velikom brzinom , teret prolazi kroz složeno kretanje koje se sastoji od relativnog kretanja duž platforme brzinom i prijenosno kretanje zajedno s platformom pri brzini ., gdje
. Platforma će se kretati u smjeru suprotnom od relativnog kretanja tereta.

PRIMJER 14.

Gdje ,
-- količina gibanja ploče odnosno opterećenja.

;
, Gdje --apsolutna brzina tereta D. Iz jednakosti (1) slijedi da je K 1x + K 2x =C 1 ili m 1 u x +m 2 V Dx =C 1. (2) Za određivanje V Dx, razmotrite kretanje tereta D kao složeno, smatrajući njegovo gibanje relativno u odnosu na ploču, a gibanje same ploče prenosivim, tada
, (3)
; ili u projekciji na x os: . (4) Zamijenimo (4) u (2):
. (5) Integracijsku konstantu C 1 odredimo iz početnih uvjeta: pri t=0 u=u 0 ; (m 1 +m 2)u 0 =C 1. (6) Zamjenom vrijednosti konstante C 1 u jednadžbu (5) dobivamo

m/s.