Formula za moment inercije. Moment sile i moment tromosti Što je moment tromosti?

Moment inercije- skalarna (u općem slučaju - tenzorska) fizikalna veličina, mjera tromosti pri rotacijskom gibanju oko osi, kao što je masa tijela mjera njegove tromosti pri translatornom gibanju. Karakterizira ga raspodjela masa u tijelu: moment tromosti jednak je zbroju umnožaka elementarnih masa s kvadratom njihovih udaljenosti od baze (točke, pravca ili ravnine).

SI jedinica: kg m².

Oznaka: ja ili J.

2. Fizikalno značenje momenta tromosti. Umnožak momenta tromosti tijela i njegove kutne akceleracije jednak je zbroju momenata svih sila koje djeluju na tijelo. Usporedi. Rotacijsko kretanje. Kretanje naprijed. Moment tromosti je mjera tromosti tijela pri rotacijskom gibanju

Na primjer, moment tromosti diska u odnosu na os O u skladu sa Steinerovom teoremom:

Steinerov teorem: Moment tromosti I oko proizvoljne osi jednak je zbroju momenta tromosti I0 oko osi koja je paralelna sa zadanom i prolazi kroz središte mase tijela, i umnoška mase tijela m kvadratom udaljenosti d između osi:

18. Moment krutog tijela. Vektor kutne brzine i vektor kutne količine gibanja. Žiroskopski učinak. Kutna brzina precesije

Impuls krutog tijela u odnosu na os je zbroj momenta količine gibanja pojedinih čestica koje čine tijelo u odnosu na os. S obzirom na to, dobivamo.

Ako je zbroj momenata sila koje djeluju na tijelo koje rotira oko nepomične osi jednak nuli, tada je kutna količina gibanja očuvana ( zakon održanja kutne količine gibanja): . Derivacija kutne količine gibanja krutog tijela u odnosu na vrijeme jednaka je zbroju momenata svih sila koje djeluju na tijelo:.

kutna brzina kao vektor čija je veličina brojčano jednaka kutnoj brzini, a usmjerena je duž osi rotacije, a gledano s kraja tog vektora, rotacija je usmjerena suprotno od kazaljke na satu. Povijesno gledano, 2 pozitivnim smjerom rotacije smatra se rotacija "u smjeru suprotnom od kazaljke na satu", iako je, naravno, odabir ovog smjera apsolutno uvjetovan. Da biste odredili smjer vektora kutne brzine, također možete koristiti "pravilo gimleta" (koje se također naziva "pravilo desnog vijka") - ako se smjer kretanja ručke gimleta (ili vadičepa) kombinira sa smjerom rotacije, tada će se smjer kretanja cijelog gimleta podudarati sa smjerom vektora kutne brzine.

Rotirajuće tijelo (kotač motocikla) nastoji zadržati nepromijenjen položaj osi rotacije u prostoru (žiroskopski efekt) Dakle, kretanje na 2 kotača je moguće, ali stajanje na dva kotača nije moguće. Ovaj efekt se koristi u brodu i tenku sustavi za navođenje oružja. (brod se ljulja na valovima, a top gleda u jednu točku) U navigaciji itd.

Promatranje precesije je vrlo jednostavno. Morate pokrenuti vrh i pričekati dok ne počne usporavati. U početku je os rotacije vrha okomita. Zatim se njegova gornja točka postupno spušta i kreće u spirali koja se divergira. Ovo je precesija osi vrha.

Glavno svojstvo precesije je bezinercijalnost: čim nestane sila koja uzrokuje precesiju vrha, precesija će prestati, a vrh će zauzeti stacionarni položaj u prostoru. U primjeru s vrhom to se neće dogoditi jer u njemu stalno djeluje sila koja uzrokuje precesiju - Zemljina gravitacija.

19. Idealna i viskozna tekućina. Hidrostatika nestlačivog fluida. Stacionarno gibanje idealnog fluida. Birnoullijeva jednadžba.

Idealna tekućina naziva imaginarnim nestišljiva tekućina, koji nedostaje viskoznost, unutarnje trenje i toplinska vodljivost. Budući da u njemu nema unutarnjeg trenja, onda ne smično naprezanje između dva susjedna sloja tekućine.

viskozna tekućina karakterizira prisutnost sila trenja koje nastaju tijekom njegovog kretanja. nazivaju viskoznim tekućina, kod kojih se tijekom kretanja, osim normalnih naprezanja, uočavaju i tangencijalna naprezanja

Jednadžbe razmatrane u G. odnose se. ravnoteža nestlačive tekućine u gravitacijskom polju (u odnosu na stijenke posude koja se kreće prema određenom poznatom zakonu, na primjer translatornom ili rotacijskom) omogućuje rješavanje problema o obliku slobodne površine i o prskanju tekućine u pokretnim posudama - u spremnicima za prijevoz tekućina, spremnicima goriva zrakoplova i raketa i dr., kao i u uvjetima djelomičnog ili potpunog bestežinskog stanja u svemiru. letjeti. uređaja. Pri određivanju oblika slobodne površine tekućine zatvorene u posudi, osim hidrostatskih sila. tlaka, inercijskih sila i gravitacije, potrebno je uzeti u obzir površinsku napetost tekućine. U slučaju rotacije posude oko vertikale. os c stup. angl. brzine, slobodna površina poprima oblik paraboloida rotacije, au plovilu koje se giba paralelno s horizontalnom ravninom translatorno i pravocrtno sa stanicom. ubrzanje A, slobodna površina tekućine je ravnina nagnuta prema horizontalnoj ravnini pod kutom

Promotrimo materijalnu točku mase m, koja se nalazi na udaljenosti r od nepomične osi (slika 26). Moment tromosti J materijalne točke u odnosu na os je skalarna fizikalna veličina jednaka umnošku mase m i kvadrata udaljenosti r do te osi:

J = mr 2(75)

Moment tromosti sustava od N materijalnih točaka bit će jednak zbroju momenata tromosti pojedinih točaka:

Riža. 26.

Za određivanje momenta tromosti točke.

Ako je masa kontinuirano raspoređena u prostoru, tada se zbrajanje zamjenjuje integracijom. Tijelo je podijeljeno na elementarne volumene dv, od kojih svaki ima masu dm.

Rezultat je sljedeći izraz:

Za volumenom homogeno tijelo gustoća ρ je konstantna, a elementarnu masu zapišite u obliku:

dm = ρdv transformiramo formulu (70) na sljedeći način:

Dimenzija momenta inercije - kg*m 2.

Moment tromosti tijela mjera je tromosti tijela pri rotacijskom gibanju, kao što je masa tijela mjera njegove tromosti pri translatornom gibanju.

Moment inercije - ovo je mjera inercijskih svojstava čvrstog tijela tijekom rotacijskog gibanja, ovisno o raspodjeli mase u odnosu na os rotacije. Drugim riječima, moment tromosti ovisi o masi, obliku, veličini tijela i položaju osi rotacije.

Svako tijelo, bez obzira na to rotira li ili miruje, ima moment tromosti oko bilo koje osi, kao što tijelo ima masu bez obzira na to da li se giba ili miruje. Slično kao i masa, moment tromosti je aditivna veličina.

U nekim je slučajevima teorijski izračun momenta tromosti prilično jednostavan. Ispod su momenti tromosti nekih čvrstih tijela pravilnog geometrijskog oblika oko osi koja prolazi kroz težište.

Moment tromosti beskonačno ravnog diska polumjera R u odnosu na os okomitu na ravninu diska:

Moment tromosti lopte radijusa R:

Moment tromosti duljine štapa L u odnosu na os koja prolazi kroz sredinu štapa okomito na nju:

Moment tromosti beskonačno tankog obruča polumjera R u odnosu na os okomitu na njezinu ravninu:

Moment tromosti tijela oko proizvoljne osi izračunava se pomoću Steinerova teorema:

Moment tromosti tijela oko proizvoljne osi jednak je zbroju momenta tromosti oko osi koja prolazi kroz središte mase paralelno s tim i umnoška mase tijela s kvadratom udaljenosti između osi. .

Pomoću Steinerova teorema izračunavamo moment tromosti štapa duljine L u odnosu na os koja prolazi kroz kraj okomit na njega (slika 27).

Za izračunavanje momenta tromosti štapa

Prema Steinerovom teoremu, moment tromosti štapa u odnosu na os O′O′ jednak je momentu tromosti u odnosu na os OO plus md 2. Odavde dobivamo:

Očito: moment tromosti nije isti u odnosu na različite osi, pa se stoga, pri rješavanju zadataka o dinamici rotacijskog gibanja, moment tromosti tijela u odnosu na os koja nas zanima svaki put mora posebno tražiti. . Tako je, primjerice, kod projektiranja tehničkih uređaja koji sadrže rotirajuće dijelove (u željezničkom prometu, proizvodnji zrakoplova, elektrotehnici itd.) potrebno poznavanje vrijednosti momenata tromosti tih dijelova. Sa složenim oblikom tijela, teorijski izračun njegovog momenta tromosti može biti teško izvesti. U tim slučajevima preferiraju eksperimentalno mjerenje momenta tromosti nestandardnog dijela.

Moment sile F u odnosu na točku O

SI jedinica: kg m².

Oznaka: ja ili J.

Na primjer, moment tromosti diska u odnosu na os O u skladu sa Steinerovom teoremom:

18. Moment krutog tijela. Vektor kutne brzine i vektor kutne količine gibanja. Žiroskopski učinak. Kutna brzina precesije

Impuls krutog tijela u odnosu na os je zbroj momenta količine gibanja pojedinih čestica koje čine tijelo u odnosu na os. S obzirom na to, dobivamo.

19. Idealna i viskozna tekućina. Hidrostatika nestlačivog fluida. Stacionarno gibanje idealnog fluida. Birnoullijeva jednadžba.

FIZIČKO NJITALNO

Cilj rada: odrediti moment tromosti fizikalnog njihala u obliku štapa s utezima na temelju perioda vlastitih oscilacija.

Oprema Oprema: visak, štoperica.

TEORIJSKI UVOD

Moment inercije krutog tijela mjera je tromosti tijela tijekom njegovog rotacijskog gibanja. U tom smislu, to je analog tjelesne mase, koja je mjera tromosti tijela tijekom translatornog gibanja. Prema definiciji, moment inercije tijela jednaka je zbroju umnožaka masa čestica tijela m i kvadratima njihovih udaljenosti od osi rotacije r i 2:

, ili .(1)

Moment tromosti ne ovisi samo o masi, već io njenoj raspodjeli u odnosu na os rotacije. Kao što vidite, inercija tijekom rotacije tijela je veća što su čestice tijela dalje od osi.

Postoje razne eksperimentalne metode za određivanje momenta tromosti tijela. U radu je predložena metoda za određivanje momenta tromosti iz perioda vlastitih oscilacija promatranog tijela kao fizičkog njihala. Fizičko njihalo je tijelo proizvoljnog oblika čija se točka ovjesa nalazi iznad težišta. Ako se u gravitacijskom polju visak skrene iz ravnotežnog položaja i otpusti, tada pod utjecajem gravitacije njihalo teži ravnotežnom položaju, ali, dostigavši ga, inercijom se nastavlja kretati i skreće se u suprotnom smjeru. Zatim se proces kretanja ponavlja u suprotnom smjeru. Kao rezultat toga, njihalo će izvoditi vlastite rotacijske oscilacije.

Za izvođenje formule za moment tromosti njihala kroz period njegovih vlastitih oscilacija koristimo osnovni zakon rotacijske dinamike: kutna akceleracija tijela izravno je proporcionalna momentu sile, a obrnuto proporcionalna momentu tromosti tijela u odnosu na os rotacije:

Trenutak moći po definiciji jednak umnošku sile i poluge sile. Krak sile je okomica spuštena s osi rotacije na pravac djelovanja sile. Za njihalo (slika 1a), gravitacijski krak je jednak d = a grijeh a, Gdje A– udaljenost između osi rotacije i središta mase njihala. Za male oscilacije njihala kut otklona a je relativno malen, a sinusi malih kutova jednaki su samim kutovima s dovoljnom točnošću. Tada se momenat sile teže može odrediti formulom M = −mga∙a. Predznak minus je zbog činjenice da se moment sile teže suprotstavlja otklonu njihala.

Budući da je kutna akceleracija druga derivacija kuta zakreta u odnosu na vrijeme, osnovni zakon dinamike rotacijskog gibanja (1) ima oblik

. (3)

Ovo je diferencijalna jednadžba drugog reda. Njezino rješenje mora biti funkcija koja, nakon supstitucije, pretvara jednadžbu u identitet. Kao što se može vidjeti iz jednadžbe (3), za to funkcija rješenja i njezina druga derivacija moraju imati isti oblik. U matematici takva funkcija može biti kosinus, sinusna funkcija

a = a 0 grijeha( w t + j), (4)

uz uvjet da je ciklička frekvencija jednaka . Ciklička frekvencija povezana je s period oscilacije, odnosno vrijeme jednog titraja, omjer T= 2p/w. Odavde

Period oscilacije T te udaljenost od osi rotacije do težišta njihala A može se mjeriti. Zatim iz (5) moment tromosti njihala u odnosu na os rotacije S može se odrediti eksperimentalno pomoću formule

. (6)

Njihalo, čiji je moment tromosti određen u radu, je štap na koji su postavljena dva diska. Teoretski, moment tromosti njihala može se definirati kao zbroj momenata tromosti pojedinih dijelova. Moment tromosti diskova može se izračunati pomoću formule za moment tromosti materijalne točke, budući da su mali u usporedbi s udaljenosti do osi rotacije: , . Moment inercije štapa u odnosu na os koja se nalazi na udaljenosti b od sredine štapa, može se odrediti Steinerovom teoremom . Kao rezultat toga, ukupni moment tromosti njihala može se teoretski izračunati pomoću formule

. (7)

Ovdje m 1 , m 2 i m 0 – masa prvog, drugog diska i štapa, l 1 , l 2 – udaljenosti od sredine diskova do osi rotacije, l 0 – duljina šipke.

Udaljenost od točke ovjesa do težišta njihala A, potreban za eksperimentalno određivanje momenta tromosti u formuli (6), može se odrediti pomoću koncepta težišta. Centar gravitacije tijelo je točka na koju djeluje rezultantna sila teže. Dakle, ako se visak postavi vodoravno na nosač koji se nalazi ispod težišta, tada će visak biti u ravnoteži. Zatim samo izmjerite udaljenost od osi S na podršku.

Ali možete odrediti udaljenost A proračunom. Iz uvjeta ravnoteže njihala na nosaču (sl. 1b) proizlazi da je moment rezultirajuće sile teže u odnosu na os S (m 1 +m 2 + m 0)ga jednak zbroju momenata sile težine tereta i štapa m 1 gl 1 + m 2 gl 2 + m 0 gb. Odakle nam to?

. (8)

ZAVRŠETAK POSLA

1. Vaganjem na vagi odredite mase diskova i štapa. Postavite diskove na šipku i učvrstite ih. Izmjerite udaljenosti od osi rotacije do sredine diskova l 1 , l 2 i do sredine šipke b, duljina šipke l 0 prema centimetarskim podjelama na šipki. Zabilježite rezultate mjerenja u tablicu. 1.

stol 1

2. Spojite elektroničku jedinicu na 220 V mrežu.

Izmjerite period titranja. Da biste to učinili, pomaknite njihalo iz položaja ravnoteže pod manji kut i otpustite ga. pritisni gumb Početakštoperica. Za mjerenje vremena t, na primjer, deset oscilacija, nakon devete oscilacije pritisnite tipku Stop. Razdoblje je
T = t/ 10. Rezultat zabilježite u tablicu. 2, pritisnite gumb Resetiraj. Ponovite pokus najmanje tri puta za druge kutove otklona njihala.

Isključite instalaciju.

4. Računati u SI sustavu. Odredite prosječnu vrijednost<T> period oscilacije. Odredite udaljenost A od osi do težišta njihala prema formuli (8), ili postavite njihalo na nosač tako da bude u ravnoteži i izmjerite udaljenost pomoću podjela na štapu A.

A, m	T 1 , S	T 2, s	T 3, s	<T>,s	, kg∙m 2	J teorija, kg∙m 2

tablica 2

5. Odredite srednju eksperimentalnu vrijednost momenta tromosti njihala<J ex> prema formuli (6) prema srednjoj vrijednosti perioda titranja<T>.

6. Odredi teoretsku vrijednost momenta tromosti njihala J teor prema formuli (7).

7. Izvedite zaključak uspoređujući teorijske i eksperimentalne vrijednosti momenta tromosti njihala. Procijenite pogrešku mjerenja D J= – J teor.

8. Rezultat upiši u obrazac J exp =< J > ±D J.

KONTROLNA PITANJA

1. Dajte definiciju fizičkog njihala, objasnite zašto su mogući prirodni titraji njihala.

2. Napiši osnovni zakon dinamike rotacijskog gibanja fizičkog njihala.

U dinamici translatornog gibanja materijalne točke, osim kinematičkih karakteristika, uvedeni su pojmovi sile i mase. Pri proučavanju dinamike rotacijskog gibanja uvode se fizikalne veličine - okretni moment I moment inercije, čije će fizičko značenje biti otkriveno u nastavku.

Neka neko tijelo bude pod utjecajem sile koja djeluje na neku točku A, dolazi u rotaciju oko OO osi" (slika 5.1).

Slika 5.1 – Do zaključka pojma momenta sile

Sila djeluje u ravnini okomitoj na os. Okomito R, odbačeno s točke OKO(leži na osi) na smjer sile zove se rame snage. Umnožak sile s krakom određuje modul moment sile u odnosu na točku OKO:

(5.1)

Trenutak moći je vektor određen vektorskim umnoškom radijus vektora točke primjene sile i vektora sile:

(5.2)

Jedinica momenta sile - newton metar(N . m). Smjer vektora momenta sile može se pronaći pomoću pravila desnog propelera.

Mjera tromosti tijela pri translatornom gibanju je masa. Tromost tijela tijekom rotacijskog gibanja ne ovisi samo o masi, već io njezinoj raspodjeli u prostoru u odnosu na os rotacije. Mjera tromosti pri rotacijskom gibanju je veličina tzv moment tromosti tijela u odnosu na os rotacije.

Moment tromosti materijalne točke u odnosu na os rotacije - umnožak mase ove točke s kvadratom udaljenosti od osi:

Moment inercije tijela u odnosu na os rotacije - zbroj momenata tromosti materijalnih točaka koje čine ovo tijelo:

(5.4)

U općem slučaju ako je tijelo čvrsto i predstavlja skup točaka malih masa dm, moment tromosti se određuje integracijom:

, (5.5)

Gdje r- udaljenost od osi rotacije do elementa mase d m.

Ako je tijelo homogeno i njegova gustoća ρ = m/V, zatim moment tromosti tijela

(5.6)

Moment tromosti tijela ovisi o tome oko koje osi ono rotira i kako je masa tijela raspoređena po volumenu.

Najlakše se određuje moment tromosti tijela koja imaju pravilan geometrijski oblik i jednoliku raspodjelu mase po volumenu.

Moment tromosti homogenog štapa u odnosu na os koja prolazi kroz središte tromosti i okomita na štap,

Moment tromosti homogenog cilindra u odnosu na os koja je okomita na njegovu osnovicu i prolazi kroz središte tromosti,

(5.8)

Moment tromosti cilindra ili obruča tankih stijenki u odnosu na os koja je okomita na ravninu baze i prolazi kroz središte,

Moment inercije lopte u odnosu na promjer

(5.10)

Odredimo moment tromosti diska u odnosu na os koja prolazi kroz središte tromosti i okomita je na ravninu rotacije. Neka je masa diska m, a polumjer mu je R.

Područje prstena (Slika 5.2) zatvoreno između r i , je jednako .

Slika 5.2 – Do zaključka momenta tromosti diska

Područje diska. Uz konstantnu debljinu prstena,

odakle ili .

Tada je moment inercije diska,

Radi jasnoće, slika 5.3 prikazuje homogena čvrsta tijela različitih oblika i ukazuje na momente tromosti tih tijela u odnosu na os koja prolazi kroz središte mase.

Slika 5.3 – Momenti tromosti ja C nekih homogenih krutina.

Steinerov teorem

Gornje formule za momente tromosti tijela dane su pod uvjetom da os rotacije prolazi kroz središte tromosti. Da biste odredili momente tromosti tijela u odnosu na proizvoljnu os, trebali biste koristiti Steinerov teorem : moment tromosti tijela u odnosu na proizvoljnu os rotacije jednak je zbroju momenta tromosti J 0 u odnosu na os koja je paralelna sa zadanom i prolazi kroz središte tromosti tijela, i vrijednosti md 2:

(5.12)

Gdje m- tjelesna masa, d- udaljenost od centra mase do odabrane osi rotacije. Jedinica momenta inercije - kilogram metar na kvadrat (kg . m 2).

Dakle, moment tromosti homogenog štapa duljine l u odnosu na os koja prolazi kroz njegov kraj, prema Steinerovom teoremu jednako je