Lod 2. reda s primjerima konstantnih koeficijenata. Linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima
Homogene linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima imaju oblik
gdje su p i q realni brojevi. Pogledajmo primjere kako se rješavaju homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima.
Rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda ovisi o korijenima karakteristične jednadžbe. Karakteristična jednadžba je jednadžba k²+pk+q=0.
1) Ako su korijeni karakteristične jednadžbe različiti realni brojevi:
tada opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima ima oblik
2) Ako su korijeni karakteristične jednadžbe jednaki realni brojevi
(na primjer, s diskriminantom jednakom nuli), tada je opće rješenje homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda
3) Ako su korijeni karakteristične jednadžbe kompleksni brojevi
(na primjer, s diskriminantom jednakim negativnom broju), tada se opće rješenje homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda piše u obliku
Primjeri rješavanja linearnih homogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda s konstantnim koeficijentima
Pronađite opća rješenja homogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda:
Sastavljamo karakterističnu jednadžbu: k²-7k+12=0. Njegova diskriminanta je D=b²-4ac=1>0, tako da su korijeni različiti realni brojevi.
Dakle, opće rješenje ovog homogenog DE 2. reda je
Sastavimo i riješimo karakterističnu jednadžbu:
Korijeni su stvarni i različiti. Stoga imamo opće rješenje ove homogene diferencijalne jednadžbe:
U ovom slučaju, karakteristična jednadžba
Korijeni su različiti i valjani. Stoga je ovdje opće rješenje homogene diferencijalne jednadžbe 2. reda
Karakteristična jednadžba
Budući da su korijeni realni i jednaki, za ovu diferencijalnu jednadžbu opće rješenje pišemo kao
Karakteristična jednadžba je ovdje
Budući da je diskriminant negativan broj, korijeni karakteristične jednadžbe su kompleksni brojevi.
Opće rješenje ove homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda ima oblik
Karakteristična jednadžba
Odavde nalazimo opće rješenje za ovaj diferencijal. jednadžbe:
Primjeri za samotestiranje.
Obrazovna ustanova "Bjeloruska država
poljoprivredna akademija"
Katedra za višu matematiku
Smjernice
proučavati temu “Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda” od strane studenata Računovodstvenog fakulteta dopisnog obrazovanja (NISPO)
Gorki, 2013. (monografija).
Linearne diferencijalne jednadžbe
drugog reda s konstantamakoeficijenti
Linearne homogene diferencijalne jednadžbe
Linearna diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima naziva jednadžba oblika
oni. jednadžba koja sadrži traženu funkciju i njezine izvodnice samo do prvog stupnja i ne sadrži njihove umnoške. U ovoj jednadžbi 
I 
- neki brojevi i funkcija 
dati u određenom intervalu 
.
Ako 
na intervalu 
, tada će jednadžba (1) poprimiti oblik
,
(2)
i zove se linearno homogen . Inače se jednadžba (1) zove linearno nehomogen .
Razmotrite složenu funkciju
,
(3)
Gdje 
I 
- stvarne funkcije. Ako je funkcija (3) kompleksno rješenje jednadžbe (2), tada je realni dio 
, i imaginarni dio 
rješenja 
zasebno su rješenja iste homogene jednadžbe. Stoga svako složeno rješenje jednadžbe (2) generira dva stvarna rješenja te jednadžbe.
Rješenja homogene linearne jednadžbe imaju sljedeća svojstva:
Ako 
je rješenje jednadžbe (2), zatim funkcija 
, Gdje S– proizvoljna konstanta također će biti rješenje jednadžbe (2);
Ako 
I 
postoje rješenja jednadžbe (2), zatim funkcija 
također će biti rješenje jednadžbe (2);
Ako 
I 
postoje rješenja jednadžbe (2), zatim njihova linearna kombinacija 
također će biti rješenje jednadžbe (2), gdje 
I 
– proizvoljne konstante.
Funkcije 
I 
se zovu linearno ovisna
na intervalu 
, ako takvi brojevi postoje 
I 
, nije jednako nuli u isto vrijeme, da je na ovom intervalu jednakost
Ako se jednakost (4) javlja samo kada 
I 
, zatim funkcije 
I 
se zovu linearno neovisni
na intervalu 
.
Primjer 1
. Funkcije 
I 
su linearno ovisni, jer 
na cijelom brojevnom pravcu. U ovom primjeru 
.
Primjer 2
. Funkcije 
I 
su linearno neovisni o bilo kojem intervalu, budući da je jednakost 
moguća je samo u slučaju kada 
, I 
.
Konstrukcija općeg rješenja linearnog homogenog
jednadžbe
Da biste pronašli opće rješenje jednadžbe (2), trebate pronaći dva njezina linearno neovisna rješenja 
I 
. Linearna kombinacija ovih rješenja 
, Gdje 
I 
proizvoljne su konstante i dat će opće rješenje linearne homogene jednadžbe.
Linearno neovisna rješenja jednadžbe (2) tražit ćemo u obliku
,
(5)
Gdje 
– određeni broj. Zatim 
,
. Zamijenimo ove izraze u jednadžbu (2):
Ili 
.
Jer 
, To 
. Dakle funkcija 
bit će rješenje jednadžbe (2) ako 
će zadovoljiti jednadžbu
.
(6)
Jednadžba (6) naziva se karakteristična jednadžba za jednadžbu (2). Ova jednadžba je algebarska kvadratna jednadžba.
Neka 
I 
postoje korijeni ove jednadžbe. One mogu biti ili stvarne i različite, ili složene, ili stvarne i jednake. Razmotrimo ove slučajeve.
Pustite korijenje 
I 
karakteristične jednadžbe su realne i različite. Tada će rješenja jednadžbe (2) biti funkcije 
I 
. Ova rješenja su linearno neovisna, budući da je jednakost 
može se provesti samo kada 
, I 
. Stoga opće rješenje jednadžbe (2) ima oblik
,
Gdje 
I 
- proizvoljne konstante.
Primjer 3
.
Riješenje
. Karakteristična jednadžba za ovaj diferencijal bit će 
. Nakon što smo riješili ovu kvadratnu jednadžbu, nalazimo njezine korijene 
I 
. Funkcije 
I 
su rješenja diferencijalne jednadžbe. Opće rješenje ove jednadžbe je 
.
Složeni broj 
naziva izraz forme 
, Gdje 
I 
su realni brojevi, i 
naziva imaginarna jedinica. Ako 
, zatim broj 
naziva se čisto imaginarno. Ako 
, zatim broj 
poistovjećuje se s realnim brojem 
.
Broj 
naziva se realni dio kompleksnog broja, i 
- imaginarni dio. Ako se dva kompleksna broja međusobno razlikuju samo predznakom imaginarnog dijela, nazivaju se konjugirani: 
,
.
Primjer 4
. Riješite kvadratnu jednadžbu 
.
Riješenje
. Diskriminantna jednadžba 
. Zatim . Također, 
. Dakle, ova kvadratna jednadžba ima konjugirane kompleksne korijene.
Neka su korijeni karakteristične jednadžbe kompleksni, tj. 
,
, Gdje 
. Rješenja jednadžbe (2) mogu se napisati u obliku 
,
ili 
,
. Prema Eulerovim formulama
,
.
Zatim , . Kao što je poznato, ako je složena funkcija rješenje linearne homogene jednadžbe, tada su rješenja te jednadžbe i realni i imaginarni dio te funkcije. Stoga će rješenja jednadžbe (2) biti funkcije 
I 
. Od jednakosti
može se izvršiti samo ako 
I 
, tada su ta rješenja linearno neovisna. Stoga opće rješenje jednadžbe (2) ima oblik
Gdje 
I 
- proizvoljne konstante.
Primjer 5
. Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe 
.
Riješenje
. Jednadžba 
karakterističan je za dati diferencijal. Riješimo to i dobijemo složene korijene 
,
. Funkcije 
I 
su linearno neovisna rješenja diferencijalne jednadžbe. Opće rješenje ove jednadžbe ima oblik .
Neka su korijeni karakteristične jednadžbe realni i jednaki, tj. 
. Tada su rješenja jednadžbe (2) funkcije 
I 
. Ova rješenja su linearno neovisna, jer izraz može biti identički jednak nuli samo kada 
I 
. Stoga opće rješenje jednadžbe (2) ima oblik 
.
Primjer 6
. Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe 
.
Riješenje
. Karakteristična jednadžba 
ima jednake korijene 
. U ovom slučaju linearno neovisna rješenja diferencijalne jednadžbe su funkcije 
I 
. Opće rješenje ima oblik 
.
Diferencijalne jednadžbe 2. reda
§1. Metode redukcije reda jednadžbe.
Diferencijalna jednadžba 2. reda ima oblik:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( ili Diferencijalna" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">diferencijalna jednadžba 2. reda). Cauchyjev problem za diferencijalnu jednadžbu 2. reda (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.
Neka diferencijalna jednadžba 2. reda ima oblik: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.
Dakle, jednadžba 2. reda https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Rješavajući ga, dobivamo opći integral izvorne diferencijalne jednadžbe, ovisno o dvije proizvoljne konstante: DIV_ADBLOCK219">
Primjer 1. Riješite diferencijalnu jednadžbu https://pandia.ru/text/78/516/images/image021_18.gif" width="70" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.gif " width="39" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.gif" width="112" height="25 src=">.
Ovo je diferencijalna jednadžba s razdvojivim varijablama: https://pandia.ru/text/78/516/images/image026_19.gif" width="99" height="41 src=">, tj..gif" width= " 96" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="48" height="38 src=">..gif" width=" 99 " height="38 src=">..gif" width="95" height="25 src=">.
2..gif" width="117" height="25 src=">, tj..gif" width="102" height="25 src=">..gif" width="117" height= "25 src =">.gif" width="106" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=" >.gif" width="111" height="27 src=">
Riješenje.
Ova jednadžba 2. reda očito ne uključuje željenu funkciju https://pandia.ru/text/78/516/images/image043_16.gif" width="98" height="25 src=">.gif" width= " 33" height="25 src=">.gif" width="105" height="36 src=">, što je linearna jednadžba..gif" width="109" height="36 src=">. . gif" width="144" height="36 src=">.gif" height="25 src="> iz nekih funkcija..gif" width="25" height="25 src=">.gif " width="127" height="25 src=">.gif" width="60" height="25 src="> – spušta se red jednadžbe.
§2. Linearna diferencijalna jednadžba 2. reda.
Linearna diferencijalna jednadžba 2. reda (LDE) ima sljedeći oblik:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image059_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. gif" width="42" height="25 src="> i, nakon uvođenja novih oznaka za koeficijente, jednadžbu pišemo u obliku:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image064_12.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">. gif" width="30" height="25 src="> kontinuirano..gif" width="165" height="25 src=">.gif" width="95" height="25 src="> – proizvoljni brojevi.
Teorema. Ako https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> - rješenje je
https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> također će biti rješenje ove jednadžbe.
Dokaz.
Stavimo izraz https://pandia.ru/text/78/516/images/image077_11.gif" width="420" height="25 src=">.
Presložimo pojmove:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image073_10.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="54" height="25 src=">. gif" width="94" height="25 src="> također je rješenje ove jednadžbe.
Korolar 2. Pretpostavka https://pandia.ru/text/78/516/images/image083_11.gif" width="58" height="25 src="> također je rješenje ove jednadžbe.
Komentar. Svojstvo rješenja dokazano u teoremu ostaje važeće za probleme bilo kojeg reda.
§3. Odrednica Vronskog.
Definicija. Sustav funkcija https://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif" width="61" height="25 src=">.gif" width="110" height="47 src= " >..gif" width="106" height="42 src=">..gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="181" height="47 src= " >.gif" width="42" height="25 src="> jednadžbe (2.3)..gif" width="182" height="25 src=">. (3.1)
Doista, ..gif" width="18" height="25 src="> zadovoljavaju jednadžbu (2..gif" width="42" height="25 src="> je rješenje jednadžbe (3.1). .gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src="> .gif" width="51" height="25 src="> dobiva se identitet. Dakle,
https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, u kojoj je determinanta za linearno neovisna rješenja jednadžbe (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> oba faktora na desnoj strani formule (3.2) nisu nula.
§4. Struktura općeg rješenja lode 2. reda.
Teorema. Ako su https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> linearno neovisna rješenja jednadžbe (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">je rješenje jednadžbe (2.3), slijedi iz teorema o svojstvima rješenja lode 2. reda.. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">
Konstante https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> iz ovog sustava linearnih algebarskih jednadžbi određene su jedinstveno, budući da je determinanta ovaj sustav https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Prema prethodnom odlomku, opće rješenje Lod 2. reda lako se određuje ako su poznata dva linearno neovisna parcijalna rješenja ove jednadžbe. Jednostavna metoda za pronalaženje parcijalnih rješenja jednadžbe s konstantnim koeficijentima koje je predložio L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">, dobivamo algebarsku jednadžbu, koja se naziva karakteristična:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> bit će rješenje jednadžbe (5.1) samo za one vrijednosti k koji su korijeni karakteristične jednadžbe (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> i opće rješenje (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Provjerimo da ova funkcija zadovoljava jednadžbu (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (5.1), dobivamo
https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, jer..gif" width="137" height="26 src= ">.
Pojedinačna rješenja https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> su linearno neovisna, jer..gif" width="166" visina ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" visina = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.
Obje zagrade na lijevoj strani ove jednakosti identično su jednake nuli..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> je rješenje jednadžbe (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> izgledat će ovako:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)
predstavljen je kao zbroj općeg rješenja https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)
i svako određeno rješenje https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> bit će rješenje jednadžbe (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x). Ova jednakost je identitet, jer..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Stoga.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> su linearno neovisna rješenja ove jednadžbe. Tako:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, a takva determinanta, kao što smo vidjeli gore, nije nula..gif" width="19" height="25 src="> iz sustava jednadžbi (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> će riješiti jednadžbu
https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> u jednadžbu (6.5), dobivamo
https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)
gdje je https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> jednadžba (7.1) u slučaju kada je desna strana f(x ) ima poseban oblik. Ova metoda se naziva metoda neodređenih koeficijenata i sastoji se u odabiru određenog rješenja ovisno o vrsti desne strane f(x). Razmotrimo desne strane sljedećeg oblika:
1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, može biti nula. Naznačimo oblik u kojem se određeno rješenje mora uzeti u ovom slučaju.
a) Ako je broj https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.
Riješenje.
Za jednadžbu https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.
Oba dijela reduciramo na https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> na lijevoj i desnoj strani jednakosti
https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">
Iz dobivenog sustava jednadžbi nalazimo: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, i opće rješenje zadanog jednadžba je:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,
gdje https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.
Riješenje.
Odgovarajuća karakteristična jednadžba ima oblik:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Konačno imamo sljedeći izraz za opće rješenje:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> izvrsno od nule. Naznačimo vrstu pojedinog rješenja u ovom slučaju.
a) Ako je broj https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,
gdje je https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> korijen karakteristične jednadžbe za jednadžbu (5..gif" width="229 " height="25 src=">,
gdje https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.
Riješenje.
Korijeni karakteristične jednadžbe za jednadžbu https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height ="25 src=">.
Desna strana jednadžbe iz primjera 3 ima poseban oblik: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.
Za određivanje https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > i zamijenite ga u zadanu jednadžbu:
Citiranje sličnih izraza, izjednačavanje koeficijenata na https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height = "25 src=">.
Konačno opće rješenje zadane jednadžbe je: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> respektivno, a jedan od tih polinoma može biti jednak nuli. Naznačimo tip određenog rješenja u ovom općem slučaju .
a) Ako je broj https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)
gdje https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.
b) Ako je broj https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, tada će određeno rješenje za lndu izgledati ovako:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. U izrazu (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.
Primjer 4. Označite vrstu pojedinog rješenja jednadžbe
https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Opće rješenje Lodua ima oblik:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.
Daljnji koeficijenti https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > postoji posebno rješenje za jednadžbu s desnom stranom f1(x) i varijacije" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">varijacije proizvoljnih konstanti (Lagrangeova metoda).
Izravno pronalaženje određenog rješenja jednadžbe, osim u slučaju jednadžbe s konstantnim koeficijentima i posebnim slobodnim članovima, vrlo je teško. Stoga se za pronalaženje općeg rješenja jednadžbe obično koristi metoda varijacije proizvoljnih konstanti, koja uvijek omogućuje pronalaženje općeg rješenja jednadžbe u kvadraturama ako je poznat temeljni sustav rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe . Ova metoda je sljedeća.
Prema gore navedenom, opće rješenje linearne homogene jednadžbe je:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – ne konstante, već neke, još nepoznate, funkcije od f(x). . mora se uzeti iz intervala. Naime, u ovom slučaju Wronskijeva determinanta je različita od nule u svim točkama intervala, tj. u cijelom prostoru - kompleksni korijen karakteristične jednadžbe..gif" width="20" height="25 src="> linearno neovisna parcijalna rješenja oblika :
U općoj formuli rješenja ovaj korijen odgovara izrazu oblika.
U ovom ćemo članku ispitati principe rješavanja linearnih homogenih diferencijalnih jednadžbi drugog reda s konstantnim koeficijentima, gdje su p i q proizvoljni realni brojevi. Prvo se usredotočimo na teoriju, a zatim primijenimo dobivene rezultate u rješavanju primjera i zadataka.
Ako naiđete na nepoznate pojmove, pogledajte odjeljak o definicijama i konceptima teorije diferencijalnih jednadžbi.
Formulirajmo teorem koji pokazuje u kojem obliku pronaći opće rješenje LOD-a.
Teorema.
Opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe s koeficijentima kontinuiranim na intervalu integracije X određeno je linearnom kombinacijom 
, Gdje 
su linearno neovisna parcijalna rješenja LDE na X, i proizvoljne su konstante.
Dakle, opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima ima oblik y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2, gdje su y 1 i y 2 parcijalna linearno neovisna rješenja, a C 1 i C 2 su proizvoljne konstante. Ostaje naučiti kako pronaći parcijalna rješenja y 1 i y 2.
Euler je predložio traženje posebnih rješenja u obliku .
Ako uzmemo parcijalno rješenje LODE drugog reda s konstantnim koeficijentima, tada kada to rješenje zamijenimo u jednadžbu trebamo dobiti identitet: 
Tako smo dobili tzv karakteristična jednadžba linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima. Rješenja k 1 i k 2 ove karakteristične jednadžbe određuju parcijalna rješenja našeg LODE drugog reda s konstantnim koeficijentima.
Ovisno o koeficijentima p i q, korijeni karakteristične jednadžbe mogu biti:
U prvom slučaju linearno neovisna parcijalna rješenja izvorne diferencijalne jednadžbe su i , opće rješenje LODE drugog reda s konstantnim koeficijentima je .
Funkcije i su doista linearno neovisne, budući da je determinanta Wronskog različita od nule za bilo koji realni x za .
U drugom slučaju jedno posebno rješenje je funkcija . Kao drugo posebno rješenje uzimamo . Pokažimo što je stvarno određeno rješenje za LODE drugog reda s konstantnim koeficijentima i dokažimo linearnu neovisnost y 1 i y 2.
Kako su k 1 = k 0 i k 2 = k 0 isti korijeni karakteristične jednadžbe, ona ima oblik . Stoga je izvorna linearna homogena diferencijalna jednadžba. Zamijenimo u nju i pobrinimo se da jednadžba postane identitet: 
Dakle, to je djelomično rješenje izvorne jednadžbe.
Pokažimo linearnu neovisnost funkcija i . Da bismo to učinili, izračunajmo determinantu Wronskog i uvjerimo se da je različita od nule. 
Zaključak: linearno neovisna parcijalna rješenja LODE-a drugog reda s konstantnim koeficijentima su i , a opće rješenje postoji za .
U trećem slučaju imamo par kompleksnih parcijalnih rješenja LDE i . Opće rješenje bit će napisano kao 
. Ta posebna rješenja mogu se zamijeniti s dvije stvarne funkcije 
i , koji odgovaraju stvarnom i imaginarnom dijelu. To se jasno može vidjeti ako transformiramo opće rješenje , koristeći formule iz teorija funkcije kompleksne varijable tip: 
gdje su C 3 i C 4 proizvoljne konstante.
Dakle, rezimirajmo teoriju.
Algoritam za pronalaženje općeg rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima.
Pogledajmo primjere za svaki slučaj.
Primjer.
Pronađite opće rješenje linearne homogene diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima 
.