Tablica svih integrala. Osnovne metode integracije

Tablica antiderivacija ("integrala"). Tablica integrala. Tablični neodređeni integrali. (Najjednostavniji integrali i integrali s parametrom). Formule za integraciju po dijelovima. Newton-Leibnizova formula.

Formule za integraciju po dijelovima. Pravila integracije.

Tablica izvedenica. Tabularne izvedenice. Derivat proizvoda. Derivacija kvocijenta. Derivacija složene funkcije.

Ako je x nezavisna varijabla, tada:

Svojstva logaritama. Osnovne formule za logaritme. Decimalni (lg) i prirodni logaritmi (ln).

Prirodni logaritam ln (logaritam prema bazi e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Taylorova serija. Proširenje funkcije u Taylorov red.

Ispada da većina praktički susreo matematičke funkcije mogu se prikazati s bilo kojom točnošću u blizini određene točke u obliku redova potencija koje sadrže potencije varijable u rastućem redoslijedu. Na primjer, u blizini točke x=1:

Pri korištenju serija tzv Taylorovi redovi mješovite funkcije koje sadrže, recimo, algebarske, trigonometrijske i eksponencijalne funkcije mogu se izraziti kao čisto algebarske funkcije. Koristeći serije, često možete brzo izvesti diferencijaciju i integraciju.

Taylorov niz u blizini točke a ima sljedeće oblike:

1) , gdje je f(x) funkcija koja ima derivacije svih redova na x = a. R n - preostali član u Taylorovom nizu određen je izrazom

2)

K-ti koeficijent (pri x k) niza određen je formulom

3) Poseban slučaj Taylorovog niza je Maclaurin (=McLaren) niz (proširenje se događa oko točke a=0)

pri a=0

članovi niza određeni su formulom

Uvjeti za korištenje Taylorovog niza.

1. Da bi se funkcija f(x) proširila u Taylorov niz na intervalu (-R;R), potrebno je i dovoljno da preostali član u Taylorovoj (Maclaurin (=McLaren)) formuli za ovu funkcija teži nuli pri k →∞ na navedenom intervalu (-R;R).

2. Potrebno je da postoje derivacije za zadanu funkciju u točki u čijoj ćemo blizini konstruirati Taylorov red.

Svojstva Taylorovog niza.

Ako je f analitička funkcija, tada njezin Taylorov red u bilo kojoj točki a u domeni definicije f konvergira k f u nekoj blizini a.

Postoje beskonačno diferencijabilne funkcije čiji Taylorov red konvergira, ali se u isto vrijeme razlikuje od funkcije u bilo kojoj okolini a. Na primjer:

Taylorov niz se koristi za aproksimaciju (aproksimacija je znanstvena metoda koja se sastoji od zamjene nekih objekata s drugima, na ovaj ili onaj način bliskim izvornim, ali jednostavnijim) funkcije polinomima. Konkretno, linearizacija ((od linearis - linearan), jedna od metoda približnog prikaza zatvorenih nelinearnih sustava, u kojoj se proučavanje nelinearnog sustava zamjenjuje analizom linearnog sustava, u nekom smislu ekvivalentnog izvornom .) jednadžbe nastaju širenjem u Taylorov niz i odsijecanjem svih članova iznad prvog reda.

Stoga se gotovo svaka funkcija može prikazati kao polinom sa zadanom točnošću.

Primjeri nekih uobičajenih proširenja funkcija snage u Maclaurinove redove (=McLaren, Taylor u blizini točke 0) i Taylor u blizini točke 1. Prvi članovi proširenja glavnih funkcija u Taylorove i McLarenove redove.

Primjeri nekih uobičajenih proširenja potencijskih funkcija u Maclaurinove redove (=McLaren, Taylor u blizini točke 0)

Primjeri nekih uobičajenih proširenja u Taylorov red u blizini točke 1

Antiderivativna funkcija i neodređeni integral

Činjenica 1. Integracija je inverzna radnja diferencijacije, naime vraćanje funkcije iz poznate derivacije te funkcije. Funkcija je tako obnovljena F(x) Zove se antiderivativan za funkciju f(x).

Definicija 1. Funkcija F(x f(x) na nekom intervalu x, ako je za sve vrijednosti x iz ovog intervala vrijedi jednakost F "(x)=f(x), odnosno ovu funkciju f(x) je derivacija antiderivacijske funkcije F(x). .

Na primjer, funkcija F(x) = grijeh x je antiderivat funkcije f(x) = cos x na cijelom brojevnom pravcu, jer za bilo koju vrijednost x (grijeh x)" = (cos x) .

Definicija 2. Neodređeni integral funkcije f(x) je skup svih njegovih antiderivata. U ovom slučaju koristi se notacija

∫

f(x)dx

gdje je znak ∫ naziva integralni znak, funkcija f(x) – funkcija integranda, i f(x)dx – izraz integranda.

Dakle, ako F(x) – neki antiderivat za f(x) , To

∫

f(x)dx = F(x) +C

Gdje C - proizvoljna konstanta (konstanta).

Za razumijevanje značenja skupa antiderivacija funkcije kao neodređenog integrala prikladna je sljedeća analogija. Neka budu vrata (tradicionalna drvena vrata). Njegova je funkcija "biti vrata". Od čega su napravljena vrata? Napravljeno od drveta. To znači da je skup antiderivacija integranda funkcije “biti vrata”, odnosno njenog neodređenog integrala, funkcija “biti stablo + C”, gdje je C konstanta, koja u ovom kontekstu može označavaju, na primjer, vrstu drveta. Baš kao što su vrata izrađena od drva korištenjem nekih alata, derivat funkcije je "napravljen" od antiderivativne funkcije pomoću formule koje smo naučili proučavajući izvod .

Zatim je tablica funkcija uobičajenih predmeta i njihovih odgovarajućih antiderivata ("biti vrata" - "biti drvo", "biti žlica" - "biti metal", itd.) slična tablici osnovnih neodređeni integrali, koji će biti navedeni u nastavku. U tablici neodređenih integrala navedene su uobičajene funkcije s naznakom antiderivacija od kojih su te funkcije “napravljene”. U dijelu zadataka nalaženja neodređenog integrala dani su integranti koji se mogu integrirati izravno bez većeg napora, odnosno pomoću tablice neodređenih integrala. U složenijim problemima, integrand se prvo mora transformirati kako bi se mogli koristiti tablični integrali.

Činjenica 2. Kada obnavljamo funkciju kao antiderivaciju, moramo uzeti u obzir proizvoljnu konstantu (konstantu) C, a kako ne biste pisali popis antiderivacija s raznim konstantama od 1 do beskonačno, trebate napisati skup antiderivacija s proizvoljnom konstantom C, na primjer, ovako: 5 x³+C. Dakle, proizvoljna konstanta (konstanta) je uključena u izraz antiderivacije, budući da antiderivacija može biti funkcija, npr. 5 x³+4 ili 5 x³+3 i kada se diferencira, 4 ili 3, ili bilo koja druga konstanta ide na nulu.

Postavimo problem integracije: za ovu funkciju f(x) pronaći takvu funkciju F(x), čiji derivat jednak f(x).

Primjer 1. Pronađite skup antiderivacija funkcije

Riješenje. Za ovu funkciju antiderivacija je funkcija

Funkcija F(x) naziva se antiderivacija za funkciju f(x), ako je derivat F(x) jednako je f(x), ili, što je isto, diferencijal F(x) je jednako f(x) dx, tj.

(2)

Stoga je funkcija antiderivat funkcije. Međutim, to nije jedini antiderivat za . Oni također služe kao funkcije

Gdje S– proizvoljna konstanta. To se može provjeriti diferencijacijom.

Dakle, ako postoji jedna antiderivacija za funkciju, tada za nju postoji beskonačan broj antiderivacija koje se razlikuju po konstantnom članu. Sve antiderivacije za funkciju napisane su u gornjem obliku. To slijedi iz sljedećeg teorema.

Teorem (formalna izjava činjenice 2). Ako F(x) – antiderivacija za funkciju f(x) na nekom intervalu x, zatim bilo koji drugi antiderivat za f(x) na istom intervalu mogu se prikazati u obliku F(x) + C, Gdje S– proizvoljna konstanta.

U sljedećem primjeru prelazimo na tablicu integrala koja će biti dana u paragrafu 3, nakon svojstava neodređenog integrala. To radimo prije čitanja cijele tablice kako bi bila jasna suština navedenog. A nakon tablice i svojstava, koristit ćemo ih u cijelosti tijekom integracije.

Primjer 2. Pronađite skupove antiderivacijskih funkcija:

Riješenje. Pronalazimo skupove antiderivacijskih funkcija od kojih su te funkcije "napravljene". Kad spominjemo formule iz tablice integrala, za sada samo prihvatite da takve formule postoje, a samu tablicu neodređenih integrala ćemo malo dalje proučiti.

1) Primjenom formule (7) iz tablice integrala za n= 3, dobivamo

2) Koristeći formulu (10) iz tablice integrala za n= 1/3, imamo

3) Budući da

tada prema formuli (7) sa n= -1/4 nalazimo

Pod znakom integrala nije zapisana sama funkcija f, a njegov umnožak s diferencijalom dx. Ovo je prvenstveno učinjeno kako bi se pokazalo po kojoj se varijabli traži antiderivacija. Na primjer,

, ;

ovdje je u oba slučaja integrand jednak , ali se njegovi neodređeni integrali u razmatranim slučajevima pokazuju različitima. U prvom slučaju ova se funkcija smatra funkcijom varijable x, au drugom - kao funkcija z .

Proces pronalaženja neodređenog integrala funkcije naziva se integriranje te funkcije.

Geometrijsko značenje neodređenog integrala

Pretpostavimo da trebamo pronaći krivulju y=F(x) a već znamo da je tangens tangentnog kuta u svakoj njegovoj točki zadana funkcija f(x) apscisa ove točke.

Prema geometrijskom značenju izvoda, tangens kuta nagiba tangente u danoj točki krivulje y=F(x) jednaka vrijednosti derivata F"(x). Dakle, moramo pronaći takvu funkciju F(x), za koji F"(x)=f(x). Funkcija potrebna u zadatku F(x) je antiderivat od f(x). Uvjete problema ne zadovoljava jedna krivulja, već porodica krivulja. y=F(x)- jedna od tih krivulja, a iz nje se paralelnom translacijom duž osi može dobiti bilo koja druga krivulja Joj.

Nazovimo graf antiderivacijske funkcije od f(x) integralna krivulja. Ako F"(x)=f(x), zatim graf funkcije y=F(x) postoji integralna krivulja.

Činjenica 3. Neodređeni integral je geometrijski predstavljen skupom svih integralnih krivulja , kao na slici ispod. Udaljenost svake krivulje od ishodišta koordinata određena je proizvoljnom integracijskom konstantom C.

Svojstva neodređenog integrala

Činjenica 4. Teorem 1. Derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu, a njegov diferencijal jednak je integrandu.

Činjenica 5. Teorem 2. Neodređeni integral diferencijala funkcije f(x) jednaka je funkciji f(x) do konstantnog člana , tj.

(3)

Teoremi 1 i 2 pokazuju da su diferenciranje i integracija međusobno inverzne operacije.

Činjenica 6. Teorem 3. Konstantni faktor u integrandu može se skinuti s predznaka neodređenog integrala , tj.

Integracija je jedna od glavnih operacija u matematičkoj analizi. Tablice poznatih antiderivacija mogu biti korisne, ali sada, nakon pojave računalnih algebarskih sustava, gube na značaju. Ispod je popis najčešćih primitiva.

Tablica osnovnih integrala

Druga, kompaktna opcija

Tablica integrala trigonometrijskih funkcija

Od racionalnih funkcija

Od iracionalnih funkcija

Integrali transcendentalnih funkcija

"C" je proizvoljna integracijska konstanta koja se određuje ako je poznata vrijednost integrala u bilo kojoj točki. Svaka funkcija ima beskonačan broj antiderivacija.

Većina školaraca i studenata ima problema s izračunavanjem integrala. Ova stranica sadrži integralne tablice od trigonometrijskih, racionalnih, iracionalnih i transcendentalnih funkcija koje će pomoći u rješenju. Pomoći će vam i tablica izvedenica.

Video - kako pronaći integrale

>>Metode integracije

Osnovne metode integracije

Definicija integrala, određeni i neodređeni integral, tablica integrala, Newton-Leibnizova formula, integracija po dijelovima, primjeri izračunavanja integrala.

Neodređeni integral

Poziva se funkcija F(x) diferencijabilna u zadanom intervalu X antiderivacija funkcije f(x) ili integral od f(x), ako za svaki x ∈X vrijedi jednakost:

F " (x) = f(x). (8.1)

Pronalaženje svih antiderivacija za zadanu funkciju naziva se njeno integracija. Funkcija neodređenog integrala f(x) na danom intervalu X je skup svih antiderivacijskih funkcija za funkciju f(x); oznaka -

Ako je F(x) neka antiderivacija za funkciju f(x), tada je ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

gdje je C proizvoljna konstanta.

Tablica integrala

Izravno iz definicije dobivamo glavna svojstva neodređenog integrala i popis tabelarnih integrala:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2) ∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Popis tabelarnih integrala

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Zamjena varijable

Za integraciju mnogih funkcija koristite metodu zamjene varijable ili zamjene,što vam omogućuje redukciju integrala u tablični oblik.

Ako je funkcija f(z) kontinuirana na [α,β], funkcija z =g(x) ima kontinuiranu derivaciju i α ≤ g(x) ≤ β, tada

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Štoviše, nakon integracije na desnoj strani treba izvršiti zamjenu z=g(x).

Da bismo to dokazali, dovoljno je originalni integral napisati u obliku:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Na primjer:

1)

2) .

Metoda integracije po dijelovima

Neka su u = f(x) i v = g(x) funkcije koje imaju kontinuirano . Zatim, prema djelu,

d(uv))= udv + vdu ili udv = d(uv) - vdu.

Za izraz d(uv), antiderivacija će očito biti uv, tako da formula vrijedi:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ova formula izražava pravilo integracija po dijelovima. On vodi integraciju izraza udv=uv"dx do integracije izraza vdu=vu"dx.

Neka, na primjer, želite pronaći ∫xcosx dx. Stavimo u = x, dv = cosxdx, dakle du=dx, v=sinx. Zatim

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Pravilo integracije po dijelovima ima ograničeniji opseg od zamjene varijabli. Ali postoje cijele klase integrala, npr.

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax i drugi, koji se izračunavaju precizno korištenjem integracije po dijelovima.

Određeni integral

Koncept određenog integrala uvodi se na sljedeći način. Neka je funkcija f(x) definirana na intervalu. Podijelimo segment [a,b] na n dijelovi po točkama a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Poziva se suma oblika f(ξ i)Δ x i integralni zbroj, a njegova granica pri λ = maxΔx i → 0, ako postoji i konačna je, naziva se određeni integral funkcije f(x) od a prije b i označen je:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funkcija f(x) u ovom slučaju se zove integrabilan na intervalu, nazivaju se brojevi a i b donja i gornja granica integrala.

Za određeni integral vrijede sljedeća svojstva:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Posljednje svojstvo se zove teorem srednje vrijednosti.

Neka je f(x) neprekidan na . Tada na tom segmentu postoji neodređeni integral

∫f(x)dx = F(x) + C

i odvija se Newton-Leibnizova formula, povezujući određeni integral s neodređenim integralom:

F(b) - F(a). (8,6)

Geometrijska interpretacija: određeni integral je površina krivocrtnog trapeza omeđenog odozgo krivuljom y=f(x), ravnim linijama x = a i x = b i segmentom osi Vol.

Nepravilni integrali

Integrali s beskonačnim limitima i integrali diskontinuiranih (neomeđenih) funkcija nazivaju se ne tvoj vlastiti. Nepravilni integrali prve vrste - To su integrali preko beskonačnog intervala, definirani na sljedeći način:

(8.7)

Ako ta granica postoji i konačna je, tada se naziva konvergentni nepravilni integral od f(x) na intervalu [a,+ ∞), te se poziva funkcija f(x). integrabilan u beskonačnom intervalu[a,+ ∞). Inače se za integral kaže da je ne postoji ili se razilazi.

Nepravi integrali na intervalima (-∞,b] i (-∞, + ∞) definiraju se na sličan način:

Definirajmo pojam integrala neograničene funkcije. Ako je f(x) kontinuirana za sve vrijednosti x segment , osim točke c, u kojoj f(x) ima beskonačni diskontinuitet, tada nepravi integral druge vrste f(x) u rasponu od a do b iznos se zove:

ako te granice postoje i konačne su. Oznaka:

Primjeri integralnih izračuna

Primjer 3.30. Izračunajte ∫dx/(x+2).

Riješenje. Označimo t = x+2, tada je dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Primjer 3.31. Nađi ∫ tgxdx.

Riješenje.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Neka je t=cosx, tada je ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Riješenje.

Primjer3.33. Pronaći .

Riješenje. =

.

Primjer3.34 . Pronađite ∫arctgxdx.

Riješenje. Integrirajmo po dijelovima. Označimo u=arctgx, dv=dx. Tada je du = dx/(x 2 +1), v=x, odakle je ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; jer
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Primjer3.35 . Izračunajte ∫lnxdx.

Riješenje. Primjenom formule integracije po dijelovima dobivamo:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Tada je ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Primjer3.36 . Izračunajte ∫e x sinxdx.

Riješenje. Označimo u = e x, dv = sinxdx, tada je du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integral ∫e x cosxdx također integriramo po dijelovima: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Imamo:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Dobili smo relaciju ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, odakle je 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Primjer 3.37. Izračunajte J = ∫cos(lnx)dx/x.

Riješenje. Kako je dx/x = dlnx, tada je J= ∫cos(lnx)d(lnx). Zamjenom lnx kroz t dolazimo do tabličnog integrala J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Primjer 3.38 . Izračunajte J = .

Riješenje. S obzirom da je = d(lnx), zamijenimo lnx = t. Tada je J = .