Elementi teorije determinanti i matrica. Sažetak: Teorija matrica i determinanti

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja jednostavno je. Koristite obrazac u nastavku

Studenti, diplomanti, mladi znanstvenici koji koriste bazu znanja u svom studiju i radu bit će vam vrlo zahvalni.

Elementi teorije determinanti

Determinanta je broj zapisan u obliku kvadratne tablice brojeva, izračunat prema određenim pravilima.

Na primjer, svaka od tablica (1.1) sastoji se od jednakog broja redaka i stupaca i predstavlja broj, čija će pravila izračuna biti objašnjena u nastavku.

Broj redaka i stupaca određuje redoslijed determinante. Dakle, determinanta 1.1a) je trećeg reda, determinanta 1.1b) je drugog reda, 1.1c) je prvog reda. Kao što vidite, determinanta prvog reda je sam broj.

Ravne okomite zagrade na rubovima tablice znak su i simbol odrednice. Je li odrednica označena velikim slovom grčkog alfabeta? (delta).

U općem obliku, determinanta n-tog reda piše se na sljedeći način:

Svaki element A i J determinanta ima dva indeksa: prvi indeks ja označava broj retka, drugo j- broj stupca na čijem se sjecištu element nalazi. Dakle za determinantu 1.1a) elementi A 11 , A 22 , A 23 , A 32 su redom jednaki 2, 5, 4, 3.

Determinanta 2. reda izračunava se pomoću formule

Determinanta 2. reda jednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali umanjenoj za umnožak elemenata na sporednoj dijagonali.

Za izračun determinante 3. reda koriste se “metoda trokuta” i Sarrusova metoda. Ali obično se u praksi za izračun determinante 3. reda koristi takozvana metoda efektivne redukcije reda, o kojoj će biti riječi u nastavku.

Metoda trokuta

Pri izračunavanju determinante ovom metodom prikladno je koristiti njezin grafički prikaz. Na sl. 1.1 i 1.2 elementi determinante 3. reda shematski su prikazani točkama.

Riža. 1.1 sl. 1.2

Pri izračunu determinante umnožak elemenata povezanih ravnim linijama slijedi dijagram na sl. 1.1, uzeti sa znakom plus, a proizvod elemenata povezanih prema dijagramu na sl. 1.2, uzeti s znakom minus. Kao rezultat ovih radnji, formula koja se koristi za izračun poprima sljedeći oblik:

Izračunajte determinantu 3. reda.

Sarrusova metoda

Da biste ga implementirali, morate dodijeliti prva dva stupca desno od determinante, sastaviti proizvode elemenata koji se nalaze na glavnoj dijagonali i na linijama paralelnim s njom i uzeti ih sa znakom plus. Zatim sastavite proizvode elemenata koji se nalaze na bočnoj dijagonali i paralelni s njom sa znakom minus.

Shema za izračunavanje determinante Sarrusovom metodom.

Sarrusovom metodom izračunajte determinantu iz primjera 1.2.

Minor i algebarski komplement elementa determinante

Minor M i J element A i J naziva se determinanta ( n-1) -ti red dobiven iz determinante n-th reda precrtavanjem ja-th line i j stupca (tj. precrtavanjem retka i stupca u čijem se sjecištu element nalazi A i J).

Pronađite minor elemenata A 23 I A 34 odrednica 4. reda.

Element A 23 nalazi se u 2. redu i 3. stupcu. U ovom primjeru A 23 =4. Precrtavanjem 2. retka i 3. stupca na sjecištu ovog elementa (prikazanog u metodološke svrhe okomitim i vodoravnim točkastim linijama), dobivamo minor M 23 ovog elementa. To će već biti determinanta 3. reda.

Prilikom izračunavanja minora, operacija precrtavanja retka i stupca izvodi se mentalno. Učinivši ovo, dobivamo

Algebarski komplement A i J element A i J determinanta n Redoslijed je minor ovog elementa, uzet sa predznakom (-1) ja + j, Gdje ja+ j- zbroj brojeva redaka i stupaca kojima element pripada A i J. Oni. a-priorat A i J=(-1) ja + jM i J

Jasno je da ako iznos ja+ j- broj je paran, dakle A i J=M i J, Ako ja+ j- broj je neparan, dakle A i J= - M i J.

Za determinantu pronađite algebarske komplemente elemenata A 23 I A 31 .

Za element A 23 ja=2, j=3 i ja+ j=5 je neparan broj, dakle

Za element A 31 ja=3, j=1 i ja+ j=4 je paran broj, što znači

Svojstva determinanti

1. Ako se u determinanti zamijene bilo koja dva paralelna retka (dva retka ili dva stupca), predznak determinante se mijenja u suprotan

Zamijenite 2 paralelna stupca (1. i 2.).

Zamijenite 2 paralelne crte (1. i 3.).

2. Zajednički faktor elemenata bilo kojeg retka (retka ili stupca) može se izbaciti iz znaka determinante.

Svojstva determinante koja je jednaka nuli

3. Ako su svi elementi određenog niza u determinanti jednaki nuli, takva determinanta je jednaka nuli.

4. Ako su u determinanti elementi bilo kojeg niza proporcionalni elementima paralelnog niza, determinanta je jednaka nuli.

Svojstva nepromjenjivosti (nepromjenjivosti) determinante.

5. Ako se redovi i stupci u determinanti zamijene, determinanta se neće promijeniti.

6. Determinanta se neće promijeniti ako se elementima bilo kojeg niza dodaju elementi bilo kojeg paralelnog niza, prvo pomnožeći s određenim brojem.

Svojstvo 6 naširoko se koristi u izračunavanju determinanti korištenjem takozvane metode smanjenja efektivnog reda. Pri primjeni ove metode potrebno je u jednom redu (jednom retku ili stupcu) sve elemente osim jednog dovesti na nulu. Element determinante koji nije nula bit će jednak nuli ako se doda broju jednake veličine, ali suprotnog predznaka.

Pokažimo na primjeru kako se to radi.

Koristeći svojstva 2 i 6 reducirajte determinantu na determinantu koja ima dvije nule u bilo kojem retku.

Koristeći svojstvo 2, pojednostavljujemo determinantu uklanjanjem 2 iz 1. retka, 4 iz 2. retka i 2 iz 3. retka kao zajedničkih faktora.

Jer element A 22 jednaka nuli, tada je za rješavanje problema dovoljno bilo koji element u 2. retku ili 2. stupcu svesti na nulu. Postoji nekoliko načina za to.

Na primjer, uzmimo element A 21 =2 na nulu. Da biste to učinili, na temelju svojstva 6, pomnožite cijeli treći stupac s (-2) i dodajte ga prvom. Nakon što smo izvršili ovu operaciju, dobivamo

Element je moguće poništiti A 12 =2, tada ćemo u drugom stupcu dobiti dva elementa jednaka nuli. Da biste to učinili, trebate pomnožiti treći redak s (-2) i dodati dobivene vrijednosti u prvi redak

Izračun determinante bilo kojeg reda

Pravilo za izračunavanje determinante bilo kojeg reda temelji se na Laplaceovom teoremu.

Laplaceov teorem

Determinanta je jednaka zbroju parnih umnožaka elemenata bilo kojeg retka (retka ili stupca) s njihovim algebarskim komplementima.

Prema ovom teoremu, determinanta se može izračunati dekomponiranjem na elemente bilo kojeg retka ili bilo kojeg stupca.

Općenito, determinanta n-tog reda može se proširiti i izračunati na sljedeće načine:

Izračunajte determinantu koristeći Laplaceov teorem rastavljajući je na elemente 3. retka i elemente 1. stupca.

Determinantu izračunavamo tako da je proširimo duž 3. retka

Izračunajmo determinantu proširivanjem preko prvog stupca

Učinkovita metoda smanjenja narudžbi

Složenost izračuna determinante pomoću Laplaceovog teorema bit će znatno manja ako postoji samo jedan član u njezinom proširenju bilo u retku ili u stupcu. Takvo će se proširenje dobiti ako su u retku (ili stupcu) uz koji se proširuje determinanta svi elementi osim jednog jednaki nuli. Ranije je bilo riječi o metodi "nuliranja" elemenata determinante.

Izračunajte determinantu koristeći metodu efektivne redukcije naloga.

Jer determinanta 3. reda, tada “nuliramo” bilo koja 2 elementa determinante. U tu je svrhu prikladno uzeti 2. stupac čiji je element A 22 = - 1. Da bi element A 21 bio jednak nuli, 1. stupac treba dodati 2. stupcu. Kako bi element A 23 bio jednak nuli, trebate pomnožiti 2. stupac s 2 i dodati ga 3. stupcu. Nakon izvršenja ovih operacija zadana determinanta se pretvara u determinantu

Sada ovu odrednicu proširujemo duž 2. retka

Izračunavanje determinanterežući ga u trokutasti oblik

Determinanta kojoj su svi elementi iznad ili ispod glavne dijagonale jednaki nuli naziva se trokutasta determinanta. U ovom slučaju determinanta je jednaka umnošku svojih elemenata glavne dijagonale.

Svođenje determinante na trokutasti oblik uvijek je moguće na temelju njezinih svojstava.

Zadana je odrednica. Smanjite ga na trokutasti oblik i izračunajte.

"Uklonimo" na nulu, na primjer, sve elemente koji se nalaze iznad glavne dijagonale. Da biste to učinili, morate izvršiti tri operacije: 1. operacija - dodajte prvi redak s posljednjim, dobivamo A 13 = 0. 2. operacija - množenje zadnjeg retka s (-2) i zbrajanje s 2., dobivamo A 23 = 0. Sekvencijalno izvođenje ovih operacija prikazano je u nastavku.

Za resetiranje elementa A 12 dodajte 1. i 2. red

Elementi teorije matrica

Matrica je tablica brojeva ili bilo kojih drugih elemenata koji sadrže m linije i n stupci.

Opći pogled na matricu

Matrica, kao i determinanta, ima elemente opremljene dvostrukim indeksom. Značenje indeksa je isto kao i kod determinanti.

Ako je determinanta jednaka broju, tada matrica nije izjednačena s drugim jednostavnijim objektom.

Zagrade na stranama matrice su njezin znak ili simbol (ali ne ravne zagrade koje označavaju determinantu). Radi sažetosti, matrica je označena velikim slovima A, B, C itd.

Matrica ima veličinu koja je određena brojem redaka i stupaca, što se piše kao - A m n.

Na primjer, numerička matrica veličine 23 ima oblik, veličina 31 ima oblik, veličina 14 ima oblik itd.

Matrica u kojoj je broj redaka jednak broju stupaca naziva se kvadratnom. U ovom slučaju, kao i kod determinanti, govorimo o redu matrice.

Na primjer, numerička matrica 3. reda ima oblik

Vrste matrica

Matrica koja se sastoji od jednog reda naziva se matrica reda

Matrica koja se sastoji od jednog stupca naziva se matrica stupaca

Matrica se naziva kvadrat n-tog reda ako je broj njegovih redaka jednak broju stupaca i jednak je n.

Na primjer, kvadratna matrica 3. reda.

Dijagonalna matrica je kvadratna matrica u kojoj su svi elementi nula osim onih na glavnoj dijagonali. Glavna dijagonala je dijagonala koja ide od gornjeg lijevog kuta do donjeg desnog kuta.

Na primjer, dijagonalna matrica trećeg reda.

Dijagonalna matrica, čiji su svi elementi jednaki jedinici, naziva se identitet i označava se slovom E ili broj 1

Nulta matrica je matrica u kojoj su svi elementi jednaki nuli.

Gornja trokutasta matrica je matrica u kojoj su svi elementi koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki nuli.

Donja trokutasta matrica je matrica u kojoj su svi elementi koji se nalaze iznad glavne dijagonale jednaki nuli.

Na primjer

Gornja trokutasta matrica

Donja trokutasta matrica

Ako se u matrici A zamijenimo retke sa stupcima, dobivamo transponiranu matricu koja je označena simbolom A*.

Na primjer, dana je matrica,

matrica transponirana u odnosu na nju A*

Kvadratna matrica A ima odrednicu, koja se označava det A(det je skraćena francuska riječ za "determinator").

Na primjer, za matricu A

zapisujemo njegovu odrednicu

Sve operacije s determinantom matrice iste su kao što smo ranije razmatrali.

Matrica čija je determinanta jednaka nuli naziva se specijalnom, ili degeneriranom, ili singularnom. Matrica kojoj njezina determinanta nije jednaka nuli naziva se nesingularna ili nesingularna.

Ujedinjena ili pripojena matrica.

Ako za zadanu kvadratnu matricu A odrediti algebarske komplemente svih njezinih elemenata i zatim ih transponirati, tada će se tako dobivena matrica nazvati pridruženom ili pridruženom matrici A i označen je simbolom A

Za nalaz matrice A.

Sastavljanje determinante matrice A

Algebarske komplemente svih elemenata determinante određujemo pomoću formule

Transponiranjem dobivenih algebarskih dodavanja dobivamo pridruženu ili pridruženu matricu A u odnosu na datu matricu A.

Akcije na matricama

Jednakost matrice

Dvije matrice A I U smatraju se jednakima ako:

a) oba imaju istu veličinu;

b) odgovarajući elementi ovih matrica su međusobno jednaki. Odgovarajući elementi su elementi s istim indeksima.

Zbrajanje i oduzimanje matrica

Možete zbrajati i oduzimati samo matrice iste dimenzije. Zbroj (razlika) dviju matrica A I U postojat će i treća matrica S, čiji elementi S i J jednak zbroju (razlici) odgovarajućih elemenata matrice A I U. Prema definiciji, elementi matrice S su prema pravilu.

Na primjer, ako

Koncept zbroja (razlike) matrica proteže se na bilo koji konačni broj matrica. U ovom slučaju zbroj matrica poštuje sljedeće zakone:

a) komutativni A + B = B + A;

b) asocijativni S + (A + B) = (B + C)+ A.

Množenje matrice brojem.

Da biste pomnožili matricu s brojem, trebate pomnožiti svaki element matrice s tim brojem.

Posljedica. Zajednički faktor svih elemenata matrice može se izbaciti iz predznaka matrice.

Na primjer, .

Kao što možete vidjeti, radnje zbrajanja, oduzimanja matrica i množenja matrice brojem slične su radnjama nad brojevima. Množenje matrice je specifična operacija.

Umnožak dviju matrica.

Ne mogu se sve matrice množiti. Umnožak dviju matrica A I U navedenim redoslijedom A U moguće samo kada je broj stupaca prvog faktora A jednak broju redaka drugog faktora U.

Na primjer, .

Veličina matrice A 33, veličina matrice U 23. Rad A U nemoguće, posao U A Može biti.

Umnožak dviju matrica A i B je treća matrica C, čiji je element C ij jednak zbroju parnih umnožaka elemenata i-tog retka prvog faktora i j-tog stupca drugog faktora. faktor.

Pokazalo se da je u ovom slučaju moguć produkt matrica U A

Iz pravila postojanja umnoška dviju matrica proizlazi da se umnožak dviju matrica u općem slučaju ne pokorava komutativnom zakonu, tj. A U? U A. Ako se u konkretnom slučaju pokaže da A B = B A, onda se takve matrice nazivaju permutabilne ili komutativne.

U matričnoj algebri, umnožak dviju matrica može biti nula matrica čak i kada nijedna faktor matrica nije nula, suprotno običnoj algebri.

Na primjer, pronađimo umnožak matrica A U, Ako

Možete množiti više matrica. Ako znate množiti matrice A, U a umnožak tih matrica može se pomnožiti s matricom S, tada je moguće sastaviti proizvod ( A U) S I A(U S). U ovom slučaju vrijedi kombinacijski zakon množenja ( A U) S = A(U S).

inverzna matrica

Ako dvije matrice A I U iste veličine i njihov proizvod A U je matrica identiteta E, tada se matrica B naziva inverzna od A i označava se A -1 , tj. A A -1 = E.

inverzna matrica A -1 jednaka omjeru unijske matrice A na determinantu matrice A

Iz ovoga je jasno da bi inverzna matrica postojala A -1 potrebno je i dovoljno da matrica det A? 0, tj. tako da matrica A bio nedegeneriran.

Za nalaz matrice A -1 .

Određivanje vrijednosti determinante matrice A

Jer det A? 0, inverzna matrica postoji. U primjeru 2.1. za datu determinantu pronađena je srodna matrica

A-priorat

Rang matrice

Za rješavanje i proučavanje brojnih matematičkih i primijenjenih problema važan je koncept ranga matrice.

Razmotrimo matricu A veličina m n

Odaberite nasumično u matrici Ak linije i k stupci. Elementi koji se nalaze na sjecištu odabranih redaka i stupaca tvore kvadratnu matricu k- tog reda. Determinanta ove matrice naziva se minor k-red matrice A. Odaberite k linije i k stupci se mogu koristiti na različite načine, što rezultira različitim minorima k- tog reda. Minori 1. reda su sami elementi. Očito, najveći mogući red minora jednak je najmanjem od brojeva m I n. Među formiranim minorima različitih redova bit će i onih koji su jednaki nuli i koji nisu jednaki nuli.

Najviši red minora matrica različitih od nule A naziva se rang matrice.

Rang matrice A označen rangom A ili r( A).

Ako je rang matrice A jednaki r, onda to znači da matrica ima minor reda različit od nule r, ali svaki minor je većeg reda od r jednaka nuli.

Iz definicije ranga matrice slijedi da je:

a) rang matrice A m n ne prelazi manju od svojih veličina, tj. r(A) ? min (m, n);

b) r(A) = 0 ako i samo ako su svi elementi matrice jednaki nuli, tj. A = 0;

c) za kvadratnu matricu n-ti red r(A) = n, ako je matrica nesingularna.

Pogledajmo primjer određivanja ranga matrice pomoću metode graničnih minora. Njegova bit leži u sekvencijalnom nabrajanju minora matrice i pronalaženju minora najvišeg reda koji nije nula.

Izračunajte rang matrice.

Za matricu A 3 4 r(A) ? min (3,4) = 3. Provjerimo je li rang matrice jednak 3, da bismo to učinili, izračunavamo sve minore trećeg reda (samo ih je 4, dobivaju se brisanjem jednog); stupaca matrice).

Budući da su svi minori trećeg reda nula, r(A) ? 2. Budući da postoji nula minor drugog reda, na primjer

Da r(A) = 2.

Svaki minor matrice različit od nule čiji je poredak jednak njezinom rangu naziva se bazni minor te matrice.

Matrica može imati više od jednog baznog minora, već nekoliko. Međutim, poredak svih baznih minora je isti i jednak rangu matrice.

Redovi i stupci koji tvore bazu minor nazivaju se baza.

Svaki redak (stupac) matrice je linearna kombinacija osnovnih redaka (stupaca).

Slični dokumenti

Pojam i bit determinanti drugog reda. Razmatranje osnova sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Proučavanje determinanti n-tog reda i metode njihova izračuna. Značajke sustava od n linearnih jednadžbi s n nepoznanica.

prezentacija, dodano 14.11.2014


Determinante drugog i trećeg reda. Permutacije i supstitucije. Minori i algebarski komplementi. Primjena metoda za svođenje determinante na trokutasti oblik, predstavljanje determinante kao zbroj determinanti i izdvajanje linearnih faktora.

kolegij, dodan 19.07.2013


Pojam matrice i linearnih djelovanja na njih. Svojstva operacije zbrajanja matrica. Determinante drugog i trećeg reda. Primjena Sarrusova pravila. Osnovne metode rješavanja determinanti. Elementarne matrične transformacije. Svojstva inverzne matrice.

tutorijal, dodan 3.4.2010


Problemi i metode linearne algebre. Svojstva determinanti i redoslijed njihova izračunavanja. Nalaženje inverzne matrice Gaussovom metodom. Razvoj računskog algoritma u programu Pascal ABC za izračun determinanti i pronalaženje inverzne matrice.

kolegij, dodan 01.02.2013


Pojam i namjena determinanti, njihove opće karakteristike, metode izračuna i svojstva. Matrična algebra. Sustavi linearnih jednadžbi i njihovo rješavanje. Vektorska algebra, njezini zakoni i principi. Svojstva i primjena križnog produkta.

test, dodan 01.04.2012


Elementi linearne algebre. Vrste matrica i operacije na njima. Svojstva matričnih determinanti i njihovo izračunavanje. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi u matričnom obliku primjenom Cramerovih formula i Gaussove metode. Elementi diferencijalnog i integralnog računa.

tutorial, dodano 06.11.2011


Broj koji karakterizira kvadratnu matricu. Izračunavanje determinante prvog i drugog reda matrice. Korištenje pravila trokuta. Algebarski komplement nekog elementa determinante. Preslaganje dva retka ili stupca determinante.

prezentacija, dodano 21.09.2013


Pojam ranga matrice. Leontijev model diverzificirane ekonomije. Svojstva skalarnog umnoška. Dekompozicija vektora po koordinatnim osima. Minor i algebarski komplement. Determinante drugog i trećeg reda. Ravnina i pravac u prostoru.

tečaj predavanja, dodan 30.10.2013


Teorija determinanti u djelima P. Laplacea, O. Cauchyja i C. Jacobija. Determinante drugog reda i sustavi dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Determinante trećeg reda i svojstva determinanti. Rješavanje sustava jednadžbi pomoću Cramerovog pravila.

prezentacija, dodano 31.10.2016


Determinante drugog i trećeg reda, svojstva determinanti. Dva načina za izračunavanje determinante trećeg reda. Teorem o dekompoziciji. Cramerov teorem, koji pruža praktičan način rješavanja sustava linearnih jednadžbi pomoću determinanti.

Determinante drugog i trećeg reda.

Brojevi m i n se nazivaju dimenzije matrice.

Matrica se zove kvadrat, ako je m = n. Broj n u ovom slučaju se zove u redu kvadratna matrica.

Svakoj kvadratnoj matrici može se pridružiti broj koji je jedinstveno određen pomoću svih elemenata matrice. Taj se broj naziva determinanta.

Odrednica drugog reda je broj dobiven korištenjem elemenata kvadratne matrice 2. reda na sljedeći način: .

U ovom slučaju, od umnoška elemenata koji se nalaze na takozvanoj glavnoj dijagonali matrice (od gornjeg lijevog do donjeg desnog kuta), oduzima se umnožak elemenata koji se nalaze na drugoj, odnosno sporednoj dijagonali. .

Odrednica trećeg reda je broj određen pomoću elemenata kvadratne matrice 3. reda kako slijedi:

Komentar. Kako biste lakše zapamtili ovu formulu, možete koristiti takozvano Cramerovo pravilo (trokuta). Ona glasi: elementi čiji umnošci ulaze u determinantu sa znakom “+” raspoređeni su na sljedeći način:

Formiraju dva trokuta, simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu. Elementi čiji su produkti uključeni u determinantu sa znakom "-" smješteni su na sličan način u odnosu na sekundarnu dijagonalu:

14. Odrednice th reda. (determinante višeg reda)

Odrednica n reda koji odgovara matrici ne, broj se zove:

Osnovne metode za izračunavanje determinanti:

1) Metoda smanjenja narudžbe Odrednica se temelji na odnosu: (1)

Gdje naziva se algebarski komplement th elementa. Minor element se naziva determinanta n-1 poredak, dobiven iz izvorne odrednice brisanjem ja-ta crta i j th stupac.

Relacija (1) se zove ekspanzija determinante u ja- ta linija. Slično, možemo napisati proširenje determinante duž stupca:

Teorema: Za svaku kvadratnu matricu vrijedi jednakost ,

gdje je i Kroneckerov simbol

2) Metoda svođenja na trokutasti oblik na temelju sedmog svojstva determinanti.

Primjer: Izračunajte determinantu: oduzmite prvi red od svih ostalih.

3) Metoda povratne relacije omogućuje izražavanje zadane determinante kroz determinantu istog tipa, ali nižeg reda.

Permutacije, inverzije.

Bilo koji raspored brojeva 1, 2, ..., n nekim određenim redoslijedom, tzv preuređenje iz n znakova (brojeva).

Opći pogled na permutaciju: .

Nijedan se od njih ne pojavljuje dva puta u permutaciji.

Permutacija se zove čak , ako njegovi elementi čine paran broj inverzija, i neparan inače.

Brojevi k i p u permutaciji su inverzija (poremećaj), ako je k > p, ali k dolazi prije p u ovoj permutaciji.

Tri svojstva permutacija.

Svojstvo 1: Broj različitih permutacija je jednak ( , glasi: “ n faktorijel").

Dokaz. Broj permutacija podudara se s brojem načina na koji se mogu sastaviti različite permutacije. Pri sastavljanju permutacija kao j 1 možete uzeti bilo koji od brojeva 1, 2, ..., n, što daje n prilike. Ako j 1 je već odabran, zatim kao j 2 možete uzeti jedan od preostalih n– 1 broj i broj načina koje možete izabrati j 1 i j 2 će biti jednako, itd. Posljednji broj u permutaciji može se odabrati samo na jedan način, što daje načine, a time i permutacije.

Svojstvo 2: Svaka transpozicija mijenja paritet permutacije.

Dokaz.Slučaj 1. Brojevi koji se transponiraju postavljaju se jedan pored drugoga u permutaciji, tj. izgleda kao (..., k,str, ...), ovdje elipsa (...) označava brojeve koji ostaju na svojim mjestima tijekom transpozicije. Transpozicija ga pretvara u permutaciju oblika (..., str, k,...). U tim permutacijama svaki od brojeva k,Rčini iste inverzije s brojevima koji ostaju na mjestu. Ako brojevi k I str nisu prethodno kompajlirali inverzije (tj. k < R), tada će se u novoj permutaciji pojaviti još jedna inverzija i broj inverzija će se povećati za jednu; ako k I Rčinilo inverziju, tada će se nakon transpozicije broj inverzija smanjiti za jedan. U svakom slučaju, paritet permutacije se mijenja.

Svojstvo 3: Kada se presloži, determinanta mijenja predznak.

17. Svojstva determinanti: determinanta transponirane matrice, zamjena redaka u determinanti, determinanta matrice s identičnim redovima.

Svojstvo 1. Odrednica se ne mijenja tijekom transpozicije, t.j.

Dokaz.

Komentar. Sljedeća svojstva determinanti bit će formulirana samo za nizove. Štoviše, iz svojstva 1 slijedi da će stupci imati ista svojstva.

Svojstvo 6. Kada se preslaguju dva reda determinante, ona se množi s –1.

Dokaz.

Svojstvo 4. Determinanta koja ima dva jednaka niza je 0:

Dokaz:

18. Svojstva determinanti: rastavljanje determinante na niz.

Minor element determinante je determinanta dobivena iz zadanog elementa precrtavanjem retka i stupca u kojem se nalazi odabrani element.

Oznaka: odabrani element determinante, njegov minor.

Primjer. Za

Algebarski komplement element determinante naziva se njegov minor ako je zbroj indeksa tog elementa i+j paran broj, odnosno broj nasuprot minoru ako je i+j neparan, tj.

Razmotrimo još jedan način izračunavanja determinanti trećeg reda - takozvano širenje retka ili stupca. Da bismo to učinili, dokazujemo sljedeći teorem:

Teorema: Determinanta je jednaka zbroju umnožaka elemenata bilo kojeg od njegovih redaka ili stupaca i njihovih algebarskih komplemenata, tj.: gdje je i=1,2,3.

Dokaz.

Dokažimo teorem za prvi redak determinante, budući da za bilo koji drugi redak ili stupac možemo izvesti slično razmišljanje i dobiti isti rezultat.

Nađimo algebarske komplemente elementima prvog retka:

Ovo svojstvo možete sami dokazati usporedbom vrijednosti lijeve i desne strane jednakosti dobivene pomoću definicije 1.5.

Srednja škola br.45.

grad Moskva.

Učenik 10. razreda “B” Gorokhov Evgeniy

Nastavni rad (nacrt).

Uvod u teoriju matrica i determinanti .

1996. godine

1. Matrice.

1.1 Pojam matrice.

Matrica je pravokutna tablica brojeva koja sadrži određenu količinu m redaka i određenog broja n stupci. Brojke m I n se zovu narudžbe matrice. Ako m = n , matrica se naziva kvadrat, a broj m = n - nju u redu .

1.2 Osnovne operacije na matricama.

Osnovne aritmetičke operacije nad matricama su množenje matrice brojem, zbrajanje i množenje matrica.

Prijeđimo na definiranje osnovnih operacija na matricama.

Zbrajanje matrice : Zbroj dviju matrica, na primjer: A I B , koji imaju isti broj redaka i stupaca, drugim riječima, iste redoslijede m I n zove se matrica C = ( S i J )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) iste naredbe m I n , elementi Cij koji su jednaki.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) ( 1.2 )

Za označavanje zbroja dviju matrica koristi se oznaka C = A + B. Operacija zbrajanja matrica naziva se njihova dodatak

Dakle, po definiciji imamo:

+ =

=

Iz definicije zbroja matrica, točnije iz formule ( 1.2 ) odmah slijedi da operacija zbrajanja matrica ima ista svojstva kao i operacija zbrajanja realnih brojeva, naime:

komutativno svojstvo: A + B = B + A

kombiniranje imovine: (A + B) + C = A + (B + C)

Ova svojstva omogućuju da ne brinete o redoslijedu članova matrice kada zbrajate dvije ili više matrica.

Množenje matrice brojem :

Matrix proizvod na realan broj nazvana matrica C = (Cij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , čiji su elementi jednaki

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). ( 1.3 )

Za označavanje umnoška matrice i broja koristi se oznaka C= A ili C=A . Operacija sastavljanja umnoška matrice s brojem naziva se množenjem matrice s tim brojem.

Izravno iz formule ( 1.3 ) jasno je da množenje matrice brojem ima sljedeća svojstva:

distributivno svojstvo u pogledu zbroja matrica:

( A + B) = A+ B

asocijativno svojstvo u odnosu na numerički faktor:

( ) A= ( A)

svojstvo distribucije u odnosu na zbroj brojeva:

( + ) A= A + A .

Komentar : Razlika dviju matrica A I B identičnih redova prirodno je nazvati takvu matricu C istih redova, koji u zbroju s matricom B daje matricu A . Za označavanje razlike između dvije matrice koristi se prirodni zapis: C = A – B.

Množenje matrice :

Matrix proizvod A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , s jednakim redoslijedom m I n , po matrici B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , s jednakim redoslijedom n I str , naziva se matrica C= (S ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , s odgovarajućim jednakim redovima m I str , i elementi Cij , definirana formulom

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) ( 1.4 )

Za označavanje produkta matrice A na matricu B koristiti snimanje

C=AB . Operacija sastavljanja matričnog produkta A na matricu B nazvao množenje ove matrice. Iz gore formulirane definicije proizlazi da matrica A ne može se množiti nijednom matricom B : potrebno je da broj stupaca matrice A bio je jednaki broj redaka matrice B . Kako bi za oba djela AB I B.A. ne samo da su bile definirane, nego su imale i isti poredak, potrebno je i dovoljno da obje matrice A I B bile su kvadratne matrice istog reda.

Formula ( 1.4 ) predstavlja pravilo za sastavljanje elemenata matrice C ,

koji je produkt matrice A na matricu B . Ovo se pravilo može usmeno formulirati: Element Cij , stoji na raskrižju ja redak i j- stupac matrice C=AB , je jednako zbroj umnožaka parova odgovarajućih elemenata ja th linija matrice A I j- stupac matrice B . Kao primjer primjene ovog pravila donosimo formulu za množenje kvadratnih matrica drugog reda

=

Iz formule ( 1.4 ) slijede sljedeća svojstva produkta matrice: A na matricu B :

asocijativno svojstvo: ( AB) C = A(BC);

svojstvo distribucije u odnosu na zbroj matrica:

(A + B) C = AC + BC ili A (B + C) = AB + AC.

Ima smisla postaviti pitanje svojstva permutacije produkta matrica samo za kvadratne matrice istog reda. Elementarni primjeri to pokazuju umnožaka dviju kvadratnih matrica istog reda nema, općenito govoreći, svojstvo komutacije. Zapravo, ako stavimo

A= , B = , Da AB = , A BA =

Obično se nazivaju iste matrice za koje umnožak ima svojstvo komutacije putovanje na posao.

Među kvadratnim matricama izdvajamo klasu tzv dijagonala matrice, od kojih svaka ima elemente smještene izvan glavne dijagonale jednake nuli. Među svim dijagonalnim matricama s podudarnim elementima na glavnoj dijagonali, dvije matrice imaju posebno važnu ulogu. Prva od ovih matrica se dobiva kada su svi elementi glavne dijagonale jednaki jedinici, a naziva se matrica identiteta n- E . Druga matrica se dobiva sa svim elementima jednakim nuli i naziva se nulta matrica n- reda i označava se simbolom O . Pretpostavimo da postoji proizvoljna matrica A , Zatim

AE=EA=A , AO=OA=O .

Prva od formula karakterizira posebnu ulogu matrice identiteta E , slično ulozi koju ima broj 1 pri množenju realnih brojeva. Što se tiče posebne uloge nulte matrice OKO , onda se otkriva ne samo drugom od formula, već i elementarnom provjerljivom jednakošću: A+O=O+A=A . Koncept nulte matrice ne može se uvesti za kvadratne matrice.

2. Odrednice.

2.1 Pojam determinante.

Prije svega, morate zapamtiti da determinante postoje samo za matrice kvadratnog tipa, jer ne postoje determinante za matrice drugih tipova. U teoriji sustava linearnih jednadžbi iu nekim drugim pitanjima zgodno je koristiti koncept determinanta , ili determinanta .

2.2 Izračun determinanti.

Razmotrite bilo koja četiri broja zapisana u obliku matrice dva u redovima i svaki dva stupca , Determinanta ili determinanta , sastavljen od brojeva u ovoj tablici, je broj ad-bc , označeno na sljedeći način: . Takva se odrednica naziva determinanta drugog reda , budući da je za njeno sastavljanje uzeta tablica od dva retka i dva stupca. Brojevi koji čine determinantu nazivaju se njezini elementi ; ujedno govore da elementi a I d šminka glavna dijagonala odrednica i elementi b I c njegov bočna dijagonala . Vidi se da je determinanta jednaka razlici umnožaka parova elemenata koji se nalaze na njegovoj glavnoj i sporednoj dijagonali. Odrednica trećeg i bilo kojeg drugog reda je približno ista, naime: Recimo da imamo kvadratnu matricu . Determinanta sljedeće matrice je sljedeći izraz: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Kao što vidite, izračunava se vrlo jednostavno ako zapamtite određeni niz. S pozitivnim predznakom su glavna dijagonala i trokuti sastavljeni od elemenata, koji imaju stranicu paralelnu s glavnom dijagonalom, u ovom slučaju to su trokuti a12a23a31 , a13a21a32 .

Bočna dijagonala i s njom paralelni trokuti imaju negativan predznak, tj. a11a23a32, a12a21a33 . Na taj se način mogu pronaći determinante bilo kojeg reda. Ali postoje slučajevi kada ova metoda postaje prilično komplicirana, na primjer, kada postoji mnogo elemenata u matrici, a da biste izračunali determinantu morate potrošiti puno vremena i pažnje.

Postoji lakši način za izračunavanje determinante n- o red, gdje n 2 . Dogovorimo se da svaki element nazovemo minorom Aij matrice n- determinanta prvog reda koja odgovara matrici koja je dobivena iz matrice kao rezultat brisanja ja redak i j- stupac (taj red i onaj stupac u čijem se sjecištu nalazi element Aij ). Sporedni element Aij označit ćemo simbolom . U ovom zapisu, gornji indeks označava broj retka, donji indeks broj stupca, a crtica iznad M znači da su navedeni red i stupac prekriženi. Odrednica reda n , koji odgovara matrici, nazivamo broj jednak i označen simbolom .

Teorem 1.1 Bez obzira na broj retka ja ( i =1, 2…, n) , za odrednicu n- vrijedi formula prvog reda veličine

= det A =

nazvao ja- th linija . Naglašavamo da je u ovoj formuli eksponent na koji se broj podiže (-1) jednak zbroju brojeva retka i stupca u čijem se sjecištu element nalazi Aij .

Teorem 1.2 Bez obzira na broj stupca j ( j =1, 2…, n) , za odrednicu n vrijedi formula th reda

= det A =

nazvao proširenje ove odrednice u j- th stupac .

2.3 Osnovna svojstva determinanti.

Determinante također imaju svojstva koja olakšavaju zadatak njihovog izračunavanja. Dakle, u nastavku utvrđujemo niz svojstava koja ima proizvoljna determinanta n -ti red.

1 . Svojstvo jednakosti redaka i stupca . Transponiranje bilo koje matrice ili determinante je operacija kao rezultat koje se retci i stupci mijenjaju zadržavajući svoj redoslijed. Kao rezultat transpozicije matrice A rezultirajuća matrica naziva se matrica, koja se naziva transponirana u odnosu na matricu A i označen je simbolom A .

Prvo svojstvo determinante formulira se na sljedeći način: tijekom transpozicije vrijednost determinante se čuva, tj. = .

2 . Svojstvo antisimetrije kada se preuređuju dva retka (ili dva stupca) . Kada se dva retka (ili dva stupca) zamijene, determinanta zadržava svoju apsolutnu vrijednost, ali mijenja predznak u suprotan. Za determinantu drugog reda to se svojstvo može provjeriti na elementaran način (iz formule za izračunavanje determinante drugog reda odmah proizlazi da se determinante razlikuju samo predznakom).

3 . Linearnost determinante. Reći ćemo da je neki niz ( a) je linearna kombinacija druga dva niza ( b I c ) s koeficijentima I . Svojstvo linearnosti može se formulirati na sljedeći način: ako je u determinanti n -ti red neki ja -ti redak je linearna kombinacija dvaju redaka s koeficijentima I , To = + , Gdje

– odrednica koja ima ja -ti red jednak je jednom od dva reda linearne kombinacije, a svi ostali redovi su isti kao , A - odrednica koja ima ja- i niz je jednak drugom od dva niza, a svi ostali nizovi su isti kao .

Ova tri svojstva su glavna svojstva determinante, otkrivajući njenu prirodu. Sljedećih pet svojstava su logične posljedice tri glavna svojstva.

Korolar 1. Determinanta s dva identična retka (ili stupca) jednaka je nuli.

Korolar 2. Množenje svih elemenata nekog retka (ili nekog stupca) determinante brojem a je ekvivalentno množenju determinante tim brojem a . Drugim riječima, zajednički faktor svih elemenata određenog retka (ili nekog stupca) determinante može se izbaciti iz predznaka te determinante.

Korolar 3. Ako su svi elementi određenog retka (ili nekog stupca) jednaki nuli, onda je i sama determinanta jednaka nuli.

Korolar 4. Ako su elementi dva retka (ili dva stupca) determinante proporcionalni, tada je determinanta jednaka nuli.

Korolar 5. Ako elementima određenog retka (ili nekog stupca) determinante dodamo odgovarajuće elemente drugog retka (drugog stupca), množenje s proizvoljnim faktorom , tada se vrijednost determinante ne mijenja. Korolar 5, kao i svojstvo linearnosti, dopušta općenitiju formulaciju koju ću dati za nizove: ako elementima određenog retka determinante dodamo odgovarajuće elemente niza koji je linearna kombinacija nekoliko drugih redaka ove determinante (s bilo kojim koeficijentom), tada se vrijednost determinante neće promijeniti . Korolar 5 se široko koristi u konkretnom izračunu determinanti.

3. Sustavi linearnih jednadžbi.

3.1 Osnovne definicije.

…….

3.2. Uvjet kompatibilnosti sustava linearnih jednadžbi.

…….

3.3 Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.

Poznato je da pomoću matrica možemo rješavati različite sustave jednadžbi, a ti sustavi mogu biti bilo koje veličine i imati neograničeni broj varijabli. Uz nekoliko izvoda i formula, rješavanje ogromnih sustava jednadžbi postaje prilično brzo i lakše.

Posebno ću opisati Cramerovu i Gaussovu metodu. Najlakši način je Cramerova metoda (za mene), ili kako je još zovu, Cramerova formula. Dakle, recimo da imamo neki sustav jednadžbi . Glavna determinanta, kao što ste već primijetili, je matrica sastavljena od koeficijenata varijabli. Također se pojavljuju u redoslijedu stupaca, tj. prvi stupac sadrži koeficijente koji se nalaze na x , u drugom stupcu na g , i tako dalje. Ovo je vrlo važno jer ćemo u sljedećim koracima svaki stupac koeficijenata za varijablu zamijeniti stupcem odgovora jednadžbe. Dakle, kao što sam rekao, zamijenimo stupac kod prve varijable sa stupcem odgovora, zatim kod druge, naravno sve ovisi o tome koliko varijabli trebamo pronaći.

1 = , 2 = , 3 = .

Zatim treba pronaći odrednice odrednica sustava .

3.4 Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

…….

4. Inverzna matrica.

4.1 Pojam inverzne matrice.

4.2 Izračun inverzne matrice.

Bibliografija.

V. A. Ilyin, E. G. Poznyak “Linearna algebra”

2. G. D. Kim, E. V. Shikin “Elementarne transformacije u linearnoj algebri”

Tema 1. Matrice i matrice determinante

Što učimo:

Osnovni pojmovi linearne algebre: matrica, determinanta.

Što ćemo naučiti:

Izvođenje operacija na matricama;

Izračunajte s determinantama drugog i trećeg reda.

Tema 1.1. Pojam matrice. Akcije na matricama

∆ Matrica je pravokutna tablica koja se sastoji od redaka i stupaca, ispunjena nekim matematičkim objektima.

Matrice su označene velikim latiničnim slovima, sama tablica je u zagradama (rjeđe u kvadratnim ili drugim oblicima).

Elementi A i J nazvao elementi matrice . Prvi indeks ja– broj retka, sekundaj– broj stupca. Najčešće su elementi brojevi.

Unos "matrica" A ima veličinu m× n» znači da govorimo o matrici koja se sastoji odm linije i n stupci.

Ako m = 1, a n > 1, tada je matricamatrica – redak . Ako m > 1, a n = 1, tada je matricamatrica – stupac .

Matrica u kojoj se broj redaka poklapa s brojem stupaca (m= n), zove se kvadrat .

.

Elementi a 11 , a 22 ,…, a nn kvadratna matricaA (veličina n× n) oblik glavna dijagonala , elementi a 1 n , a 2 n -1 ,…, a n 1 - bočna dijagonala .

U matrici
elementi 5; 7 čine glavnu dijagonalu, elementi –5; 8 – bočna dijagonala.

Matrice A I B se zovu jednak (A= B), ako su iste veličine i njihovi elementi na istim pozicijama se podudaraju, tj.A i J = b i J .

Matrica identiteta zove se kvadratna matrica u kojoj su elementi glavne dijagonale jednaki jedinici, a ostali elementi jednaki nuli. Matrica identiteta obično se označava E.

Matrica transponirano na matricu A veličinem× n, naziva se matrica A T veličina n× m, dobivena iz matrice A, ako su njezini redovi zapisani u stupce, a stupci u retke.

Aritmetičke operacije na matricama.

Pronaći zbroj matrica A I B iste dimenzije, potrebno je dodati elemente sa istim indeksima (stoje na istim mjestima):

.

Zbrajanje matrica je komutativno, to jest A + B = B + A.

Pronaći razlika matrice A I B iste dimenzije, potrebno je pronaći razliku elemenata s istim indeksima:

.

Do množenje matrica Apo broju k, Svaki element matrice potrebno je pomnožiti ovim brojem:

.

Raditi matrice AB može se definirati samo za matriceA veličina m× n I B veličina n× str, tj. broj stupaca matriceA mora biti jednak broju redaka matriceU. pri čemu A· B= C, matrica C ima veličinu m× str, i njegov element c i J nalazi se kao skalarni produktjath redovi matrice A na jth stupac matriceB: ( ja=1,2,…, m; j=1,2,…, str).

!! Zapravo je svaki redak potreban matrice A (stoji s lijeve strane) pomnožite skalar sa svakim stupcem matrice B (stoji s desne strane).

Umnožak matrica nije komutativan, tj.A·V ≠ V·A . ▲

☺ Potrebno je analizirati primjere za učvršćivanje teorijskog gradiva.

Primjer 1. Određivanje veličine matrica.

Primjer 2. Definicija elemenata matrice.

U elementu matrice A 11 = 2, A 12 = 5, A 13 = 3.

U elementu matrice A 21 = 2, A 13 = 0.

Primjer 3: Izvođenje transpozicije matrice.

,

Primjer 4. Izvođenje operacija na matricama.

Pronaći 2 A- B, Ako , .

Riješenje. .

Primjer 5. Odredite umnožak matrica I .

Riješenje. Veličina matriceA – 3 × 2 , matrice U – 2 × 2 . Stoga proizvodA·B možete ga pronaći. Dobivamo:

Raditi VA ne može se pronaći.

Primjer 6. Nađi A 3 ako A =
.

Riješenje. A 2 = ·=
=
,

A 3 = ·=
=
.

Primjer 6. Pronađite 2 A 2 + 3 A + 5 E na
,
.

Riješenje. ,

,
,

,
.

Zadaci koje treba izvršiti

1. Ispunite tablicu.

2. Izvođenje operacija na matricama
I
:

3. Izvršite množenje matrice:

4. Transponirajte matrice:

? 1. Što je matrica?

2. Kako razlikovati matricu od ostalih elemenata linearne algebre?

3. Kako odrediti veličinu matrice? Zašto je to potrebno?

4. Što znači unos? A i J ?

5. Objasnite sljedeće pojmove: glavna dijagonala, sporedna dijagonala matrice.

6. Koje operacije se mogu izvoditi na matricama?

7. Objasnite bit operacije množenja matrice?

8. Mogu li se sve matrice množiti? Zašto?

Tema 1.2. Odrednice drugog i trećeg reda : m metode za njihov proračun

∆ Ako je A kvadratna matrica n-tog reda, tada mu možemo pridružiti broj tzv determinanta n-ti red i označena sa |A|. Odnosno, determinanta je napisana kao matrica, ali je umjesto zagrada u ravnim zagradama.

!! Ponekad se determinatori nazivaju determinantama na engleski način, tj = detalj A.

Odrednica 1. reda (determinanta matrice A veličine1 × 1 ) je sam element koji sadrži matrica A, tj.

Odrednica 2. reda (determinanta matrice Veličina 2 × 2 ) je broj koji se može pronaći pomoću pravila:

(umnožak elemenata na glavnoj dijagonali matrice minus umnožak elemenata na sporednoj dijagonali).

Odrednica 3. reda (determinanta matrice Veličina 3 × 3 ) je broj koji se može pronaći korištenjem pravila “trokuta”:

Za izračunavanje determinanti 3. reda možete koristiti jednostavnije pravilo - pravilo pravaca (paralelnih pravaca).

Pravilo smjerova : Sa desno od determinante dodaje se u prva dva stupca, umnošci elemenata na glavnoj dijagonali i na njoj paralelnim dijagonalama uzimaju se s znakom plus; a umnošci elemenata sekundarne dijagonale i njoj paralelnih dijagonala su s predznakom minus.

!! Za izračunavanje determinanti možete koristiti njihova svojstva koja vrijede za determinante bilo kojeg reda.

Svojstva determinanti:

1° . Determinanta matrice A ne mijenja se tijekom transpozicije, tj. |A| = |A T |. Ovo svojstvo karakterizira jednakost redaka i stupaca.

2° . Kod preslagivanja dva retka (dva stupca) determinanta zadržava prethodnu vrijednost, ali se predznak mijenja.

4° . Ako bilo koji redak ili stupac sadrži zajednički faktor, tada se može izbaciti iz predznaka determinante.

Korolar 4.1. Ako su svi elementi bilo kojeg niza determinante jednaki nuli, tada je i determinanta jednaka nuli.

Korolar 4.2. Ako su elementi bilo kojeg niza determinante proporcionalni odgovarajućim elementima niza koji mu je paralelan, tada je determinanta jednaka nuli.▲

☺ Potrebno je analizirati pravila za izračunavanje determinanti.

Primjer 1: Izračundeterminante drugog reda,
.

Riješenje.

Srednja škola br.45.

grad Moskva.

Učenik 10. razreda “B” Gorokhov Evgeniy

Nastavni rad (nacrt).

Uvod u teoriju matrica i determinanti .

1. Matrice..................................................... ......... ................................................ ............... ................................... ................... ......

1.1 Pojam matrice..................................................... ...... ............................................ ............ ...................................

1.2 Osnovne operacije na matricama............................................. ......................................................... ............. .

2. Odrednice..................................................... ......... ................................................ ............... ................................... ........

2.1 Pojam determinante ............................................ ......................................................... .............. .........................

2.2 Izračun determinanti..................................................... ...... ............................................ ............ ...............

2.3 Osnovna svojstva determinanti............................................. ......................................................... .............

3. Sustavi linearnih jednadžbi............................................. ......................................................... .............. .

3.1 Osnovne definicije..................................................... .... ................................................ .......... ........................

3.2 Uvjet konzistentnosti za sustave linearnih jednadžbi.................................................. .......... ...............

3.3 Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom......................................... ........... ..........

3.4 Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom................................................. ............ .............

4. Inverzna matrica............................................. ...... ............................................ ............ ...................................

4.1 Koncept inverzne matrice............................................. ......................................................... ............. ................

4.2 Izračun inverzne matrice............................................ ......................................................... ...................

Bibliografija.................................................. ................................................. ..... ................................

Matrica je pravokutna tablica brojeva koja sadrži određenu količinu m redaka i određenog broja n stupci. Brojke m I n se zovu narudžbe matrice. Ako m = n , matrica se naziva kvadrat, a broj m = n -- nju u redu .

Osnovne aritmetičke operacije nad matricama su množenje matrice brojem, zbrajanje i množenje matrica.

Prijeđimo na definiranje osnovnih operacija na matricama.

Zbrajanje matrice: Zbroj dviju matrica, na primjer: A I B , koji imaju isti broj redaka i stupaca, drugim riječima, iste redoslijede m I n zove se matrica C = ( S i J )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) iste naredbe m I n , elementi Cij koji su jednaki.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Za označavanje zbroja dviju matrica koristi se oznaka C = A + B. Operacija zbrajanja matrica naziva se njihova dodatak

Dakle, po definiciji imamo:

+ =

=

Iz definicije zbroja matrica, točnije iz formule ( 1.2 ) odmah slijedi da operacija zbrajanja matrica ima ista svojstva kao i operacija zbrajanja realnih brojeva, naime:

1) komutativno svojstvo: A + B = B + A

2) kombiniranje imovine: (A + B) + C = A + (B + C)

Ova svojstva omogućuju da ne brinete o redoslijedu članova matrice kada zbrajate dvije ili više matrica.

Množenje matrice brojem :

Matrix proizvod jer se realan broj naziva matrica C = (Cij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , čiji su elementi jednaki

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Za označavanje umnoška matrice i broja koristi se oznaka C= A ili C=A . Operacija sastavljanja umnoška matrice s brojem naziva se množenjem matrice s tim brojem.

Izravno iz formule ( 1.3 ) jasno je da množenje matrice brojem ima sljedeća svojstva:

1) distributivno svojstvo u pogledu zbroja matrica:

( A + B) = A+ B

2) asocijativno svojstvo u odnosu na numerički faktor:

() A= ( A)

3) svojstvo distribucije u odnosu na zbroj brojeva:

( + ) A= A + A .

Komentar :Razlika dviju matrica A I B identičnih redova prirodno je nazvati takvu matricu C istih redova, koji u zbroju s matricom B daje matricu A . Za označavanje razlike između dvije matrice koristi se prirodni zapis: C = A – B.

Množenje matrice :

Matrix proizvod A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , s jednakim redoslijedom m I n , po matrici B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , s jednakim redoslijedom n I str , naziva se matrica C= (S ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , s odgovarajućim jednakim redovima m I str , i elementi Cij , definirana formulom

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Za označavanje produkta matrice A na matricu B koristiti snimanje

C=AB . Operacija sastavljanja matričnog produkta A na matricu B nazvao množenje ove matrice. Iz gore formulirane definicije proizlazi da matrica A ne može se množiti nijednom matricom B : potrebno je da broj stupaca matrice A bio je jednaki broj redaka matrice B . Kako bi za oba djela AB I B.A. ne samo da su bile definirane, nego su imale i isti poredak, potrebno je i dovoljno da obje matrice A I B bile su kvadratne matrice istog reda.

Formula ( 1.4 ) predstavlja pravilo za sastavljanje elemenata matrice C ,

koji je produkt matrice A na matricu B . Ovo se pravilo može usmeno formulirati: Element Cij , stoji na raskrižju ja redak i j- stupac matrice C=AB , je jednako zbroj umnožaka parova odgovarajućih elemenata ja th linija matrice A I j- stupac matrice B . Kao primjer primjene ovog pravila donosimo formulu za množenje kvadratnih matrica drugog reda

Iz formule ( 1.4 ) slijede sljedeća svojstva produkta matrice: A na matricu B :

1) asocijativno svojstvo: ( AB) C = A(BC);

2) svojstvo distribucije u odnosu na zbroj matrica:

(A + B) C = AC + BC ili A (B + C) = AB + AC.

Ima smisla postaviti pitanje svojstva permutacije produkta matrica samo za kvadratne matrice istog reda. Elementarni primjeri pokazuju da umnožak dviju kvadratnih matrica istog reda, općenito govoreći, nema svojstvo komutacije. Zapravo, ako stavimo

A = , B = , Da AB = , A BA =

Obično se nazivaju iste matrice za koje umnožak ima svojstvo komutacije putovanje na posao.

Među kvadratnim matricama izdvajamo klasu tzv dijagonala matrice, od kojih svaka ima elemente smještene izvan glavne dijagonale jednake nuli. Među svim dijagonalnim matricama s podudarnim elementima na glavnoj dijagonali, dvije matrice imaju posebno važnu ulogu. Prva od ovih matrica se dobiva kada su svi elementi glavne dijagonale jednaki jedinici, a naziva se matrica identiteta n- E . Druga matrica se dobiva sa svim elementima jednakim nuli i naziva se nulta matrica n- reda i označava se simbolom O . Pretpostavimo da postoji proizvoljna matrica A , Zatim

AE=EA=A , AO=OA=O .

Prva od formula karakterizira posebnu ulogu matrice identiteta E, slično ulozi koju ima broj 1 pri množenju realnih brojeva. Što se tiče posebne uloge nulte matrice OKO, onda se otkriva ne samo drugom od formula, već i elementarnom provjerljivom jednakošću: A+O=O+A=A . Koncept nulte matrice ne može se uvesti za kvadratne matrice.

Prije svega, morate zapamtiti da determinante postoje samo za matrice kvadratnog tipa, jer ne postoje determinante za matrice drugih tipova. U teoriji sustava linearnih jednadžbi iu nekim drugim pitanjima zgodno je koristiti koncept determinanta, ili determinanta .

Razmotrimo bilo koja četiri broja zapisana u obliku matrice od dva u redovima i dva stupca , Determinanta ili determinanta, sastavljen od brojeva u ovoj tablici, je broj ad-bc , označeno na sljedeći način: .Takva se odrednica zove determinanta drugog reda, budući da je za njeno sastavljanje uzeta tablica od dva retka i dva stupca. Brojevi koji čine determinantu nazivaju se njezini elementi; ujedno govore da elementi a I d šminka glavna dijagonala odrednica i elementi b I c njegov bočna dijagonala. Vidi se da je determinanta jednaka razlici umnožaka parova elemenata koji se nalaze na njegovoj glavnoj i sporednoj dijagonali. Odrednica trećeg i bilo kojeg drugog reda je približno ista, naime: Recimo da imamo kvadratnu matricu . Determinanta sljedeće matrice je sljedeći izraz: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Kao što vidite, izračunava se vrlo jednostavno ako zapamtite određeni niz. S pozitivnim predznakom su glavna dijagonala i trokuti sastavljeni od elemenata, koji imaju stranicu paralelnu s glavnom dijagonalom, u ovom slučaju to su trokuti a12a23a31, a13a21a32 .

Bočna dijagonala i s njom paralelni trokuti imaju negativan predznak, tj. a11a23a32, a12a21a33 . Na taj se način mogu pronaći determinante bilo kojeg reda. Ali postoje slučajevi kada ova metoda postaje prilično komplicirana, na primjer, kada postoji mnogo elemenata u matrici, a da biste izračunali determinantu morate potrošiti puno vremena i pažnje.

Postoji lakši način za izračunavanje determinante n- o red, gdje n2 . Dogovorimo se da svaki element nazovemo minorom Aij matrice n- determinanta prvog reda koja odgovara matrici koja je dobivena iz matrice kao rezultat brisanja ja redak i j- stupac (taj red i onaj stupac u čijem se sjecištu nalazi element Aij ). Sporedni element Aij bit će označen simbolom . U ovom zapisu, gornji indeks označava broj retka, donji indeks broj stupca, a crtica iznad M znači da su navedeni red i stupac prekriženi. Odrednica reda n , koji odgovara matrici, nazivamo broj jednak i označen simbolom .

Teorem 1.1 Bez obzira na broj retka ja ( i =1, 2…, n) , za odrednicu n- vrijedi formula prvog reda veličine

= det A =

nazvao ja- th linija . Naglašavamo da je u ovoj formuli eksponent na koji se broj podiže (-1) jednak zbroju brojeva retka i stupca u čijem se sjecištu element nalazi Aij .

Teorem 1.2 Bez obzira na broj stupca j ( j =1, 2…, n) , za odrednicu n vrijedi formula th reda

= det A =

nazvao proširenje ove odrednice u j- th stupac .

Determinante također imaju svojstva koja olakšavaju zadatak njihovog izračunavanja. Dakle, u nastavku utvrđujemo niz svojstava koja ima proizvoljna determinanta n -ti red.

1. Svojstvo jednakosti redaka i stupca . Transponiranje bilo koje matrice ili determinante je operacija kao rezultat koje se retci i stupci mijenjaju zadržavajući svoj redoslijed. Kao rezultat transpozicije matrice A rezultirajuća matrica naziva se matrica, koja se naziva transponirana u odnosu na matricu A i označen je simbolom A .

Prvo svojstvo determinante formulira se na sljedeći način: tijekom transpozicije vrijednost determinante se čuva, tj. = .

2. Svojstvo antisimetrije kada se preuređuju dva retka (ili dva stupca). Kada se dva retka (ili dva stupca) zamijene, determinanta zadržava svoju apsolutnu vrijednost, ali mijenja predznak u suprotan. Za determinantu drugog reda to se svojstvo može provjeriti na elementaran način (iz formule za izračunavanje determinante drugog reda odmah proizlazi da se determinante razlikuju samo predznakom).

3. Linearnost determinante. Reći ćemo da je neki niz ( a) je linearna kombinacija druga dva niza ( b I c ) s koeficijentima i . Svojstvo linearnosti može se formulirati na sljedeći način: ako je u determinanti n neki red ja Redak je linearna kombinacija dvaju redaka s koeficijentima i , zatim = + , gdje

- odrednica koja ima ja -ti red jednak je jednom od dva reda linearne kombinacije, a svi ostali redovi su isti kao , a je odrednica za koju ja- i niz je jednak drugom od dva niza, a svi ostali nizovi su isti kao .

Ova tri svojstva su glavna svojstva determinante, otkrivajući njenu prirodu. Sljedećih pet svojstava su logične posljedice tri glavna svojstva.

Korolar 1. Determinanta s dva identična retka (ili stupca) jednaka je nuli.

Korolar 2. Množenje svih elemenata nekog retka (ili nekog stupca) determinante brojem a je ekvivalentno množenju determinante tim brojem a . Drugim riječima, zajednički faktor svih elemenata određenog retka (ili nekog stupca) determinante može se izbaciti iz predznaka te determinante.

Korolar 3. Ako su svi elementi određenog retka (ili nekog stupca) jednaki nuli, onda je i sama determinanta jednaka nuli.

Korolar 4. Ako su elementi dva retka (ili dva stupca) determinante proporcionalni, tada je determinanta jednaka nuli.

Korolar 5. Ako elementima određenog retka (ili nekog stupca) determinante dodamo odgovarajuće elemente drugog retka (drugog stupca), pomnoživši s proizvoljnim faktorom, tada se vrijednost determinante ne mijenja. Korolar 5, kao i svojstvo linearnosti, dopušta općenitiju formulaciju koju ću dati za nizove: ako elementima određenog retka determinante dodamo odgovarajuće elemente niza koji je linearna kombinacija nekoliko drugih redaka ove determinante (s bilo kojim koeficijentom), tada se vrijednost determinante neće promijeniti . Korolar 5 se široko koristi u konkretnom izračunu determinanti.

Poznato je da pomoću matrica možemo rješavati različite sustave jednadžbi, a ti sustavi mogu biti bilo koje veličine i imati neograničeni broj varijabli. Uz nekoliko izvoda i formula, rješavanje ogromnih sustava jednadžbi postaje prilično brzo i lakše.

Posebno ću opisati Cramerovu i Gaussovu metodu. Najlakši način je Cramerova metoda (za mene), ili kako je još zovu, Cramerova formula. Dakle, recimo da imamo neki sustav jednadžbi

, U matričnom obliku ovaj se sustav može napisati na sljedeći način: A= , gdje će odgovori na jednadžbe biti u zadnjem stupcu. Sada ćemo uvesti koncept temeljne odrednice; u ovom slučaju to će izgledati ovako:

= . Glavna determinanta, kao što ste već primijetili, je matrica sastavljena od koeficijenata varijabli. Također se pojavljuju u redoslijedu stupaca, tj. prvi stupac sadrži koeficijente koji se nalaze na x , u drugom stupcu na g , i tako dalje. Ovo je vrlo važno jer ćemo u sljedećim koracima svaki stupac koeficijenata za varijablu zamijeniti stupcem odgovora jednadžbe. Dakle, kao što sam rekao, zamijenimo stupac kod prve varijable sa stupcem odgovora, zatim kod druge, naravno sve ovisi o tome koliko varijabli trebamo pronaći.

1 = , 2 = , 3 = .

Zatim trebate pronaći determinante 1, 2, 3. Već znate kako pronaći determinantu trećeg reda. A Ovdje primjenjujemo Cramerovo pravilo. Ovako izgleda:

x1 = , x2 = , x3 = – za ovaj slučaj, ali općenito to izgleda ovako: x ja = . Determinanta sastavljena od koeficijenata za nepoznanice naziva se odrednica sustava .

1. V. A. Ilyin, E. G. Poznyak “Linearna algebra”

2. G. D. Kim, E. V. Shikin “Elementarne transformacije u linearnoj algebri”