Formula vektora udaljenosti od točke do ravnine. Udaljenost od točke do ravnine

Promotrimo određenu ravninu π i proizvoljnu točku M 0 u prostoru. Odaberimo za avion jedinični normalni vektor n sa početak u nekoj točki M 1 ∈ π, a neka je p(M 0 ,π) udaljenost od točke M 0 do ravnine π. Zatim (sl. 5.5)

r(M 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

budući da |n| = 1.

Ako je zadana ravnina π pravokutni koordinatni sustav sa svojom općom jednadžbom Ax + By + Cz + D = 0, tada je njegov vektor normale vektor s koordinatama (A; B; C) i možemo odabrati

Neka su (x 0 ; y 0 ; z 0) i (x 1 ; y 1 ; z 1) koordinate točaka M 0 i M 1 . Tada vrijedi jednakost Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, budući da točka M 1 pripada ravnini, a koordinate vektora M 1 M 0 nalaze se: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 - y 1 ; z 0 - z 1 ). Snimanje skalarni proizvod nM 1 M 0 u koordinatnom obliku i transformacijom (5.8) dobivamo

budući da je Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Dakle, da biste izračunali udaljenost od točke do ravnine, trebate zamijeniti koordinate točke u općoj jednadžbi ravnine, a zatim podijeliti apsolutnu vrijednost rezultat normalizirajućim faktorom jednakim duljini odgovarajućeg normalnog vektora.

, Natjecanje "Prezentacija za lekciju"

Klasa: 11

Prezentacija za lekciju

Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

• generalizacija i sistematizacija znanja i vještina učenika;
• razvoj sposobnosti analiziranja, uspoređivanja, donošenja zaključaka.

Oprema:

• multimedijski projektor;
• Računalo;
• listovi s problemskim tekstovima

NAPREDOVANJE RAZREDA

I. Organizacijski trenutak

II. Faza ažuriranja znanja(slajd 2)

Ponavljamo kako se određuje udaljenost točke od ravnine

III. Predavanje(slajdovi 3-15)

U ovoj lekciji ćemo pogledati različite načine kako pronaći udaljenost od točke do ravnine.

Prva metoda: korak po korak računski

Udaljenost od točke M do ravnine α:
– jednaka udaljenosti do ravnine α od proizvoljne točke P koja leži na pravoj liniji a koja prolazi točkom M i paralelna je s ravninom α;
– jednaka je udaljenosti do ravnine α od proizvoljne točke P koja leži na ravnini β, koja prolazi točkom M i paralelna je s ravninom α.

Riješit ćemo sljedeće probleme:

№1. U kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke C 1 do ravnine AB 1 C.

Ostaje izračunati vrijednost duljine segmenta O 1 N.

№2. U pravilnoj šesterokutnoj prizmi A...F 1 kojoj su svi bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost od točke A do ravnine DEA 1.

Sljedeća metoda: metoda volumena.

Ako je volumen piramide ABCM jednak V, tada se udaljenost od točke M do ravnine α koja sadrži ∆ABC izračunava po formuli ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Pri rješavanju zadataka koristimo jednakost obujma jednog lika, izraženu na dva različita načina.

Riješimo sljedeći problem:

№3. Brid AD piramide DABC okomit je na ravninu osnovice ABC. Odredite udaljenost od A do ravnine koja prolazi središtima bridova AB, AC i AD, ako.

Prilikom rješavanja problema koordinatna metoda udaljenost od točke M do ravnine α može se izračunati pomoću formule ρ(M; α) = , gdje je M(x 0; y 0; z 0), a ravnina je dana jednadžbom ax + by + cz + d = 0

Riješimo sljedeći problem:

№4. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke A 1 do ravnine BDC 1.

Uvedimo koordinatni sustav s ishodištem u točki A, y-os će ići duž ruba AB, x-os duž ruba AD, a z-os duž ruba AA 1. Tada su koordinate točaka B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Napravimo jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točke B, D, C 1.

Tada je – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Prema tome, ρ =

Sljedeća metoda koja se može koristiti za rješavanje problema ove vrste je metoda problema podrške.

Primjena ove metode sastoji se u korištenju poznatih referentnih problema, koji su formulirani kao teoremi.

Riješimo sljedeći problem:

№5. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke D 1 do ravnine AB 1 C.

Razmotrimo aplikaciju vektorska metoda.

№6. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite udaljenost od točke A 1 do ravnine BDC 1.

Dakle, pogledali smo različite metode koje se mogu koristiti za rješavanje ove vrste problema. Izbor jedne ili druge metode ovisi o specifičnom zadatku i vašim željama.

IV. Grupni rad

Pokušajte riješiti problem na različite načine.

№1. Brid kocke A...D 1 jednak je . Odredi udaljenost od vrha C do ravnine BDC 1.

№2. U pravilnom tetraedru ABCD s bridom odredite udaljenost točke A od ravnine BDC

№3. U pravilnoj trokutastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1 čiji su svi bridovi jednaki 1, pronađite udaljenost od A do ravnine BCA 1.

№4. U pravilnoj četverokutnoj piramidi SABCD, čiji su svi bridovi jednaki 1, nađite udaljenost od A do ravnine SCD.

V. Sažetak sata, domaća zadaća, refleksija

Određivanje udaljenosti između: 1 - točke i ravnine; 2 - ravno i ravno; 3 - ravnine; 4 - križanje ravnih linija razmatra se zajedno, budući da je algoritam rješenja za sve ove probleme u biti isti i sastoji se od geometrijskih konstrukcija koje je potrebno izvesti da bi se odredila udaljenost između zadane točke A i ravnine α. Ako razlika i postoji, ona se sastoji samo u tome što u slučajevima 2 i 3, prije nego što se pristupi rješavanju zadatka, treba označiti proizvoljnu točku A na pravoj liniji m (slučaj 2) ili ravnini β (slučaj 3). udaljenosti između ravnina koje se sijeku, prvo ih zatvorimo u paralelne ravnine α i β, a zatim odredimo udaljenost između tih ravnina.

Razmotrimo svaki od navedenih slučajeva rješavanja problema.

1. Određivanje udaljenosti između točke i ravnine.

Udaljenost od točke do ravnine određena je duljinom okomice povučene iz točke na ravninu.

Stoga se rješenje ovog problema sastoji u uzastopnom izvođenju sljedećih grafičkih operacija:

1) iz točke A spustimo okomicu na ravninu α (sl. 269);

2) nađite točku M presjeka te okomice s ravninom M = a ∩ α;

3) odrediti duljinu segmenta.

Ako je ravnina α u općem položaju, tada je za spuštanje okomice na tu ravninu potrebno prvo odrediti smjer horizontalne i frontalne projekcije te ravnine. Pronalaženje točke susreta ove okomice s ravninom također zahtijeva dodatne geometrijske konstrukcije.

Rješenje problema je pojednostavljeno ako ravnina α zauzima određeni položaj u odnosu na ravnine projekcije. U ovom slučaju, i projekcija okomice i pronalaženje točke njezina susreta s ravninom izvode se bez ikakvih dodatnih pomoćnih konstrukcija.

PRIMJER 1. Odredite udaljenost od točke A do frontalno projicirane ravnine α (sl. 270).

RIJEŠENJE. Kroz A" povucimo horizontalnu projekciju okomice l" ⊥ h 0α, a kroz A" - njenu frontalnu projekciju l" ⊥ f 0α. Označimo točku M" = l" ∩ f 0α . Od AM || π 2, tada [A" M"] == |AM| = d.

Iz razmatranog primjera jasno je kako se problem jednostavno rješava kada ravnina zauzme projicirani položaj. Stoga, ako je ravnina općeg položaja navedena u izvornim podacima, tada prije nego što nastavite s rješenjem, ravninu treba pomaknuti u položaj okomit na bilo koju ravninu projekcije.

PRIMJER 2. Odrediti udaljenost od točke K do ravnine zadane s ΔAVS (sl. 271).

1. Ravninu ΔAVS prenosimo u projicirajući položaj *. Da bismo to učinili, prelazimo sa sustava xπ 2 /π 1 na x 1 π 3 /π 1: smjer nove osi x 1 odabiremo okomito na vodoravnu projekciju vodoravne ravnine trokuta.

2. Projicirajte ΔABC na novu ravninu π 3 (ravnina ΔABC projicira se na π 3, u [ C " 1 B " 1 ]).

3. Projicirajte točku K na istu ravninu (K" → K" 1).

4. Kroz točku K" 1 povučemo (K" 1 M" 1)⊥ odsječak [C" 1 B" 1]. Tražena udaljenost d = |K" 1 M" 1 |

Rješenje problema je pojednostavljeno ako je ravnina definirana tragovima, budući da nema potrebe crtati projekcije nivelmana.

PRIMJER 3. Odrediti udaljenost od točke K do ravnine α, zadane stazama (sl. 272).

* Najracionalniji način prijenosa ravnine trokuta u položaj projiciranja je zamjena ravnina projiciranja, jer je u tom slučaju dovoljno konstruirati samo jednu pomoćnu projekciju.

RIJEŠENJE. Ravninu π 1 zamijenimo ravninom π 3, za to nacrtamo novu os x 1 ⊥ f 0α. Na h 0α označimo proizvoljnu točku 1" i odredimo njezinu novu horizontalnu projekciju na ravninu π 3 (1" 1). Kroz točke X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) i 1" 1 povučemo h 0α 1. Odredimo novu horizontalnu projekciju točke K → K" 1. Iz točke K" 1 spustimo okomicu na h 0α 1 i označimo točku njezina sjecišta s h 0α 1 - M" 1. Duljina segmenta K" 1 M" 1 će pokazati potrebnu udaljenost.

2. Određivanje udaljenosti između pravca i ravnine.

Udaljenost između pravca i ravnine određena je duljinom okomitog odsječka spuštenog s proizvoljne točke na pravcu na ravninu (vidi sliku 248).

Stoga se rješenje problema određivanja udaljenosti između pravca m i ravnine α ne razlikuje od primjera koji su razmatrani u paragrafu 1 za određivanje udaljenosti između točke i ravnine (vidi sl. 270 ... 272). Kao točku možete uzeti bilo koju točku koja pripada pravoj m.

3. Određivanje udaljenosti između ravnina.

Udaljenost između ravnina određena je veličinom okomitog segmenta spuštenog s točke na jednoj ravnini na drugu ravninu.

Iz ove definicije proizlazi da se algoritam za rješavanje problema određivanja udaljenosti između ravnina α i β razlikuje od sličnog algoritma za rješavanje problema određivanja udaljenosti između pravca m i ravnine α samo po tome što pravac m mora pripadati ravnini α. , tj. da bi se odredila udaljenost između ravnina α i β slijedi:

1) uzmite ravnu liniju m u ravnini α;

2) izaberemo proizvoljnu točku A na pravcu m;

3) iz točke A spustiti okomicu l na ravninu β;

4) odrediti točku M - susretište okomice l s ravninom β;

5) odrediti veličinu segmenta.

U praksi je preporučljivo koristiti drugačiji algoritam rješenja, koji će se razlikovati od danog samo po tome što prije nastavka s prvim korakom ravnine treba prebaciti u položaj projekcije.

Uključivanje ove dodatne operacije u algoritam pojednostavljuje izvođenje svih ostalih točaka bez iznimke, što u konačnici dovodi do jednostavnijeg rješenja.

PRIMJER 1. Odredite udaljenost ravnina α i β (slika 273).

RIJEŠENJE. Prelazimo sa sustava xπ 2 /π 1 na x 1 π 1 /π 3. U odnosu na novu ravninu π 3, ravnine α i β zauzimaju projicirajući položaj, stoga je udaljenost između novih frontalnih tragova f 0α 1 i f 0β 1 željena.

U inženjerskoj praksi često je potrebno riješiti problem konstruiranja ravnine paralelne s danom ravninom i udaljene od nje na zadanoj udaljenosti. Primjer 2 u nastavku ilustrira rješenje takvog problema.

PRIMJER 2. Potrebno je konstruirati projekcije ravnine β paralelne sa zadanom ravninom α (m || n), ako je poznato da je udaljenost između njih d (sl. 274).

1. U ravnini α nacrtamo proizvoljne vodoravne pravce h (1, 3) i prednje pravce f (1,2).

2. Iz točke 1 vratimo okomicu l na ravninu α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Na okomici l označimo proizvoljnu točku A.

4. Odredite duljinu segmenta - (položaj označava na dijagramu metrički neiskrivljen smjer pravca l).

5. Položite segment = d na ravnu liniju (1"A 0) od točke 1".

6. Označite na projekcijama l" i l" točke B" i B", koje odgovaraju točki B 0.

7. Kroz točku B povučemo ravninu β (h 1 ∩ f 1). Za β || α, potrebno je poštovati uvjet h 1 || h i f 1 || f.

4. Određivanje udaljenosti između linija koje se sijeku.

Udaljenost između pravaca koji se sijeku određena je duljinom okomice koja se nalazi između paralelnih ravnina kojima pravci koji se sijeku pripadaju.

Da bismo kroz prave m i f koje se sijeku povukli međusobno paralelne ravnine α i β, dovoljno je kroz točku A (A ∈ m) povući pravac p paralelan s pravcem f, a kroz točku B (B ∈ f) pravac k paralelan s ravnim m . Presječne linije m i p, f i k definiraju međusobno paralelne ravnine α i β (vidi sliku 248, e). Udaljenost između ravnina α i β jednaka je traženoj udaljenosti između križnih pravaca m i f.

Može se predložiti i drugi način određivanja udaljenosti između pravaca koji se sijeku, a sastoji se u tome da se nekom od metoda transformacije ortogonalnih projekcija jedan od pravaca koji se sijeku prenese u položaj projiciranja. U tom slučaju jedna projekcija pravca degenerira u točku. Udaljenost između novih projekcija križnih pravaca (točke A" 2 i segmenta C" 2 D" 2) je potrebna.

Na sl. 275 prikazano je rješenje zadatka određivanja udaljenosti između pravaca a i b, zadanih odsječaka [AB] i [CD]. Rješenje se izvodi u sljedećem nizu:

1. Jednu od križnih pravaca (a) premjestiti u položaj paralelan s ravninom π 3; Da biste to učinili, prijeđite sa sustava ravnina projekcija xπ 2 /π 1 na novi x 1 π 1 /π 3, os x 1 je paralelna s horizontalnom projekcijom ravne crte a. Odredite a" 1 [A" 1 B" 1 ] i b" 1.

2. Zamjenom ravnine π 1 ravninom π 4 translatiramo ravnu liniju

i na položaj a" 2, okomito na ravninu π 4 (nova x 2 os povučena je okomito na a" 1).

3. Konstruirajte novu horizontalnu projekciju pravca b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. Udaljenost od točke A" 2 do ravne linije C" 2 D" 2 (odsječak (A" 2 M" 2 ] (potreban je.

Treba imati na umu da prijenos jedne od križnih pravaca u istureni položaj nije ništa drugo nego prijenos ravnina paralelnosti, u koje se mogu zatvoriti pravci a i b, također u istureni položaj.

Zapravo, pomicanjem pravca a u položaj okomit na ravninu π 4, osiguravamo da svaka ravnina koja sadrži pravac a bude okomita na ravninu π 4, uključujući ravninu α definiranu pravcima a i m (a ∩ m, m | |. b ). Ako sada povučemo pravac n, paralelan s a i koji siječe pravac b, tada ćemo dobiti ravninu β, koja je druga ravnina paralelnosti, koja sadrži siječne pravce a i b. Budući da je β || α, tada β ⊥ π 4 .

Neka bude avion . Nacrtajmo normalu
kroz ishodište koordinata O. Neka je zadano
– kutovi koje čini normala s koordinatnim osima.
. Neka – duljina normalnog segmenta
dok se ne presječe s ravninom. Pod pretpostavkom da su poznati kosinusi smjera normale , izvodimo jednadžbu ravnine .

Neka
) je proizvoljna točka na ravnini. Jedinični normalni vektor ima koordinate. Nađimo projekciju vektora
u normalu.

Od točke M pripada ravnini, dakle

.

Ovo je jednadžba zadane ravnine, tzv normalan .

Udaljenost od točke do ravnine

Neka se da avion ,M*
– točka u prostoru, d – njegova udaljenost od zrakoplova.

Definicija. Odstupanje bodova M* iz aviona se zove broj ( + d), Ako M* leži s druge strane ravnine na koju pokazuje pozitivan smjer normale , i broj (- d), ako se točka nalazi s druge strane ravnine:

.

Teorema. Neka avion s jediničnom normalom dano normalnom jednadžbom:

Neka M*
– točka u prostoru Odstupanje t. M* iz ravnine dat je izrazom

Dokaz. Projekcija t.
* označavamo normalnim Q. Odstupanje točke M* iz ravnine je jednaka

.

Pravilo. Pronaći odstupanje T. M* iz ravnine, trebate zamijeniti koordinate t u normalnu jednadžbu ravnine. M* . Udaljenost od točke do ravnine je .

Svođenje opće jednadžbe ravnine na normalni oblik

Neka je ista ravnina definirana s dvije jednadžbe:

Opća jednadžba

Normalna jednadžba.

Budući da obje jednadžbe definiraju istu ravninu, njihovi su koeficijenti proporcionalni:

Kvadriramo prve tri jednakosti i zbrojimo ih:

Odavde ćemo pronaći – faktor normalizacije:

. (10)

Množenjem opće jednadžbe ravnine normalizirajućim faktorom dobivamo normalnu jednadžbu ravnine:

Primjeri problema na temu "Avion".

Primjer 1. Napravite jednadžbu ravnine prolazeći kroz datu točku
(2,1,-1) i paralelna s ravninom.

Riješenje. Normalno na ravninu :
. Budući da su ravnine paralelne, tada je normala također je normalna na željenu ravninu . Koristeći jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadanu točku (3), dobivamo za ravninu jednadžba:

Odgovor:

Primjer 2. Osnovica okomice spuštene iz ishodišta na ravninu , poanta je
. Pronađite jednadžbu ravnine .

Riješenje. Vektor
normalna je na ravninu . Točka M 0 pripada ravnini. Možete koristiti jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadanu točku (3):

Odgovor:

Primjer 3. Konstruirajte ravninu , prolazeći kroz točke

a okomito na ravninu :.

Stoga, za neku točku M (x, g, z) pripadao je avionu , potrebno je da tri vektora
bili komplanarni:

=0.

Ostaje otkriti determinantu i rezultirajući izraz dovesti u oblik opće jednadžbe (1).

Primjer 4. Avion dano općom jednadžbom:

Pronađite odstupanje točke
iz date ravnine.

Riješenje. Dovedimo jednadžbu ravnine u normalni oblik.

,

.

Zamijenimo koordinate točke u dobivenu normalnu jednadžbu M*.

.

Odgovor:
.

Primjer 5. Sječe li ravnina segment?

Riješenje. Rezati AB prešao ravninu, odstupanja I iz aviona moraju imati različite znakove:

.

Primjer 6. Sjecište triju ravnina u jednoj točki.

.

Sustav ima jedinstveno rješenje, dakle, tri ravnine imaju jednu zajedničku točku.

Primjer 7. Određivanje simetrala diedarskog kuta kojeg tvore dvije zadane ravnine.

Neka I - odstupanje neke točke
iz prve i druge ravnine.

Na jednoj simetrali (koja odgovara kutu u kojem se nalazi ishodište koordinata) ta su odstupanja jednaka po veličini i predznaku, a na drugoj su jednaka po veličini i suprotna po predznaku.

Ovo je jednadžba prve simetrale ravnine.

Ovo je jednadžba druge simetrale ravnine.

Primjer 8. Određivanje položaja dviju zadanih točaka I u odnosu na diedralne kutove koje čine te ravnine.

Neka
. Odredite: postoje točke u jednom, susjednim ili okomitim kutovima I .

A). Ako I ležati na jednoj strani i od , tada leže u istom diedralnom kutu.

b). Ako I ležati na jednoj strani i različito od , tada leže u susjednim kutovima.

V). Ako I ležati na suprotnim stranama I , tada leže u okomitim kutovima.

Koordinatni sustavi 3

Pravci u ravnini 8

Linije prvog reda. Ravno u avionu. 10

Kut između ravnih linija 12

Opća jednadžba linije 13

Nepotpuna jednadžba prvog stupnja 14

Jednadžba pravca “u segmentima” 14

Zajedničko proučavanje jednadžbi dvaju pravaca 15

Normalno na liniju 15

Kut između dviju ravnih linija 16

Kanonska jednadžba linije 16

Parametarske jednadžbe pravca 17

Normalna (normalizirana) jednadžba pravca 18

Udaljenost od točke do linije 19

Jednadžba olovke linija 20

Primjeri zadataka na temu “prava u ravnini” 22

Vektorski produkt vektora 24

Svojstva unakrsnog umnoška 24

Geometrijska svojstva 24

Algebarska svojstva 25

Izražavanje vektorskog umnoška preko koordinata faktora 26

Mješoviti produkt tri vektora 28

Geometrijsko značenje mješovitog proizvoda 28

Izražavanje mješovitog umnoška kroz vektorske koordinate 29

Primjeri rješavanja problema

Određivanje udaljenosti od točke do ravnine čest je problem koji se javlja pri rješavanju različitih problema analitičke geometrije, na primjer, ovaj se problem može svesti na određivanje udaljenosti između dviju ravnina koje se sijeku ili između pravca i ravnine paralelne s; to.

Promotrimo ravninu $β$ i točku $M_0$ s koordinatama $(x_0;y_0; z_0)$ koja ne pripada ravnini $β$.

Definicija 1

Najkraća udaljenost između točke i ravnine bit će okomica povučena iz točke $M_0$ na ravninu $β$.

Slika 1. Udaljenost od točke do ravnine. Avtor24 - online razmjena studentskih radova

U nastavku ćemo raspravljati o tome kako pronaći udaljenost od točke do ravnine pomoću koordinatne metode.

Izvođenje formule za koordinatni način određivanja udaljenosti točke do ravnine u prostoru

Okomica iz točke $M_0$ koja siječe ravninu $β$ u točki $M_1$ s koordinatama $(x_1;y_1; z_1)$ leži na pravoj crti čiji je vektor smjera normalni vektor ravnine $β$. U tom je slučaju duljina jediničnog vektora $n$ jednaka jedinici. Prema tome, udaljenost od $β$ do točke $M_0$ bit će:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, gdje je $\vec(M_1M_0)$ vektor normale $β$ ravnine, a $\vec( n)$ je jedinični vektor normale razmatrane ravnine.

U slučaju kada je jednadžba ravnine dana u općem obliku $Ax+ By + Cz + D=0$, koordinate vektora normale ravnine su koeficijenti jednadžbe $\(A;B;C\ )$, a jedinični normalni vektor u ovom slučaju ima koordinate izračunate pomoću sljedeće jednadžbe:

$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\lijevo(2\desno)$.

Sada možemo pronaći koordinate vektora normale $\vec(M_1M_0)$:

$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\lijevo(3\desno)$.

Koeficijent $D$ također izražavamo pomoću koordinata točke koja leži u $β$ ravnini:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Koordinate jediničnog vektora normale iz jednakosti $(2)$ možemo zamijeniti u jednadžbu $β$ ravnine, tada imamo:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2 +B^2+C^2))\lijevo(4\desno)$

Jednakost $(4)$ je formula za pronalaženje udaljenosti od točke do ravnine u prostoru.

Opći algoritam za određivanje udaljenosti od točke $M_0$ do ravnine

1. Ako jednadžba ravnine nije dana u općem obliku, prvo je treba svesti na opći oblik.
2. Nakon toga potrebno je iz opće jednadžbe ravnine izraziti vektor normale zadane ravnine kroz točku $M_0$ i točku koja pripada zadanoj ravnini, za to treba koristiti jednakost $(3)$ .
3. Sljedeća faza je traženje koordinata jediničnog vektora normale ravnine pomoću formule $(2)$.
4. Konačno, možete početi pronaći udaljenost od točke do ravnine, to se radi izračunavanjem skalarnog produkta vektora $\vec(n)$ i $\vec(M_1M_0)$.