Teorijski materijal. Teorijski materijal Napravite jednadžbu tangente na plohu

Preuzmite s Depositfilesa

4. TEORIJA POVRŠINA.

4.1 JEDNADŽBE POVRŠINA.

Površina u trodimenzionalnom prostoru može se odrediti:

1) implicitno: F ( x , g , z ) =0 (4.1)

2) izričito: z = f ( x , g ) (4.2)

3) parametarski: (4.3)

ili:
(4.3’)

gdje su skalarni argumenti
ponekad se nazivaju krivocrtne koordinate. Na primjer, sfera
zgodno je odrediti u sfernim koordinatama:
.

4.2 TANGENTNA RAVNINA I NORMALNA NA POVRŠINU.

Ako pravac leži na površini (4.1), koordinate njezinih točaka zadovoljavaju jednadžbu površine:

Razlikujući ovaj identitet, dobivamo:

(4.4)

ili
(4.4 ’ )

u svakoj točki krivulje na površini. Dakle, vektor gradijenta u nesingularnim točkama površine (na kojima je funkcija (4.5) diferencijabilna i
) je okomit na vektore tangente na bilo koju liniju na površini, tj. može se koristiti kao normalni vektor za sastavljanje jednadžbe tangentne ravnine u točki M 0 (x 0 , g 0 , z 0 ) površina

(4.6)

i kao vektor smjera u normalnoj jednadžbi:

(4.7)

U slučaju eksplicitne (4.2) specifikacije površine, jednadžbe tangentne ravnine i normale imaju oblik:

(4.8)

I
(4.9)

Uz parametarski prikaz plohe (4.3), vektori
leže u tangentnoj ravnini i jednadžba tangentne ravnine može se napisati kao:

(4.10)

a njihov vektorski produkt može se uzeti kao normalni vektor smjera:

a normalna jednadžba se može napisati kao:

(4.11)

Gdje
— vrijednosti parametara koje odgovaraju točki M 0 .

U nastavku ćemo se ograničiti na razmatranje samo takvih površinskih točaka u kojima su vektori

nije jednak nuli i nije paralelan.

Primjer 4.1 Napravite jednadžbe za tangentnu ravninu i normalu u točki M 0 (1,1,2) na površinu paraboloida revolucije
.

Rješenje: Budući da je jednadžba paraboloida dana eksplicitno, tada prema (4.8) i (4.9) treba pronaći
u točki M 0 :

, au točki M 0
. Tada je jednadžba tangentne ravnine u točki M 0 će imati oblik:

2(x -1)+2(g -1)-(z-2)=0 ili 2 x +2 g – z - 2=0, i normalna jednadžba
.

Primjer 4.2 Sastavite jednadžbe za tangentnu ravninu i normalu u proizvoljnoj točki helikoida
, .

Riješenje. ovdje,

Jednadžba tangentne ravnine:

ili

Normalne jednadžbe:

.

4.3 PRVI KVADRATNI OBLIK POVRŠINE.

Ako je površina dana jednadžbom

zatim krivulja
može se dati jednadžbom
(4.12)

Radijus vektor diferencijal
duž krivulje, koja odgovara pomaku iz točke M 0 do najbliže točke M, jednako je

(4.13)

Jer
je diferencijal luka krivulje koji odgovara istom pomaku), tada

(4.14)

Gdje .

Izraz na desnoj strani (4.14) naziva se prva kvadratna forma plohe i igra veliku ulogu u teoriji ploha.

Integriram diferencijalds u rasponu od t 0 (odgovara točki M 0 ) do t (odgovara točki M), dobivamo duljinu odgovarajućeg segmenta krivulje

(4.15)

Poznavajući prvi kvadratni oblik površine, možete pronaći ne samo duljine, već i kutove između krivulja.

Ako du , dv su diferencijali krivuljastih koordinata koji odgovaraju infinitezimalnom pomaku duž jedne krivulje, i
- s druge strane, uzimajući u obzir (4.13):

(4.16)

Korištenje formule

(4.17)

prvi kvadratni oblik omogućuje izračunavanje površine regije
površine.

Primjer 4.3 Na helikoidu pronađite duljinu zavojnice
između dvije točke.

Riješenje. Jer na spiralu
, To . Pronađimo u točki
prvi kvadratni oblik. Odredivši iv = t , dobivamo jednadžbu ove spiralne linije u obliku . Kvadratni oblik:

= - prvi kvadratni oblik.

ovdje . U formuli (4.15) u ovom slučaju
i duljina luka:

=

4.4 DRUGI KVADRATNI OBLIK POVRŠINE.

Označimo
- jedinični vektor normalan na površinu
:

(4.18) . (4.23)

Crta na plohi naziva se linijom zakrivljenosti ako je njen smjer u svakoj točki glavni smjer.

4.6 POJAM GEODETSKE CRTE NA POVRŠINI.

Definicija 4.1 . Krivulja na površini naziva se geodetska ako je njezina glavna normala u svakoj točki gdje je zakrivljenost različita od nule, ona se podudara s normalom na površinu.

Kroz svaku točku plohe u bilo kojem smjeru prolazi samo jedna geodetska. Na sferi su, na primjer, velike kružnice geodetske linije.

Parametrizacija površine naziva se polugeodetskom ako se jedna familija koordinatnih linija sastoji od geodezijskih linija, a druga je ortogonalna na nju. Na primjer, na sferi postoje meridijani (geodeze) i paralele.

Geodetska na dovoljno malom segmentu je najkraća među svim njoj bliskim krivuljama koje spajaju iste točke.

Graf funkcije 2 varijable z = f(x,y) je ploha projicirana na ravninu XOY u domenu definicije funkcije D.
Razmotrite površinu σ , dana jednadžbom z = f(x,y), gdje je f(x,y) diferencijabilna funkcija, i neka je M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) fiksna točka na površini σ, tj. z 0 = f(x 0 ,y 0). Svrha. Mrežni kalkulator dizajniran je za pronalaženje jednadžbe normale tangentne ravnine i površine. Rješenje se izrađuje u Word formatu. Ako trebate pronaći jednadžbu tangente na krivulju (y = f(x)), tada morate koristiti ovu uslugu.

Pravila za unos funkcija:

Pravila za unos funkcija:

Tangentna ravnina na površinu σ u njezinoj točki M 0 je ravnina u kojoj leže tangente na sve krivulje povučene na plohi σ kroz točku M 0 .
Jednadžba tangentne ravnine na površinu definirana jednadžbom z = f(x,y) u točki M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ima oblik:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Primjer br. 1. Površina je dana jednadžbom x 3 +5y. Nađite jednadžbu tangentne ravnine na plohu u točki M 0 (0;1).
Riješenje. Napišimo jednadžbe tangente u općem obliku: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0 )
Prema uvjetima zadatka, x 0 = 0, y 0 = 1, zatim z 0 = 5
Nađimo parcijalne derivacije funkcije z = x^3+5*y:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
U točki M 0 (0,1) vrijednosti parcijalnih derivacija su:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Pomoću formule dobivamo jednadžbu tangentne ravnine na površinu u točki M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) ili -5 y+z = 0

Primjer br. 2. Površina je definirana implicitno y 2 -1/2*x 3 -8z. Nađite jednadžbu tangentne ravnine na plohu u točki M 0 (1;0;1).
Riješenje. Određivanje parcijalnih derivacija funkcije. Budući da je funkcija specificirana implicitno, izvedenice tražimo pomoću formule:

Za našu funkciju:

Zatim:

U točki M 0 (1,0,1) vrijednosti parcijalnih derivata:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Pomoću formule dobivamo jednadžbu tangentne ravnine na površinu u točki M 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) ili 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Primjer. Površinski σ zadan jednadžbom z= y/x + xy – 5x 3. Nađite jednadžbu tangentne ravnine i normale na površinu σ u točki M 0 (x 0 ,g 0 ,z 0), koji pripada njoj, ako x 0 = –1, g 0 = 2.
Nađimo parcijalne derivacije funkcije z= f(x,g) = y/x + xy – 5x 3:
f x ’( x,g) = (y/x + xy – 5x 3)’ x = – y/x 2 + g – 15x 2 ;
j' ( x,g) = (y/x + xy – 5x 3)’ y = 1/x + x.
Točka M 0 (x 0 ,g 0 ,z 0) pripada površini σ , tako da možemo izračunati z 0 , zamjenjujući zadano x 0 = –1 i g 0 = 2 u jednadžbu površine:

z= y/x + xy – 5x 3

Primjer br. 1. Dana je funkcija z=f(x,y) i dvije točke A(x 0, y 0) i B(x 1, y 1). Zahtijeva se: 1) izračunati vrijednost z 1 funkcije u točki B; 2) izračunati približnu vrijednost z 1 funkcije u točki B na temelju vrijednosti z 0 funkcije u točki A, zamjenjujući prirast funkcije pri prelasku iz točke A u točku B diferencijalom; 3) izraditi jednadžbu za tangentnu ravninu na površinu z = f(x,y) u točki C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Riješenje.
Napišimo jednadžbe tangente u općem obliku:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
Prema uvjetima zadatka, x 0 = 1, y 0 = 2, zatim z 0 = 25
Nađimo parcijalne derivacije funkcije z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
U točki M 0 (1,2) vrijednosti parcijalnih derivacija su:
f" x (1; 2) = 26
f" y (1; 2) = 36
Pomoću formule dobivamo jednadžbu tangentne ravnine na površinu u točki M 0:
z - 25 = 26 (x - 1) + 36 (y - 2)
ili
-26 x-36 y+z+73 = 0

Primjer br. 2. Napišite jednadžbe tangentne ravnine i normale na eliptični paraboloid z = 2x 2 + y 2 u točki (1;-1;3).

1°. Jednadžbe tangentne ravnine i normale za slučaj eksplicitne definicije plohe.

Razmotrimo jednu od geometrijskih primjena parcijalnih derivacija funkcije dviju varijabli. Neka funkcija z = f (x ;y) diferencijabilan u točki (x 0; y 0) neko područje DÎ R 2. Izrežimo površinu S, predstavljanje funkcije z, avionima x = x 0 I y = y 0(slika 11).

Avion x = x 0 presijeca površinu S po nekoj liniji z 0 (y),čija se jednadžba dobiva zamjenom u izraz izvorne funkcije z ==f (x ;y) umjesto x brojevima x 0 . Točka M 0 (x 0 ;y 0,f (x 0 ;y 0)) pripada krivulji z 0 (y). Zbog diferencijabilne funkcije z u točki M 0 funkcija z 0 (y) je također diferencijabilan u točki y =y 0 . Prema tome, u ovoj točki u ravnini x = x 0 do krivulje z 0 (y) može se povući tangenta l 1.

Izvođenje sličnog obrazloženja za odjeljak na = y 0, izgradimo tangentu l 2 do krivulje z 0 (x) u točki x = x 0 - Direktno 1 1 I 1 2 definiraju ravninu tzv tangentna ravnina na površinu S u točki M 0.

Kreirajmo njegovu jednadžbu. Budući da ravnina prolazi točkom Mo(x 0 ;y 0 ;z 0), tada se njegova jednadžba može napisati kao

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

koji se može prepisati ovako:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(dijeleći jednadžbu s -C i označavajući ).

Naći ćemo A 1 i B 1.

Tangentne jednadžbe 1 1 I 1 2 izgledati kao

odnosno.

Tangens l 1 leži u ravnini a , dakle, koordinate svih točaka l 1 zadovoljiti jednadžbu (1). Ova se činjenica može napisati u obliku sustava

Razrješavajući ovaj sustav s obzirom na B 1, dobivamo to provođenjem sličnog razmišljanja za tangentu l 3, lako je utvrditi da .

Zamjena vrijednosti A 1 i B 1 u jednadžbu (1), dobivamo željenu jednadžbu tangentne ravnine:

Pravac koji prolazi točkom M 0 a okomita na tangentnu ravninu konstruiranu u ovoj točki na plohi naziva se njezina normalan.

Koristeći uvjet okomitosti pravca i ravnine, lako je dobiti kanonske normalne jednadžbe:

Komentar. Formule za tangentnu ravninu i normalu na plohu dobivene su za obične, tj. nespecijalne točke plohe. Točka M 0 površina se zove poseban, ako su u ovom trenutku sve parcijalne derivacije jednake nuli ili barem jedna od njih ne postoji. Takve točke ne razmatramo.

Primjer. Napišite jednadžbe za tangentnu ravninu i normalu na površinu u njezinoj točki M(2; -1; 1).

Riješenje. Nađimo parcijalne derivacije ove funkcije i njihove vrijednosti u točki M

Odavde, primjenom formula (2) i (3), imat ćemo: z-1=2(x-2)+2(y+1) ili 2h+2u-z-1=0- jednadžba tangentne ravnine i - normalne jednadžbe.

2°. Jednadžbe tangentne ravnine i normale za slučaj implicitne definicije plohe.

Ako površina S zadan jednadžbom F (x ; y;z)= 0, zatim jednadžbe (2) i (3), uzimajući u obzir činjenicu da se parcijalne derivacije mogu naći kao derivacije implicitne funkcije.

Jednadžba normalne ravnine

1.

4.

Tangentna ravnina i normala površine

Neka je dana neka ploha, A je fiksna točka plohe, a B varijabilna točka plohe,

Vektor različit od nule

Točka površine F (x, y, z) = 0 naziva se običnom ako je u ovoj točki

1. parcijalne derivacije F " x , F " y , F " z su neprekidne;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Ako je barem jedan od ovih uvjeta prekršen, naziva se površinska točka posebna točka površine .

Teorem 1. Ako je M(x 0 , y 0 , z 0 ) je obična točka plohe F (x , y , z) = 0 , tada je vektor

normalna je na tu površinu u točki M (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Dokaz dano u knjizi I.M. Petrushko, L.A. Kuznjecova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova ``Tečaj više matematike: Integralni račun. Funkcije više varijabli. Diferencijalne jednadžbe. M.: Izdavačka kuća MPEI, 2002 (str. 128).

Normalno na površinu u nekoj točki postoji ravna linija čiji je vektor smjera normalan na površinu u ovoj točki i koja prolazi kroz ovu točku.

Kanonski normalne jednadžbe može se prikazati u obliku

Tangentna ravnina na površinu u određenoj točki je ravnina koja prolazi kroz tu točku okomito na normalu na površinu u ovoj točki.

Iz ove definicije proizlazi da jednadžba tangentne ravnine ima oblik:

Ako je točka na plohi singularna, tada u toj točki vektor normala na plohu ne mora postojati, pa stoga ploha ne mora imati normalu i tangentnu ravninu.

Geometrijsko značenje totalnog diferencijala funkcije dviju varijabli

Neka je funkcija z = f (x, y) diferencijabilna u točki a (x 0, y 0). Njegov graf je površina

f (x, y) − z = 0.

Stavimo z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Tada točka A (x 0 , y 0 , z 0 ) pripada plohi.

Parcijalne derivacije funkcije F (x, y, z) = f (x, y) − z su

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

i u točki A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. kontinuirani su;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Dakle, A je obična točka plohe F (x, y, z) iu toj točki postoji tangentna ravnina na plohu. Prema (3) jednadžba tangentne ravnine ima oblik:

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

Vertikalni pomak točke na tangentnoj ravnini pri pomicanju iz točke a (x 0, y 0) u proizvoljnu točku p (x, y) je B Q (slika 2). Odgovarajući prirast aplikanata je

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Ovdje s desne strane nalazi se diferencijal d z funkcija z = f (x, y) u točki a (x 0, x 0). Stoga,
d f (x 0 , y 0 ). je prirast primjene točke tangentne ravnine na graf funkcije f (x, y) u točki (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

Iz definicije diferencijala slijedi da je udaljenost između točke P na grafu funkcije i točke Q na tangentnoj ravnini infinitezimal višeg reda od udaljenosti od točke p do točke a.