Rotacija tijela oko nepomične osi. Rotacijsko gibanje krutog tijela oko nepomične osi Rotacijsko gibanje materijalne točke

DEFINICIJA: Rotacijsko gibanje krutog tijela takvo gibanje kod kojeg se sve točke tijela gibaju po kružnicama, čija središta leže na istoj pravoj liniji, nazvat ćemo osi rotacije.

Da bismo proučavali dinamiku rotacijske, dodajemo poznatim kinematičkim veličinama dvije količine: trenutak moći(M) i moment inercije(J).

1. Iz iskustva je poznato: ubrzanje rotacijskog gibanja ne ovisi samo o veličini sile koja djeluje na tijelo, već i o udaljenosti od osi rotacije do pravca po kojem sila djeluje. Da bi se okarakterizirala ova okolnost, fizička veličina tzv moment sile.

Razmotrimo najjednostavniji slučaj.

DEFINICIJA: Moment sile oko određene točke “O” je vektorska veličina definirana izrazom , gdje je radijus vektor povučen od točke “O” do točke primjene sile.

Iz definicije slijedi da je aksijalni vektor. Njezin smjer je odabran tako da rotacija vektora oko točke “O” u smjeru sile i vektora čine desni sustav. Modul momenta sile jednak je , gdje je a kut između smjerova vektora i , a l= r grijeh a je duljina okomice spuštene iz točke "O" na ravnu crtu duž koje djeluje sila (tzv. rame snage u odnosu na točku “O”) (slika 4.2).

2. Eksperimentalni podaci pokazuju da na veličinu kutne akceleracije utječe ne samo masa rotirajućeg tijela, već i raspodjela mase u odnosu na os rotacije. Veličina koja uzima u obzir ovu okolnost naziva se moment inercije u odnosu na os rotacije.

DEFINICIJA: Strogo govoreći, moment inercije tijelo u odnosu na određenu os rotacije naziva se vrijednost J, jednaka zbroju proizvoda elementarnih masa s kvadratima njihovih udaljenosti od dane osi.

Zbrajanje se provodi po svim elementarnim masama na koje je tijelo podijeljeno. Treba imati na umu da ova veličina (J) postoji bez obzira na rotaciju (iako je pojam momenta tromosti uveden pri razmatranju rotacije krutog tijela).

Svako tijelo, bez obzira da li miruje ili rotira, ima određeni moment tromosti u odnosu na bilo koju os, kao što tijelo ima masu bez obzira da li se giba ili miruje.

Uzimajući u obzir da se moment tromosti može prikazati kao: . Ovaj odnos je približan i što su manji elementarni volumeni i odgovarajući elementi mase, to će biti točniji. Posljedično, zadatak pronalaženja momenata tromosti svodi se na integraciju: . Ovdje se integracija provodi po cijelom volumenu tijela.

Zapišimo momente tromosti nekih tijela pravilnog geometrijskog oblika.

Izračun momenta tromosti ovdje je prilično jednostavan, jer Pretpostavlja se da je tijelo homogeno i simetrično, a moment tromosti je određen u odnosu na os simetrije.

Za određivanje momenta tromosti tijela u odnosu na bilo koju os, potrebno je koristiti Steinerov teorem.

DEFINICIJA: Moment tromosti J oko proizvoljne osi jednak je zbroju momenta tromosti J c u odnosu na os koja je paralelna sa zadanom i prolazi kroz središte tromosti tijela, i umnoška mase tijela s kvadratom udaljenosti između osi (Sl. 4.10).

Rotacijsko gibanje krutog tijela oko fiksne osi je takvo gibanje u kojem bilo koje dvije točke koje pripadaju tijelu (ili su nepromjenjivo povezane s njim) ostaju nepomične tijekom cijelog gibanja(Sl. 2.2) .

Slika 2.2

Prolazak kroz fiksne točke A I U pravac se zove os rotacije. Budući da udaljenost između točaka krutog tijela mora ostati nepromijenjena, očito je da će tijekom rotacijskog gibanja sve točke koje pripadaju osi biti nepomične, a sve ostale će opisivati ​​krugove čije su ravnine okomite na os rotacije, a središta leže na ovoj osi. Da bismo odredili položaj rotirajućeg tijela, provučemo os rotacije uz koju je os usmjerena Az, poluravnina І – fiksni i poluravni ІІ ugrađen u samo tijelo i rotirajući s njim. Tada je položaj tijela u bilo kojem trenutku jednoznačno određen kutom uzetim s odgovarajućim predznakom φ između tih ravnina, koje nazivamo kut rotacije tijela. Razmotrit ćemo kut φ pozitivan ako kasni iz fiksne ravnine u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (za promatrača koji gleda s pozitivnog kraja osi Az), a negativan ako je u smjeru kazaljke na satu. Izmjerite kut φ Bit ćemo u radijanima. Da biste znali položaj tijela u bilo kojem trenutku u vremenu, morate znati ovisnost kuta φ s vremena t, tj.

Ova jednadžba izražava zakon rotacijskog gibanja krutog tijela oko nepomične osi.

Glavne kinematičke karakteristike rotacijskog gibanja krutog tijela su njegova kutna brzina ω i kutno ubrzanje ε.

9.2.1. Kutna brzina i kutno ubrzanje tijela

Veličina koja karakterizira brzinu promjene kuta rotacije φ tijekom vremena naziva se kutna brzina.

Ako tijekom nekog vremenskog razdoblja
tijelo se okreće za neki kut
, tada će numerički prosječna kutna brzina tijela tijekom tog vremenskog razdoblja biti
. U granici kod
dobivamo

Tako, brojčana vrijednost kutne brzine tijela u određenom trenutku jednaka je prvoj derivaciji kuta zakreta u odnosu na vrijeme.

Pravilo znakova: Kada se rotacija dogodi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ω> 0, a kada je u smjeru kazaljke na satu, tada ω< 0.

ili, budući da je radijan bezdimenzijska veličina,
.

U teoretskim proračunima prikladnije je koristiti vektor kutne brzine , čiji je modul jednak a koja je usmjerena duž osi rotacije tijela u smjeru iz kojeg je vidljiva rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Ovaj vektor odmah određuje veličinu kutne brzine, os rotacije i smjer rotacije oko te osi.

Veličina koja karakterizira brzinu promjene kutne brzine tijekom vremena naziva se kutna akceleracija tijela.

Ako tijekom nekog vremenskog razdoblja
prirast kutne brzine jednak je
, zatim odnos
, tj. određuje vrijednost prosječne akceleracije rotacijskog tijela tijekom vremena
.

Pri težnji
dobivamo veličinu kutne akceleracije u trenutku t:

Tako, brojčana vrijednost kutne akceleracije tijela u određenom trenutku jednaka je prvoj derivaciji kutne brzine ili drugoj derivaciji kuta zakreta tijela u vremenu.

Obično se koristi mjerna jedinica ili, što je također,
.

Ako se modul kutne brzine s vremenom povećava, naziva se rotacija tijela ubrzano, a ako se smanji, - usporiti Kada su vrijednosti ω I ε imaju iste predznake, tada će rotacija biti ubrzana, ako su različiti, bit će usporena. Po analogiji s kutnom brzinom, kutno ubrzanje također se može prikazati kao vektor , usmjeren duž osi rotacije. pri čemu

.

Ako tijelo rotira ubrzano poklapa se s , i suprotno sa sporom rotacijom.

Ako kutna brzina tijela ostaje konstantna tijekom kretanja ( ω= konst), tada se rotacija tijela naziva uniforma.

Iz
imamo
. Dakle, s obzirom na to da je u početnom trenutku vremena
kutak
, i uzimajući integrale lijevo od prije , a desno od 0 do t, konačno ćemo dobiti

Uz ravnomjernu rotaciju, kada =0,
I
.

Brzina ravnomjerne rotacije često se određuje brojem okretaja u minuti, označavajući tu vrijednost s n broj okretaja u minuti Pronađimo odnos između n okretaja u minuti i ω 1/s. Jednim okretajem tijelo će se zarotirati za 2π, a sa n okretaja u minuti pri 2π n; ovaj okret se radi za 1 minutu, tj. t= 1min=60s. Iz toga slijedi da

Ako kutna akceleracija tijela ostane konstantna tijekom cijelog njegovog gibanja (ε = konst), tada se poziva rotacija jednako varijabilni.

U početnom trenutku vremena t=0 kut
, i kutna brzina
(- početna kutna brzina).
;
=ε
. Integriranje lijeve strane prije , a desna od 0 do t, naći ćemo

Kutna brzina ω ove rotacije
. Ako ω i ε imaju iste predznake, rotacija će biti jednoliko ubrzano, a ako je različito - jednako sporo.

I Saveljeva.

Pri gibanju tijela naprijed (§ 60 u udžbeniku E. M. Nikitina) sve se njegove točke gibaju po istim putanjama i u svakom trenutku imaju jednake brzine i jednake akceleracije.

Prema tome, translatorno gibanje tijela određeno je kretanjem bilo koje točke, obično kretanjem težišta.

Kada razmatramo kretanje automobila (problem 147) ili dizel lokomotive (problem 141) u bilo kojem zadatku, zapravo razmatramo kretanje njihovih težišta.

Rotacijsko kretanje tijela (E.M. Nikitin, § 61) ne može se poistovjetiti s kretanjem bilo koje njegove točke. Os bilo kojeg rotacijskog tijela (zamašnjak dizelaša, rotor elektromotora, vreteno stroja, lopatice ventilatora itd.) tijekom kretanja zauzima isto mjesto u prostoru u odnosu na okolna nepokretna tijela.

Gibanje materijalne točke odn kretanje naprijed tijela karakteriziraju ovisno o vremenu linearne veličine s (put, udaljenost), v (brzina) i a (ubrzanje) sa svojim komponentama a t i a n.

Rotacijsko kretanje tijela ovisno o vremenu t karakteriziraju kutne vrijednosti: φ (kut rotacije u radijanima), ω (kutna brzina u rad/sek) i ε (kutna akceleracija u rad/sek 2).

Zakon rotacijskog gibanja tijela izražava se jednadžbom
φ = f(t).

Kutna brzina- veličina koja karakterizira brzinu rotacije tijela definirana je u općem slučaju kao derivacija kuta rotacije u odnosu na vrijeme
ω = dφ/dt = f" (t).

Kutno ubrzanje- veličina koja karakterizira brzinu promjene kutne brzine definirana je kao derivacija kutne brzine
ε = dω/dt = f"" (t).

Pri započinjanju rješavanja problema o rotacijskom gibanju tijela potrebno je imati na umu da se u tehničkim proračunima i problemima kutni pomak u pravilu ne izražava u radijanima φ, već u okretajima φ oko.

Stoga je potrebno moći prijeći s broja okretaja na radijansko mjerenje kutnog pomaka i obrnuto.

Budući da jedan puni okretaj odgovara 2π rad, tada
φ = 2πφ o i φ o = φ/(2π).

Kutna brzina se u tehničkim proračunima vrlo često mjeri u okretajima proizvedenim u minuti (o/min), pa je potrebno jasno razumjeti da ω rad/sec i n o/min izražavaju isti pojam - brzinu rotacije tijela (kutnu brzinu), ali u različitim jedinicama - u rad/sek ili u o/min.

Prijelaz s jedne jedinice kutne brzine na drugu vrši se prema formulama
ω = πn/30 i n = 30ω/π.

Kada tijelo rotira, sve njegove točke se kreću po kružnicama, čija se središta nalaze na jednoj fiksnoj ravnoj liniji (osi rotirajućeg tijela). Prilikom rješavanja problema danih u ovom poglavlju vrlo je važno jasno razumjeti odnos između kutnih veličina φ, ω i ε, koje karakteriziraju rotacijsko gibanje tijela, i linearnih veličina s, v, a t i an, koje karakteriziraju kretanje raznih točaka ovog tijela (slika 205).

Ako je R udaljenost od geometrijske osi rotirajućeg tijela do bilo koje točke A (na sl. 205 R = OA), tada je odnos između φ - kuta rotacije tijela i s - udaljenosti prijeđene točke od tijelo tijekom istog vremena izražava se kako slijedi:
s = φR.

Odnos između kutne brzine tijela i brzine točke u svakom danom trenutku izražava se jednakošću
v = ωR.

Tangencijalna akceleracija točke ovisi o kutnoj akceleraciji i određena je formulom
a t = εR.

Normalna akceleracija točke ovisi o kutnoj brzini tijela i određena je odnosom
a n = ω 2 R.

Prilikom rješavanja problema zadanog u ovom poglavlju potrebno je jasno shvatiti da je rotacija gibanje krutog tijela, a ne točke. Pojedinačna materijalna točka ne rotira, već se kreće kružno – vrši krivuljasto kretanje.

§ 33. Jednoliko rotacijsko gibanje

Ako je kutna brzina ω=const, tada se rotacijsko gibanje naziva jednolikim.

Jednadžba jednolike rotacije ima oblik
φ = φ 0 + ωt.

U posebnom slučaju kada je početni kut rotacije φ 0 =0,
φ = ωt.

Kutna brzina jednoliko rotirajućeg tijela
ω = φ/t
može se izraziti ovako:
ω = 2π/T,
gdje je T period rotacije tijela; φ=2π - kut zakreta za jednu periodu.

§ 34. Jednoliko naizmjenično rotacijsko gibanje

Rotacijsko gibanje s promjenjivom kutnom brzinom naziva se neravnomjerno (vidi dolje § 35). Ako je kutno ubrzanje ε=const, tada se naziva rotacijsko gibanje jednako varijabilni. Dakle, jednolika rotacija tijela je poseban slučaj nejednolikog rotacijskog gibanja.

Jednadžba jednolike rotacije
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
i jednadžba koja izražava kutnu brzinu tijela u bilo kojem trenutku,
(2) ω = ω 0 + εt
predstavljaju skup osnovnih formula za rotacijsko jednoliko gibanje tijela.

Ove formule uključuju samo šest veličina: tri konstante za zadani problem φ 0, ω 0 i ε i tri varijable φ, ω i t. Prema tome, uvjet svakog problema za jednoliku rotaciju mora sadržavati najmanje četiri specificirane veličine.

Radi lakšeg rješavanja nekih problema, iz jednadžbi (1) i (2) mogu se dobiti još dvije pomoćne formule.

Isključimo kutno ubrzanje ε iz (1) i (2):
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

Isključimo vrijeme t iz (1) i (2):
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

U posebnom slučaju jednoliko ubrzane rotacije koja počinje iz stanja mirovanja, φ 0 =0 i ω 0 =0. Stoga gornje osnovne i pomoćne formule imaju sljedeći oblik:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Neravnomjerno rotacijsko gibanje

Razmotrimo primjer rješavanja zadatka u kojem je zadano nejednoliko rotacijsko gibanje tijela.

Gibanje krutog tijela naziva se rotacijskim ako tijekom gibanja sve točke tijela koje se nalaze na određenoj ravnoj liniji, koja se naziva os rotacije, ostaju nepomične.(Slika 2.15).

Obično se određuje položaj tijela tijekom rotacijskog kretanja kut rotacije tijelo , koji se mjeri kao diedarski kut između nepokretne i pokretne ravnine koje prolaze kroz os rotacije. Štoviše, pomična ravnina povezana je s rotirajućim tijelom.

Uvedimo u razmatranje pomične i nepomične koordinatne sustave čije će ishodište biti smješteno u proizvoljnoj točki O na osi rotacije. Os Oz, zajednička pokretnom i nepokretnom koordinatnom sustavu, bit će usmjerena duž osi rotacije, osi Oh nepomičnog koordinatnog sustava usmjerimo ga okomito na os Oz tako da leži u nepomičnoj ravnini, osi Oh 1 Usmjerimo pomični koordinatni sustav okomito na os Oz tako da leži u pomičnoj ravnini (sl. 2.15).

Ako promatramo presjek tijela ravninom okomitom na os rotacije, tada je kut rotacije φ može se definirati kao kut između fiksne osi Oh i pomična os Oh 1, uvijek povezan s rotirajućim tijelom (Sl. 2.16).

Referentni smjer za kut rotacije tijela je prihvaćen φ u smjeru suprotnom od kazaljke na satu smatra se pozitivnim kada se gleda iz pozitivnog smjera osi Oz.

Jednakost φ = φ(t), opisujući promjenu kuta φ u vremenu naziva se zakon ili jednadžba rotacijskog gibanja krutog tijela.

Brzina i smjer promjene kuta rotacije krutog tijela karakterizirani su kutna brzina. Apsolutna vrijednost kutne brzine obično se označava slovom grčke abecede ω (omega). Algebarska vrijednost kutne brzine obično se označava s . Algebarska vrijednost kutne brzine jednaka je prvoj vremenskoj derivaciji kuta rotacije:

. (2.33)

Jedinice kutne brzine jednake su jedinicama kuta podijeljenim s jedinicom vremena, na primjer, deg/min, rad/h. U SI sustavu mjerna jedinica za kutnu brzinu je rad/s, no češće se naziv ove mjerne jedinice piše kao 1/s.

Ako je > 0, tada tijelo rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu gledano s kraja koordinatne osi poravnate s osi rotacije.

Ako< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Brzina i smjer promjene kutne brzine karakterizirani su kutnom akceleracijom. Apsolutna vrijednost kutnog ubrzanja obično se označava slovom grčke abecede e (epsilon). Algebarska vrijednost kutnog ubrzanja obično se označava s . Algebarska vrijednost kutne akceleracije jednaka je prvoj derivaciji prema vremenu algebarske vrijednosti kutne brzine ili drugoj derivaciji kuta zakreta:

Jedinice kutne akceleracije jednake su jedinicama kuta podijeljenim jedinicom vremena na kvadrat. Na primjer, deg/s 2, rad/h 2. U SI sustavu mjerna jedinica za kutno ubrzanje je rad/s 2, no češće se naziv ove mjerne jedinice piše kao 1/s 2.

Ako algebarske vrijednosti kutne brzine i kutnog ubrzanja imaju isti predznak, tada kutna brzina s vremenom raste po veličini, a ako je različita, smanjuje se.

Ako je kutna brzina konstantna ( ω = const), tada je uobičajeno reći da je rotacija tijela jednolika. U ovom slučaju:

φ = t + φ 0, (2.35)

Gdje φ 0 - početni kut rotacije.

Ako je kutna akceleracija konstantna (e = const), tada se uobičajeno kaže da je rotacija tijela jednoliko ubrzana (jednoliko usporena). U ovom slučaju:

Gdje 0 - početna kutna brzina.

U drugim slučajevima, za određivanje ovisnosti φ iz I potrebno je integrirati izraze (2.33), (2.34) pod zadanim početnim uvjetima.

Na crtežima se smjer rotacije tijela ponekad prikazuje zakrivljenom strelicom (slika 2.17).

Često se u mehanici kutna brzina i kutno ubrzanje smatraju vektorskim veličinama I . Oba ova vektora usmjerena su duž osi rotacije tijela. Štoviše, vektor usmjerena u jednom smjeru s jediničnim vektorom, koji određuje smjer koordinatne osi koja se podudara s osi rotacije, ako >0, i obrnuto ako
Smjer vektora bira se na isti način (sl. 2.18).

Tijekom rotacijskog gibanja tijela, svaka njegova točka (osim točaka koje se nalaze na osi rotacije) kreće se duž putanje, koja je kružnica polumjera jednakog najkraćoj udaljenosti od točke do osi rotacije (Sl. 2.19).

Budući da tangenta kružnice u bilo kojoj točki s polumjerom zatvara kut od 90°, vektor brzine točke tijela koje se rotacijsko giba bit će usmjeren okomito na polumjer i ležat će u ravnini kružnice, što je putanja kretanja točke. Tangencijalna komponenta ubrzanja ležat će na istoj liniji kao i brzina, a normalna komponenta će biti usmjerena radijalno prema središtu kružnice. Stoga se ponekad nazivaju tangencijalna i normalna komponenta ubrzanja tijekom rotacijskog gibanja rotacijski i centripetalni (aksijalni) komponente (Sl. 2.19)

Algebarska vrijednost brzine točke određena je izrazom:

, (2.37)

gdje je R = OM najkraća udaljenost od točke do osi rotacije.

Algebarska vrijednost tangencijalne komponente ubrzanja određena je izrazom:

. (2.38)

Modul normalne komponente ubrzanja određen je izrazom:

. (2.39)

Vektor ubrzanja točke tijekom rotacijskog gibanja određen je pravilom paralelograma kao geometrijski zbroj tangentne i normalne komponente. U skladu s tim, modul ubrzanja može se odrediti pomoću Pitagorinog teorema:

Ako se kutna brzina i kutna akceleracija definiraju kao vektorske veličine , , tada se vektori brzine, tangencijalne i normalne komponente ubrzanja mogu odrediti formulama:

gdje je radijus vektor povučen u točku M iz proizvoljne točke na osi rotacije (slika 2.20).

Rješavanje zadataka o rotacijskom gibanju jednog tijela obično ne izaziva nikakve poteškoće. Koristeći formule (2.33)-(2.40), možete lako odrediti bilo koji nepoznati parametar.

Određene poteškoće nastaju pri rješavanju problema povezanih s proučavanjem mehanizama koji se sastoje od nekoliko međusobno povezanih tijela koja izvode rotacijsko i translatorno gibanje.

Opći pristup rješavanju takvih problema je da se gibanje s jednog tijela na drugo prenosi kroz jednu točku - točku dodira (kontakta). Štoviše, tijela u dodiru imaju jednake brzine i komponente tangencijalne akceleracije u točki dodira. Normalne komponente ubrzanja za tijela u dodiru su različite; one ovise o putanji točaka tijela.

Pri rješavanju problema ove vrste prikladno je, ovisno o specifičnim okolnostima, koristiti i formule dane u odjeljku 2.3 i formule za određivanje brzine i ubrzanja točke kada se njezino kretanje specificira kao prirodno (2.7), (2.14 ) (2.16) ili koordinatne (2.3), (2.4), (2.10), (2.11) metode. Štoviše, ako je gibanje tijela kojemu točka pripada rotacijsko, putanja točke bit će kružnica. Ako je gibanje tijela pravocrtno translatorno, tada će putanja točke biti ravna linija.

Primjer 2.4. Tijelo se okreće oko fiksne osi. Kut zakreta tijela mijenja se prema zakonu φ = π t 3 radostan. Za točku koja se nalazi na udaljenosti OM = R = 0,5 m od osi rotacije odredite brzinu, tangentu, normalne komponente ubrzanja i ubrzanje u trenutku vremena. t 1= 0,5 s. Pokažite smjer ovih vektora na crtežu.

Promotrimo presjek tijela ravninom koja prolazi točkom O okomito na os rotacije (sl. 2.21). Na ovoj slici točka O je sjecište osi rotacije i rezne ravnine, točka M o I M 1- odnosno početni i trenutni položaj točke M. Kroz točke O i M o nacrtati fiksnu os Oh, a kroz točke O i M 1 - pomična os Oh 1. Kut između tih osi bit će jednak

Zakon promjene kutne brzine tijela nalazimo razlikovanjem zakona promjene kuta rotacije:

U trenutku t 1 kutna brzina će biti jednaka

Zakon promjene kutne akceleracije tijela nalazimo razlikovanjem zakona promjene kutne brzine:

U trenutku t 1 kutna akceleracija bit će jednaka:

1/s 2,

Algebarske vrijednosti vektora brzine, tangencijalne komponente ubrzanja, modula normalne komponente ubrzanja i modula ubrzanja nalazimo pomoću formula (2.37), (2.38), (2.39), (2.40):

M/s 2 ;

m/s 2 .

Budući da kut φ 1>0, tada ćemo ga pomaknuti s osi Ox u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. I od > 0, zatim vektori bit će usmjerena okomito na radijus OM 1 tako da ih vidimo kako se okreću suprotno od kazaljke na satu. Vektor bit će usmjeren duž radijusa OM 1 na os rotacije. Vektor Gradimo prema pravilu paralelograma na vektorima τ I .

Primjer 2.5. Prema zadanoj jednadžbi pravocrtnog translatornog gibanja tereta 1 x = 0,6t 2 - 0,18 (m) određuju brzinu, kao i tangencijalnu, normalnu komponentu ubrzanja i ubrzanje točke M mehanizma u trenutku vremena. t 1, kada je prijeđeni put tereta 1 s = 0,2 m. Pri rješavanju zadatka pretpostavit ćemo da nema klizanja na mjestu dodira tijela 2 i 3. R 2= 1,0 m, r 2 = 0,6 m, R 3 = 0,5 m (slika 2.22).

Zakon pravocrtnog translatornog gibanja tereta 1 dan je u koordinatnom obliku. Odredimo trenutak u vremenu t 1, za koji će put koji prijeđe teret 1 biti jednak s

s = x(t l)-x(0),

odakle dobivamo:

0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.

Stoga,

Diferencirajući jednadžbu gibanja s obzirom na vrijeme, nalazimo projekcije brzine i akceleracije tereta 1 na os Ox:

m/s 2 ;

U trenutku t = t 1 projekcija brzine tereta 1 bit će jednaka:

odnosno bit će veći od nule, kao što je i projekcija ubrzanja tereta 1. Dakle, teret 1 bit će u trenutku t 1 kretati prema dolje jednoliko ubrzano, odnosno tijelo 2 će se okretati jednoliko ubrzano u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a tijelo 3 će se okretati u smjeru kazaljke na satu.

Tijelo 2 pokreće tijelo 1 u rotaciju kroz navoj namotan na bubnju. Dakle, moduli brzina točaka tijela 1, niti i površine bubnja tijela 2 su jednaki, a moduli ubrzanja točaka tijela 1, niti i tangencijalne komponente ubrzanja točaka površine bubnja tijela 2 također će biti jednake. Prema tome, modul kutne brzine tijela 2 može se definirati kao

Modul kutne akceleracije tijela 2 bit će jednak:

1/s 2 .

Odredimo module brzine i tangencijalne komponente ubrzanja za točku K tijela 2 - točku dodira tijela 2 i 3:

m/s, m/s 2

Budući da se tijela 2 i 3 vrte bez međusobnog klizanja, veličine brzine i tangencijalne komponente ubrzanja točke K - dodirne točke za ta tijela bit će jednake.

Riža. 6.4

Takvo kretanje tijela u kojem bilo koje dvije njegove točke (A I U na sl. 6.4) ostaju nepomični, što se naziva rotacija oko fiksne osi.

Može se pokazati da u tom slučaju svaka točka tijela koja leži na pravoj liniji koja spaja točke ostaje nepomična Ajme V.

Os koja prolazi kroz te točke naziva se os rotacije tijela; njegov pozitivan smjer odabire se proizvoljno (sl. 6.4).

Bilo koja točka M tijela koje ne leži na osi rotacije opisuje kružnicu čije se središte nalazi na osi rotacije (sl. 6.4).

Položaj tijela s fiksnom osi rotacije z(Sl. 6.5) može se opisati pomoću samo jednog skalarnog parametra - kut rotacije (r. Ovo je kut između dvije ravnine povučene kroz os rotacije: fiksna ravnina N i pokretna - R, kruto spojen s tijelom (sl. 6.5). Referentni smjer kuta uzimamo kao pozitivan suprotno od kretanja kazaljke na satu gledano s kraja osi z.(označeno lučnom strelicom na sl. 6.5). SI mjerna jedinica za kut je 1 radijan « 57,3°. Funkcionalna ovisnost kuta rotacije o vremenu

u potpunosti određuje rotacijsko gibanje tijela oko nepomične osi. Stoga se jednakost (6.3) naziva jednadžba rotacije krutog tijela oko nepomične osi.

Brzina rotacije tijela karakterizirana je kutnom brzinom s tijelo, koje je definirano kao derivacija kuta rotacije u odnosu na vrijeme

a ima dimenziju rad/s (ili s"").

Druga kinematička karakteristika rotacijskog gibanja je kutno ubrzanje - derivacija kutne brzine tijela:

Dimenzija kutnog ubrzanja je rad/s 2 (ili S~ 2).

Komentar. Simboli sa i? V ovog predavanja su označeni algebarski vrijednosti kutne brzine i kutnog ubrzanja. Njihovi znakovi pokazuju smjer rotacije i njenu prirodu (ubrzano ili usporeno). Na primjer, ako s = f> 0, zatim kut (R povećava s vremenom i stoga se tijelo okreće u referentnom smjeru (R.

Brzina i ubrzanje svake točke rotirajućeg tijela lako se mogu povezati s njegovom kutnom brzinom i kutnom akceleracijom. Promotrimo kretanje proizvoljne točke M tijela (sl. 6.6).

Budući da je njegova putanja kružnica, tada je lučna koordinata.9 točke M nakon okretanja tijela kroz kut htjeti

Gdje h- udaljenost od točke M na os rotacije (sl. 6.6).

Razlikujući obje strane ove jednakosti s obzirom na vrijeme, dobivamo, uzimajući u obzir (5.14) i (6.4):

gdje je g g projekcija brzine točke na tangentu r, usmjerena prema referentnoj točki luka.v i kut

Veličina normalne akceleracije točke M prema (5.20) i (6.6) bit će

a projekcija njegove tangencijalne akceleracije na tangentu r prema (5.19) i (6.5)

Modul ubrzanja pune točke M

Smjerovi vektora v, a, a„, a, za slučaj kada f> 0 i f > 0 prikazani su na sl. 6.7.

Primjer 1. Prijenosni mehanizam sastoji se od kotača / i 2, koji su spojeni u točku DO tako da pri njihovoj rotaciji ne dolazi do međusobnog klizanja. Jednadžba rotacije kotača 1:

pozitivni kut referentni smjer (R označeno lučnom strelicom na sl. 6.8.

Dimenzije mehanizma su poznate: G= 4 cm, R2= 6 cm, g 2 = 2 cm.

Odredite brzinu i ubrzanje točke M kotači 2 za trenutak u vremenu /| = 2 s.

Riješenje. Kada se mehanizam kotača pomakne 1 i 2 rotirati oko fiksnih osi koje prolaze kroz točke 0 I 0 2 okomito na ravninu sl. 6.8. Određivanje kutne brzine i kutne akceleracije kotača ja u vremenu / = 2 s, koristeći gornje definicije (6.4) i (6.5) ovih veličina:

Njihovi negativni predznaci pokazuju da u trenutku vremena t- 2 s kotačić / okreće se u smjeru kazaljke na satu (suprotno od smjera očitanja kuta (R) i ta se rotacija ubrzava. Zbog nepostojanja međusobnog proklizavanja kotača ja i 2 vektora brzine njihovih točaka u točki dodira DO moraju biti jednaki. Izrazimo veličinu ove brzine u kutnim brzinama kotača pomoću (6.6):

Iz posljednje jednakosti izražavamo modul kutne brzine kotača 2 i nalazimo njegovu vrijednost za navedeni trenutak vremena 6 = 2 s:

Smjer brzine Do(Sl. 6.9) pokazuje da se kotač 2 okreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i, prema tome, Oh> 0. Iz (6.10) i posljednje nejednakosti jasno je da se kutne brzine kotača razlikuju za konstantni negativni faktor (- g1g 2): sa 2 = g (/g 2). Ali onda se derivacije ovih brzina - kutna ubrzanja kotača - moraju razlikovati za isti faktor: e 2 =? ] (-g ] /g 1)=-2-(-4/2) = 4s~ 2 .

Određivanje brzine i ubrzanja točke M stepenasti kotač 2 koristeći formule (6.6) - (6.9):

Smjerovi vektora v i, a i d/ prikazani su na sl. 6.9.