Teorem za promjenu momenta materijalne točke je korolar. Teoremi o promjeni količine gibanja točke i sustava

Neka se materijalna točka giba pod utjecajem sile F. Potrebno je odrediti kretanje te točke u odnosu na pokretni sustav Oxyz(vidi složeno gibanje materijalne točke), koja se giba na poznati način u odnosu na stacionarni sustav O 1 x 1 g 1 z 1 .

Osnovna jednadžba dinamike u stacionarnom sustavu

Zapišimo apsolutno ubrzanje točke koristeći Coriolisov teorem

Gdje a trbušnjaci– apsolutno ubrzanje;

a rel– relativno ubrzanje;

a traka– prijenosno ubrzanje;

a jezgra– Coriolisovo ubrzanje.

Prepišimo (25) uzimajući u obzir (26)

Uvedimo notaciju
- prijenosna sila inercije,
- Coriolisova inercijalna sila. Tada jednadžba (27) poprima oblik

Osnovna jednadžba dinamike za proučavanje relativnog gibanja (28) piše se na isti način kao i za apsolutno gibanje, samo se silama koje djeluju na točku moraju dodati prijenosna i Coriolisova sila tromosti.

Opći teoremi o dinamici materijalne točke

Prilikom rješavanja mnogih problema možete koristiti unaprijed pripremljene praznine dobivene na temelju drugog Newtonovog zakona. Takve metode rješavanja problema kombinirane su u ovom odjeljku.

Teorem o promjeni količine gibanja materijalne točke

Uvedimo sljedeće dinamičke karakteristike:

1. Impuls materijalne točke– vektorska veličina jednaka umnošku mase točke i vektora njezine brzine

. (29)

2. Impuls sile

Elementarni impuls sile– vektorska veličina jednaka umnošku vektora sile i elementarnog vremenskog intervala

(30).

Zatim puni impuls

. (31)

Na F=const dobivamo S=Ft.

Ukupni impuls u konačnom vremenskom razdoblju može se izračunati samo u dva slučaja, kada je sila koja djeluje na točku konstantna ili ovisi o vremenu. U drugim slučajevima, potrebno je izraziti silu kao funkciju vremena.

Jednakost dimenzija impulsa (29) i količine gibanja (30) omogućuje nam uspostavljanje kvantitativnog odnosa između njih.

Promotrimo gibanje materijalne točke M pod djelovanjem proizvoljne sile F po proizvoljnoj putanji.

OKO UD:
. (32)

Razdvojimo varijable u (32) i integriramo

. (33)

Kao rezultat, uzimajući u obzir (31), dobivamo

. (34)

Jednadžba (34) izražava sljedeći teorem.

Teorema: Promjena količine gibanja materijalne točke u određenom vremenskom razdoblju jednaka je impulsu sile koja djeluje na točku u istom vremenskom intervalu.

Pri rješavanju zadataka jednadžbu (34) potrebno je projicirati na koordinatne osi

Ovaj teorem zgodno je koristiti kada se među zadanim i nepoznatim veličinama nalaze masa točke, njezina početna i konačna brzina, sile i vrijeme gibanja.

Teorem o promjeni kutne količine gibanja materijalne točke

M
moment količine gibanja materijalne točke u odnosu na središte jednaka je umnošku modula količine gibanja šiljka i ramena, tj. najkraća udaljenost (okomica) od središta do pravca koji se podudara s vektorom brzine

, (36)

. (37)

Odnos između momenta sile (uzroka) i momenta količine kretanja (posljedice) utvrđuje sljedeći teorem.

Neka je točka M zadane mase m kreće pod utjecajem sile F.

,
,

, (38)

. (39)

Izračunajmo derivaciju (39)

. (40)

Kombinirajući (40) i (38), konačno dobivamo

. (41)

Jednadžba (41) izražava sljedeći teorem.

Teorema: Vremenska derivacija vektora količine gibanja materijalne točke u odnosu na neko središte jednaka je momentu sile koja djeluje na točku u odnosu na isto središte.

Pri rješavanju zadataka jednadžbu (41) potrebno je projicirati na koordinatne osi

U jednadžbama (42) momenti količine gibanja i sile izračunati su u odnosu na koordinatne osi.

Iz (41) slijedi zakon očuvanja kutne količine gibanja (Keplerov zakon).

Ako je moment sile koji djeluje na materijalnu točku u odnosu na bilo koje središte jednak nuli, tada kutna količina gibanja točke u odnosu na to središte zadržava svoju veličinu i smjer.

Ako
, To
.

Teorem i zakon očuvanja koriste se u problemima koji uključuju krivuljasto gibanje, posebno pod djelovanjem središnjih sila.

Sustav o kojem se govori u teoremu može biti bilo koji mehanički sustav koji se sastoji od bilo kojeg tijela.

Izjava teorema

Količina gibanja (impulsa) mehaničkog sustava je veličina jednaka zbroju količina gibanja (impulsa) svih tijela uključenih u sustav. Impuls vanjskih sila koje djeluju na tijela sustava zbroj je impulsa svih vanjskih sila koje djeluju na tijela sustava.

( kg m/s)

Teorem o promjeni količine gibanja stanja sustava

Promjena količine gibanja sustava u određenom vremenskom razdoblju jednaka je impulsu vanjskih sila koje djeluju na sustav u istom vremenskom razdoblju.

Zakon očuvanja količine gibanja sustava

Ako je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli, tada je količina gibanja (količina gibanja) sustava konstantna veličina.

, dobivamo izraz teorema o promjeni količine gibanja sustava u diferencijalnom obliku:

Integrirajući obje strane rezultirajuće jednakosti tijekom proizvoljno uzetog vremenskog razdoblja između nekih i , dobivamo izraz teorema o promjeni količine gibanja sustava u integralnom obliku:

Zakon očuvanja količine gibanja (Zakon očuvanja količine gibanja) kaže da je vektorski zbroj impulsa svih tijela sustava konstantna vrijednost ako je vektorski zbroj vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli.

(moment količine gibanja m 2 kg s −1)

Teorem o promjeni kutne količine gibanja u odnosu na središte

vremenska derivacija momenta količine gibanja (kinetičkog momenta) materijalne točke u odnosu na bilo koje fiksno središte jednaka je momentu sile koja djeluje na točku u odnosu na isto središte.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Teorem o promjeni kutne količine gibanja u odnosu na os

vremenska derivacija momenta količine gibanja (kinetičkog momenta) materijalne točke u odnosu na bilo koju fiksnu os jednaka je momentu sile koja djeluje na tu točku u odnosu na istu os.

dk x /dt = M x (F ); dk g /dt = M g (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Razmotrimo materijalnu točku M masa m , krećući se pod utjecajem sile F (Slika 3.1). Zapišimo i konstruirajmo vektor kutne količine gibanja (kinetičke količine gibanja) M 0 materijalna točka u odnosu na središte O :

Razlikujmo izraz za kutni moment (kinetički moment k 0) po vremenu:

Jer dr /dt = V , zatim vektorski produkt V ⊗ m ⋅ V (kolinearni vektori V I m ⋅ V ) jednaka je nuli. U isto vrijeme d(m ⋅ V) /dt = F prema teoremu o momentu količine gibanja materijalne točke. Stoga to dobivamo

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Gdje r ⊗F = M 0 (F ) – vektor-moment sile F u odnosu na fiksni centar O . Vektor k 0 ⊥ ravnina ( r , m ⊗V ), i vektor M 0 (F ) ⊥ avion ( r ,F ), konačno imamo

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Jednadžba (3.4) izražava teorem o promjeni kutne količine gibanja (kutne količine gibanja) materijalne točke u odnosu na središte: vremenska derivacija momenta količine gibanja (kinetičkog momenta) materijalne točke u odnosu na bilo koje fiksno središte jednaka je momentu sile koja djeluje na točku u odnosu na isto središte.

Projiciranjem jednakosti (3.4) na osi Kartezijevih koordinata dobivamo

dk x /dt = M x (F ); dk g /dt = M g (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Jednadžbe (3.5) izražavaju teorem o promjeni kutne količine gibanja (kinetičke količine gibanja) materijalne točke u odnosu na os: vremenska derivacija momenta količine gibanja (kinetičkog momenta) materijalne točke u odnosu na bilo koju fiksnu os jednaka je momentu sile koja djeluje na tu točku u odnosu na istu os.

Razmotrimo posljedice koje slijede iz teorema (3.4) i (3.5).

Korolar 1. Razmotrimo slučaj kada sila F tijekom cijelog kretanja točka prolazi kroz stacionarno središte O (slučaj centralne sile), tj. Kada M 0 (F ) = 0. Tada iz teorema (3.4) slijedi da k 0 = konst ,

oni. u slučaju središnje sile, kutni moment (kinetički moment) materijalne točke u odnosu na središte te sile ostaje konstantan po veličini i smjeru (slika 3.2).

Slika 3.2

Od stanja k 0 = konst slijedi da je putanja pokretne točke ravna krivulja, čija ravnina prolazi kroz središte te sile.

Korolar 2. Neka M z (F ) = 0, tj. sila prelazi os z ili paralelno s njim. U ovom slučaju, kao što se može vidjeti iz treće jednadžbe (3.5), k z = konst ,

oni. ako je moment sile koji djeluje na točku u odnosu na bilo koju fiksnu os uvijek jednak nuli, tada kutni moment (kinetički moment) točke u odnosu na tu os ostaje konstantan.

Dokaz teorema o promjeni količine gibanja

Neka se sustav sastoji od materijalnih točaka s masama i akceleracijama. Sve sile koje djeluju na tijela sustava dijelimo u dvije vrste:

Vanjske sile su sile koje djeluju iz tijela koja nisu uključena u razmatrani sustav. Rezultanta vanjskih sila koje djeluju na materijalnu točku s brojem ja označimo

Unutarnje sile su sile kojima tijela samog sustava međusobno djeluju. Sila kojom na točku s brojem ja vrijedi točka s brojem k, označit ćemo , a snagu utjecaja ja th točka na k th točka - . Očito, kada , tada

Koristeći uvedenu notaciju, zapisujemo drugi Newtonov zakon za svaku od razmatranih materijalnih točaka u obliku

S obzirom na to i zbrajajući sve jednadžbe drugog Newtonovog zakona, dobivamo:

Izraz predstavlja zbroj svih unutarnjih sila koje djeluju u sustavu. Prema Newtonovom trećem zakonu, u ovom zbroju, svaka sila odgovara sili tako da, prema tome, vrijedi Budući da se cijeli zbroj sastoji od takvih parova, sam zbroj je nula. Dakle, možemo pisati

Koristeći oznaku količine gibanja sustava dobivamo

Uvođenjem u razmatranje promjene količine gibanja vanjskih sila , dobivamo izraz teorema o promjeni količine gibanja sustava u diferencijalnom obliku:

Dakle, svaka od posljednjih dobivenih jednadžbi dopušta nam da kažemo: promjena momenta količine gibanja sustava događa se samo kao rezultat djelovanja vanjskih sila, a unutarnje sile ne mogu utjecati na tu vrijednost.

Integrirajući obje strane dobivene jednakosti u proizvoljno uzetom vremenskom intervalu između nekih i , dobivamo izraz teorema o promjeni momenta količine gibanja sustava u integralnom obliku:

gdje su i vrijednosti količine gibanja sustava u trenucima vremena i, odnosno, i je impuls vanjskih sila u određenom vremenskom razdoblju. Sukladno prethodno rečenom i uvedenim oznakama,

Za materijalnu točku, osnovni zakon dinamike može se prikazati kao

Množenjem obje strane ove relacije lijevo vektorski s radijus vektorom (sl. 3.9), dobivamo

(3.32)

Na desnoj strani ove formule imamo moment sile u odnosu na točku O. Lijevu stranu transformiramo primjenom formule za derivaciju vektorskog umnoška

Ali kao vektorski produkt paralelnih vektora. Nakon ovoga dobivamo

(3.33)

Prva derivacija po vremenu momenta količine gibanja točke u odnosu na bilo koje središte jednaka je momentu sile u odnosu na isto središte.

Slika 3.12

; ;

Za zadane ulazne podatke, kutni moment sustava

Teorem o promjeni kutne količine gibanja sustava. Rezultantne vanjske i unutarnje sile primjenjujemo na svaku točku sustava. Za svaku točku sustava može se primijeniti teorem o promjeni kutne količine gibanja, npr. u obliku (3.33)

Zbrajanjem po svim točkama sustava i uzimajući u obzir da je zbroj derivacija jednak izvodu zbroja, dobivamo

Određivanjem kinetičkog momenta sustava i svojstava vanjskih i unutarnjih sila

Stoga se rezultirajući odnos može prikazati kao

Prva vremenska derivacija kutne količine gibanja sustava u odnosu na bilo koju točku jednaka je glavnom momentu vanjskih sila koje djeluju na sustav u odnosu na istu točku.

3.3.5. Rad sile

1) Elementarni rad sile jednak je skalarnom umnošku sile i diferencijalnog polumjera vektora točke primjene sile (sl. 3.13)

Slika 3.13

Izraz (3.36) se također može napisati u sljedećim ekvivalentnim oblicima

gdje je projekcija sile na smjer brzine točke djelovanja sile.

2) Rad sile na konačni pomak

Integriranjem elementarnog rada sile dobivamo sljedeće izraze za rad sile pri konačnom pomaku iz točke A u točku B

3) Rad stalne sile

Ako je sila konstantna, onda iz (3.38) slijedi

Rad stalne sile ne ovisi o obliku putanje, već ovisi samo o vektoru pomaka točke djelovanja sile.

4) Rad sile težine

Za silu težine (sl. 3.14) i iz (3.39) dobivamo

Slika 3.14

Ako se kretanje dogodi od točke B do točke A, tada

Općenito

Znak "+" odgovara kretanju točke primjene sile prema dolje, znak "-" - prema gore.

4) Rad elastične sile

Neka je os opruge usmjerena duž osi x (sl. 3.15), a kraj opruge se kreće od točke 1 do točke 2, tada iz (3.38) dobivamo

Ako je krutost opruge S, pa onda

A (3.41)

Ako se kraj opruge pomakne iz točke 0 u točku 1, tada u ovom izrazu zamijenimo , , tada će rad elastične sile dobiti oblik

(3.42)

gdje je istezanje opruge.

Slika 3.15

5) Rad sile primijenjen na rotirajuće tijelo. Rad trenutka.

Na sl. Na slici 3.16 prikazano je rotacijsko tijelo na koje djeluje proizvoljna sila. Tijekom rotacije, točka primjene ove sile kreće se kružno.

Koja se sastoji od n materijalne bodove. Izaberimo određenu točku iz ovog sustava M j s masom m j. Kao što je poznato, vanjske i unutarnje sile djeluju na ovu točku.

Primijenimo to na stvar M j rezultanta svih unutarnjih sila F j i a rezultanta svih vanjskih sila F j e(Slika 2.2). Za odabranu materijalnu točku M j(kao i za slobodnu točku) ispisujemo teorem o promjeni količine gibanja u diferencijalnom obliku (2.3):

Napišimo slične jednadžbe za sve točke mehaničkog sustava (j=1,2,3,…,n).

Slika 2.2

Zbrojimo sve dio po dio n jednadžbe:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Ovdje ∑m j ×V j =Q– količina gibanja mehaničkog sustava;
∑F j e = R e– glavni vektor svih vanjskih sila koje djeluju na mehanički sustav;
∑F j i = R i =0– glavni vektor unutarnjih sila sustava (prema svojstvu unutarnjih sila jednak je nuli).

Konačno, za mehanički sustav koji dobivamo

dQ/dt = Re. (2.11)

Izraz (2.11) je teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava u diferencijalnom obliku (u vektorskom izrazu): vremenska derivacija vektora količine gibanja mehaničkog sustava jednaka je glavnom vektoru svih vanjskih sila koje djeluju na sustav.

Projiciranjem vektorske jednakosti (2.11) na Kartezijeve koordinatne osi dobivamo izraze za teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava u koordinatnom (skalarnom) izrazu:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

oni. vremenska derivacija projekcije količine gibanja mehaničkog sustava na bilo koju os jednaka je projekciji na tu os glavnog vektora svih vanjskih sila koje djeluju na taj mehanički sustav.

Množenje obje strane jednakosti (2.12) sa dt, dobivamo teorem u drugom diferencijalnom obliku:

dQ = R e × dt = δS e, (2.13)

oni. diferencijalna količina gibanja mehaničkog sustava jednaka je elementarnom impulsu glavnog vektora (zbroju elementarnih impulsa) svih vanjskih sila koje djeluju na sustav.

Integriranje jednakosti (2.13) unutar vremenske promjene od 0 do t, dobivamo teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava u konačnom (integralnom) obliku (u vektorskom izrazu):

Q - Q 0 = S e,

oni. promjena količine gibanja mehaničkog sustava u konačnom vremenskom razdoblju jednaka je ukupnom impulsu glavnog vektora (zbroju ukupnih impulsa) svih vanjskih sila koje djeluju na sustav tijekom istog vremenskog razdoblja..

Projiciranjem vektorske jednakosti (2.14) na Kartezijeve koordinatne osi dobivamo izraze za teorem u projekcijama (u skalarnom izrazu):

oni. promjena projekcije količine gibanja mehaničkog sustava na bilo koju os u konačnom vremenskom razdoblju jednaka je projekciji na istu os ukupnog impulsa glavnog vektora (zbroja ukupnih impulsa) svih vanjskih sila. djelujući na mehanički sustav tijekom istog vremenskog razdoblja.

Iz razmatranog teorema (2.11) – (2.15) slijede sljedeće korolacije:

1. Ako R e = ∑F j e = 0, To Q = konst– imamo zakon održanja vektora količine gibanja mehaničkog sustava: ako glavni vektor R e svih vanjskih sila koje djeluju na mehanički sustav jednak nuli, tada vektor količine gibanja tog sustava ostaje konstantan po veličini i smjeru i jednak svojoj početnoj vrijednosti Q 0, tj. Q = Q 0.
2. Ako R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), To Q x = konst– imamo zakon očuvanja projekcije na os količine gibanja mehaničkog sustava: ako je projekcija glavnog vektora svih sila koje djeluju na mehanički sustav na bilo koju os jednaka nuli, tada je projekcija na istu os vektor količine gibanja ovog sustava bit će konstantna vrijednost i jednak projekciji na ovu os početnog vektora količine gibanja, tj. Q x = Q 0x.

Diferencijalni oblik teorema o promjeni količine gibanja materijalnog sustava ima važne i zanimljive primjene u mehanici kontinuuma. Iz (2.11) možemo dobiti Eulerov teorem.

Diferencijalna jednadžba gibanja materijalne točke pod utjecajem sile F može se prikazati u sljedećem vektorskom obliku:

Budući da masa točke m prihvaća kao konstanta, tada se može unijeti pod znakom izvedenice. Zatim

Formula (1) izražava teorem o promjeni količine gibanja točke u diferencijalnom obliku: prva derivacija po vremenu količine gibanja točke jednaka je sili koja djeluje na točku.

U projekcijama na koordinatne osi (1) može se prikazati kao

Ako se obje strane (1) pomnože s dt, tada dobivamo drugi oblik istog teorema - teorem o momentu u diferencijalnom obliku:

oni. diferencijal količine gibanja točke jednak je elementarnom impulsu sile koja djeluje na točku.

Projiciranjem oba dijela (2) na koordinatne osi dobivamo

Integrirajući oba dijela (2) od nule do t (slika 1), imamo

gdje je brzina točke u trenutku t; - brzina pri t = 0;

S- impuls sile tijekom vremena t.

Izraz u obliku (3) često se naziva teorem o količini gibanja u konačnom (ili integralnom) obliku: promjena količine gibanja točke u bilo kojem vremenskom razdoblju jednaka je impulsu sile u istom vremenskom razdoblju.

U projekcijama na koordinatne osi ovaj se teorem može prikazati u sljedećem obliku:

Za materijalnu točku, teorem o promjeni količine gibanja u bilo kojem od oblika u biti se ne razlikuje od diferencijalnih jednadžbi gibanja točke.

Teorem o promjeni količine gibanja sustava

Količinu gibanja sustava nazvat ćemo vektorskom veličinom Q, jednaka geometrijskom zbroju (glavnom vektoru) količina gibanja svih točaka sustava.

Razmotrimo sustav koji se sastoji od n materijalne bodove. Sastavimo diferencijalne jednadžbe gibanja za ovaj sustav i zbrajamo ih član po član. Tada dobivamo:

Posljednji zbroj, zbog svojstva unutarnjih sila, jednak je nuli. Osim,

Konačno nalazimo:

Jednadžba (4) izražava teorem o promjeni količine gibanja sustava u diferencijalnom obliku: vremenska derivacija količine gibanja sustava jednaka je geometrijskom zbroju svih vanjskih sila koje djeluju na sustav.

Pronađimo drugi izraz za teorem. Prepustite se trenutku t= 0 količina gibanja sustava je Q 0, iu trenutku vremena t 1 postaje jednaka P 1. Zatim, množenje obje strane jednakosti (4) sa dt i integrirajući, dobivamo:

Ili gdje:

(S- impuls sile)

budući da integrali s desne strane daju impulse vanjskih sila,

jednadžba (5) izražava teorem o promjeni količine gibanja sustava u integralnom obliku: promjena količine gibanja sustava u određenom vremenskom razdoblju jednaka je zbroju impulsa vanjskih sila koje djeluju na sustav u istom vremenskom razdoblju.

U projekcijama na koordinatne osi imat ćemo:

Zakon očuvanja količine gibanja

Iz teorema o promjeni količine gibanja sustava mogu se dobiti sljedeći važni korolari:

1. Neka je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli:

Tada iz jednadžbe (4) slijedi da u ovom slučaju Q = konst.

Tako, ako je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli, tada će vektor količine gibanja sustava biti konstantan po veličini i smjeru.

2. 01Neka su vanjske sile koje djeluju na sustav takve da je zbroj njihovih projekcija na neku os (na primjer Ox) jednak nuli:

Tada iz jednadžbi (4`) slijedi da u ovom slučaju Q = konst.

Tako, ako je zbroj projekcija svih vanjskih sila koje djeluju na bilo koju os jednak nuli, tada je projekcija količine gibanja sustava na tu os konstantna vrijednost.

Ovi rezultati izražavaju zakon očuvanja količine gibanja sustava. Iz njih slijedi da unutarnje sile ne mogu promijeniti ukupnu količinu gibanja sustava.

Pogledajmo neke primjere:

· Fenomen vraćanja rolne. Ako pušku i metak smatramo jednim sustavom, tada će pritisak barutnih plinova tijekom hica biti unutarnja sila. Ta sila ne može promijeniti ukupni zamah sustava. Ali budući da barutni plinovi, djelujući na metak, pridaju mu određenu količinu gibanja usmjerenu prema naprijed, oni moraju istovremeno priopćiti pušci istu količinu gibanja u suprotnom smjeru. To će uzrokovati pomicanje puške unatrag, tj. povratak tzv. Slična pojava događa se prilikom pucanja iz pištolja (povratak).

· Rad propelera (elise). Propeler daje kretanje određenoj masi zraka (ili vode) duž osi propelera, odbacujući tu masu natrag. Ako bačenu masu i zrakoplov (ili brod) promatramo kao jedan sustav, tada sile međudjelovanja između propelera i okoline, kao unutarnje, ne mogu promijeniti ukupnu količinu gibanja tog sustava. Stoga, kada se masa zraka (vode) baci natrag, zrakoplov (ili brod) dobiva odgovarajuću brzinu prema naprijed tako da ukupna količina gibanja sustava koji se razmatra ostaje jednaka nuli, budući da je bila nula prije početka kretanja .

Sličan učinak postiže se djelovanjem vesala ili kotača s lopaticama.

· Povratni pogon. U raketi (raketa) plinoviti produkti izgaranja goriva velikom brzinom izbacuju se iz otvora na repu rakete (iz mlaznice mlaznog motora). Sile pritiska koje djeluju u ovom slučaju bit će unutarnje sile i ne mogu promijeniti ukupni moment raketno-barutnog plinskog sustava. Ali budući da plinovi koji izlaze imaju određenu količinu gibanja usmjerenu unatrag, raketa dobiva odgovarajuću brzinu prema naprijed.

Teorem o momentima oko osi.

Razmotrimo materijalnu točku mase m, krećući se pod utjecajem sile F. Nađimo za to odnos između momenta vektora mV I F u odnosu na neku fiksnu os Z.

m z (F) = xF - yF (7)

Slično za vrijednost m(mV), ako se izvadi m bit će izvan zagrada

m z (mV) = m(xV - yV)(7`)

Uzimajući derivacije u odnosu na vrijeme s obje strane ove jednakosti, nalazimo

Na desnoj strani rezultirajućeg izraza, prva zagrada je jednaka 0, jer dx/dt=V i du/dt = V, druga zagrada prema formuli (7) jednaka je

mz(F), jer prema osnovnom zakonu dinamike:

Konačno ćemo imati (8)

Rezultirajuća jednadžba izražava teorem momenata oko osi: vremenska derivacija momenta količine gibanja točke u odnosu na bilo koju os jednaka je momentu sile koja djeluje u odnosu na istu os. Sličan teorem vrijedi za trenutke oko bilo kojeg središta O.