Formula težišta trapeza. Rješavanje zadataka čvrstoće materijala

6.1. Opće informacije

Centar paralelnih sila
Promotrimo dvije paralelne sile usmjerene u jednom smjeru i , koje djeluju na tijelo u točkama A 1 i A 2 (Slika 6.1). Ovaj sustav sila ima rezultantu, čija linija djelovanja prolazi kroz određenu točku S. Položaj točke S može se pronaći pomoću Varignonovog teorema:

Ako okrenete sile i blizu točaka A 1 i A 2 u jednom smjeru i pod istim kutom, tada dobivamo novi sustav paralelnih sala sa istim modulima. U tom će slučaju i njihova rezultanta proći kroz točku S. Ta se točka naziva središtem paralelnih sila.
Promotrimo sustav paralelnih i identično usmjerenih sila koje djeluju na čvrsto tijelo u točkama. Ovaj sustav ima rezultantu.
Ako se svaka sila sustava rotira u blizini točaka njihove primjene u istom smjeru i pod istim kutom, tada će se dobiti novi sustavi identično usmjerenih paralelnih sila s istim modulima i točkama primjene. Rezultanta takvih sustava imat će isti modul R, ali svaki put drugi smjer. Skupivši svoju snagu F 1 i F 2 nalazimo da je njihova rezultanta R 1, koji će uvijek prolaziti kroz točku S 1, čiji je položaj određen jednakošću . Preklapanje dalje R 1 i F 3, nalazimo njihovu rezultantu, koja će uvijek prolaziti kroz točku S 2 leže na ravnoj liniji A 3 S 2. Dovodeći proces zbrajanja sila do kraja, doći ćemo do zaključka da će rezultanta svih sila doista uvijek prolaziti kroz istu točku S, čiji će položaj u odnosu na točke biti nepromijenjen.
Točka S, kroz koju prolazi linija djelovanja rezultirajućeg sustava paralelnih sila za bilo koju rotaciju tih sila u blizini točaka njihove primjene u istom smjeru pod istim kutom, naziva se središte paralelnih sila (slika 6.2).

sl.6.2

Odredimo koordinate središta paralelnih sila. Budući da položaj točke S u odnosu na tijelo nepromijenjen, tada njegove koordinate ne ovise o izboru koordinatnog sustava. Okrenimo sve sile oko njihove primjene tako da postanu paralelne s osi OU te primijeniti Varignonov teorem na rotirane sile. Jer R" je rezultanta tih sila, tada, prema Varignonovom teoremu, imamo , jer , , dobivamo

Odavde nalazimo koordinatu centra paralelnih sila zc:

Za određivanje koordinata xc stvorimo izraz za moment sila oko osi Oz.

Za određivanje koordinata yc okrenimo sve sile tako da postanu paralelne s osi Oz.

Položaj središta paralelnih sila u odnosu na ishodište (slika 6.2) može se odrediti njegovim radijus vektorom:

6.2. Težište krutog tijela

Centar gravitacije krutog tijela je točka koja je nepromjenjivo pridružena ovom tijelu S, kroz koju prolazi linija djelovanja rezultantnih sila gravitacije danog tijela, za bilo koji položaj tijela u prostoru.
Težište se koristi u proučavanju stabilnosti ravnotežnih položaja tijela i kontinuiranih medija pod utjecajem gravitacije iu nekim drugim slučajevima, i to: u čvrstoći materijala iu konstrukcijskoj mehanici - kada se koristi Vereščaginovo pravilo.
Dva su načina određivanja težišta tijela: analitički i eksperimentalni. Analitička metoda za određivanje težišta izravno proizlazi iz pojma središta paralelnih sila.
Koordinate težišta, kao centra paralelnih sila, određuju se formulama:

Gdje R- težina cijelog tijela; pak- težina čestica tijela; xk, yk, zk- koordinate čestica tijela.
Za homogeno tijelo težina cijelog tijela i bilo kojeg njegovog dijela proporcionalna je volumenu P=Vγ, pk =vk γ, Gdje γ - težina po jedinici volumena, V- volumen tijela. Zamjena izraza P, pak u formulu za određivanje koordinata težišta i, reducirajući zajednički faktor γ , dobivamo:

Točka S, čije su koordinate određene dobivenim formulama, naziva se težište volumena.
Ako je tijelo tanka homogena ploča, tada se težište određuje formulama:

Gdje S- površina cijele ploče; sk- površina njegovog dijela; xk, yk- koordinate težišta dijelova ploče.
Točka S u ovom slučaju se zove težište područja.
Brojnici izraza koji određuju koordinate težišta ravnih figura nazivaju se sa statički momenti površine u odnosu na osi na I x:

Tada se težište područja može odrediti formulama:

Za tijela čija je duljina višestruko veća od dimenzija presjeka odredite težište pravca. Koordinate težišta pravca određene su formulama:

Gdje L- dužina linije; lk- duljina njegovih dijelova; xk, yk, zk- koordinata težišta dijelova pravca.

6.3. Metode određivanja koordinata težišta tijela

Na temelju dobivenih formula moguće je predložiti praktične metode za određivanje težišta tijela.
1. Simetrija. Ako tijelo ima centar simetrije, onda je težište u centru simetrije.
Ako tijelo ima ravninu simetrije. Na primjer, ravnina XOU, tada težište leži u ovoj ravnini.
2. Cijepanje. Za tijela koja se sastoje od tijela jednostavnih oblika koristi se metoda cijepanja. Tijelo je podijeljeno na dijelove čije se težište određuje metodom simetrije. Težište cijelog tijela određeno je formulama za težište volumena (površine).

Primjer. Odredite težište ploče prikazane na donjoj slici (slika 6.3). Ploča se može podijeliti na pravokutnike na različite načine i odrediti koordinate težišta svakog pravokutnika i njihovu površinu.

sl.6.3

Odgovor: xc=17,0 cm; gc=18,0 cm.

3. Dodatak. Ova metoda je poseban slučaj metode particioniranja. Koristi se kada tijelo ima izreze, usjeke i sl., ako su poznate koordinate težišta tijela bez izreza.

Primjer. Odredite težište kružne ploče s polumjerom izreza r = 0,6 R(Slika 6.4).

sl.6.4

Okrugla ploča ima centar simetrije. Postavimo ishodište koordinata u središte ploče. Područje ploče bez izreza, područje izreza. Četvrtasta ploča s izrezom; .
Ploča s izrezom ima os simetrije O1 x, stoga, yc=0.

4. Integracija. Ako se tijelo ne može podijeliti na konačan broj dijelova, čiji su položaji gravitacijskih centara poznati, tijelo se dijeli na proizvoljne male volumene, za koje formula metodom dijeljenja ima oblik: .
Zatim idu do granice, usmjeravajući elementarne volumene na nulu, tj. ugovaranje volumena u bodove. Zbrojevi se zamjenjuju integralima proširenim na cijeli volumen tijela, tada formule za određivanje koordinata težišta volumena imaju oblik:

Formule za određivanje koordinata težišta područja:

Koordinate težišta područja moraju se odrediti pri proučavanju ravnoteže ploča, pri izračunavanju Mohrovog integrala u konstrukcijskoj mehanici.

Primjer. Odredite težište kružnog luka polumjera R sa središnjim kutom AOB= 2α (slika 6.5).

Riža. 6.5

Kružni luk je simetričan osi Oh, dakle, težište luka leži na osi Oh, ys = 0.
Prema formuli za težište pravca:

6.Eksperimentalna metoda. Težišta nehomogenih tijela složene konfiguracije mogu se odrediti eksperimentalno: metodom vješanja i vaganja. Prva metoda je objesiti tijelo na sajlu na različitim mjestima. Smjer sajle na kojoj je tijelo obješeno dat će smjer gravitacije. Sjecište ovih pravaca određuje težište tijela.
Metoda vaganja uključuje prvo određivanje težine tijela, kao što je automobil. Zatim se na vagi odredi pritisak stražnje osovine vozila na nosač. Sastavljanjem jednadžbe ravnoteže u odnosu na točku, na primjer, os prednjih kotača, možete izračunati udaljenost od ove osi do težišta automobila (slika 6.6).

Sl.6.6

Ponekad je prilikom rješavanja zadataka potrebno istodobno koristiti različite metode za određivanje koordinata težišta.

6.4. Težišta nekih jednostavnih geometrijskih likova

Za određivanje težišta tijela oblika koji se često pojavljuju (trokut, kružni luk, sektor, segment), prikladno je koristiti referentne podatke (tablica 6.1).

Tablica 6.1

Koordinate težišta nekih homogenih tijela

Težište kružnog luka

Luk ima os simetrije. Na ovoj osi leži težište, tj. g C = 0 .

dl– lučni element, dl = Rdφ, R– radijus kruga, x = Rcosφ, L= 2αR,

Stoga:

x C = R(sinα/α).

Težište kružnog sektora

Sektor radijusa R sa središnjim kutom 2 α ima os simetrije Vol, gdje se nalazi težište.

Sektor dijelimo na elementarne sektore, koji se mogu smatrati trokutima. Težišta elementarnih sektora nalaze se na kružnom luku polumjera (2/3) R.

Težište sektora poklapa se s težištem luka AB:

Polukrug:

37. Kinematika. Kinematika točke. Metode zadavanja kretanja točke.

Kinematika– grana mehanike u kojoj se proučava kretanje materijalnih tijela s geometrijskog gledišta, ne uzimajući u obzir masu i sile koje na njih djeluju. Načini zadavanja kretanja točke: 1) prirodni, 2) koordinatni, 3) vektorski.

Kinematika točke- grana kinematike koja proučava matematički opis gibanja materijalnih točaka. Glavna zadaća kinematike je opisati kretanje pomoću matematičkog aparata bez utvrđivanja razloga koji uzrokuju to kretanje.

Prirodni sp. naznačena je putanja točke, zakon njezina kretanja duž te putanje, početak i smjer koordinate luka: s=f(t) – zakon kretanja točke. Za pravocrtno gibanje: x=f(t).

Koordinate sp. položaj točke u prostoru određen je s tri koordinate čije promjene određuju zakon gibanja točke: x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Ako je gibanje u ravnini, tada postoje dvije jednadžbe gibanja. Jednadžbe gibanja opisuju jednadžbu putanje u parametarskom obliku. Isključivanjem parametra t iz jednadžbi dobivamo jednadžbu putanje u uobičajenom obliku: f(x,y)=0 (za ravninu).

Vector sp. položaj točke određen je njezinim radijus vektorom povučenim iz nekog središta. Krivulja koju crta kraj vektora naziva se. hodograf ovaj vektor. Oni. putanja – radijus vektor hodograf.

38. Odnos koordinata i vektora, koordinatne i prirodne metode zadavanja kretanja točke.

ODNOS METODE VEKTORA S KOORDINATNOM I NATURALNOM METODOM izraženo omjerima:

gdje je jedinična jedinica tangente na putanju u danoj točki, usmjerena prema referentnoj udaljenosti, i jedinična jedinica normale na putanju u danoj točki, usmjerena prema središtu zakrivljenosti (vidi sliku 3) .

POVEZANOST KOORDINATNE METODE S PRIRODNOM. Jednadžba putanje f(x, y)=z; f 1 (x, z)=y dobiva se iz jednadžbi gibanja u koordinatnom obliku eliminacijom vremena t. Dodatnom analizom vrijednosti koje koordinate točke mogu poprimiti određuje se taj dio krivulje koji je putanja. Na primjer, ako je gibanje točke zadano jednadžbama: x=sin t; y=sin 2 t=x 2 , tada je putanja točke onaj odsječak parabole y=x 2 za koji vrijedi -1≤x≤+1, 0≤x≤1. Početak i smjer brojanja udaljenosti biraju se proizvoljno, čime se dalje određuje predznak brzine te veličina i predznak početne udaljenosti s 0 .

Zakon gibanja određen je ovisnošću:

predznak + ili - određuje se ovisno o prihvaćenom smjeru mjerenja udaljenosti.

Brzina točke je kinematička mjera njegovog gibanja, jednaka vremenskoj derivaciji radijus vektora ove točke u referentnom sustavu koji se razmatra. Vektor brzine usmjeren je tangentno na putanju točke u smjeru kretanja

Vektor brzine (v) je udaljenost koju tijelo prijeđe u određenom smjeru u jedinici vremena. Imajte na umu da definicija vektor brzine je vrlo slična definiciji brzine, osim jedne bitne razlike: brzina tijela ne označava smjer kretanja, ali vektor brzine tijela označava i brzinu i smjer kretanja. Dakle, potrebne su dvije varijable koje opisuju vektor brzine tijela: brzina i smjer. Fizičke veličine koje imaju vrijednost i smjer nazivaju se vektorske veličine.

Vektor brzine tijelo se može promijeniti s vremena na vrijeme. Ako se promijeni njegova brzina ili smjer, mijenja se i brzina tijela. Vektor konstantne brzine podrazumijeva konstantnu brzinu i konstantan smjer, dok izraz konstantna brzina implicira samo konstantnu vrijednost bez uzimanja u obzir smjera. Pojam "vektor brzine" često se koristi kao sinonim za pojam "brzina". Oba izražavaju udaljenost koju tijelo prijeđe u jedinici vremena

Ubrzanje točke je mjera promjene njegove brzine, jednaka derivaciji brzine te točke u odnosu na vrijeme ili drugoj derivaciji radijus vektora točke u odnosu na vrijeme. Ubrzanje karakterizira promjenu vektora brzine u veličini i smjeru i usmjereno je prema konkavnosti putanje.

Vektor ubrzanja

Ovo je omjer promjene brzine i vremenskog razdoblja tijekom kojeg se ta promjena dogodila. Prosječno ubrzanje može se odrediti formulom:

Gdje - vektor ubrzanja.

Smjer vektora ubrzanja poklapa se sa smjerom promjene brzine Δ = - 0 (ovdje je 0 početna brzina, odnosno brzina kojom je tijelo počelo ubrzavati).

U trenutku t1 (vidi sliku 1.8) tijelo ima brzinu 0. U trenutku t2 tijelo ima brzinu . Prema pravilu oduzimanja vektora nalazimo vektor promjene brzine Δ = - 0. Tada možete odrediti ubrzanje ovako:

Na temelju gore dobivenih općih formula moguće je naznačiti specifične metode za određivanje koordinata gravitacijskih centara tijela.

1. Simetrija. Ako homogeno tijelo ima ravninu, os ili centar simetrije (sl. 7), tada njegovo težište leži, redom, u ravnini simetrije, osi simetrije ili u centru simetrije.

sl.7

2. Cijepanje. Tijelo je podijeljeno na konačan broj dijelova (slika 8), za svaki od njih je poznat položaj težišta i površina.

sl.8

3.Metoda negativne površine. Poseban slučaj metode particioniranja (slika 9). Za tijela koja imaju izreze vrijedi ako su poznata težišta tijela bez izreza i izrezanog dijela. Tijelo u obliku ploče s izrezom predstavljeno je kombinacijom pune ploče (bez izreza) s površinom S 1 i površinom izrezanog dijela S 2 .

Sl.9

4.Metoda grupiranja. Dobra je nadopuna zadnje dvije metode. Nakon podjele figure na sastavne elemente, zgodno je neke od njih ponovno kombinirati kako bi se zatim pojednostavilo rješenje uzimajući u obzir simetriju ove skupine.

Težišta nekih homogenih tijela.

1) Težište kružnog luka. Razmotrite luk AB radius R sa središnjim kutom. Zbog simetrije, težište ovog luka leži na osi Vol(slika 10).

Sl.10

Nađimo koordinatu pomoću formule. Da biste to učinili, odaberite na luku AB element MM' duljina, čiji je položaj određen kutom. Koordinirati x element MM' volja . Zamjenom ovih vrijednosti x i d l i imajući na umu da se integral mora proširiti preko cijele duljine luka, dobivamo:

Gdje L- dužina luka AB, jednak .

Odavde konačno nalazimo da težište kružnog luka leži na njegovoj osi simetrije na udaljenosti od središta OKO, jednako

gdje se kut mjeri u radijanima.

2) Težište površine trokuta. Razmotrimo trokut koji leži u ravnini Oxy, čije su koordinate vrhova poznate: A i(x i,y i), (ja= 1,2,3). Razbijanje trokuta u uske trake paralelne sa strane A 1 A 2, dolazimo do zaključka da težište trokuta mora pripadati središnjici A 3 M 3 (slika 11).

Sl.11

Razbijanje trokuta na trake paralelne sa stranicom A 2 A 3, možemo potvrditi da mora ležati na medijani A 1 M 1 . Tako, težište trokuta leži u točki presjeka njegovih središnjica, koji, kao što je poznato, od svake sredine odvaja treći dio, računajući od odgovarajuće strane.

Konkretno, za medijan A 1 M 1 dobivamo, uzimajući u obzir da su koordinate točke M 1 je aritmetička sredina koordinata vrhova A 2 i A 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Dakle, koordinate težišta trokuta su aritmetička sredina koordinata njegovih vrhova:

x c =(1/3)Σ x i ; g c =(1/3)Σ y i.

3) Težište područja kružnog sektora. Razmotrimo sektor kruga s radijusom R sa središnjim kutom od 2α, koji se nalazi simetrično u odnosu na os Vol(Slika 12) .

Očito je da g c = 0, a udaljenost od središta kružnice iz koje je taj sektor isječen do njezina težišta može se odrediti formulom:

sl.12

Najlakši način za izračunavanje ovog integrala je dijeljenje domene integracije na elementarne sektore s kutom dφ. Točno do infinitezimala prvog reda, takav se sektor može zamijeniti trokutom s bazom jednakom R× dφ i visine R. Površina takvog trokuta dF=(1/2)R 2 ∙dφ, a težište mu je na udaljenosti 2/3 R od vrha, stoga u (5) stavljamo x = (2/3)R∙cosφ. Zamjena u (5) F= α R 2, dobivamo:

Koristeći posljednju formulu, izračunavamo, posebno, udaljenost do težišta polukrug.

Zamjenom α = π/2 u (2) dobivamo: x c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Primjer 1. Odredimo težište homogenog tijela prikazanog na sl. 13.

sl.13

Tijelo je homogeno, sastoji se od dva dijela simetričnog oblika. Koordinate njihovih težišta:

Njihov volumen:

Prema tome, koordinate težišta tijela

Primjer 2. Nađimo težište ploče savijene pod pravim kutom. Dimenzije su na crtežu (slika 14).

sl.14

Koordinate težišta:

područja:

sl.15

U ovom problemu prikladnije je podijeliti tijelo na dva dijela: veliki kvadrat i kvadratnu rupu. Samo područje rupe treba smatrati negativnim. Zatim koordinate težišta lista s rupom:

koordinata budući da tijelo ima os simetrije (dijagonalu).

Primjer 4.Žičani nosač (slika 16) sastoji se od tri dijela jednake duljine l.

sl.16

Koordinate težišta sekcija:

Dakle, koordinate težišta cijele zagrade su:

Primjer 5. Odredite položaj težišta rešetke čije sve šipke imaju istu linearnu gustoću (slika 17).

Podsjetimo se da su u fizici gustoća tijela ρ i njegova specifična težina g povezani relacijom: γ= ρ g, Gdje g- ubrzanje gravitacije. Da biste pronašli masu takvog homogenog tijela, morate pomnožiti gustoću s njegovim volumenom.

Sl.17

Izraz "linearna" ili "linearna" gustoća znači da se za određivanje mase rešetkaste šipke linearna gustoća mora pomnožiti s duljinom ove šipke.

Da biste riješili problem, možete koristiti metodu particioniranja. Predstavljajući danu rešetku kao zbroj 6 pojedinačnih šipki, dobivamo:

Gdje L i duljina ja th rešetkasta šipka, i x i, y i- koordinate njegovog težišta.

Rješenje ovog problema može se pojednostaviti grupiranjem zadnjih 5 šipki rešetke. Lako je vidjeti da oni tvore lik sa središtem simetrije smještenim u sredini četvrtog štapa, gdje se nalazi i težište ove grupe štapova.

Dakle, određena rešetka može se prikazati kombinacijom samo dvije skupine šipki.

Prvu skupinu čini prvi štap, za njem L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, g 1 = 2 m sastoji se od pet šipki, tj L 2 = 20 m, x 2 = 3 m, g 2 = 2 m.

Koordinate težišta rešetke nalaze se pomoću formule:

x c = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

g c = (L 1 ∙g 1 +L 2 ∙g 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Imajte na umu da centar S leži na ravnoj crti koja spaja S 1 i S 2 i dijeli segment S 1 S 2 u vezi: S 1 S/SS 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Pitanja za samotestiranje

Kako se zove centar paralelnih sila?

Kako se određuju koordinate središta paralelnih sila?

Kako odrediti središte paralelnih sila čija je rezultanta nula?

Koja svojstva ima centar paralelnih sila?

Koje formule se koriste za izračunavanje koordinata središta paralelnih sila?

Što je težište tijela?

Zašto se gravitacijske sile Zemlje koje djeluju na točku na tijelu mogu uzeti kao sustav paralelnih sila?

Napiši formulu za određivanje položaja težišta nehomogenih i homogenih tijela, formulu za određivanje položaja težišta ravnih presjeka?

Napiši formulu za određivanje položaja težišta jednostavnih geometrijskih oblika: pravokutnika, trokuta, trapeza i polukruga?

Što je statički moment površine?

Navedite primjer tijela čije se težište nalazi izvan tijela.

Kako se svojstva simetrije koriste za određivanje težišta tijela?

Što je bit metode negativnih pondera?

Gdje je težište kružnog luka?

Kojom se grafičkom konstrukcijom može pronaći težište trokuta?

Zapiši formulu koja određuje težište kružnog isječka.

Koristeći formule koje određuju težišta trokuta i kružnog isječka, izvedite sličnu formulu za kružni isječak.

Koje formule se koriste za izračunavanje koordinata težišta homogenih tijela, ravnih likova i pravaca?

Što se zove statički moment površine ravnog lika u odnosu na os, kako se izračunava i koju dimenziju ima?

Kako odrediti položaj težišta nekog područja ako je poznat položaj težišta pojedinih njegovih dijelova?

Koji se pomoćni teoremi koriste za određivanje položaja težišta?

U inženjerskoj praksi se događa da postoji potreba za izračunavanjem koordinata težišta složene ravne figure koja se sastoji od jednostavnih elemenata za koje je poznato mjesto težišta. Ovaj zadatak je dio zadatka određivanja...

Geometrijske karakteristike spregnutih presjeka greda i šipki. Često se inženjeri dizajna reznih matrica moraju suočiti sa sličnim pitanjima pri određivanju koordinata središta pritiska, razvijači shema opterećenja za različita vozila pri postavljanju tereta, projektanti građevinskih metalnih konstrukcija pri odabiru poprečnih presjeka elemenata i, naravno, studenata pri izučavanju disciplina “Teorijska mehanika” i “Čvrstoća materijala”.

Biblioteka elementarnih figura.

Za simetrične ravne figure, težište se poklapa sa središtem simetrije. Simetrična skupina elementarnih objekata uključuje: krug, pravokutnik (uključujući kvadrat), paralelogram (uključujući romb), pravilan mnogokut.

Od deset figura prikazanih na gornjoj slici, samo su dvije osnovne. Odnosno, koristeći trokute i sektore krugova, možete kombinirati gotovo sve figure od praktičnog interesa. Sve proizvoljne krivulje mogu se podijeliti u dijelove i zamijeniti kružnim lukovima.

Preostalih osam figura su najčešće, pa su zato i uvrštene u ovu jedinstvenu biblioteku. U našoj klasifikaciji ti elementi nisu osnovni. Od dva trokuta mogu se oblikovati pravokutnik, paralelogram i trapez. Šesterokut je zbroj četiriju trokuta. Isječak kruga je razlika između isječka kruga i trokuta. Prstenasti isječak kruga je razlika između dva isječka. Kružnica je isječak kružnice s kutom α=2*π=360˚. Polukrug je, prema tome, isječak kruga s kutom α=π=180˚.

Izračunavanje u Excelu koordinata težišta složene figure.

Uvijek je lakše prenijeti i percipirati informacije uzimajući u obzir primjer nego proučavati problem koristeći čisto teoretske izračune. Razmotrimo rješenje problema "Kako pronaći centar gravitacije?" na primjeru kompozitne figure prikazane na slici ispod ovog teksta.

Kompozitni presjek je pravokutnik (s dimenzijama a1 =80 mm, b1 =40 mm), kojemu je gore lijevo dodan jednakokračni trokut (s veličinom osnovice a2 =24 mm i vis h2 =42 mm) i iz kojeg je gore desno izrezan polukrug (sa središtem u točki s koordinatama x03 =50 mm i g03 =40 mm, polumjer r3 =26 mm).

Koristit ćemo program koji će vam pomoći u izračunima MS Excel ili programa OOo Izračun . Bilo koji od njih lako će se nositi s našim zadatkom!

U stanicama sa žuta boja napunit ćemo ga pomoćni preliminaran kalkulacije .

Rezultate izračunavamo u ćelijama sa svijetlo žutom bojom.

Plava font je početni podaci .

Crno font je srednji rezultati proračuna .

Crvena font je konačni rezultati proračuna .

Počinjemo rješavati problem - počinjemo tražiti koordinate težišta presjeka.

Početni podaci:

1. Nazive elementarnih figura koje tvore kompozitni presjek ćemo napisati prema tome

u ćeliju D3: Pravokutnik

u ćeliju E3: Trokut

u ćeliju F3: Polukrug

2. Koristeći "Biblioteku elementarnih slika" predstavljenu u ovom članku, određujemo koordinate težišta elemenata kompozitnog presjeka xci I yci u mm u odnosu na proizvoljno odabrane osi 0x i 0y i upiši

u ćeliju D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

u ćeliju D5: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

u ćeliju E4: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

do ćelije E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

u ćeliju F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

u ćeliju F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = g 03 -4* r3 /3/ π

3. Izračunajmo površine elemenata F 1 , F 2 , F3 u mm2, ponovno koristeći formule iz odjeljka "Biblioteka elementarnih brojki"

u ćeliji D6: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

u ćeliji E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

u ćeliji F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Područje trećeg elementa - polukruga - je negativno jer je izrez - prazan prostor!

Izračun koordinata težišta:

4. Odredimo ukupnu površinu konačne figure F0 u mm2

u spojenoj ćeliji D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Izračunajmo statičke momente složenog lika Sx I Sy u mm3 u odnosu na odabrane osi 0x i 0y

u spojenoj ćeliji D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

u spojenoj ćeliji D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. I na kraju, izračunajmo koordinate težišta kompozitnog presjeka Xc I Yc u mm u odabranom koordinatnom sustavu 0x - 0y

u spojenoj ćeliji D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

u spojenoj ćeliji D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc = Sx / F0

Problem je riješen, izračun u Excelu je dovršen - pronađene su koordinate težišta presjeka, sastavljene pomoću tri jednostavna elementa!

Zaključak.

Primjer u članku odabran je kao vrlo jednostavan kako bi se lakše razumjela metodologija izračuna težišta složenog presjeka. Metoda je da se svaki složeni lik treba podijeliti na jednostavne elemente s poznatim položajem težišta i napraviti konačne izračune za cijeli presjek.

Ako je presjek sastavljen od valjanih profila - kutnika i kanala, tada ih nije potrebno dijeliti na pravokutnike i kvadrate s izrezanim kružnim "π/2" sektorima. Koordinate težišta ovih profila dane su u GOST tablicama, odnosno, i kut i kanal bit će osnovni elementarni elementi u vašim izračunima kompozitnih presjeka (nema smisla govoriti o I-gredama, cijevi, šipke i šesterokuti - to su središnje simetrični presjeci).

Položaj koordinatnih osi, naravno, ne utječe na položaj težišta figure! Stoga odaberite koordinatni sustav koji pojednostavljuje vaše izračune. Ako bih, primjerice, u našem primjeru zarotirao koordinatni sustav za 45˚ u smjeru kazaljke na satu, tada bi se izračunavanje koordinata težišta pravokutnika, trokuta i polukruga pretvorilo u još jednu zasebnu i glomaznu fazu izračuna koja se ne može izvesti “ u glavi".

Datoteka za izračunavanje programa Excel prikazana u nastavku nije program u ovom slučaju. Umjesto toga, to je skica kalkulatora, algoritam, predložak koji slijedi u svakom konkretnom slučaju izradite vlastiti slijed formula za ćelije sa jarko žutom ispunom.

Dakle, sada znate kako pronaći težište bilo kojeg odjeljka! Potpuni izračun svih geometrijskih karakteristika proizvoljnih složenih kompozitnih presjeka bit će razmotren u jednom od nadolazećih članaka u odjeljku "". Pratite novosti na blogu.

Za primanje informacije o izdavanju novih članaka i za preuzimanje radnih programskih datoteka Molim vas da se pretplatite na obavijesti u prozoru koji se nalazi na kraju članka ili u prozoru na vrhu stranice.

Nakon što unesete svoju adresu e-pošte i kliknete na gumb "Primaj najave članaka". NE ZABORAVI POTVRDI SVOJU PRETPLATU klikom na poveznicu u pismu koje će vam odmah stići na navedenu poštu (ponekad u mapi « Spam » )!

Nekoliko riječi o čaši, novčiću i dvjema vilicama, koji su prikazani u “ikoni ilustracije” na samom početku članka. Mnogima od vas sigurno je poznat ovaj “trik” koji izaziva zadivljene poglede djece i neupućenih odraslih. Tema ovog članka je težište. Upravo on i uporište, igrajući se s našom sviješću i iskustvom, naprosto nam zavaravaju um!

Težište sustava "vilica + novčić" uvijek se nalazi na fiksni udaljenost okomito prema dolje od ruba novčića, koji je pak uporište. Ovo je položaj stabilne ravnoteže! Ako protresete vilice, odmah postaje očito da sustav nastoji zauzeti prijašnji stabilan položaj! Zamislite visak - točku učvršćenja (= točka oslonca novčića na rub čaše), šipku-os viska (= u našem slučaju os je virtualna, jer je masa dviju vilica jednaka raširen u različitim smjerovima prostora) i teret na dnu osi (= težište cijelog sustava „vilica + novčić"). Ako visak počnete skrenuti s okomice u bilo kojem smjeru (naprijed, natrag, lijevo, desno), tada će se ono neizbježno vratiti u svoj prvobitni položaj pod utjecajem gravitacije. stacionarno stanje ravnoteže(isto se događa s našim vilicama i novčićem)!

Ako ne razumijete, ali želite razumjeti, shvatite sami. Vrlo je zanimljivo "doći tamo" sam! Dopustite mi da dodam da je isti princip korištenja stabilne ravnoteže također implementiran u igračku Vanka-Get-Up. Samo se težište ove igračke nalazi iznad uporišne točke, ali ispod središta hemisfere nosive površine.

Uvijek mi je drago vidjeti vaše komentare, dragi čitatelji!!!

pitaj, POŠTUJUĆI autorski rad, download file NAKON PRETPLATE za najave članaka.

Rezultat izračuna ne ovisi samo o površini poprečnog presjeka, stoga se pri rješavanju problema čvrstoće materijala ne može bez određivanja geometrijske karakteristike figura: statički, aksijalni, polarni i centrifugalni momenti tromosti. Obavezno je znati odrediti položaj težišta presjeka (navedene geometrijske karakteristike ovise o položaju težišta). Osim toga geometrijske karakteristike jednostavnih likova: pravokutnik, kvadrat, jednakokračni i pravokutni trokut, krug, polukrug. Označeni su težište i položaj glavnih središnjih osi te su određene geometrijske karakteristike u odnosu na njih, pod uvjetom da je materijal grede homogen.

Geometrijske karakteristike pravokutnika i kvadrata

Aksijalni momenti tromosti pravokutnika (kvadrata)

Geometrijske karakteristike pravokutnog trokuta

Osni momenti tromosti pravokutnog trokuta

Geometrijske karakteristike jednakokračnog trokuta

Osni momenti tromosti jednakokračnog trokuta