Formule Ferrari i Cardano. Cardano formula za rješavanje kubne jednadžbe

Pogledajmo ponovno formulu kuba zbroja, ali je napišimo drugačije:

Usporedite ovaj unos s jednadžbom (13) i pokušajte uspostaviti vezu među njima. Čak ni s naznakom nije lako. Moramo odati počast matematičarima renesanse koji su riješili kubnu jednadžbu bez poznavanja abecedne simbolike. Zamijenimo u našu formulu:

Sada je jasno: da bismo pronašli korijen jednadžbe (13), dovoljno je riješiti sustav jednadžbi

ili

a uzeti kao iznos i . Zamjenom , ovaj sustav se svodi na vrlo jednostavan oblik:

Tada možete djelovati na različite načine, ali sve će "ceste" voditi do iste kvadratne jednadžbe. Na primjer, prema Vietinom teoremu, zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe jednak je koeficijentu s predznakom minus, a umnožak je jednak slobodnom članu. Slijedi da su i korijeni jednadžbe

Zapišimo ove korijene:

Varijable i jednake su kubičnim korijenima iz i , a željeno rješenje kubne jednadžbe (13) je zbroj tih korijena:

Ova formula je poznata kao Cardano formula.

Trigonometrijsko rješenje

supstitucijom se svodi na "nepotpun" oblik

, , . (14)

Korijeni , , “nepotpune” kubne jednadžbe (14) su jednaki

, ,

Neka vrijedi "nepotpuna" kubna jednadžba (14).

a) Ako (“nesvodljivi” slučaj), tada

(b) Ako je , , tada

, .

, ,

, .

U svim slučajevima uzima se stvarna vrijednost kubnog korijena.

Bikvadratna jednadžba

Algebarska jednadžba četvrtog stupnja.

gdje su a, b, c neki realni brojevi, tzv bikvadratna jednadžba. Zamjenom se jednadžba svodi na kvadratnu jednadžbu nakon čega slijedi rješavanje dviju binomnih jednadžbi i ( i su korijeni odgovarajuće kvadratne jednadžbe).

Ako je i , tada bikvadratna jednadžba ima četiri realna korijena:

ako , ), tada bikvadratna jednadžba ima dva realna korijena i imaginarno konjugirana korijena:

Ako je i , tada bikvadratna jednadžba ima četiri čisto imaginarna po parovima konjugirana korijena:

, .

Jednadžbe četvrtog stupnja

Metoda za rješavanje jednadžbi četvrtog stupnja pronađena je u 16. stoljeću. Ludovico Ferrari, učenik Gerolama Cardana. Tako se to zove – metoda. Ferrari.

Kao u rješavanju kubnih i kvadratnih jednadžbi, u jednadžbi četvrtog stupnja

možete se riješiti pojma zamjenom. Stoga ćemo pretpostaviti da je koeficijent kuba nepoznanice nula:

Ferrarijeva ideja bila je prikazati jednadžbu u obliku , gdje je lijeva strana kvadrat izraza , a desna strana kvadrat linearne jednadžbe od , čiji koeficijenti ovise o . Nakon toga preostaje riješiti dvije kvadratne jednadžbe: i . Naravno, takav prikaz je moguć samo uz poseban izbor parametra. Pogodno je uzeti ga u obliku , tada će jednadžba biti prepisana na sljedeći način:

Desna strana ove jednadžbe je kvadratni trinom od . On će biti potpuni kvadrat kada mu je diskriminanta jednaka nuli, tj.

, ili

Ova se jednadžba zove razrjeđivač (tj. "permisivno"). Relativno je kubičan, a Cardanova formula omogućuje nam da pronađemo neke od njegovih korijena. Kada desna strana jednadžbe (15) poprimi oblik

a sama jednadžba se svodi na dvije kvadratne:

Njihovi korijeni daju sva rješenja izvorne jednadžbe.

Na primjer, riješimo jednadžbu

Ovdje će biti prikladnije koristiti ne gotove formule, već samu ideju rješenja. Prepišimo jednadžbu u obliku

i dodamo izraz objema stranama tako da se na lijevoj strani formira cijeli kvadrat:

Sada izjednačimo diskriminant desne strane jednadžbe s nulom:

ili, nakon pojednostavljenja,

Jedan od korijena dobivene jednadžbe može se pogoditi sortiranjem djelitelja slobodnog člana: . Nakon zamjene ove vrijednosti dobivamo jednadžbu

gdje . Korijeni dobivenih kvadratnih jednadžbi su I . Naravno, u općem slučaju mogu se dobiti i složeni korijeni.

Svaka kubna jednadžba s realnim koeficijentima ima barem jedan realni korijen, druga dva su također realna ili su složeni konjugirani par.

Započnimo pregled s najjednostavnijim slučajevima - binomni I povratna jednadžbe. Zatim prelazimo na pronalaženje racionalnih korijena (ako postoje). Završimo s primjerom pronalaženja korijena kubne jednadžbe pomoću Cardanova formula za opći slučaj.

Navigacija po stranici.

Rješavanje dvočlane kubne jednadžbe.

Binomna kubna jednadžba ima oblik .

Ova se jednadžba svodi na oblik dijeljenjem s koeficijentom A koji je različit od nule. Zatim primijenite formulu za skraćeno množenje zbroja kubova:

Iz prve zagrade nalazimo , i kvadratni trinom ima samo složene korijene.

Primjer.

Pronađite prave korijene kubne jednadžbe.

Riješenje.

Primjenjujemo formulu za skraćeno množenje razlike kubova:

Iz prve zagrade nalazimo da kvadratni trinom u drugoj zagradi nema pravih korijena, jer mu je diskriminanta negativna.

Odgovor:

Rješavanje recipročne kubne jednadžbe.

Recipročna kubna jednadžba ima oblik , gdje su A i B koeficijenti.

Grupirajmo:

Očito, x = -1 je korijen takve jednadžbe, a korijeni rezultirajućeg kvadratnog trinoma lako se pronalaze kroz diskriminantu.

Primjer.

Riješite kubnu jednadžbu .

Riješenje.

Ovo je recipročna jednadžba. Grupirajmo:

Očito je x = -1 korijen jednadžbe.

Traženje korijena kvadratnog trinoma:

Odgovor:

Rješavanje kubnih jednadžbi s racionalnim korijenima.

Počnimo s najjednostavnijim slučajem, kada je x=0 korijen kubne jednadžbe.

U tom slučaju slobodni član D jednak je nuli, odnosno jednadžba ima oblik .

Ako x izvadite iz zagrada, onda će kvadratni trinom ostati u zagradama, čiji se korijeni lako mogu pronaći ili preko diskriminante ili pomoću Vietinog teorema .

Primjer.

Pronađite prave korijene jednadžbe .

Riješenje.

x=0 je korijen jednadžbe. Nađimo korijene kvadratnog trinoma.

Budući da mu je diskriminant manji od nule, trinom nema pravih korijena.

Odgovor:

x=0.

Ako su koeficijenti kubne jednadžbe cijeli brojevi, tada jednadžba može imati racionalne korijene.

Kada je , pomnožite obje strane jednadžbe s i promijenite varijable y = Ax:

Došli smo do zadane kubne jednadžbe. Može imati cijele korijene, koji su djelitelji slobodnog člana. Dakle, zapisujemo sve djelitelje i počinjemo ih zamjenjivati u dobivenu jednadžbu dok ne dobijemo identičnu jednakost. Djelitelj kod kojeg se dobiva identitet je korijen jednadžbe. Stoga je korijen izvorne jednadžbe .

Primjer.

Pronađite korijene kubne jednadžbe.

Riješenje.

Pretvorimo jednadžbu u gornju: pomnožimo s obje strane i promijenimo varijablu y = 2x.

Slobodan termin je 36. Zapišimo sve njegove djelitelje: .

Zamjenjujemo ih jednu po jednu u jednakost dok se ne utvrdi identitet:

Dakle, y = -1 je korijen. Odgovara .

Podijelimo se na, koristeći:

Dobivamo

Ostaje samo pronaći korijene kvadratnog trinoma.

Očito je da , odnosno njegov višestruki korijen je x=3.

Odgovor:

Komentar.

Ovaj algoritam se može koristiti za rješavanje recipročnih jednadžbi. Budući da je -1 korijen bilo koje recipročne kubne jednadžbe, možemo podijeliti lijevu stranu izvorne jednadžbe s x+1 i pronaći korijene rezultirajućeg kvadratnog trinoma.

U slučaju kada kubna jednadžba nema racionalne korijene, koriste se druge metode rješenja, na primjer, specifične metode.

Rješavanje kubičnih jednadžbi pomoću Cardano formule.

Općenito, korijeni kubne jednadžbe nalaze se pomoću Cardano formule.

Za kubnu jednadžbu nalaze se vrijednosti . Dalje nalazimo I .

Zamjenjujemo dobivene p i q u Cardano formulu:

spor

FormulaCardano

Mostovoy

Odesa

spor

Sporovi u srednjem vijeku uvijek su predstavljali zanimljiv spektakl, privlačeći dokone građane, mlade i stare. Teme rasprava bile su različite, ali uvijek znanstvene. Pritom se pod znanošću podrazumijevalo ono što je uvršteno u popis takozvanih sedam slobodnih umjetnosti, a to je, naravno, teologija. Teološki sporovi bili su najčešći. Svađali su se oko svega. Na primjer, o tome treba li miša povezivati sa svetim duhom ako jede sakrament, je li Cumae Sibyl mogla predvidjeti rođenje Isusa Krista, zašto braća i sestre Spasitelja nisu kanonizirani itd.

O sporu koji se trebao dogoditi između slavnog matematičara i ništa manje slavnog liječnika samo su se nagađala najopćenitija, jer nitko zapravo ništa nije znao. Rekli su da je jedan od njih prevario drugog (ne zna se tko točno i kome). Gotovo svi okupljeni na trgu imali su najneodređenije predodžbe o matematici, no svi su s nestrpljenjem iščekivali početak tribine. Uvijek je bilo zanimljivo, mogao si se nasmijati gubitniku, bez obzira bio on u pravu ili u krivu.

Kad je sat gradske vijećnice otkucao pet, vrata su se širom otvorila i gomila je uletjela u katedralu. S obje strane središnje linije koja povezuje ulaz u oltar, uz dva bočna stupa podignute su dvije visoke propovjedaonice, namijenjene debatantima. Prisutni su digli glasnu buku, ne obraćajući pažnju na to što su u crkvi. Napokon se ispred željezne rešetke koja je ikonostas dijelila od ostatka središnje lađe pojavio gradski vikač u crno-ljubičastom plaštu i proglasio: “Slavni građani grada Milana! Sada će vam govoriti poznati matematičar Niccolo Tartaglia iz Brenije. Protivnik mu je trebao biti matematičar i liječnik Geronimo Cardano. Niccolò Tartaglia optužuje Cardana da je posljednji objavio u svojoj knjizi “Ars magna” metodu za rješavanje jednadžbe 3. stupnja, koja pripada njemu, Tartaglii. Međutim, sam Cardano nije mogao doći na debatu pa je poslao svog učenika Luigea Ferrarija. Dakle, rasprava se proglašava otvorenom, njeni sudionici se pozivaju na katedre.” Na propovjedaonicu lijevo od ulaza popeo se nespretan čovjek kukastog nosa i kovrčave brade, a na suprotnu propovjedaonicu popeo se dvadesetogodišnji mladić lijepog, samouvjerenog lica. Cijelo njegovo držanje odražavalo je potpuno uvjerenje da će svaki njegov pokret i svaka riječ biti primljena s oduševljenjem.

počeo je Tartaglia.

Draga gospodo! Znate da sam prije 13 godina uspio pronaći način da riješim jednadžbu 3. stupnja i tada sam tom metodom dobio spor s Fiorijem. Moja je metoda privukla pozornost vašeg sugrađanina Cardana i on je upotrijebio svu svoju lukavost da od mene sazna tajnu. Nije prezao ni od prijevare ni od otvorenog krivotvorenja. Također znate da je prije 3 godine Cardanova knjiga o pravilima algebre objavljena u Nürnbergu, gdje je moja metoda, tako besramno ukradena, postala dostupna svima. Izazvao sam Cardana i njegovog učenika na natjecanje. Predložio sam da riješim 31 zadatak, isto toliko su mi predložili i moji protukandidati. Određen je rok za rješavanje problema - 15 dana. U 7 dana uspio sam riješiti većinu problema koje su sastavili Cardano i Ferrari. Isprintao sam ih i poslao kurirom u Milano. No, morao sam čekati punih pet mjeseci dok nisam dobio odgovore na svoje zadatke. Netočno su riješeni. To mi je dalo povoda da obojicu izazovem na javnu raspravu.

Tartaglia je zašutio. Mladić, gledajući nesretnog Tartagliu, reče:

Draga gospodo! Moj dostojni protivnik dopustio je sebi, već u prvim riječima svoga govora, da iznese toliko klevete protiv mene i protiv moga učitelja; njegov je argument bio tako neutemeljen da bih se jedva potrudio pobiti prvi i pokazati vam nedosljednost drugi. Prije svega, o kakvoj obmani možemo govoriti ako je Niccolo Tartaglia potpuno dobrovoljno podijelio svoju metodu s obojicom? A ovako Geronimo Cardano piše o ulozi mog protivnika u otkrivanju algebarskog pravila. Kaže da nije on, Cardano, “već moj prijatelj Tartaglia taj koji ima čast otkriti nešto tako lijepo i nevjerojatno, što nadilazi ljudsku pamet i sve talente ljudskog duha. Ovo otkriće doista je nebeski dar, tako divan dokaz snage uma koji ga je shvatio, da se za njega ništa ne može smatrati nedostižnim.”

Moj protivnik je optužio mene i mog učitelja da smo navodno dali krivo rješenje njegovih problema. Ali kako korijen jednadžbe može biti netočan ako ga zamjenom u jednadžbu i izvođenjem svih radnji propisanih u ovoj jednadžbi dolazimo do identiteta? A ako Senor Tartaglia želi biti dosljedan, onda je trebao odgovoriti na primjedbu zašto smo mi, koji smo ukrali, ali po njegovim riječima, njegov izum i njime riješili predložene probleme, dobili krivo rješenje. Mi - moj učitelj i ja - ne smatramo izum signor Tartaglie malo važnim. Ovaj izum je predivan. Štoviše, oslanjajući se u velikoj mjeri na njega, pronašao sam način da riješim jednadžbu 4. stupnja, au Ars Magni moj učitelj govori o tome. Što Senor Tartaglia želi od nas? Što pokušava postići sporom?

Gospodo, gospodo, vikao je Tartaglia, molim vas da me saslušate! Ne poričem da je moj mladi protivnik vrlo jak u logici i elokvenciji. Ali to ne može zamijeniti pravi matematički dokaz. Problemi koje sam zadao Cardanu i Ferrariju nisu ispravno riješeni, ali ću i to dokazati. Doista, uzmimo, na primjer, jednu jednadžbu među riješenim. Poznato je...

U crkvi se digla nezamisliva buka koja je potpuno upijala kraj rečenice koju je započeo nesretni matematičar. Nije smio nastaviti. Publika je tražila da zašuti i da Ferrari dođe na red. Tartaglia, vidjevši da je nastavak rasprave potpuno beskoristan, žurno siđe s propovjedaonice i izađe kroz sjeverni trijem na trg. Publika je burno pozdravila "pobjednika" spora, Luigija Ferrarija.

...Tako je okončan ovaj spor koji nastavlja izazivati sve nove i nove sporove. Tko zapravo posjeduje metodu za rješavanje jednadžbe 3. stupnja? Sada razgovaramo - Niccolo Tartaglie. On je to otkrio, a Cardano ga je prevario da otkrije. A ako sada formulu koja predstavlja korijene jednadžbe 3. stupnja preko svojih koeficijenata nazovemo Cardano formulom, onda je to povijesna nepravda. Međutim, je li to nepravedno? Kako izračunati stupanj sudjelovanja svakog matematičara u otkriću? Možda će s vremenom netko moći apsolutno točno odgovoriti na ovo pitanje ili će možda ostati misterija...

Cardano formula

Koristeći suvremeni matematički jezik i modernu simboliku, izvođenje Cardanove formule može se pronaći korištenjem sljedećih krajnje elementarnih razmatranja:

Neka nam je dana opća jednadžba 3. stupnja:

sjekira 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Ako stavite

, onda dajemo jednadžbu (1) na pamet

Uvedimo novu nepoznanicu U koristeći jednakost

Uvođenjem ovog izraza u (2) , dobivamo

stoga

Ako se brojnik i nazivnik drugog člana pomnože s izrazom i uzmu u obzir, dobiveni izraz za u ispada da je simetrična u odnosu na znakove "+" i "-", tada konačno dobivamo

(Umnožak kubičnih radikala u zadnjoj jednakosti mora biti jednak str).

Ovo je poznata Cardano formula. Ako idete iz g natrag na x, tada dobivamo formulu koja određuje korijen opće jednadžbe 3. stupnja.

Mladić koji je tako nemilosrdno postupao s Tartagliom razumio je matematiku jednako lako kao što je razumio prava nepretenciozne tajnosti. Ferrari pronalazi način da riješi jednadžbu 4. stupnja. Cardano je uključio ovu metodu u svoju knjigu. Što je ova metoda?

Neka (1)

- opća jednadžba 4. stupnja.

Ako stavite

zatim jednadžba (1) može se prisjetiti

Gdje p,q,r- neki koeficijenti ovisno o a B C D E. Lako je vidjeti da se ova jednadžba može napisati na sljedeći način:

Zapravo, dovoljno je otvoriti zagrade, pa sve pojmove koji sadrže t, poništava se i vraćamo se na jednadžbu (2) .

Izaberimo parametar t tako da desna strana jednadžbe (3) bio savršen kvadrat u odnosu na g. Kao što je poznato, nužan i dovoljan uvjet za to je ispadanje diskriminante koeficijenata trinoma (u odnosu na g) stoji s desne strane:

Dobili smo potpunu kubnu jednadžbu koju sada možemo riješiti. Nađimo bilo koji od njegovih korijena i dodajmo ga u jednadžbu (3) , sada će poprimiti oblik

Ovo je kvadratna jednadžba. Rješavajući je, možete pronaći korijen jednadžbe (2) , i stoga (1) .

4 mjeseca prije smrti Cardano je završio svoju autobiografiju koju je intenzivno pisao posljednjih godinu dana i koja je trebala sažeti njegov težak život. Osjećao je približavanje smrti. Prema nekim izvješćima, njegov vlastiti horoskop povezao je njegovu smrt s njegovim 75. rođendanom. Preminuo je 21. rujna 1576. godine. 2 dana prije obljetnice. Postoji verzija da je počinio samoubojstvo u očekivanju neposredne smrti ili čak da potvrdi svoj horoskop. U svakom slučaju, astrolog Cardano je horoskop shvatio ozbiljno.

Napomena o Cardanovoj formuli

Analizirajmo formulu za rješavanje jednadžbe u realnoj domeni. Tako,

Pri proračunu x prvo moramo izvaditi kvadratni, a zatim kubični korijen. Možemo izvaditi kvadratni korijen dok ostajemo u realnom području ako je . Dvije vrijednosti kvadratnog korijena koje se razlikuju u predznaku pojavljuju se u različitim terminima za x. Vrijednosti kubnog korijena u stvarnoj domeni su jedinstvene i rezultat je jedinstveni pravi korijen x u . Proučavajući graf kubnog trinoma, lako je provjeriti da on zapravo ima jedan realan korijen u . U postoje tri prava korijena. Kada postoji dvostruki pravi korijen i jednostruki korijen, a kada postoji trostruki korijen x=0.

Nastavimo proučavati formulu za . Ispada. Što ako jednadžba s cjelobrojnim koeficijentima ima cjelobrojni korijen, pri izračunavanju pomoću formule mogu se pojaviti posredne iracionalnosti. Na primjer, jednadžba ima jedan korijen (stvaran) - x=1. Cardanova formula daje za ovaj jedini pravi korijen izraz

Ali gotovo svaki dokaz uključuje korištenje činjenice da je ovaj izraz korijen jednadžbe. Ako ovo ne pogodite, tijekom transformacije će se pojaviti neuništivi kubični radikali.

Problem Cardano-Tartaglia ubrzo je zaboravljen. Formula za rješavanje kubične jednadžbe bila je povezana s "Velikom umjetnošću" i postupno se počela nazivati formula Cardano.

Mnogi su imali želju vratiti pravu sliku događaja u situaciji u kojoj njihovi sudionici nedvojbeno nisu govorili cijelu istinu. Mnogima je bilo važno utvrditi razmjere Cardanove krivnje. Do kraja 19. stoljeća neke od rasprava počinju poprimati karakter ozbiljnih povijesno-matematičkih istraživanja. Matematičari su krajem 16. stoljeća shvatili kakvu je veliku ulogu imao Cardanov rad. Postalo je jasno ono što je Leibniz primijetio još ranije: “Cardano je bio veliki čovjek sa svim svojim nedostacima; bez njih bi bio savršen.”

OPĆINSKI VII STUDENTSKI ZNANSTVENI I PRAKTIČNI SKUP “MLADI: KREATIVNOST, TRAGANJE, USPJEH”

Općinski okrug Anninsky

Voronješka regija

Odjeljak:MATEMATIKA

Predmet:"Cardano formula: povijest i primjena"

MKOU Anninskaya srednja škola br. 3, 9 "B" razred

Niccolò Fontana Tartaglia (tal. NiccolòFontanaTartaglia, 1499.-1557.) - talijanski matematičar.

Općenito, povijest govori da je formulu prvobitno otkrio Tartaglia i predao je Cardanu u gotovom obliku, ali je sam Cardano zanijekao tu činjenicu, iako nije zanijekao Tartagliinu umiješanost u stvaranje formule.

Naziv "Cardanova formula" čvrsto je ukorijenjen iza formule, u čast znanstvenika koji ju je zapravo objasnio i predstavio javnosti.

Kad je sat gradske vijećnice otkucao pet, vrata su se širom otvorila i gomila je uletjela u katedralu. S obje strane središnje linije koja povezuje ulaz u oltar, uz dva bočna stupa podignute su dvije visoke propovjedaonice, namijenjene debatantima. Prisutni su digli glasnu buku, ne obraćajući pažnju na to što su u crkvi. Napokon se ispred željezne rešetke koja je ikonostas dijelila od ostatka središnje lađe pojavio gradski vikač u crno-ljubičastom plaštu i proglasio: “Slavni građani grada Milana! Sada će vam govoriti poznati matematičar Niccolo Tartaglia iz Brenije. Protivnik mu je trebao biti matematičar i liječnik Geronimo Cardano. Niccolò Tartaglia optužuje Cardana za to što je ovaj u svojoj knjizi “Arsmagna” objavio metodu za rješavanje jednadžbe 3. stupnja, koja pripada njemu, Tartaglii. Međutim, sam Cardano nije mogao doći na debatu pa je poslao svog učenika Luigea Ferrarija. Dakle, rasprava se proglašava otvorenom, njeni sudionici se pozivaju na katedre.” Na propovjedaonicu lijevo od ulaza popeo se nespretan čovjek kukastog nosa i kovrčave brade, a na suprotnu propovjedaonicu popeo se dvadesetogodišnji mladić lijepog, samouvjerenog lica. Cijelo njegovo držanje odražavalo je potpuno uvjerenje da će svaki njegov pokret i svaka riječ biti primljena s oduševljenjem.

počeo je Tartaglia.

Draga gospodo! Znate da sam prije 13 godina uspio pronaći način da riješim jednadžbu 3. stupnja i tada sam tom metodom dobio spor s Fiorijem. Moja je metoda privukla pozornost vašeg sugrađanina Cardana i on je upotrijebio svu svoju lukavost da od mene sazna tajnu. Nije prezao ni od prijevare ni od otvorenog krivotvorenja. Također znate da je prije 3 godine u Nürnbergu objavljena Cardanova knjiga o pravilima algebre, gdje je moja metoda, tako besramno ukradena, postala dostupna svima. Izazvao sam Cardana i njegovog učenika na natjecanje. Predložio sam da riješim 31 zadatak, isto toliko su mi predložili i moji protukandidati. Određen je rok za rješavanje problema - 15 dana. U 7 dana uspio sam riješiti većinu problema koje su sastavili Cardano i Ferrari. Isprintao sam ih i poslao kurirom u Milano. No, morao sam čekati punih pet mjeseci dok nisam dobio odgovore na svoje zadatke. Netočno su riješeni. To mi je dalo povoda da obojicu izazovem na javnu raspravu.

Tartaglia je zašutio. Mladić, gledajući nesretnog Tartagliu, reče:

Moj protivnik je optužio mene i mog učitelja da smo navodno dali krivo rješenje njegovih problema. Ali kako korijen jednadžbe može biti netočan ako ga zamjenom u jednadžbu i izvođenjem svih radnji propisanih u ovoj jednadžbi dolazimo do identiteta? A ako Senor Tartaglia želi biti dosljedan, onda je trebao odgovoriti na primjedbu zašto smo mi, koji smo, po njegovim riječima, ukrali njegov izum i njime riješili predložene probleme, dobili krivo rješenje. Mi - moj učitelj i ja - ne smatramo izum signor Tartaglie malo važnim. Ovaj izum je predivan. Štoviše, oslanjajući se uglavnom na njega, pronašao sam način da riješim jednadžbu 4. stupnja, au Arsmagni moj učitelj govori o tome. Što Senor Tartaglia želi od nas? Što pokušava postići sporom?

Gospodo, gospodo, vikao je Tartaglia, molim vas da me saslušate! Ne poričem da je moj mladi protivnik vrlo jak u logici i elokvenciji. Ali to ne može zamijeniti pravi matematički dokaz. Problemi koje sam zadao Cardanu i Ferrariju su pogrešno riješeni, ali ću i to dokazati. Doista, uzmimo, na primjer, jednu jednadžbu među riješenim. Poznato je...

Time je okončan ovaj spor koji izaziva sve nove i nove sporove. Tko zapravo posjeduje metodu za rješavanje jednadžbe 3. stupnja? Sada razgovaramo - Niccolo Tartaglie. On je to otkrio, a Cardano ga je prevario da otkrije. A ako sada formulu koja predstavlja korijene jednadžbe 3. stupnja preko svojih koeficijenata nazovemo Cardano formulom, onda je to povijesna nepravda. Međutim, je li to nepravedno? Kako izračunati stupanj sudjelovanja svakog matematičara u otkriću? Možda će s vremenom netko moći apsolutno točno odgovoriti na ovo pitanje ili će možda ostati misterija...

Koristeći suvremeni matematički jezik i modernu simboliku, izvođenje Cardanove formule može se pronaći korištenjem sljedećih krajnje elementarnih razmatranja:

Neka nam je dana opća jednadžba 3. stupnja:

x 3 + sjekira 2 + bx + c = 0,

(1)

Gdjea, b, c – proizvoljni realni brojevi.

Zamijenimo varijablu u jednadžbi (1)x na novu varijablu gprema formuli:

x 3 +sjekira 2 +bx+c = (y ) 3 + a(y ) 2 + b(y ) + c = y 3 3g 2 + 3 god+ a(y 2 2g+ od strane = g 3 g 3 + (b

tada će jednadžba (1) poprimiti oblikg 3 + ( b

Ako uvedemo notacijustr = b, q = ,

tada će jednadžba poprimiti oblikg 3 + py + q = 0.

Ovo je poznata Cardano formula.

Korijeni kubne jednadžbeg 3 + py + q = 0 ovise o diskriminantu

AkoD> 0, daklekubni polinom ima tri različita realna korijena.

AkoD< 0, то kubni polinom ima jedan realan korijen i dva kompleksna korijena (koji su kompleksno konjugirani).

AkoD = 0, ima višestruki korijen (ili jedan korijen višestrukosti 2 i jedan korijen višestrukosti 1, od kojih su oba stvarna; ili jedan pravi korijen višestrukosti 3).

2.4. Primjeri univerzalnih metoda za rješavanje kubnih jednadžbi

Pokušajmo primijeniti Cardanovu formulu na rješavanje specifičnih jednadžbi.

Primjer 1: x 3 +15 x+124 = 0

Ovdjestr = 15; q = 124.

Odgovor:x