Kako pronaći koordinate vektorskog umnoška. Križni produkt - definicije, svojstva, formule, primjeri i rješenja

U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: vektorski produkt vektora I mješoviti produkt vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se dogodi da za potpunu sreću, osim toga skalarni produkt vektora, potrebno je sve više i više. Ovo je vektorska ovisnost. Može se činiti da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. To je pogrešno. U ovom dijelu više matematike uglavnom ima malo drva, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - teško da je kompliciraniji od istog skalarni proizvod, bit će čak i manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, u što će se mnogi uvjeriti ili su se već uvjerili, jest NE POGRIJEŠITI U RAČUNANJU. Ponavljajte kao čaroliju i bit ćete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munje na horizontu, nema veze, počnite s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovno steći osnovno znanje o vektorima. Pripremljeniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama; pokušao sam prikupiti što cjelovitiju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičnom radu

Što će vas odmah usrećiti? Kad sam bio mali, znao sam žonglirati s dvije ili čak tri lopte. Dobro je ispalo. Sada uopće nećete morati žonglirati, jer ćemo razmisliti samo prostorni vektori, a ravni vektori s dvije koordinate bit će izostavljeni. Zašto? Tako su se rodile ove akcije - vektor i mješoviti umnožak vektora definirani su i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već je lakše!

Ova operacija, baš kao i skalarni umnožak, uključuje dva vektora. Neka to budu neprolazna slova.

Sama akcija označen sa na sljedeći način: . Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao vektorski umnožak vektora označavati na ovaj način, u uglatim zagradama s križićem.

I to odmah pitanje: ako je unutra skalarni produkt vektora uključena su dva vektora, a ovdje se također množe dva vektora koja je razlika? Očita razlika je prije svega u REZULTATU:

Rezultat skalarnog produkta vektora je BROJ:

Rezultat umnoška vektora je VEKTOR: , tj. množimo vektore i opet dobivamo vektor. Zatvoreni klub. Zapravo, odatle i potječe naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi oznake se također mogu razlikovati;

Definicija unakrsnog umnoška

Prvo će biti definicija sa slikom, a zatim komentari.

Definicija: Vektorski proizvod nekolinearni vektori, uzeti ovim redom, pod nazivom VEKTOR, duljinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, a usmjeren je tako da baza ima pravu orijentaciju:

Razdvojimo definiciju, ovdje ima puno zanimljivih stvari!

Dakle, mogu se istaknuti sljedeće značajne točke:

1) Izvorni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearna. Bit će prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Uzimaju se vektori po strogo određenom redoslijedu: – "a" se množi s "be", a ne "biti" s "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako vektore pomnožimo obrnutim redoslijedom, dobivamo vektor jednake duljine i suprotnog smjera (boja maline). Odnosno, jednakost je istinita .

3) Sada se upoznajmo s geometrijskim značenjem vektorskog produkta. Ovo je vrlo važna točka! DULJINA plavog vektora (a time i grimiznog vektora) brojčano je jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram osjenčan crno.

Bilješka : crtež je shematski i, naravno, nominalna duljina vektorskog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Prisjetimo se jedne od geometrijskih formula: Površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa kuta između njih. Stoga, na temelju gore navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DULJINE vektorskog produkta:

Naglašavam da se formula odnosi na DUŽINU vektora, a ne na sam vektor. Koje je praktično značenje? A značenje je da se u problemima analitičke geometrije područje paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Uzmimo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena točkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trokuta. Stoga se područje trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći pomoću formule:

4) Jednako važna činjenica je da je vektor ortogonalan na vektore, tj . Naravno, suprotno usmjereni vektor (malinasta strelica) također je okomit na izvorne vektore.

5) Vektor je usmjeren tako da osnova Ima pravo orijentacija. U lekciji o prijelaz na novu osnovu Govorio sam dovoljno detaljno o ravninska orijentacija, a sada ćemo shvatiti što je prostorna orijentacija. Objasnit ću ti na prstima desna ruka. Mentalno kombinirajte kažiprst s vektorom i srednji prst s vektorom. Domali prst i mali prst pritisnite ga na dlan. Kao rezultat palac– vektorski produkt će izgledati gore. Ovo je desno orijentirana baza (to je ova na slici). Sada promijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na nekim mjestima, kao rezultat će se palac okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je također desno orijentirana osnova. Možda imate pitanje: koja osnova ima lijevu orijentaciju? "Dodijeliti" istim prstima lijeva ruka vektora, te dobiti lijevu bazu i lijevu orijentaciju prostora (u ovom slučaju palac će se nalaziti u smjeru donjeg vektora). Slikovito govoreći, ove baze “izvijaju” ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, orijentacija prostora mijenja se najobičnijim zrcalom, a ako "izvučete reflektirani objekt iz zrcala", onda u općem slučaju to neće biti moguće kombinirati s "originalom". Usput, držite tri prsta do ogledala i analizirajte odraz ;-)

...kako je dobro da sada znaš desno i lijevo orijentirani baze, jer su izjave nekih predavača o promjeni orijentacije zastrašujuće =)

Umnožak kolinearnih vektora

Definicija je detaljno raspravljena, ostaje nam otkriti što se događa kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš paralelogram se također "presavija" u jednu ravnu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerirati paralelogram je jednak nuli. Isto slijedi iz formule - sinus nula ili 180 stupnjeva jednak je nuli, što znači da je površina nula

Dakle, ako , onda I . Napominjemo da je sam vektorski produkt jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je i on jednak nuli.

Poseban slučaj je vektorski produkt vektora sa samim sobom:

Pomoću vektorskog umnoška možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo između ostalog analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera možda će vam trebati trigonometrijska tablica pronaći vrijednosti sinusa iz njega.

Pa, zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Odredite duljinu vektorskog umnoška vektora ako

b) Odredite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Riješenje: Ne, ovo nije tipfeler, namjerno sam napravio iste početne podatke u rečenicama. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema stanju, trebate pronaći duljina vektor (križni produkt). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Ako ste upitani o duljini, tada u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) Prema stanju, trebate pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma brojčano je jednaka duljini vektorskog proizvoda:

Odgovor:

Napominjemo da se u odgovoru uopće ne govori o vektorskom produktu; područje figure, prema tome, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvijek gledamo ŠTO trebamo pronaći prema stanju i na temelju toga formuliramo čisto odgovor. Možda se čini kao bukvalizam, ali među nastavnicima ima dosta bukvalista, a zadatak ima dobre šanse da bude vraćen na doradu. Iako se ne radi o nekoj pretjeranoj zamjerki - ako je odgovor netočan, stječe se dojam da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili nije shvatila bit zadatka. Ovu točku uvijek treba držati pod kontrolom pri rješavanju bilo kojeg problema iz više matematike, ali i iz drugih predmeta.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu se moglo dodatno priložiti rješenju, ali da bih skratio unos, nisam to napravio. Nadam se da svi to razumiju i da je to oznaka za istu stvar.

Popularan primjer za DIY rješenje:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima ako

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod navedena je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor su na kraju lekcije.

U praksi, zadatak je stvarno vrlo čest; trokuti vas općenito mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema trebat će nam:

Svojstva vektorskog produkta vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog produkta, ali ću ih uključiti u ovaj popis.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj vrijede sljedeća svojstva:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka obično nije istaknuta u svojstvima, ali je vrlo važna u praktičnom smislu. Pa neka bude.

2) – svojstvo se također raspravlja gore, ponekad se zove antikomutativnost. Drugim riječima, bitan je redoslijed vektora.

3) – asocijativni odn asocijativni zakoni vektorskog produkta. Konstante se mogu lako premjestiti izvan vektorskog produkta. Stvarno, što bi tamo trebali raditi?

4) – raspodjela odn distributivni zakoni vektorskog produkta. Nema problema ni s otvaranjem zagrada.

Za demonstraciju, pogledajmo kratki primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Riješenje: Uvjet ponovno zahtijeva pronalaženje duljine vektorskog produkta. Naslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima, konstante uzimamo izvan opsega vektorskog produkta.

(2) Konstantu pomaknemo izvan modula, a modul “pojede” znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ostalo je jasno.

Odgovor:

Vrijeme je da dodamo još drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima ako

Riješenje: Pronađite površinu trokuta pomoću formule . Kvaka je u tome što su sami vektori "tse" i "de" predstavljeni kao zbrojevi vektora. Algoritam je ovdje standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 lekcije Točkasti umnožak vektora. Radi jasnoće, podijelit ćemo rješenje u tri faze:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski umnožak kroz vektorski umnožak, zapravo, izrazimo vektor pomoću vektora. Još nema riječi o duljinama!

(1) Zamijenite izraze vektora.

(2) Koristeći zakone distribucije otvaramo zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, pomičemo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, koraci 2 i 3 mogu se izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i zadnji član jednaki su nuli (nulti vektor) zbog svojstva nice. U drugom članu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog produkta:

(5) Predstavljamo slične uvjete.

Kao rezultat toga, ispostavilo se da je vektor izražen kroz vektor, što je trebalo postići:

2) U drugom koraku pronalazimo duljinu vektorskog produkta koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3:

3) Pronađite površinu traženog trokuta:

Faze 2-3 rješenja mogle su se napisati u jednom redu.

Odgovor:

Razmatrani problem prilično je čest u testovima, evo primjera kako ga sami riješiti:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Umnožak vektora u koordinatama

Formula je doista jednostavna: u gornji red determinante upišemo koordinatne vektore, u drugi i treći redak “stavimo” koordinate vektora i stavimo u strogom redu– prvo koordinate vektora “ve”, zatim koordinate vektora “double-ve”. Ako vektore treba pomnožiti drugačijim redoslijedom, redove treba zamijeniti:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
A)
b)

Riješenje: Provjera se temelji na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, tada je njihov vektorski produkt jednak nuli (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski produkt:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski produkt:

Odgovor: a) nije kolinearan, b)

Ovdje su možda sve osnovne informacije o vektorskom produktu vektora.

Ovaj odjeljak neće biti jako velik, budući da postoji nekoliko problema u kojima se koristi mješoviti umnožak vektora. Zapravo, sve će ovisiti o definiciji, geometrijskom značenju i nekoliko radnih formula.

Mješoviti umnožak vektora je umnožak tri vektora:

Pa su se poredali kao vlak i jedva čekaju da ih se identificira.

Prvo, opet, definicija i slika:

Definicija: Mješoviti rad nekoplanarni vektori, uzeti ovim redom, nazvao volumen paralelopipeda, izgrađen na tim vektorima, opremljen znakom “+” ako je baza desna, i znakom “–” ako je baza lijevo.

Napravimo crtež. Nama nevidljive linije nacrtane su isprekidanim linijama:

Uronimo u definiciju:

2) Uzimaju se vektori određenim redoslijedom, odnosno preuređivanje vektora u umnošku, kao što pretpostavljate, ne događa se bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očitu činjenicu: mješoviti umnožak vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti malo drugačiji; ja sam navikao označavati mješoviti proizvod sa , a rezultat izračuna slovom "pe".

A-priorat mješoviti umnožak je obujam paralelopipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). To jest, broj je jednak volumenu danog paralelopipeda.

Bilješka : Crtež je shematski.

4) Nemojmo opet brinuti o konceptu orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se glasnoći može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješoviti proizvod može biti negativan: .

Izravno iz definicije slijedi formula za izračunavanje volumena paralelopipeda izgrađenog na vektorima.

Vektorsko umjetničko djelo je pseudovektor okomit na ravninu konstruiran od dva faktora, koji je rezultat binarne operacije "množenje vektora" nad vektorima u trodimenzionalnom euklidskom prostoru. Vektorski umnožak nema svojstva komutativnosti i asocijativnosti (on je antikomutativan) te je za razliku od skalarnog umnoška vektora vektor. Naširoko se koristi u mnogim inženjerskim i fizičkim aplikacijama. Na primjer, kutni moment i Lorentzova sila matematički se zapisuju kao vektorski produkt. Križni produkt koristan je za "mjerenje" okomitosti vektora - modul križnog produkta dvaju vektora jednak je produktu njihovih modula ako su okomiti, a smanjuje se na nulu ako su vektori paralelni ili antiparalelni.

Vektorski umnožak može se definirati na različite načine, a teoretski, u prostoru bilo koje dimenzije n, može se izračunati umnožak n-1 vektora, čime se dobiva jedan vektor okomit na sve njih. Ali ako je produkt ograničen na netrivijalne binarne produkte s vektorskim rezultatima, onda je tradicionalni vektorski proizvod definiran samo u trodimenzionalnim i sedmerodimenzionalnim prostorima. Rezultat vektorskog umnoška, ​​poput skalarnog umnoška, ​​ovisi o metrici euklidskog prostora.

Za razliku od formule za izračunavanje vektora skalarnog umnoška iz koordinata u trodimenzionalnom pravokutnom koordinatnom sustavu, formula za križni umnožak ovisi o orijentaciji pravokutnog koordinatnog sustava, odnosno, drugim riječima, njegovoj “kiralnosti”.

Definicija:
Vektorski produkt vektora a i vektora b u prostoru R3 je vektor c koji zadovoljava sljedeće zahtjeve:
duljina vektora c jednaka je umnošku duljina vektora a i b i sinusa kuta φ između njih:
|c|=|a||b|sin φ;
vektor c je okomit na svaki od vektora a i b;
vektor c je usmjeren tako da je trojka vektora abc desnokretna;
u slučaju prostora R7 traži se asocijativnost trojke vektora a, b, c.
Oznaka:
c===a × b

Riža. 1. Površina paralelograma jednaka je modulu vektorskog proizvoda

Geometrijska svojstva umnoška:
Nužan i dovoljan uvjet za kolinearnost dva vektora različita od nule je da je njihov vektorski produkt jednak nuli.

Modul višestrukih proizvoda jednaka površini S paralelogram konstruiran na vektorima svedenim na zajedničko ishodište a I b(vidi sliku 1).

Ako e- jedinični vektor okomit na vektore a I b i izabran tako da tri a,b,e- točno, i S je površina paralelograma konstruiranog na njima (svedena na zajedničko ishodište), tada vrijedi formula za vektorski proizvod:
= S e

sl.2. Volumen paralelopipeda pomoću vektora i skalarnog produkta vektora; isprekidane linije prikazuju projekcije vektora c na a × b i vektora a na b × c, prvi korak je pronaći skalarne produkte

Ako c- neki vektor, π - bilo koja ravnina koja sadrži ovaj vektor, e- jedinični vektor koji leži u ravnini π i ortogonalno na c,g- jedinični vektor okomit na ravninu π a usmjerena tako da trojka vektora ekg je u pravu, onda za bilo kakvo ležanje u avionu π vektor a formula je točna:
=Pr e a |c|g
gdje je Pr e a projekcija vektora e na a
|c|-modul vektora c

Kada koristite vektorske i skalarne produkte, možete izračunati volumen paralelopipeda izgrađenog na vektorima svedenim na zajedničko ishodište a, b I c. Takav produkt triju vektora naziva se mješoviti.
V=|a (b×c)|
Slika pokazuje da se ovaj volumen može pronaći na dva načina: geometrijski rezultat je sačuvan čak i kada se "skalarni" i "vektorski" produkti zamijene:
V=a×b c=a b×c

Veličina križnog umnoška ovisi o sinusu kuta između izvornih vektora, tako da se križni umnožak može percipirati kao stupanj "okomitosti" vektora, baš kao što se skalarni produkt može promatrati kao stupanj "paralelnosti ”. Vektorski umnožak dva jedinična vektora jednak je 1 (jedinički vektor) ako su izvorni vektori okomiti, i jednak 0 (nulti vektor) ako su vektori paralelni ili antiparalelni.

Izraz za umnožak u Kartezijevim koordinatama
Ako dva vektora a I b definirane svojim pravokutnim kartezijevim koordinatama, ili točnije, predstavljene u ortonormiranoj bazi
a=(a x,a y,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
a koordinatni sustav desnokretan, tada njihov vektorski produkt ima oblik
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Da zapamtite ovu formulu:
i =∑ε ijk a j b k
Gdje ε ijk- simbol Levi-Civita.

7.1. Definicija unakrsnog umnoška

Tri nekoplanarna vektora a, b i c, uzeta navedenim redoslijedom, tvore desni trostruk ako se od kraja trećeg vektora c vidi najkraći zavoj od prvog vektora a do drugog vektora b biti u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a ljevoruki triplet ako je u smjeru kazaljke na satu (vidi sl. 16).

Vektorski produkt vektora a i vektora b naziva se vektor c, koji:

1. Okomito na vektore a i b, tj. c ^ a i c ^ b ;

2. Ima duljinu numerički jednaku površini paralelograma konstruiranog na vektorima a ib kao na stranama (vidi sl. 17), t.j.

3. Vektori a, b i c tvore desnu trojku.

Križni umnožak označava se a x b ili [a,b]. Sljedeći odnosi između jediničnih vektora izravno slijede iz definicije vektorskog produkta, j I k(vidi sliku 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokažimo, na primjer, da i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1, ali | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektori i, j i k tvore desnu trojku (vidi sliku 16).

7.2. Svojstva križnog umnoška

1. Pri preslagivanju faktora vektorski produkt mijenja predznak, tj. i xb =(b xa) (vidi sliku 19).

Vektori a xb i b xa su kolinearni, imaju iste module (površina paralelograma ostaje nepromijenjena), ali su suprotno usmjereni (trojke a, b, a xb i a, b, b x a suprotne orijentacije). To je axb = -(b xa).

2. Vektorski produkt ima svojstvo kombiniranja u odnosu na skalarni faktor, tj. l ​​(a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Neka je l >0. Vektor l (a xb) je okomit na vektore a i b. Vektor ( l sjekira b također je okomit na vektore a i b(vektori a, l ali leže u istoj ravnini). To znači da vektori l(a xb) i ( l sjekira b kolinearni. Očito je da im se smjerovi poklapaju. Imaju istu dužinu:

Zato l(a xb)= l a xb. Slično se dokazuje za l<0.

3. Dva vektora a i različita od nule b su kolinearni ako i samo ako je njihov vektorski produkt jednak nultom vektoru, tj. a ||b<=>i xb =0.

Konkretno, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektorski produkt ima svojstvo distribucije:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Prihvatit ćemo bez dokaza.

7.3. Izražavanje umnoška preko koordinata

Koristit ćemo tablicu unakrsnog produkta vektora i, j i k:

ako se smjer najkraćeg puta od prvog vektora do drugog poklapa sa smjerom strelice, tada je umnožak jednak trećem vektoru; ako se ne poklapa, treći vektor se uzima s predznakom minus.

Neka su dana dva vektora a =a x i +a y j+a z k i b =b x i+b g j+b z k. Nađimo vektorski produkt ovih vektora množenjem kao polinoma (prema svojstvima vektorskog produkta):

Dobivena formula može se napisati još kraće:

budući da desna strana jednakosti (7.1) odgovara proširenju determinante trećeg reda u smislu elemenata prvog reda. Jednakost (7.2) je lako zapamtiti.

7.4. Neke primjene križnog umnoška

Utvrđivanje kolinearnosti vektora

Određivanje površine paralelograma i trokuta

Prema definiciji vektorskog produkta vektora A i b |a xb | =|a | * |b |sin g, tj. S parova = |a x b |. I, prema tome, D S =1/2|a x b |.

Određivanje momenta sile oko točke

Neka na točku A djeluje sila F = AB Pusti to OKO- neka točka u prostoru (vidi sliku 20).

Iz fizike je poznato da moment sile F u odnosu na točku OKO nazvan vektor M, koji prolazi točkom OKO I:

1) okomito na ravninu koja prolazi kroz točke O, A, B;

2) brojčano jednak umnošku sile po kraku

3) tvori desnu trojku s vektorima OA i A B.

Stoga je M = OA x F.

Određivanje linearne brzine rotacije

Ubrzati v točka M krutog tijela koje rotira kutnom brzinom w oko fiksne osi, određuje se Eulerovom formulom v =w xr, gdje je r =OM, gdje je O neka fiksna točka osi (vidi sliku 21).

Engleski: Wikipedia čini stranicu sigurnijom. Koristite stari web preglednik koji se u budućnosti neće moći povezati s Wikipedijom. Ažurirajte svoj uređaj ili kontaktirajte svog IT administratora.

中文: 以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

španjolski: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrator informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ????す るか情報は以下に英語で提供しています。

Njemački: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

talijanski: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stay usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

mađarski: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia je pogledala stranicu. Vaši drugi web-mjesta su uključeni u traženje Wikipedije u framtiden-u. Updatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer tehnicsk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Uklanjamo podršku za nesigurne verzije TLS protokola, posebno TLSv1.0 i TLSv1.1, na koje se softver vašeg preglednika oslanja za povezivanje s našim stranicama. To je obično uzrokovano zastarjelim preglednicima ili starijim Android pametnim telefonima. Ili to može biti smetnja korporativnog ili osobnog softvera "Web Security", koji zapravo smanjuje sigurnost veze.

Morate nadograditi svoj web preglednik ili na drugi način riješiti ovaj problem da biste pristupili našim stranicama. Ova će poruka ostati do 1. siječnja 2020. Nakon tog datuma vaš preglednik neće moći uspostaviti vezu s našim poslužiteljima.

Koristit ćemo tablicu unakrsnog umnoška vektora i, j i k:

ako se smjer najkraćeg puta od prvog vektora do drugog poklapa sa smjerom strelice, tada je umnožak jednak trećem vektoru; ako se ne poklapa, treći vektor se uzima s predznakom minus.

Neka su dana dva vektora a=axi +ayj +azk i b =bxi +byj +bzk. Nađimo vektorski produkt ovih vektora množenjem kao polinoma (prema svojstvima vektorskog produkta):
Dobivena formula može se napisati još kraće: budući da desna strana jednakosti (7.1) odgovara proširenju determinante trećeg reda u smislu elemenata prvog reda. Jednakost (7.2) je lako zapamtiti.

7.4. Neke primjene križnog umnoška

Utvrđivanje kolinearnosti vektora.
Određivanje površine paralelograma i trokuta

Prema definiciji vektorskog umnoška vektora a i b |a xb | = |a| * |b |pjevati, tj. S parova = |a x b |. I, prema tome, DS =1/2|a x b |.

Određivanje momenta sile oko točke

Neka na točku A djeluje sila F = AB i neka je O neka točka u prostoru Iz fizike je poznato da je moment sile F u odnosu na točku O vektor M koji prolazi točkom O i:

1) okomito na ravninu koja prolazi kroz točke O, A, B;

2) brojčano je jednak umnošku sile s ramenom 3) čini desnu trojku s vektorima OA i A B.

Stoga je M = OA x F. Određivanje linearne brzine rotacije

Brzina v točke M krutog tijela koja rotira kutnom brzinom w oko fiksne osi određena je Eulerovom formulom v =w xr, gdje je r =OM, gdje je O neka fiksna točka osi (vidi sl. 21).

Kut između vektora

Iz definicije skalarnog umnoška dvaju vektora slijedi da su ako su vektori i određeni koordinatama i , tada će formula (1.6.3.1) biti zapisana kao:

Površina paralelograma izgrađenog na vektorima

Problemi mjerenja duljina odsječaka, udaljenosti između točaka, površina i volumena tijela pripadaju važnoj klasi problema koji se obično nazivaju metričkim. U prethodnom odjeljku naučili smo kako koristiti vektorsku algebru za izračunavanje duljina odsječaka i udaljenosti između točaka. Sada ćemo pronaći načine za izračunavanje površina i volumena. Vektorska algebra omogućuje postavljanje i rješavanje takvih problema samo za prilično jednostavne slučajeve. Za izračunavanje površina proizvoljnih površina i volumena proizvoljnih tijela potrebne su metode analize. Ali metode analize se, pak, značajno oslanjaju na rezultate koje daje vektorska algebra.

Za rješavanje problema odabrali smo prilično dug i težak put, koji je predložio Hilbert Strang, povezan s brojnim geometrijskim transformacijama i mukotrpnim algebarskim izračunima. Odabrali smo taj put unatoč tome što postoje drugi pristupi koji brže vode do cilja jer nam se činio izravnim i prirodnim. Direktan put u znanosti nije uvijek najlakši. Iskusni ljudi znaju za to i preferiraju kružne staze, ali ako ne pokušate ići ravno, možete ostati u neznanju o nekim suptilnostima teorije.

Na putu koji smo odabrali prirodno se pojavljuju koncepti kao što su prostorna orijentacija, determinanta, vektor i mješoviti proizvodi. Geometrijsko značenje odrednice i njezinih svojstava posebno se jasno vidi, kao pod mikroskopom. Tradicionalno se pojam determinante uvodi u teoriju sustava linearnih jednadžbi, ali upravo je za rješavanje takvih sustava determinanta gotovo beskorisna. Geometrijsko značenje determinante bitno je za vektorsku i tenzorsku algebru.

Sada budimo strpljivi i počnimo s najjednostavnijim i najrazumljivijim slučajevima.

1. Vektori su orijentirani duž koordinatnih osi Kartezijevog koordinatnog sustava.

Neka je vektor a usmjeren duž x-osi, a vektor b duž y-osi. Na sl. Slika 21 prikazuje četiri različite opcije za položaj vektora u odnosu na koordinatne osi.

Vektori a i b u koordinatnom obliku: gdje a i b označavaju veličinu odgovarajućeg vektora, a a je predznak koordinate vektora.

Budući da su vektori ortogonalni, paralelogrami konstruirani na njima su pravokutnici. Njihova područja su jednostavno proizvod njihovih strana. Izrazimo ove produkte u terminima vektorskih koordinata za sva četiri slučaja.

Sve četiri formule za izračunavanje površine su iste osim predznaka. Mogao bi samo zatvoriti oči i zapisati, da u svim slučajevima. Međutim, druga se mogućnost pokazuje produktivnijom: dati znaku neko značenje. Pogledajmo pažljivo sl. 21. U slučajevima kada se rotacija vektora do vektora provodi u smjeru kazaljke na satu. U onim slučajevima kada smo prisiljeni koristiti znak minus u formuli, rotacija vektora za vektorom se izvodi suprotno od kazaljke na satu. Ovo zapažanje nam omogućuje da znak u izrazima za površinu povežemo s orijentacijom ravnine.

Područje pravokutnika izgrađenog na vektorima a i b s znakom plus ili minus smatrat će se orijentiranim područjem, a znak će biti povezan s orijentacijom određenom vektorima. Za orijentirano područje možemo napisati jednu formulu za sva četiri razmatrana slučaja: . Uvodi se trakasti znak “vektor” iznad slova S kako bi se razlikovala obična površina, koja je uvijek pozitivna, od orijentirane.

Štoviše, očito je da isti vektori, uzeti različitim redoslijedom, određuju suprotnu orijentaciju, dakle, . Samo ćemo nastaviti označavati područje slovom S i, prema tome, .

Sada kada bi se činilo da smo pod cijenu proširenja pojma područja dobili opći izraz, pažljivi će čitatelj reći da nismo razmotrili sve mogućnosti. Doista, uz četiri opcije za položaj vektora prikazane na Sl. 21, postoje još četiri (sl. 22) Zapišimo vektore ponovno u koordinatnom obliku: Izrazimo površine kroz koordinate vektora. 4. . Znakovi u novim izrazima nisu se promijenili, ali se, nažalost, promijenila orijentacija u odnosu na prethodna četiri slučaja. Stoga smo za orijentirano područje prisiljeni napisati: . Iako nada u genijalnu jednostavnost nije bila opravdana, ipak možemo napisati opći izraz za sva četiri slučaja.

To jest, orijentirana površina pravokutnika konstruirana na vektorima, kao na stranama, jednaka je determinanti, sastavljenoj od koordinata vektora, kao na stupcima.

Vjerujemo da je čitatelj upoznat s teorijom determinanti, stoga se ne zadržavamo detaljno na ovom konceptu. Međutim, dajemo odgovarajuće definicije kako bismo promijenili naglasak i pokazali da se do ovog koncepta može doći iz čisto geometrijskih razmatranja, , . , , su različiti oblici notacije za isti koncept - determinanta, sastavljena od vektorskih koordinata, poput stupaca. Jednakost može se uzeti kao njegova definicija za dvodimenzionalni slučaj.

2. Vektor b nije paralelan s x osi; vektor a/ je proizvoljan vektor.

Kako bismo sveli ovaj slučaj na već poznate, razmotrimo neke geometrijske transformacije paralelograma izgrađenog na vektorima i (Sl. mješoviti produkti vektora i njegovih svojstava