Matrice. Akcije na matricama

Imajte na umu da elementi matrice ne mogu biti samo brojevi. Zamislimo da opisujete knjige koje se nalaze na vašoj polici. Neka vaša polica bude u redu, a sve knjige na točno određenim mjestima. Tablica koja će sadržavati opis vaše knjižnice (po policama i redoslijedu knjiga na polici) bit će ujedno i matrica. Ali takva matrica neće biti numerička. Još jedan primjer. Umjesto brojeva postoje različite funkcije, ujedinjene nekom ovisnošću. Dobivena tablica također će se zvati matrica. Drugim riječima, Matrica je svaka pravokutna tablica sastavljena od homogena elementi. Ovdje i dalje ćemo govoriti o matricama sastavljenim od brojeva.

Umjesto zagrada, za pisanje matrica koriste se uglate zagrade ili ravne dvostruke okomite crte

(2.1*)

Definicija 2. Ako se u izrazu(1) m = n, onda govore o kvadratna matrica, i ako , onda oh pravokutan.

Ovisno o vrijednostima m i n, razlikuju se neke posebne vrste matrica:

Najvažnija karakteristika kvadrat matrica je ona determinanta ili determinanta, koji se sastoji od matričnih elemenata i označava se

Očito je D E =1; .

Definicija 3. Ako , zatim matrica A nazvao nedegeneriran ili nije posebno.

Definicija 4. Ako detA = 0, zatim matrica A nazvao degenerirati ili poseban.

Definicija 5. Dvije matrice A I B se zovu jednak i napiši A = B ako imaju iste dimenzije i ako su im odgovarajući elementi jednaki, tj..

Na primjer, matrice i su jednake, jer jednake su veličine i svaki element jedne matrice jednak je odgovarajućem elementu druge matrice. Ali matrice se ne mogu nazvati jednakima, iako su determinante obiju matrica jednake, a veličine matrica iste, ali nisu svi elementi koji se nalaze na istim mjestima jednaki. Matrice su različite jer imaju različite veličine. Prva matrica je veličine 2x3, a druga 3x2. Iako je broj elemenata isti - 6 i sami elementi su isti 1, 2, 3, 4, 5, 6, ali su na različitim mjestima u svakoj matrici. Ali matrice su jednake, prema definiciji 5.

Definicija 6. Ako popravite određeni broj stupaca matrice A i isti broj redaka, tada elementi u sjecištu navedenih stupaca i redaka tvore kvadratnu matricu n- reda, čija je odrednica nazvao manji k – matrica th reda A.

Primjer. Napiši tri minora drugog reda matrice

Problemi linearne algebre. Pojam matrice. Vrste matrica. Operacije s matricama. Rješavanje problema transformacije matrice.

Prilikom rješavanja raznih matematičkih problema često se morate nositi s tablicama brojeva koje se nazivaju matrice. Pomoću matrica prikladno je rješavati sustave linearnih jednadžbi, izvoditi mnoge operacije s vektorima, rješavati razne probleme računalne grafike i druge inženjerske probleme.

Matrica se zove pravokutna tablica brojeva koja sadrži količinu m redaka i određenog broja P stupci. Brojke T I P nazivaju se matrični redovi. Ako T = P, matrica se naziva kvadrat, a broj m = n - njezin nalog.

Ubuduće će se za pisanje matrica koristiti ili dvostruke crtice ili zagrade:

Ili

Za kratko označavanje matrice često će se koristiti jedno veliko slovo (na primjer, A) ili simbol || a ij ||, a ponekad uz objašnjenje: A = || a ij || = (a ij), Gdje (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n).

Brojke aij, uključeni u ovu matricu nazivaju se njezini elementi. U snimanju a ij prvi indeks і znači broj retka i drugi indeks j- broj stupca. U slučaju kvadratne matrice

(1.1)

Uvode se pojmovi glavne i sporedne dijagonale. Glavna dijagonala matrice (1.1) naziva se dijagonala od 11 do 12 … ann idući od gornjeg lijevog kuta ove matrice do njenog donjeg desnog kuta. Bočna dijagonala iste matrice naziva se dijagonala a n 1 a (n -1)2… a 1 n, idući od donjeg lijevog kuta do gornjeg desnog kuta.

Osnovne operacije na matricama i njihova svojstva.

Prijeđimo na definiranje osnovnih operacija na matricama.

Zbrajanje matrice. Zbroj dviju matrica A = || a ij || , Gdje I B = || b ij || , Gdje (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n) iste naredbe T I P zove se matrica C = || c ij || (i =1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) iste naredbe T I P, elementi sa ij koji su određeni formulom

, Gdje (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.2)

Za označavanje zbroja dviju matrica koristi se oznaka C = A + B. Operacija sastavljanja zbroja matrica naziva se njihovo zbrajanje. Dakle, po definiciji:

+ =

Iz definicije zbroja matrica, točnije iz formula (1.2), odmah proizlazi da operacija zbrajanja matrica ima ista svojstva kao i operacija zbrajanja realnih brojeva, naime:

1) komutativno svojstvo: A + B = B + A,

2) asocijativno svojstvo: ( A + B) + C = A + (B + C).

Ova svojstva omogućuju da ne brinete o redoslijedu članova matrice kada zbrajate dvije ili više matrica.

Množenje matrice brojem. Umnožak matrice A = || a ij || , gdje (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) realnim brojem l, naziva se matrica C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), čiji su elementi određeni formulom:

, Gdje (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.3)

Za označavanje umnoška matrice i broja koristi se oznaka C = l A ili C = A l. Operacija sastavljanja umnoška matrice s brojem naziva se množenjem matrice s tim brojem.

Izravno iz formule (1.3) jasno je da množenje matrice brojem ima sljedeća svojstva:

1) asocijativno svojstvo u vezi s numeričkim množiteljem: (l m) A = l (m A);

2) svojstvo distribucije u odnosu na zbroj matrica: l (A + B) = l A + l B;

3) svojstvo distribucije u pogledu zbroja brojeva: (l + m) A = l A + m A

Komentar. Razlika dviju matrica A I U identične narudžbe T I P prirodno je takvu matricu nazvati S iste naredbe T I P, koji zbraja s matricom B daje matricu A. Za označavanje razlike dviju matrica koristi se prirodni zapis: C = A - B.

Vrlo je lako provjeriti da je razlika S dvije matrice A I U može se dobiti po pravilu C = A + (–1) V.

Proizvod matrica ili množenje matrice.

Matrix proizvod A = || a ij || , gdje je (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) imajući narudžbe odgovarajuće jednake T I n, na matricu B = || b ij || , Gdje (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p), imajući narudžbe odgovarajuće jednake n I R, nazvana matrica C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), s odgovarajućim jednakim redovima T I Rčiji su elementi određeni formulom:

Gdje (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Za označavanje produkta matrice A na matricu U koristite snimanje C = A × B. Operacija sastavljanja matričnog produkta A na matricu U naziva se množenje ovih matrica.

Iz gore formulirane definicije proizlazi da Matrica A se ne može pomnožiti sa svakom matricom B, potrebno je da broj stupaca matrice A bio jednak broju redova matrice U.

Formula (1.4) je pravilo za sastavljanje elemenata matrice C, koja je produkt matrice A na matricu U. Ovo se pravilo može usmeno formulirati: element c i j koji stoji na sjecištu i-tog retka i j-tog stupca matrice C = A B jednak je zbroju parnih umnožaka odgovarajućih elemenata i-tog retka matrice A i j-tog stupac matrice B.

Kao primjer primjene ovog pravila donosimo formulu za množenje kvadratnih matrica drugog reda.

× =

Iz formule (1.4) slijede sljedeća svojstva produkta matrice: A na matricu U:

1) asocijativno svojstvo: (A B) C = A (B C);

2) svojstvo raspodjele u odnosu na zbroj matrica:

(A + B) C = A C + B C ili A (B + C) = A B + A C.

Pitanje o svojstvu komutativnosti produkta matrice A na matricu U ima smisla postaviti samo za kvadratne matrice A i B istim redom.

Predstavimo važne posebne slučajeve matrica za koje također vrijedi svojstvo permutacije. Dvije matrice čiji umnožak ima svojstvo komutacije obično se nazivaju komutirajuće.

Među kvadratnim matricama ističemo klasu tzv. dijagonalnih matrica, od kojih svaka ima elemente smještene izvan glavne dijagonale jednake nuli. Svaka dijagonalna matrica reda P izgleda kao

D= (1.5)

Gdje d 1, d 2,… ,dn- bilo koji brojevi. Lako je vidjeti da ako su svi ti brojevi međusobno jednaki, tj. d 1 = d 2 =… = d n onda za bilo koju kvadratnu matricu A narudžba P jednakost je istinita A D = D A.

Među svim dijagonalnim matricama (1.5) s podudarnim elementima d 1 = d 2 =… = dn= = d Posebno važnu ulogu imaju dvije matrice. Prva od ovih matrica je dobivena pomoću d = 1, nazvana matrica identiteta n E. Druga matrica se dobiva kada d = 0, naziva se nulta matrica n-tog reda i označava se simbolom O. Tako,

E= O=

Zbog gore dokazanog A E = E A I A O = O A.Štoviše, to je lako pokazati

A E = E A = A, A O = O A = 0. (1.6)

Prva od formula (1.6) karakterizira posebnu ulogu matrice identiteta E, slično ulozi koju ima broj 1 pri množenju realnih brojeva. Što se tiče posebne uloge nulte matrice OKO, onda se otkriva ne samo drugom od formula (1.7), već i elementarnom provjerljivom jednakošću

A + 0 = 0 + A = A.

U zaključku napominjemo da se koncept nulte matrice može uvesti i za nekvadratne matrice (nula se naziva bilo koji matrica čiji su svi elementi jednaki nuli).

Blok matrice

Pretpostavimo da neka matrica A = || a ij || pomoću vodoravnih i okomitih linija dijeli se na zasebne pravokutne ćelije od kojih je svaka matrica manjih veličina i naziva se blok izvorne matrice. U ovom slučaju postaje moguće razmotriti izvornu matricu A kao neka nova (tzv. blok) matrica A = || A a b ||, čiji su elementi navedeni blokovi. Ove elemente označavamo velikim slovom kako bismo naglasili da su, općenito govoreći, matrice, a ne brojevi i (kao obični numerički elementi) dajemo dva indeksa, od kojih prvi označava broj “blok” retka, a drugi - broj stupca »blok«.

Na primjer, matrica

može se smatrati blok matricom

čiji su elementi sljedeći blokovi:

Izvanredna je činjenica da se glavne operacije s blok matricama izvode prema istim pravilima po kojima se izvode s običnim numeričkim matricama, samo blokovi djeluju kao elementi.

Pojam determinante.

Razmotrimo proizvoljnu kvadratnu matricu bilo kojeg reda P:

A= (1.7)

Svakoj takvoj matrici pridružujemo dobro definiranu numeričku karakteristiku, zvanu determinanta, koja odgovara toj matrici.

Ako red n matrica (1.7) jednaka jedinici, tada se ta matrica sastoji od jednog elementa i ja j determinantu prvog reda koja odgovara takvoj matrici, nazvat ćemo vrijednost ovog elementa.

tada je determinanta drugog reda koja odgovara takvoj matrici broj jednak a 11 a 22 - a 12 a 21 i označava se jednim od simbola:

Dakle, po definiciji

(1.9)

Formula (1.9) je pravilo za konstruiranje determinante drugog reda od elemenata odgovarajuće matrice. Verbalna formulacija ovog pravila je sljedeća: determinanta drugog reda koja odgovara matrici (1.8) jednaka je razlici između umnoška elemenata na glavnoj dijagonali te matrice i umnoška elemenata na njezinoj sporednoj dijagonali. Determinante drugog i višeg reda naširoko se koriste u rješavanju sustava linearnih jednadžbi.

Pogledajmo kako se izvode operacije s matricama u sustavu MathCad . Najjednostavnije operacije matrične algebre implementirane su u MathCadu u obliku operatora. Pisanje operatora je po značenju što je moguće bliže njihovom matematičkom djelovanju. Svaki operator izražava se odgovarajućim simbolom. Razmotrimo operacije matrica i vektora u MathCadu 2001. Vektori su poseban slučaj matrica dimenzija n x 1, stoga za njih vrijede sve iste operacije kao i za matrice, osim ako nisu posebno navedena ograničenja (npr. neke operacije su primjenjive samo na kvadratne matrice n x n). Neke akcije vrijede samo za vektore (na primjer, skalarni umnožak), a neke, unatoč istom pravopisu, djeluju drugačije na vektore i matrice.

q Nakon pritiska na tipku OK otvara se polje za unos elemenata matrice. Da biste unijeli element matrice, postavite kursor na označeno mjesto i unesite broj ili izraz s tipkovnice.

Da biste izvršili bilo koju radnju pomoću alatne trake, trebate:

q odaberite matricu i kliknite na operacijski gumb na ploči,

q ili kliknite na gumb u panelu i unesite naziv matrice na označeno mjesto.

Izbornik "Simboli" sadrži tri operacije - transponirati, inverziju, odrednicu.

To znači, na primjer, da možete izračunati determinantu matrice pokretanjem naredbe Simboli/Matrice/Determinante.

MathCAD pohranjuje broj prvog retka (i prvog stupca) matrice u varijablu ORIGIN. Prema zadanim postavkama, brojanje počinje od nule. U matematičkom zapisu, češće je računati od 1. Da bi MathCAD brojao brojeve redaka i stupaca od 1, morate postaviti vrijednost varijable ORIGIN:=1.

Funkcije dizajnirane za rad s problemima linearne algebre prikupljene su u odjeljku "Vektori i matrice" dijaloškog okvira "Umetni funkciju" (podsjećamo vas da se poziva gumbom na ploči "Standardno"). Glavne od ovih funkcija bit će opisane kasnije.

Transponirati

Povezane informacije.

Matrica je pravokutna tablica ispunjena nekim matematičkim objektima. Uglavnom ćemo razmatrati matrice s elementima iz nekog područja, iako mnogi prijedlozi ostaju valjani ako se elementi matrica smatraju elementima asocijativnog (ne nužno komutativnog) prstena.

Najčešće se elementi matrice označavaju jednim slovom i dva indeksa koji označavaju "adresu" elementa - prvi indeks daje broj retka koji sadrži element, drugi - broj stupca. Dakle, matrica (dimenzija) je zapisana u obliku

Matrice umetnute iz brojeva prirodno nastaju kada se razmatraju sustavi linearnih jednadžbi

Ulazni podatak za ovaj problem je skup koeficijenata koji prirodno čine matricu

i skup slobodnih članova koji tvore matricu sa samo jednim stupcem. Ono što tražimo je skup nepoznatih vrijednosti, koje se, kako se pokazalo, također mogu zgodno predstaviti kao matrica koja se sastoji od jednog stupca.

Važnu ulogu imaju takozvane dijagonalne matrice. Ovaj naziv se odnosi na kvadratne matrice čiji su svi elementi jednaki nuli, osim elemenata glavne dijagonale, tj. elemenata na pozicijama

Označena je dijagonalna matrica D s dijagonalnim elementima

Matrica sastavljena od elemenata koji se nalaze na sjecištima nekoliko odabranih redaka matrice A i nekoliko odabranih stupaca naziva se podmatrica za matricu A. Ako su brojevi odabranih redaka i su brojevi odabranih stupaca, tada je odgovarajuća podmatrica

Konkretno, redovi i stupci matrice mogu se smatrati njezinim podmatricama.

Matrice su povezane na prirodan način s linearnom supstitucijom (linearnom transformacijom) varijabli. Ovaj naziv odnosi se na prijelaz s izvornog sustava varijabli na drugi, novi, povezan formulama

Linearna supstitucija varijabli određena je pomoću matrice koeficijenata

Među sustavima linearnih jednadžbi od najvećeg su značaja sustavi u kojima je broj jednadžbi jednak broju nepoznanica. Među linearnim supstitucijama varijabli glavnu ulogu imaju supstitucije u kojima je broj izvornih i novih varijabli isti. U tim situacijama ispada da je matrica koeficijenata kvadratna, to jest da ima isti broj redaka i stupaca; taj se broj naziva redom kvadratne matrice.

Umjesto da kažu "matrica s jednim redom" i "matrica s jednim stupcem", oni kažu kraće: red, stupac.

Matrice. Akcije na matricama. Svojstva operacija na matricama. Vrste matrica.

Matrice (i, shodno tome, matematički dio - matrična algebra) važni su u primijenjenoj matematici jer omogućuju da se značajan dio matematičkih modela objekata i procesa zapiše u prilično jednostavnom obliku. Pojam "matrica" ​​pojavio se 1850. godine. Matrice se prvi put spominju u staroj Kini, a kasnije od arapskih matematičara.

Matrica A=A mn red m*n se zove pravokutna tablica brojeva koja sadrži m - redaka i n - stupaca.

Elementi matrice aij, za koje se i=j nazivaju dijagonala i oblik glavna dijagonala.

Za kvadratnu matricu (m=n) glavnu dijagonalu tvore elementi a 11, a 22,..., a nn.

Jednakost matrice.

A=B, ako matrica naređuje A I B su isti i a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Akcije na matricama.

1. Zbrajanje matrica - operacija po elementima

2. Oduzimanje matrica - elementna operacija

3. Umnožak matrice i broja je elementna operacija

4. Množenje A*B matrice prema pravilu redak u stupac(broj stupaca matrice A mora biti jednak broju redaka matrice B)

A mk *B kn =C mn i svaki element sa ij matrice Cmn jednak je zbroju umnožaka elemenata i-tog retka matrice A s odgovarajućim elementima j-tog stupca matrice B, tj.

Demonstrirajmo operaciju množenja matrica na primjeru

5. Potenciranje

m>1 je pozitivan cijeli broj. A je kvadratna matrica (m=n) tj. relevantan samo za kvadratne matrice

6. Transponiranje matrice A. Transponirana matrica je označena sa A T ili A"

Redovi i stupci zamijenjeni

Primjer

Svojstva operacija na matricama

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Vrste matrica

1. Pravokutni: m I n- proizvoljni prirodni brojevi

2. Kvadrat: m=n

3. Redak matrice: m=1. Na primjer, (1 3 5 7) - u mnogim praktičnim problemima takva matrica se naziva vektor

4. Stupac matrice: n=1. Na primjer

5. Dijagonalna matrica: m=n I a ij =0, Ako i≠j. Na primjer

6. Matrica identiteta: m=n I

7. Nulta matrica: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Trokutasta matrica: svi elementi ispod glavne dijagonale su 0.

9. Simetrična matrica: m=n I a ij =a ji(tj. jednaki elementi nalaze se na mjestima simetričnima u odnosu na glavnu dijagonalu), i stoga A"=A

Na primjer,

10. Koso-simetrična matrica: m=n I a ij =-a ji(tj. suprotni elementi nalaze se na mjestima simetričnima u odnosu na glavnu dijagonalu). Prema tome, na glavnoj dijagonali postoje nule (od kada i=j imamo a ii =-a ii)

Čisto, A"=-A

11. Hermitska matrica: m=n I a ii =-ã ii (ã ji- složeno - konjugirano na a ji, tj. Ako A=3+2i, zatim kompleksni konjugat Ã=3-2i)

upute. Za online rješenje trebate navesti matrični izraz. U drugoj fazi bit će potrebno razjasniti dimenziju matrica. Važeće operacije: množenje (*), zbrajanje (+), oduzimanje (-), inverzna matrica A^(-1), stepenovanje (A^2, B^3), transpozicija matrice (A^T).

Važeće operacije: množenje (*), zbrajanje (+), oduzimanje (-), inverzna matrica A^(-1), stepenovanje (A^2, B^3), transpozicija matrice (A^T).
Za izvođenje popisa operacija upotrijebite točku-zarez (;). Na primjer, za izvođenje tri operacije:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
morat ćete to napisati ovako: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Matrica je pravokutna numerička tablica s m redova i n stupaca, tako da se matrica može shematski prikazati kao pravokutnik.
Nulta matrica (nulta matrica) je matrica čiji su svi elementi jednaki nuli i označavaju se s 0.
Matrica identiteta naziva se kvadratna matrica oblika

Idemo definirati osnovne operacije na matricama.

Zbrajanje matrice

Primjer 6. .
Operacija zbrajanja matrice proširuje se na slučaj bilo kojeg broja članova. Očito A+0=A.
Naglasimo još jednom da se mogu zbrajati samo matrice iste veličine; Za matrice različitih veličina operacija zbrajanja nije definirana.

Oduzimanje matrica

Množenje matrice

Definicija . Neka su dvije matrice A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) i B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), a broj stupaca od A jednak je broju redaka od B. Umnožak A i B je matrica C=||c i k ||, čiji se elementi nalaze prema formuli .
Označava se sa C=A·B.
Shematski, operacija množenja matrica može se prikazati na sljedeći način:

i pravilo za izračunavanje elementa u proizvodu:

Naglasimo još jednom da umnožak A·B ima smisla ako i samo ako je broj stupaca prvog faktora jednak broju redaka drugog, a umnožak daje matricu čiji je broj redaka jednak broj redaka prvog faktora, a broj stupaca jednak je broju stupaca drugog. Rezultat množenja možete provjeriti pomoću posebnog online kalkulatora.

Primjer 7. Zadane matrice I . Nađite matrice C = A·B i D = B·A.
Riješenje. Prije svega, primijetite da proizvod A·B postoji jer je broj stupaca od A jednak broju redaka od B.

Primjer 8. S obzirom na matricu . Pronađite 3A 2 – 2A.
Riješenje.

.
; .
.
Zabilježimo sljedeću zanimljivost.
Kao što znate, umnožak dva broja različita od nule nije jednak nuli. Za matrice se slična okolnost ne mora dogoditi, to jest, umnožak matrica različitih od nule može se pokazati jednakim nultoj matrici.