Definicija beskonačno velike funkcije. Definicija beskonačno velikog niza i njihova svojstva.

Definicije i svojstva infinitezimalnih i beskonačno velikih funkcija u točki. Dokazi svojstava i teorema. Odnos između infinitezimalnih i beskonačno velikih funkcija.

Vidi također: Infinitezimalni nizovi - definicija i svojstva
Svojstva beskonačno velikih nizova

Definicija infinitezimalnih i infinitezimalnih funkcija

Neka x 0 je konačna ili beskonačna točka: ∞, -∞ ili +∞.

Definicija infinitezimalne funkcije
Funkcija α (x) nazvao infinitezimalnog kako x teži xu 0 0 , a jednaka je nuli:
.

Definicija beskonačno velike funkcije
Funkcija f (x) nazvao beskrajno velika kako x teži xu 0 , ako funkcija ima limit kao x → x 0 , a jednako je beskonačno:
.

Svojstva infinitezimalnih funkcija

Svojstvo zbroja, razlike i umnoška infinitezimalnih funkcija

Zbroj, razlika i umnožak konačan broj infinitezimalnih funkcija kao x → x 0 je infinitezimalna funkcija kao x → x 0 .

Ovo svojstvo je izravna posljedica aritmetičkih svojstava limesa funkcije.

Teorem o umnošku ograničene funkcije i infinitezimala

Umnožak ograničene funkcije na nekoj punktiranoj okolini točke x 0 , do infinitezimalnog, kao x → x 0 , je infinitezimalna funkcija kao x → x 0 .

Svojstvo predstavljanja funkcije kao zbroja konstante i infinitezimalne funkcije

Da bi funkcija f (x) imao konačnu granicu, potrebno je i dovoljno da
,
gdje je infinitezimalna funkcija kao x → x 0 .

Svojstva beskonačno velikih funkcija

Teorem o zbroju ograničene funkcije i beskonačno velikog

Zbroj ili razlika ograničene funkcije na nekoj probušenoj okolini točke x 0 , i beskonačno velika funkcija, kao x → x 0 , je beskonačno velika funkcija pri x → x 0 .

Teorem o kvocijentu dijeljenja ograničene funkcije s beskonačno velikom

Ako funkcija f (x) je beskonačno velik pri x → x 0 , a funkcija g (x)- ograničena je na neku punktiranu okolinu točke x 0 , To
.

Teorem o podjeli funkcije dolje ograničene infinitezimalnom

Ako je funkcija , na nekoj punktiranoj okolini točke , ograničena odozdo pozitivnim brojem u apsolutnoj vrijednosti:
,
a funkcija je infinitezimalna pri x → x 0 :
,
i tu je punktiran susjedstvu točke na kojoj , Zatim
.

Svojstvo nejednakosti beskonačno velikih funkcija

Ako je funkcija beskonačno velika na:
,
a funkcije i , na nekoj punktiranoj okolini točke zadovoljavaju nejednakost:
,
tada je funkcija također beskonačno velika na:
.

Ovo svojstvo ima dva posebna slučaja.

Neka na nekoj punktiranoj okolini točke , funkcije i zadovoljavaju nejednakost:
.
Onda ako , onda i .
Ako , onda i .

Odnos između beskonačno velikih i infinitezimalnih funkcija

Iz prethodna dva svojstva slijedi povezanost beskonačno velikih i infinitezimalnih funkcija.

Ako je funkcija beskonačno velika na , tada je funkcija infinitezimalna na .

Ako je funkcija infinitezimalna za , i , tada je funkcija beskonačno velika za .

Odnos između infinitezimalne i beskonačno velike funkcije može se izraziti simbolički:
, .

Ako infinitezimalna funkcija ima određeni predznak na , to jest, pozitivna je (ili negativna) na nekoj probušenoj okolini točke , tada to možemo napisati ovako:
.
Na isti način, ako beskonačno velika funkcija ima određeni predznak na , tada se piše:
, ili .

Tada se simbolička veza između beskonačno male i beskonačno velike funkcije može nadopuniti sljedećim relacijama:
, ,
, .

Dodatne formule koje se odnose na simbole beskonačnosti mogu se pronaći na stranici
"Točke u beskonačnosti i njihova svojstva."

Dokaz svojstava i teorema

Dokaz teorema o umnošku ograničene funkcije i infinitezimalne

Da bismo dokazali ovaj teorem, koristit ćemo . Također koristimo svojstvo infinitezimalnih nizova prema kojem

Neka je funkcija infinitezimalna na , i neka je funkcija ograničena u nekom probušenom susjedstvu točke:
u .

Budući da postoji granica, postoji i probušena okolina točke u kojoj je funkcija definirana. Neka postoji sjecište susjedstva i . Zatim se na njemu definiraju funkcije i .

.
,
niz je infinitezimalan:
.

Iskoristimo činjenicu da je umnožak ograničenog niza i infinitezimalnog niza infinitezimalni niz:
.
.

Teorem je dokazan.

Dokaz svojstva prikaza funkcije kao zbroja konstante i infinitezimalne funkcije

Nužnost. Neka funkcija ima konačan limit u točki
.
Razmotrite funkciju:
.
Koristeći svojstvo limita razlike funkcija, imamo:
.
To jest, postoji infinitezimalna funkcija na .

Adekvatnost. Neka bude. Primijenimo svojstvo limita zbroja funkcija:
.

Svojstvo je dokazano.

Dokaz teorema o zbroju ograničene funkcije i beskonačno velikog

Da bismo dokazali teorem, upotrijebit ćemo Heineovu definiciju limita funkcije

u .

Budući da postoji limit, postoji i probušena okolina točke u kojoj je funkcija definirana. Neka postoji sjecište susjedstva i . Zatim se na njemu definiraju funkcije i .

Neka postoji proizvoljan niz koji konvergira u , čiji elementi pripadaju susjedstvu:
.
Zatim se definiraju nizovi i . Štoviše, slijed je ograničen:
,
niz je beskonačno velik:
.

Budući da je zbroj ili razlika ograničenog niza i beskonačno velikog
.
Tada, prema definiciji limesa niza prema Heineu,
.

Teorem je dokazan.

Dokaz teorema o kvocijentu dijeljenja ograničene funkcije s beskonačno velikom.

Da bismo to dokazali, poslužit ćemo se Heineovom definicijom limita funkcije. Također koristimo svojstvo beskonačno velikih nizova, prema kojem je niz beskonačno mali.

Neka je funkcija beskonačno velika na , i neka je funkcija ograničena u nekoj probušenoj okolini točke:
u .

Budući da je funkcija beskonačno velika, postoji probušena okolina točke u kojoj je definirana i ne nestaje:
u .
Neka postoji sjecište susjedstva i . Zatim se na njemu definiraju funkcije i .

Neka postoji proizvoljan niz koji konvergira u , čiji elementi pripadaju susjedstvu:
.
Zatim se definiraju nizovi i . Štoviše, slijed je ograničen:
,
niz je beskonačno velik s članovima različitim od nule:
, .

Budući da je kvocijent dijeljenja ograničenog niza s beskonačno velikim infinitezimalni niz, tada
.
Tada, prema definiciji limesa niza prema Heineu,
.

Teorem je dokazan.

Dokaz teorema kvocijenta za dijeljenje funkcije ograničene odozdo s infinitezimalnom.

Da bismo dokazali to svojstvo, poslužit ćemo se Heineovom definicijom limita funkcije. Također koristimo svojstvo beskonačno velikih nizova, prema kojem je beskonačno velik niz.

Neka je funkcija infinitezimalna za , i neka je funkcija ograničena u apsolutnoj vrijednosti odozdo pozitivnim brojem, na nekom probušenom susjedstvu točke:
u .

Prema uvjetu, postoji punktirana okolina točke na kojoj je funkcija definirana i ne nestaje:
u .
Neka postoji sjecište susjedstva i . Zatim se na njemu definiraju funkcije i . Štoviše.

Neka postoji proizvoljan niz koji konvergira u , čiji elementi pripadaju susjedstvu:
.
Zatim se definiraju nizovi i . Štoviše, niz je ograničen ispod:
,
a niz je infinitezimalan s članovima različitim od nule:
, .

Budući da je kvocijent dijeljenja niza ograničenog odozdo infinitezimalnim nizom beskonačno velik niz, tada
.
I neka bude probušeno susjedstvo točke na kojoj
u .

Uzmimo proizvoljan niz koji konvergira na . Tada će, počevši od nekog broja N, elementi niza pripadati ovoj okolini:
u .
Zatim
u .

Prema definiciji limita funkcije prema Heineu,
.
Zatim, po svojstvu nejednakosti beskonačno velikih nizova,
.
Budući da je niz proizvoljan, konvergirajući prema , tada, prema definiciji limita funkcije prema Heineu,
.

Svojstvo je dokazano.

Reference:
L.D. Kudrjavcev. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 2003.

Infinitezimalne funkcije

Poziva se funkcija %%f(x)%%. infinitezimalnog(b.m.) s %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ako je uz ovu tendenciju argumenta granica funkcije jednaka nuli.

Koncept b.m. funkcija je neraskidivo povezana s uputama za promjenu svog argumenta. Možemo govoriti o b.m. funkcionira na %%a \to a + 0%% i na %%a \to a - 0%%. Obično b.m. funkcije su označene prvim slovima grčke abecede %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Primjeri

1. Funkcija %%f(x) = x%% je b.m. na %%x \to 0%%, jer je njegova granica u točki %%a = 0%% nula. Prema teoremu o povezanosti dvostrane granice i jednostrane granice, ova funkcija je b.m. i s %%x \to +0%% i s %%x \to -0%%.
2. Funkcija %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. na %%x \to \infty%% (kao i na %%x \to +\infty%% i na %%x \to -\infty%%).

Konstantan broj različit od nule, bez obzira koliko malen bio u apsolutnoj vrijednosti, nije b.m. funkcija. Za konstantne brojeve, jedina iznimka je nula, budući da funkcija %%f(x) \equiv 0%% ima ograničenje nule.

Teorema

Funkcija %%f(x)%% ima u točki %%a \in \overline(\mathbb(R))%% produženog brojevnog pravca konačni limit jednak broju %%b%% ako i samo ako je ova funkcija jednaka zbroju ovog broja %%b%% i b.m. funkcije %%\alpha(x)%% s %%x \to a%%, ili $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \lijevodesna strelica \lijevo(f(x) = b + \alpha(x)\desno) \land \lijevo(\lim\granice_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\desno). $$

Svojstva infinitezimalnih funkcija

Prema pravilima prijelaza do granice s %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, slijede sljedeće izjave:

1. Zbroj konačnog broja b.m. funkcije za %%x \to a%% je b.m. na %%x \to a%%.
2. Umnožak bilo kojeg broja b.m. funkcije za %%x \to a%% je b.m. na %%x \to a%%.

Proizvod b.m. funkcije na %%x \to a%% i funkcija ograničena u nekom probušenom susjedstvu %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% točke a, postoji b.m. na %%x \na %% funkciju.

Jasno je da je umnožak konstantne funkcije i b.m. kod %%x \to a%% nalazi se b.m. funkcija na %%x \to a%%.

Ekvivalentne infinitezimalne funkcije

Infinitezimalne funkcije %%\alpha(x), \beta(x)%% za %%x \to a%% nazivaju se ekvivalent i napišite %%\alpha(x) \sim \beta(x)%%, ako

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

Teorem o zamjeni b.m. funkcije ekvivalentne

Neka su %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% b.m. funkcije za %%x \to a%%, s %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, zatim $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ granice_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Ekvivalent b.m. funkcije.

Neka %%\alpha(x)%% bude b.m. funkcija na %%x \to a%%, zatim

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Primjer

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(niz) $$

Beskonačno velike funkcije

Poziva se funkcija %%f(x)%%. beskrajno velika(b.b.) s %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ako s ovom tendencijom argumenta funkcija ima beskonačno ograničenje.

Slično b.m. koncept funkcija b.b. funkcija je neraskidivo povezana s uputama za promjenu svog argumenta. Možemo govoriti o b.b. funkcije s %%x \to a + 0%% i %%x \to a - 0%%. Pojam “beskonačno velik” ne govori o apsolutnoj vrijednosti funkcije, već o prirodi njezine promjene u blizini dotične točke. Nijedan konstantan broj, ma koliko velik u apsolutnoj vrijednosti, nije beskonačno velik.

Primjeri

1. Funkcija %%f(x) = 1/x%% - b.b. na %%x \do 0%%.
2. Funkcija %%f(x) = x%% - b.b. na %%x \do \infty%%.

Ako uvjeti definicije $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)(f( x)) = -\infty, \end(niz) $$

onda govore o pozitivan ili negativan b.b. na funkciji %%a%%.

Primjer

Funkcija %%1/(x^2)%% - pozitivno b.b. na %%x \do 0%%.

Veza između b.b. i b.m. funkcije

Ako je %%f(x)%% b.b. s %%x \to a%% funkcijom, zatim %%1/f(x)%% - b.m.

na %%x \to a%%. Ako je %%\alpha(x)%% - b.m. za %%x \to a%% je funkcija različita od nule u nekom probušenom susjedstvu točke %%a%%, tada je %%1/\alpha(x)%% b.b. na %%x \to a%%.

Svojstva beskonačno velikih funkcija

Predstavimo nekoliko svojstava b.b. funkcije. Ova svojstva slijede izravno iz definicije b.b. funkcija i svojstava funkcija koje imaju konačne limite, kao i iz teorema o povezanosti b.b. i b.m. funkcije.

1. Umnožak konačnog broja b.b. funkcije za %%x \to a%% je b.b. funkcija na %%x \to a%%. Doista, ako je %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% - b.b. funkcije na %%x \to a%%, zatim u nekom probušenom susjedstvu točke %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, i po teoremu o vezi b.b. i b.m. funkcije %%1/f_k(x)%% - b.m. funkcija na %%x \to a%%. Ispada %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% - b.m funkcija za %%x \to a%%, i %%\displaystyle\prod^(n )_(k = 1)f_k(x)%% - b.b. funkcija na %%x \to a%%.
2. Proizvod b.b. funkcije za %%x \to a%% i funkcija koja je u nekoj punktiranoj okolini točke %%a%% po apsolutnoj vrijednosti veća od pozitivne konstante je b.b. funkcija na %%x \to a%%. Konkretno, proizvod b.b. funkcija s %%x \to a%% i funkcija koja ima konačnu granicu različitu od nule u točki %%a%% bit će b.b. funkcija na %%x \to a%%.

Zbroj funkcije ograničene u nekoj punktiranoj okolini točke %%a%% i b.b. funkcije s %%x \to a%% je b.b. funkcija na %%x \to a%%.

Na primjer, funkcije %%x - \sin x%% i %%x + \cos x%% su b.b. na %%x \do \infty%%.

3. Zbroj dva b.b. funkcije na %%x \to a%% postoji nesigurnost. Ovisno o predznaku članova, priroda promjene takvog zbroja može biti vrlo različita.

   Primjer

   Neka su zadane funkcije %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%%. funkcionira na %%x \to \infty%%. Zatim:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. funkcija na %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. funkcija na %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% nema ograničenja na %%x \to \infty%%.

Definicija numeričke funkcije. Metode za specificiranje funkcija.

Neka je D skup na brojevnom pravcu R. Ako je svakom x koji pripada D pridružen jedan broj y=f(x), tada kažemo da je funkcija f dana.

Metode za specificiranje funkcija:

1) tablični – za funkcije definirane na konačnom skupu.

2) analitički

3) grafički

2 i 3 – za funkcije definirane na beskonačnom skupu.

Pojam inverzne funkcije.

Ako je funkcija y=f(x) takva da različite vrijednosti argumenta x odgovaraju različitim vrijednostima funkcije, tada se varijabla x može izraziti kao funkcija varijable y: x=g(y ). Funkcija g naziva se inverzom f i označava se s f^(-1).

Pojam složene funkcije.

Složena funkcija je funkcija čiji je argument bilo koja druga funkcija.

Neka su zadane funkcije f(x) i g(x). Napravimo od njih dvije složene funkcije. Smatrajući funkciju f vanjskom (glavnom), a funkciju g unutarnjom, dobivamo složenu funkciju u(x)=f(g(x)).

Određivanje granice niza.

Broj a naziva se limitom niza (xn) ako za bilo koji pozitiv postoji broj n0, počevši od kojeg se svi članovi niza razlikuju od a po modulu manje od ε (tj. padaju u ε-blizinu točke a):

Pravila za izračunavanje limesa konvergentnih nizova.

1. Svaki konvergentni niz ima samo jednu limesu. 2. Ako su svi elementi niza (x n) jednaki C (konstanta), tada je i granica niza (x n) također jednaka C. 3. ; 4. ; 5. .

Definicija ograničenog niza.

Niz (x n) nazivamo ograničenim ako je skup brojeva X=(x n) ograničen: .

Definicija infinitezimalnog niza.

Niz (x n) se naziva infinitezimalnim ako za bilo koji (bez obzira koliko mali) >0 postoji broj n 0 takav da za bilo koji n>n 0 vrijedi nejednakost |x n |< .

Definicija beskonačno velikog niza.

Za niz se kaže da je beskonačno velik ako za bilo koji (bez obzira koliko velik) broj A>0 postoji broj n 0 takav da za svaki broj n>n 0 vrijedi nejednakost |x n |>A.

Definicija monotonih nizova.

Monotone sekvence: 1) povećanje ifx n x n +1 za sve n, 4) nerastuće ako je x n x n +1 za sve n.

Određivanje limesa funkcije u točki.

Granica funkcije y=f(x) u točki x 0 (ili u x x 0) je broj a ako za bilo koji niz (x n) vrijednosti argumenta konvergira na x 0 (svi x n x 0), niz (f(x n)) vrijednosti funkcije konvergira do granice a.

Definicija infinitezimalne funkcije.

F-ija f(x) se kaže da je infinitezimalno kao x→A ako .

Definicija beskonačno velike funkcije.

F-ija f(x) se kaže da je beskonačno velik za x→A ako je .

Račun infinitezimalnih i velikih

Infinitezimalni račun- proračuni koji se izvode s infinitezimalnim veličinama, u kojima se izvedeni rezultat smatra beskonačnim zbrojem infinitezimalnih veličina. Račun infinitezimala opći je pojam za diferencijalni i integralni račun koji čini osnovu moderne više matematike. Pojam infinitezimalne količine usko je povezan s pojmom granice.

Infinitezimalno

Naknadna slijed a n nazvao infinitezimalnog, Ako . Na primjer, niz brojeva je infiniteziman.

Funkcija se zove infinitezimalna u blizini točke x 0 ako .

Funkcija se zove infinitesimal u beskonačnosti, Ako ili .

Također infinitezimalna je funkcija koja je razlika između funkcije i njezine granice, odnosno if , To f(x) − a = α( x) , .

Beskrajno velika količina

Naknadna slijed a n nazvao beskrajno velika, Ako .

Funkcija se zove beskonačno velika u blizini točke x 0 ako .

Funkcija se zove beskonačno velik u beskonačnosti, Ako ili .

U svim slučajevima podrazumijeva se da beskonačnost desno od jednakosti ima određeni predznak (bilo "plus" ili "minus"). To je npr. funkcija x grijeh x nije beskonačno velik na .

Svojstva beskonačno malog i beskonačno velikog

Usporedba infinitezimalnih veličina

Kako usporediti infinitezimalne količine?
Omjer infinitezimalnih veličina čini tzv. nesigurnost.

Definicije

Pretpostavimo da imamo infinitezimalne vrijednosti α( x) i β( x) (ili, što za definiciju nije bitno, infinitezimalni nizovi).

Za izračun takvih granica prikladno je koristiti L'Hopitalovo pravilo.

Usporedni primjeri

Ekvivalentne vrijednosti

Definicija

Ako , tada se infinitezimalne veličine α i β nazivaju ekvivalent ().
Očito je da su ekvivalentne količine poseban slučaj infinitezimalnih veličina istog reda malenosti.

Kada vrijede sljedeći odnosi ekvivalencije: , , .

Teorema

Ovaj teorem ima praktično značenje pri pronalaženju granica (vidi primjer).

Primjer upotrebe

Povijesna crtica

O konceptu "infinitezimalnog" raspravljalo se još u antičko doba u vezi s konceptom nedjeljivih atoma, ali nije bio uključen u klasičnu matematiku. Ponovno je oživljena dolaskom "metode nedjeljivih" u 16. stoljeću - dijeljenjem figure koja se proučava u infinitezimalne dijelove.

U 17. stoljeću došlo je do algebraizacije infinitezimalnog računa. Počele su se definirati kao numeričke veličine koje su manje od bilo koje konačne (različite od nule) količine, a opet nisu jednake nuli. Umijeće analize sastojalo se u sastavljanju relacije koja sadrži infinitezimalne vrijednosti (diferencijale) i zatim njenom integriranju.

Matematičari stare škole stavili su koncept na test infinitezimalnog oštra kritika. Michel Rolle je napisao da je novi račun " skup genijalnih grešaka"; Voltaire je zajedljivo primijetio da je račun umijeće računanja i točnog mjerenja stvari čije se postojanje ne može dokazati. Čak je i Huygens priznao da ne razumije značenje diferencijala višeg reda.

Kao ironija sudbine može se smatrati pojava sredinom stoljeća nestandardne analize, koja je dokazala da je izvorno gledište - stvarne infinitezimale - također dosljedno i da se može koristiti kao osnova za analizu.

vidi također

Zaklada Wikimedia. 2010.

Pogledajte što je "beskonačno velik" u drugim rječnicima:

Varijabilna veličina Y je inverzna infinitezimalnoj količini X, to jest, Y = 1/X... Veliki enciklopedijski rječnik

Varijabla y je inverzna od infinitezimalnog x, to jest, y = 1/x. * * * BESKONAČNO VELIKA BESKONAČNO VELIKA, varijabilna veličina Y, inverzna infinitezimalnoj količini X, odnosno Y = 1/X ... enciklopedijski rječnik

U matematici, varijabilna veličina koja, u određenom procesu promjene, postaje i ostaje u apsolutnoj vrijednosti veća od bilo kojeg unaprijed određenog broja. Studija B. b. količine se mogu svesti na proučavanje infinitezimala (vidi... ... Velika sovjetska enciklopedija

Funkcija y=f(x) nazvao infinitezimalnog na x→a ili kada x→∞, ako ili , tj. infinitezimalna funkcija je funkcija čija je granica u danoj točki nula.

Primjeri.

1. Funkcija f(x)=(x-1) 2 je infinitezimalno na x→1, jer (vidi sliku).

2. Funkcija f(x)= tg x– infinitezimalno pri x→0.

3. f(x)= log(1+ x) – infinitezimalni at x→0.

4. f(x) = 1/x– infinitezimalno pri x→∞.

Uspostavimo sljedeći važan odnos:

Teorema. Ako funkcija y=f(x) reprezentativan sa x→a kao zbroj konstantnog broja b i infinitezimalne veličine α(x): f (x)=b+ α(x) to .

Obrnuto, ako je , tada f (x)=b+α(x), Gdje sjekira)– infinitezimalno pri x→a.

Dokaz.

1. Dokažimo prvi dio tvrdnje. Iz ravnopravnosti f(x)=b+α(x) trebao bi |f(x) – b|=| α|. Ali budući da sjekira) je infinitezimalna, tada za proizvoljan ε postoji δ – okolina točke a, pred svima x iz kojih, vrijednosti sjekira) zadovoljiti odnos |α(x)|< ε. Zatim |f(x) – b|< ε. A ovo znači to.

2. Ako je , tada za bilo koji ε >0 za sve x iz neke δ – okoline točke a htjeti |f(x) – b|< ε. Ali ako označimo f(x) – b= α, To |α(x)|< ε, što znači da a– infinitezimalno.

Razmotrimo osnovna svojstva infinitezimalnih funkcija.

Teorem 1. Algebarski zbroj dva, tri i općenito bilo kojeg konačnog broja infinitezimala je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Dajmo dokaz za dva pojma. Neka f(x)=α(x)+β(x), gdje i . Moramo dokazati da za bilo koje proizvoljno malo ε > 0 pronađeno δ> 0, tako da za x, zadovoljavajući nejednakost |x – a|<δ , izvedena |f(x)|< ε.

Dakle, fiksirajmo proizvoljan broj ε > 0. Budući da prema uvjetima teorema α(x) je infinitezimalna funkcija, onda postoji takav δ 1 > 0, što je |x – a|< δ 1 imamo |α(x)|< ε / 2. Isto tako, budući da β(x) je infinitezimalno, onda postoji takav δ 2 > 0, što je |x – a|< δ 2 imamo | β(x)|< ε / 2.

Idemo uzeti δ=min(δ 1 , δ2 } .Onda u susjedstvu točke a radius δ svaka od nejednakosti će biti zadovoljena |α(x)|< ε / 2 i | β(x)|< ε / 2. Stoga će u ovom susjedstvu biti

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

oni. |f(x)|< ε, što je i trebalo dokazati.

Teorem 2. Umnožak infinitezimalne funkcije sjekira) za ograničenu funkciju f(x) na x→a(ili kada x→∞) je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Budući da funkcija f(x) je ograničen, onda postoji broj M takav da za sve vrijednosti x iz neke okoline točke a|f(x)|≤M.Štoviše, budući da sjekira) je infinitezimalna funkcija na x→a, tada za proizvoljan ε > 0 postoji okolina točke a, u kojem će vrijediti nejednakost |α(x)|< ε /M. Zatim u manjim od ovih četvrti koje imamo | αf|< ε /M= ε. A ovo znači to af– infinitezimalno. Za tu priliku x→∞ dokaz se provodi na sličan način.

Iz dokazanog teoreme slijedi:

Korolar 1. Ako i, onda.

Korolar 2. Ako c= const, tada .

Teorem 3. Omjer infinitezimalne funkcije α(x) po funkciji f(x), čija je granica različita od nule, je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Neka . Zatim 1 /f(x) postoji ograničena funkcija. Dakle, razlomak je umnožak infinitezimalne funkcije i ograničene funkcije, tj. funkcija je infinitezimalna.