Diferencijalna funkcija je nepromjenjivost oblika prvog diferencijala. Svojstva prvog diferencijala funkcije

Prema definiciji, diferencijal (prvi diferencijal) funkcije izračunava se formulom
Ako - neovisna varijabla.

PRIMJER.

Pokažimo da oblik prvog diferencijala ostaje nepromijenjen (invarijantan) čak iu slučaju kada je argument funkcije sama je funkcija, odnosno za složenu funkciju
.

Neka
su diferencijabilne, onda po definiciji

Štoviše, to je trebalo i dokazati.

PRIMJERI.

Dokazana invarijantnost oblika prvog diferencijala dopušta nam pretpostavku da
to je derivacija je jednaka omjeru diferencijala funkcije prema razlika njezina argumenta, bez obzira je li argument nezavisna varijabla ili funkcija.

Parametarski specificirano diferenciranje funkcije

Neka If funkcija
ima na setu suprotno, dakle
Zatim jednakosti
definirana na setu parametarski određena funkcija, – parametar (međuvarijabla).

PRIMJER. Grafički nacrtajte funkciju
.

Konstruirana krivulja naziva se cikloida(Sl. 25) i je putanja točke na kružnici radijusa 1, koja se kotrlja bez klizanja po osi OX.

KOMENTAR. Ponekad, ali ne uvijek, parametar se može eliminirati iz jednadžbi parametarske krivulje.

PRIMJERI.
su parametarske jednadžbe kruga, jer je, očito,

–parametarske jednadžbe elipse, budući da

–parametarske jednadžbe parabole

Nađimo derivaciju funkcije definirane parametarski:

Derivacija funkcije specificirane parametarski također je funkcija specificirana parametarski: .

DEFINICIJA. Druga derivacija funkcije je derivacija njezine prve derivacije.

Izvedenica red je derivat svoje izvedenice reda
.

Označite izvodnice drugog i -th poredak ovako:

Iz definicije druge derivacije i pravila diferenciranja parametarski definirane funkcije proizlazi da
Da biste izračunali treću derivaciju, trebate predstaviti drugu derivaciju u obliku
i ponovno upotrijebite dobiveno pravilo. Izvodnice višeg reda izračunavaju se na sličan način.

PRIMJER. Nađite derivacije prvog i drugog reda funkcije

.

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

TEOREMA(Farma). Neka funkcija
ima u točki
ekstremno. Ako postoji
, To

DOKAZ. Neka
, na primjer, je minimalna točka. Prema definiciji minimalne točke, postoji okolina te točke
, unutar kojeg
, to je
– prirast
u točki
. A-priorat
Izračunajmo jednostrane derivacije u točki
:

po teoremu o graničnom prijelazu u nejednadžbi,

jer

, jer
Ali prema stanju
postoji, stoga je lijeva derivacija jednaka desnoj, a to je moguće samo ako

Pretpostavka da
– maksimalni bod dovodi do iste stvari.

Geometrijsko značenje teoreme:

TEOREMA(Rola). Neka funkcija
stalan
, diferencijabilan
I
onda postoji
takav da

DOKAZ. Jer
stalan
, onda po drugom Weierstrassovom teoremu doseže na
njihov najveći
a najmanje
vrijednosti bilo u točkama ekstrema ili na krajevima segmenta.

1. Neka
, Zatim

2. Neka
Jer
ili
, ili
se postiže u ekstremnoj točki
, ali prema Fermatovom teoremu
Q.E.D.

TEOREMA(Lagrange). Neka funkcija
stalan
i diferencijabilan
, onda postoji
takav da
.

Geometrijsko značenje teoreme:

Jer
, tada je sekanta paralelna s tangentom. Dakle, teorem kaže da postoji tangenta paralelna sa sekantom koja prolazi kroz točke A i B.

DOKAZ. Kroz točke A
i B
Nacrtajmo sekantu AB. Njezina jednadžba
Razmotrite funkciju

– udaljenost između odgovarajućih točaka na grafu i na sekanti AB.

1.
stalan
kao razlika neprekidnih funkcija.

2.
diferencijabilan
kao razlika diferencijabilnih funkcija.

3.

Sredstva,
zadovoljava uvjete Rolleovog teorema, dakle postoji
takav da

Teorem je dokazan.

KOMENTAR. Formula se zove Lagrangeova formula.

TEOREMA(Cauchy). Neka funkcije
stalan
, diferencijabilan
I
, onda postoji točka
takav da
.

DOKAZ. Pokažimo to
. Ako
, zatim funkcija
bi zadovoljio uvjete Rolleovog teorema, pa bi postojala točka
takav da
– kontradikcija uvjetu. Sredstva,
, a definirane su obje strane formule. Pogledajmo pomoćnu funkciju.

stalan
, diferencijabilan
I
, to je
zadovoljava uvjete Rolleovog teorema. Onda postoji točka
, pri čemu
, Ali

Q.E.D.

Provjerena formula je tzv Cauchyjeva formula.

L'Hopitalovo PRAVILO(L'Hopital-Bernoullijev teorem). Neka funkcije
stalan
, diferencijabilan
,
I
. Osim toga, postoji konačno ili beskonačno
.

Onda postoji

DOKAZ. Budući da po uvjetu
, zatim definiramo
u točki
, pod pretpostavkom
Zatim
postat će kontinuirani
. Pokažimo to

Hajdemo to pretvarati
onda postoji
takav da
, budući da funkcija
na
zadovoljava uvjete Rolleovog teorema. Ali prema stanju
– kontradikcija. Zato

. Funkcije
zadovoljavaju uvjete Cauchyjevog teorema na bilo kojem intervalu
, koji je sadržan u
. Napišimo Cauchyjevu formulu:

,
.

Odavde imamo:
, jer ako
, To
.

Ponovno označavajući varijablu u posljednjoj granici, dobivamo traženo:

NAPOMENA 1. L'Hopitalovo pravilo ostaje na snazi ​​i kad
I
. Omogućuje nam otkrivanje ne samo nesigurnosti tipa , ali i tip :

.

NAPOMENA 2. Ako se nakon primjene L'Hopitalovog pravila nesigurnost ne otkrije, treba ga ponovno primijeniti.

PRIMJER.

KOMENTAR 3 . L'Hopitalovo pravilo je univerzalni način otkrivanja nesigurnosti, ali postoje ograničenja koja se mogu otkriti korištenjem samo jedne od prethodno proučavanih posebnih tehnika.

Ali očito
, budući da je stupanj brojnika jednak stupnju nazivnika, a granica je jednaka omjeru koeficijenata na najvećim potencijama

Pravilo za diferenciranje složene funkcije dovest će nas do jednog izvanrednog i važnog svojstva diferencijala.

Neka su funkcije takve da se od njih može sastaviti složena funkcija: . Ako izvodnice postoje, onda - prema pravilu V - postoji i izvodnica

Međutim, zamjenjujući njegovu derivaciju izrazom (7) i bilježeći da postoji diferencijal od x kao funkcija t, konačno dobivamo:

tj. vratimo se na prethodni oblik diferencijala!

Dakle, vidimo da se oblik diferencijala može sačuvati čak i ako se stara nezavisna varijabla zamijeni novom. Diferencijal y uvijek možemo zapisati u obliku (5), bez obzira je li x nezavisna varijabla ili ne; jedina je razlika u tome što ako je t odabrano kao nezavisna varijabla, onda to ne znači proizvoljan priraštaj, već diferencijal od x kao funkciju od Ovo se svojstvo naziva nepromjenjivost oblika diferencijala.

Budući da formula (5) izravno daje formulu (6), koja derivaciju izražava kroz diferencijale, posljednja formula ostaje važeća bez obzira na koju nezavisnu varijablu (naravno, istu u oba slučaja) navedeni diferencijali izračunavaju.

Neka, na primjer, tako

Stavimo sada Onda ćemo također imati: Lako je provjeriti da formula

daje samo još jedan izraz za gore izračunatu derivaciju.

Ova je okolnost posebno prikladna za korištenje u slučajevima kada ovisnost y o x nije izravno specificirana, već je umjesto toga specificirana ovisnost obje varijable x i y o nekoj trećoj, pomoćnoj varijabli (zvanoj parametar):

Uz pretpostavku da obje ove funkcije imaju derivacije i da za prvu od njih postoji inverzna funkcija koja ima derivaciju, lako je vidjeti da se tada ispostavlja da je y također funkcija od x:

za koje također postoji izvedenica. Izračun ove derivacije može se izvesti prema gornjem pravilu:

bez obnavljanja izravne ovisnosti y o x.

Na primjer, ako se derivacija može odrediti kao što je učinjeno gore, bez korištenja ovisnosti uopće.

Ako x i y promatramo kao pravokutne koordinate točke na ravnini, onda jednadžbe (8) svakoj vrijednosti parametra t pridružuju određenu točku, koja uz promjenu t opisuje krivulju na ravnini. Jednadžbe (8) nazivamo parametarskim jednadžbama ove krivulje.

U slučaju parametarske definicije krivulje, formula (10) vam omogućuje izravno postavljanje kutnog koeficijenta tangente pomoću jednadžbi (8), bez prelaska na određivanje krivulje pomoću jednadžbe (9); točno,

Komentar. Mogućnost izražavanja derivacije kroz diferencijale uzete u odnosu na bilo koju varijablu, posebno dovodi do činjenice da formule

izražavajući u Leibnizovoj notaciji pravila za razlikovanje inverzne funkcije i složene funkcije, postaju jednostavni algebarski identiteti (budući da se svi diferencijali ovdje mogu uzeti s obzirom na istu varijablu). Ne treba, međutim, misliti da to daje novi zaključak gore spomenutim formulama: prije svega, ovdje nije dokazano postojanje lijevih derivacija, glavno je da smo u biti koristili invarijantnost oblika diferencijala , što je samo po sebi posljedica Pravila V.

Ako je diferencijabilna funkcija neovisnih varijabli i njezin ukupni diferencijal dz jednaka. Pretpostavimo sada da u točki ((,?/) funkcije »?) i r)) imaju kontinuirane parcijalne derivacije u odnosu na (i rf, i na odgovarajuće točke (x, y ) parcijalne derivacije postoje i kontinuirane su, te je kao rezultat funkcija r = f(x, y) diferencijabilna u ovoj točki. Pod tim uvjetima, funkcija ima derivacije u točki 17) Diferencijal složena funkcija Invarijantnost oblika diferencijala Implicitne funkcije Tangentna ravnina i normala na površinu Tangentna ravnina površine Geometrijsko značenje ukupnog diferencijala Normalno na površinu Kao što se može vidjeti iz formula (2), u i u su kontinuirane na točka ((,*?). Dakle, funkcija u točki je diferencijabilna; prema formuli totalnog diferencijala za funkciju neovisnih varijabli £ i m] imamo Zamijenivši na desnoj strani jednakosti (3) u i u njihove izraze iz formula (2), dobivamo ili da, prema uvjetu, funkcije u točki ((,17) imaju kontinuirane parcijalne derivacije, tada su diferencijabilne u ovoj točki i Iz relacija (4) i (5) dobivamo da Usporedba formula (1) i (6) pokazuje da je ukupni diferencijal funkcije z = /(z, y) izražen formulom istog oblika kao u slučaju kada su argumenti x i y funkcije /(z, y) su nezavisne varijable, au slučaju kada su ti argumenti, pak, funkcije nekih varijabli. Dakle, ukupni diferencijal funkcije nekoliko varijabli ima svojstvo nepromjenjivosti oblika. Komentar. Iz invarijantnosti oblika totalnog diferencijala slijedi: ako su xlnx i y diferencijabilne funkcije bilo kojeg konačnog broja varijabli, tada formula ostaje važeća. Neka imamo jednadžbu gdje je funkcija dviju varijabli definirana u nekoj domeni G na ravnini xOy. Ako za svaku vrijednost x iz određenog intervala (xo - 0, xo + ^o) postoji točno jedna vrijednost y, koja zajedno s x zadovoljava jednadžbu (1), onda to određuje funkciju y = y(x), za koju vrijedi jednakost je zapisana identično duž x u navedenom intervalu. U ovom slučaju se kaže da jednadžba (1) definira y kao implicitnu funkciju od x. Drugim riječima, funkcija određena jednadžbom koja nije razriješena u odnosu na y naziva se implicitna funkcija," ona postaje eksplicitna ako je izravno dana ovisnost y o x. Primjeri: 1. Jednadžba definira vrijednost y na cijeli OcW rh kao funkcija s jednom vrijednošću od x: 2. Jednadžbom je veličina y definirana kao funkcija s jednom vrijednošću od x. Ilustrirajmo ovu tvrdnju. Jednadžba je zadovoljena parom vrijednosti x = 0, y = 0. Razmotrit ćemo * parametar i razmotriti funkcije. Pitanje postoji li, za odabrani xo, odgovarajuća jedinstvena vrijednost O je takvo da se par (zadovoljava jednadžbom (2) svodi na presijecanje x ay krivulja i jedne točke. Konstruirajmo njihove grafove na xOy ravnina (slika 11) Krivulja " = x + c sin y, gdje se x smatra parametrom, dobiva se paralelnom translacijom duž osi Ox i krivulje z = z sin y. Geometrijski je očito da za bilo koji x krivulje x = y i z = t + c $1py imaju jedinstvenu "tu sjecišnu točku, čiji je ordinator funkcija od x, implicitno definirana jednadžbom (2). Ova ovisnost nije izražena kroz elementarne funkcije. 3. Jednadžba za nijedan realni x ne određuje realnu funkciju argumenta x. U istom smislu možemo govoriti o implicitnim funkcijama više varijabli. Sljedeći teorem daje dovoljne uvjete za jedinstvenu rješivost jednadžbe = 0 (1) u odnosu na y u nekoj okolini dane točke (®o>Yo).Teorem 8 (postojanje implicitne funkcije).Neka su zadovoljeni sljedeći uvjeti: 1) funkcija je definirana i kontinuirana u određenom pravokutniku sa središtem u točki u točki funkcija y) prelazi u n\l, 3) u pravokutniku D postoje i kontinuirane parcijalne derivacije 4) Y) Kad bilo koji dovoljno ma/sueo pozitivan broj e postoji okolina te okoline postoji jedna kontinuirana funkcija y = f(x) (Sl. 12), koja poprima vrijednost), zadovoljava jednadžbu \y - yol i pretvara jednadžbu (1) u identitet: Ova funkcija je kontinuirano diferencijabilna u okolini točke Xq, i Izvedimo formulu (3) za derivaciju implicitne funkcije, smatrajući postojanje ove derivacije dokazanim. Neka je y = f(x) implicitna diferencijabilna funkcija definirana jednadžbom (1). Tada u intervalu) postoji identitet Diferencijal složene funkcije Invarijantnost oblika diferencijala Implicitne funkcije Tangentna ravnina i normala na plohu Tangentna ravnina plohe Geometrijsko značenje potpunog diferencijala Normala na plohu zbog nje u ovoj interval Prema pravilu diferencijacije složene funkcije, imamo Jedinstveno u smislu da svaka točka (x, y), koja leži na krivulji koja pripada susjedstvu točke (xo, yo)” ima koordinate povezane jednadžbom Dakle, s y = f(x) dobivamo to i, stoga, Primjer. Nađite j* iz funkcije y = y(x), definirane jednadžbom U ovom slučaju Odavde, na temelju formule (3) Napomena. Teorem će osigurati uvjete za postojanje jedne implicitne funkcije čiji graf prolazi kroz zadanu točku (xo, oo). dovoljno, ali ne i neophodno. Zapravo, razmotrite jednadžbu Ovdje ima kontinuirane parcijalne derivacije jednake nuli u točki 0(0,0). Međutim, ova jednadžba ima jedinstveno rješenje jednako nuli u problemu. Neka je dana jednadžba - funkcija s jednom vrijednošću koja zadovoljava jednadžbu (D). 1) Koliko funkcija s jednom vrijednošću (2") zadovoljava jednadžbu (!")? 2) Koliko jednoznačnih kontinuiranih funkcija zadovoljava jednadžbu (!")? 3) Koliko jednoznačnih diferencijabilnih funkcija zadovoljava jednadžbu (!")? 4) Koliko jednoznačnih kontinuiranih funkcija zadovoljava "jednadžbu (1"), čak i ako su dovoljno male? Teorem postojanja sličan teoremu 8 također vrijedi u slučaju implicitne funkcije z - z(x, y) dviju varijabli, definirane jednadžbom Teorem 9. Neka su zadovoljeni sljedeći uvjeti: d) funkcija & je definirana i kontinuirana u domeni D; u domeni D postoje i kontinuirane derivacije kvocijenata Tada za svako dovoljno malo e > 0 postoji okolina Γ2 točke (®o»Yo)/ u kojoj postoji jedinstvena kontinuirana funkcija z - / (x, y), uzimajući vrijednost na x = x0, y = y0, zadovoljavajući uvjet i pretvarajući jednadžbu (4) u identitet: U ovom slučaju, funkcija u domeni Q ima kontinuirane parcijalne derivacije i GG Nađimo izrazi za ove izvedenice. Neka jednadžba definira z kao jednovrijednu i diferencijabilnu funkciju z = /(x, y) nezavisnih varijabli xnu. Ako zamijenimo funkciju f(x, y) u ovu jednadžbu umjesto z, dobivamo identitet. Prema tome, ukupne parcijalne derivacije u odnosu na x i y funkcije y, z), gdje je z = /(z, y ), također mora biti jednak nuli. Diferenciranjem nalazimo gdje Ove formule daju izraze za parcijalne derivacije implicitne funkcije dviju nezavisnih varijabli. Primjer. Nađite parcijalne derivacije funkcije x(r,y) dane jednadžbom 4. Iz ovoga imamo §11. Tangentna ravnina i normala na plohu 11.1. Preliminarne informacije Neka nam je površina S definirana jednadžbom Definirano*. Točku M(x, y, z) plohe (1) nazivamo običnom točkom te plohe ako u točki M postoje i kontinuirane su sve tri derivacije, a barem jedna od njih nije jednaka nuli. Ako su u točki My, z) plohe (1) sve tri derivacije jednake nuli ili barem jedna od tih derivacija ne postoji, tada se točka M naziva singularnom točkom plohe. Primjer. Promotrimo kružni stožac (slika 13). Ovdje je jedina posebna suptilna točka ishodište koordinata 0(0,0,0): u ovoj točki parcijalne derivacije istovremeno nestaju. Riža. 13 Promotrimo prostornu krivulju L definiranu parametarskim jednadžbama Neka funkcije imaju kontinuirane derivacije u intervalu. Isključimo iz razmatranja singularne točke krivulje u kojima je Neka obična točka krivulje L određena vrijednošću parametra to. Tada je vektor tangente na krivulju u točki. Tangentna ravnina plohe Neka je ploha 5 zadana jednadžbom. Uzmimo običnu točku P na plohi S i kroz nju povučemo krivulju L koja leži na plohi i zadana je parametarskim jednadžbama. Pretpostavimo da su funkcije £(*), "/(0" C(0) imaju kontinuirane izvodnice , nigdje na (a)p) koje istovremeno nestaju. Prema definiciji, tangenta krivulje L u točki P naziva se tangenta na površinu 5 u ovoj točki. Ako izrazi ( 2) zamjenjuju se u jednadžbu (1), tada, budući da krivulja L leži na površini S, jednadžba (1) se pretvara u identitet s obzirom na t: Diferenciranjem ovog identiteta s obzirom na t, korištenjem pravila za diferenciranje kompleksa funkcije, dobivamo Izraz na lijevoj strani (3) je skalarni umnožak dva vektora: U točki P, vektor z je usmjeren tangentno na krivulju L u ovoj točki (slika 14). Što se tiče vektora n , ovisi samo o koordinatama ove točke i vrsti funkcije ^"(x, y, z) i ne ovisi o vrsti krivulje koja prolazi kroz točku P. Kako je P - obična točka plohe 5, tada duljina vektora n različita je od nule. Činjenica da skalarni umnožak znači da je vektor r tangentan na krivulju L u točki P okomit na vektor n u toj točki (sl. 14). Ovi argumenti ostaju valjani za bilo koju krivulju koja prolazi kroz točku P i leži na površini S. Posljedično, svaka tangenta na površinu 5 u točki P je okomita na vektor n, i, prema tome, sve ove linije leže u istoj ravnini, također okomit na vektor n. Definicija. Ravnina u kojoj se nalaze sve tangente na plohu 5 koje prolaze kroz zadanu običnu točku P G 5 zove se tangenta plohe u točki P (slika 15). Vektorski diferencijal složene funkcije Invarijantnost oblika diferencijala Implicitne funkcije Tangentna ravnina i normala na površinu Tangentna ravnina površine Geometrijsko značenje potpunog diferencijala Normala na površinu je normalni vektor tangentne ravnine na površinu na točku P. Odavde odmah dobivamo jednadžbu tangentne ravnine na plohu ZG (u običnoj točki P0 (®o, Uo" ove plohe: Ako je ploha 5 dana jednadžbom, onda upisom ove jednadžbe u ako dobijemo i jednadžbu tangentne ravnine u točki, ona će izgledati ovako 11. 3. Geometrijsko značenje totalnog diferencijala Ako ga stavimo u formulu (7), tada će poprimiti oblik Desna strana (8) predstavlja totalni diferencijal funkcije z u točki M0(x0) yo) na ravnini xOy> tako da je dakle ukupni diferencijal funkcije z = /(x, y) dviju neovisnih varijabli x i y u točki M0, koji odgovara priraštajima Dx i Du varijabli i y, jednak priraštaju z - z0 aplicira z točke tangentne ravnine plohe 5 u točki Z>(xo» Uo» /(, Uo)) PRI kretanju iz točke M0(xo, Uo) u točku - 11.4. Normalna definicija površine. Pravac koji prolazi točkom Po(xo, y0, r0) plohe okomito na ravninu tangente na plohu u točki Po naziva se normala na plohu u točki Pq. Vektor)L je usmjeravajući vektor normale, a njegove jednadžbe imaju oblik. Ako je površina 5 dana jednadžbom, onda jednadžbe normale u točki) izgledaju ovako: u točki Ovdje U točki (0, 0) ove derivacije su jednake nuli: a jednadžba tangentne ravnine u točki 0 (0,0,0) ima sljedeći oblik: (xOy ravnina). Normalne jednadžbe

Formula za diferencijalnu funkciju ima oblik

gdje je diferencijal nezavisne varijable.

Neka nam je sada dana kompleksna (diferencijabilna) funkcija , gdje je,. Tada pomoću formule za derivaciju kompleksne funkcije nalazimo

jer .

Tako, , tj. Diferencijalna formula ima isti oblik za nezavisnu varijablu i za posredni argument, koji je diferencijabilna funkcija od.

Ovo se svojstvo obično naziva vlasništvo nepromjenjivost formule ili oblik diferencijala. Imajte na umu da derivat nema ovo svojstvo.

Odnos kontinuiteta i diferencijabilnosti.

Teorema (nužan uvjet za diferencijabilnost funkcije). Ako je funkcija diferencijabilna u nekoj točki, onda je u toj točki neprekidna.

Dokaz. Neka funkcija y=f(x) diferencijabilan u točki x 0 . U ovoj točki argumentu dajemo inkrement  x. Funkcija će se povećati  na. Pronađimo ga.

Stoga, y=f(x) kontinuirano u točki x 0 .

Posljedica. Ako x 0 je točka diskontinuiteta funkcije, tada funkcija na njoj nije diferencijabilna.

Obrnuto od teorema nije točno. Kontinuitet ne implicira diferencijabilnost.

Diferencijal. Geometrijsko značenje. Primjena diferencijala na aproksimativne proračune.

Definicija

Funkcijski diferencijal naziva se linearni relativni dio prirasta funkcije. Označava se kakili. Tako:

Komentar

Diferencijal funkcije čini najveći dio njezina prirasta.

Komentar

Uz koncept diferencijala funkcije uvodi se i koncept diferencijala argumenta. A-priorat razlika argumenta je prirast argumenta:

Komentar

Formula za diferencijal funkcije može se napisati kao:

Odavde to dobivamo

Dakle, to znači da se derivacija može prikazati kao obični razlomak - omjer diferencijala funkcije i argumenta.

Geometrijsko značenje diferencijala

Diferencijal funkcije u točki jednak je ordinatnom prirastu tangente povučene na graf funkcije u toj točki, što odgovara prirastu argumenta.

Osnovna pravila razlikovanja. Derivacija konstante, derivacija zbroja.

Neka funkcije imaju derivacije u točki. Zatim

1. Konstantno može se izvaditi iz predznaka izvedenice.

5. Diferencijalna konstanta jednaka nuli.

2. Derivacija zbroja/razlike.

Derivacija zbroja/razlike dviju funkcija jednaka je zbroju/razlici derivacija svake funkcije.

Osnovna pravila razlikovanja. Derivat proizvoda.

3. Derivat proizvoda.

Osnovna pravila razlikovanja. Derivacija kompleksne i inverzne funkcije.

5. Derivacija složene funkcije.

Derivacija složene funkcije jednaka je derivaciji te funkcije u odnosu na posredni argument, pomnoženoj s derivacijom posrednog argumenta u odnosu na glavni argument.

I oni imaju derivacije u točkama. Zatim

Teorema

(O izvodu inverzne funkcije)

Ako je funkcija kontinuirana i strogo monotona u nekoj okolini točke i diferencijabilna u ovoj točki, tada inverzna funkcija ima derivaciju u točki, i .

Formule diferenciranja. Derivacija eksponencijalne funkcije.