Mátrixok, műveletek mátrixokon. inverz mátrix
1. évfolyam, felsőfokú matematika, tanulás mátrixokés a rájuk vonatkozó alapvető műveletek. Itt rendszerezzük a mátrixokkal végrehajtható alapműveleteket. Hol kezdjem a mátrixokkal való ismerkedést? Természetesen a legegyszerűbb dolgoktól - definícióktól, alapfogalmaktól és egyszerű műveletektől. Biztosítjuk Önöket, hogy a mátrixokat mindenki megérti, aki legalább egy kis időt szán rájuk!
Mátrix definíció
Mátrix egy téglalap alakú elemtáblázat. Nos, leegyszerűsítve – egy számtáblázat.
A mátrixokat általában nagy latin betűkkel jelölik. Például mátrix A , mátrix B stb. A mátrixok különböző méretűek lehetnek: téglalap alakúak, négyzet alakúak, és vannak sor- és oszlopmátrixok is, amelyeket vektoroknak nevezünk. A mátrix méretét a sorok és oszlopok száma határozza meg. Például írjunk fel egy téglalap alakú mátrixot m tovább n , Ahol m – sorok száma, és n - oszlopok száma.
Tételek, amelyekhez i=j (a11, a22, .. ) alkotják a mátrix főátlóját, és diagonálisnak nevezzük.
Mit lehet csinálni a mátrixokkal? Összeadás/kivonás, szorozzuk meg egy számmal, szaporodnak egymás között, átültetni. Most a mátrixokkal végzett összes alapvető műveletről sorrendben.
Mátrix összeadás és kivonás műveletek
Azonnal figyelmeztetjük, hogy csak azonos méretű mátrixokat adhat hozzá. Az eredmény egy azonos méretű mátrix lesz. A mátrixok összeadása (vagy kivonása) egyszerű - csak hozzá kell adnia a megfelelő elemeket . Mondjunk egy példát. Végezzük el két A és B mátrix összeadását, melyek mérete kettő-kettő.
A kivonás analógiával történik, csak ellenkező előjellel.
Bármely mátrix megszorozható tetszőleges számmal. Ezt csináld meg, minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal. Például szorozzuk meg az első példa A mátrixát 5-tel:
Mátrix szorzási művelet
Nem minden mátrix szorozható össze. Például két mátrixunk van - A és B. Csak akkor szorozhatók meg egymással, ha az A mátrix oszlopainak száma megegyezik a B mátrix sorainak számával. Ebben az esetben a kapott mátrix minden eleme, amely az i-edik sorban és a j-edik oszlopban található, egyenlő lesz az első tényező i-edik sorában és a j-edik oszlopában lévő megfelelő elemek szorzatának összegével. a második. Az algoritmus megértéséhez írjuk fel, hogyan szorozunk két négyzetmátrixot:
És egy példa valós számokkal. Szorozzuk meg a mátrixokat:
Mátrix transzponálási művelet
A mátrixtranszpozíció olyan művelet, amelyben a megfelelő sorokat és oszlopokat felcserélik. Például transzponáljuk az A mátrixot az első példából:
Mátrix meghatározó
A determináns vagy determináns a lineáris algebra egyik alapfogalma. Valamikor régen az emberek lineáris egyenletekkel álltak elő, és ezek után egy determinánst kellett kitalálniuk. Végül csak rajtad múlik, hogy mindezzel foglalkozz, szóval, az utolsó lökés!
A determináns egy négyzetmátrix numerikus karakterisztikája, amely számos probléma megoldásához szükséges.
A legegyszerűbb négyzetmátrix determinánsának kiszámításához ki kell számítania a fő- és másodlagos átló elemeinek szorzatai közötti különbséget.
Egy elsőrendű, azaz egy elemből álló mátrix determinánsa egyenlő ezzel az elemmel.
Mi van, ha a mátrix háromszor három? Ez nehezebb, de megoldható.
Egy ilyen mátrixnál a determináns értéke egyenlő a főátló elemei és a főátlóval párhuzamos lapú háromszögeken fekvő elemek szorzatának összegével, amelyből a főátló szorzata. a másodlagos átló elemeit és a háromszögeken fekvő elemek szorzatát a párhuzamos másodlagos átló lapjával kivonjuk.
Szerencsére a gyakorlatban ritkán van szükség nagy méretű mátrixok determinánsainak kiszámítására.
Itt megnéztük a mátrixokkal végzett alapvető műveleteket. Persze előfordulhat, hogy a való életben még csak egy mátrix egyenletrendszerre sem találkozik, vagy éppen ellenkezőleg, sokkal összetettebb esetekkel találkozhat, amikor tényleg törnie kell az agyát. Ilyen esetekre léteznek professzionális hallgatói szolgáltatások. Kérjen segítséget, kapjon minőségi és részletes megoldást, élvezze a tanulmányi sikereket és a szabadidőt.
1. előadás „Mátrixok és alapműveletek rajtuk. Meghatározók
Meghatározás. Mátrix méret m n, Ahol m- sorok száma, n- az oszlopok száma, amelyet bizonyos sorrendben elrendezett számtáblázatnak neveznek. Ezeket a számokat mátrixelemeknek nevezzük. Az egyes elemek helyét egyedileg határozza meg annak a sornak és oszlopnak a száma, amelynek metszéspontjában található. A mátrix elemei ki vannak jelölvea ij, Ahol én- sorszám, és j- oszlopszám.
A =
Alapműveletek mátrixokkal.
Egy mátrix egy sorból vagy egy oszlopból állhat. Általánosságban elmondható, hogy egy mátrix akár egy elemből is állhat.
Meghatározás. Ha a mátrix oszlopainak száma megegyezik a sorok számával (m=n), akkor a mátrix ún. négyzet.
Meghatározás. Mátrix nézet:
= E
,
hívott identitásmátrix.
Meghatározás. Ha a mn = a nm , akkor a mátrixot hívják szimmetrikus.
Példa. 
- szimmetrikus mátrix
Meghatározás.
Az űrlap négyzetmátrixa 
hívott átlós mátrix.
Összeadás és kivonás mátrixok az elemeiken végzett megfelelő műveletekre redukálódnak. Ezeknek a műveleteknek a legfontosabb tulajdonsága az, hogy csak azonos méretű mátrixokra van definiálva. Így lehetséges a mátrix összeadási és kivonási műveletek meghatározása:
Meghatározás. Összeg (különbség) A mátrixok olyan mátrixok, amelyek elemei az eredeti mátrixok elemeinek összege (különbsége).
c ij = a ij b ij
C = A + B = B + A.
Művelet szorzás (osztás) tetszőleges számmal tetszőleges méretű mátrixot a mátrix minden elemének szorzására (osztására) redukálunk ezzel a számmal.
(A+B) = A B A( ) = A A
Példa. Adott mátrixok A = 
; B= 
, keresse meg a 2A + B-t.
2A = 
, 2A + B = 
.
Mátrix szorzási művelet.
Meghatározás: A munka A mátrixok olyan mátrixok, amelyek elemei a következő képletekkel számíthatók ki:
A
B =
C;
.
A fenti definícióból jól látható, hogy a mátrixszorzás művelete csak mátrixokra van definiálva amelyek közül az első oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával.
A mátrixszorzási művelet tulajdonságai.
1) Mátrixszorzásnem kommutatív , azaz AB VA még akkor is, ha mindkét termék definiálva van. Ha azonban bármely mátrixra teljesül az AB = BA összefüggés, akkor az ilyen mátrixokat hívjukmegváltoztatható.
A legjellemzőbb példa az egy mátrix, amely ingázik bármely más azonos méretű mátrixszal.
Csak az azonos sorrendű négyzetmátrixok lehetnek permutálhatók.
A E = E A = A
Nyilvánvaló, hogy bármely mátrixra a következő tulajdonságok érvényesek:
A O = O; O A = O,
hol O- nulla mátrix.
2) Mátrixszorzási művelet asszociációs, azok. ha az AB és (AB)C szorzat definiálva van, akkor BC és A(BC) definiálva van, és az egyenlőség teljesül:
(AB)C=A(BC).
3) Mátrixszorzási művelet elosztóösszeadás kapcsán, azaz. ha az A(B+C) és (A+B)C kifejezéseknek van értelme, akkor ennek megfelelően:
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC.
4) Ha az AB szorzat definiálva van, akkor tetszőleges számra a következő arány helyes:
(AB) = ( A) B = A( B).
5) Ha az AB szorzat definiálva van, akkor a B T A T szorzat definiálva van, és az egyenlőség teljesül:
(AB) T = B T A T, ahol
index T jelöli átültetve mátrix.
6) Vegye figyelembe azt is, hogy bármely négyzetes mátrix esetén det (AB) = detA detB.
Mi történt erről az alábbiakban lesz szó.
Meghatározás . A B mátrixot hívják átültetve A mátrix és az A-ból B-be való átmenet átültetése, ha az A mátrix minden sorának elemeit ugyanabban a sorrendben írjuk be a B mátrix oszlopaiba.
A = 
; B = A T = 
;
más szóval b ji = a ij .
Az előző (5) tulajdonság következtében felírhatjuk, hogy:
(ABC ) T = C T B T A T ,
feltéve, hogy az ABC mátrixok szorzata definiálva van.
Példa.
Adott mátrixok A = 
, B = , C = 
és szám = 2. Keresse meg A T B+ C.
A T =
;
A T B =
=
=
;
C =
; A T B+ C = +
=
.
Példa. Határozzuk meg az A = és B = mátrixok szorzatát 
.
AB = = 
.
VA =
= 2
1 + 4
4 + 1
3 = 2 + 16 + 3 = 21.
Példa. Keresse meg az A= mátrixok szorzatát 
, B = 
AB =
= 
= 
.
Meghatározók(determinánsok).
Meghatározás.
Döntő négyzetmátrix A= 
egy szám, amely egy mátrix elemeiből a következő képlettel számítható ki:
det A = 
, ahol (1)
M 1-től– az eredetiből az első sor és a k. oszlop törlésével kapott mátrix determinánsa. Megjegyzendő, hogy a determinánsoknak csak négyzetes mátrixaik vannak, pl. mátrixok, amelyekben a sorok száma megegyezik az oszlopok számával.
F 
Az (1) képlet lehetővé teszi a mátrix determinánsának az első sorból való kiszámítását, a determináns kiszámításának képlete az első oszlopból is érvényes:
det A = 
(2)
Általánosságban elmondható, hogy a determináns a mátrix bármely sorából vagy oszlopából számítható, pl. a képlet helyes:
detA = 
, i = 1,2,…,n. (3)
Nyilvánvaló, hogy a különböző mátrixoknak ugyanazok a determinánsai lehetnek.
Az identitásmátrix meghatározója az 1.
A megadott A mátrixhoz az M 1k számot hívjuk további kiskorú mátrixelem a 1 k . Ebből arra következtethetünk, hogy a mátrix minden elemének megvan a maga további minorja. További minorok csak négyzetes mátrixokban léteznek.
Meghatározás. További kiskorú négyzetmátrix tetszőleges elemének a ij egyenlő az i-edik sor és a j-edik oszlop törlésével kapott mátrix determinánsával.
Tulajdonság1. A determinánsok fontos tulajdonsága a következő kapcsolat:
det A = det A T ;
Ingatlan 2. det (A B) = det A det B.
3. tulajdonság. det (AB) = detA detB
4. tulajdonság. Ha egy négyzetes mátrixban bármely két sort (vagy oszlopot) felcserélünk, a mátrix determinánsa előjelet vált anélkül, hogy abszolút értékében megváltozna.
5. ingatlan. Ha egy mátrix oszlopát (vagy sorát) megszorozza egy számmal, a determinánsa megszorozódik ezzel a számmal.
6. ingatlan. Ha az A mátrixban a sorok vagy oszlopok lineárisan függenek, akkor a determinánsa nulla.
Meghatározás: Egy mátrix oszlopait (sorait) hívjuk lineárisan függő, ha van ezek nullával egyenlő lineáris kombinációja, amelynek nem triviális (nem nulla) megoldásai vannak.
7. ingatlan. Ha egy mátrix nulla oszlopot vagy nulla sort tartalmaz, akkor a determinánsa nulla. (Ez az állítás nyilvánvaló, mivel a determináns pontosan kiszámítható a nulla sor vagy oszlop alapján.)
8. ingatlan. Egy mátrix determinánsa nem változik, ha egy másik sor (oszlop) elemeit hozzáadjuk (kivonjuk) az egyik sor (oszlop) elemeihez, megszorozva tetszőleges számmal, amely nem egyenlő nullával.
9. ingatlan. Ha a következő összefüggés igaz a mátrix bármely sorának vagy oszlopának elemeire:d = d 1 d 2 , e = e 1 e 2 , f = det (AB).
1. módszer: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.
2. módszer: AB =
,
det (AB) = 7
18 - 8
19 = 126 –
– 152 = -26.
Ez a kézikönyv segít megtanulni, hogyan kell végrehajtani műveletek mátrixokkal: mátrixok összeadása (kivonása), mátrix transzponálása, mátrixok szorzása, inverz mátrix megtalálása. Az összes anyagot egyszerű és hozzáférhető formában mutatjuk be, releváns példákat adunk, így még egy felkészületlen ember is megtanulhatja, hogyan hajtson végre műveleteket mátrixokkal. Önellenőrzéshez és önellenőrzéshez ingyenesen letölthető egy mátrix kalkulátor >>>.
Igyekszem minimalizálni az elméleti számításokat, helyenként „ujjakon” való magyarázatok, nem tudományos kifejezések használata lehetséges. A szilárd elmélet szerelmesei, kérem, ne kritizáljanak, a mi feladatunk tanulj meg műveleteket végrehajtani mátrixokkal.
A SZUPERGYORS felkészüléshez a témában (aki „tűzben van”) van egy intenzív pdf tanfolyam Mátrix, determináns és teszt!
A mátrix néhány téglalap alakú táblázat elemeket. Mint elemeket számokat, azaz numerikus mátrixokat fogunk figyelembe venni. ELEM egy kifejezés. A kifejezést célszerű megjegyezni, gyakran fog előfordulni, nem véletlenül használtam félkövér betűtípust a kiemeléshez.
Kijelölés: a mátrixokat általában nagy latin betűkkel jelölik
Példa: Tekintsünk egy két-három mátrixot:
Ez a mátrix hatból áll elemeket:
A mátrixon belüli összes szám (elem) önmagában létezik, vagyis szó sincs kivonásról: 
Ez csak egy számtáblázat (halmaz)!
Egyetértünk mi is ne rendezd át számok, hacsak a magyarázatban másként nem szerepel. Minden számnak saját helye van, és nem keverhető!
A kérdéses mátrixnak két sora van: 
és három oszlop: 
ALAPÉRTELMEZETT: ha mátrixméretekről beszélünk, akkor először adja meg a sorok számát, és csak ezután az oszlopok számát. Most bontottuk fel a két-három mátrixot.
Ha egy mátrix sorainak és oszlopainak száma megegyezik, akkor a mátrixot hívják négyzet, Például: 
– háromszor három mátrix.
Ha egy mátrixnak egy oszlopa vagy egy sora van, akkor az ilyen mátrixokat is hívják vektorok.
Valójában az iskolától kezdve ismerjük a mátrix fogalmát, például egy „x” és „y” koordinátájú pontot: . Lényegében egy pont koordinátáit egy-kettő mátrixba írjuk. Egyébként itt van egy példa arra, hogy miért számít a számok sorrendje: és két teljesen különböző pont a síkon.
Most pedig térjünk át a tanulásra műveletek mátrixokkal:
1) Első lépés. Mínusz eltávolítása a mátrixból (mínusz beillesztése a mátrixba).
Térjünk vissza a mátrixunkhoz 
. Amint valószínűleg észrevette, túl sok negatív szám van ebben a mátrixban. Ez nagyon kényelmetlen abból a szempontból, hogy különféle műveleteket hajt végre a mátrixszal, kényelmetlen ennyi mínuszt írni, és egyszerűen csúnyán néz ki.
Vigyük a mínuszt a mátrixon kívülre, megváltoztatva a mátrix MINDEN elemének előjelét:
A nullánál, mint érted, a nulla Afrikában is nulla.
Fordított példa: 
. csúnyán néz ki.
Vezessünk be egy mínuszt a mátrixba a mátrix MINDEN elemének előjelének megváltoztatásával:
Nos, sokkal szebb lett. És ami a legfontosabb, KÖNNYEBB lesz bármilyen műveletet végrehajtani a mátrixszal. Mert van egy ilyen matematikai népi jel: minél több a mínusz, annál több a zavar és a hiba.
2) Második felvonás. Egy mátrix szorzása egy számmal.
Példa:
Ez egyszerű, ahhoz, hogy egy mátrixot megszorozzon egy számmal, szüksége van minden mátrixelem szorozva egy adott számmal. Ebben az esetben - egy három.
Egy másik hasznos példa:
– mátrix szorzata törttel
Először nézzük meg, mit tegyünk NINCS SZÜKSÉG:
NEM KELL törtet bevinni a mátrixba, egyrészt csak bonyolítja a további műveleteket a mátrixszal, másrészt megnehezíti a tanár számára a megoldás ellenőrzését (főleg ha; 
– a feladat végső válasza).
És főleg, NINCS SZÜKSÉG osszuk el a mátrix minden elemét mínusz héttel:
A cikkből Matematika a bábokhoz, vagy hol kezdjem, emlékszünk arra, hogy a felsőbb matematikában minden lehetséges módon igyekeznek elkerülni a vesszős tizedes törteket.
Az egyetlen dolog lehetőleg Ebben a példában egy mínusz hozzáadása a mátrixhoz:
De ha csak MINDEN A mátrixelemeket elosztottuk 7-tel nyom nélkül, akkor lehetne (és szükséges!) osztani.
Példa:
Ebben az esetben megteheti KELL szorozzuk meg az összes mátrixelemet -vel, mivel minden mátrixszám osztható 2-vel nyom nélkül.
Megjegyzés: a felsőoktatási matematika elméletében nincs az „osztás” fogalma. Ahelyett, hogy azt mondaná, hogy „ez osztva ezzel”, mindig azt mondhatja, hogy „ez szorozva törttel”. Vagyis az osztás a szorzás speciális esete.
3) Harmadik felvonás. Mátrix transzponálás.
Egy mátrix transzponálásához be kell írnia annak sorait a transzponált mátrix oszlopaiba.
Példa:
Transzponálja a mátrixot
Itt csak egy sor van, és a szabály szerint egy oszlopba kell írni:
– transzponált mátrix.
A transzponált mátrixot általában felső index vagy prím jelöli a jobb felső sarokban.
Példa lépésről lépésre:
Transzponálja a mátrixot 
Először az első sort írjuk át az első oszlopba:
Ezután átírjuk a második sort a második oszlopba: 
És végül átírjuk a harmadik sort a harmadik oszlopba:
Kész. Nagyjából a transzponálás azt jelenti, hogy a mátrixot az oldalára fordítjuk.
4) Negyedik felvonás. Mátrixok összege (különbsége)..
A mátrixok összege egy egyszerű művelet.
NEM MINDEN MÁTRIZ HAJTHATÓ BE. A mátrixok összeadása (kivonása) végrehajtásához az szükséges, hogy azonos MÉRETEK legyenek.
Például, ha megadunk egy kettős-kettős mátrixot, akkor azt csak kettős-kettős mátrixszal lehet hozzáadni, mással nem! 
Példa:
Adjunk hozzá mátrixokat 
És 
Mátrixok hozzáadásához hozzá kell adni a hozzájuk tartozó elemeket:
A mátrixok különbségére a szabály hasonló, meg kell találni a megfelelő elemek különbségét.
Példa:
Keresse meg a mátrix különbséget 
, 
Hogyan lehet ezt a példát könnyebben megoldani, hogy ne keveredjen össze? Ehhez tanácsos megszabadulni a felesleges mínuszoktól, adjon hozzá egy mínuszt a mátrixhoz:
Megjegyzés: a felsőoktatási matematika elméletében nincs a „kivonás” fogalma. Ahelyett, hogy azt mondaná, hogy „ezt vonjuk ki ebből”, mindig azt mondhatja, hogy „adjunk ehhez negatív számot”. Vagyis a kivonás az összeadás speciális esete.
5) Ötödik felvonás. Mátrixszorzás.
Milyen mátrixokat lehet szorozni?
Ahhoz, hogy egy mátrixot meg tudjunk szorozni egy mátrixszal, szükséges hogy a mátrixoszlopok száma egyenlő legyen a mátrixsorok számával.
Példa:
Meg lehet-e szorozni egy mátrixot egy mátrixszal?
Ez azt jelenti, hogy a mátrix adatok szorozhatók.
De ha a mátrixok átrendeződnek, akkor ebben az esetben a szorzás már nem lehetséges!
Ezért a szorzás nem lehetséges:
Nem is olyan ritka, hogy trükkös feladatokkal találkozunk, amikor olyan mátrixok szorzására kérik a tanulót, amelyek szorzása nyilvánvalóan lehetetlen.
Meg kell jegyezni, hogy bizonyos esetekben mindkét módon lehetséges a mátrixok szorzása.
Például mátrixok esetén a szorzás és a szorzás is lehetséges
A MÁTRIX DEFINÍCIÓJA. A MÁTRIZOK TÍPUSAI
M méretű mátrix× n készletnek nevezik m·n számok téglalap alakú táblázatba rendezve m vonalak és n oszlopok. Ez a táblázat általában zárójelben van. Például a mátrix így nézhet ki:
A rövidség kedvéért a mátrixot egyetlen nagybetűvel is jelölhetjük, pl. A vagy BAN BEN.
Általában egy méretmátrix m× nírd meg így
.
A mátrixot alkotó számokat nevezzük mátrix elemek. A mátrixelemeket célszerű két indexszel ellátni a ij: Az első a sor számát, a második az oszlop számát jelöli. Például, a 23– az elem a 2. sorban, a 3. oszlopban van.
Ha egy mátrixnak ugyanannyi sora van, mint az oszlopok száma, akkor a mátrix meghívásra kerül négyzet, és a sorok vagy oszlopok számát hívjuk meg sorrendben mátrixok. A fenti példákban a második mátrix négyzet alakú - sorrendje 3, a negyedik mátrix pedig 1.
Olyan mátrixot hívunk meg, amelyben a sorok száma nem egyenlő az oszlopok számával négyszögletes. A példákban ez az első és a harmadik mátrix.
Vannak olyan mátrixok is, amelyeknek csak egy sora vagy egy oszlopa van.
A csak egysoros mátrixot hívjuk mátrix - sor(vagy karakterlánc), és egy mátrix csak egy oszlopot mátrix - oszlop.
Olyan mátrixot hívunk, amelynek minden eleme nulla nullaés (0) vagy egyszerűen 0 jelöli. Például,
.
Főátló négyzetmátrixnak a bal felsőtől a jobb alsó sarok felé haladó átlót nevezzük.
Olyan négyzetmátrixot nevezünk, amelyben a főátló alatti összes elem nullával egyenlő háromszög alakú mátrix.
.
Egy négyzetmátrixot, amelyben minden elem, kivéve talán a főátlón lévőket, egyenlő nullával, az ún. átlós mátrix. Például, ill.
Olyan átlós mátrixot nevezünk, amelyben minden átlós elem egyenlő eggyel egyetlen mátrixot és E betűvel jelöljük. Például a 3. rendű azonosságmátrix alakja 
.
CSELEKVÉSEK A MÁTRIKUKON
Mátrix egyenlőség. Két mátrix AÉs B egyenlőnek mondjuk, ha azonos számú soruk és oszlopuk van, és a megfelelő elemeik egyenlőek a ij = b ij. Tehát, ha 
És 
, Azt A=B, Ha a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21És a 22 = b 22.
Transzponálja. Tekintsünk egy tetszőleges mátrixot A tól től m vonalak és n oszlopok. A következő mátrixhoz társítható B tól től n vonalak és m oszlopok, amelyekben minden sor egy mátrixoszlop A ugyanazzal a számmal (tehát minden oszlop a mátrix egy sora A ugyanazzal a számmal). Tehát, ha 
, Azt 
.
Ez a mátrix B hívott átültetve mátrix A, és az átmenetet A Nak nek B átültetés.
Így az átültetés egy mátrix sorai és oszlopai szerepének megfordítása. Mátrix transzponált mátrixba A, általában jelölve NÁL NÉL.
Kommunikáció a mátrix között A transzponálása pedig a formába írható.
Például. Keresse meg az adott transzponált mátrixát!
Mátrix összeadás. Hagyjuk a mátrixokat AÉs B ugyanannyi sorból és ugyanannyi oszlopból állnak, azaz. van azonos méretek. Majd mátrixok hozzáadásához AÉs B mátrixelemekhez szükséges A mátrixelemek hozzáadása B ugyanazokon a helyeken állva. Így két mátrix összege AÉs B mátrixnak nevezzük C, amelyet a szabály határoz meg, pl.
Példák. Keresse meg a mátrixok összegét:
Könnyen ellenőrizhető, hogy a mátrixösszeadás megfelel-e a következő törvényeknek: kommutatív A+B=B+Aés asszociatív ( A+B)+C=A+(B+C).
Egy mátrix szorzása egy számmal. Egy mátrix szorzásához A számonként k a mátrix minden elemére szükség van A szorozzuk meg ezzel a számmal. Így a mátrixszorzat A számonként k van egy új mátrix, amelyet a szabály határoz meg 
vagy .
Bármilyen számhoz aÉs bés mátrixok AÉs B a következő egyenlőségek érvényesek:
Példák.
Mátrixszorzás. Ezt a műveletet egy sajátos törvény szerint hajtják végre. Először is megjegyezzük, hogy a faktormátrixok méretének konzisztensnek kell lennie. Csak azokat a mátrixokat szorozhatja meg, amelyekben az első mátrix oszlopainak száma egybeesik a második mátrix sorainak számával (azaz az első sor hossza megegyezik a második oszlop magasságával). A munka mátrixok A nem mátrix Búj mátrixnak nevezik C=AB, amelynek elemei a következőkből állnak:
Így például a termék megszerzéséhez (azaz a mátrixban C) elem, amely az 1. sorban és a 3. oszlopban található 13-tól, akkor az 1. mátrixban az 1. sort, a 2. oszlopban a 3. oszlopot kell venni, majd a sorelemeket meg kell szorozni a megfelelő oszlopelemekkel, és össze kell adni a kapott szorzatokat. A szorzatmátrix többi elemét pedig az első mátrix sorainak és a második mátrix oszlopainak hasonló szorzatával kapjuk meg.
Általában, ha egy mátrixot megszorozunk A = (a ij) méret m× n a mátrixhoz B = (b ij) méret n× p, akkor megkapjuk a mátrixot C méret m× p, melynek elemeit a következőképpen számítjuk ki: elem c ij elemek szorzata eredményeként kapjuk meg én mátrix sora A a megfelelő elemekhez j mátrixoszlop Bés azok kiegészítései.
Ebből a szabályból az következik, hogy mindig meg lehet szorozni két azonos sorrendű négyzetmátrixot, és ennek eredményeként egy azonos sorrendű négyzetmátrixot kapunk. Különösen egy négyzetes mátrix mindig szorozható önmagával, pl. négyszögletesre.
Egy másik fontos eset egy sormátrix szorzása egy oszlopmátrixszal, és az első szélességének meg kell egyeznie a második magasságával, ami elsőrendű mátrixot (azaz egy elemet) eredményez. Igazán,
.
Példák.
Így ezek az egyszerű példák azt mutatják, hogy a mátrixok általában véve nem ingáznak egymással, pl. A∙B ≠ B∙A . Ezért a mátrixok szorzásakor gondosan figyelnie kell a tényezők sorrendjét.
Igazolható, hogy a mátrixszorzás megfelel az asszociatív és disztributív törvényeknek, pl. (AB)C=A(BC)És (A+B)C=AC+BC.
Ez egy négyzetmátrix szorzásakor is könnyen ellenőrizhető A az identitásmátrixhoz E ugyanilyen sorrendben ismét egy mátrixot kapunk A, és AE=EA=A.
A következő érdekes tényt lehet megjegyezni. Mint tudod, 2 nem nulla szám szorzata nem egyenlő 0-val. Mátrixoknál ez nem biztos, hogy így van, azaz. 2 nem nulla mátrix szorzata egyenlőnek bizonyulhat a nulla mátrixszal.
Például, Ha 
, Azt
.
A DETERMINÁNSOK FOGALMA
Legyen adott egy másodrendű mátrix - egy négyzetes mátrix, amely két sorból és két oszlopból áll .
Másodrendű determináns egy adott mátrixnak megfelelő szám a következőképpen kapott szám: 11-22-12-21 között.
A determinánst a szimbólum jelzi 
.
Tehát a másodrendű determináns megtalálásához ki kell vonni a második átló mentén lévő elemek szorzatát a főátló elemeinek szorzatából.
Példák. Számítsa ki a másodrendű determinánsokat!
Hasonlóképpen tekinthetünk egy harmadrendű mátrixot és a hozzá tartozó determinánst.
Harmadik rendű determináns, amely egy adott harmadrendű négyzetmátrixnak felel meg, egy szám, amelyet a következőképpen jelölünk és kapunk:
.
Így ez a képlet megadja a harmadrendű determináns kiterjesztését az első sor elemeire nézve a 11, a 12, a 13és a harmadrendű determináns számítását a másodrendű determinánsok kiszámítására redukálja.
Példák. Számítsa ki a harmadrendű determinánst!
Hasonlóképpen bevezethetjük a determinánsok fogalmát a negyedik, ötödik stb. rendeléseket, sorrendjüket az 1. sor elemeire bővítve csökkentve, a kifejezések „+” és „–” jeleivel váltakozva.
Tehát ellentétben a mátrixszal, amely egy számtáblázat, a determináns egy olyan szám, amely bizonyos módon hozzá van rendelve a mátrixhoz.
Mátrix dimenzió egy téglalap alakú táblázat, amely ben elhelyezkedő elemekből áll m vonalak és n oszlopok.
Mátrixelemek (első index én− sorszám, második index j− oszlopszám) lehetnek számok, függvények stb. A mátrixokat a latin ábécé nagybetűivel jelöljük.
A mátrix az ún négyzet, ha ugyanannyi sor van benne, mint az oszlopok száma ( m = n). Ebben az esetben a szám n a mátrix rendjének, magát a mátrixot pedig mátrixnak nevezzük n-edik sorrend.
Azonos indexű elemek 
forma főátló négyzetmátrix, és az elemek (azaz amelyeknek az indexek összege egyenlő n+1)
− oldalátló.
Egyetlen mátrix egy négyzetes mátrix, amelynek főátlójának minden eleme 1, a többi eleme pedig 0. Betűvel jelöljük E.
Nulla mátrix− egy mátrix, amelynek minden eleme 0. A nulla mátrix tetszőleges méretű lehet.
A számhoz lineáris műveletek mátrixokon viszonyul:
1) mátrix összeadás;
2) mátrixok szorzása számmal.
A mátrixösszeadás művelet csak azonos dimenziójú mátrixokra van definiálva.
Két mátrix összege AÉs BAN BEN mátrixnak nevezzük VAL VEL, amelynek minden eleme egyenlő a megfelelő mátrixelemek összegével AÉs BAN BEN:
.
Mátrix termék A számonként k mátrixnak nevezzük BAN BEN, amelynek minden eleme egyenlő ennek a mátrixnak a megfelelő elemeivel A, szorozva a számmal k:
Művelet mátrixszorzás olyan mátrixokhoz vezetjük be, amelyek teljesítik a feltételt: az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával.
Mátrix termék A méretek a mátrixhoz BAN BEN dimenziót mátrixnak nevezzük VAL VEL méretek, elem én-edik sor és j amelynek th oszlopa egyenlő az elemek szorzatainak összegével én mátrix sora A a megfelelő elemekhez j mátrixoszlop BAN BEN:
A mátrixok szorzata (ellentétben a valós számok szorzatával) nem engedelmeskedik a kommutatív törvénynek, azaz. általában A BAN BEN BAN BEN A.
1.2. Meghatározók. A determinánsok tulajdonságai
A determináns fogalma csak négyzetes mátrixoknál kerül bevezetésre.
A 2. rendű mátrix determinánsa a következő szabály szerint kiszámított szám
.
Egy 3. rendű mátrix determinánsa 
a következő szabály szerint kiszámított szám:
A „+” jelű kifejezések közül az első a mátrix főátlóján található elemek szorzata (). A maradék kettő olyan háromszög csúcsaiban található elemeket tartalmaz, amelyek alapja párhuzamos a főátlóval (i). A „-” jel magában foglalja a másodlagos átló elemeinek () és az ezzel az átlóval párhuzamos alapokkal rendelkező háromszöget alkotó elemek szorzatait (i).
Ezt a 3. rendű determináns kiszámításának szabályát háromszögszabálynak (vagy Sarrus-szabálynak) nevezik.
A determinánsok tulajdonságai Nézzük a 3. rendű determinánsok példáját.
1. Ha a determináns összes sorát a sorokkal azonos számú oszlopokra cseréljük, a determináns nem változtatja meg az értékét, azaz. a determináns sorai és oszlopai egyenlőek
.
2. Ha két sor (oszlop) átrendeződik, a determináns megváltoztatja az előjelét.
3. Ha egy sor (oszlop) minden eleme nulla, akkor a determináns 0.
4. Egy sor (oszlop) összes elemének közös tényezője kivehető a meghatározó előjelből.
5. A két azonos sort (oszlopot) tartalmazó determináns egyenlő 0-val.
6. Egy két arányos sort (oszlopot) tartalmazó determináns egyenlő nullával.
7. Ha egy determináns egy bizonyos oszlopának (sorának) minden eleme két tag összegét jelenti, akkor a determináns egyenlő két determináns összegével, amelyek közül az egyik ugyanazon oszlop (sor) első tagját tartalmazza, a másik tartalmazza a másodikat. Mindkét determináns többi eleme megegyezik. Így,
.
8. A determináns nem változik, ha egy másik oszlop (sor) megfelelő elemeit hozzáadjuk valamelyik oszlopának (sorának) elemeihez, megszorozva ugyanazzal a számmal.
A determináns következő tulajdonsága a moll és az algebrai komplement fogalmához kapcsolódik.
Kisebb egy determináns eleme egy adott determináns, amelyet úgy kapunk, hogy áthúzzuk azt a sort és oszlopot, amelynek metszéspontjában ez az elem található.
Például a determináns mellékeleme determinánsnak nevezzük.
Algebrai komplementer egy determináns elemet molljának nevezünk szorozva ahol én- sorszám, j− annak az oszlopnak a száma, amelynek metszéspontjában az elem található. Általában algebrai komplementet jelölnek. Harmadik rendű determináns elem esetén az algebrai komplementer
9. A determináns megegyezik bármely sor (oszlop) elemeinek a megfelelő algebrai komplementerek szorzatának összegével.
Például a determináns kiterjeszthető az első sor elemeire
,
vagy a második oszlop
Kiszámításukhoz a determinánsok tulajdonságait használják.