Hogyan állapítható meg, hogy a vektorok lineárisan függőek vagy függetlenek? A vektorok lineáris függése

A vektorok lineáris függése és lineáris függetlensége.
A vektorok alapja. Affin koordinátarendszer

A nézőtéren van egy kocsi csokoládéval, és ma minden látogató kap egy édes párost - elemző geometriát lineáris algebrával. Ez a cikk a magasabb matematika két szakaszát érinti egyszerre, és látni fogjuk, hogyan léteznek együtt egy csomagban. Tarts egy kis szünetet, egyél egy Twixet! ...a fenébe is, micsoda hülyeség. Bár oké, nem pontozok, végül is pozitívan kell hozzáállni a tanuláshoz.

A vektorok lineáris függése, lineáris vektorfüggetlenség, vektor alaponés a többi kifejezésnek nemcsak geometriai értelmezése van, hanem mindenekelőtt algebrai jelentése is. Maga a „vektor” fogalma a lineáris algebra szempontjából nem mindig az a „hétköznapi” vektor, amelyet síkon vagy térben ábrázolhatunk. Nem kell messzire keresni a bizonyítékot, próbáljon meg rajzolni egy ötdimenziós tér vektorát . Vagy az időjárás vektor, amiért most mentem a Gismeteóba: hőmérséklet és légköri nyomás, ill. A példa természetesen hibás a vektortér tulajdonságai szempontjából, de ennek ellenére senki sem tiltja, hogy ezeket a paramétereket vektorként formalizáljuk. Az ősz lehelete...

Nem, nem foglak untatni elmélettel, lineáris vektorterekkel, a feladat az megért definíciók és tételek. Az új kifejezések (lineáris függés, függetlenség, lineáris kombináció, bázis stb.) algebrai szempontból minden vektorra érvényesek, de geometriai példákat is adunk. Így minden egyszerű, hozzáférhető és világos. Az analitikus geometriai problémákon kívül néhány tipikus algebrai feladatot is figyelembe veszünk. Az anyag elsajátításához tanácsos megismerkedni a leckékkel Vektorok a bábokhozÉs Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

Síkvektorok lineáris függése és függetlensége.
Síkbázis és affin koordinátarendszer

Vegyük figyelembe a számítógépasztal síkját (csak egy asztal, éjjeliszekrény, padló, mennyezet, bármi, ami tetszik). A feladat a következő műveletekből áll majd:

1) Válassza ki a sík alapját. Nagyjából elmondható, hogy az asztallapnak megvan a hossza és a szélessége, így intuitív módon két vektorra lesz szükség az alap létrehozásához. Egy vektor nyilvánvalóan nem elég, három vektor túl sok.

2) A kiválasztott alapon koordinátarendszer beállítása(koordináta rács) a koordináták hozzárendeléséhez a táblázat összes objektumához.

Ne lepődj meg, eleinte a magyarázatok az ujjakon lesznek. Ráadásul a tiéden. Kérem helyezze el bal mutatóujj az asztallap szélén úgy, hogy a monitorra néz. Ez egy vektor lesz. Most hely jobb kisujj az asztal szélén ugyanúgy - úgy, hogy az a monitor képernyőjére irányuljon. Ez egy vektor lesz. Mosolyogj, jól nézel ki! Mit mondhatunk a vektorokról? Adatvektorok kollineáris, ami azt jelenti lineáris egymáson keresztül kifejezve:
, nos, vagy fordítva: , ahol valami nullától eltérő szám.

Erről a műveletről láthat egy képet az órán. Vektorok a bábokhoz, ahol elmagyaráztam a vektor számmal való szorzásának szabályát.

Az ujjaid alapot adnak a számítógépasztal síkjára? Nyilvánvalóan nem. A kollineáris vektorok oda-vissza mozognak egyedül irányba, és egy síknak van hossza és szélessége.

Az ilyen vektorokat ún lineárisan függő.

Referencia: A „lineáris”, „lineárisan” szavak azt jelzik, hogy a matematikai egyenletekben és kifejezésekben nincsenek négyzetek, kockák, egyéb hatványok, logaritmusok, szinuszok stb. Csak lineáris (1. fokú) kifejezések és függőségek léteznek.

Két sík vektor lineárisan függő akkor és csak akkor, ha kollineárisak.

Tegye keresztbe az ujjait az asztalon úgy, hogy bármilyen szög legyen közöttük, kivéve a 0 vagy a 180 fokot. Két sík vektorlineáris Nem akkor és csak akkor függenek, ha nem kollineárisak. Tehát megvan az alap. Nem kell szégyenkezni, hogy az alap „elferdült” különböző hosszúságú, nem merőleges vektorokkal. Hamarosan látni fogjuk, hogy nem csak egy 90 fokos szög alkalmas a felépítésére, és nem csak az egyenlő hosszúságú egységvektorok

Bármi sík vektor az egyetlen módja alapja szerint bővül:
, hol vannak a valós számok. A számokat hívják vektor koordináták ezen az alapon.

Azt is mondják vektorként mutatják be lineáris kombináció bázisvektorok. Vagyis a kifejezést ún vektorbontásalapján vagy lineáris kombináció bázisvektorok.

Például elmondhatjuk, hogy a vektort a sík ortonormális bázisa mentén bontjuk fel, vagy azt, hogy vektorok lineáris kombinációjaként ábrázoljuk.

Fogalmazzuk meg alap meghatározása formálisan: A sík alapja lineárisan független (nem kollineáris) vektorpárnak nevezzük, , ahol Bármi a síkvektor bázisvektorok lineáris kombinációja.

A definíció lényeges pontja az a tény, hogy a vektorokat felvesszük egy bizonyos sorrendben. Alapok – ez két teljesen különböző alap! Ahogy mondani szokták, a bal kezed kisujját nem tudod kicserélni a jobb kezed kisujja helyett.

Az alapot kitaláltuk, de nem elég beállítani egy koordináta-rácsot és koordinátákat rendelni a számítógépasztal minden eleméhez. Miért nem elég? A vektorok szabadok és az egész síkon vándorolnak. Tehát hogyan rendelhet koordinátákat az asztal azon kis piszkos pontjaihoz, amelyek egy vad hétvége után maradnak? Kiindulási pontra van szükség. És egy ilyen tereptárgy mindenki számára ismerős pont - a koordináták eredete. Értsük meg a koordinátarendszert:

Kezdem az „iskolai” rendszerrel. Már a bevezető órán Vektorok a bábokhoz Rávilágítottam néhány különbségre a derékszögű koordinátarendszer és az ortonormális bázis között. Íme a standard kép:

Amikor arról beszélnek derékszögű koordinátarendszer, akkor leggyakrabban az origót, a koordinátatengelyeket és a tengelyek menti léptéket jelentik. Próbáld meg beírni a keresőbe a „téglalap koordinátarendszer” kifejezést, és látni fogod, hogy sok forrás leírja az 5-6. osztályból ismert koordinátatengelyeket és a pontok síkon való ábrázolását.

Másrészt úgy tűnik, hogy egy derékszögű koordinátarendszer teljesen meghatározható ortonormális alapon. És ez majdnem igaz. A megfogalmazás a következő:

eredet, És ortonormális az alap meg van állítva Derékszögű derékszögű sík koordinátarendszer . Vagyis a derékszögű koordináta-rendszer egyértelműen egy pont és két egységnyi ortogonális vektor határozza meg. Ezért látja azt a rajzot, amelyet fentebb megadtam - a geometriai feladatokban gyakran (de nem mindig) mind a vektorokat, mind a koordinátatengelyeket megrajzolják.

Szerintem mindenki érti, hogy pont (eredet) és ortonormális alapot használunk BÁRMILYEN PONT a gépen és BÁRMILYEN VEKTOR a gépen koordinátákat lehet hozzárendelni. Képletesen szólva: „a repülőgépen minden megszámlálható”.

A koordinátavektoroknak egységnek kell lenniük? Nem, tetszőleges nullától eltérő hosszúságúak lehetnek. Tekintsünk egy pontot és két tetszőleges, nullától eltérő hosszúságú merőleges vektort:

Az ilyen alapot az ún ortogonális. A vektoros koordináták origóját egy koordinátarács határozza meg, és a sík bármely pontjának, bármely vektornak adott alapon megvannak a koordinátái. Például, ill. A nyilvánvaló kellemetlenség az, hogy a koordinátavektorok általában az egységtől eltérő hosszúságúak. Ha a hosszúságok egyenlőek egységgel, akkor a szokásos ortonormális alapot kapjuk.

! jegyzet : az ortogonális alapon, valamint alatta a sík és tér affin alapjaiban a tengelyek mentén lévő egységeket kell figyelembe venni FELTÉTELES. Például egy egység az x tengely mentén 4 cm-t, egy az ordináta tengely mentén 2 cm-t tartalmaz. Ez az információ elegendő ahhoz, hogy szükség esetén a „nem szabványos” koordinátákat „szokásos centiméterekre” alakítsuk át.

A második kérdés, amelyre tulajdonképpen már válaszoltunk, az, hogy az alapvektorok közötti szögnek 90 fokkal kell-e egyenlőnek lennie? Nem! A definíció szerint a bázisvektoroknak olyanoknak kell lenniük csak nem kollineáris. Ennek megfelelően a szög bármi lehet, kivéve 0 és 180 fokot.

Egy pont a gépen ún eredet, És nem kollineáris vektorok, , készlet affin sík koordinátarendszer :

Néha egy ilyen koordináta-rendszert hívnak ferde rendszer. Példaként a rajz pontokat és vektorokat mutat be:

Mint érti, az affin koordinátarendszer még kevésbé kényelmes a vektorok és szegmensek hosszára vonatkozó képletek, amelyeket a lecke második részében tárgyaltunk, nem működnek benne; Vektorok a bábokhoz, sok finom képlet kapcsolódó vektorok skaláris szorzata. De érvényesek a vektorok összeadására és a vektorok számmal való szorzására vonatkozó szabályok, a szegmens elosztásának képletei ebben a relációban, valamint néhány más típusú probléma, amelyet hamarosan megvizsgálunk.

És a következtetés az, hogy az affin koordinátarendszer legkényelmesebb speciális esete a derékszögű téglalaprendszer. Ezért kell legtöbbször látnod őt, kedvesem. ...Azonban ebben az életben minden relatív – sok olyan helyzet van, amikor egy ferde szög (vagy valami más pl. poláris) koordináta-rendszer. És a humanoidoknak tetszhetnek az ilyen rendszerek =)

Térjünk át a gyakorlati részre. Ebben a leckében minden probléma érvényes mind a téglalap alakú koordináta-rendszerre, mind az általános affin esetre. Nincs itt semmi bonyolult, minden anyag elérhető még egy iskolás számára is.

Hogyan határozható meg a síkvektorok kollinearitása?

Tipikus dolog. Két síkvektor érdekében kollineárisak, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek Lényegében ez a nyilvánvaló kapcsolat koordinátánkénti részletezése.

1. példa

a) Ellenőrizze, hogy a vektorok kollineárisak-e .
b) A vektorok alkotnak bázist? ?

Megoldás:
a) Nézzük meg, hogy létezik-e vektorokra arányossági együttható, hogy az egyenlőségek teljesüljenek:

Mindenképpen elmesélem ennek a szabálynak a „foppis” változatát, amely a gyakorlatban elég jól működik. Az ötlet az, hogy azonnal alakítsuk ki az arányt, és nézzük meg, hogy helyes-e:

Készítsünk arányt a vektorok megfelelő koordinátáinak arányaiból:

Rövidítsük le:
, így a megfelelő koordináták arányosak, ezért

A kapcsolat fordítva is elkészíthető, ez egy megfelelő lehetőség:

Az önteszthez felhasználhatja azt a tényt, hogy a kollineáris vektorok lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Ebben az esetben az egyenlőségek megtörténnek . Érvényességük egyszerűen ellenőrizhető vektoros elemi műveletekkel:

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Megvizsgáljuk a vektorokat a kollinearitás szempontjából . Hozzunk létre egy rendszert:

Az első egyenletből az következik, hogy a második egyenletből az következik, hogy a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a vektorok megfelelő koordinátái nem arányosak.

Következtetés: a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

A megoldás egyszerűsített változata így néz ki:

Készítsünk arányt a vektorok megfelelő koordinátáiból :
, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

Ezt a lehetőséget általában nem utasítják el a véleményezők, de probléma merül fel olyan esetekben, amikor néhány koordináta nullával egyenlő. Mint ez: . Vagy így: . Vagy így: . Hogyan lehet itt az arányokat átdolgozni? (valóban, nem lehet nullával osztani). Emiatt neveztem az egyszerűsített megoldást „foppish”-nak.

Válasz: a) , b) forma.

Egy kis kreatív példa a saját megoldásodhoz:

2. példa

A paraméter melyik értékénél vannak a vektorok kollineárisak lesznek?

A mintamegoldásban a paramétert az arányon keresztül találjuk meg.

Van egy elegáns algebrai módszer a vektorok kollinearitásának ellenőrzésére. Rendszerezzük tudásunkat, és adjuk hozzá ötödik pontként:

Két síkvektorra a következő állítások ekvivalensek:

2) a vektorok bázist alkotnak;
3) a vektorok nem kollineárisak;

+ 5) ezen vektorok koordinátáiból álló determináns nem nulla.

Illetőleg, a következő ellentétes állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függőek;
2) a vektorok nem képeznek bázist;
3) a vektorok kollineárisak;
4) a vektorok egymáson keresztül lineárisan kifejezhetők;
+ 5) ezen vektorok koordinátáiból álló determináns egyenlő nullával.

Nagyon-nagyon remélem, hogy mostanra már megértette az összes olyan kifejezést és kijelentést, amellyel találkozott.

Nézzük meg közelebbről az új, ötödik pontot: két síkvektor akkor és csak akkor kollineárisak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:. Ennek a funkciónak a használatához természetesen tudnia kell meghatározó tényezőket találni.

Döntsünk 1. példa a második módon:

a) Számítsuk ki a vektorok koordinátáiból álló determinánst! :
, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok kollineárisak.

b) Két síkvektor képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst :
, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

Válasz: a) , b) forma.

Sokkal kompaktabbnak és szebbnek tűnik, mint egy arányos megoldás.

A vizsgált anyag segítségével nemcsak a vektorok kollinearitása állapítható meg, hanem a szakaszok és egyenesek párhuzamossága is igazolható. Nézzünk meg néhány problémát konkrét geometriai alakzatokkal.

3. példa

A négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy egy négyszög paralelogramma.

Bizonyíték: Nem kell rajzot készíteni a feladatban, mivel a megoldás pusztán analitikus lesz. Emlékezzünk a paralelogramma definíciójára:
Paralelogramma Olyan négyszöget nevezünk, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

Ezért be kell bizonyítani:
1) ellentétes oldalak párhuzamossága és;
2) ellentétes oldalak párhuzamossága és.

Bebizonyítjuk:

1) Keresse meg a vektorokat:

2) Keresse meg a vektorokat:

Az eredmény ugyanaz a vektor („iskola szerint” – egyenlő vektorok). A kollinearitás teljesen nyilvánvaló, de jobb, ha a döntést egyértelműen, elrendezéssel formalizáljuk. Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst:
, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok kollineárisak, és .

Következtetés: A négyszög szemközti oldalai páronként párhuzamosak, ami azt jelenti, hogy definíció szerint paralelogramma. Q.E.D.

További jó és különböző figurák:

4. példa

A négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy egy négyszög trapéz.

A bizonyítás szigorúbb megfogalmazásához természetesen jobb, ha megkapjuk a trapéz definícióját, de elég egyszerűen emlékezni arra, hogyan néz ki.

Ezt a feladatot egyedül kell megoldania. Teljes megoldás a lecke végén.

És most itt az ideje, hogy lassan mozogjunk a síkból az űrbe:

Hogyan határozható meg a térvektorok kollinearitása?

A szabály nagyon hasonló. Ahhoz, hogy két térvektor kollineáris legyen, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.

5. példa

Nézze meg, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:

A) ;
b)
V)

Megoldás:
a) Ellenőrizzük, hogy van-e arányossági együttható a vektorok megfelelő koordinátáira:

A rendszernek nincs megoldása, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Az „egyszerűsített” az arány ellenőrzésével formalizálódik. Ebben az esetben:
– a megfelelő koordináták nem arányosak, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Válasz: a vektorok nem kollineárisak.

b-c) Ezek az önálló döntés pontjai. Próbálja ki kétféleképpen.

Létezik egy módszer a térbeli vektorok kollinearitásának ellenőrzésére egy harmadrendű determináns segítségével Vektor vektor szorzata.

A sík esethez hasonlóan a vizsgált eszközökkel térbeli szakaszok és egyenesek párhuzamossága is vizsgálható.

Üdvözöljük a második részben:

Vektorok lineáris függése és függetlensége háromdimenziós térben.
Téralap és affin koordinátarendszer

A síkon megvizsgált minták közül sok érvényes lesz a térben. Igyekeztem minimalizálni az elméleti jegyzeteket, hiszen az információk oroszlánrészét már megrágták. Azt javaslom azonban, hogy figyelmesen olvassa el a bevezető részt, mert új kifejezések, fogalmak jelennek meg.

Most a számítógépasztal síkja helyett a háromdimenziós teret vizsgáljuk. Először is hozzuk létre az alapot. Valaki most bent van, valaki kint, de mindenesetre nem kerülhetjük el a három dimenziót: szélesség, hosszúság és magasság. Ezért egy bázis felépítéséhez három térbeli vektorra lesz szükség. Egy-két vektor nem elég, a negyedik felesleges.

És megint az ujjainkon melegedünk. Kérjük, emelje fel a kezét, és ossza szét különböző irányokba hüvelykujj, mutató és középső ujj. Ezek vektorok lesznek, különböző irányokba néznek, különböző hosszúságúak és különböző szögek vannak közöttük. Gratulálunk, a háromdimenziós tér alapja készen áll! Egyébként ezt nem kell a tanároknak demonstrálni, hiába csavarod az ujjaidat, de a definíciók elől nem lehet megkerülni =)

Ezután tegyünk fel magunknak egy fontos kérdést: alkot-e bármely három vektor a háromdimenziós tér bázisát? Nyomja meg három ujját határozottan a számítógépasztal tetejére. Mi történt? Három vektor található ugyanabban a síkban, és durván szólva elvesztettük az egyik dimenziót - a magasságot. Ilyen vektorok egysíkúés teljesen nyilvánvaló, hogy a háromdimenziós tér alapja nem jön létre.

Meg kell jegyezni, hogy a koplanáris vektoroknak nem kell ugyanabban a síkban feküdniük, lehetnek párhuzamos síkokban is (csak ne az ujjaival tegye ezt, csak Salvador Dali tette ezt =)).

Meghatározás: vektorokat hívjuk egysíkú, ha van olyan sík, amellyel párhuzamosak. Itt logikus hozzátenni, hogy ha ilyen sík nem létezik, akkor a vektorok nem lesznek egysíkúak.

Három koplanáris vektor mindig lineárisan függ, azaz lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Az egyszerűség kedvéért képzeljük el újra, hogy ugyanabban a síkban fekszenek. Először is, a vektorok nemcsak egysíkúak, hanem lehetnek kollineárisak is, majd bármely vektor kifejezhető bármely vektoron keresztül. A második esetben, ha például a vektorok nem kollineárisak, akkor a harmadik vektor egyedi módon fejeződik ki rajtuk: (és miért, azt az előző rész anyagaiból könnyű kitalálni).

Ez fordítva is igaz: három nem egysíkú vektor mindig lineárisan független, vagyis semmiképpen sem fejeződnek ki egymáson keresztül. És nyilvánvalóan csak ilyen vektorok képezhetik a háromdimenziós tér alapját.

Meghatározás: A háromdimenziós tér alapja lineárisan független (nem egysíkú) vektorok hármasának nevezzük, meghatározott sorrendben szedve, és a tér bármely vektora az egyetlen módja egy adott bázisra van felbontva, hol vannak a vektor koordinátái ebben a bázisban

Hadd emlékeztesselek arra, hogy azt is mondhatjuk, hogy a vektor az alakban van ábrázolva lineáris kombináció bázisvektorok.

A koordináta-rendszer fogalmát pontosan ugyanúgy vezetjük be, mint a sík esetében, és elegendő egy pont és bármelyik három lineárisan független vektor:

eredet, És nem egysíkú vektorok, meghatározott sorrendben szedve, készlet háromdimenziós tér affin koordinátarendszere :

Természetesen a koordináta rács „ferde” és kényelmetlen, de ennek ellenére a felépített koordinátarendszer lehetővé teszi egyértelműen meghatározza bármely vektor koordinátáit és a tér bármely pontjának koordinátáit. A síkhoz hasonlóan néhány képlet, amit már említettem, nem fog működni a tér affin koordinátarendszerében.

Az affin koordinátarendszer legismertebb és legkényelmesebb speciális esete, ahogy mindenki sejti, az derékszögű tér koordinátarendszer:

Egy pont a térben ún eredet, És ortonormális az alap meg van állítva Derékszögű derékszögű tér koordinátarendszer . Ismerős kép:

Mielőtt rátérnénk a gyakorlati feladatokra, ismételten rendszerezzük az információkat:

Három térvektorra a következő állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függetlenek;
2) a vektorok bázist alkotnak;
3) a vektorok nem egysíkúak;
4) a vektorok nem fejezhetők ki lineárisan egymáson keresztül;
5) a determináns, amely ezen vektorok koordinátáiból áll, különbözik nullától.

Szerintem az ellenkező állítások érthetőek.

A térvektorok lineáris függését/függetlenségét hagyományosan determináns segítségével ellenőrzik (5. pont). A fennmaradó gyakorlati feladatok kifejezetten algebrai jellegűek lesznek. Ideje letenni a geometria botot, és hadonászni a lineáris algebra baseballütőjével:

Három térvektor akkor és csak akkor koplanárisak, ha az adott vektorok koordinátáiból álló determináns nulla: .

Egy apró technikai árnyalatra szeretném felhívni a figyelmet: a vektorok koordinátái nem csak oszlopokba, hanem sorokba is írhatók (a determináns értéke ettől nem fog változni - lásd a determinánsok tulajdonságait). De sokkal jobb az oszlopokban, mivel előnyösebb néhány gyakorlati probléma megoldásában.

Azoknak az olvasóknak, akik egy kicsit elfelejtették a determinánsok kiszámításának módszereit, és talán egyáltalán nem értenek hozzájuk, ajánlom egyik legrégebbi leckémet: Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

6. példa

Ellenőrizze, hogy a következő vektorok képezik-e a háromdimenziós tér alapját:

Megoldás: Valójában a teljes megoldás a determináns kiszámításán múlik.

a) Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst (a determináns az első sorban látható):

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek (nem koplanárisak), és a háromdimenziós tér alapját képezik.

Válasz: ezek a vektorok alapot képeznek

b) Ez egy önálló döntési pont. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Vannak kreatív feladatok is:

7. példa

A paraméter mekkora értékénél lesznek a vektorok egysíkúak?

Megoldás: A vektorok akkor és csak akkor síkbeliek, ha ezen vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:

Lényegében meg kell oldani egy egyenletet egy determinánssal. Lecsapunk a nullákra, mint a sárkányok a jerboákra – a legjobb, ha megnyitjuk a meghatározót a második sorban, és azonnal megszabadulunk a mínuszoktól:

További egyszerűsítéseket hajtunk végre, és a dolgot a legegyszerűbb lineáris egyenletre redukáljuk:

Válasz: nál nél

Itt egyszerű ellenőrizni, hogy a kapott értéket be kell cserélnie az eredeti determinánsba, és meg kell győződnie arról , nyissa ki újra.

Végezetül megvizsgálunk egy másik tipikus problémát, amely inkább algebrai jellegű, és hagyományosan a lineáris algebrai kurzusban szerepel. Annyira elterjedt, hogy megérdemelné a saját témáját:

Bizonyítsuk be, hogy 3 vektor alkotja a háromdimenziós tér alapját
és ebben a bázisban keressük meg a 4. vektor koordinátáit

8. példa

Vektorok megadva. Mutassuk meg, hogy a vektorok bázist képeznek a háromdimenziós térben, és keressük meg a vektor koordinátáit ebben a bázisban.

Megoldás: Először is foglalkozzunk a feltétellel. Feltétel szerint négy vektor adott, és mint látható, ezeknek már van koordinátájuk valamilyen bázison. Hogy mi ez az alap, az minket nem érdekel. És a következő dolog érdekes: három vektor új alapot képezhet. És az első szakasz teljesen egybeesik a 6. példa megoldásával, ellenőrizni kell, hogy a vektorok valóban lineárisan függetlenek-e:

Számítsuk ki a vektorkoordinátákból álló determinánst:

, ami azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek és a háromdimenziós tér alapját képezik.

! Fontos : vektor koordináták Szükségszerűenírd le oszlopokba determináns, nem karakterláncokban. Ellenkező esetben zavar lép fel a további megoldási algoritmusban.

A vektorrendszert ún lineárisan függő, ha vannak olyan számok, amelyek közül legalább az egyik különbözik a nullától, úgy, hogy az egyenlőség https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Ha ez az egyenlőség csak abban az esetben teljesül, ha mind, akkor a vektorrendszert hívjuk lineárisan független.

Tétel. A vektorrendszer lesz lineárisan függő akkor és csak akkor, ha legalább egy vektora a többi lineáris kombinációja.

1. példa Polinom a polinomok lineáris kombinációja https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. A polinomok lineárisan független rendszert alkotnak, mivel a https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24"> polinom.

2. példa A , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> mátrixrendszer lineárisan független, mivel egy lineáris kombináció egyenlő a nulla mátrix csak abban az esetben, ha https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> lineárisan függő.

Megoldás.

Készítsünk lineáris kombinációt ezekből a vektorokból https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" magasság=" 22">.

Egyenlő vektorok azonos koordinátáival a következőt kapjuk: https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Végre megkapjuk

És

A rendszernek egyedi triviális megoldása van, így ezen vektorok lineáris kombinációja csak abban az esetben egyenlő nullával, ha minden együttható nulla. Ezért ez a vektorrendszer lineárisan független.

4. példa A vektorok lineárisan függetlenek. Milyenek lesznek a vektorrendszerek?

a);

b).?

Megoldás.

a) Készítsünk lineáris kombinációt, és egyenlőségjelet adjunk nullához

A lineáris térbeli vektorokkal végzett műveletek tulajdonságait felhasználva átírjuk a formába az utolsó egyenlőséget

Mivel a vektorok lineárisan függetlenek, a at együtthatóknak nullának kell lenniük, azaz.gif" width="12" height="23 src=">

Az így kapott egyenletrendszer egyedi triviális megoldással rendelkezik .

Az egyenlőség óta (*) csak akkor kerül végrehajtásra, ha https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – lineárisan független;

b). Készítsünk egyenlőséget https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Hasonló érvelést alkalmazva azt kapjuk, hogy

Az egyenletrendszert Gauss-módszerrel megoldva megkapjuk

vagy

Ez utóbbi rendszernek végtelen számú megoldása van https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Így van egy nem- az együtthatók nulla halmaza, amelyre érvényes az egyenlőség (**) . Ezért a vektorok rendszere – lineárisan függő.

5. példa A vektorrendszer lineárisan független, a vektorrendszer pedig lineárisan függő..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Egyenjogúságban (***) . Valójában a rendszer lineárisan függő lenne.

A kapcsolatból (***) kapunk vagy Jelöljük .

Kapunk

Önálló megoldási feladatok (tanteremben)

1. Egy nulla vektort tartalmazó rendszer lineárisan függő.

2. Egy vektorból álló rendszer A, akkor és csak akkor lineárisan függ, a=0.

3. Egy két vektorból álló rendszer akkor és csak akkor lineárisan függ, ha a vektorok arányosak (vagyis az egyiket a másikból egy számmal való szorzással kapjuk meg).

4. Ha hozzáadunk egy vektort egy lineárisan függő rendszerhez, akkor egy lineárisan függő rendszert kapunk.

5. Ha egy vektort eltávolítunk egy lineárisan független rendszerből, akkor a kapott vektorrendszer lineárisan független.

6. Ha a rendszer S lineárisan független, de vektor összeadásakor lineárisan függővé válik b, majd a vektor b rendszervektorokon keresztül lineárisan kifejezve S.

c). Mátrixrendszer , , másodrendű mátrixok terében.

10. Legyen a vektorrendszer a,b,c A vektortér lineárisan független. Igazolja a következő vektorrendszerek lineáris függetlenségét:

a)a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– tetszőleges szám

c).a+b, a+c, b+c.

11. Hadd a,b,c– három vektor a síkon, amelyekből háromszöget lehet alkotni. Lineárisan függenek ezek a vektorok?

12. Két vektor adott a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Keress még két négydimenziós vektort a3 ésa4 hogy a rendszer a1,a2,a3,a4 lineárisan független volt .

Ebben a cikkben a következőkre térünk ki:

• mik azok a kollineáris vektorok;
• melyek a vektorok kollinearitásának feltételei;
• milyen tulajdonságai vannak a kollineáris vektoroknak;
• mekkora a kollineáris vektorok lineáris függése.

A kollineáris vektorok olyan vektorok, amelyek párhuzamosak egy egyenessel vagy egy egyenesen fekszenek.

1. példa

A vektorok kollinearitásának feltételei

Két vektor kollineáris, ha a következő feltételek bármelyike ​​teljesül:

• 1. feltétel . Az a és b vektorok kollineárisak, ha van olyan λ szám, amelyre a = λ b;
• 2. feltétel . Az a és b vektorok kollineárisak, egyenlő koordináta-arányokkal:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• 3. feltétel . Az a és b vektorok kollineárisak, feltéve, hogy a keresztszorzat és a nulla vektor egyenlő:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

1. megjegyzés

2. feltétel nem alkalmazható, ha az egyik vektorkoordináta nulla.

Jegyzet 2

3. feltétel csak azokra a vektorokra vonatkozik, amelyek a térben vannak megadva.

Példák a vektorok kollinearitásának tanulmányozására szolgáló problémákra

Megvizsgáljuk az a = (1; 3) és b = (2; 1) vektorokat a kollinearitás szempontjából.

Hogyan lehet megoldani?

Ebben az esetben a 2. kollinearitási feltételt kell használni. Adott vektoroknál ez így néz ki:

Az egyenlőség hamis. Ebből arra következtethetünk, hogy az a és b vektorok nem kollineárisak.

Válasz : a | | b

2. példa

Mekkora m értéke szükséges az a = (1; 2) és b = (- 1; m) vektornak ahhoz, hogy a vektorok kollineárisak legyenek?

Hogyan lehet megoldani?

A második kollinearitási feltételt használva a vektorok kollineárisak lesznek, ha koordinátáik arányosak:

Ez azt mutatja, hogy m = -2.

Válasz: m = -2.

A vektorrendszerek lineáris függésének és lineáris függetlenségének kritériumai

Egy vektortérben lévő vektorrendszer csak akkor lineárisan függő, ha a rendszer egyik vektora kifejezhető a rendszer többi vektorával.

Bizonyíték

Legyen a rendszer e 1 , e 2 , . . . , e n lineárisan függő. Írjuk fel ennek a rendszernek a nulla vektorral egyenlő lineáris kombinációját:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

amelyben a kombinációs együtthatók legalább egyike nem egyenlő nullával.

Legyen a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk egy nem nulla együtthatóval:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Jelöljük:

A k - 1 a m , ahol m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Ebben az esetben:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

vagy e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Ebből következik, hogy a rendszer egyik vektora a rendszer összes többi vektorán keresztül fejeződik ki. Amit bizonyítani kellett (stb.).

Megfelelőség

Legyen az egyik vektor lineárisan kifejezve a rendszer összes többi vektorán keresztül:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Az e k vektort ennek az egyenlőségnek a jobb oldalára mozgatjuk:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Mivel az e k vektor együtthatója egyenlő -1 ≠ 0, a nulla nem triviális reprezentációját kapjuk az e 1, e 2, vektorok rendszerével. . . , e n , és ez viszont azt jelenti, hogy ez a vektorrendszer lineárisan függő. Amit bizonyítani kellett (stb.).

Következmény:

• Egy vektorrendszer lineárisan független, ha egyik vektora sem fejezhető ki a rendszer összes többi vektorával.
• Egy nulla vektort vagy két egyenlő vektort tartalmazó vektorrendszer lineárisan függő.

Lineárisan függő vektorok tulajdonságai

1. A 2- és 3-dimenziós vektorok esetében a következő feltétel teljesül: két lineárisan függő vektor kollineáris. Két kollineáris vektor lineárisan függ.
2. A 3-dimenziós vektorok esetében a következő feltétel teljesül: három lineárisan függő vektor egysíkú. (3 koplanáris vektor lineárisan függő).
3. N-dimenziós vektorok esetén a következő feltétel teljesül: n + 1 vektor mindig lineárisan függ.

Példák a vektorok lineáris függésével vagy lineáris függetlenségével járó problémák megoldására

Ellenőrizzük az a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 vektorok lineáris függetlenségét.

Megoldás. A vektorok lineárisan függőek, mivel a vektorok mérete kisebb, mint a vektorok száma.

4. példa

Ellenőrizzük az a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 vektorok lineáris függetlenségét.

Megoldás. Megtaláljuk azoknak az együtthatóknak az értékeit, amelyeknél a lineáris kombináció egyenlő lesz a nulla vektorral:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

A vektoregyenletet lineáris formában írjuk fel:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ezt a rendszert Gauss-módszerrel oldjuk meg:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

A 2. sorból kivonjuk az 1-et, a 3-ból az 1-et:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Az 1. sorból kivonjuk a 2-at, a 3-ashoz adjuk a 2-at:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

A megoldásból az következik, hogy a rendszernek számos megoldása van. Ez azt jelenti, hogy létezik olyan x 1, x 2, x 3 számok értékeinek nullától eltérő kombinációja, amelyeknél a, b, c lineáris kombinációja egyenlő a nulla vektorral. Ezért az a, b, c vektorok lineárisan függő. ​​​​​​​

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Hadd L egy tetszőleges lineáris tér, a én Î L,- elemei (vektorai).

Meghatározás 3.3.1. Kifejezés , Ahol , - tetszőleges valós számok, úgynevezett lineáris kombinációk vektorok a 1, a 2,…, a n.

Ha a vektor R = , akkor azt mondják R vektorokra bomlik a 1, a 2,…, a n.

Meghatározás 3.3.2. A vektorok lineáris kombinációját nevezzük nem triviális, ha a számok között van legalább egy nullától eltérő. Ellenkező esetben a lineáris kombinációt ún jelentéktelen.

3. definíció.3.3 . Vektorok a 1 , a 2 ,…, a n lineárisan függőnek nevezzük, ha létezik ezeknek olyan nemtriviális lineáris kombinációja, hogy

= 0 .

3. definíció.3.4. Vektorok a 1 ,a 2 ,…, a n lineárisan függetlennek nevezzük, ha az egyenlőség = 0 csak abban az esetben lehetséges, ha az összes szám l 1, l 2,…, l n egyidejűleg egyenlők nullával.

Vegyük észre, hogy bármely nem nulla elem a 1 lineárisan független rendszernek tekinthető, mivel az egyenlőség l a 1 = 0 csak akkor lehetséges l= 0.

3.3.1. tétel. A lineáris függés szükséges és elégséges feltétele a 1 , a 2 ,…, a n az a lehetőség, hogy ezen elemek közül legalább egyet a többire bontsunk.

Bizonyíték. Szükségesség. Legyen az a 1 , a 2 ,…, a elemek n lineárisan függő. Ez azt jelenti = 0 , és legalább az egyik szám l 1, l 2,…, l n különbözik a nullától. A bizonyosság kedvéért hagyjuk l 1 ¹ 0. Akkor

azaz az a 1 elemet a 2 , a 3 , …, a elemekre bontjuk n.

Megfelelőség. Bontsuk az a 1 elemet a 2 , a 3 , …, a elemekre n, azaz egy 1 = . Akkor = 0 ezért létezik a 1 , a 2 ,…, a vektorok nem triviális lineáris kombinációja n, egyenlő 0 , tehát lineárisan függenek .

3.3.2. Tétel. Ha legalább az egyik elem a 1 , a 2 ,…, a n nulla, akkor ezek a vektorok lineárisan függenek.

Bizonyíték . Hadd a n= 0 , akkor = 0 , ami ezen elemek lineáris függését jelenti.

Tétel 3.3.3. Ha n vektorok között van p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Bizonyíték. Legyen a határozottság kedvéért az a 1 , a 2 ,…, a elemek p lineárisan függő. Ez azt jelenti, hogy létezik egy olyan nem triviális lineáris kombináció, hogy = 0 . A megadott egyenlőség megmarad, ha mindkét részéhez hozzáadjuk az elemet. Akkor + = 0 , és legalább az egyik szám l 1, l 2,…, lp különbözik a nullától. Ezért az a 1 , a 2 ,…, a vektorok n lineárisan függőek.

Következmény 3.3.1. Ha n elem lineárisan független, akkor bármelyik k lineárisan független (k< n).

Tétel 3.3.4. Ha a vektorok a 1, a 2,…, a n- 1 lineárisan függetlenek, és az elemek a 1, a 2,…, a n- 1, a n lineárisan függő, akkor a vektor a n vektorokká bővíthető a 1, a 2,…, a n- 1 .

Bizonyíték. Mivel a feltétel szerint a 1 , a 2 ,…, a n- 1, a n lineárisan függőek, akkor létezik ezek nemtriviális lineáris kombinációja = 0 , és (egyébként az a 1 , a 2 ,…, a vektorok lineárisan függőnek bizonyulnak n- 1). De akkor a vektor

Q.E.D.

Más szóval, egy vektorcsoport lineáris függése azt jelenti, hogy van közöttük olyan vektor, amelyet a csoport más vektorainak lineáris kombinációjával lehet ábrázolni.

Mondjuk. Akkor

Ezért a vektor x lineárisan függ ennek a csoportnak a vektoraitól.

Vektorok x, y, ..., z lineárisnak nevezzük független vektorok, ha a (0) egyenlőségből az következik

α=β= ...= γ=0.

Ez azt jelenti, hogy a vektorcsoportok lineárisan függetlenek, ha egyetlen vektor sem ábrázolható más vektorok lineáris kombinációjával ebben a csoportban.

Vektorok lineáris függésének meghatározása

Legyen megadva m n rendű karakterláncvektor:

A Gauss-féle kivételt követően a (2) mátrixot felső háromszög alakúra redukáljuk. Az utolsó oszlop elemei csak a sorok átrendezése esetén változnak. M eltávolítási lépés után a következőket kapjuk:

Ahol én 1 , én 2 , ..., én m - lehetséges sorátrendezésből kapott sorindexek. Figyelembe véve a sorindexekből kapott sorokat, kizárjuk azokat, amelyek a nulla sorvektornak felelnek meg. A fennmaradó vonalak lineárisan független vektorokat alkotnak. Vegye figyelembe, hogy a (2) mátrix összeállítása során a sorvektorok sorrendjének megváltoztatásával egy másik lineárisan független vektorcsoportot kaphat. De az altér, amelyet mindkét vektorcsoport alkot, egybeesik.