Bizonyítsuk be, hogy a vektorok lineárisan függetlenek. Egy vektorrendszer lineáris függése és lineáris függetlensége

Hadd L – lineáris tér a mező felett R . Hadd А1, а2, …, аn (*) véges vektorrendszer -ból L . Vektor BAN BEN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) hívják vektorok lineáris kombinációja ( *), vagy azt mondják, hogy vektor BAN BEN vektorrendszeren keresztül lineárisan kifejezve (*).

14. definíció. A (*) vektorrendszert ún Lineárisan függő , akkor és csak akkor, ha létezik az a1, a2, … együtthatók nullától eltérő halmaza, olyan, hogy a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Ha a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, akkor a (*) rendszer meghívásra kerül Lineárisan független.

A lineáris függés és függetlenség tulajdonságai.

10. Ha egy vektorrendszer nulla vektort tartalmaz, akkor az lineárisan függő.

Valóban, ha a (*) rendszerben a vektor A1 = 0, Ez 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × Аn = 0 .

20. Ha egy vektorrendszer két arányos vektort tartalmaz, akkor lineárisan függő.

Hadd A1 = L×a2. Aztán 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Egy véges vektorrendszer (*) n ³ 2-re akkor és csak akkor lineárisan függ, ha legalább egy vektora a rendszer többi vektorának lineáris kombinációja.

Þ Legyen (*) lineárisan függő. Ekkor van egy nullától eltérő a1, a2, …, an együtthatók, amelyekre a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy a1 ¹ 0. Akkor létezik A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Szóval, vektor A1 a fennmaradó vektorok lineáris kombinációja.

Ü Legyen az egyik vektor (*) a többi vektor lineáris kombinációja. Feltételezhetjük, hogy ez az első vektor, azaz. A1 = B2 A2+ … + milliárd A N, tehát (–1)× A1 + b2 A2+ … + milliárd A N= 0 , azaz a (*) lineárisan függő.

Megjegyzés. Az utolsó tulajdonságot felhasználva meghatározhatjuk egy végtelen vektorrendszer lineáris függését és függetlenségét.

15. definíció. Vektoros rendszer А1, а2, …, аn , … (**) nak, nek hívják Lineárisan függő, Ha legalább egy vektora valamilyen véges számú másik vektor lineáris kombinációja. Ellenkező esetben a rendszer (**) meghívásra kerül Lineárisan független.

40. Egy véges vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha egyetlen vektora sem fejezhető ki lineárisan a fennmaradó vektoraival.

50. Ha egy vektorrendszer lineárisan független, akkor bármelyik alrendszere is lineárisan független.

60. Ha egy adott vektorrendszer valamely alrendszere lineárisan függő, akkor az egész rendszer is lineárisan függő.

Legyen két vektorrendszer adott А1, а2, …, аn , … (16) és В1, В2, …, Вs, … (17). Ha a (16) rendszer minden vektora a (17) rendszer véges számú vektorának lineáris kombinációjaként ábrázolható, akkor a (17) rendszerről azt mondjuk, hogy a (16) rendszeren keresztül lineárisan fejeződik ki.

16. definíció. A két vektorrendszert ún Egyenértékű , ha mindegyiket lineárisan fejezzük ki a másikon keresztül.

9. tétel (alapvető lineáris függési tétel).

Hadd legyen – két véges vektorrendszerből L . Ha az első rendszer lineárisan független és a másodikon keresztül lineárisan fejeződik ki, akkor N£s.

Bizonyíték. Tegyünk úgy, mintha N> S. A tétel feltételei szerint

közös Mivel az egyenletek száma nagyobb, mint az ismeretlenek száma, a rendszernek végtelen sok megoldása van. Ezért van egy nem nulla X10, x20, …, xN0. Ezekre az értékekre a (18) egyenlőség lesz igaz, ami ellentmond annak, hogy a vektorrendszer lineárisan független. Tehát a feltevésünk téves. Ennélfogva, N£s.

Következmény. Ha két ekvivalens vektorrendszer véges és lineárisan független, akkor ugyanannyi vektort tartalmaznak.

17. meghatározás. A vektorrendszert ún Maximális lineárisan független vektorrendszer Lineáris tér L , ha lineárisan független, de ha tetszőleges vektort adunk hozzá L , amely nem szerepel ebben a rendszerben, lineárisan függővé válik.

10. tétel. Tetszőleges két véges maximális lineárisan független vektorrendszer L Tartalmazzon ugyanannyi vektort.

Bizonyíték Ebből következik, hogy bármely két maximálisan lineárisan független vektorrendszer ekvivalens .

Könnyű bizonyítani, hogy bármely lineárisan független térvektorrendszer L ebben a térben egy maximális lineárisan független vektorrendszerré bővíthető.

Példák:

1. Az összes kollineáris geometriai vektor halmazában bármely rendszer, amely egy nem nulla vektorból áll, maximálisan lineárisan független.

2. Az összes koplanáris geometriai vektor halmazában bármely két nem kollineáris vektor alkot egy maximális lineárisan független rendszert.

3. A háromdimenziós euklideszi tér összes lehetséges geometriai vektorának halmazában bármely három nem egysíkú vektorból álló rendszer maximálisan lineárisan független.

4. Az összes polinom halmazában a fokok nem magasabbak, mint N Valós (komplex) együtthatókkal, polinomrendszerrel 1, x, x2, … , xn Maximálisan lineárisan független.

5. Az összes valós (komplex) együtthatós polinom halmazában a maximális lineárisan független rendszer példái

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N,...

6. Méretmátrixok halmaza M´ N egy lineáris tér (ellenőrizd ezt). Egy maximális lineárisan független rendszerre példa ebben a térben a mátrixrendszer E11= , E12 =, …, EMn = .

Legyen adott egy vektorrendszer C1, c2, …, vö (*). A vektorok alrendszerét (*) nevezzük Maximum lineárisan független Alrendszer Rendszerek ( *) , ha lineárisan független, de ha a rendszer bármely más vektorát hozzáadjuk hozzá, akkor lineárisan függővé válik. Ha a (*) rendszer véges, akkor bármelyik maximális lineárisan független alrendszere ugyanannyi vektort tartalmaz. (Bizonyítsd be magad). A rendszer maximális lineárisan független alrendszerében (*) lévő vektorok számát hívjuk Rang Ez a rendszer. Nyilvánvaló, hogy az ekvivalens vektorrendszerek azonos rangokkal rendelkeznek.

Meghatározás. Vektorok lineáris kombinációja a 1 , ..., a n együtthatókkal x 1 , ..., x n vektornak nevezzük

x 1 a 1 + ... + x n a n .

jelentéktelen, ha minden x 1, ..., x n együttható nulla.

Meghatározás. Az x 1 a 1 + ... + x n a n lineáris kombinációt nevezzük nem triviális, ha az x 1, ..., x n együtthatók legalább egyike nem egyenlő nullával.

lineárisan független, ha ezeknek a vektoroknak nincs nem triviális kombinációja a nulla vektorral.

Vagyis az a 1, ..., a n vektorok lineárisan függetlenek, ha x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 akkor és csak akkor, ha x 1 = 0, ..., x n = 0.

Meghatározás. Az a 1, ..., a n vektorokat nevezzük lineárisan függő, ha van ezeknek a vektoroknak a nulla vektorral egyenlő nem triviális kombinációja.

Lineárisan függő vektorok tulajdonságai:

2 és 3 dimenziós vektorokhoz.

Két lineárisan függő vektor kollineáris. (A kollineáris vektorok lineárisan függenek.)

3-dimenziós vektorokhoz.

Három lineárisan függő vektor egysíkú. (Három koplanáris vektor lineárisan függ.)

• N-dimenziós vektorokhoz.

  n + 1 vektorok mindig lineárisan függőek.

Példák a vektorok lineáris függésének és lineáris függetlenségének problémáira:

1. példa Ellenőrizze, hogy az a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) vektorok lineárisan függetlenek-e .

Megoldás:

A vektorok lineárisan függenek, mivel a vektorok mérete kisebb, mint a vektorok száma.

2. példa Ellenőrizze, hogy az a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) vektorok lineárisan függetlenek-e.

Megoldás:

vonjuk ki a másodikat az első sorból; adjon hozzá egy második sort a harmadikhoz:

Ez a megoldás azt mutatja, hogy a rendszernek sok megoldása van, vagyis létezik az x 1, x 2, x 3 számok értékeinek nullától eltérő kombinációja úgy, hogy az a, b, c vektorok lineáris kombinációja egyenlő a nulla vektor, például:

A+b+c=0

és ez azt jelenti, hogy az a, b, c vektorok lineárisan függőek.

Válasz: az a, b, c vektorok lineárisan függőek.

3. példa Ellenőrizze, hogy az a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) vektorok lineárisan függetlenek-e.

Megoldás: Keressük meg azoknak az együtthatóknak az értékeit, amelyeknél ezeknek a vektoroknak a lineáris kombinációja egyenlő lesz a nulla vektorral.

Ez a vektoregyenlet felírható lineáris egyenletrendszerként

Oldjuk meg ezt a rendszert Gauss módszerrel

vonjuk ki az elsőt a második sorból; vonjuk ki az elsőt a harmadik sorból:

vonjuk ki a másodikat az első sorból; adjon hozzá egy másodikat a harmadik sorhoz.

Más szóval, egy vektorcsoport lineáris függése azt jelenti, hogy van közöttük olyan vektor, amelyet a csoport más vektorainak lineáris kombinációjával lehet ábrázolni.

Mondjuk. Akkor

Ezért a vektor x lineárisan függ ennek a csoportnak a vektoraitól.

Vektorok x, y, ..., z lineárisnak nevezzük független vektorok, ha a (0) egyenlőségből az következik

α=β= ...= γ=0.

Ez azt jelenti, hogy a vektorcsoportok lineárisan függetlenek, ha egyetlen vektor sem ábrázolható más vektorok lineáris kombinációjával ebben a csoportban.

Vektorok lineáris függésének meghatározása

Legyen megadva m n rendű karakterláncvektor:

A Gauss-féle kivételt követően a (2) mátrixot felső háromszög alakúra redukáljuk. Az utolsó oszlop elemei csak a sorok átrendezése esetén változnak. M eltávolítási lépés után a következőket kapjuk:

Ahol én 1 , én 2 , ..., én m - lehetséges sorátrendezésből kapott sorindexek. Figyelembe véve a sorindexekből kapott sorokat, kizárjuk azokat, amelyek a nulla sorvektornak felelnek meg. A fennmaradó vonalak lineárisan független vektorokat alkotnak. Vegye figyelembe, hogy a (2) mátrix összeállítása során a sorvektorok sorrendjének megváltoztatásával egy másik lineárisan független vektorcsoportot kaphat. De az altér, amelyet mindkét vektorcsoport alkot, egybeesik.

általunk bemutatott lineáris műveletek vektorokon lehetővé teszik különféle kifejezések létrehozását vektor mennyiségekés átalakítsa azokat az ezekhez a műveletekhez beállított tulajdonságok segítségével.

Adott a 1, ..., a n vektorhalmaz alapján létrehozhat egy kifejezést az alakból

ahol a 1, ... és n tetszőleges valós számok. Ezt a kifejezést hívják vektorok lineáris kombinációja a 1, ..., a n. Az α i, i = 1, n számok azt jelentik lineáris kombinációs együtthatók. A vektorok halmazát is nevezzük vektorok rendszere.

A bevezetett lineáris vektorkombináció fogalmával kapcsolatban felmerül egy olyan vektorhalmaz leírása, amely egy adott a 1, ..., a n vektorrendszer lineáris kombinációjaként írható fel. Emellett természetes kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy milyen feltételek mellett létezik egy vektor lineáris kombináció formájában történő ábrázolása, és egy ilyen ábrázolás egyedisége.

Meghatározás 2.1. Az a 1, ... és n vektorokat hívjuk lineárisan függő, ha van olyan α 1 , ... , α n együtthatók halmaza,

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

és ezen együtthatók legalább egyike nem nulla. Ha a megadott együtthatóhalmaz nem létezik, akkor a vektorok meghívásra kerülnek lineárisan független.

Ha α 1 = ... = α n = 0, akkor nyilvánvalóan α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Ezt figyelembe véve a következőket mondhatjuk: vektorok a 1, ... és n lineárisan független, ha a (2.2) egyenlőségből az következik, hogy minden α 1 , ... , α n együttható nulla.

A következő tétel megmagyarázza, miért nevezik az új fogalmat „függőségnek” (vagy „függetlenségnek”), és egy egyszerű kritériumot ad a lineáris függőséghez.

Tétel 2.1. Ahhoz, hogy az a 1, ... és n, n > 1 vektorok lineárisan függőek legyenek, szükséges és elegendő, hogy az egyik a többi lineáris kombinációja.

◄ Szükségszerűség. Tegyük fel, hogy az a 1, ... és n vektorok lineárisan függőek. A lineáris függés 2.1 definíciója szerint a (2.2) egyenlőségben a bal oldalon van legalább egy nullától eltérő együttható, például α 1. Az első tagot az egyenlőség bal oldalán hagyva, a többit a jobb oldalra helyezzük, előjeleiket szokás szerint megváltoztatva. A kapott egyenlőséget elosztva α 1-gyel, azt kapjuk

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

azok. az a 1 vektor ábrázolása a fennmaradó a 2, ..., a n vektorok lineáris kombinációjaként.

Megfelelőség. Legyen például az első a 1 vektor a fennmaradó vektorok lineáris kombinációjaként: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Az összes tagot a jobb oldalról a balra áthelyezve egy 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0-t kapunk, azaz. a 1, ..., a n vektorok lineáris kombinációja α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n együtthatókkal nulla vektor. Ebben a lineáris kombinációban nem minden együttható nulla. A 2.1 definíció szerint az a 1, ... és n vektorok lineárisan függenek.

A lineáris függőség definíciója és kritériuma úgy van megfogalmazva, hogy két vagy több vektor jelenlétére utaljon. Beszélhetünk azonban egy vektor lineáris függéséről is. Ennek a lehetőségnek a megvalósításához a „vektorok lineárisan függőek” helyett azt kell mondani, hogy „a vektorok rendszere lineárisan függő”. Könnyen belátható, hogy az „egy vektorból álló rendszer lineárisan függő” kifejezés azt jelenti, hogy ez az egyetlen vektor nulla (egy lineáris kombinációban csak egy együttható van, és ez nem lehet egyenlő nullával).

A lineáris függés fogalmának egyszerű geometriai értelmezése van. A következő három állítás ezt az értelmezést világítja meg.

Tétel 2.2. Két vektor akkor és csak akkor lineárisan függ kollineáris.

◄ Ha a és b vektorok lineárisan függőek, akkor az egyik, például a, a másikon keresztül fejeződik ki, azaz. a = λb valamilyen λ valós számra. Az 1.7 definíció szerint művek vektorok számonként, az a és b vektorok kollineárisak.

Legyenek most a és b vektorok kollineárisak. Ha mindkettő nulla, akkor nyilvánvaló, hogy lineárisan függenek egymástól, mivel ezek bármely lineáris kombinációja egyenlő a nulla vektorral. Legyen ezen vektorok egyike ne egyenlő 0-val, például a b vektor. Jelöljük λ-val a vektorhosszak arányát: λ = |a|/|b|. Kollineáris vektorok lehetnek egyirányú vagy ellentétes irányú. Ez utóbbi esetben λ előjelét változtatjuk. Ezután az 1.7 definíciót ellenőrizve meggyőződünk arról, hogy a = λb. A 2.1. Tétel szerint az a és b vektorok lineárisan függenek egymástól.

Megjegyzés 2.1. Két vektor esetén a lineáris függés kritériumát figyelembe véve a bizonyított tétel a következőképpen fogalmazható újra: két vektor akkor és csak akkor kollineáris, ha az egyiket a másik szorzataként ábrázoljuk egy számmal. Ez egy kényelmes kritérium két vektor kollinearitásához.

Tétel 2.3. Három vektor akkor és csak akkor lineárisan függ egysíkú.

◄ Ha három a, b, c vektor lineárisan függő, akkor a 2.1. Tétel szerint az egyik, például a, a többiek lineáris kombinációja: a = βb + γc. Kombináljuk a b és c vektorok origóját az A pontban. Ekkor a βb, γс vektoroknak közös origójuk lesz az A pontban és annak mentén. a paralelogramma szabály szerint összegük az azok. az a vektor egy A és origójú vektor lesz vége, amely a komponensvektorokra épített paralelogramma csúcsa. Így minden vektor ugyanabban a síkban van, azaz egy síkban.

Legyenek a, b, c vektorok egysíkúak. Ha ezen vektorok egyike nulla, akkor nyilvánvaló, hogy a többi vektor lineáris kombinációja lesz. Elég, ha egy lineáris kombináció összes együtthatóját nullával egyenlőnek vesszük. Ezért feltételezhetjük, hogy mindhárom vektor nem nulla. Összeegyeztethető elindult ezeknek a vektoroknak egy közös O pontban. Legyenek végeik rendre A, B, C pontok (2.1. ábra). A C ponton keresztül párhuzamos egyeneseket húzunk az O, A és O, B pontpárokon átmenő egyenesekkel. A metszéspontokat A" és B"-ként jelölve egy OA"CB" paralelogrammát kapunk, ezért OC" = OA" + OB". Az OA" vektor és a nullától eltérő vektor a = OA kollineárisak, ezért ezek közül az elsőt úgy kaphatjuk meg, hogy a másodikat megszorozzuk egy α:OA" = αOA valós számmal. Hasonlóképpen, OB" = βOB, β ∈ R. Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy OC" = α OA. + βOB, azaz a c vektor a és b vektorok lineáris kombinációja. A 2.1. Tétel szerint az a, b, c vektorok lineárisan függenek egymástól.

Tétel 2.4. Bármely négy vektor lineárisan függ.

◄ A bizonyítást ugyanazon séma szerint hajtjuk végre, mint a 2.3. Tételben. Tekintsünk tetszőleges négy a, b, c és d vektort. Ha a négy vektor közül az egyik nulla, vagy van köztük két kollineáris vektor, vagy a négy vektor közül három koplanáris, akkor ez a négy vektor lineárisan függ. Például, ha a és b vektorok kollineárisak, akkor a lineáris kombinációjukat αa + βb = 0 nem nulla együtthatókkal állíthatjuk elő, majd a maradék két vektort hozzáadjuk ehhez a kombinációhoz, együtthatóként nullákat véve. Négy 0-val egyenlő vektor lineáris kombinációját kapjuk, amelyben nullától eltérő együtthatók vannak.

Feltételezhetjük tehát, hogy a kiválasztott négy vektor között egyetlen vektor sem nulla, nincs kettő kollineáris, és nincs három egysíkú. Válasszuk közös kezdetüknek az O pontot. Ekkor az a, b, c, d vektorok végei az A, B, C, D pontok lesznek (2.2. ábra). A D ponton keresztül három, az OBC, OCA, OAB síkkal párhuzamos síkot rajzolunk, és legyen A", B", C" e síkok metszéspontja az OA, OB, OS egyenesekkel. Kapunk egy paralelepipedon OA" C "B" C" B"DA", és az a, b, c vektorok az O csúcsból kilépő élein fekszenek. Mivel az OC"DC" négyszög paralelogramma, akkor OD = OC" + OC " Viszont az OC" szakasz egy átló, így OC" = OA" + OB" és OD = OA" + OB" + OC" .

Továbbra is meg kell jegyezni, hogy az OA ≠ 0 és OA" , OB ≠ 0 és OB", OC ≠ 0 és OC" vektorpárok kollineárisak, és ezért lehetséges az α, β, γ együtthatók kiválasztása úgy, hogy OA" = αOA, OB" = βOB és OC" = γOC. Végül azt kapjuk, hogy OD = αOA + βOB + γOC. Következésképpen az OD vektor a másik három vektoron keresztül fejeződik ki, és a 2.1. Tétel szerint mind a négy vektor lineárisan függ.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Megoldás.Általános megoldást keresünk az egyenletrendszerre

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gauss módszer. Ehhez ezt a homogén rendszert koordinátákba írjuk:

Rendszermátrix

Az engedélyezett rendszer a következő formában van: (r A = 2, n= 3). A rendszer együttműködő és bizonytalan. Általános megoldása ( x 2 – szabad változó): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => x o = . Egy nem nulla konkrét megoldás jelenléte például azt jelzi, hogy a vektorok a 1 , a 2 , a 3 lineárisan függő.

2. példa

Nézze meg, hogy egy adott vektorrendszer lineárisan függő vagy lineárisan független:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Megoldás. Tekintsünk egy homogén egyenletrendszert a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

vagy bővített formában (koordinátákkal)

A rendszer homogén. Ha nem degenerált, akkor egyedi megoldása van. Homogén rendszer esetén létezik nulla (triviális) megoldás. Ez azt jelenti, hogy ebben az esetben a vektorok rendszere független. Ha a rendszer degenerált, akkor nem nulla megoldásai vannak, és ezért függő.

Ellenőrizzük a rendszer elfajulását:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

A rendszer nem degenerált, és így a vektorok a 1 , a 2 , a 3 lineárisan független.

Feladatok. Nézze meg, hogy egy adott vektorrendszer lineárisan függő vagy lineárisan független:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Bizonyítsuk be, hogy egy vektorrendszer lineárisan függő, ha tartalmazza:

a) két egyenlő vektor;

b) két arányos vektor.