Fogalmazd meg a szögimpulzus megmaradásának törvényét! §2

A mozgási energia és az impulzus megmaradásának törvényei sokáig versengtek egymással, vezető szerepet vállalva, hiszen sem az egyik, sem a másik törvénynek nincs szigorú indoklása. A tudósok azonban már régóta gyanítják, hogy van köztük kapcsolat, ahogy arról H. Huygens (1629-1695) beszélt. Huygens szerint ez az összefüggés azt jelenti, hogy a mechanikai energia megmaradása bármely egyenletesen mozgó rendszerben az impulzus megmaradását vonja maga után. Ezért hosszas vita után a tudósok arra a következtetésre jutottak, hogy ezek a törvények egyenértékűek. Így például d’Alembert a következő kijelentést tette ebben az ügyben: „Mindenkinek meg kell adni a szabadságot, hogy saját belátása szerint oldja meg ezt a kérdést. Sőt, a felvetett kérdés nem más, mint egy teljesen eredménytelen metafizikai vita a szavakról, méltatlan a filozófusok figyelmére.”
A mozgási energia és a lendület megmaradásának törvényei közötti kapcsolatot W. Pauli (1900-1958) állapította meg. Ennek az összefüggésnek a bizonyítására Huygens ötletét használja fel. Idézünk: „Egy olyan rendszerben, amely részecskék tömegével ütközik, a részecskék sebessége ütközés után sebességre változik. Az energiamegmaradást a következő egyenlet fejezi ki:

Hagyja, hogy a rendszer nagyobb sebességet kapjon V. A részecskék sebessége az ütközés előtt és az ütközés után egyenlő lesz, és az energiamegmaradást a következő összefüggés fejezi ki:
,

Ennélfogva:

Sebesség V- önkényes, ezért az írásbeli egyenlőség csak akkor lesz érvényes, ha:

Más szóval, a rendszer lendülete a részecskék ütközése előtt, amely megegyezik a bal oldali kifejezéssel, az ütközés után is megmarad.”
Ezt a kérdést a golyók ütközésének példáján keresztül is megvizsgáljuk, különös fontosságára tekintettel, de kissé eltérő értelmezésben (1. ábra).
Hagyja, hogy a golyók egy tetszőleges inerciális vonatkoztatási rendszerben mozogjanak x-y ugyanabban az irányban (1. ábra, a) és sebességgel. Az ütközés után a golyók sebessége felveszi az értékeket és . Az energiamegmaradás törvényének megfelelően a következő kifejezés lesz érvényes:
, (1)

Most vegyük figyelembe a relatív mozgást, és vegyük az egyik golyót referenciakeretnek. Ehhez a mozgás megfordításának elvét alkalmazzuk, azaz például mindkét golyónak ugyanazt a sebességet adjuk, ami az első labda megállásához vezet, mivel a teljes sebessége nulla lesz. A második golyó sebessége megegyezik a relatív sebességgel:
(2)
A kinetikus energia megmaradásának törvénye ebben az esetben a következőképpen alakul:
(3)

(4)
Az (1) és (4) egyenlet együttes megoldásával a következő kifejezést kapjuk:
, (5)

(7)
Így érdekes eredményt kapunk: a lendület megmaradásának törvénye következik az energia megmaradás törvényéből. Azt is meg kell jegyezni, hogy a kapott eredmény nem függ a referenciarendszer megválasztásától.
Ha figyelembe vesszük a golyók ellenirányú mozgását (1. ábra, b), akkor a helyes eredmény eléréséhez a sebességet ki kell vonni a sebességből, vagyis a (2) kifejezésnek megfelelően meg kell találni a relatív sebességet. , bár az ábrán látható módon ezeket a sebességeket hozzá kell adni . Ez a körülmény annak a ténynek köszönhető, hogy az összes test mozgási sebessége vektor, ami azt jelenti, hogy még az értékük kivonása esetén is összegezhetők.
Így a (2), (5) és (7) kifejezéseket vektoros kifejezéseknek kell tekinteni.
Az (1) és (5) kifejezéseket, valamint a (3) és (7) kifejezéseket együtt megoldva megkapjuk a golyók ütközés utáni sebességét, vektornak tekintve:
; (8)
; (9)
; (10)
(11)
Ezekkel a kifejezésekkel megkapjuk a golyók ütközés utáni relatív sebességét:
; (12)
(13)
Így egy rugalmas ütközés során a golyók relatív sebessége csak irányt változtat.
Az energiamegmaradás törvényét jellemző (1) kifejezés más formában is bemutatható:
(14)

; (15)
, (16)

; (17)
, (18)

• amiből az következik, hogy az első golyó által felvett energia egyenlő a második golyó által adott energiával.

A sebességek értékeit behelyettesítve a (7) és (8) kifejezésekbe, kapjuk:
; (19)
(20)
Nézzük most meg, hogyan teljesül az energiamegmaradás törvénye és az impulzus közötti kapcsolat egy összetettebb becsapódás esetén - ferde ütközés esetén, amikor a mozgó golyók sebessége szöget zár be egymással (2. ábra). . Az ábrán a golyók szét vannak választva, hogy jobban mutassák sebességmintáikat. Feltételezzük, hogy a sebesség egybeesik a tengely irányával x.
A feladat megoldásához a mozgás megfordításának módszerét alkalmazzuk, mindkét golyónak sebességet adva, azaz referenciakeretként relatív mozgásban kiválasztjuk az első labdát, amelynek összsebessége nulla lesz. Tegyük fel azt is, hogy egyszerűsítsük a feladatot, hogy a kapott sebesség a golyók középpontját összekötő vonal mentén irányul. Ezután a második golyó sebességeinek ismert értékeit felhasználva egy paralelogrammát készítünk, amelynek segítségével kapcsolatot létesítünk e sebességek és a relatív mozgási sebesség között, valamint a szöget is megtaláljuk, mivel a szög adott.
A paralelogramma segítségével a koszinusztétel segítségével a következő kifejezést kapjuk:
(21)

• amelyet a következő formára alakítunk:

(22)
Ebből az egyenletből megtaláljuk a relatív mozgás sebességét az ütközés kezdete előtt -:
(23)
A vektor irányát jellemző szöget a koszinusztétel segítségével kapott kifejezésből találjuk meg:
, (24)

• honnan kapjuk:

(25)
Így az elvégzett műveletek eredményeként egy mozgó és álló golyó szokásos ütközését kapjuk középpontjuk vonalának irányában kezdeti relatív sebességgel.
Mielőtt meghatároznánk a golyók ütközés utáni sebességét, hozzunk létre kapcsolatot a golyók abszolút és relatív mozgású kinetikai energiái között:
; (26)
(27)
Mert
(28)

• Ennek megfelelően a relatív mozgás egyéb sebességei is meghatározásra kerülnek:

; (29)
(30)
Ha ezeket a relatív sebességértékeket behelyettesítjük a (27) kifejezésbe, a következőt kapjuk:
(31)
Kettővel csökkentve és a sebességkülönbséget négyzetre emelve a (31) kifejezést a következő alakra alakítjuk:
, (32)

A kifejezés jobb oldalán lévő első tag hozzáadásával kiküszöbölheti a (26) kifejezésnek megfelelő kifejezéseket, aminek eredményeként a (32) kifejezés a következő alakot veszi fel:
(33)
Ha ezt a kifejezést redukáljuk és csoportosítjuk a kifejezéseket, a következőt kapjuk:
(34)
A sebességek meghatározása után a (28) – (32) kifejezésekkel összhangban:
(35)

• és behelyettesítve őket a (34) kifejezésbe, átalakítjuk a következő alakra:

(36)
Így kapcsolatot létesítettünk az energia és az impulzus megmaradásának törvényei között a golyók abszolút és relatív mozgásában ferde ütközés során.
A (27) és (36) egyenlet együttes megoldásával megkapjuk a golyók sebességét a relatív mozgásukban:
; (37)
, (38)

Amikor egyenleteket oldunk meg, hogy vektoros megoldást kapjunk, a sebességek négyzetét két azonos vektor skaláris szorzataként kell ábrázolni.
Az abszolút mozgásban lévő golyók sebességét a 2. ábrán bemutatott paralelogrammákból a koszinusztétel segítségével találhatjuk meg.
Az első golyó esetében a sebességmodult a következő kifejezés határozza meg:
, (39)

• honnan kapjuk:

(40)
A második golyónál a sebességmodul egyenlő lesz:
, (41)

• hol találjuk:

(42)
A és a szögek, amelyek a vektorok irányait jellemzik, valamint a és vektorokhoz képest, szintén megtalálhatók a koszinusztétel segítségével:
; (43)
(44)
A sebességek értékeit és a (39) és (41) képleteket ezekbe a kifejezésekbe behelyettesítve kapjuk:
; (45)
(46)
A kapott megoldások ellenőrzéséhez megtalálhatja a golyók kinetikus energiájának értékeit az ütközés után, mivel az ütközés előtt energiájuk egyenlő volt:
, (47)

• és a találat után ez lesz:

(48)
Ha a sebességek négyzetes értékeit behelyettesítjük a (48) kifejezésbe, valamint a (39) és (41) kifejezésekből, a következőt kapjuk:
(49)
Most a sebességmodulok és a (37) és (38) kifejezések értékeit használjuk:
(50)
A (23) képlet szerint ebbe a kifejezésbe behelyettesítve a sebességmodulus értékét és transzformációkat végezve végül azt kapjuk, hogy , azaz teljesül az energiamegmaradás törvénye.
Tekintsük most két golyó rugalmatlan ütközését. Ebben az esetben az energia egy részét szerkezeti változásokra (rugalmatlan deformációk a golyókban) és melegítésükre fordítják, vagyis a belső energia megváltoztatására. Ezért az energiamegmaradás törvényeinek kifejezése két referenciarendszerben a következő formában jelenik meg:
; (51)
(52)

Ennek az egyenletrendszernek a közös megoldásával megkapjuk a lendület megmaradásának törvényét a szokásos formájában:
, (53)

• vagyis a testek kölcsönhatása során fellépő energiaveszteségek nem befolyásolják ennek a törvénynek a formáját.

Az (51) és (53) egyenlet segítségével meghatározzuk a golyók sebességét rugalmatlan ütközésük után:
; (54)
(55)
Nyilvánvaló, hogy az (54) és (55) kifejezésnek csak akkor lesz fizikai jelentése, ha a gyök kifejezés pozitív értékű. Ebből a feltételből megtalálhatja azt az értéket, amelynél a lendület megmaradásának törvénye még mindig teljesül, ha a gyök kifejezést nullával egyenlővé teszi:
(56)

, (57)

(58)
Az (54) és (56) kifejezés az (57) képlet figyelembevételével a következőképpen ábrázolható:
; (59)
, (60)

(61)
Relatív mozgás esetén a sebességek kifejezései a következő formában lesznek:
; (62)
(63)
A fenti kifejezésekből az következik, hogy a golyók sebessége egyenlő lesz, és együtt mozognak.
Ha az együttható nagyobb egynél, akkor a gyökkifejezés negatív lesz, és a sebességkifejezések elvesztik fizikai értelmüket. Mivel , a golyók egy egységként fognak mozogni, egyetlen egyenlet elegendő a mozgásuk sebességének meghatározásához. Amikor még használhatod a lendület megmaradás törvényét, amikor csak az energia megmaradás törvényét kell használni, bár matematikai értelemben az impulzusmegmaradás törvénye ebben az esetben teljesül. Így az impulzusmegmaradás törvényének korlátai vannak a használatában. Ez ismét megerősíti az energia-megmaradás törvényének elsődleges szerepét az impulzusmegmaradás törvényével szemben. Elvileg azonban lehetséges, hogy az együttható értékei nem lehetnek nagyobbak egynél, akkor mindkét törvény mindig érvényes lesz, de ez az állítás kísérleti ellenőrzést igényel.
Mivel a golyók egységes egészként, azonos sebességgel mozognak, az energiamegmaradás törvénye a következőképpen alakul:
, (64)

• ahol a (61) kifejezésnek megfelelően

(65)
A (64) egyenlet megoldásával kapjuk:
(66)

• vagy relatív mozgásban:

(67)
Ha az összes becsapódási energiát veszteségekre fordítjuk, vagyis amikor az összefüggés teljesül:
, (68)

(69)
Igaz, továbbra is kétségek merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy egy ilyen eset valóban lehetséges-e.
Az első fejezet 5. §-ában bemutatásra került, hogy a mozgás mértéke a test tehetetlenségét jellemzi, és az arány határozza meg, vagyis a test mozgási energiája változásának és sebességének változásának aránya. . A test tehetetlenségének e definíciójával kapcsolatban egy másik következtetés is levonható az impulzusmegmaradás törvényére. Ehhez a (15), (17) és (18) kifejezéseket használjuk, elosztva őket az első test sebességének változásával: :
(70)
Alakítsuk át a kapott kifejezést a következő alakra:
(71)
A sebességarány (12) használata a következő formában:
, (72)

• Alakítsuk át a (71) kifejezést a következő alakra:

(73)

• ahonnan a lendület megmaradásának törvénye következik:

Az energia- és impulzusmegmaradás törvényeit széles körben alkalmazzák különféle mechanikai problémák megoldásában. Tekintettel azonban arra a tényre, hogy ezek a törvények szervesek, mivel csak a testek kölcsönhatás előtti és utáni állapotát veszik figyelembe, de nem a kölcsönhatás pillanatában, fennáll a veszélye annak, hogy elveszítik a test fizikai értelmét. maga az interakció, elkerülve ennek a fizikai jelentésnek a magyarázatát a megértés hiánya miatt, bár a végeredmény helyes lesz.
Bizonyítsuk be ezt az állítást egy csónak mozgásának példáján, amikor egy személy követ dob ​​a vízbe (3. ábra). Kétségtelen, hogy a hajó a dobással ellentétes irányba fog haladni. A probléma megoldásához az impulzus megmaradásának törvényét használják, amely a sebességek irányát figyelembe véve a következő formában lesz:
, (74)

, (75)

• vagyis minél nagyobb a kő tömege és sebessége, annál nagyobb a csónak sebessége.

Ha megkérdezi a mechanikus tanárokat, hogy milyen ok mozgatja a csónakot, a legtöbben azt válaszolják, hogy a hajó mozog, mert a lendület megmaradásának törvényét be kell tartani. Azért adnak ilyen választ, mert nem tudják megmagyarázni a mozgás tényleges okát, pedig nagyon jól tudják, hogy mozgás csak erő hatására történhet meg. Tehát milyen erő mozgatja a hajót?
Nyilvánvaló, hogy itt meg kell értenünk az emberi kéz és a kő közötti kölcsönhatást a dobás pillanatában. Az egyetlen oka annak, hogy az emberre és rajta keresztül a csónakra ható erő jelenik meg, a kő becsapódása. Ez az erő akkor jelenik meg, ha a kő a dobás pillanatában felgyorsul. Ezután deformálódik, és rugalmas erők keletkeznek benne, amelyek az ember kezére hatnak. Ezek az erők, mint már tudjuk, tehetetlenségi erők, és nagyságuk megegyezik a kő tömegének és gyorsulásának szorzatával. Azt is mondhatjuk, hogy az ember eltol a kőtől. Ennek a problémának a megoldása Newton második törvényével azonban szinte lehetetlen, hiszen a dobás pillanatában nem fogjuk tudni megtalálni a kő gyorsulását. A mozgás sebességét a mozgás első pillanataiban sokkal könnyebb megtalálni. Tehát az integrál mozgástörvények alkalmazása jelentősen leegyszerűsíti számos mechanikai probléma megoldását. Igaz, nem szabad megfeledkezni a vizsgált jelenségek fizikai lényegéről. Ebben az esetben az integrál megmaradási törvények matematikai ereje még világosabban megmutatkozik.
Tekintsünk most egy összetettebb problémát egy olyan kocsi mozgásával kapcsolatban, amelyen két rakomány található, amelyek különböző irányokba forognak azonos szögsebességgel (4. ábra). Ezt a problémát is megoldják a lendület megmaradásának törvénye:
, (76)

A (76) kifejezésből az következik:
, (77)

• vagyis a kocsi harmonikus rezgéseket fog végrehajtani. De mi az oka ezeknek az ingadozásoknak? Nem mondható, hogy a kocsi betartja a lendület megmaradás törvényét. Egy erőnek kell rezegtetnie a kocsit, de milyen erővel? Az egyetlen jelölt erre a szerepre csak a forgó terhelésekre ható centrifugális tehetetlenségi erő lehet:

(78)
Két tehetetlenségi erő hatására a kocsi a tengely mentén mozog y. A kocsi mozgásának természete Newton második törvénye alapján állapítható meg:
(79)
A kocsi sebességét a következő kifejezés integrálásával határozzuk meg:
, (80)

• Ahol VAL VEL– integrációs állandó.

A kocsi sebességének meghatározásához kezdeti feltételeket kell használni. Itt azonban felmerül egy probléma: mi lesz a kocsi sebessége? Tételezzük fel, hogy a kezdeti időpontban a rögzítetlen kocsi és a terhek álló helyzetben voltak, majd a terhek azonnal állandó szögsebességgel forogtak, vagyis nem lesz átmeneti mozgásmód. Így a tehetetlenségi erők nagysága azonnal felveszi a (78) kifejezés által meghatározott végső értéket. A tehetetlenségi erők hatására a kocsinak azonnal pozitív irányba kellene elmozdulnia. Figyelembe kell azonban venni, hogy a terhelések mozgási sebességének pillanatnyi megjelenésével elméletileg végtelen, de gyakorlatilag nagyon nagy tengelyirányú gyorsulás jelenik meg. y, ha a terhelések a tengely mentén helyezkedtek el x, és a megfelelő tehetetlenségi erő ellentétes irányban, amely a kocsit a tengely negatív irányában történő működésének irányába mozgatja y, vagyis ténylegesen hatással lesz a kocsira.
Tegyük fel, hogy a kocsi kezdeti sebessége egyenlő lesz, akkor a (80) egyenletből kapjuk:
,

• hol találjuk az integráció állandóját VAL VEL:

(81)
Ennek megfelelően a kocsi sebessége a következő lesz:
(82)
Ezt a kifejezést integrálva megtaláljuk a kocsi elmozdulását a tengely mentén y:
(83)
Az adott feltételek mellett a kocsi mozgása harmonikus lesz, ezért a zárójelben lévő kifejezésnek nullának kell lennie. Ekkor a kocsi mozgásának törvénye a következőképpen alakul:
, (84)

(85)
Ekkor a (80) kifejezésből meghatározzuk a kocsi sebességét a forgásszög függvényében:
,

• ami a (77) kifejezésnek felel meg.

Ennek a problémának azonban egy második megoldása is lehetséges, ha feltételezzük, hogy először a kocsi rögzített, és a rakományok állandó sebességgel forognak. Ezután, amikor a terhelések a tengely mentén helyezkednek el x, a kocsi kiszabadul. Ilyen körülmények között a tehetetlenségi erők a tengely irányába y hiányzik, mivel a terhelések forgási sebességének értéke nem változik, ezért nem lesz hatással a kocsira a tengely negatív irányában yés a kezdeti sebessége nulla lesz. Ekkor a (80) egyenletből az következik, hogy az integrációs állandó VAL VEL egyenlő lesz:
, (86)

• ezért a kocsi sebessége az idő függvényében a következő formában lesz:

(87)
Ezt a kifejezést idővel integrálva megkapjuk a kocsi mozgását az y tengely mentén:
(88)

, (89)

; (90)
(91)
Így a terhelések tehetetlenségi erőinek periodikusan változó vetülete a tengelyre y a kocsit harmonikus rezgések végrehajtására és a tengely mentén egyenletes mozgásra készteti y a kezdeti vezetési körülményektől függően. A nem biztosított kocsi csak harmonikus rezgéseket hajt végre, míg a rögzített, majd elengedett kocsi egyenes vonalú mozgást hajt végre, amelyre harmonikus rezgések kerülnek.
Az általunk elvégzett elemzés lehetetlen lett volna a kocsira ható erők figyelembe vétele nélkül, amelyek jelen esetben a tehetetlenségi erők. Ha a kocsi mozgását azzal magyarázzák, hogy teljesíteni kell a lendület megmaradásának törvényét, akkor ez azt jelenti, hogy nem mondunk semmit a dolog érdeméről. Ezért célszerű a természetvédelmi törvények alkalmazását a vizsgált probléma részletes erőelemzésével kombinálni.

A rendszer impulzusváltozására vonatkozó tételből a következő fontos következtetések vonhatók le.

1. Legyen a rendszerre ható összes külső erő összege nulla:

Ekkor a (20) egyenletből az következik, hogy ebben az esetben tehát, ha a rendszerre ható összes külső erő összege nulla, akkor a rendszer impulzusvektorának nagysága és iránya állandó lesz.

2. Legyenek a rendszerre ható külső erők olyanok, hogy valamely tengelyre (például ) vetületeik összege nullával egyenlő:

Ekkor a (20) egyenletekből az következik, hogy ebben az esetben tehát, ha az összes ható külső erő bármely tengelyre vetületének összege nulla, akkor a rendszer impulzusának erre a tengelyre vetülete állandó érték.

Ezek az eredmények a rendszer impulzusmegmaradásának törvényét fejezik ki. Ezekből következik, hogy a belső erők nem tudják megváltoztatni a rendszer mozgásának mértékét. Nézzünk néhány példát.

A visszarúgás vagy visszarúgás jelensége. Ha a puskát és a golyót egy rendszernek tekintjük, akkor a porgázok nyomása lövés közben belső erő lesz. Ez az erő nem tudja megváltoztatni a rendszer mozgásának mértékét, amely megegyezik a csiga lövésével. De mivel a porgázok a lövedékre ható bizonyos mennyiségű előre irányuló mozgást kölcsönöznek neki, egyidejűleg ugyanolyan mértékű, ellenkező irányú mozgást kell adniuk a puskának. Ez a puska hátrafelé mozdulását okozza, amit visszarúgásnak neveznek. Hasonló jelenség fordul elő fegyver elsütésénél (visszagurítás).

A légcsavar (propeller) működése. A propeller a légcsavar tengelye mentén mozgást kölcsönöz egy bizonyos mennyiségű levegőnek (vagy víznek), és ezt a tömeget visszadobja. Ha a feldobott tömeget és a repülőgépet (vagy hajót) egy rendszernek tekintjük, akkor a légcsavar és a környezet, mint belső kölcsönhatási erők nem tudják megváltoztatni ennek a rendszernek a teljes mozgását. Ezért, amikor egy tömeg levegőt (víz) dobunk vissza, a repülőgép (vagy hajó) megfelelő előrehaladási sebességet kap, így a vizsgált rendszer teljes mozgása nulla marad, mivel a mozgás megkezdése előtt nulla volt. .

Hasonló hatás érhető el az evezők vagy a lapátkerekek hatására.

Sugárhajtás. A rakétában (rakétában) az üzemanyag gáznemű égéstermékei nagy sebességgel kilökődnek a rakéta farkán lévő nyílásból (a rakétamotor fúvókájából). Az ebben az esetben ható nyomóerők belső erők lesznek, és nem változtathatják meg a rakétarendszer lendületét - az üzemanyag égéstermékei. De mivel a kiáramló gázok bizonyos mértékű visszafelé irányuló mozgással rendelkeznek, a rakéta ennek megfelelő előre irányuló sebességet kap. Ennek a sebességnek a nagyságát a 114. § határozza meg.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a propellermotor (korábbi példa) mozgást kölcsönöz egy tárgynak, például egy repülőgépnek azáltal, hogy visszadobja a közeg részecskéit, amelyben mozog. Levegőtlen térben az ilyen mozgás lehetetlen. A sugárhajtómű úgy ad mozgást, hogy visszadobja magában a motorban keletkező tömegeket (égéstermékeket). Ez a mozgás levegőben és levegőtlen térben egyaránt lehetséges.

A feladatok megoldása során a tétel alkalmazása lehetővé teszi, hogy minden belső erőt kizárjunk a számításból. Ezért meg kell próbálnunk úgy megválasztani a vizsgált rendszert, hogy a korábban ismeretlen erők mindegyike (vagy egy része) belsővé váljon.

Az impulzusmegmaradás törvénye kényelmesen alkalmazható olyan esetekben, amikor a rendszer egyik részének transzlációs sebességének megváltoztatásával meg kell határozni egy másik rész sebességét. Különösen ezt a törvényt széles körben használják a hatáselméletben.

126. feladat. Egy tömegű golyó vízszintesen repül nagy sebességgel és eltalál egy kocsira szerelt homokos dobozt (289. ábra). Milyen sebességgel kezd el mozogni a kocsi az ütközés után, ha a kocsi tömege a dobozzal együtt

Megoldás. A golyót és a kocsit egy rendszernek fogjuk tekinteni. Ez lehetővé teszi, hogy a probléma megoldása során kiküszöböljük azokat az erőket, amelyek akkor keletkeznek, amikor a golyó a dobozba ütközik. A rendszerre ható külső erők Ox vízszintes tengelyre vetített vetületeinek összege nulla. Ezért, vagy hol van a rendszer becsapódás előtti mozgásának mértéke; - az ütés után.

Mivel a kocsi mozdulatlan az ütközés előtt, akkor .

Az ütközés után a szekér és a golyó közös sebességgel mozog, amit v-vel jelölünk. Akkor .

A kifejezések jobb oldalát egyenlővé téve azt találjuk

127. feladat Határozza meg a löveg szabad visszarúgási sebességét, ha a lövedékek súlya P, a lövedék súlya és a lövedék csövéhez viszonyított sebessége egyenlő az indulás pillanatában!

Megoldás. A porgázok ismeretlen nyomási erőinek kiküszöbölése érdekében tekintse a lövedéket és a visszarúgás részeit egy rendszernek.

Tekintsük két elszigetelt test egymásra gyakorolt ​​hatását, amelyek nem lépnek kölcsönhatásba más testekkel. Feltételezzük, hogy az erők állandóak a kölcsönhatás során. A dinamika második törvényének megfelelően az első test lendületének változása:

hol van az interakciós időintervallum.

A második test lendületének változása:

ahol az első testből a másodikra ​​ható erő.

Newton harmadik törvénye szerint

és emellett nyilván

Ennélfogva,

A kölcsönhatási erők természetétől és hatásuk időtartamától függetlenül két izolált test összimpulzusa állandó marad.

A kapott eredmény kiterjeszthető tetszőleges számú kölcsönhatásban lévő testre és idővel változó erőkre. Ehhez azt az időintervallumot, amely alatt a testek kölcsönhatása fellép, olyan kis intervallumokra osztjuk, amelyek során az erő adott fokú pontossággal állandónak tekinthető. Minden időszak alatt az (1.8) reláció teljesül. Ezért az egész időintervallumra érvényes lesz

Ahhoz, hogy a következtetést a kölcsönható testekre általánosítsuk, bevezetjük a zárt rendszer fogalmát.

Zárva olyan testek rendszere, amelyekre az eredő külső erők egyenlőek nullával.

Az anyagi pontok tömegei alkotjanak zárt rendszert. Ezen pontok lendületének változása a rendszer összes többi pontjával való kölcsönhatás következtében:

Jelöljük a többi pontból egy tömegpontra ható belső erőket, tömegponttal stb. (Az első index azt a pontot jelöli, amelyre az erő hat, a második index azt a pontot, amelynek tengelyén az erő hat. cselekszik.)

Írjuk be az elfogadott jelölésbe a dinamika második törvényét minden pontra külön:

Az egyenletek száma megegyezik a rendszerben lévő testek számával. A rendszer lendületének teljes változásának meghatározásához ki kell számítanunk a rendszer összes pontjának lendületében bekövetkezett változások geometriai összegét. Az (1.9) egyenlőségek összegzése után a bal oldalon megkapjuk a rendszer lendületének időbeli változásának teljes vektorát, a jobb oldalon pedig a rendszerben ható összes erő eredőjének elemi impulzusát. De mivel a rendszer zárt, a keletkező erők nullák. Valójában a dinamika harmadik törvénye szerint az (1.9) egyenlőségben lévő minden erő egy erőnek és

azaz stb.,

és ezen erők eredője nulla. Ebből következően a teljes zárt rendszerben a lendület változása nulla:

egy zárt rendszer összimpulzusa a teljes mozgás során állandó mennyiség (a lendület megmaradásának törvénye).

Az impulzusmegmaradás törvénye a fizika egyik alaptörvénye, amely mind a makroszkopikus testek rendszereire, mind a mikroszkopikus testek által alkotott rendszerekre: molekulák, atomok stb.

Ha külső erők hatnak a rendszer pontjaira, akkor a rendszer által birtokolt mozgás mértéke megváltozik.

Írjunk fel (1.9) egyenleteket, és foglaljuk bele az eredő külső erőket, amelyek rendre az elsőre, a másodikra ​​stb. hatnak. Egészen a pontig:

Az egyenletek bal és jobb oldalát összeadva a következőket kapjuk: bal oldalon - a rendszer lendületében bekövetkezett változások teljes vektora; jobb oldalon - a keletkező külső erők impulzusa:

vagy az eredő külső erőket jelölve:

egy testrendszer összimpulzusának változása megegyezik a keletkező külső erők impulzusával.

Az (1.13) egyenlőség más formában is felírható:

egy pontrendszer teljes mozgásmennyiségének időbeli deriváltja egyenlő a rendszer pontjaira ható eredő külső erőkkel.

A rendszer impulzusvektorait és a külső erőket három egymásra merőleges tengelyre vetítve a (6.14) vektoregyenlőség helyett három skaláris egyenletet kapunk, amelynek alakja:

Ha bármely tengely mentén, mondjuk, az eredő külső erők komponense egyenlő nullával, akkor ezen a tengelyen a mozgás mértéke nem változik, azaz általánosságban nyitott lévén a rendszer zártnak tekinthető.

Megvizsgáltuk a mechanikai mozgás egyik testről a másikra történő átvitelét anélkül, hogy az anyag más mozgásformáira váltana át.

Az „mv kiderül, hogy az egyszerűen átvitt, azaz folyamatban lévő mozgás mértéke...” mennyiség.

Az impulzus változásának törvényének alkalmazása a testek rendszerének mozgásának problémájára lehetővé teszi, hogy minden belső erőt kizárjunk a mérlegelésből, ami leegyszerűsíti az elméleti kutatást és a gyakorlati problémák megoldását.

1. Álljon egy személy mozdulatlanul egy álló kocsin (2.a ábra). Az ember-kocsi rendszer lendülete nulla. Ez a rendszer zárt? Külső erők hatnak rá - a gravitáció és a kocsi kerekei és a padló közötti súrlódás. Általánosságban elmondható, hogy a rendszer nincs lezárva. A kocsi sínekre helyezésével és a sínek és a kerekek felületének megfelelő kezelésével, azaz a köztük lévő súrlódás jelentős csökkentésével azonban a súrlódási erő elhanyagolható.

A függőlegesen lefelé irányuló gravitációs erőt a deformálódott sínek reakciója egyensúlyozza ki, és ezen erők eredője nem tud vízszintes gyorsulást adni a rendszernek, azaz nem tudja megváltoztatni a rendszer sebességét, így impulzusát. Így bizonyos fokú közelítéssel ezt a rendszert zártnak tekinthetjük.

Most tegyük fel, hogy egy személy balra hagyja el a kocsit (2.b ábra), sebességgel. Ahhoz, hogy elérje ezt a sebességet, az embernek izmait összehúzva a lábával a kocsi platóján kell cselekednie, és deformálnia kell azt. A deformált platform oldaláról az ember lábára ható erő gyorsulást ad az emberi testnek balra, a deformált lábfej oldaláról pedig (a dinamika harmadik törvényének megfelelően) gyorsulást. a jobb oldali kocsihoz. Ennek eredményeként, amikor az interakció leáll (a személy leszáll a kocsiról), a kocsi felgyorsul.

Ahhoz, hogy a dinamika alaptörvényei alapján meghatározzuk a sebességeket, szükséges lenne tudni, hogy az ember és a kocsi közötti kölcsönhatási erők hogyan változnak az idő múlásával, és hol hatnak ezek az erők. A lendület megőrzésének törvénye lehetővé teszi, hogy azonnal megtalálja az ember és a kocsi sebességének arányát, valamint jelezze azok kölcsönös irányát, ha ismertek egy személy és egy kocsi tömegének értékei.

Amíg az ember mozdulatlanul áll a kocsin, a rendszer teljes mozgása nulla marad:

Az ember és a kocsi sebessége fordítottan arányos tömegükkel. A mínusz jel az ellenkező irányt jelzi.

2. Ha egy személy sebességgel haladva felrohan egy álló kocsira és megáll rajta, akkor a kocsi elkezd mozogni úgy, hogy a kocsi és a személy teljes mozgása megegyezik a egyedül a személy korábban:

3. A nagy sebességgel haladó személy rászalad a felé sebességgel haladó kocsira és megáll rajta. Ezután az ember-kocsi rendszer közös sebességgel mozog. Az ember és a kocsi teljes mozgása megegyezik a külön-külön megtett mozgásmennyiségek összegével:

4. Felhasználva azt a tényt, hogy a kocsi csak a sínek mentén tud mozogni, demonstrálhatjuk az impulzusváltozás vektoros jellegét. Ha valaki egy korábban álló kocsiba egyszer a lehetséges mozgási iránya mentén száll be és megáll, másodszor - 45°-os szögben, harmadszor - 90°-os szögben ezzel az iránnyal, majd a második alkalommal A kocsi sebessége megközelítőleg másfélszer kisebb, mint az elsőnél, a harmadik esetben pedig a kocsi mozdulatlan.

Tekintsük a legáltalánosabb megmaradási törvényeket, amelyek az egész anyagi világot szabályozzák, és amelyek számos alapvető fogalmat bevezetnek a fizikába: energia, lendület (impulzus), szögimpulzus, töltés.

A lendület megmaradásának törvénye

Mint ismeretes, a mozgás mennyisége vagy impulzusa a sebesség és a mozgó test tömegének szorzata: p = mv Ez a fizikai mennyiség lehetővé teszi, hogy megtalálja a test mozgásának változását egy bizonyos időtartam alatt. A probléma megoldásához számtalanszor, minden közbenső pillanatban alkalmazni kellene Newton második törvényét. Az impulzus (impulzus) megmaradásának törvénye Newton második és harmadik törvényével érhető el. Ha figyelembe vesszük, hogy két (vagy több) anyagi pont (test) kölcsönhatásba lép egymással és a külső erők hatásától elszigetelt rendszert alkot, akkor a mozgás során az egyes pontok (testek) impulzusai változhatnak, de a teljes impulzus a rendszernek változatlannak kell maradnia:

m 1 v+m 1 v 2 = konst.

A kölcsönhatásban lévő testek impulzusokat cserélnek, miközben fenntartják a teljes impulzust.

Általános esetben a következőket kapjuk:

ahol P Σ a rendszer teljes, teljes impulzusa, m én v én– a rendszer egyes kölcsönható részeinek impulzusai. Fogalmazzuk meg a lendület megmaradásának törvényét:

Ha a külső erők összege nulla, akkor a testrendszer lendülete a benne végbemenő folyamatok során állandó marad.

Az impulzusmegmaradás törvényének működésére példaként említhető az a folyamat, amikor egy csónak interakcióba lép egy személlyel, aki a parton temette el az orrát, és a csónakban lévő személy gyorsan a tattól az orrig sétál. sebesség v 1 . Ebben az esetben a csónak nagy sebességgel távolodik a parttól v 2 :

Hasonló példát hozhatunk egy lövedékkel, amely a levegőben több részre robbant. Az összes töredék impulzusainak vektorösszege megegyezik a lövedék robbanás előtti impulzusával.

A szögimpulzus megmaradásának törvénye

A merev testek forgását célszerű a szögimpulzusnak nevezett fizikai mennyiséggel jellemezni.

Amikor egy merev test egy rögzített tengely körül forog, a test minden egyes részecskéje egy sugarú körben mozog r én valamilyen lineáris sebességgel v én. Sebesség v énés lendület p = m én v én merőleges az r i sugárra. Impulzus terméke p = m én v én sugáronként r én a részecske szögimpulzusának nevezzük:

L én= m én v én r én= P én r én·

Az egész test szögimpulzusa:

Ha a lineáris sebességet a szögsebességgel (v i = ωr i) helyettesítjük, akkor

ahol J = mr 2 – tehetetlenségi nyomaték.

A zárt rendszer szögimpulzusa nem változik az idő múlásával, azaz L= const és Jω = const.

Ebben az esetben a forgó test egyes részecskéinek szögimpulzusa tetszés szerint változhat, de a teljes szögimpulzus (az egyes testrészek impulzusimpulzusának összege) állandó marad. A szögimpulzus megmaradásának törvénye szemléltethető egy korcsolyázó korcsolyázó oldalra nyújtott karral, feje fölé emelt karjával. Mivel Jω = const, így a második esetben a tehetetlenségi nyomaték J csökken, ami azt jelenti, hogy az u szögsebességnek növekednie kell, mivel Jω = const.

Az energiamegmaradás törvénye

Energia a mozgás és interakció különféle formáinak univerzális mértéke. Az egyik test által a másiknak adott energia mindig egyenlő a másik test által kapott energiával. A kölcsönható testek közötti energiacsere folyamatának számszerűsítésére a mechanika bevezeti a mozgást okozó erő munkájának fogalmát.

Egy mechanikai rendszer kinetikus energiája ennek a rendszernek a mechanikai mozgásának energiája. A test mozgását okozó erő működik, és a mozgó test energiája a ráfordított munka mennyiségével nő. Mint ismeretes, tömeges test m, sebességgel halad v, mozgási energiája van E=mv 2 /2.

Helyzeti energia egy olyan testrendszer mechanikai energiája, amelyek erőtereken keresztül kölcsönhatásba lépnek, például gravitációs erők révén. Ezen erők által végzett munka a test egyik helyzetből a másikba történő mozgatásakor nem függ a mozgás pályájától, hanem csak a test kezdeti és végső helyzetétől az erőtérben.

Az ilyen erőtereket potenciálnak nevezzük, a bennük ható erőket pedig konzervatív. A gravitációs erők konzervatív erők, és egy tömegű test potenciális energiája m, magasra emelve h a Föld felszíne felett egyenlő

E izzadság = mgh,

Ahol g- a gravitáció gyorsulása.

A teljes mechanikai energia egyenlő a kinetikus és a potenciális energia összegével:

E= E kin + E verejték

A mechanikai energia megmaradásának törvénye(1686, Leibniz) azt állítja, hogy a testek olyan rendszerében, amelyek között csak konzervatív erők hatnak, a teljes mechanikai energia időben változatlan marad. Ebben az esetben a kinetikus energia átalakulása potenciális energiává és fordítva egyenértékű mennyiségben történhet.

Létezik egy másik típusú rendszer is, amelyben a mechanikai energia más energiaformákká alakításával csökkenthető. Például, amikor egy rendszer súrlódással mozog, a mechanikai energia egy része csökken a súrlódás miatt. Az ilyen rendszereket ún disszipatív, vagyis a mechanikai energiát elosztó rendszerek. Az ilyen rendszerekben a teljes mechanikai energia megmaradásának törvénye nem érvényes. Azonban amikor a mechanikai energia csökken, mindig más típusú energia jelenik meg ezzel a csökkenéssel. És így, az energia soha nem tűnik el vagy nem jelenik meg újra, csak egyik típusról a másikra változik. Itt nyilvánul meg az anyag és mozgásának elpusztíthatatlanságának tulajdonsága.

A klasszikus mechanikában két megmaradási törvény létezik: az impulzusmegmaradás törvénye és az energiamegmaradás törvénye.

Testi impulzus

A lendület fogalmát először egy francia matematikus, fizikus és szerelő vezette be. és a filozófus Descartes, aki impulzusnak nevezte mozgás mennyisége .

A latinul az „impulzus” szót „nyomni, mozgatni” fordítják.

Minden mozgásban lévő testnek van lendülete.

Képzeljünk el egy mozdulatlan kocsit. A lendülete nulla. De amint a kocsi mozogni kezd, lendülete már nem lesz nulla. A sebesség változásával kezd változni.

Anyagi pont lendülete, vagy mozgás mennyisége – vektormennyiség, amely egyenlő egy pont tömegének és sebességének szorzatával. A pont lendületvektorának iránya egybeesik a sebességvektor irányával.

Ha szilárd fizikai testről beszélünk, akkor az ilyen test lendületét e test tömegének és a tömegközéppont sebességének szorzatának nevezzük.

Hogyan kell kiszámítani a test lendületét? Elképzelhető, hogy egy test sok anyagi pontból, vagy anyagi pontok rendszeréből áll.

Ha - egy anyagi pont impulzusa, majd egy anyagi pontrendszer impulzusa

vagyis anyagi pontrendszer lendülete a rendszerben szereplő összes anyagi pont momentumának vektorösszege. Ez egyenlő e pontok tömegének és sebességük szorzatával.

Az impulzus mértékegysége az SI nemzetközi mértékegységrendszerben kilogramm-méter per másodperc (kg m/s).

Impulzus erő

A mechanikában szoros kapcsolat van a test lendülete és az erő között. Ezt a két mennyiséget egy ún erő impulzusa .

Ha egy testre állandó erő hatF egy ideig t , akkor Newton második törvénye szerint

Ez a képlet megmutatja a kapcsolatot a testre ható erő, ennek az erőnek a hatásideje és a test sebességének változása között.

A testre ható erő és a működési idő szorzatával egyenlő mennyiséget nevezzük erő impulzusa .

Amint az egyenletből látjuk, az erő impulzusa egyenlő a test impulzusai közötti különbséggel az idő kezdeti és végső pillanatában, vagy az impulzus bizonyos időn belüli változásával.

Newton második törvénye impulzus alakban a következőképpen van megfogalmazva: a test lendületének változása egyenlő a rá ható erő lendületével. Azt kell mondanunk, hogy maga Newton is eredetileg pontosan így fogalmazta meg törvényét.

Az erőimpulzus is vektormennyiség.

A lendület megmaradásának törvénye Newton harmadik törvényéből következik.

Nem szabad elfelejteni, hogy ez a törvény csak zárt vagy elszigetelt fizikai rendszerben működik. A zárt rendszer olyan rendszer, amelyben a testek csak egymással lépnek kölcsönhatásba, külső testekkel nem.

Képzeljünk el két fizikai test zárt rendszerét. A testek egymás közötti kölcsönhatásának erőit belső erőknek nevezzük.

Az első test erőimpulzusa egyenlő

Newton harmadik törvénye szerint a testekre kölcsönhatásuk során ható erők egyenlő nagyságúak és ellentétes irányúak.

Ezért a második testre az erő impulzusa egyenlő

Egyszerű számításokkal megkapjuk az impulzusmegmaradás törvényének matematikai kifejezését:

Ahol m 1 És m 2 - testtömegek,

v 1 És v 2 – az első és a második test kölcsönhatás előtti sebessége,

v 1" És v 2" – az első és a második test sebessége kölcsönhatás után .

p 1 = m 1 · v 1 - az első test lendülete a kölcsönhatás előtt;

p 2 = m 2 · v 2 - a második test lendülete a kölcsönhatás előtt;

p 1 "= m 1 · v 1" - az első test lendülete kölcsönhatás után;

p 2 "= m 2 · v 2" - a második test lendülete kölcsönhatás után;

Azaz

p 1 + p 2 = p 1" + p 2"

Zárt rendszerben a testek csak impulzusokat cserélnek. És ezeknek a testeknek a kölcsönhatás előtti momentumainak vektorösszege megegyezik a kölcsönhatás utáni momentumaik vektorösszegével.

Tehát a fegyver elsütése következtében magának a fegyvernek a lendülete és a golyó lendülete megváltozik. De a fegyver és a benne lévő golyó impulzusainak összege a lövés előtt egyenlő marad a fegyver és a repülő golyó impulzusainak összegével a lövés után.

Ágyúlövéskor visszarúgás történik. A lövedék előre repül, maga a fegyver pedig visszagurul. A lövedék és a fegyver egy zárt rendszer, amelyben a lendület megmaradásának törvénye működik.

Az egyes testek lendülete zárt rendszerben egymás közötti kölcsönhatásuk következtében változhatnak. De a zárt rendszerben lévő testek impulzusainak vektorösszege nem változik, amikor ezek a testek idővel kölcsönhatásba lépnek, vagyis állandó marad. Az az ami a lendület megmaradásának törvénye.

Pontosabban, a lendület megmaradásának törvénye a következőképpen fogalmazódik meg: zárt rendszer összes testének impulzusainak vektorösszege állandó érték, ha nem hatnak rá külső erők, vagy vektorösszegük nulla.

Egy testrendszer lendülete csak a rendszerre ható külső erők hatására változhat. És akkor a lendület megmaradásának törvénye nem érvényesül.

Azt kell mondani, hogy a természetben nem léteznek zárt rendszerek. De ha a külső erők hatásideje nagyon rövid, például robbanás, lövés stb. során, akkor ebben az esetben a külső erők rendszerre gyakorolt ​​hatását figyelmen kívül hagyjuk, és magát a rendszert zártnak tekintjük.

Ezen túlmenően, ha külső erők hatnak a rendszerre, de az egyik koordinátatengelyre vetületeik összege nulla (azaz az erők e tengely irányában egyensúlyoznak), akkor teljesül a lendület megmaradásának törvénye. ebben az irányban.

A lendület megmaradásának törvényét is nevezik a lendület megmaradásának törvénye .

Az impulzusmegmaradás törvényének alkalmazásának legszembetűnőbb példája a sugármozgás.

Sugárhajtás

A reaktív mozgás egy test mozgása, amely akkor következik be, amikor egy testrész egy bizonyos sebességgel elválik tőle. Maga a test ellentétes irányú impulzusokat kap.

A sugárhajtás legegyszerűbb példája egy léggömb repülése, amelyből levegő távozik. Ha felfújunk egy léggömböt és elengedjük, akkor a belőle kilépő levegő mozgásával ellentétes irányba kezd el repülni.

A természetben a sugárhajtásra példa az, amikor egy őrült uborka terméséből folyadék szabadul fel, amikor szétreped. Ugyanakkor maga az uborka az ellenkező irányba repül.

A medúza, a tintahal és a mélytenger más lakói úgy mozognak, hogy vizet vesznek fel, majd kidobják.

A sugárhajtás a lendület megmaradásának törvényén alapul. Tudjuk, hogy amikor egy sugárhajtóműves rakéta megmozdul, az üzemanyag elégetése következtében folyadék- vagy gázsugár lök ki a fúvókából ( jet stream ). A motor és a kiáramló anyag kölcsönhatása következtében Reaktív erő . Mivel a rakéta a kibocsátott anyaggal együtt zárt rendszer, egy ilyen rendszer lendülete nem változik az idő múlásával.

A reaktív erő csak a rendszer részeinek kölcsönhatásából származik. Külső erők nem befolyásolják megjelenését.

Mielőtt a rakéta mozogni kezdett, a rakéta és az üzemanyag impulzusainak összege nulla volt. Következésképpen a lendület megmaradásának törvénye szerint a motorok bekapcsolása után ezen impulzusok összege is nulla.

hol van a rakéta tömege

A gáz áramlási sebessége

A rakéta sebességének megváltoztatása

∆mf - üzemanyag fogyasztás

Tegyük fel, hogy a rakéta egy ideig működött t .

Az egyenlet mindkét oldalát elosztva ezzel ∆ t, megkapjuk a kifejezést

Newton második törvénye szerint a reaktív erő egyenlő

A reakcióerő vagy a sugárhajtás biztosítja a sugárhajtómű és a hozzá tartozó tárgy mozgását a sugársugár irányával ellentétes irányban.

A sugárhajtóműveket modern repülőgépekben és különféle rakétákban, katonai, űrhajókban stb.