Hogyan találjuk meg egy esemény valószínűségét, példák. A valószínűség klasszikus és statisztikai meghatározása

A közgazdaságtanban, akárcsak az emberi tevékenység más területein vagy a természetben, folyamatosan olyan eseményekkel kell szembenéznünk, amelyeket nem lehet pontosan előre jelezni. Így egy termék értékesítési volumene függ a kereslettől, amely jelentősen változhat, és számos egyéb tényezőtől, amelyeket szinte lehetetlen figyelembe venni. Ezért a termelés megszervezése és az értékesítés során az ilyen tevékenységek kimenetelét vagy saját korábbi tapasztalatai, vagy mások hasonló tapasztalatai, vagy intuíciója alapján kell megjósolnia, amely nagymértékben szintén kísérleti adatokra támaszkodik.

A szóban forgó esemény valamilyen értékeléséhez figyelembe kell venni vagy speciálisan meg kell szervezni azokat a feltételeket, amelyek között ezt az eseményt rögzítik.

A szóban forgó esemény azonosítására meghatározott feltételek vagy intézkedések végrehajtását nevezzük tapasztalat vagy kísérlet.

Az esemény ún véletlen, ha a tapasztalatok következtében előfordulhat vagy nem.

Az esemény ún megbízható, ha az adott élmény hatására szükségszerűen megjelenik, és lehetetlen, ha ez nem jelenhet meg ebben az élményben.

Például a november 30-i moszkvai hóesés véletlenszerű esemény. A napi napkelte megbízható eseménynek tekinthető. Az egyenlítői hóesés lehetetlen eseménynek tekinthető.

A valószínűségszámítás egyik fő feladata egy esemény bekövetkezésének lehetőségének kvantitatív mértékének meghatározása.

Események algebra

Az eseményeket összeegyeztethetetlennek nevezzük, ha nem figyelhetők meg együtt ugyanabban az élményben. Így két és három autó egyidejű jelenléte egy eladó üzletben két összeférhetetlen esemény.

Összeg események olyan esemény, amely ezen események legalább egyikének bekövetkezéséből áll

Példa az események összegére, ha két termék közül legalább egy van az üzletben.

A munka Az események egy olyan esemény, amely mindezen események egyidejű bekövetkezéséből áll

Egy üzletben egyidejűleg két áru megjelenéséből álló esemény események terméke: - egy termék megjelenése, - egy másik termék megjelenése.

Az események akkor alkotnak egy teljes eseménycsoportot, ha legalább az egyik biztosan bekövetkezik a tapasztalatban.

Példa. A kikötőben két kikötőhely található a hajók fogadására. Három eseményt lehet figyelembe venni: - hajók hiánya a kikötőhelyeken, - egy hajó jelenléte az egyik kikötőhelyen, - két hajó jelenléte két kikötőhelyen. Ez a három esemény egy teljes eseménycsoportot alkot.

Szemben két egyedi lehetséges eseményt nevezünk, amelyek egy teljes csoportot alkotnak.

Ha az egyik ellentétes eseményt jelöli, akkor az ellenkező eseményt általában jelöli.

Az esemény valószínűségének klasszikus és statisztikai meghatározásai

A tesztek (kísérletek) egyformán lehetséges eredményét elemi eredménynek nevezzük. Általában betűkkel jelölik őket. Például dobnak egy kockát. Összesen hat elemi eredmény lehet az oldalakon elért pontok száma alapján.

Az elemi eredményekből összetettebb eseményt hozhat létre. Így a páros számú pont eseményét három kimenetel határozza meg: 2, 4, 6.

A szóban forgó esemény bekövetkezésének lehetőségének mennyiségi mérőszáma a valószínűség.

Az esemény valószínűségének legszélesebb körben használt definíciói a következők: klasszikusÉs statisztikai.

A valószínűség klasszikus definíciója a kedvező kimenetel fogalmához kapcsolódik.

Az eredményt ún kedvező adott eseményhez, ha annak bekövetkezése ennek az eseménynek a bekövetkezését vonja maga után.

A fenti példában a kérdéses eseménynek – páros számú pont a görgetett oldalon – három kedvező kimenetele van. Ebben az esetben az általános
lehetséges kimenetelek száma. Ez azt jelenti, hogy itt használható az esemény valószínűségének klasszikus meghatározása.

Klasszikus meghatározás egyenlő a kedvező kimenetelek számának a lehetséges kimenetelek számához viszonyított arányával

ahol az esemény valószínűsége, az esemény számára kedvező kimenetelek száma, a lehetséges kimenetelek száma.

A vizsgált példában

A valószínűség statisztikai definíciója a kísérletekben egy esemény relatív előfordulási gyakoriságának fogalmához kapcsolódik.

Egy esemény előfordulásának relatív gyakoriságát a képlet segítségével számítjuk ki

ahol egy esemény előfordulásának száma egy kísérletsorozatban (kísérletben).

Statisztikai definíció. Az esemény valószínűsége az a szám, amely körül a relatív gyakoriság stabilizálódik (halmaz) a kísérletek számának korlátlan növekedésével.

A gyakorlati feladatokban egy esemény valószínűségét kellően nagy számú kísérlet relatív gyakoriságának tekintjük.

Az esemény valószínűségének ezen definícióiból világos, hogy az egyenlőtlenség mindig teljesül

Egy esemény valószínűségének (1.1) képlet alapján történő meghatározásához gyakran alkalmaznak kombinatorikai képleteket, amelyek segítségével meg lehet találni a kedvező kimenetelek számát és a lehetséges kimenetelek számát.

Amikor egy érmét feldobunk, azt mondhatjuk, hogy fejjel felfelé fog landolni, ill valószínűség ez 1/2. Ez persze nem azt jelenti, hogy ha egy érmét 10-szer feldobnak, akkor az 5-ször feltétlenül fejre fog kerülni. Ha az érme "tisztességes", és sokszor feldobják, akkor a fejek az idő felében nagyon közel fognak landolni. Így kétféle valószínűség létezik: kísérleti És elméleti .

Kísérleti és elméleti valószínűség

Ha egy érmét nagy számban – mondjuk 1000-et – feldobunk, és megszámoljuk, hányszor száll fejre, meg tudjuk határozni annak a valószínűségét, hogy fejen landol. Ha 503-szor dobják a fejeket, akkor kiszámíthatjuk a leszállás valószínűségét:
503/1000 vagy 0,503.

Ez kísérleti valószínűség meghatározása. Ez a valószínűség meghatározása az adatok megfigyeléséből és tanulmányozásából származik, és meglehetősen gyakori és nagyon hasznos. Itt van például néhány kísérletileg meghatározott valószínűség:

1. Annak a valószínűsége, hogy egy nőben mellrák alakul ki, 1/11.

2. Ha megcsókolsz valakit, aki megfázott, akkor annak a valószínűsége, hogy te is megfázol, 0,07.

3. A börtönből most szabadult személynek 80% esélye van a börtönbe való visszatérésre.

Ha fontolóra vesszük egy érme feldobását, és figyelembe vesszük, hogy ugyanolyan valószínű, hogy feljön a feje vagy a farka, akkor kiszámíthatjuk a fejek megszerzésének valószínűségét: 1/2 Ez a valószínűség elméleti meghatározása. Íme néhány további valószínűség, amelyet elméletileg matematikailag határoztak meg:

1. Ha egy szobában 30 ember tartózkodik, annak a valószínűsége, hogy kettőnek azonos a születésnapja (évet nem számítva), 0,706.

2. Egy utazás során találkozol valakivel, és a beszélgetés során rájössz, hogy van egy közös barátod. Tipikus reakció: „Ez nem lehet!” Valójában ez a kifejezés nem megfelelő, mert egy ilyen esemény valószínűsége meglehetősen magas - alig több mint 22%.

Így a kísérleti valószínűségeket megfigyeléssel és adatgyűjtéssel határozzák meg. Az elméleti valószínűségeket matematikai érveléssel határozzuk meg. A kísérleti és elméleti valószínűségekre vonatkozó példák, mint amilyeneket fentebb tárgyaltunk, és különösen azok, amelyekre nem számítunk, elvezetnek bennünket a valószínűségek tanulmányozásának fontosságához. Megkérdezheti: "Mi az igazi valószínűség?" Valójában ilyen nincs. Bizonyos határokon belüli valószínűségek kísérletileg meghatározhatók. Lehet, hogy egybeesnek azokkal a valószínűségekkel, amelyeket elméletileg kapunk, vagy nem. Vannak helyzetek, amikor sokkal könnyebb meghatározni az egyik típusú valószínűséget, mint a másikat. Például elegendő lenne az elméleti valószínűség segítségével meghatározni a megfázás valószínűségét.

Kísérleti valószínűségek számítása

Nézzük először a valószínűség kísérleti meghatározását. Az ilyen valószínűségek kiszámításához használt alapelv a következő.

P elv (kísérleti)

Ha egy olyan kísérletben, amelyben n megfigyelést végzünk, egy E helyzet vagy esemény m-szer fordul elő n megfigyelésben, akkor az esemény kísérleti valószínűségét P (E) = m/n-nek mondjuk.

1. példa Szociológiai felmérés. Kísérleti vizsgálatot végeztek a balkezesek, a jobbkezesek és az egyformán fejlett emberek számának meghatározására. Az eredményeket a grafikon mutatja.

a) Határozza meg annak valószínűségét, hogy az illető jobbkezes!

b) Határozza meg annak valószínűségét, hogy az illető balkezes!

c) Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy személy mindkét kezében egyformán folyékonyan beszél!

d) A legtöbb Professzionális Bowling Szövetség versenye 120 játékosra korlátozódik. A kísérlet adatai alapján hány játékos lehet balkezes?

Megoldás

a) A jobbkezesek száma 82, a balkezesek száma 17, a kétkezesek száma 1. A megfigyelések száma összesen 100. Így ennek a valószínűsége hogy egy személy jobbkezes, az P
P = 82/100, vagy 0,82 vagy 82%.

b) Annak a valószínűsége, hogy valaki balkezes, P, ahol
P = 17/100, vagy 0,17 vagy 17%.

c) Annak a valószínűsége, hogy egy személy mindkét kezében egyformán folyékonyan beszél, P, ahol
P = 1/100 vagy 0,01 vagy 1%.

d) 120 teketős, a b) pontból pedig 17%-ra számíthatunk balkezesre. Innen
120 17%-a = 0,17,120 = 20,4,
vagyis körülbelül 20 játékos balkezesre számíthatunk.

2. példa Minőség ellenőrzés . Nagyon fontos, hogy a gyártó termékei minőségét magas szinten tartsa. Valójában a vállalatok minőség-ellenőrző ellenőröket alkalmaznak ennek a folyamatnak a biztosítására. A cél a lehető legkisebb számú hibás termék előállítása. De mivel a vállalat naponta több ezer terméket gyárt, nem engedheti meg magának, hogy minden terméket teszteljen, hogy megállapítsa, hibás-e vagy sem. Ahhoz, hogy megtudja, a termékek hány százaléka hibás, a cég sokkal kevesebb terméket tesztel.
Az USDA előírja, hogy a termelők által értékesített vetőmagok 80%-ának csíráznia kell. Egy mezőgazdasági vállalat által termelt vetőmag minőségének megállapításához a megtermelt vetőmagból 500 darabot elültetnek. Ezt követően 417 magot számoltak ki.

a) Mennyi a valószínűsége, hogy a mag kicsírázik?

b) Megfelelnek-e a vetőmagok a kormányzati előírásoknak?

Megoldás a) Tudjuk, hogy az elültetett 500 magból 417 kelt ki. A mag csírázásának valószínűsége P, és
P = 417/500 = 0,834, vagyis 83,4%.

b) Mivel a kicsírázott magvak aránya meghaladta a 80%-ot, a magok megfelelnek a kormányzati előírásoknak.

3. példa Televíziós értékelések. A statisztikák szerint az Egyesült Államokban 105 500 000 háztartásban van televízió. Minden héten összegyűjtjük és feldolgozzuk a műsorok megtekintésével kapcsolatos információkat. Egy hét alatt 7 815 000 háztartás hallgatta a CBS „Everybody Loves Raymond” című vígjátéksorozatát, és 8 302 000 háztartás a „Law & Order” című slágersorozatot az NBC-n (forrás: Nielsen Media Research). Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy háztartás tévéje „Everybody Loves Raymond”-ra van beállítva egy adott héten „Law & Order”-re?

Megoldás Annak a valószínűsége, hogy egy háztartásban a TV-készülék „Everybody Loves Raymond”-ra van beállítva, P, és
P = 7 815 000/105 500 000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Annak az esélye, hogy a háztartás TV-jét Law & Orderre hangolták, P, és
P = 8 302 000/105 500 000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ezeket a százalékokat minősítésnek nevezzük.

Elméleti valószínűség

Tételezzük fel, hogy kísérletet végzünk, például pénzérmét vagy dartsot dobunk, kártyát húzunk a pakliból, vagy termékek minőségét teszteljük egy futószalagon. Egy ilyen kísérlet minden lehetséges eredményét ún Kivonulás . Az összes lehetséges eredmény halmazát ún eredmény tér . Esemény az eredmények halmaza, vagyis az eredmények terének egy részhalmaza.

4. példa Darts dobása. Tegyük fel, hogy egy nyíldobási kísérletben egy nyíl célba talál. Keresse meg a következőket:

b) Eredménytér

Megoldás
a) A végeredmény: fekete (B), piros (R) és fehér (B) ütése.

b) Az eredmények tere (fekete ütés, piros ütés, fehér ütés), amely egyszerűen (H, K, B) írható fel.

5. példa Kockadobás. A kocka olyan kocka, amelynek hat oldala van, mindegyikre 1-6 pont van rajzolva.

Tegyük fel, hogy dobunk egy kockát. megtalálja
a) Eredmények
b) Eredménytér

Megoldás
a) Eredmények: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Eredménytér (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Az E esemény bekövetkezésének valószínűségét P(E) jelöljük. Például az „az érme a fejeken fog landolni” H-val jelölhető. Ekkor P(H) azt a valószínűséget jelenti, hogy az érme fejen fog landolni. Ha egy kísérlet minden kimenetelének előfordulási valószínűsége azonos, akkor azt egyformán valószínűnek mondjuk. Az egyformán valószínű és nem valószínű események közötti különbségek megtekintéséhez vegye figyelembe az alábbi célt.

Az A célpont esetében a fekete, piros és fehér eltalálás eseményei egyformán valószínűek, mivel a fekete, piros és fehér szektorok megegyeznek. A B célpontnál azonban az ilyen színű zónák nem egyformák, vagyis az eltalálásuk nem egyformán valószínű.

P elv (elméleti)

Ha egy E esemény m módon megtörténhet az S kimeneti térből származó n lehetséges egyformán valószínű kimenetel közül, akkor elméleti valószínűség események, P(E) az
P(E) = m/n.

6. példa Mennyi annak a valószínűsége, hogy kockával dobunk 3-at?

Megoldás Egy kockán 6 egyformán valószínű eredmény van, és csak egy lehetőség van a 3-as szám dobására. Ekkor a P valószínűség P(3) = 1/6.

7. példa Mennyi annak a valószínűsége, hogy páros számot dobunk a kockán?

Megoldás Az esemény egy páros szám dobása. Ez 3 módon történhet (ha 2-t, 4-et vagy 6-ot dobsz). Az egyformán valószínű kimenetelek száma 6. Ekkor a valószínűség P(páros) = 3/6, vagyis 1/2.

Számos példát fogunk használni, amelyek egy szabványos 52 lapos paklira vonatkoznak. Ez a pakli az alábbi ábrán látható kártyákból áll.

8. példa Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy jól megkevert kártyapakliból ászt húzunk?

Megoldás 52 kimenetel van (a kártyák száma a pakliban), ezek egyformán valószínűek (ha a pakli jól van megkeverve), és 4 módon lehet ászt húzni, tehát a P elv szerint a valószínűség
P(ász húz) = 4/52 vagy 1/13.

9. példa Tegyük fel, hogy anélkül, hogy megnéznénk, kiválasztunk egy labdát egy zacskóból, amelyben 3 piros és 4 zöld golyó található. Mennyi a valószínűsége, hogy piros golyót választunk?

Megoldás Bármely golyó húzásának 7 egyformán valószínű kimenetele van, és mivel a piros golyó húzásának 3 módja van, azt kapjuk,
P (piros labda kiválasztása) = 3/7.

A következő állítások a P elv eredményei.

A valószínűség tulajdonságai

a) Ha az E esemény nem következhet be, akkor P(E) = 0.
b) Ha az E esemény biztosan bekövetkezik, akkor P(E) = 1.
c) Az E esemény bekövetkezésének valószínűsége egy 0 és 1 közötti szám: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Például egy érmefeldobásnál nulla a valószínűsége annak, hogy az érme a szélére kerül. Annak a valószínűsége, hogy egy érme fej vagy farok, 1.

10. példa Tegyük fel, hogy egy 52 lapos pakliból 2 lapot húznak. Mekkora a valószínűsége annak, hogy mindkettő csúcs?

Megoldás Egy jól megkevert 52 lapból álló pakliból 2 kártya húzásának n számú módja 52 C 2 . Mivel az 52 lapból 13 ásó, 2 ásó m húzási módja 13 C 2 . Akkor,
P (2 csúcs húzása) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

11. példa Tegyük fel, hogy 6 férfiból és 4 nőből álló csoportból véletlenszerűen választanak ki 3 embert. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 1 férfit és 2 nőt választanak ki?

Megoldás Egy 10 fős csoportból három embert 10 C 3 lehet kiválasztani. Egy férfi 6 C 1 módon, 2 nő pedig 4 C 2 módon választható. A számolás alapelve szerint 1 férfi és 2 nő kiválasztásának módjai 6 C 1. 4 C 2 . Ekkor annak a valószínűsége, hogy 1 férfit és 2 nőt választanak ki
P = 6 C 1. 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

12. példa Kockadobás. Mennyi a valószínűsége annak, hogy két kockával összesen 8-at dobunk?

Megoldás Minden kockának 6 lehetséges kimenetele van. Az eredmények megduplázódnak, ami azt jelenti, hogy 6,6 vagy 36 lehetséges módja van a két kockán lévő számok megjelenésének. (Jobb, ha a kockák különbözőek, mondjuk az egyik piros, a másik kék - ez segít az eredmény vizualizálásában.)

A 8-at adó számpárok az alábbi ábrán láthatók. 5 lehetséges módja van a 8-cal egyenlő összeg elérésének, ezért a valószínűség 5/36.

A matematika egységes államvizsga-feladataiban is vannak összetettebb valószínűségi problémák (mint azt az 1. részben tárgyaltuk), ahol az összeadás, a valószínűségek szorzása szabályát kell alkalmazni, és meg kell különböztetni a kompatibilis és össze nem egyeztethető eseményeket.

Szóval, az elmélet.

Közös és nem közös rendezvények

Az eseményeket összeegyeztethetetlennek nevezzük, ha az egyik előfordulása kizárja a többi előfordulását. Vagyis csak egy konkrét esemény történhet meg.

Például kockával dobáskor különbséget tehet az olyan események között, mint például a páros számú és a páratlan számú pont megszerzése. Ezek az események összeegyeztethetetlenek.

Együttesnek nevezzük az eseményeket, ha az egyik előfordulása nem zárja ki a másik bekövetkezését.

Például kockával dobáskor megkülönböztethet olyan eseményeket, mint a páratlan számú pont dobása és a három többszörösének megfelelő számú pont dobása. Ha hármast dobunk, mindkét esemény bekövetkezik.

Az események összege

Több esemény összege (vagy kombinációja) olyan esemény, amely ezen események legalább egyikének bekövetkezéséből áll.

Ahol két összeférhetetlen esemény összege az események valószínűségeinek összege:

Például annak a valószínűsége, hogy egy dobással 5 vagy 6 pontot kapunk egy kockán, , mivel mindkét esemény (5-ös dobás, 6-os dobás) nem konzisztens, és az egyik vagy a másik esemény bekövetkezésének valószínűségét a következőképpen számítjuk ki:

A valószínűség két közös rendezvény összege egyenlő ezen események valószínűségeinek összegével, anélkül, hogy figyelembe vennénk együttes előfordulásukat:

Például egy bevásárlóközpontban két egyforma gép árul kávét. 0,3 annak a valószínűsége, hogy a gépből a nap végére kifogy a kávé. 0,12 annak a valószínűsége, hogy mindkét gépből kifogy a kávé. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a nap végére legalább az egyik gépből kifogy a kávé (vagyis vagy az egyikből, vagy a másikból, vagy mindkettőből egyszerre).

Az első esemény valószínűsége, hogy „a kávé kifogy az első gépből”, valamint a második esemény „a kávé kifogy a második gépből” valószínűsége a feltétel szerint 0,3. Az események közösen zajlanak.

Az első két esemény együttes előfordulásának valószínűsége a feltétel szerint 0,12.

Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy a nap végére legalább az egyik gépből kifogy a kávé

Függő és független események

Két véletlenszerű eseményt A és B függetlennek nevezünk, ha az egyik előfordulása nem változtatja meg a másik bekövetkezésének valószínűségét. Egyébként az A és B eseményeket függőnek nevezzük.

Például amikor két kockával egyszerre dobunk, az egyik, mondjuk az 1, a másik, az 5, független események.

A valószínűségek szorzata

Több esemény szorzata (vagy metszéspontja) egy esemény, amely mindezen események együttes előfordulásából áll.

Ha kettő előfordul független események A és B P(A), illetve P(B) valószínűséggel, akkor az A és B események egyidejű bekövetkezésének valószínűsége egyenlő a valószínűségek szorzatával:

Például arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy hatos kétszer egymás után megjelenik egy kockakockán. Mindkét esemény független, és annak a valószínűsége, hogy mindegyik külön-külön bekövetkezik, . Mindkét esemény bekövetkezésének valószínűségét a fenti képlet segítségével számítjuk ki: .

Tekintse meg a kiválasztott feladatokat a téma gyakorlásához.

A valószínűség valamely esemény bekövetkezésének lehetőségének mértéke (relatív mértéke, mennyiségi értékelése). Ha egy lehetséges esemény tényleges bekövetkezésének okai felülmúlják az ellenkező okokat, akkor ezt az eseményt valószínűnek, ellenkező esetben valószínűtlennek vagy valószínűtlennek nevezzük. A pozitív okok túlsúlya a negatívakkal szemben, és fordítva, eltérő mértékű lehet, aminek következtében a valószínűség (és a valószínűtlenség) lehet kisebb-nagyobb. Ezért a valószínűséget gyakran minőségi szinten értékelik, különösen olyan esetekben, amikor a többé-kevésbé pontos mennyiségi értékelés lehetetlen vagy rendkívül nehéz. A valószínűségi „szintek” különböző fokozatai lehetségesek.
A valószínűség matematikai szempontból történő vizsgálata egy speciális tudományágat - a valószínűségszámítást - alkot. A valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában a valószínűség fogalmát egy esemény numerikus jellemzőjeként formalizálják - valószínűségi mértékként (vagy annak értékén) - események halmazán (elemi események halmazának részhalmazán), értékeket vesz fel. -tól
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Jelentése
(\displaystyle 1)
Megbízható eseménynek felel meg. Egy lehetetlen esemény valószínűsége 0 (a fordítottja általában nem mindig igaz). Ha egy esemény bekövetkezésének valószínűsége egyenlő
(\displaystyle p)
Ekkor a be nem következésének valószínűsége egyenlő
(\displaystyle 1-p)
Különösen a valószínűség
(\displaystyle 1/2)
Egy esemény bekövetkezésének és be nem következésének egyenlő valószínűségét jelenti.
A valószínűség klasszikus meghatározása az eredmények egyenlő valószínűségének koncepcióján alapul. A valószínűség az adott eseményre kedvező kimenetelek számának az egyformán lehetséges kimenetelek számához viszonyított aránya. Például annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerű érmefeldobás során fejeket vagy farkat kapnak, 1/2, ha feltételezzük, hogy csak ez a két lehetőség fordul elő, és egyformán lehetségesek. A valószínűségnek ez a klasszikus „definíciója” végtelen számú lehetséges érték esetére általánosítható – például, ha valamilyen esemény azonos valószínűséggel bekövetkezhet bármely pontban (a pontok száma végtelen) egy korlátozott tartományban. tér (sík), akkor annak a valószínűsége, hogy ennek a megvalósítható tartománynak valamely részén előfordul, egyenlő ennek a résznek a térfogatának (területének) és az összes lehetséges pont tartományának térfogatának (területének) arányával.
A valószínűség empirikus „definíciója” egy esemény gyakoriságához kapcsolódik, azon alapul, hogy kellően nagy számú kísérlet esetén a gyakoriságnak ennek az eseménynek az objektív valószínűségi fokára kell irányulnia. A valószínűségszámítás modern bemutatásában a valószínűséget axiomatikusan, az absztrakt halmazmértékelmélet speciális eseteként határozzák meg. Az absztrakt mérték és az esemény bekövetkezésének valószínűségét kifejező valószínűség közötti összekötő kapocs azonban éppen a megfigyelésének gyakorisága.
Egyes jelenségek valószínűségi leírása elterjedt a modern tudományban, különösen az ökonometriában, a makroszkopikus (termodinamikai) rendszerek statisztikai fizikájában, ahol a részecskék mozgásának klasszikus determinisztikus leírása esetén is a teljes rendszer determinisztikus leírása. részecskékből való kivonása gyakorlatilag nem tűnik lehetségesnek vagy megfelelőnek. A kvantumfizikában a leírt folyamatok maguk is valószínűségi jellegűek.

Mi a valószínűség?

Amikor először találkoztam ezzel a kifejezéssel, nem értettem volna, mi az. Ezért megpróbálom érthetően elmagyarázni.

A valószínűség annak az esélye, hogy a kívánt esemény megtörténik.

Például úgy döntött, hogy elmegy egy barátja házába, emlékszik a bejáratra, és még a padlóra is, amelyen él. De elfelejtettem a lakás számát és helyét. És most a lépcsőn állsz, és előtted ajtók állnak, amelyek közül választhatsz.

Mekkora az esélye (valószínűsége), hogy ha az első csengőt csengeti, a barátja nyitja be helyette? Csak apartmanok vannak, és csak az egyik mögött lakik egy barát. Egyenlő eséllyel bármelyik ajtót választhatjuk.

De mi ez az esély?

Az ajtó, a jobb oldali ajtó. Az első ajtócsengő megnyomásával való találgatás valószínűsége: . Vagyis háromból egyszer pontosan kitalál.

Szeretnénk tudni, hogy miután egyszer telefonáltunk, milyen gyakran találjuk ki az ajtót? Nézzük meg az összes lehetőséget:

Hívtál 1 ajtó
Hívtál 2 ajtó
Hívtál 3 ajtó

Most nézzük meg az összes lehetőséget, ahol egy barát lehet:

A. Mögött 1 az ajtó
b. Mögött 2 az ajtó
V. Mögött 3 az ajtó

Hasonlítsuk össze az összes lehetőséget táblázat formájában. A pipa jelzi az opciókat, ha a választása egybeesik egy barát tartózkodási helyével, egy kereszt - ha nem egyezik.

Hogyan lát mindent Talán lehetőségek barátja tartózkodási helye és az Ön választása, hogy melyik ajtót csengessen.

A mindennek kedvező kimenetele . Vagyis egyszer kitalálja, ha egyszer megnyomja a csengőt, azaz. .

Ez a valószínűség - a kedvező kimenetel (ha a választásod egybeesik a barátod tartózkodási helyével) aránya a lehetséges események számához.

A definíció a képlet. A valószínűséget általában p-vel jelölik, ezért:

Nem túl kényelmes ilyen képletet írni, ezért - a kedvező kimenetelek számát és - az összes kimenetel számát vesszük.

A valószínűség százalékban is felírható, ehhez meg kell szorozni a kapott eredményt:

Az „eredmények” szó valószínűleg megragadta a tekintetét. Mivel a matematikusok különféle cselekvéseket (esetünkben egy ilyen csengőt) kísérletnek neveznek, az ilyen kísérletek eredményét általában eredménynek nevezik.

Nos, vannak kedvező és kedvezőtlen eredmények.

Térjünk vissza példánkhoz. Tegyük fel, hogy becsöngettük az egyik ajtót, de egy idegen kinyitotta nekünk. Nem tippeltünk jól. Mekkora a valószínűsége annak, hogy ha a megmaradt ajtók egyikét becsöngetjük, a barátunk kinyitja nekünk?

Ha így gondoltad, akkor ez tévedés. Találjuk ki.

Két ajtónk maradt. Tehát vannak lehetséges lépéseink:

1) Hívjon 1 ajtó
2) Hívjon 2 ajtó

A barát mindezek ellenére biztosan ott áll az egyik mögött (elvégre nem ő volt az mögött, akit hívtunk):

a) Barát 1 az ajtó
b) Barát számára 2 az ajtó

Rajzoljuk meg újra a táblázatot:

Amint látja, csak lehetőségek vannak, amelyek közül előnyösek. Vagyis a valószínűség egyenlő.

Miért ne?

Az általunk vizsgált helyzet az példa a függő eseményekre. Az első esemény az első csengő, a második esemény a második csengő.

És függőnek nevezik őket, mert befolyásolják a következő cselekvéseket. Végül is, ha az első csengetés után egy barát válaszolt a csengőre, mennyi a valószínűsége, hogy a másik kettő egyike mögött van? Jobb, .

De ha vannak függő események, akkor is kell lenniük független? Így van, előfordulnak.

Tankönyvi példa az érme feldobása.

Dobj fel egy érmét egyszer. Mennyi a valószínűsége annak, hogy például fejeket kapnak? Így van – hiszen minden lehetőség van (akár fej, akár farok, ne felejtsük el annak a valószínűségét, hogy az érme a szélén landol), de ez csak nekünk illik.
De felkapott a feje. Oké, dobjuk újra. Mekkora a valószínűsége annak, hogy most kapnak fejeket? Semmi sem változott, minden a régi. Hány lehetőség? Kettő. Hány emberrel vagyunk elégedettek? Egy.

És legalább ezerszer szóba kerüljön egymás után. Ugyanannyi lesz a valószínűsége annak, hogy egyszerre kapnak fejeket. Mindig vannak lehetőségek, és kedvezőek is.

Könnyű megkülönböztetni a függő eseményeket a függetlenektől:

Ha a kísérletet egyszer hajtják végre (egyszer dobnak érmét, egyszer csöngetnek stb.), akkor az események mindig függetlenek.
Ha egy kísérletet többször hajtanak végre (egyszer dobnak egy érmét, többször megnyomják a csengőt), akkor az első esemény mindig független. És akkor, ha a kedvezőek vagy az összes kimenet száma változik, akkor az események függőek, ha nem, akkor függetlenek.

Gyakoroljuk egy kicsit a valószínűség meghatározását.

1. példa

Az érmét kétszer dobják fel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egymás után kétszer kapunk fejet?

Megoldás:

Nézzük meg az összes lehetséges lehetőséget:

Eagle-eagle
Fej-farok
Farok-fejek
Farok-farok

Amint látja, csak lehetőségek vannak. Ezek közül csak elégedettek vagyunk. Vagyis a valószínűség:

Ha a feltétel egyszerűen a valószínűség meghatározását kéri, akkor a választ tizedes tört formájában kell megadni. Ha az lenne megadva, hogy a választ százalékban kell megadni, akkor szoroznánk.

Válasz:

2. példa

Egy doboz csokoládéban az összes csokoládé ugyanabba a csomagolásba van csomagolva. De édességből - dióval, konyakkal, cseresznyével, karamellel és nugáttal.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy veszünk egy cukorkát, és kapunk egy édességet dióval? Válaszát százalékban adja meg!

Megoldás:

Hány lehetséges kimenetel van? .

Vagyis ha veszel egy cukorkát, akkor az egyike lesz a dobozban kapható cukorkának.

Hány kedvező eredmény?

Mert a doboz csak diós csokit tartalmaz.

Válasz:

3. példa

Egy doboz léggömbben. amelyek közül fehér és fekete.

Mennyi a valószínűsége annak, hogy fehér golyót rajzolunk?
További fekete golyókat adtunk a dobozhoz. Mennyi a valószínűsége annak, hogy fehér golyót húzunk?

Megoldás:

a) Csak golyók vannak a dobozban. Közülük fehérek.

Ennek a valószínűsége:

b) Most több golyó van a dobozban. És ugyanannyi fehér maradt - .

Válasz:

Teljes valószínűség

Az összes lehetséges esemény valószínűsége egyenlő ().

Tegyük fel, hogy egy dobozban piros és zöld golyók vannak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy piros golyót húzunk? Zöld labda? Piros vagy zöld labda?

Piros golyó rajzolásának valószínűsége

Zöld golyó:

Piros vagy zöld golyó:

Mint látható, az összes lehetséges esemény összege egyenlő (). Ennek a pontnak a megértése sok probléma megoldásában segít.

4. példa

A dobozban markerek találhatók: zöld, piros, kék, sárga, fekete.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy NEM piros jelölőt rajzol?

Megoldás:

Számoljuk meg a számot kedvező eredményeket.

NEM piros marker, ez zöldet, kéket, sárgát vagy feketét jelent.

Valamennyi esemény valószínűsége. Az általunk kedvezőtlennek ítélt események valószínűsége pedig (amikor piros jelzőt veszünk ki) .

Így a NEM piros filctoll kihúzásának valószínűsége .

Válasz:

Annak a valószínűsége, hogy egy esemény nem következik be, egyenlő mínusz az esemény bekövetkezésének valószínűségével.

Független események valószínűségének szorzásának szabálya

Már tudja, mik a független események.

Mi a teendő, ha meg kell találnia annak valószínűségét, hogy két (vagy több) független esemény egymás után következik be?

Tegyük fel, hogy tudni szeretnénk, mennyi a valószínűsége annak, hogy ha egyszer feldobunk egy érmét, kétszer látunk fejet?

Már mérlegeltük - .

Mi van, ha egyszer feldobunk egy érmét? Mennyi annak a valószínűsége, hogy kétszer egymás után látunk egy sast?

Összes lehetséges opció:

Sas-sas-sas
Fej-fej-fark
Fej-farok-fej
Fej-farok-farok
Farok-fejek-fejek
Farok-fej-farok
Farok-farok-fej
Farok-farok-farok

Nem tudom, ti hogy vagytok vele, de többször is hibáztam a lista összeállításakor. Azta! És csak az (első) lehetőség felel meg nekünk.

5 dobásnál magad készíthetsz egy listát a lehetséges kimenetelekről. De a matematikusok nem olyan szorgalmasak, mint te.

Ezért először észrevették, majd bebizonyították, hogy egy bizonyos független eseménysorozat valószínűsége minden alkalommal egy esemény valószínűségével csökken.

Más szavakkal,

Nézzük meg ugyanarra a balszerencsés érmére a példát.

Valószínű, hogy fejet kap egy kihívás? . Most egyszer feldobjuk az érmét.

Mekkora a valószínűsége annak, hogy a fejek sorra kerülnek?

Ez a szabály nem csak akkor működik, ha meg kell keresnünk annak valószínűségét, hogy ugyanaz az esemény egymás után többször megtörténik.

Ha meg akarnánk találni a FAROK-FEJ-FAROK sorrendet az egymást követő dobásokhoz, akkor ugyanezt tennénk.

A fejek leszállásának valószínűsége - , fejek - .

A TAILS-HEADS-TAILS-TAILS sorozat megszerzésének valószínűsége:

Egy táblázat elkészítésével Ön is ellenőrizheti.

Az inkompatibilis események valószínűségeinek összeadásának szabálya.

Szóval állj meg! Új meghatározás.

Találjuk ki. Vegyük elhasznált érmünket, és dobjuk fel egyszer.
Lehetséges opciók:

Sas-sas-sas
Fej-fej-fark
Fej-farok-fej
Fej-farok-farok
Farok-fejek-fejek
Farok-fej-farok
Farok-farok-fej
Farok-farok-farok

Tehát az összeférhetetlen események egy bizonyos, adott eseménysorozat. - ezek összeférhetetlen események.

Ha meg akarjuk határozni, hogy mekkora a valószínűsége két (vagy több) összeférhetetlen eseménynek, akkor összeadjuk ezeknek az eseményeknek a valószínűségét.

Meg kell értened, hogy a fej vagy a farok két független esemény.

Ha meg akarjuk határozni egy sorozat (vagy bármely más) előfordulásának valószínűségét, akkor a valószínűségek szorzásának szabályát alkalmazzuk.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy az első dobásnál fej, a második és harmadik dobásnál pedig farok lesz?

De ha tudni akarjuk, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy több sorozat közül egyet kapunk, például amikor a fejek pontosan egyszer jönnek elő, pl. opciókat, majd össze kell adnunk ezeknek a sorozatoknak a valószínűségét.

Az összes lehetőség megfelel nekünk.

Ugyanezt megkaphatjuk, ha összeadjuk az egyes sorozatok előfordulási valószínűségét:

Így valószínűségeket adunk hozzá, ha bizonyos, inkonzisztens eseménysorozatok valószínűségét akarjuk meghatározni.

Van egy nagyszerű szabály, amely segít elkerülni, hogy összezavarodjon, mikor kell szorozni és mikor kell összeadni:

Térjünk vissza ahhoz a példához, amikor egyszer feldobtunk egy érmét, és meg akartuk tudni, mekkora valószínűséggel látunk fejeket egyszer.
Mi fog történni?

Ki kell esni:
(heads AND tails AND tails) VAGY (farok AND heads AND tails) VAGY (farok ÉS farok ÉS fej).
Így derül ki:

Nézzünk néhány példát.

5. példa

A dobozban ceruzák vannak. piros, zöld, narancs és sárga és fekete. Mennyi a valószínűsége, hogy piros vagy zöld ceruzát rajzol?

Megoldás:

Mi fog történni? Húznunk kell (piros VAGY zöld).

Most már világos, adjuk össze ezeknek az eseményeknek a valószínűségét:

Válasz:

6. példa.

Ha egy kockával kétszer dobnak, mekkora a valószínűsége annak, hogy összesen 8-at kapunk?

Megoldás.

Hogyan szerezhetünk pontokat?

(és) vagy (és) vagy (és) vagy (és) vagy (és).

Egy (bármely) arc megszerzésének valószínűsége .

Kiszámoljuk a valószínűséget:

Válasz:

Kiképzés.

Azt hiszem, most már megérti, mikor kell valószínűségeket számolni, mikor kell összeadni és mikor kell szorozni. Nem? Gyakoroljunk egy kicsit.

Feladatok:

Vegyünk egy kártyapaklit, amely ásókat, szíveket, 13 ütőt és 13 gyémántot tartalmaz. Minden színből ászig.

Mekkora a valószínűsége annak, hogy ütőket húzunk egymás után (az első kihúzott lapot visszatesszük a pakliba és megkeverjük)?
Mennyi a valószínűsége annak, hogy fekete kártyát (ásó vagy ütő) húznak?
Mennyi a valószínűsége annak, hogy rajzolunk egy képet (bukó, dáma, király vagy ász)?
Mennyi a valószínűsége annak, hogy egymás után két képet húzunk (az első kihúzott kártyát kivesszük a pakliból)?
Mekkora a valószínűsége, hogy két kártyát szedve összegyűjtünk egy kombinációt - (bukó, dáma vagy király) és egy ászt A kártyák felhúzásának sorrendje nem számít?

Válaszok:

Az egyes értékű kártyapakliban ez azt jelenti:
Az események függőek, mivel az első kártya kihúzása után a pakliban lévő kártyák száma csökkent (ahogyan a „képek” száma is). Kezdetben összesen bubi, dáma, király és ász van a pakliban, ami azt jelenti, hogy az első lappal „kép” húzható:
Mivel az első kártyát eltávolítjuk a pakliból, ez azt jelenti, hogy már vannak kártyák a pakliban, beleértve a képeket. A kép rajzolásának valószínűsége a második kártyával:
Mivel minket az a helyzet érdekel, amikor kiveszünk egy „képet” ÉS egy „képet” a pakliból, meg kell szoroznunk a valószínűségeket:
Válasz:
Az első kártya kihúzása után a pakliban lévő kártyák száma csökkenni fog, így két lehetőség felel meg nekünk:
1) Az első lap ász, a második bubi, dáma vagy király
2) Az első lappal kiveszünk egy bubit, dámát vagy királyt, a másodikkal pedig egy ászt. (ász és (bubi vagy dáma vagy király)) vagy ((bukó vagy dáma vagy király) és ász). Ne feledkezzünk meg a kártyák számának csökkentéséről a pakliban!

Ha minden problémát magad tudtál megoldani, akkor nagyszerű vagy! Most úgy fogja feltörni a valószínűségszámítási feladatokat az egységes államvizsgán, mint a diót!

VALÓSZÍNŰSÉGI ELMÉLET. ÁTLAGOS SZINT

Nézzünk egy példát. Tegyük fel, hogy dobunk egy kockát. Milyen csont ez, tudod? Ezt hívják egy kockának számokkal a lapjain. Hány arc, annyi szám: től hányig? Előtt.

Tehát dobunk a kockával, és szeretnénk, hogy feljöjjön ill. És megkapjuk.

A valószínűségszámításban azt mondják, mi történt kedvező esemény(nem tévesztendő össze a boldogulóval).

Ha megtörténne, az esemény is kedvező lenne. Összesen csak két kedvező esemény történhet.

Hány kedvezőtlen? Mivel totálisan lehetséges események, ez azt jelenti, hogy a kedvezőtlenek események (ez az if vagy kiesik).

Meghatározás:

A valószínűség a kedvező események számának az összes lehetséges esemény számához viszonyított aránya. Vagyis a valószínűség azt mutatja meg, hogy az összes lehetséges esemény hány százaléka kedvező.

A valószínűséget latin betűvel jelölik (nyilván az angol probability - valószínűség szóból).

Szokásos a valószínűséget százalékban mérni (lásd a és témaköröket). Ehhez meg kell szorozni a valószínűségi értéket. A kocka példában valószínűség.

És százalékban: .

Példák (döntsd el magad):

Mekkora a valószínűsége annak, hogy érme feldobásakor fejet kapnak? Mennyi a valószínűsége a fejek leszállásának?
Mennyi annak a valószínűsége, hogy páros számot kapunk kockadobáskor? És melyik a furcsa?
Egy dobozban egyszerű, kék és piros ceruza. Véletlenszerűen rajzolunk egy ceruzát. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egyszerűt kapunk?

Megoldások:

Hány lehetőség van? Fej és farok – csak kettő. Hányan kedvezőek közülük? Csak egy a sas. Tehát a valószínűség
Ugyanez a helyzet a farokkal: .
Összes opciók: (hány oldala van a kockának, annyi különböző lehetőség). Kedvezőek: (ezek mind páros számok:).
Valószínűség. Természetesen ez a páratlan számokkal is így van.
Teljes: . Kedvező: . Valószínűség: .

Teljes valószínűség

A dobozban lévő összes ceruza zöld. Mennyi a valószínűsége annak, hogy rajzolunk egy piros ceruzát? Nincs esély: valószínűség (végül is kedvező események -).

Egy ilyen eseményt lehetetlennek neveznek.

Mennyi a valószínűsége annak, hogy zöld ceruzát rajzolunk? Pontosan ugyanannyi kedvező esemény van, mint összes esemény (minden esemény kedvező). Tehát a valószínűség egyenlő vagy.

Az ilyen eseményt megbízhatónak nevezik.

Ha egy doboz zöld és piros ceruzát tartalmaz, mekkora a valószínűsége annak, hogy zöldet vagy pirosat rajzol? Ismét. Jegyezzük meg: a zöld kihúzásának valószínűsége egyenlő, a piros pedig egyenlő.

Összegezve, ezek a valószínűségek pontosan egyenlőek. vagyis az összes lehetséges esemény valószínűségének összege egyenlő vagy.

Példa:

Egy doboz ceruza van köztük kék, piros, zöld, sima, sárga, a többi narancssárga. Mennyi annak a valószínűsége, hogy nem rajzolunk zöldet?

Megoldás:

Emlékezzünk rá, hogy minden valószínűség összeadódik. És a valószínűsége, hogy zöld lesz, egyenlő. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy nem rajzolunk zöldet, egyenlő.

Emlékezz erre a trükkre: annak a valószínűsége, hogy egy esemény nem következik be, egyenlő mínusz az esemény bekövetkezésének valószínűségével.

Független események és a szorzási szabály

Egyszer feldobsz egy érmét, és azt szeretnéd, ha mindkét alkalommal felbukkanna. Mi ennek a valószínűsége?

Nézzük meg az összes lehetséges lehetőséget, és határozzuk meg, hány van:

Fej-fej, farok-fej, fej-fark, farok-fark. Mi más?

Összes opció. Ezek közül csak egy felel meg nekünk: Eagle-Eagle. Összességében a valószínűség egyenlő.

Bírság. Most pedig dobjunk fel egyszer egy érmét. Számolj te magad. Megtörtént? (válasz).

Talán észrevetted, hogy minden további dobás hozzáadásával a valószínűség felére csökken. Az általános szabály az ún szorzási szabály:

A független események valószínűsége megváltozik.

Mik azok a független események? Minden logikus: ezek azok, amelyek nem függnek egymástól. Például amikor többször dobunk egy érmét, minden alkalommal új dobás történik, aminek eredménye nem függ minden korábbi dobástól. Ugyanilyen könnyen dobhatunk két különböző érmét egyszerre.

További példák:

A kockát kétszer dobják. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét alkalommal előjön?
Az érmét egyszer fel kell dobni. Mekkora a valószínűsége annak, hogy először feljön a fejével, majd kétszer?
A játékos két kockával dob. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a rajtuk lévő számok összege egyenlő lesz?

Válaszok:

Az események függetlenek, ami azt jelenti, hogy a szorzási szabály működik: .
A fejek valószínűsége egyenlő. A farok valószínűsége azonos. Szorzás:
12-t csak akkor kaphatunk, ha két -ki-t dobunk: .

Inkompatibilis események és az összeadási szabály

Azokat az eseményeket, amelyek egymást a teljes valószínűségig kiegészítik, összeférhetetlennek nevezzük. Ahogy a neve is sugallja, ezek nem történhetnek egyszerre. Például, ha feldobunk egy érmét, felbukkanhat fej vagy farok.

Példa.

Egy doboz ceruza van köztük kék, piros, zöld, sima, sárga, a többi narancssárga. Mennyi a valószínűsége annak, hogy zöldet vagy pirosat rajzolunk?

Megoldás .

A zöld ceruza rajzolásának valószínűsége egyenlő. Piros -.

Kedvező események összességében: zöld + piros. Ez azt jelenti, hogy a zöld vagy piros rajzolás valószínűsége egyenlő.

Ugyanez a valószínűség ábrázolható ebben a formában: .

Ez az összeadás szabálya: az összeférhetetlen események valószínűsége összeadódik.

Vegyes típusú problémák

Példa.

Az érmét kétszer dobják fel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobások eredménye eltérő lesz?

Megoldás .

Ez azt jelenti, hogy ha az első eredmény fejek, a másodiknak faroknak kell lennie, és fordítva. Kiderült, hogy két független eseménypár van, és ezek a párok nem kompatibilisek egymással. Hogyan ne keveredjen össze azzal kapcsolatban, hogy hol kell szorozni és hol kell hozzáadni.

Van egy egyszerű szabály az ilyen helyzetekre. Próbálja meg leírni, mi fog történni az „ÉS” vagy „VAGY” kötőszóval. Például ebben az esetben:

Fel kell jönnie (fejek és farok) vagy (farok és fejek).

Ahol „és” kötőszó van, ott szorzás lesz, ahol pedig „vagy” ott összeadás lesz:

Próbáld ki magad:

Mekkora a valószínűsége annak, hogy ha egy érmét kétszer feldobnak, az érme mindkét alkalommal ugyanarra az oldalra kerül?
A kockát kétszer dobják. Mennyi a valószínűsége annak, hogy összesen pontot szerez?

Megoldások:

(Fejek hullottak és farok hullott) vagy (farok hullott és farok hullott): .
Mik a lehetőségek? És. Akkor:
Elejtett (és) vagy (és) vagy (és): .

Egy másik példa:

Dobj fel egy érmét egyszer. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a fejek legalább egyszer megjelennek?

Megoldás:

Ó, mennyire nem akarom végigjárni a lehetőségeket... Fej-farkú, Sas-fej-farok,... De nem kell! Emlékezzünk a teljes valószínűségre. Emlékszel? Mekkora a valószínűsége annak, hogy a sas soha nem fog kiesni? Egyszerű: a fejek mindig repülnek, ezért.

VALÓSZÍNŰSÉGI ELMÉLET. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

A valószínűség a kedvező események számának az összes lehetséges esemény számához viszonyított aránya.

Független események

Két esemény független, ha az egyik bekövetkezése nem változtatja meg a másik bekövetkezésének valószínűségét.

Teljes valószínűség

Az összes lehetséges esemény valószínűsége egyenlő ().

Annak a valószínűsége, hogy egy esemény nem következik be, egyenlő mínusz az esemény bekövetkezésének valószínűségével.

Független események valószínűségének szorzásának szabálya

A független események egy bizonyos sorozatának valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségeinek szorzatával

Összeférhetetlen események

Az összeférhetetlen események azok, amelyek egy kísérlet eredményeként nem következhetnek be egyszerre. Számos összeférhetetlen esemény alkot egy teljes eseménycsoportot.

Az összeférhetetlen események valószínűsége összeadódik.

Miután az „ÉS” vagy „VAGY” kötőszóval leírtuk, hogy mi történjen, az „ÉS” helyett egy szorzójelet, az „OR” helyett pedig egy összeadásjelet teszünk.

Legyél YouClever diák,

Felkészülés a matematika egységes államvizsgára vagy egységes államvizsgára,

És korlátozás nélkül hozzáférhet a YouClever tankönyvhöz is...