Keresse meg a vektor és a sík távolságát. Normál sík egyenlet

, „Prezentáció a leckéhez” verseny

Osztály: 11

Előadás a leckéhez

Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Célok:

• a tanulók tudásának és készségeinek általánosítása és rendszerezése;
• elemzési, összehasonlítási, következtetési képességek fejlesztése.

Felszerelés:

• multimédiás projektor;
• számítógép;
• lapok problémaszövegekkel

AZ OSZTÁLY HALADÁSA

I. Szervezési mozzanat

II. Tudásfrissítési szakasz(2. dia)

Ismételjük meg, hogyan határozzuk meg a pont és a sík távolságát

III. Előadás(3-15. dia)

Ebben a leckében különféle módokat vizsgálunk meg egy pont és egy sík távolságának meghatározására.

Első módszer: lépésről lépésre számítási

Távolság M ponttól az α síkhoz:
– egyenlő az α síkkal mért távolsággal egy tetszőleges P ponttól, amely az M ponton áthaladó, az α síkkal párhuzamos a egyenesen fekszik;
– egyenlő az α síkkal mért távolsággal a β síkon fekvő tetszőleges P ponttól, amely átmegy az M ponton és párhuzamos az α síkkal.

A következő problémákat oldjuk meg:

№1. Az A...D 1 kockában keresse meg a C 1 pont és az AB 1 C sík távolságát.

Ki kell számítani az O 1 N szakasz hosszának értékét.

№2. Határozzuk meg az A pont és a DEA 1 sík távolságát egy A...F 1 szabályos hatszögletű prizmában, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel.

Következő módszer: kötet módszer.

Ha az ABCM piramis térfogata egyenlő V-vel, akkor az M pont és az ∆ABC-t tartalmazó α sík távolságát a következő képlettel számítjuk ki: ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
A feladatok megoldásánál egy alak kétféleképpen kifejezett térfogategyenlőségét használjuk.

Oldjuk meg a következő problémát:

№3. A DABC piramis AD éle merőleges az ABC alapsíkra. Határozza meg az AB, AC és AD élek felezőpontjain átmenő sík távolságát A-tól, ha.

A problémák megoldása során koordináta módszer az M pont és az α sík távolsága a ρ(M; α) = képlettel számítható , ahol M(x 0; y 0; z 0), és a síkot az ax + egyenlet adja meg + cz + d = 0

Oldjuk meg a következő problémát:

№4. Az A...D 1 egységkockában keresse meg az A 1 pont és a BDC 1 sík távolságát.

Vezessünk be egy koordinátarendszert, amelynek origója az A pontban van, az y tengely az AB élen, az x tengely az AD élen, a z tengely pedig az AA 1 élen fog futni. Ekkor a B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) pontok koordinátái
Készítsünk egyenletet a B, D, C 1 pontokon áthaladó síkra.

Ekkor – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Ezért ρ =

A következő módszer használható az ilyen típusú problémák megoldására támogatási problémák módszere.

A módszer alkalmazása ismert referenciaproblémák alkalmazásából áll, amelyeket tételként fogalmazunk meg.

Oldjuk meg a következő problémát:

№5. Egy A...D 1 egységkockában keresse meg a D 1 pont és az AB 1 C sík távolságát.

Tekintsük az alkalmazást vektoros módszer.

№6. Az A...D 1 egységkockában keresse meg az A 1 pont és a BDC 1 sík távolságát.

Tehát megvizsgáltunk különféle módszereket, amelyek segítségével megoldható az ilyen típusú probléma. Az egyik vagy másik módszer kiválasztása az adott feladattól és az Ön preferenciáitól függ.

IV. Csoportmunka

Próbálja meg különböző módon megoldani a problémát.

№1. Az A...D 1 kocka éle egyenlő. Határozzuk meg a C csúcs és a BDC 1 sík távolságát.

№2. Egy éles ABCD szabályos tetraéderben keresse meg az A pont és a BDC sík távolságát

№3. Egy ABCA 1 B 1 C 1 szabályos háromszög prizmában, amelynek minden éle 1, keresse meg az A távolságot a BCA 1 síktól.

№4. Határozzuk meg az SABCD szabályos négyszög piramisban, amelynek minden éle 1, az A távolságot az SCD síktól.

V. Óraösszefoglaló, házi feladat, reflexió

AZ EGY PONT-SÍK TÁVOLSÁGMEGÁLLÍTÁSÁNAK EGYSÉGES MATEMATIKAI ÁLLAMVIZSGA C2 FELADATAI

Kulikova Anastasia Jurjevna

5. éves hallgató, matematika szak. elemzés, algebra és geometria EI KFU, Orosz Föderáció, Tatár Köztársaság, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

tudományos témavezető, Ph.D. ped. Tudományok, EI KFU egyetemi docens, Orosz Föderáció, Tatár Köztársaság, Elabuga

Az elmúlt években a matematika egységes államvizsga-feladatai között megjelentek a pont és a sík távolságának számítására vonatkozó feladatok. Ebben a cikkben, egy probléma példáján, különféle módszereket vizsgálunk egy pont és egy sík távolságának meghatározására. A legmegfelelőbb módszer használható különféle problémák megoldására. Miután megoldott egy problémát egy módszerrel, egy másik módszerrel ellenőrizheti az eredmény helyességét.

Meghatározás. Egy ponttól az ezt a pontot nem tartalmazó síkhoz mért távolság az ebből a pontból az adott síkra húzott merőleges szakasz hossza.

Feladat. Adott egy téglalap alakú paralelepipedon ABVAL VELD.A. 1 B 1 C 1 D 1 oldalakkal AB=2, IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.=4, A.A. 1 = 6. Keresse meg a távolságot a ponttól D repülni ACD 1 .

1 út. Használata meghatározás. Keresse meg az r( D, ACD 1) pontból D repülni ACD 1 (1. ábra).

1. ábra Első módszer

Hajtsuk végre D.H.⊥AC, ezért három merőleges tétele alapján D 1 H⊥ACÉs (DD 1 H)⊥AC. Hajtsuk végre közvetlen D.T. merőleges D 1 H. Egyenes D.T. síkban fekszik DD 1 H, ennélfogva D.T.⊥A.C.. Ennélfogva, D.T.⊥ACD 1.

ADC keressük meg a hypotenusát ACés magasság D.H.

Derékszögű háromszögből D 1 D.H. keressük meg a hypotenusát D 1 Hés magasság D.T.

Válasz: .

2. módszer.Térfogat módszer (segédpiramis használata). Egy ilyen típusú probléma a gúla magasságának kiszámítására redukálható, ahol a gúla magassága egy ponttól egy síkhoz szükséges távolság. Bizonyítsuk be, hogy ez a magasság a szükséges távolság; keresse meg ennek a piramisnak a térfogatát kétféleképpen, és fejezze ki ezt a magasságot.

Vegyük észre, hogy ezzel a módszerrel nem kell egy adott pontból egy adott síkra merőlegest építeni.

A téglatest olyan paralelepipedon, amelynek minden lapja téglalap.

AB=CD=2, IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.=HIRDETÉS=4, A.A. 1 =6.

A szükséges távolság a magasság lesz h piramisok ACD 1 D, felülről leeresztve D az alapon ACD 1 (2. ábra).

Számítsuk ki a piramis térfogatát ACD 1 D két út.

Számításkor az első módon ∆-t vesszük alapul ACD 1 akkor

A második módon történő számításnál ∆-t vesszük alapul ACD, Akkor

Tegyük egyenlővé az utolsó két egyenlőség jobb oldalát, és kapjuk meg

2. ábra Második módszer

Derékszögű háromszögekből ACD, HOZZÁAD 1 , CDD 1 keresse meg a hipotenuszt a Pitagorasz-tétel segítségével

ACD

Számítsa ki a háromszög területét ACD 1 Heron képletével

Válasz: .

3 út. Koordináta módszer.

Adjunk pontot M(x 0 ,y 0 ,z 0) és sík α , az egyenlet adja meg fejsze+által+cz+d=0 derékszögű derékszögű koordinátarendszerben. Távolság a ponttól M az α síkra a következő képlettel számítható:

Vezessünk be egy koordinátarendszert (3. ábra). A koordináták eredete egy pontban BAN BEN;

Egyenes AB- tengely x, egyenes Nap- tengely y, egyenes BB 1 - tengely z.

3. ábra Harmadik módszer

B(0,0,0), A(2,0,0), VAL VEL(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Hadd ax+által+ cz+ d=0 – sík egyenlet ACD 1 . Behelyettesítve a pontok koordinátáit A, C, D 1 kapjuk:

Sík egyenlet ACD 1 fogja felvenni a formát

Válasz: .

4 irányú. Vektoros módszer.

Mutassuk be a bázist (4. ábra) , .

4. ábra Negyedik módszer

Tekintsünk egy bizonyos π síkot és egy tetszőleges M 0 pontot a térben. Válasszunk a repülőhöz egységnyi normálvektor n -val a kezdet egy pontban M 1 ∈ π, és legyen p(M 0 ,π) az M 0 pont és a π sík távolsága. Ezután (5.5. ábra)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

mivel |n| = 1.

Ha a π síkot megadjuk derékszögű koordinátarendszer általános egyenletével Ax + By + Cz + D = 0, akkor normálvektora az (A; B; C) koordinátákkal rendelkező vektor, és választhatunk

Legyen (x 0 ; y 0 ; z 0) és (x 1 ; y 1 ; z 1) az M 0 és M 1 pontok koordinátái. Ekkor teljesül az Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 egyenlőség, mivel az M 1 pont a síkhoz tartozik, és az M 1 M 0 vektor koordinátái megtalálhatók: M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0-y 1; z 0-z 1). Felvétel skaláris szorzat nM 1 M 0 koordináta alakban és transzformálva (5.8), kapjuk

mivel Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Tehát egy pont és egy sík közötti távolság kiszámításához be kell cserélni a pont koordinátáit a sík általános egyenletébe, majd el kell osztani a pont abszolút értékét az eredményt a megfelelő normálvektor hosszával megegyező normalizáló tényezővel.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai jellegűeket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Ez a cikk egy pont és egy sík távolságának meghatározásáról szól. Elemezzük a koordináta módszerrel, amely lehetővé teszi, hogy megtaláljuk a távolságot egy adott ponttól a háromdimenziós térben. Ennek megerősítésére nézzünk példát több feladatra.

Egy pont és egy sík távolságát egy pont és egy pont ismert távolságával határozzuk meg, ahol az egyik adott, a másik pedig egy adott síkra vetítés.

Ha egy χ síkkal rendelkező M 1 pontot adunk meg a térben, akkor a ponton át lehet húzni a síkra merőleges egyenest. H 1 a közös metszéspontjuk. Ebből azt kapjuk, hogy az M 1 H 1 szakasz az M 1 pontból a χ síkra húzott merőleges, ahol a H 1 pont a merőleges alapja.

1. definíció

Egy adott ponttól egy adott síkra húzott merőleges alapjától mért távolságot nevezzük.

A definíció különböző megfogalmazásokban írható fel.

2. definíció

Távolság ponttól síkig az adott pontból egy adott síkra húzott merőleges hossza.

Az M 1 pont és a χ sík távolságát a következőképpen határozzuk meg: az M 1 pont és a χ sík távolsága lesz a legkisebb egy adott ponttól a sík bármely pontjáig. Ha a H 2 pont a χ síkban található és nem egyenlő a H 2 ponttal, akkor egy M 2 H 1 H 2 alakú derékszögű háromszöget kapunk. , ami téglalap alakú, ahol van egy M 2 H 1, M 2 H 2 láb – hypotenusa. Ez azt jelenti, hogy ebből az következik, hogy M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 ferdenek tekintjük, amelyet az M 1 pontból a χ síkra húzunk. Megvan, hogy egy adott pontból a síkra húzott merőleges kisebb, mint a pontból az adott síkra húzott ferde. Nézzük meg ezt az esetet az alábbi ábrán.

Távolság egy ponttól a síkig - elmélet, példák, megoldások

Számos geometriai probléma létezik, amelyek megoldásának tartalmaznia kell egy pont és egy sík távolságát. Ennek azonosítására különböző módok létezhetnek. A feloldáshoz használja a Pitagorasz-tételt vagy a háromszögek hasonlóságát. Amikor a feltétel szerint ki kell számítani egy pont és a sík távolságát, háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében megadva, azt koordináta módszerrel oldjuk meg. Ez a bekezdés ezt a módszert tárgyalja.

A feladat feltételei szerint adott a háromdimenziós térben egy M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinátájú pont χ síkkal, meg kell határozni az M 1-től a távolságot. a χ sík. A probléma megoldására többféle megoldási módot alkalmaznak.

Első út

Ez a módszer egy pont és egy sík távolságának meghatározásán alapul a H 1 pont koordinátái segítségével, amelyek az M 1 pont és a χ sík közötti merőleges alapja. Ezután ki kell számítania az M 1 és H 1 közötti távolságot.

A feladat második megoldásához használja az adott sík normálegyenletét.

Második út

Feltétel szerint H 1 az M 1 pontból a χ síkra süllyesztett merőleges alapja. Ezután meghatározzuk a H 1 pont koordinátáit (x 2, y 2, z 2). Az M 1 és a χ sík szükséges távolságát az M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 képlet határozza meg, ahol M 1 (x 1, y 1, z 1) és H 1 (x 2, y 2, z 2). A megoldáshoz ismerni kell a H 1 pont koordinátáit.

Azt kaptuk, hogy H 1 a χ sík metszéspontja az a egyenessel, amely átmegy a χ síkra merőlegesen elhelyezkedő M 1 ponton. Ebből következik, hogy egy adott ponton átmenő egyenesre egyenletet kell összeállítani egy adott síkra merőlegesen. Ekkor tudjuk majd meghatározni a H 1 pont koordinátáit. Ki kell számítani az egyenes és a sík metszéspontjának koordinátáit.

Algoritmus egy M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinátájú pont és a χ sík távolságának meghatározására:

3. definíció

• készítsünk egyenletet az M 1 ponton áthaladó a egyenes egyenletéből és egyidejűleg
• merőleges a χ síkra;
• keresse meg és számítsa ki a H 1 pont koordinátáit (x 2 , y 2 , z 2), amelyek pontok
• az a egyenes metszéspontja a χ síkkal;
• számítsa ki az M 1 és χ közötti távolságot az M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 képlet segítségével.

Harmadik út

Adott O x y z derékszögű koordinátarendszerben van egy χ sík, ekkor kapjuk a cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 alakú sík normálegyenletét. Innen kapjuk, hogy az M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ponttal a χ síkra húzott M 1 H 1 távolság az M 1 H 1 képlettel számítva = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Ez a képlet érvényes, mivel a tételnek köszönhetően jött létre.

Tétel

Ha háromdimenziós térben adott egy M 1 (x 1, y 1, z 1) pont, amelynek a χ sík normálegyenlete cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 alakú, akkor a pont és az M 1 H 1 sík távolságának kiszámítása az M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p képletből adódik, mivel x = x 1, y = y 1 , z = z 1.

Bizonyíték

A tétel bizonyítása a pont és az egyenes távolságának megállapításában rejlik. Ebből azt kapjuk, hogy az M 1 távolság a χ síktól az M 1 sugárvektor numerikus vetülete és a χ sík közötti távolság különbségének modulusa. Ekkor az M 1 H 1 = n p n → O M → - p kifejezést kapjuk. A χ sík normálvektorának alakja n → = cos α, cos β, cos γ, hossza pedig egy, n p n → O M → az O M → = (x 1, y 1) vektor numerikus vetülete. , z 1) az n → vektor által meghatározott irányban.

Alkalmazzuk a skalárvektorok kiszámításának képletét. Ekkor egy kifejezést kapunk egy n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → alakú vektor keresésére, mivel n → = cos α , cos β , cos γ · z és O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Az írás koordináta alakja n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1, akkor M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . A tétel bizonyítást nyert.

Innen azt kapjuk, hogy az M 1 (x 1, y 1, z 1) pont és a χ sík távolságát úgy számítjuk ki, hogy a cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0-t behelyettesítjük a a sík normálegyenletének bal oldala az x, y, z koordináták helyett x 1, y 1 és z 1, az M 1 pontra vonatkozóan, a kapott érték abszolút értékét véve.

Nézzünk példákat egy koordinátákkal rendelkező pont és egy adott sík távolságának meghatározására.

1. példa

Számítsa ki az M 1 (5, - 3, 10) koordinátájú pont távolságát a 2 x - y + 5 z - 3 = 0 síktól.

Megoldás

Oldjuk meg a problémát kétféleképpen.

Az első módszer az a egyenes irányvektorának kiszámításával kezdődik. Feltétellel megvan, hogy az adott 2 x - y + 5 z - 3 = 0 egyenlet egy általános síkegyenlet, és n → = (2, - 1, 5) az adott sík normálvektora. Egy adott síkra merőleges a egyenes irányvektoraként használják. Az M 1-en (5, - 3, 10) átmenő térbeli egyenes kanonikus egyenletét 2, - 1, 5 koordinátájú irányvektorral kell felírni.

Az egyenlet a következő lesz: x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Meg kell határozni a metszéspontokat. Ehhez óvatosan egyesítse az egyenleteket egy rendszerré, hogy a kanonikustól a két egymást metsző egyenes egyenletéhez jusson. Vegyük ezt a pontot H 1-nek. Ezt értjük

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Ezt követően engedélyeznie kell a rendszert

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Térjünk rá a Gauss-rendszer megoldási szabályára:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Azt kapjuk, hogy H 1 (1, - 1, 0).

Kiszámoljuk egy adott pont és a sík távolságát. Vegyük az M 1 (5, - 3, 10) és H 1 (1, - 1, 0) pontokat, és megkapjuk

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - ( - 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

A második megoldás az, hogy először az adott 2 x - y + 5 z - 3 = 0 egyenletet normál alakba hozzuk. Meghatározzuk a normalizáló tényezőt, és 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30-at kapunk. Innen származtatjuk a 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 sík egyenletét. Az egyenlet bal oldalát az x = 5, y = - 3, z = 10 helyettesítésével számítjuk ki, és meg kell venni a távolságot M 1 (5, - 3, 10) és 2 x - y + 5 z - között. 3 = 0 modulo. Megkapjuk a kifejezést:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Válasz: 230.

Ha a χ síkot a sík megadásának módszereiről szóló részben leírt módszerek egyikével adjuk meg, akkor először meg kell szerezni a χ sík egyenletét, és bármilyen módszerrel ki kell számítani a szükséges távolságot.

2. példa

A háromdimenziós térben az M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) koordinátájú pontok vannak megadva. Számítsa ki az M 1 és az A B C sík távolságát!

Megoldás

Először fel kell írni az adott három ponton áthaladó sík egyenletét M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C () koordinátákkal. 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Ebből következik, hogy a problémának az előzőhöz hasonló megoldása van. Ez azt jelenti, hogy az M 1 pont és az A B C sík távolsága 2 30.

Válasz: 230.

Egy síkon egy adott ponttól vagy egy olyan síktól való távolságot, amellyel párhuzamosak, kényelmesebb az M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p képlet alkalmazásával. . Ebből azt kapjuk, hogy a síkok normálegyenleteit több lépésben kapjuk meg.

3. példa

Határozzuk meg egy adott M 1 (- 3, 2, - 7) koordinátájú ponttól az O x y z koordinátasík és a 2 y - 5 = 0 egyenlet által adott sík távolságát!

Megoldás

Az O y z koordinátasík egy x = 0 alakú egyenletnek felel meg. Az O y z síkra ez normális. Ezért be kell cserélni az x = - 3 értékeket a kifejezés bal oldalára, és fel kell venni az M 1 (- 3, 2, - 7) koordinátákkal rendelkező pont távolságának abszolút értékét a síkra. A - 3 = 3 értékkel egyenlő értéket kapunk.

A transzformáció után a 2 y - 5 = 0 sík normálegyenlete y - 5 2 = 0 alakot ölt. Ekkor megtalálhatja a kívánt távolságot az M 1 (- 3, 2, - 7) koordinátájú ponttól a 2 y - 5 = 0 síkhoz. Behelyettesítve és kiszámolva 2 - 5 2 = 5 2 - 2 eredményt kapunk.

Válasz: Az M 1 (- 3, 2, - 7) és O y z közötti szükséges távolság 3, 2 y - 5 = 0 pedig 5 2 - 2.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt