Egy érintő tulajdonságai. Érintővonal Érintő szabály

Meghatározás. A kör érintője egy síkban lévő egyenes, amelynek pontosan egy közös pontja van a körrel.

Íme néhány példa:

Kör középponttal O egyenes vonalat érint l azon a ponton A

Bárhonnan M A körön kívül pontosan két érintő húzható

Az érintő közötti különbség l, szekant IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.és egyenes m, amelynek nincsenek közös pontjai a körrel

Itt be is fejezhetnénk, de a gyakorlat azt mutatja, hogy nem elég a definíciót egyszerűen memorizálni - meg kell tanulni látni az érintőket a rajzokon, ismerni a tulajdonságaikat, és ezen felül valós problémák megoldásával kell megfelelően gyakorolni e tulajdonságok alkalmazását. Mindezt ma megtesszük.

Az érintők alapvető tulajdonságai

A probléma megoldásához négy kulcsfontosságú tulajdonságot kell ismernie. Kettőt bármelyik segédkönyvben/tankönyvben leírnak, de az utolsó kettőt valahogy elfelejtik, de hiába.

1. Az egyik pontból húzott érintőszakaszok egyenlőek

Kicsit feljebb már beszéltünk két érintőről, amelyet egy M pontból húztunk.

Az egy pontból húzott kör érintő szakaszai egyenlőek.

Szegmensek A.M.És B.M. egyenlő

2. Az érintő merőleges az érintési pontra húzott sugárra

Nézzük még egyszer a fenti képet. Rajzoljuk meg a sugarakat O.A.És O.B., ami után azt találjuk, hogy a szögek OAMÉs O.B.M.- egyenes.

Az érintkezési pontra húzott sugár merőleges az érintőre.

Ez a tény bizonyíték nélkül felhasználható bármilyen probléma esetén:

Az érintőpontra húzott sugarak merőlegesek az érintőkre

Mellesleg vegye figyelembe: ha szegmenst rajzol OM, akkor két egyenlő háromszöget kapunk: OAMÉs O.B.M..

3. Az érintő és a szekáns kapcsolata

De ez komolyabb tény, és a legtöbb iskolás nem tudja. Vegyünk egy érintőt és egy szekánst, amelyek ugyanazon a közös ponton mennek át M. Természetesen a szekáns két szakaszt ad nekünk: a kör belsejében (szegmens IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.- akkordnak is nevezik) és kívül (így hívják - a külső rész). M.C.).

A teljes szekáns és külső részének szorzata egyenlő az érintőszakasz négyzetével

Szekáns és érintő kapcsolata

4. Szög az érintő és az akkord között

Egy még fejlettebb tény, amelyet gyakran használnak összetett problémák megoldására. Nagyon ajánlom szervizbe vételét.

Az érintő és a húr közötti szög egyenlő az e húr által bezárt beírt szöggel.

Honnan jön a lényeg? B? Valós problémák esetén általában „felbukkan” valahol az állapotban. Ezért fontos megtanulni felismerni ezt a konfigurációt a rajzokon.

Néha ez számít :)

\[(\Large(\text(Középponti és beírt szögek)))\]

Definíciók

A központi szög olyan szög, amelynek csúcsa a kör középpontjában van.

A beírt szög olyan szög, amelynek csúcsa egy körön fekszik.

A körív fokmérője a körívet bezáró középső szög fokmérője.

Tétel

Egy beírt szög fokszáma egyenlő az ív fokmértékének felével, amelyen nyugszik.

Bizonyíték

A bizonyítást két lépésben hajtjuk végre: először igazoljuk az állítás érvényességét arra az esetre, amikor a beírt szög egyik oldala átmérőt tartalmaz. Legyen $B$ pont az $ABC$ beírt szög csúcsa, $BC$ pedig a kör átmérője:

Az $AOB$ háromszög egyenlő szárú, $AO = OB$ , $\angle AOC$ külső, akkor $\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC$, ahol $\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)$.

Most vegyünk egy tetszőleges beírt szöget $ABC$ . Rajzoljuk le a $BD$ kör átmérőjét a beírt szög csúcsából. Két eset lehetséges:

1) az átmérő két szögre vágja a szöget $\angle ABD, \angle CBD$ (mindegyikre igaz a tétel a fentiek szerint, ezért igaz az eredeti szögre is, ami ezek összege kettő, és ezért egyenlő azon ívek összegének felével, amelyeken nyugszanak, azaz egyenlő annak az ívnek a felével, amelyen nyugszik). Rizs. 1.

2) az átmérő nem vágta két szögre a szöget, akkor van még két új beírt szögünk $\angle ABD, \angle CBD$, amelyek oldala tartalmazza az átmérőt, ezért igaz rájuk a tétel, akkor igaz az eredeti szögre is (ami egyenlő e két szög különbségével, ami azt jelenti, hogy egyenlő azon ívek különbségének felével, amelyeken nyugszanak, azaz egyenlő annak az ívnek a felével, amelyen nyugszik) . Rizs. 2.

Következmények

1. Az azonos ívet bezáró beírt szögek egyenlőek.

2. A félkörrel bezárt beírt szög derékszög.

3. Egy beírt szög egyenlő az azonos ív által bezárt központi szög felével.

\[(\Large(\text(A kör érintője)))\]

Definíciók

Egy vonal és egy kör relatív helyzetének három típusa van:

1) az $a$ egyenes két pontban metszi a kört. Az ilyen vonalat szekáns vonalnak nevezzük. Ebben az esetben a kör középpontja és az egyenes közötti távolság $d$ kisebb, mint a kör sugara $R$ (3. ábra).

2) a $b$ egyenes egy pontban metszi a kört. Az ilyen egyenest érintőnek, a $B$ közös pontjukat pedig érintőpontnak nevezzük. Ebben az esetben $d=R$ (4. ábra).

Tétel

1. A kör érintője merőleges az érintési pontra húzott sugárra.

2. Ha egy egyenes átmegy a kör sugarának végén és merőleges erre a sugárra, akkor érinti a kört.

Következmény

Az egyik pontból a körbe húzott érintőszakaszok egyenlőek.

Bizonyíték

Rajzoljunk két érintőt $KA$ és $KB$ a körre a $K$ pontból:

Ez azt jelenti, hogy az $OA\perp KA, OB\perp KB$ olyan, mint a sugarak. A $\háromszög KAO$ és $\háromszög KBO$ derékszögű háromszögek szárában és befogójában egyenlők, ezért $KA=KB$ .

Következmény

A $O$ kör középpontja annak az $AKB$ szögfelezőn van, amelyet két, ugyanabból a $K$ pontból húzott érintő alkot.

\[(\Large(\text(Szögekkel kapcsolatos tételek)))\]

Tétel a szekánsok közötti szögről

Az ugyanabból a pontból húzott két metsző közötti szög egyenlő az általuk vágott nagyobb és kisebb ívek fokmértékei közötti különbség felével.

Bizonyíték

Legyen $M$ az a pont, amelyből két szekánst húzunk az ábrán látható módon:

Mutassuk meg $\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$.

$\angle DAB$ a $MAD$ háromszög külső szöge, akkor $\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA$, ahol $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA$, de a $\angle DAB$ és $\angle MDA$ szögek be vannak írva, akkor $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$, amit bizonyítani kellett.

Tétel a metsző akkordok közötti szögről

A két egymást metsző húr közötti szög egyenlő az általuk vágott ívek fokszámának felével: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\jobbra)\]

Bizonyíték

$\angle BMA = \angle CMD$ függőlegesként.

Az $AMD$ háromszögből: $\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)$.

De $\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD$, amiből arra következtetünk \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ mosoly\over(CD)).\]

Tétel az akkord és az érintő közötti szögről

Az érintő és az érintési ponton átmenő húr közötti szög egyenlő a húr által befogott ív fokszámának felével.

Bizonyíték

Érintse meg az $a$ egyenes a kört az $A$ pontban, $AB$ a kör húrja, $O$ a középpontja. Legyen az $OB$-t tartalmazó egyenes $a$ metszéspontja a $M$ pontban. Bizonyítsuk be $\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)$.

Jelöljük $\angle OAB = \alpha$ . Mivel $OA$ és $OB$ sugarak, akkor $OA = OB$ és $\angle OBA = \angle OAB = \alpha$. És így, $\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)$.

Mivel $OA$ az érintőpont sugára, akkor $OA\perp a$, azaz $\angle OAM = 90^\circ$, ezért $\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)$.

Tétel egyenlő akkordokkal bezárt ívekről

Az egyenlő akkordok félköreknél kisebb, egyenlő íveket zárnak le.

És fordítva: az egyenlő íveket egyenlő akkordok jelölik ki.

Bizonyíték

1) Legyen $AB=CD$ . Bizonyítsuk be, hogy az ív kisebb félkörei .

Három oldalon tehát $\angle AOB=\angle COD$ . Hanem azért, mert $\angle AOB, \angle COD$ - ívekkel támogatott középső szögek $\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)$ ennek megfelelően akkor $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$.

2) Ha $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$, Azt $\háromszög AOB=\háromszög COD$ két oldalon $AO=BO=CO=DO$ és a köztük lévő szöget $\angle AOB=\angle COD$ . Ezért és $AB=CD$ .

Tétel

Ha a sugár felezi a húrt, akkor az merőleges rá.

Ez fordítva is igaz: ha a sugár merőleges a húrra, akkor a metszéspontban kettévágja azt.

Bizonyíték

1) Legyen $AN=NB$ . Bizonyítsuk be, hogy $OQ\perp AB$ .

Tekintsük $\háromszög AOB$ : egyenlő szárú, mert $OA=OB$ – a kör sugarai. Mert $ON$ az alaphoz húzott medián, akkor egyben a magasság is, ezért $ON\perp AB$ .

2) Legyen $OQ\perp AB$ . Bizonyítsuk be, hogy $AN=NB$ .

Hasonlóképpen, $\háromszög AOB$ egyenlő szárú, $ON$ a magasság, ezért $ON$ a medián. Ezért $AN=NB$ .

\[(\Large(\text(Szegmensek hosszával kapcsolatos tételek)))\]

Tétel az akkordszakaszok szorzatáról

Ha egy kör két húrja metszi egymást, akkor az egyik akkord szakaszainak szorzata egyenlő a másik akkord szakaszainak szorzatával.

Bizonyíték

Legyen az $AB$ és $CD$ akkordok metszéspontja a $E$ pontban.

Tekintsük az $ADE$ és $CBE$ háromszögeket. Ezekben a háromszögekben a $1$ és $2$ szögek egyenlőek, mivel be vannak írva, és ugyanazon a $BD$ íven nyugszanak, a $3$ és $4$ szögek pedig egyenlőek mint függőleges. Az $ADE$ és $CBE$ háromszögek hasonlóak (a háromszögek hasonlóságának első kritériuma alapján).

Akkor $\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)$, amelyből $AE\cdot BE = CE\cdot DE$ .

Érintő és szekáns tétel

Egy érintőszakasz négyzete egyenlő a szekáns és a külső részének szorzatával.

Bizonyíték

Hagyja az érintőt átmenni a $M$ ponton, és érintse meg a kört az $A$ pontban. Hagyja, hogy a szekáns áthaladjon a $M$ ponton, és metszi a kört a $B$ és $C$ pontokban úgy, hogy $MB< MC$ . Покажем, что $MB\cdot MC = MA^2$ .

Tekintsük az $MBA$ és $MCA$ háromszögeket: $\angle M$ gyakori, $\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)$. Az érintő és a szekáns közötti szögre vonatkozó tétel szerint $\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA$. Így az $MBA$ és $MCA$ háromszögek két szögben hasonlóak.

Az $MBA$ és $MCA$ háromszögek hasonlóságából a következőket kapjuk: $\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)$, ami egyenértékű a $MB\cdot MC = MA^2$ értékkel.

Következmény

A $O$ pontból húzott szekáns szorzata külső részével nem függ az $O$ pontból húzott szekáns megválasztásától.

Pontok $x_0\in\mathbb(R)$ , és megkülönböztethető benne: $f \in \mathcal(D)(x_0)$ . Egy függvény grafikonjának érintővonala $f$ azon a ponton $x_0$ egyenlet által adott lineáris függvény grafikonjának nevezzük $y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb(R)$ .

Ha a funkció

f

pontban van

x_0

végtelen származéka

f"(x_0) = \pm \infty,

akkor az érintővonal ebben a pontban az egyenlet által megadott függőleges egyenes

x = x_0.

Megjegyzés

A definícióból egyenesen következik, hogy egy érintő egyenes grafikonja átmegy a ponton $(x_0,f(x_0))$ . Sarok $\alpha$ a görbe érintője és az Ox tengely között kielégíti az egyenletet

$\operátornév(tg)\,\alpha = f"(x_0)= k,$

Ahol $\operátornév(tg)$ érintőt jelöl, és $\operátornév (k)$ - érintő lejtős együttható. Származék egy ponton $x_0$ egyenlő a függvény grafikonjának érintőjének meredekségével $y = f(x)$ ezen a ponton.

Tangens, mint egy szekáns határhelyzete

Hadd $f\kettőspont U(x_0) \to \R$ És $x_1 \in U(x_0).$ Ezután a pontokon áthaladó egyenes $(x_0,f(x_0))$ És $(x_1,f(x_1))$ egyenlettel adott

$y = f(x_0) + \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0)(x-x_0).$

Ez az egyenes átmegy a ponton $(x_0,f(x_0))$ bárkinek $x_1\in U(x_0),$ és dőlésszöge $\alpha(x_1)$ kielégíti az egyenletet

$\operátornév(tg)\,\alpha(x_1) = \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0).$

A derivált függvény megléte miatt $f$ azon a ponton $x_0,$ a határig megy $x_1 \ to x_0,$ azt látjuk, hogy van egy határ

$\lim\limits_(x_1 \to x_0) \operatorname(tg)\,\alpha(x_1) = f"(x_0),$

valamint az arctangens és a határolószög folytonossága miatt

$\alpha = \operátornév(arctg)\,f"(x_0).$

Ponton átmenő egyenes $(x_0,f(x_0))$ és amelynek maximális dőlésszöge kielégíti $\operátornév(tg)\,\alpha = f"(x_0),$ érintő egyenlet adja meg:

$y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0).$

Egy kör érintője

A kör érintőjének nevezzük azt az egyenest, amelynek van egy közös pontja a körrel és egy síkban van vele.

Tulajdonságok

A kör érintője merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra.
Az egyik pontból húzott kör érintőszegmensei egyenlőek, és egyenlő szöget zárnak be az ezen a ponton és a kör középpontján átmenő egyenessel.
Egy egységsugarú körhöz húzott érintőszakasz hossza az érintőpont és az érintőnek a kör középpontjából húzott sugárral való metszéspontja között a sugár és a sugár közötti szög érintője. irány a kör közepétől az érintési pontig. "Tangens" a lat. érintők- „érintő”.

Változatok és általánosítások

Egyoldali félérintők

Ha van megfelelő származéka $f"_+(x_0)< \infty,$ Hogy jobb oldali féltangens a függvény grafikonjára $f$ azon a ponton $x_0$ sugárnak nevezik

y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x\geqslant x_0.

Ha van baloldali származéka $f"_-(x_0)< \infty,$ Hogy bal féltangens a függvény grafikonjára $f$ azon a ponton $x_0$ sugárnak nevezik

y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.

Ha van végtelen jobboldali derivált $f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ $f$ azon a ponton $x_0$ sugárnak nevezik

x = x_0,\;  y\geqslant f(x_0)\;  (y \leqslant f(x_0)).

Ha van végtelen baloldali derivált $f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ majd a függvény grafikonjának jobb oldali féltangensét $f$ azon a ponton $x_0$ sugárnak nevezik

x = x_0,\;  y \leqslant f(x_0)\;  (y \geqslant f(x_0)).

Lásd még

Normális, binormális

Írjon véleményt a "Tangenciális vonal" cikkről

Irodalom

Toponogov V. A. Görbék és felületek differenciálgeometriája. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
// Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára: 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.

Az érintővonalat jellemző részlet

- Helyeken! - kiáltott rá a fiatal tiszt a Pierre körül összegyűlt katonákra. Úgy látszik, ez a fiatal tiszt most először vagy másodszor töltötte be tisztségét, ezért különösen világosan és formalizáltan bánt mind a katonákkal, mind a parancsnokkal.
Az ágyúk és puskák guruló tüze felerősödött az egész mezőn, különösen balra, ahol Bagration villanásai voltak, de a lövések füstje miatt szinte semmit nem lehetett látni onnan, ahol Pierre volt. Sőt, a látszólag családi (minden többitől elkülönült) emberkör megfigyelése, akik az akkumulátoron voltak, elnyelte Pierre teljes figyelmét. Első öntudatlan örömteli izgalmát, amelyet a csatatér látványa és hangjai váltottak ki, most, különösen a réten fekvő magányos katona látványa után, egy másik érzés váltotta fel. Most az árok lejtőjén ülve figyelte az őt körülvevő arcokat.
Tíz órakor már húsz embert vittek el az ütegtől; két fegyver eltört, a lövedékek egyre gyakrabban találták el az üteget, nagy hatótávolságú golyók zúgva, fütyülve repültek be. De az emberek, akik az ütegnél voltak, ezt nem vették észre; Vidám beszéd és viccek hallatszottak mindenfelől.
- Chinenka! - kiáltott rá a katona a sípolással repülő közeledő gránátra. - Nem itt! A gyalogsághoz! – tette hozzá nevetve egy másik, aki észrevette, hogy a gránát átrepült és eltalálta a fedősorokat.
- Milyen barát? - nevetett egy másik katona a repülő ágyúgolyó alatt kuporgott férfira.
Több katona gyűlt össze a sáncnál, és nézték, mi történik előttünk.
„És levették a láncot, látod, visszamentek” – mondták a tengelyen át mutatva.
– Vigyázz a munkájukra – kiáltott rájuk az öreg altiszt. – Visszamentünk, úgyhogy ideje visszamenni. - És az altiszt, vállánál fogva az egyik katonát, meglökte a térdével. Nevetés hallatszott.
- Gurulj az ötödik fegyver felé! - kiáltották egyik oldalról.
– Egyszerre, barátságosabban, burlatszkij stílusban – hallatszott a fegyvert cserélők vidám kiáltása.
- Ó, majdnem leütöttem a gazdánk kalapját - nevetett Pierre-re a vörös arcú tréfás, és megmutatta a fogát. – Eh, ügyetlen – tette hozzá szemrehányóan a kormányt és a férfi lábát eltaláló ágyúgolyóra.
- Gyerünk, rókák! - nevetett egy másik a sebesült mögött az ütegbe bemenő hajlongó milicistákat.
- Nem finom a zabkása? Ó, a varjak, lemészárolták! - kiabálták a milíciának, akik a levágott lábú katona előtt haboztak.
– Még valami, kölyök – utánozták a férfiakat. - Nem szeretik a szenvedélyt.
Pierre észrevette, hogy minden egyes eltalált ágyúgolyó után, minden egyes veszteség után egyre jobban fellángolt az általános ébredés.
Mintha egy közeledő zivatarfelhőből, egyre gyakrabban, világosabb és fényesebb, rejtett, fellobbanó tűz villámai villantak fel mindezen emberek arcán (mintha visszautasítanák a történteket).
Pierre nem várta a csatateret, és nem érdekelte, hogy megtudja, mi történik ott: teljesen elmerült ennek az egyre jobban fellobbanó tűznek a szemlélődésében, amely (úgy érezte) a lelkében lobbant fel.
Tíz órakor visszavonultak a gyalogos katonák, akik az üteg előtt álltak a bokrokban és a Kamenka folyó mentén. Az ütegből látszott, ahogy visszarohantak mellette, fegyverükön cipelve a sebesülteket. Néhány tábornok kíséretével belépett a halomba, és miután beszélt az ezredessel, dühösen Pierre-re nézett, majd ismét leszállt, és megparancsolta az üteg mögött állomásozó gyalogsági fedőnek, hogy feküdjön le, hogy kevésbé legyen kitéve a lövéseknek. Ezt követően a gyalogság soraiban, az ütegtől jobbra dob- és parancskiáltások hallatszottak, az ütegből pedig látszott, hogyan haladnak előre a gyalogság sorai.
Pierre átnézett az aknán. Egy arcra különösen figyelt. Egy tiszt volt az, aki sápadt fiatal arccal, leeresztett karddal hátrafelé sétált, és nyugtalanul nézett körül.
A gyalogos katonák sorai eltűntek a füstben, hosszan tartó sikolyaik és gyakori fegyverropogásuk hallatszott. Néhány perccel később sebesültek és hordágyak tömegei haladtak el onnan. A kagylók még gyakrabban kezdtek ütközni az akkumulátorral. Többen takarítatlanul feküdtek. A katonák mozgalmasabban és élénkebben mozogtak a fegyverek körül. Senki sem figyelt többé Pierre-re. Egyszer-kétszer dühösen kiabáltak vele, amiért úton volt. A rangidős tiszt összeráncolt arccal, nagy, gyors léptekkel haladt egyik fegyvertől a másikig. A fiatal tiszt még jobban kipirult, még szorgalmasabban parancsolt a katonáknak. A katonák lőttek, fordultak, töltöttek, és feszült szenvedéllyel végezték a dolgukat. Ugráltak séta közben, mintha rugókon lennének.

Secant, tangens – mindezt több százszor lehetett hallani geometria órákon. De hát mögöttünk van az érettségi, telnek az évek, és ez a sok tudás feledésbe merül. Mire kell emlékezned?

Lényeg

A „kör érintője” kifejezés valószínűleg mindenki számára ismerős. De nem valószínű, hogy mindenki képes lesz gyorsan megfogalmazni a definícióját. Eközben az érintő olyan egyenes, amely egy körrel egy síkban fekszik, és csak egy pontban metszi azt. Lehet, hogy nagyon sok van belőlük, de mindegyikük ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, amelyeket az alábbiakban tárgyalunk. Ahogy sejtheti, az érintési pont az a hely, ahol a kör és az egyenes metszi egymást. Minden konkrét esetben csak egy van, de ha több van belőlük, akkor az egy szekáns lesz.

Felfedezés és tanulmányozás története

Az érintő fogalma az ókorban jelent meg. Ezeket az egyeneseket először körré, majd ellipszisekké, parabolákká és hiperbolákká alakították vonalzó és iránytű segítségével, a geometria fejlődésének kezdeti szakaszában. Természetesen a történelem nem őrizte meg a felfedező nevét, de nyilvánvaló, hogy az emberek akkoriban is jól ismerték a kör érintőjének tulajdonságait.

A modern időkben ismét fellángolt az érdeklődés e jelenség iránt – új görbék felfedezésével párosulva megkezdődött ennek a koncepciónak az új vizsgálati köre. Így Galilei bevezette a cikloid fogalmát, Fermat és Descartes pedig egy érintőt alkotott hozzá. Ami a köröket illeti, úgy tűnik, ezen a területen nem maradtak titkok a régiek számára.

Tulajdonságok

A metszéspontra húzott sugár Ez lesz

a fő, de nem az egyetlen tulajdonság, amellyel a kör érintője rendelkezik. Egy másik fontos jellemzője két egyenes vonal. Tehát a körön kívül eső ponton keresztül két érintőt lehet húzni, amelyek szakaszai egyenlőek lesznek. Van egy másik tétel is ebben a témában, de ritkán tanítják szokásos iskolai kurzus részeként, bár néhány probléma megoldására rendkívül kényelmes. Ez így hangzik. A körön kívüli pontból egy érintő és egy szekáns húzódik rá. Az AB, AC és AD szakaszok kialakulnak. A az egyenesek metszéspontja, B az érintési pont, C és D a metszéspontok. Ebben az esetben a következő egyenlőség lesz érvényes: a kör érintőjének hossza négyzetesen egyenlő lesz az AC és AD szakaszok szorzatával.

A fentieknek van egy fontos következménye. A kör minden pontjához szerkeszthet egy érintőt, de csak egyet. Ennek bizonyítása meglehetősen egyszerű: elméletileg a sugárból merőlegest ráejtve rájövünk, hogy a kialakult háromszög nem létezhet. Ez pedig azt jelenti, hogy az érintő az egyetlen.

Építkezés

A geometriai egyéb problémák között van egy speciális kategória, általában nem

szeretik a tanulók és a hallgatók. A probléma megoldásához ebben a kategóriában csak egy iránytűre és egy vonalzóra van szüksége. Ezek építési feladatok. Vannak olyanok is, amelyek tangens létrehozására szolgálnak.

Tehát adott egy kör és egy pont, amely a határain kívül esik. És ezeken keresztül érintőt kell húzni. Hogy kell ezt csinálni? Először is meg kell rajzolni egy szakaszt az O kör középpontja és egy adott pont közé. Ezután egy iránytű segítségével oszd ketté. Ehhez be kell állítania egy sugarat - valamivel több, mint az eredeti kör középpontja és ez a pont közötti távolság fele. Ezt követően két egymást metsző ívet kell felépíteni. Ezenkívül az iránytű sugarát nem kell megváltoztatni, és a kör minden részének középpontja az eredeti pont és az O lesz. Az ívek metszéspontjait össze kell kötni, ami a szakaszt felére osztja. Állítson be ezzel a távolsággal megegyező sugarat az iránytűn. Ezután készítsen egy másik kört, amelynek középpontja a metszéspontban van. Az eredeti pont és az O is rajta lesz. Ebben az esetben még két metszéspont lesz a feladatban megadott körrel. Ők lesznek az eredetileg megadott pont érintkezési pontjai.

A születéshez a kör érintőinek felépítése vezetett

differenciálszámítás. A témában az első munkát a híres német matematikus, Leibniz adta ki. Lehetővé tette a maximumok, minimumok és érintők meghatározását, függetlenül a tört- és irracionális mennyiségektől. Nos, most sok más számításhoz használják.

Ezenkívül a kör érintője összefügg az érintő geometriai jelentésével. Innen ered a neve. A tangens latinul fordítva azt jelenti: „érintő”. Így ez a fogalom nemcsak a geometriához és a differenciálszámításhoz, hanem a trigonometriához is kapcsolódik.

Két kör

Az érintő nem mindig csak egy alakot érint. Ha egy körre hatalmas számú egyenes húzható, akkor miért ne fordíthatnánk? Tud. De a feladat ebben az esetben komolyan bonyolulttá válik, mert előfordulhat, hogy két kör érintője egyetlen ponton sem halad át, és ezeknek az ábráknak a relatív helyzete nagyon eltérő lehet.

különböző.

Típusok és fajták

Amikor két körről és egy vagy több egyenesről beszélünk, még ha tudjuk is, hogy ezek érintők, nem azonnal világos, hogy ezek az ábrák hogyan helyezkednek el egymáshoz képest. Ez alapján több fajtát különböztetnek meg. Így a köröknek lehet egy vagy két közös pontja, vagy egyáltalán nem. Az első esetben metszik egymást, a másodikban pedig összeérnek. És itt két fajtát különböztetünk meg. Ha az egyik kör be van ágyazva a másodikba, akkor az érintőt belsőnek, ha nem, akkor külsőnek nevezzük. Nemcsak a rajz alapján értheti meg az ábrák egymáshoz viszonyított helyzetét, hanem a sugarak összegéről és a középpontok távolságáról is. Ha ez a két mennyiség egyenlő, akkor a körök összeérnek. Ha az első nagyobb, akkor metszik egymást, ha pedig kisebb, akkor nincs közös pontjuk.

Ugyanez az egyenes vonalakkal. Bármely két kör esetében, amelyeknek nincs közös pontja, megteheti

szerkeszteni négy érintőt. Ezek közül kettő metszi egymást az ábrák között, ezeket belsőnek nevezzük. Néhány másik külső.

Ha olyan körökről beszélünk, amelyeknek egy közös pontja van, akkor a probléma jelentősen leegyszerűsödik. A helyzet az, hogy relatív helyzetüktől függetlenül ebben az esetben csak egy érintőjük lesz. És áthalad a metszéspontjukon. Tehát az építés nem lesz nehéz.

Ha az alakzatoknak két metszéspontja van, akkor ezekhez egy egyenes szerkeszthető, amely érinti mind az egyik, mind a másik körét, de csak külső. A probléma megoldása hasonló az alábbiakban tárgyalthoz.

Problémamegoldás

A két kör belső és külső érintőjét sem olyan egyszerű megszerkeszteni, bár ez a probléma megoldható. A helyzet az, hogy ehhez egy segédfigurát használnak, így ezt a módszert magának kell kitalálnia

elég problémás. Tehát két különböző sugarú, O1 és O2 középpontú kört adunk meg. Számukra két érintőpárt kell alkotnia.

Mindenekelőtt egy kiegészítőt kell építeni a nagyobb kör közepéhez közel. Ebben az esetben az iránytűn meg kell határozni a két kezdeti szám sugara közötti különbséget. A segédkör érintőit a kisebb kör középpontjából építjük fel. Ezek után az O1-ből és O2-ből merőlegeseket húzunk ezekre az egyenesekre, amíg nem metszik az eredeti ábrákat. Amint az érintő alaptulajdonságából következik, mindkét körön megtaláljuk a szükséges pontokat. A probléma megoldva, legalábbis az első rész.

A belső érintők megszerkesztéséhez gyakorlatilag meg kell oldania

hasonló feladat. Ismét szükség lesz egy segédfigurára, de ezúttal a sugara megegyezik az eredetiek összegével. E körök egyikének középpontjából érintőket szerkesztünk hozzá. A megoldás további menete az előző példából érthető.

Egy kör, vagy akár kettő vagy több érintése nem olyan nehéz feladat. Természetesen a matematikusok már régóta abbahagyták az ilyen problémák kézi megoldását, és a számításokat speciális programokra bízzák. De nem szabad azt gondolnia, hogy most már nem kell saját kezűleg megtennie, mert ahhoz, hogy helyesen fogalmazzon meg egy feladatot egy számítógép számára, sokat kell tennie és meg kell értenie. Sajnos aggodalomra ad okot, hogy a tudásellenőrzés tesztformájára való végleges átállás után az építési feladatok egyre több nehézséget okoznak majd a tanulóknak.

Ami nagyobb számú kör közös érintőjét illeti, ez nem mindig lehetséges, még akkor sem, ha ugyanabban a síkban fekszenek. De bizonyos esetekben találhat ilyen egyenes vonalat.

Példák az életből

A gyakorlatban gyakran előfordul két kör közös érintője, bár ez nem mindig észrevehető. Szállítószalagok, blokkrendszerek, szíjtárcsás hajtószíjak, szálfeszesség a varrógépben és még csak egy kerékpárlánc is – mindezek valós példák. Nem szabad tehát azt gondolni, hogy a geometriai problémák csak elméletben maradnak: a mérnöki, fizikai, építőipari és sok más területen gyakorlati alkalmazást találnak.

Közvetlen ( MN), amelynek csak egy közös pontja van a körrel ( A), hívják tangens a körhöz.

A közös pontot ebben az esetben ún kapcsolattartási pont.

A létezés lehetősége tangens, és ráadásul bármely ponton áthúzva kör, mint érintési pont, a következőképpen bizonyított tétel.

Legyen kötelező elvégezni kör központtal O tangens ponton keresztül A. Ahhoz, hogy ezt a lényeg A, mint a központból, leírjuk ív sugár A.O., és a lényeg O, mint középpont, ezt az ívet a pontokban metszük BÉs VAL VEL az adott kör átmérőjével megegyező iránytű megoldás.

A kiadások után akkor akkordok O.B.És OS, csatlakoztassa a pontot A pontokkal DÉs E, ahol ezek az akkordok metszik egy adott kört. Közvetlen HIRDETÉSÉs A.E. - egy kör érintői O. Valójában az építkezésből egyértelműen kiderül háromszögek AOBÉs AOC egyenlő szárú(AO = AB = AC) alapokkal O.B.És OS, egyenlő a kör átmérőjével O.

Mert O.D.És O.E.- akkor a sugarak D - középső O.B., A E- középső OS, Azt jelenti HIRDETÉSÉs A.E. - mediánok, egyenlő szárú háromszögek alapjaira húzva, ezért merőleges ezekre az alapokra. Ha egyenes D.A.És E.A. a sugarakra merőlegesen O.D.És O.E., aztán ők - érintők.

Következmény.

Egy pontból egy körbe húzott két érintő egyenlő, és egyenlő szöget zár be az ezt a pontot a középponttal összekötő egyenessel.

Így AD=AEés ∠ OAD = ∠OAE mert derékszögű háromszögek AODÉs AOE, amelynek közös átfogó A.O.és egyenlő lábak O.D.És O.E.(mint a sugarak) egyenlőek. Vegye figyelembe, hogy itt az „érintő” szó valójában azt jelenti, érintő szegmens” adott ponttól az érintkezési pontig.