A tehetetlenségi nyomaték képlete. Erőnyomaték és tehetetlenségi nyomaték Mi a tehetetlenségi nyomaték?

Tehetetlenségi nyomaték- skaláris (általános esetben - tenzor) fizikai mennyiség, a tehetetlenség mértéke egy tengely körüli forgómozgásban, ahogyan a test tömege a transzlációs mozgás tehetetlenségének mértéke. Jellemzője a tömegek eloszlása ​​a testben: a tehetetlenségi nyomaték egyenlő az elemi tömegek szorzatainak összegével az alaphalmazhoz (ponthoz, egyeneshez vagy síkhoz) való távolságuk négyzetével.

SI mértékegysége: kg m².

Kijelölés: én vagy J.

2. A tehetetlenségi nyomaték fizikai jelentése. A test tehetetlenségi nyomatékának és szöggyorsulásának szorzata egyenlő a testre ható összes erő nyomatékának összegével. Hasonlítsa össze. Forgó mozgás. Előre mozgás. A tehetetlenségi nyomaték a forgó mozgásban lévő test tehetetlenségének mértéke

Például a tárcsa tehetetlenségi nyomatéka az O tengelyhez képest Steiner tételének megfelelően:

Steiner tétele: Az I tehetetlenségi nyomaték egy tetszőleges tengely körül egyenlő az adott tengelyrel párhuzamos, a test tömegközéppontján átmenő tengely körüli I0 tehetetlenségi nyomaték és az m testtömeg szorzatának összegével. a tengelyek közötti d távolság négyzetével:

18. Merev test lendülete. Szögsebesség vektor és szögimpulzus vektor. Giroszkópos hatás. A precesszió szögsebessége

A merev test lendülete a tengelyhez képest a testet alkotó egyes részecskék szögimpulzusának a tengelyhez viszonyított összege. Ezt figyelembe véve azt kapjuk .

Ha egy rögzített tengely körül forgó testre ható erők nyomatékainak összege nulla, akkor a szögnyomaték megmarad ( a szögimpulzus megmaradásának törvénye): . A merev test impulzusimpulzusának időbeli deriváltja egyenlő a testre ható összes erő nyomatékainak összegével:.

A szögsebesség mint vektor, amelynek nagysága számszerűen megegyezik a szögsebességgel, és a forgástengely mentén irányul, és ha ennek a vektornak a végéről nézzük, akkor a forgás az óramutató járásával ellentétes irányban irányul. Történelmileg 2 a pozitív forgásirányt az óramutató járásával ellentétes forgásnak tekintik, bár természetesen ennek az iránynak a megválasztása abszolút feltételhez kötött. A szögsebesség-vektor irányának meghatározásához használhatja a „kapocsszabályt” is (amelyet „jobboldali csavarszabálynak” is neveznek) - ha a karmantyú (vagy dugóhúzó) mozgási irányát kombináljuk az iránnyal. forgási iránya, akkor a teljes karmantyú mozgási iránya egybeesik a szögsebességvektor irányával.

A forgó test (motorkerékpár kerék) arra törekszik, hogy a forgástengely helyzetét a térben változatlanul tartsa (giroszkópos hatás) Ezért a 2 keréken történő mozgás lehetséges, de a két keréken való állás nem lehetséges pisztolyvezető rendszerek. (a hajó ringatózik a hullámokon, és a fegyver egy pontra néz) Navigációban stb.

A precesszió megfigyelése meglehetősen egyszerű. El kell indítania a tetejét, és meg kell várnia, amíg lassulni kezd. Kezdetben a felső forgástengelye függőleges. Ezután a felső pontja fokozatosan leereszkedik, és széttartó spirálban mozog. Ez a csúcs tengelyének precessziója.

A precesszió fő tulajdonsága a tehetetlenség: amint a csúcs precesszióját okozó erő megszűnik, a precesszió leáll, és a csúcs stacioner helyzetbe kerül a térben. A csúcsos példában ez nem fog megtörténni, mivel abban a precessziót okozó erő - a Föld gravitációja - folyamatosan hat.

19. Ideális és viszkózus folyadék. Összenyomhatatlan folyadék hidrosztatikája. Egy ideális folyadék álló mozgása. Birnoulli egyenlet.

Ideális folyadék képzeletnek nevezzük összenyomhatatlan folyadék, ami hiányzik viszkozitás, belső súrlódás és hővezető képesség. Mivel nincs benne belső súrlódás, akkor nem nyírófeszültség két szomszédos folyadékréteg között.

viszkózus folyadék mozgása során fellépő súrlódási erők jelenléte jellemzi. viszkózus folyékony, amelyben mozgás közben a normál igénybevételek mellett tangenciális feszültségek is megfigyelhetők

A G.-ben vizsgált egyenletek vonatkoznak. az összenyomhatatlan folyadék egyensúlya a gravitációs térben (egy bizonyos ismert törvény szerint mozgó edény falaihoz viszonyítva, pl. transzlációs vagy forgási) lehetővé teszi a szabad felület alakjával és a fröccsenéssel kapcsolatos problémák megoldását. folyadék mozgó hajókban - folyadékok szállítására szolgáló tartályokban, repülőgépek és rakéták üzemanyagtartályaiban stb., valamint részleges vagy teljes súlytalanság esetén az űrben. légy. eszközöket. Egy edénybe zárt folyadék szabad felületének alakjának meghatározásakor a hidrosztatikus erők mellett. nyomás, tehetetlenségi erők és gravitáció, figyelembe kell venni a folyadék felületi feszültségét. Az edény függőleges körüli forgása esetén. tengelyek oszloppal. ang. sebességnél a szabad felület forgási paraboloid formáját ölti, és a vízszintes síkkal párhuzamosan transzlációsan és egyenesen állomással mozgó edényben. gyorsulás A, a folyadék szabad felülete a vízszintes síkhoz szögben dőlt sík

Tekintsünk egy m tömegű anyagi pontot, amely a rögzített tengelytől r távolságra található (26. ábra). Egy anyagi pont J tehetetlenségi nyomatéka egy tengelyhez képest egy skaláris fizikai mennyiség, amely egyenlő az m tömeg és az ettől a tengelytől mért távolság négyzetének szorzatával:

J = mr 2(75)

Egy N anyagi pontból álló rendszer tehetetlenségi nyomatéka egyenlő lesz az egyes pontok tehetetlenségi nyomatékainak összegével:

Rizs. 26.

Egy pont tehetetlenségi nyomatékának meghatározása.

Ha a tömeg folyamatosan oszlik el a térben, akkor az összegzést integráció váltja fel. A test dv elemi térfogatokra van felosztva, amelyek mindegyikének tömege dm.

Az eredmény a következő kifejezés:

Egy térfogatban homogén test esetén a ρ sűrűség állandó, és az elemi tömeget a következő alakba írjuk:

dm = ρdv, a (70) képletet a következőképpen alakítjuk át:

A tehetetlenségi nyomaték mérete - kg*m2.

A test tehetetlenségi nyomatéka a forgó mozgásban lévő test tehetetlenségi nyomatéka, ahogyan a test tömege a transzlációs mozgás tehetetlenségének mértéke.

Tehetetlenségi nyomaték - ez a szilárd test tehetetlenségi tulajdonságainak mértéke a forgó mozgás során, a tömeg forgástengelyhez viszonyított eloszlásától függően. Más szóval, a tehetetlenségi nyomaték a test tömegétől, alakjától, méretétől és a forgástengely helyzetétől függ.

Bármely testnek, függetlenül attól, hogy forog vagy nyugalomban van, tehetetlenségi nyomatéka van bármely tengely körül, mint ahogy a testnek tömege van, függetlenül attól, hogy mozog vagy nyugalomban van. A tömeghez hasonlóan a tehetetlenségi nyomaték is additív mennyiség.

Egyes esetekben a tehetetlenségi nyomaték elméleti számítása meglehetősen egyszerű. Az alábbiakban néhány szabályos geometriai alakú szilárd test tehetetlenségi nyomatéka látható a súlyponton átmenő tengely körül.

Egy R sugarú végtelenül lapos korong tehetetlenségi nyomatéka a korong síkjára merőleges tengelyhez képest:

Egy sugarú golyó tehetetlenségi nyomatéka R:

Rúdhosszúság tehetetlenségi nyomatéka L a rúd rá merőleges közepén áthaladó tengelyhez képest:

Egy végtelenül vékony sugarú karika tehetetlenségi nyomatéka R a síkjára merőleges tengelyhez képest:

A test tehetetlenségi nyomatékát egy tetszőleges tengely körül Steiner tételével számítjuk ki:

Egy test tehetetlenségi nyomatéka egy tetszőleges tengely körül egyenlő a vele párhuzamos tömegközépponton átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomaték összegével, valamint a test tömegének a tengelyek közötti távolság négyzetének szorzatával. .

A Steiner-tétel segítségével kiszámítjuk egy hosszúságú rúd tehetetlenségi nyomatékát L a rá merőleges végén átmenő tengelyhez képest (27. ábra).

A rúd tehetetlenségi nyomatékának kiszámításához

Steiner tétele szerint a rúd tehetetlenségi nyomatéka az O′O′ tengelyhez viszonyítva egyenlő az OO tengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékkal plusz md 2. Innen kapjuk:

Nyilvánvaló, hogy a tehetetlenségi nyomaték nem azonos a különböző tengelyekhez képest, ezért a forgómozgás dinamikájával kapcsolatos feladatok megoldásánál minden alkalommal külön kell keresni a testnek a számunkra érdekes tengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékát. . Tehát például forgó alkatrészeket tartalmazó műszaki eszközök tervezésekor (vasúti közlekedésben, repülőgépgyártásban, elektrotechnikában stb.) Ismerni kell ezen alkatrészek tehetetlenségi nyomatékának értékét. Bonyolult testforma esetén a tehetetlenségi nyomaték elméleti kiszámítása nehézkes lehet. Ezekben az esetekben előszeretettel mérik kísérletileg egy nem szabványos alkatrész tehetetlenségi nyomatékát.

F erőnyomaték az O ponthoz viszonyítva

Tehetetlenségi nyomaték- skaláris (általános esetben - tenzor) fizikai mennyiség, a tehetetlenség mértéke egy tengely körüli forgómozgásban, ahogyan a test tömege a transzlációs mozgás tehetetlenségének mértéke. Jellemzője a tömegek eloszlása ​​a testben: a tehetetlenségi nyomaték egyenlő az elemi tömegek szorzatainak összegével az alaphalmazhoz (ponthoz, egyeneshez vagy síkhoz) való távolságuk négyzetével.

SI mértékegysége: kg m².

Kijelölés: én vagy J.

2. A tehetetlenségi nyomaték fizikai jelentése. A test tehetetlenségi nyomatékának és szöggyorsulásának szorzata egyenlő a testre ható összes erő nyomatékának összegével. Hasonlítsa össze. Forgó mozgás. Előre mozgás. A tehetetlenségi nyomaték a forgó mozgásban lévő test tehetetlenségének mértéke

Például a tárcsa tehetetlenségi nyomatéka az O tengelyhez képest Steiner tételének megfelelően:

Steiner tétele: Az I tehetetlenségi nyomaték egy tetszőleges tengely körül egyenlő az adott tengelyrel párhuzamos, a test tömegközéppontján átmenő tengely körüli I0 tehetetlenségi nyomaték és az m testtömeg szorzatának összegével. a tengelyek közötti d távolság négyzetével:

18. Merev test lendülete. Szögsebesség vektor és szögimpulzus vektor. Giroszkópos hatás. A precesszió szögsebessége

A merev test lendülete a tengelyhez képest a testet alkotó egyes részecskék szögimpulzusának a tengelyhez viszonyított összege. Ezt figyelembe véve azt kapjuk .

Ha egy rögzített tengely körül forgó testre ható erők nyomatékainak összege nulla, akkor a szögnyomaték megmarad ( a szögimpulzus megmaradásának törvénye): . A merev test impulzusimpulzusának időbeli deriváltja egyenlő a testre ható összes erő nyomatékainak összegével:.

A szögsebesség mint vektor, amelynek nagysága számszerűen megegyezik a szögsebességgel, és a forgástengely mentén irányul, és ha ennek a vektornak a végéről nézzük, akkor a forgás az óramutató járásával ellentétes irányban irányul. Történelmileg 2 a pozitív forgásirányt az óramutató járásával ellentétes forgásnak tekintik, bár természetesen ennek az iránynak a megválasztása abszolút feltételhez kötött. A szögsebesség-vektor irányának meghatározásához használhatja a „kapocsszabályt” is (amelyet „jobboldali csavarszabálynak” is neveznek) - ha a karmantyú (vagy dugóhúzó) mozgási irányát kombináljuk az iránnyal. forgási iránya, akkor a teljes karmantyú mozgási iránya egybeesik a szögsebességvektor irányával.

A forgó test (motorkerékpár kerék) arra törekszik, hogy a forgástengely helyzetét a térben változatlanul tartsa (giroszkópos hatás) Ezért a 2 keréken történő mozgás lehetséges, de a két keréken való állás nem lehetséges pisztolyvezető rendszerek. (a hajó ringatózik a hullámokon, és a fegyver egy pontra néz) Navigációban stb.

A precesszió megfigyelése meglehetősen egyszerű. El kell indítania a tetejét, és meg kell várnia, amíg lassulni kezd. Kezdetben a felső forgástengelye függőleges. Ezután a felső pontja fokozatosan leereszkedik, és széttartó spirálban mozog. Ez a csúcs tengelyének precessziója.

A precesszió fő tulajdonsága a tehetetlenség: amint a csúcs precesszióját okozó erő megszűnik, a precesszió leáll, és a csúcs stacioner helyzetbe kerül a térben. A csúcsos példában ez nem fog megtörténni, mivel abban a precessziót okozó erő - a Föld gravitációja - folyamatosan hat.

19. Ideális és viszkózus folyadék. Összenyomhatatlan folyadék hidrosztatikája. Egy ideális folyadék álló mozgása. Birnoulli egyenlet.

Ideális folyadék képzeletnek nevezzük összenyomhatatlan folyadék, ami hiányzik viszkozitás, belső súrlódás és hővezető képesség. Mivel nincs benne belső súrlódás, akkor nem nyírófeszültség két szomszédos folyadékréteg között.

viszkózus folyadék mozgása során fellépő súrlódási erők jelenléte jellemzi. viszkózus folyékony, amelyben mozgás közben a normál igénybevételek mellett tangenciális feszültségek is megfigyelhetők

A G.-ben vizsgált egyenletek vonatkoznak. az összenyomhatatlan folyadék egyensúlya a gravitációs térben (egy bizonyos ismert törvény szerint mozgó edény falaihoz viszonyítva, pl. transzlációs vagy forgási) lehetővé teszi a szabad felület alakjával és a fröccsenéssel kapcsolatos problémák megoldását. folyadék mozgó hajókban - folyadékok szállítására szolgáló tartályokban, repülőgépek és rakéták üzemanyagtartályaiban stb., valamint részleges vagy teljes súlytalanság esetén az űrben. légy. eszközöket. Egy edénybe zárt folyadék szabad felületének alakjának meghatározásakor a hidrosztatikus erők mellett. nyomás, tehetetlenségi erők és gravitáció, figyelembe kell venni a folyadék felületi feszültségét. Az edény függőleges körüli forgása esetén. tengelyek oszloppal. ang. sebességnél a szabad felület forgási paraboloid formáját ölti, és a vízszintes síkkal párhuzamosan transzlációsan és egyenesen állomással mozgó edényben. gyorsulás A, a folyadék szabad felülete a vízszintes síkhoz szögben dőlt sík

FIZIKAI INGA

A munka célja: egy rúd alakú fizikai inga tehetetlenségi nyomatékának meghatározása súlyokkal a saját lengési periódusa alapján.

Felszerelés: inga, stopper.

ELMÉLETI BEVEZETÉS

Tehetetlenségi nyomaték A merev test tehetetlenségének mértéke a test forgási mozgása során. Ebben az értelemben a testtömeg analógja, amely a test tehetetlenségének mértéke a transzlációs mozgás során. A meghatározás szerint, tehetetlenségi nyomaték test egyenlő a test részecskéi tömegeinek szorzataival m i a forgástengelyhez mért távolságuk négyzetével r i 2:

, vagy .(1)

A tehetetlenségi nyomaték nemcsak a tömegtől függ, hanem a forgástengelyhez viszonyított eloszlásától is. Mint látható, a test forgása során a tehetetlenség annál nagyobb, minél távolabb helyezkednek el a test részecskéi a tengelytől.

Különféle kísérleti módszerek léteznek a testek tehetetlenségi nyomatékának meghatározására. A cikk egy módszert javasol a tehetetlenségi nyomaték meghatározására a vizsgált test, mint fizikai inga természetes lengési periódusából. Fizikai inga tetszőleges alakú test, amelynek felfüggesztési pontja a súlypont felett helyezkedik el. Ha egy gravitációs térben az ingát kitérítjük az egyensúlyi helyzetből és elengedjük, akkor a gravitáció hatására az inga egyensúlyi helyzetbe mozdul, de elérve azt, tehetetlenség hatására tovább mozog, és az ellenkező irányba eltérül. Ezután a mozgási folyamat az ellenkező irányban megismétlődik. Ennek eredményeként az inga saját forgási oszcillációkat hajt végre.

Az inga tehetetlenségi nyomatékának képletének levezetéséhez a saját rezgési periódusa során használjuk forgásdinamika alaptörvénye: a test szöggyorsulása egyenesen arányos az erőnyomatékkal és fordítottan arányos a test forgástengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékával:

Mivel a szöggyorsulás a forgásszög második deriváltja az idő függvényében, a forgómozgás dinamikájának alaptörvénye (1) a következő alakot ölti:

. (3)

Ez egy másodrendű differenciálegyenlet. Megoldásának olyan függvénynek kell lennie, amely behelyettesítéskor az egyenletet azonossággá alakítja. A (3) egyenletből látható, hogy ehhez a megoldásfüggvénynek és második deriváltjának azonos alakúnak kell lennie. A matematikában ilyen függvény lehet a koszinusz, szinusz függvény

a = a 0 bűn( w t + j), (4)

feltéve, hogy a ciklikus frekvencia egyenlő . A ciklikus gyakoriság összefügg oszcilláció periódusa, vagyis az egyik rezgés ideje, az arány T= 2p/w. Innen

Oszcillációs periódus T valamint a forgástengely és az inga súlypontja közötti távolság A mérhető. Ezután (5) az inga tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyhez képest VAL VEL képlet segítségével kísérletileg meghatározható

. (6)

Az inga, amelynek tehetetlenségi nyomatékát a mű határozza meg, egy rúd, amelyen két korong van elhelyezve. Elméletileg az inga tehetetlenségi nyomatéka az egyes részek tehetetlenségi nyomatékainak összegeként definiálható. A tárcsák tehetetlenségi nyomatéka az anyagi pont tehetetlenségi nyomatékának képletével számítható ki, mivel kicsik a forgástengely távolságához képest: , . A rúd tehetetlenségi nyomatéka egy távolságra lévő tengelyhez képest b a rúd közepétől, Steiner tételével határozható meg . Ennek eredményeként az inga teljes tehetetlenségi nyomatéka elméletileg kiszámítható a képlet segítségével

. (7)

Itt m 1 , m 2 és m 0 – az első, a második tárcsa és a rúd tömege, l 1 , l 2 – távolságok a tárcsák közepétől a forgástengelyig, l 0 – a rúd hossza.

A felfüggesztési pont és az inga súlypontja közötti távolság A, amely a (6) képletben a tehetetlenségi nyomaték kísérleti meghatározásához szükséges, meghatározható a súlypont fogalmával. Gravitáció középpontja a test az a pont, amelyre az eredő gravitációs erő hat. Ezért, ha az ingát vízszintesen egy támasztékra helyezzük, amely a súlypont alatt van, akkor az inga egyensúlyban lesz. Ezután mérje meg a távolságot a tengelytől VAL VEL a támaszra.

De meghatározhatja a távolságot A számítással. Az inga támaszon lévő egyensúlyi állapotából (1b. ábra) az következik, hogy a létrejövő gravitációs erő nyomatéka a tengelyhez viszonyítva VAL VEL (m 1 +m 2 +m 0)ga egyenlő a terhelések és a rúd gravitációs nyomatékainak összegével m 1 gl 1 +m 2 gl 2 +m 0 gb. Honnan szerezzük be?

. (8)

A MUNKA ELKÉSZÍTÉSE

1. Mérleggel mérve határozza meg a korongok és a rúd tömegét! Helyezze a korongokat a rúdra, és rögzítse őket. Mérje meg a forgástengely és a korongok közepe közötti távolságot l 1 , l 2 és a rúd közepéig b, rúdhossz l 0 a rúdon lévő centiméter osztások szerint. A mérési eredményeket rögzítse a táblázatban! 1.

Asztal 1

2.Csatlakoztassa az elektronikus egységet 220 V-os hálózathoz.

Mérje meg az oszcilláció periódusát. Ehhez mozgassa az ingát az egyensúlyi helyzetből egy kis szögbe, és engedje el. nyomja meg a gombot Rajt stopperóra. Az idő mérésére t, például tíz rezgés, a kilencedik oszcilláció után nyomja meg a gombot Állj meg. Az időszak az
T = t/ 10. Jegyezze fel az eredményt a táblázatba! 2, nyomja meg a gombot Visszaállítás. Ismételje meg a kísérletet legalább háromszor az inga más elhajlási szögeiben.

Kapcsolja ki a telepítést.

4. Végezzen számításokat az SI rendszerben. Határozza meg az átlagértéket<T> oszcillációs periódus. Határozza meg a távolságot A az inga tengelyétől a súlypontig a (8) képlet szerint, vagy helyezze az ingát tartóra úgy, hogy egyensúlyban legyen, és mérje meg a távolságot a rúdon lévő osztásokkal A.

2. táblázat

5. Határozza meg az inga tehetetlenségi nyomatékának átlagos kísérleti értékét!<J volt> a (6) képlet szerint az oszcillációs periódus átlagértéke szerint<T>.

6. Határozza meg az inga tehetetlenségi nyomatékának elméleti értékét! J elmélet a (7) képlet szerint.

7. Az inga tehetetlenségi nyomatékának elméleti és kísérleti értékeinek összehasonlításával vonjon le következtetést. Mérési hiba becslése D J= – J elmélet.

8. Írja be az eredményt az űrlapba! J exp =< J > ±D J.

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK

1. Adja meg a fizikai inga definícióját, magyarázza meg, miért lehetséges az inga természetes lengése!

2. Írja fel a forgómozgás dinamikájának alaptörvényét fizikai inga esetén!

Az anyagi pont transzlációs mozgásának dinamikájában a kinematikai jellemzők mellett az erő és a tömeg fogalmát is bevezették. A forgó mozgás dinamikájának tanulmányozásakor fizikai mennyiségeket vezetnek be - nyomatékÉs tehetetlenségi nyomaték, melynek fizikai jelentése alább kiderül.

Legyen valamilyen test egy pontban kifejtett erő hatására A, az OO tengely körül forog" (5.1. ábra).

5.1. ábra – Az erőnyomaték fogalmának következtetéséhez

Az erő a tengelyre merőleges síkban hat. Merőleges R, leesett a lényegről RÓL RŐL(a tengelyen fekve) az erő irányát hívjuk az erő vállát. A kar által kifejtett erő szorzata határozza meg a modulust erőpillanat ponthoz képest RÓL RŐL:

(5.1)

A hatalom pillanata az erő alkalmazási pontjának sugárvektorának és az erővektornak a vektorszorzata által meghatározott vektor:

(5.2)

Az erőnyomaték mértékegysége - newton méter(N . m). Az erőnyomaték vektorának irányát a segítségével találhatjuk meg jobb propeller szabályok.

A testek tehetetlenségének mértéke a transzlációs mozgás során a tömeg. A testek tehetetlensége a forgómozgás során nemcsak a tömegtől függ, hanem a forgástengelyhez viszonyított térbeli eloszlásától is. A forgó mozgás során fellépő tehetetlenség mértéke az ún a test tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyhez képest.

Anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyhez képest - ennek a pontnak a tömegének szorzata a tengelytől való távolság négyzetével:

A test tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyhez képest - a testet alkotó anyagi pontok tehetetlenségi nyomatékainak összege:

(5.4)

Általános esetben, ha a test szilárd és kis tömegű pontok halmazát képviseli dm, a tehetetlenségi nyomatékot az integráció határozza meg:

, (5.5)

Ahol r- távolság a forgástengelytől a d tömegű elemig m.

Ha a test homogén és sűrűsége ρ = m/V, akkor a test tehetetlenségi nyomatéka

(5.6)

A test tehetetlenségi nyomatéka attól függ, hogy melyik tengely körül forog, és hogyan oszlik el a test tömege a térfogatban.

Azon testek tehetetlenségi nyomatéka határozható meg legkönnyebben, amelyeknek szabályos geometriai alakja van és egyenletes tömegeloszlású a térfogatban.

Homogén rúd tehetetlenségi nyomatéka a tehetetlenségi középponton átmenő és a rúdra merőleges tengelyhez képest,

Homogén henger tehetetlenségi nyomatéka az alapjára merőleges és a tehetetlenségi középponton áthaladó tengelyhez képest,

(5.8)

Vékony falú henger vagy karika tehetetlenségi nyomatéka az alap síkjára merőleges és a középpontján átmenő tengelyhez képest,

A labda tehetetlenségi nyomatékaátmérőhöz képest

(5.10)

Határozzuk meg a tárcsa tehetetlenségi nyomatékát a tehetetlenségi középponton átmenő és a forgássíkra merőleges tengelyhez képest. Legyen a lemez tömege m, sugara pedig R.

A gyűrű területe (5.2. ábra) közé van zárva rés egyenlő a .

5.2 ábra – A tárcsa tehetetlenségi nyomatékának kiszámítása

Lemezterület. Állandó gyűrűvastagság mellett,

honnan ill .

Ezután a lemez tehetetlenségi nyomatéka,

Az érthetőség kedvéért az 5.3. ábra különböző alakú homogén szilárd testeket mutat be, és jelzi ezeknek a testeknek a tehetetlenségi nyomatékát a tömegközépponton átmenő tengelyhez képest.

5.3 ábra – Tehetetlenségi nyomatékok én néhány homogén szilárd anyag C.

Steiner tétele

A testek tehetetlenségi nyomatékainak fenti képletei akkor adhatók meg, ha a forgástengely átmegy a tehetetlenségi középponton. Egy test tehetetlenségi nyomatékának egy tetszőleges tengelyhez viszonyított meghatározásához használja Steiner tétele : a test tehetetlenségi nyomatéka egy tetszőleges forgástengelyhez viszonyítva egyenlő a J 0 tehetetlenségi nyomaték összegével az adott tengelytel párhuzamos és a test tehetetlenségi középpontján átmenő tengelyhez képest, és az md érték 2:

(5.12)

Ahol m- testtömeg, d- távolság a tömegközépponttól a kiválasztott forgástengelyig. A tehetetlenségi nyomaték mértékegysége - kilogramm négyzetméter (kg . m 2).

Így egy homogén hosszúságú rúd tehetetlenségi nyomatéka l a végén átmenő tengelyhez képest Steiner tétele szerint egyenlő