Lod 2. rendű állandó együttható példákkal. Másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletek állandó együtthatókkal

Az állandó együtthatójú másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletek alakja

ahol p és q valós számok. Nézzünk példákat arra, hogyan oldhatók meg a homogén másodrendű, állandó együtthatójú differenciálegyenletek.

Egy másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet megoldása a karakterisztikus egyenlet gyökereitől függ. A karakterisztikus egyenlet a k²+pk+q=0 egyenlet.

1) Ha a karakterisztikus egyenlet gyökei különböző valós számok:

akkor egy lineáris homogén másodrendű differenciálegyenlet állandó együtthatós általános megoldása a következő alakú

2) Ha a karakterisztikus egyenlet gyökei egyenlő valós számok

(például nullával egyenlő diszkrimináns esetén), akkor egy homogén másodrendű differenciálegyenlet általános megoldása

3) Ha a karakterisztikus egyenlet gyökei komplex számok

(például negatív számmal egyenlő diszkriminánssal), akkor egy homogén másodrendű differenciálegyenlet általános megoldását a következő formában írjuk fel:

Példák lineáris homogén másodrendű differenciálegyenletek megoldására állandó együtthatókkal

Keressen általános megoldásokat homogén másodrendű differenciálegyenletekre:

Felállítjuk a karakterisztikus egyenletet: k²-7k+12=0. A diszkriminánsa D=b²-4ac=1>0, tehát a gyökök különböző valós számok.

Ezért ennek a homogén 2. rendű DE-nek az általános megoldása az

Állítsuk össze és oldjuk meg a karakterisztikus egyenletet:

A gyökerek valódiak és különállóak. Ezért van egy általános megoldásunk erre a homogén differenciálegyenletre:

Ebben az esetben a karakterisztikus egyenlet

A gyökerek különbözőek és érvényesek. Ezért itt van a 2. rendű homogén differenciálegyenlet általános megoldása

Karakterisztikus egyenlet

Mivel a gyökök valósak és egyenlőek, erre a differenciálegyenletre az általános megoldást így írjuk

A jellemző egyenlet itt található

Mivel a diszkrimináns negatív szám, a karakterisztikus egyenlet gyökei komplex számok.

Ennek a homogén másodrendű differenciálegyenletnek az általános megoldása a következőképpen alakul

Karakterisztikus egyenlet

Innentől megtaláljuk az általános megoldást erre a különbségre. egyenletek:

Példák önellenőrzéshez.

Oktatási intézmény "Belarusz állam

Mezőgazdasági Akadémia"

Felsőmatematika Tanszék

Irányelvek

a „Másodrendű lineáris differenciálegyenletek” témakör tanulmányozása a levelező oktatási kar (NISPO) számviteli karának hallgatói által

Gorki, 2013

Lineáris differenciálegyenletek

másodrendű állandókkalegyütthatók

1. Lineáris homogén differenciálegyenletek

Másodrendű lineáris differenciálegyenlet állandó együtthatókkal formaegyenletnek nevezzük

azok. olyan egyenlet, amely csak első fokon tartalmazza a kívánt függvényt és származékait, és nem tartalmazza azok szorzatait. Ebben az egyenletben És
- néhány szám és egy függvény
adott időközönként
.

Ha
az intervallumon
, akkor az (1) egyenlet a következő alakot veszi fel

, (2)

és úgy hívják lineárisan homogén . Ellenkező esetben az (1) egyenletet nevezzük lineáris inhomogén .

Tekintsük az összetett függvényt

, (3)

Ahol
És
- valós függvények. Ha a (3) függvény a (2) egyenlet komplex megoldása, akkor a valós rész
, és képzeletbeli rész
megoldásokat
külön vannak ugyanazon homogén egyenlet megoldásai. Így a (2) egyenlet bármely összetett megoldása két valós megoldást generál erre az egyenletre.

A homogén lineáris egyenlet megoldásai a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

Ha a (2) egyenlet megoldása, akkor a függvény
, Ahol VAL VEL– egy tetszőleges állandó a (2) egyenlet megoldása is lesz;

Ha És a (2) egyenletnek vannak megoldásai, majd a függvénynek
a (2) egyenlet megoldása is lesz;

Ha És a (2) egyenletnek vannak megoldásai, majd ezek lineáris kombinációja
megoldása lesz a (2) egyenletnek is, ahol És
– tetszőleges állandók.

Funkciók
És
hívják lineárisan függő az intervallumon
, ha vannak ilyen számok És
, ugyanakkor nem egyenlő nullával, hogy ezen az intervallumon az egyenlőség

Ha a (4) egyenlőség csak akkor következik be
És
, majd a funkciókat
És
hívják lineárisan független az intervallumon
.

1. példa . Funkciók
És
lineárisan függőek, hiszen
a teljes számegyenesen. Ebben a példában
.

2. példa . Funkciók
És
lineárisan függetlenek bármely intervallumtól, mivel az egyenlőség
csak abban az esetben lehetséges
, És
.

1. Lineáris homogén általános megoldásának felépítése

egyenletek

Ahhoz, hogy általános megoldást találjunk a (2) egyenletre, meg kell találni két lineárisan független megoldását És . Ezen megoldások lineáris kombinációja
, Ahol És
tetszőleges állandók, és általános megoldást adnak egy lineáris homogén egyenletre.

A (2) egyenletre lineárisan független megoldásokat fogunk keresni a formában

, (5)

Ahol – egy bizonyos szám. Akkor
,
. Helyettesítsük be ezeket a kifejezéseket a (2) egyenletbe:

Vagy
.

Mert
, Azt
. Tehát a funkció
a (2) egyenlet megoldása lesz, ha kielégíti az egyenletet

. (6)

A (6) egyenletet nevezzük karakterisztikus egyenlet a (2) egyenlethez. Ez az egyenlet egy algebrai másodfokú egyenlet.

Hadd És ennek az egyenletnek vannak gyökerei. Lehetnek valódiak és különbözőek, vagy összetettek, vagy valódiak és egyenlőek. Nézzük ezeket az eseteket.

Hagyja a gyökereket És karakterisztikus egyenletek valósak és különbözőek. Ekkor a (2) egyenlet megoldásai a függvények lesznek
És
. Ezek a megoldások lineárisan függetlenek, mivel az egyenlőség
csak akkor hajtható végre
, És
. Ezért a (2) egyenlet általános megoldásának alakja van

,

Ahol És
- tetszőleges állandók.

3. példa
.

Megoldás . Ennek a differenciálnak a jellemző egyenlete a következő lesz
. Miután megoldottuk ezt a másodfokú egyenletet, megtaláljuk a gyökereit
És
. Funkciók
És
a differenciálegyenlet megoldásai. Ennek az egyenletnek az általános megoldása az
.

Összetett szám a forma kifejezésének nevezzük
, Ahol És valós számok, és
képzeletbeli egységnek nevezzük. Ha
, majd a szám
tisztán képzeletnek nevezik. Ha
, majd a szám
valós számmal azonosítjuk .

Szám komplex szám valós részének nevezzük, és - képzeletbeli rész. Ha két komplex szám csak a képzeletbeli rész előjelében tér el egymástól, akkor konjugáltnak nevezzük őket:
,
.

4. példa . Másodfokú egyenlet megoldása
.

Megoldás . Diszkrimináns egyenlet
. Akkor . Hasonlóképpen,
. Így ennek a másodfokú egyenletnek konjugált komplex gyökei vannak.

Legyenek a karakterisztikus egyenlet gyökei összetettek, azaz.
,
, Ahol
. A (2) egyenlet megoldásai a formába írhatók
,
vagy
,
. Euler képletei szerint

,
.

Akkor , . Mint ismeretes, ha egy komplex függvény egy lineáris homogén egyenlet megoldása, akkor ennek az egyenletnek a megoldásai ennek a függvénynek a valós és képzetes részei is. Így a (2) egyenlet megoldásai a függvények lesznek
És
. Az egyenlőség óta

csak akkor hajtható végre
És
, akkor ezek a megoldások lineárisan függetlenek. Ezért a (2) egyenlet általános megoldásának alakja van

Ahol És
- tetszőleges állandók.

5. példa . Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását!
.

Megoldás . Az egyenlet
adott differenciálra jellemző. Oldjuk meg, és szerezzünk összetett gyökereket
,
. Funkciók
És
a differenciálegyenlet lineárisan független megoldásai. Ennek az egyenletnek az általános megoldása a következő alakú.

Legyen a karakterisztikus egyenlet gyöke valós és egyenlő, azaz.
. Ekkor a (2) egyenlet megoldásai a függvények
És
. Ezek a megoldások lineárisan függetlenek, mivel a kifejezés csak akkor lehet azonosan egyenlő nullával
És
. Ezért a (2) egyenlet általános megoldásának alakja van
.

6. példa . Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását!
.

Megoldás . Karakterisztikus egyenlet
egyenlő gyökerei vannak
. Ebben az esetben a differenciálegyenlet lineárisan független megoldásai a függvények
És
. Az általános megoldásnak megvan a formája
.

Másodrendű differenciálegyenletek

§1. Módszerek az egyenlet sorrendjének csökkentésére.

A másodrendű differenciálegyenlet alakja:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( vagy Differenciál" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">2. rendű differenciálegyenlet). Cauchy probléma egy 2. rendű differenciálegyenlethez (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

Legyen a másodrendű differenciálegyenlet a következő: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Így a másodrendű egyenlet https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Ezt megoldva megkapjuk az eredeti differenciálegyenlet általános integrálját, két tetszőleges állandótól függően: DIV_ADBLOCK219">

1. példa Oldja meg a https://pandia.ru/text/78/516/images/image021_18.gif" width="70" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.gif differenciálegyenletet " width="39" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.gif" width="112" height="25 src=">.

Ez egy differenciálegyenlet elválasztható változókkal: https://pandia.ru/text/78/516/images/image026_19.gif" width="99" height="41 src=">, i.e..gif" width= " 96" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="48" height="38 src=">..gif" width=" 99 " height="38 src=">..gif" width="95" height="25 src=">.

2..gif" width="117" height="25 src=">, azaz..gif" width="102" height="25 src=">..gif" width="117" height= "25 src =">.gif" width="106" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=" >.gif" width="111" height="27 src=">

Megoldás.

Ez a másodrendű egyenlet egyértelműen nem tartalmazza a kívánt függvényt https://pandia.ru/text/78/516/images/image043_16.gif" width="98" height="25 src=">.gif" width= " 33" height="25 src=">.gif" width="105" height="36 src=">, ami egy lineáris egyenlet..gif" width="109" height="36 src=">. gif" width="144" height="36 src=">.gif" height="25 src="> egyes függvényekből..gif" width="25" height="25 src=">.gif " width="127" height="25 src=">.gif" width="60" height="25 src="> – az egyenlet sorrendje csökken.

§2. 2. rendű lineáris differenciálegyenlet.

A másodrendű lineáris differenciálegyenlet (LDE) a következő formájú:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image059_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. gif" width="42" height="25 src=">, és az együtthatók új jelöléseinek bevezetése után a következő formában írjuk fel az egyenletet:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image064_12.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">. gif" width="30" height="25 src="> folyamatos..gif" width="165" height="25 src=">.gif" width="95" height="25 src="> – tetszőleges számok.

Tétel. Ha https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> - a megoldás

A https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> szintén megoldás lesz erre az egyenletre.

Bizonyíték.

Tegyük a https://pandia.ru/text/78/516/images/image077_11.gif" width="420" height="25 src="> kifejezést.

Rendezzük át a feltételeket:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image073_10.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="54" height="25 src=">. gif" width="94" height="25 src="> is megoldás erre az egyenletre.

Következmény 2. Feltételezve, hogy a https://pandia.ru/text/78/516/images/image083_11.gif" width="58" height="25 src="> szintén megoldás erre az egyenletre.

Megjegyzés. A megoldások tételben bizonyított tulajdonsága bármilyen sorrendű problémákra érvényben marad.

§3. Vronszkij meghatározója.

Meghatározás. Funkciórendszer https://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif" width="61" height="25 src=">.gif" width="110" height="47 src= " >..gif" width="106" height="42 src=">..gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="181" height="47 src= " >.gif" width="42" height="25 src="> egyenletek (2.3)..gif" width="182" height="25 src="> (3.1)

Valóban, a ..gif" width="18" height="25 src="> megfelel az egyenletnek (2..gif" width="42" height="25 src="> a (3.1) egyenlet megoldása). .gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src="> .gif" width="51" height="25 src="> az azonosság megszerzése.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, amelyben az egyenlet lineárisan független megoldásainak determinánsa (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> a (3.2) képlet jobb oldalán található mindkét tényező nullától eltérő.

4. §. A 2. rendű lode általános megoldásának felépítése.

Tétel. Ha a https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> lineárisan független megoldásai a (2..gif" width="" egyenletnek 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">a (2.3) egyenlet megoldása, ami a megoldások tulajdonságairól szóló tételből következik a másodrendű lode-ig. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Az ebből a lineáris algebrai egyenletrendszerből származó https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> konstansokat egyedileg határozzuk meg, mivel a determináns ez a rendszer https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Az előző bekezdés szerint a 2. rendű Lod általános megoldása könnyen meghatározható, ha ismerjük ennek az egyenletnek két lineárisan független részmegoldását. Egy egyszerű módszer egy L. Euler által javasolt állandó együtthatójú egyenlet részleges megoldásához..gif" width="25" height="26 src=">, egy algebrai egyenletet kapunk, amelyet karakterisztikusnak nevezünk:

A https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> az (5.1) egyenlet megoldása csak a k értékei esetén amelyek a karakterisztikus egyenlet gyökerei (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> és az általános megoldás (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Ellenőrizzük, hogy ez a függvény teljesíti-e az (5.1)..gif" width="190" height="26 src="> egyenletet az (5.1) egyenletbe, azt kapjuk

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, mert..gif" width="137" height="26 src= ">.

Az egyes megoldások https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> lineárisan függetlenek, mert..gif" width="166" height ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" magasság = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

Ennek az egyenlőségnek a bal oldalán mindkét zárójel azonosan egyenlő nullával..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> a az (5.1) egyenlet megoldása ..gif" width="129" height="25 src="> így fog kinézni:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

az általános megoldás összegeként jelenik meg: https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

és a https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> megoldás a (6.1) egyenlet megoldása lesz..gif" szélesség=" 272" height="25 src="> f(x). Ez az egyenlőség egy azonosság, mert..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Ezért.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width A ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> lineárisan független megoldásai ennek az egyenletnek. És így:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, és egy ilyen determináns, mint fentebb láttuk, nem nulla..gif" width="19" height="25 src="> a rendszertől egyenletek közül (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> akarja megoldani az egyenletet

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> a (6.5) egyenletbe, kapjuk

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

ahol a https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> (7.1) egyenlet abban az esetben, ha a jobb oldali f(x) ) egy speciális formája. Ezt a módszert határozatlan együtthatók módszerének nevezik, és egy adott megoldást választunk az f(x) jobb oldal típusától függően.

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, lehet nulla. Jelöljük meg, hogy ebben az esetben egy adott megoldást milyen formában kell elfogadni.

a) Ha a szám https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.

Megoldás.

A https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src egyenlethez = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

Mindkét részt a https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> értékre redukáljuk az egyenlőség bal és jobb oldalán

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

A kapott egyenletrendszerből megtaláljuk: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, és az adott általános megoldását az egyenlet:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

ahol https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

Megoldás.

A megfelelő karakterisztikus egyenlet alakja:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Végső az alábbi kifejezést kapjuk az általános megoldásra:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> kiváló nulláról. Jelöljük ebben az esetben az adott megoldás típusát.

a) Ha a szám https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

ahol https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> az egyenlet jellemző egyenletének gyökere (5..gif" width="229" height="25 src=">,

ahol https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

Megoldás.

A https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height egyenlet karakterisztikus egyenletének gyökerei ="25 src=">.

A 3. példában megadott egyenlet jobb oldalának speciális alakja van: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

A https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" meghatározásához > és behelyettesítjük a megadott egyenletbe:

Hasonló kifejezések idézése, az együtthatók egyenlővé tétele: https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height = "25 src=">.

Az adott egyenlet végső általános megoldása: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src=">, és ezek közül az egyik polinom lehet nulla. Jelöljük meg az adott megoldás típusát ebben az általános esetben .

a) Ha a szám https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

ahol https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) Ha a https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src="> szám, akkor az lndu adott megoldása így fog kinézni:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. A (7..gif" width="121" height= kifejezésben " 25 src=">.

4. példa Adja meg az egyenlet adott megoldásának típusát

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . A Lodu általános megoldása a következő:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

További együtthatók https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > van egy sajátos megoldás a jobb oldali f1(x) egyenletre, és tetszőleges állandók variációi" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">változatai (Lagrange-módszer).

Egy egyenletre adott megoldást közvetlenül találni, kivéve az állandó együtthatókkal és speciális szabad tagokkal rendelkező egyenletet, nagyon nehéz. Ezért az egyenlet általános megoldásának megtalálásához általában a tetszőleges állandók variációs módszerét alkalmazzák, amely mindig lehetővé teszi az egyenlet általános megoldásának kvadratúrákban történő megtalálását, ha ismerjük a megfelelő homogén egyenlet alapvető megoldási rendszerét. . Ez a módszer a következő.

A fentiek szerint a lineáris homogén egyenlet általános megoldása:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – nem állandók, hanem f(x) néhány, még ismeretlen függvénye. . intervallumból kell venni. Valójában ebben az esetben a Wronski-determináns nem nulla az intervallum minden pontján, azaz a teljes térben - a karakterisztikus egyenlet összetett gyöke..gif" width="20" height="25 src="> alak lineárisan független részmegoldásai:

Az általános megoldási képletben ez a gyök a forma kifejezésének felel meg.

Ebben a cikkben megvizsgáljuk a lineáris homogén másodrendű, állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldásának elveit, ahol p és q tetszőleges valós számok. Először koncentráljunk az elméletre, majd alkalmazzuk a kapott eredményeket a példák és problémák megoldásában.

Ha ismeretlen kifejezésekkel találkozik, olvassa el a differenciálegyenletek elméletének definícióiról és fogalmairól szóló részt.

Fogalmazzunk meg egy tételt, amely jelzi, hogy milyen formában kell megtalálni a LOD általános megoldását.

Tétel.

Az X integrációs intervallumon folytonos együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldását egy lineáris kombináció határozza meg , Ahol az LDE lineárisan független parciális megoldásai X-en, és tetszőleges állandók.

Így egy lineáris homogén másodrendű, állandó együtthatójú differenciálegyenlet általános megoldása y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2 alakú, ahol y 1 és y 2 részlegesen lineárisan független megoldások, C 1 pedig és C 2 tetszőleges állandók. Még meg kell tanulni, hogyan találjuk meg az y 1 és y 2 részmegoldásokat.

Euler azt javasolta, hogy az űrlapon keressenek konkrét megoldásokat.

Ha egy másodrendű LDE parciális megoldását vesszük állandó együtthatókkal, akkor ezt a megoldást az egyenletbe behelyettesítve az azonosságot kell kapnunk:

Így megkaptuk az ún karakterisztikus egyenlet másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet állandó együtthatókkal. Ennek a karakterisztikus egyenletnek a k 1 és k 2 megoldása határozza meg a másodrendű LODE részmegoldásait állandó együtthatókkal.

A p és q együtthatóktól függően a karakterisztikus egyenlet gyöke lehet:

Az első esetben Az eredeti differenciálegyenlet lineárisan független parciális megoldásai és, egy másodrendű, állandó együtthatójú LODE általános megoldása: .

A és függvények valóban lineárisan függetlenek, mivel a Wronski-determináns nem nulla bármely valós x esetén.

A második esetben az egyik sajátos megoldás a függvény . Második konkrét megoldásként a következőt választjuk. Mutassuk meg, mi a konkrét megoldása egy másodrendű LODE-nak állandó együtthatókkal, és bizonyítsuk be y 1 és y 2 lineáris függetlenségét.

Mivel k 1 = k 0 és k 2 = k 0 a karakterisztikus egyenlet azonos gyökei, alakja . Ezért az eredeti lineáris homogén differenciálegyenlet. Helyettesítsük be, és győződjön meg arról, hogy az egyenlet azonossággá válik:

Így ez az eredeti egyenlet sajátos megoldása.

Mutassuk meg az és függvények lineáris függetlenségét. Ehhez kiszámítjuk a Wronski-determinánst, és megbizonyosodunk arról, hogy az különbözik a nullától.

Következtetés: a másodrendű, állandó együtthatójú LODE-k lineárisan független parciális megoldásai a és , és az általános megoldás létezik -re.

A harmadik esetben az LDE és a komplex részmegoldások párja áll rendelkezésünkre. Az általános megoldást így írjuk le . Ezeket a konkrét megoldásokat két valós függvény helyettesítheti és , a valós és képzeletbeli részeknek megfelelően. Ez jól látható, ha átalakítjuk az általános megoldást , a képleteket használva komplex változó függvényelmélete típus:


ahol C 3 és C 4 tetszőleges állandók.

Tehát foglaljuk össze az elméletet.

Algoritmus egy másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldásának megtalálására állandó együtthatókkal.

Nézzünk példákat minden egyes esetre.

Példa.

Keresse meg egy másodrendű lineáris homogén, állandó együtthatójú differenciálegyenlet általános megoldását! .