Az összes integrál táblázata. Alapvető integrációs módszerek

Az antiderivatívek ("integrálok") táblázata. Integrálok táblázata. Táblázatos határozatlan integrálok. (A legegyszerűbb integrálok és paraméteres integrálok). Képletek alkatrészenkénti integrációhoz. Newton-Leibniz képlet.

Képletek alkatrészenkénti integrációhoz. Integrációs szabályok.

Származékok táblázata. Táblázatos származékok. A termék származéka. A hányados származéka. Komplex függvény származéka.

Ha x független változó, akkor:

A logaritmusok tulajdonságai. A logaritmusok alapképletei. Tizedes (lg) és természetes logaritmus (ln).

Természetes logaritmus ln (logaritmus e bázishoz = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Taylor sorozat. Egy függvény Taylor sorozatának bővítése.

Kiderült, hogy a többség gyakorlatilag találkoztunk A matematikai függvények egy adott pont közelében tetszőleges pontossággal ábrázolhatók egy változó hatványait növekvő sorrendben tartalmazó hatványsorok formájában. Például az x=1 pont közelében:

ún. sorozat használatakor Taylor sorai, mondjuk algebrai, trigonometrikus és exponenciális függvényeket tartalmazó vegyes függvények tisztán algebrai függvényekként fejezhetők ki. A sorozatok használatával gyakran gyorsan elvégezhető a differenciálás és az integráció.

A Taylor-sorozat az a pont szomszédságában a következő formában van:

1) , ahol f(x) egy olyan függvény, amelynek minden rendjének deriváltja van x=a helyen. R n - a Taylor-sorozat maradék tagját a kifejezés határozza meg

2)

A sorozat k-edik együtthatóját (x k-nél) a képlet határozza meg

3) A Taylor sorozat speciális esete a Maclaurin (=McLaren) sorozat (a tágulás az a=0 pont körül történik)

a=0-nál

a sorozat tagjait a képlet határozza meg

A Taylor sorozat használatának feltételei.

1. Ahhoz, hogy az f(x) függvény Taylor-sorozattá bővüljön a (-R;R) intervallumon, szükséges és elegendő, hogy a Taylor (Maclaurin (=McLaren)) képletben a maradék tag ehhez függvény nullára hajlik, mint k →∞ a megadott intervallumon (-R;R).

2. Szükséges, hogy egy adott függvénynek legyenek deriváltjai abban a pontban, amelynek közelében a Taylor-sort megszerkesztjük.

A Taylor sorozat tulajdonságai.

Ha f egy analitikus függvény, akkor a Taylor-sor az f definíciós tartományának bármely a pontjában konvergál f-hez az a szomszédságában.

Vannak végtelenül differenciálható függvények, amelyek Taylor-sora konvergál, ugyanakkor eltér a bármely szomszédságában lévő függvénytől. Például:

A Taylor-sorokat egy függvény polinomokkal való közelítésére használják (a közelítés egy tudományos módszer, amely abból áll, hogy egyes objektumokat másokkal helyettesítenek, amelyek bizonyos értelemben közel állnak az eredetiekhez, de egyszerűbbek). Különösen a linearizálás ((linearis - lineáris), a zárt nemlineáris rendszerek közelítő ábrázolásának egyik módszere, amelyben a nemlineáris rendszer tanulmányozását egy lineáris rendszer elemzése váltja fel, bizonyos értelemben egyenértékű az eredetivel .) egyenletek úgy lépnek fel, hogy Taylor sorozattá bővülnek, és az összes elsőrendű tagot levágják.

Így szinte minden függvény adott pontossággal polinomként ábrázolható.

Példák a hatványfüggvények néhány gyakori kiterjesztésére a Maclaurin sorozatban (=McLaren, Taylor a 0. pont közelében) és Taylor az 1. pont közelében. A Taylor és McLaren sorozatok fő függvényeinek kiterjesztésének első feltételei.

Példák a hatványfüggvények néhány gyakori kiterjesztésére a Maclaurin sorozatban (=McLaren, Taylor a 0. pont közelében)

Példák néhány gyakori Taylor sorozat bővítésre az 1. pont közelében

Antiderivatív függvény és határozatlan integrál

1. tény. Az integráció a differenciálás fordított művelete, nevezetesen egy függvény visszaállítása ennek a függvénynek az ismert deriváltjából. A funkció így helyreállt F(x) nak, nek hívják antiderivatív funkcióhoz f(x).

Definíció 1. Funkció F(x f(x) bizonyos időközönként x, ha minden értékre x ebből az intervallumból érvényesül az egyenlőség F "(x)=f(x), vagyis ezt a függvényt f(x) az antiderivatív függvény deriváltja F(x). .

Például a függvény F(x) = bűn x a függvény antideriváltja f(x) = cos x a teljes számegyenesen, hiszen x bármely értékére (bűn x)" = (cos x) .

Definíció 2. Függvény határozatlan integrálja f(x) az összes antiderivatív halmaza. Ebben az esetben a jelölést használják

∫

f(x)dx

hol a jel ∫ integráljelnek, függvénynek nevezzük f(x) – integrand függvény, és f(x)dx – integráns kifejezés.

Így ha F(x) – valamilyen antiderivatív a f(x), Ez

∫

f(x)dx = F(x) +C

Ahol C - tetszőleges állandó (konstans).

A függvény antideriváltjainak mint határozatlan integrál jelentésének megértéséhez a következő analógia megfelelő. Legyen ajtó (hagyományos faajtó). Feladata, hogy „ajtó legyen”. Miből van az ajtó? Fából készült. Ez azt jelenti, hogy az „ajtónak lenni” függvény integrandusának, azaz határozatlan integráljának antideriváltjainak halmaza a „fának lenni + C” függvény, ahol C egy konstans, ami ebben az összefüggésben jelöli például a fa típusát. Ahogy egy ajtót fából készítenek bizonyos szerszámok segítségével, egy függvény származékát egy antiderivatív függvényből „készítik” képletek, amelyeket a derivált tanulmányozása során tanultunk meg .

Ekkor a gyakori tárgyak és a hozzájuk tartozó antiszármazékok ("ajtónak lenni" - "fának lenni", "kanálnak lenni" - "fémnek lenni" stb.) függvénytáblázata hasonló az alaptáblázathoz. határozatlan integrálok, amelyeket az alábbiakban adunk meg. A határozatlan integrálok táblázata felsorolja a gyakori függvényeket, feltüntetve azokat az antiderivatíveket, amelyekből ezek a függvények „készültek”. A határozatlan integrál megtalálásával kapcsolatos problémák egy részében olyan integránsokat adunk meg, amelyek nagyobb erőfeszítés nélkül közvetlenül integrálhatók, vagyis a határozatlan integrálok táblázatával. Bonyolultabb problémák esetén először az integrandust kell átalakítani, hogy táblaintegrálokat lehessen használni.

2. tény. Amikor egy függvényt antideriváltként állítunk vissza, figyelembe kell vennünk egy tetszőleges állandót (konstanst) C, és annak érdekében, hogy ne írjon listát az antideriváltakról 1-től végtelenig különböző állandókkal, meg kell írnia egy tetszőleges állandóval rendelkező antiderivált készletet. C például így: 5 x³+C. Tehát egy tetszőleges állandó (konstans) szerepel az antiderivált kifejezésében, mivel az antiderivált lehet függvény, például 5 x³+4 vagy 5 x³+3 és ha differenciálódik, a 4 vagy 3, vagy bármely más állandó nullára megy.

Tegyük fel az integrációs problémát: erre a függvényre f(x) találni egy ilyen funkciót F(x), amelynek származéka egyenlő f(x).

1. példa Keresse meg egy függvény antideriváltjainak halmazát

Megoldás. Ennél a függvénynél az antiderivált a függvény

Funkció F(x) a függvény antideriváltjának nevezzük f(x), ha a származék F(x) egyenlő f(x), vagy ami ugyanaz, a különbség F(x) egyenlő f(x) dx, azaz

(2)

Ezért a függvény a függvény antideriváltja. Azonban nem ez az egyetlen antiderivatív a . Funkcióként is szolgálnak

Ahol VAL VEL– tetszőleges állandó. Ezt differenciálással lehet igazolni.

Így ha egy függvénynek egy antideriválta van, akkor végtelen számú antideriválta van, amelyek egy állandó taggal különböznek egymástól. Egy függvény összes antideriváltja a fenti formában van írva. Ez a következő tételből következik.

Tétel (2. formális tényállítás). Ha F(x) – a funkció antideriváltja f(x) bizonyos időközönként x, majd bármely más származékellenes szer számára f(x) ugyanazon az intervallumon ábrázolható formában F(x) + C, Ahol VAL VEL– tetszőleges állandó.

A következő példában áttérünk az integrálok táblázatára, amelyet a 3. bekezdésben adunk meg, a határozatlan integrál tulajdonságai után. Ezt a teljes táblázat elolvasása előtt tesszük, hogy a fentiek lényege világos legyen. A tábla és tulajdonságok után pedig teljes egészében fogjuk használni őket az integráció során.

2. példa Keresse meg az antiderivatív függvénykészleteket:

Megoldás. Találunk olyan antiderivatív függvénykészleteket, amelyekből ezek a függvények „készülnek”. Amikor az integrálok táblázatából képleteket említünk, egyelőre csak fogadjuk el, hogy ott vannak ilyen formulák, és magát a határozatlan integrálok táblázatát is tanulmányozzuk egy kicsit tovább.

1) A (7) képlet alkalmazása az integrálok táblázatából n= 3, kapjuk

2) A (10) képlet segítségével az integrálok táblázatából n= 1/3, megvan

3) Azóta

majd a (7) képlet szerint -val n= -1/4 találunk

Nem maga a függvény van az integráljel alá írva f, és a differenciál szorzata dx. Ez elsősorban annak jelzésére szolgál, hogy melyik változó alapján keresik az antiderivatívet. Például,

, ;

itt az integrandus mindkét esetben egyenlő -vel, de határozatlan integráljai a vizsgált esetekben eltérőnek bizonyulnak. Az első esetben ezt a függvényt a változó függvényének tekintjük x, a másodikban pedig - függvényében z .

Egy függvény határozatlan integráljának megtalálásának folyamatát a függvény integrálásának nevezzük.

A határozatlan integrál geometriai jelentése

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk egy görbét y=F(x)és már tudjuk, hogy az érintőszög érintője minden pontjában adott függvény f(x) ennek a pontnak abszcisszán.

A derivált geometriai jelentése szerint az érintő dőlésszögének érintője a görbe adott pontjában y=F(x) egyenlő a származék értékével F"(x). Tehát meg kell találnunk egy ilyen függvényt F(x), amelyekre F"(x)=f(x). A feladathoz szükséges funkció F(x) egy antiderivátuma f(x). A feladat feltételeit nem egy görbe, hanem egy görbecsalád elégíti ki. y=F(x)- az egyik ilyen görbe, és abból bármilyen más görbe állítható elő párhuzamos transzlációval a tengely mentén Oy.

Nevezzük az antiderivatív függvény grafikonját f(x) integrálgörbe. Ha F"(x)=f(x), majd a függvény grafikonja y=F(x) van egy integrálgörbe.

3. tény. A határozatlan integrált geometriailag az összes integrálgörbe családja ábrázolja , mint az alábbi képen. Az egyes görbék távolságát a koordináták origójától egy tetszőleges integrációs állandó határozza meg C.

A határozatlan integrál tulajdonságai

4. tény. 1. Tétel. Egy határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal, differenciálja pedig egyenlő az integrandusszal.

5. tény. 2. Tétel. Egy függvény differenciáljának határozatlan integrálja f(x) egyenlő a függvénnyel f(x) állandó időtartamig , azaz

(3)

Az 1. és 2. tétel azt mutatja, hogy a differenciálás és az integráció kölcsönösen inverz műveletek.

6. tény. 3. Tétel. Az integrandus állandó tényezője kivehető a határozatlan integrál előjeléből , azaz

Az integráció a matematikai elemzés egyik fő művelete. Hasznosak lehetnek az ismert antideriváltok táblázatai, de most, a számítógépes algebrai rendszerek megjelenése után, elvesztik jelentőségüket. Az alábbiakban felsoroljuk a leggyakoribb primitíveket.

Alapintegrálok táblázata

Egy másik, kompakt lehetőség

A trigonometrikus függvények integráljainak táblázata

A racionális függvényekből

Irracionális függvényekből

Transzcendentális függvények integráljai

"C" egy tetszőleges integrációs állandó, amely akkor kerül meghatározásra, ha az integrál értéke bármely pontban ismert. Minden függvénynek végtelen számú antideriváltja van.

A legtöbb iskolásnak és diáknak problémái vannak az integrálszámítással. Ez az oldal tartalmaz integrál táblázatok trigonometrikus, racionális, irracionális és transzcendentális függvényekből, amelyek segítenek a megoldásban. A származékok táblázata is segít.

Videó - hogyan találjunk integrálokat

>>Integrációs módszerek

Alapvető integrációs módszerek

Integrál, határozott és határozatlan integrál definíciója, integrálok táblázata, Newton-Leibniz formula, részenkénti integráció, példák integrálszámításra.

Határozatlan integrál

Egy adott X intervallumban differenciálható F(x) függvényt hívunk a függvény antideriváltja f(x), vagy f(x) integrálja, ha minden x ∈X-re teljesül a következő egyenlőség:

F "(x) = f(x). (8.1)

Egy adott függvény összes antideriváltjának megtalálását annak nevezzük integráció. Határozatlan integrálfüggvény f(x) egy adott X intervallumon az f(x) függvény összes antiderivatív függvényének halmaza; megnevezés -

Ha F(x) az f(x) függvény valamilyen antideriváltja, akkor ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

ahol C tetszőleges állandó.

Integrálok táblázata

Közvetlenül a definícióból megkapjuk a határozatlan integrál főbb tulajdonságait és a táblázatos integrálok listáját:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=állandó)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

A táblázatos integrálok listája

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Változó csere

Számos függvény integrálásához használja a változócsere módszert ill helyettesítések, lehetővé teszi az integrálok táblázatos formájú redukálását.

Ha az f(z) függvény folytonos [α,β]-on, akkor a z =g(x) függvénynek folytonos deriváltja van, és α ≤ g(x) ≤ β, akkor

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Sőt, a jobb oldali integráció után a z=g(x) behelyettesítést kell végrehajtani.

Ennek bizonyításához elegendő az eredeti integrált a következő formában írni:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Például:

1)

2) .

Alkatrészenkénti integráció módja

Legyenek u = f(x) és v = g(x) olyan függvények, amelyeknek folytonos . Aztán a munka szerint

d(uv))= udv + vdu vagy udv = d(uv) - vdu.

A d(uv) kifejezésnél az antiderivált nyilvánvalóan uv lesz, így a képlet teljesül:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ez a képlet kifejezi a szabályt részenkénti integráció. Ez elvezeti az udv=uv"dx kifejezés integrációját a vdu=vu"dx kifejezés integrálásához.

Tegye például, hogy meg akarja találni a ∫xcosx dx értéket. Tegyük fel u = x, dv = cosxdx, tehát du=dx, v=sinx. Akkor

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

A részenkénti integráció szabályának hatóköre korlátozottabb, mint a változók helyettesítésének. De vannak integrálok egész osztályai, pl.

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax és mások, amelyeket a részenkénti integráció segítségével pontosan kiszámítunk.

Határozott integrál

A határozott integrál fogalmát a következőképpen vezetjük be. Legyen egy f(x) függvény definiálva egy intervallumon. Osszuk fel az [a,b] szakaszt n pontok szerinti részek a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Az f(ξ i)Δ x i alakú összeget nevezzük integrál összeg, és λ = maxΔx i → 0 határértékét, ha létezik és véges, az ún. határozott integrál f(x) függvényei a előtt bés ezt jelölik:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Az f(x) függvényt ebben az esetben hívjuk integrálható az intervallumra, az a és b számokat hívják az integrál alsó és felső határa.

A következő tulajdonságok igazak egy határozott integrálra:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Az utolsó tulajdonság ún középérték tétel.

Legyen f(x) folytonos -on. Ekkor ezen a szegmensen van egy határozatlan integrál

∫f(x)dx = F(x) + C

és megtörténik Newton-Leibniz képlet, összekötve a határozott integrált a határozatlan integrállal:

F(b) - F(a). (8.6)

Geometriai értelmezés: a határozott integrál egy görbe vonalú trapéz területe, amelyet felülről az y=f(x) görbe, az x = a és x = b egyenesek és a tengelyszakasz határol. Ökör.

Nem megfelelő integrálok

A végtelen határú integrálokat és a nem folytonos (korlátlan) függvények integráljait ún. nem a sajátod. Az első típusú helytelen integrálok - ezek integrálok egy végtelen intervallumon, a következőképpen definiálva:

(8.7)

Ha ez a határ létezik, és véges, akkor ún f(x) konvergens nem megfelelő integrálja az [a,+ ∞ intervallumon), és meghívásra kerül az f(x) függvény végtelen intervallumon keresztül integrálható[a,+ ∞). Ellenkező esetben azt mondják, hogy az integrál nem létezik vagy eltér.

A (-∞,b] és (-∞, + ∞) intervallumokon lévő nem megfelelő integrálokat hasonlóan definiáljuk:

Határozzuk meg a korlátlan függvény integráljának fogalmát. Ha f(x) minden értékre folytonos x szegmens, kivéve a c pontot, ahol f(x) végtelen szakadást mutat, akkor a második típusú nem megfelelő integrál f(x) a-tól b-ig terjed az összeg neve:

ha ezek a határok léteznek és végesek. Kijelölés:

Példák integrálszámításra

3.30. példa. Számítsa ki ∫dx/(x+2).

Megoldás. Jelöljük t = x+2, akkor dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

3.31. példa. Keresse meg ∫ tgxdx.

Megoldás.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Legyen t=cosx, akkor ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Megoldás.

Példa3.33. Megtalálja .

Megoldás. =

.

Példa3.34 . Keresse meg ∫arctgxdx.

Megoldás. Integráljuk részenként. Jelöljük u=arctgx, dv=dx. Ekkor du = dx/(x 2 +1), v=x, innen ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; mert
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Példa3.35 . Számítsa ki az ∫lnxdx-et.

Megoldás. Az alkatrészenkénti integrációt alkalmazva a következőt kapjuk:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Ekkor ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Példa3.36 . Számítsa ki ∫e x sinxdx.

Megoldás. Jelöljük u = e x, dv = sinxdx, akkor du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. A ∫e x cosxdx integrált részenként is integráljuk: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Nekünk van:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Megkaptuk a ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx összefüggést, amelyből 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Példa 3.37. Számítsuk ki J = ∫cos(lnx)dx/x.

Megoldás. Mivel dx/x = dlnx, akkor J= ∫cos(lnx)d(lnx). Az lnx-et t-re cserélve a J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C táblázatintegrálhoz jutunk.

Példa 3.38 . Számítsuk ki J = .

Megoldás. Figyelembe véve, hogy = d(lnx), behelyettesítjük lnx = t értékkel. Ekkor J = .