Tétel egy mechanikai rendszer lendületének változásáról. A mozgás mennyisége

§1. Rendszer impulzus (rendszerimpulzus)

A mozgás mennyisége (testimpulzus) – vektorfizikai mennyiség, amely egyenlő a test tömegének és sebességének szorzatával:

Az impulzus (a mozgás mennyisége) egy test vagy testrendszer mozgásának egyik legalapvetőbb jellemzője.

Írjunk II Newton törvénye más formában, tekintettel arra a gyorsulásra Akkor tehát

Az erő és a hatás idejének szorzata egyenlő a test lendületének növekedésével:

Ahol- erőimpulzus, amely azt mutatja, hogy az erő eredménye nem csak az értékétől, hanem a hatásának időtartamától is függ.

A rendszer mozgásmennyiségét (impulzusát) vektormennyiségnek nevezzük , egyenlő a rendszer összes pontja mozgásmennyiségének (impulzusainak) geometriai összegével (fővektor) (2. ábra):

A rajzból jól látható, hogy a rendszer pontjainak sebességétől függetlenül (kivéve, ha ezek a sebességek párhuzamosak), a vektorbármilyen értéket felvehet, és akár nullával is egyenlő lehet, ha egy sokszög vektorokból épül fel, bezár. Ezért méretbenlehetetlen teljes mértékben megítélni a rendszer mozgásának természetét.

2. ábra. A rendszer mozgási mennyisége

§2. Tétel az impulzus (impulzus) változásáról

Hagyjon erő hatni egy m tömegű testre egy bizonyos rövid ideig Δt. Ennek az erőnek a hatására a test sebessége kb. Következésképpen a Δt idő alatt a test gyorsulással mozgott:

A dinamika alaptörvényéből(Newton második törvénye) a következő:

§3. A lendület megmaradásának törvénye (a lendület megmaradásának törvénye)

A rendszer impulzusváltozására vonatkozó tételből a következő fontos következtetések vonhatók le:

1) Legyen a zárt rendszerre ható összes külső erő összege nulla:

Aztán az egyenletből. ebből következik, hogy Q = = const. Így, ha a zárt rendszerre ható összes külső erő összege nulla, akkor a rendszer impulzusvektora (impulzus) állandó nagyságú és irányú lesz.

2) Legyenek a rendszerre ható külső erők olyanok, hogy valamilyen tengelyre vetületük összege (pl. RÓL RŐL x ) egyenlő nullával:

Aztán az egyenletből.ebből az következik, hogy ebben az esetbenQ x= const. Ha tehát az összes ható külső erő bármely tengelyre vetített vetületének összege nulla, akkor a rendszer mozgásának (impulzusának) erre a tengelyére való vetülete állandó érték.

Ezek az eredmények kifejezik a rendszer impulzus-megmaradásának törvénye: a zárt rendszert alkotó testek közötti bármilyen jellegű kölcsönhatás esetén ennek a rendszernek a teljes lendületének vektora állandóan állandó marad.

Ezekből következik, hogy a belső erők nem tudják megváltoztatni a rendszer teljes mozgási mennyiségét.

Egy elszigetelt rendszer teljes lendületének megmaradásának törvénye a természet egyetemes törvénye. Általánosabb esetben, amikor a rendszer nincs zárva, tólebből következik, hogy egy nyílt hurkú rendszer teljes lendülete nem marad állandó. Időegységenkénti változása megegyezik az összes külső erő geometriai összegével.

Nézzünk néhány példát:

a) A visszarúgás vagy visszarúgás jelensége. Ha a puskát és a golyót egy rendszernek tekintjük, akkor a porgázok nyomása lövés közben belső erő lesz. Ez az erő nem tudja megváltoztatni a rendszer teljes lendületét. De mivel a porgázok a lövedékre ható bizonyos mennyiségű előre irányuló mozgást kölcsönöznek neki, egyidejűleg ugyanolyan mértékű, ellenkező irányú mozgást kell adniuk a puskának. Ez azt eredményezi, hogy a puska hátrafelé mozdul el, pl. az úgynevezett visszatérés. Hasonló jelenség fordul elő fegyver elsütésénél (visszagurítás).

b) A légcsavar (propeller) működése. A propeller a légcsavar tengelye mentén mozgást kölcsönöz egy bizonyos mennyiségű levegőnek (vagy víznek), és ezt a tömeget visszadobja. Ha a feldobott tömeget és a repülőgépet (vagy hajót) egy rendszernek tekintjük, akkor a légcsavar és a környezet, mint belső kölcsönhatási erők nem tudják megváltoztatni ennek a rendszernek a teljes mozgását. Ezért, amikor egy tömeg levegőt (víz) dobunk vissza, a repülőgép (vagy hajó) megfelelő haladási sebességet kap, így a vizsgált rendszer teljes mozgása nullával egyenlő marad, mivel az nulla volt a mozgalom kezdődött.

Hasonló hatás érhető el az evezők vagy a lapátkerekek hatására.

c) Sugárhajtás. A rakétában az üzemanyag gáznemű égéstermékei nagy sebességgel kilökődnek a rakéta végében lévő nyíláson (a sugárhajtómű fúvókájából). Az ebben az esetben ható nyomóerők belső erők lesznek, és nem tudják megváltoztatni a rakétarendszer teljes mozgását - az üzemanyag égéstermékeit. De mivel a kiáramló gázok bizonyos mértékű visszafelé irányuló mozgással rendelkeznek, a rakéta ennek megfelelő előrehaladási sebességet kap.

Önellenőrző kérdések:

Hogyan fogalmazódik meg a rendszer lendületének változásáról szóló tétel?

Írja le a mechanikai rendszer impulzusváltozására vonatkozó tétel matematikai kifejezését differenciális és integrál formában!

Melyik esetben nem változik a mechanikai rendszer lendülete?

Hogyan határozható meg egy változó erejű impulzus egy véges időtartam alatt? Mi jellemzi az erőimpulzust?

Melyek az állandó és változó erőimpulzusok vetületei a koordinátatengelyekre?

Mi az eredő impulzusa?

Hogyan változik egy körben egyenletesen mozgó pont lendülete?

Mekkora a mechanikai rendszer lendülete?

Mekkora impulzusa van annak a lendkeréknek, amely a súlypontján átmenő rögzített tengely körül forog?

Milyen feltételek mellett nem változik meg egy mechanikai rendszer lendülete? Milyen feltételek mellett nem változik a vetülete egy bizonyos tengelyre?

Miért gurul vissza a fegyver elsütéskor?

Meg tudják-e változtatni a belső erők egy rendszer lendületét vagy egy részének lendületét?

Milyen tényezők határozzák meg a rakéta szabad mozgási sebességét?

A rakéta végsebessége függ az üzemanyag égési idejétől?

Kilátás: Ezt a cikket eddig 23264 alkalommal olvasták

Pdf Nyelv kiválasztása... Orosz Ukrán Angol

Rövid áttekintés

A teljes anyag fentről letölthető, a nyelv kiválasztása után

Anyagpontok mechanikai rendszere vagy testek ezek olyan gyűjteménye, amelyben az egyes pontok (vagy testek) helyzete és mozgása a többiek helyzetétől és mozgásától függ.
Az anyagi testet a testet alkotó anyagi pontok (részecskék) rendszerének tekintjük.
Külső erők hatására azok az erők, amelyek egy mechanikai rendszer pontjaira vagy testeire hatnak olyan pontokból vagy testekből, amelyek nem tartoznak ehhez a rendszerhez.
Belső erők által, azok az erők, amelyek egy mechanikai rendszer pontjaira vagy testeire ugyanazon rendszer pontjaiból vagy testeiből hatnak, pl. amellyel egy adott rendszer pontjai vagy testei kölcsönhatásba lépnek egymással.
A rendszer külső és belső erői viszont lehetnek aktívak és reaktívak
A rendszer súlya egyenlő a rendszer összes pontja vagy teste tömegének algebrai összegével egy egyenletes gravitációs térben, amelynél a test bármely részecskéjének tömege arányos a tömegével. Ezért a tömegek eloszlása ​​egy testben meghatározható a súlypontja - a geometriai pont - helyzete alapján VAL VEL, melynek koordinátáit egy mechanikai rendszer tömegközéppontjának vagy tehetetlenségi középpontjának nevezzük
Tétel egy mechanikai rendszer tömegközéppontjának mozgásáról: egy mechanikai rendszer tömegközéppontja olyan anyagi pontként mozog, amelynek tömege megegyezik a rendszer tömegével, és amelyre a rendszerre ható összes külső erő hat
Következtetések:

1. Egy mechanikai rendszer vagy egy merev test a mozgása természetétől függően tekinthető anyagi pontnak, nem pedig a méretétől.
2. A belső erőket a tömegközéppont mozgására vonatkozó tétel nem veszi figyelembe.
3. A tömegközéppont mozgására vonatkozó tétel nem a mechanikai rendszer forgó mozgását, hanem csak a transzlációs mozgását jellemzi.

Törvény a rendszer tömegközéppontjának mozgásmegmaradásáról:
1. Ha a külső erők összege (a fővektor) állandóan nulla, akkor a mechanikai rendszer tömegközéppontja nyugalomban van, vagy egyenletesen és egyenesen mozog.
2. Ha az összes külső erő bármely tengelyre vetületének összege nulla, akkor a rendszer tömegközéppontjának sebességének ugyanarra a tengelyre vetítése állandó érték.

Tétel az impulzus változásáról.

Egy anyagi pont mozgásának mértékeés olyan vektormennyiség, amely egyenlő egy pont tömegének és sebességvektorának szorzatával.
Az impulzus mértékegysége (kg m/s).
Mechanikai rendszer lendülete- vektormennyiség, amely egyenlő a rendszer összes pontja lendületének geometriai összegével (fővektor), vagy a rendszer impulzusa egyenlő a teljes rendszer tömegének és tömegközéppontja sebességének szorzatával
Ha egy test (vagy rendszer) úgy mozog, hogy a tömegközéppontja álló helyzetben van, akkor a test mozgásának mértéke nulla (például a test forgása egy rögzített tengely körül, amely átmegy a test tömegközéppontján test).
Ha a test mozgása összetett, akkor ez nem jellemzi a mozgás forgó részét a tömegközéppont körüli forgás során. Vagyis a mozgás mértéke csak a rendszer transzlációs mozgását (a tömegközépponttal együtt) jellemzi.
Impulzus erő egy erő meghatározott időtartam alatti működését jellemzi.
Az erőimpulzus egy véges időtartamra a megfelelő elemi impulzusok integrál összege
Tétel egy anyagi pont lendületének változásáról:
(differenciális formában): Egy anyagi pont lendületének időbeli deriváltja egyenlő a pontokra ható erők geometriai összegével.
(integrált formában): Az impulzus változása egy bizonyos idő alatt megegyezik az azonos időtartam alatt egy pontra ható erők impulzusainak geometriai összegével.

Tétel egy mechanikai rendszer lendületének változásáról
(differenciális formában): A rendszer lendületének időbeli deriváltja egyenlő a rendszerre ható összes külső erő geometriai összegével.
(integrált formában): A rendszer impulzusának bizonyos idő alatt bekövetkezett változása megegyezik a külső erőrendszerre azonos időtartam alatt ható impulzusok geometriai összegével.
A tétel lehetővé teszi a nyilvánvalóan ismeretlen belső erők kizárását a számításból.
A mechanikai rendszer lendületének változására vonatkozó tétel és a tömegközéppont mozgására vonatkozó tétel ugyanannak a tételnek két különböző formája.
A rendszer impulzus-megmaradásának törvénye.

1. Ha a rendszerre ható összes külső erő összege nulla, akkor a rendszer impulzusvektorának iránya és nagysága állandó.
2. Ha az összes ható külső erő bármely tetszőleges tengelyre vetületének összege nulla, akkor az impulzusnak erre a tengelyre való vetülete állandó érték.

A megmaradási törvények azt mutatják, hogy a belső erők nem tudják megváltoztatni a rendszer teljes mozgását.

1. A mechanikai rendszerre ható erők osztályozása
2. A belső erők tulajdonságai
3. A rendszer tömege. A tömeg közepe
4. Mechanikai rendszer mozgásdifferenciálegyenletei
5. Tétel egy mechanikai rendszer tömegközéppontjának mozgásáról
6. Törvény a rendszer tömegközéppontjának mozgásmegmaradásáról
7. Lendületváltozási tétel
8. A rendszer impulzus-megmaradásának törvénye

Nyelv: orosz, ukrán

Méret: 248K

Számítási példa homlokkerekes fogaskerékre
Példa a homlokkerekes hajtómű kiszámítására. Az anyagválasztás, a megengedett feszültségek számítása, az érintkezési és hajlítószilárdság számítása megtörtént.

Példa sugárhajlítási probléma megoldására
A példában keresztirányú erők és hajlítónyomatékok diagramjai készültek, veszélyes szakaszt találtunk és egy I-gerenda került kiválasztásra. A probléma differenciális függőségek segítségével diagramok felépítését elemezte, és a gerenda különböző keresztmetszete összehasonlító elemzését végezte el.

Példa tengelytorziós probléma megoldására
A feladat egy acéltengely szilárdságának vizsgálata adott átmérőnél, anyagnál és megengedett feszültségnél. A megoldás során a nyomatékok, a nyírófeszültségek és a csavarási szögek diagramjai készülnek. A tengely saját tömegét nem veszik figyelembe

Példa a rúd feszítési-kompressziós problémájának megoldására
A feladat egy acélrúd szilárdságának vizsgálata megadott megengedett feszültségeknél. A megoldás során hosszirányú erők, normálfeszültségek és elmozdulások diagramjai készülnek. A rúd saját súlyát nem veszik figyelembe

A kinetikus energia megmaradásáról szóló tétel alkalmazása
Példa egy probléma megoldására a mechanikai rendszer kinetikus energiájának megmaradásáról szóló tétel segítségével

Egy pont sebességének és gyorsulásának meghatározása adott mozgásegyenletek segítségével
Példa egy feladat megoldására egy pont sebességének és gyorsulásának meghatározására adott mozgásegyenletekkel

Merev test pontjai sebességének és gyorsulásának meghatározása síkpárhuzamos mozgás közben
Példa merev test pontjai sebességének és gyorsulásainak meghatározására szolgáló probléma megoldására síkpárhuzamos mozgás közben

A rendszer mozgásának mértéke nevezzük a rendszer összes anyagi pontja mozgásmennyiségeinek geometriai összegét

A (70) fizikai jelentésének tisztázásához számítsuk ki (64) deriváltját!

. (71)

A (70) és (71) együttes megoldásával megkapjuk

. (72)

És így, egy mechanikai rendszer impulzusvektorát a rendszer tömegének és tömegközéppontjának sebességének szorzata határozza meg.

Számítsuk ki (72) deriváltját

. (73)

A (73) és (67) együttes megoldásával megkapjuk

. (74)

A (74) egyenlet a következő tételt fejezi ki.

Tétel: A rendszer impulzusvektorának időbeli deriváltja egyenlő a rendszer összes külső erőjének geometriai összegével.

A feladatok megoldása során a (74) egyenletet a koordinátatengelyekre kell vetíteni:

. (75)

A (74) és (75) elemzéséből a következők következnek: rendszer impulzusmegmaradásának törvénye: Ha a rendszer erőinek összege nulla, akkor impulzusvektora megtartja nagyságát és irányát.

Ha
, Azt
,K = const . (76)

Egy adott esetben ez a törvény az egyik koordinátatengely mentén teljesíthető.

Ha
, Azt, K z = const. (77)

Az impulzus változására vonatkozó tételt célszerű alkalmazni olyan esetekben, amikor a rendszer folyékony és gáznemű testeket tartalmaz.

Tétel egy mechanikai rendszer impulzusimpulzusának változásáról

A mozgás mértéke csak a mozgás transzlációs komponensét jellemzi. Egy test forgómozgásának jellemzésére bevezették a rendszer adott középponthoz viszonyított fő szögimpulzusának (kinetikus nyomaték) fogalmát.

A rendszer kinetikus momentuma egy adott középponthoz viszonyítva az összes pontja ugyanazon középponthoz viszonyított mozgásmennyiségeinek nyomatékainak geometriai összege

. (78)

A (22) koordinátatengelyekre vetítve megkaphatjuk a koordináta tengelyekhez viszonyított kinetikus nyomaték kifejezését.

. (79)

A test kinetikus nyomatéka a tengelyekhez képest egyenlő a test e tengelyhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékának és a test szögsebességének szorzatával

. (80)

A (80)-ból az következik, hogy a kinetikus nyomaték csak a mozgás forgási komponensét jellemzi.

Egy erő forgási hatásának jellemzője a forgástengelyhez viszonyított nyomatéka.

A szögimpulzus változására vonatkozó tétel megállapítja a kapcsolatot a forgómozgás jellemzője és a mozgást okozó erő között.

Tétel: A rendszer szögimpulzusának vektorának időbeli deriváltja valamely középponthoz viszonyítva egyenlő a rendszer összes külső erőjének nyomatékának geometriai összegével.ugyanaz a központ

. (81)

Mérnöki feladatok (81) megoldásánál a koordinátatengelyeken kell tervezni

A (81) és (82) elemzésükből következik a szögimpulzus megmaradásának törvénye: Ha az összes külső erő középponthoz (vagy tengelyhez) viszonyított nyomatékainak összege nulla, akkor a rendszer ehhez a középponthoz (vagy tengelyhez) viszonyított kinetikus nyomatéka megtartja nagyságát és irányát.

,

vagy

A kinetikus nyomaték a rendszer belső erőinek hatására nem változtatható meg, de ezeknek az erőknek köszönhetően lehetséges a tehetetlenségi nyomaték, így a szögsebesség megváltoztatása.

Ugyanúgy, mint egy anyagi pont esetében, levezetünk egy tételt a rendszer impulzusváltozásáról különböző formákban.

Alakítsuk át az egyenletet (tétel egy mechanikai rendszer tömegközéppontjának mozgásáról)

a következő módon:

;

Az így kapott egyenlet a mechanikai rendszer impulzusának változásáról szóló tételt differenciális formában fejezi ki: egy mechanikai rendszer impulzusának időbeli deriváltja egyenlő a rendszerre ható külső erők fővektorával. .

A derékszögű koordinátatengelyekre vetítéseknél:

; ; .

Az utolsó egyenletek mindkét oldalának integráljait az idő függvényében véve egy tételt kapunk egy mechanikai rendszer impulzusának változásáról integrál formában: egy mechanikai rendszer impulzusának változása megegyezik a mechanikai rendszer impulzusának változása a fővektor impulzusával. a rendszerre ható külső erők .

.

Vagy derékszögű koordinátatengelyekre vetítve:

; ; .

Következmények a tételből (a lendület megmaradásának törvényei)

Az impulzusmegmaradás törvényét a külső erőrendszer jellemzőitől függő rendszer impulzusváltozásáról szóló tétel speciális eseteiként kapjuk meg. A belső erők bármilyenek lehetnek, mivel nem befolyásolják a lendület változását.

Két eset lehetséges:

1. Ha a rendszerre ható összes külső erő vektorösszege egyenlő nullával, akkor a rendszer mozgásának nagysága és iránya állandó.

2. Ha a külső erők fővektorának vetülete bármely koordinátatengelyre és/vagy és/vagy egyenlő nullával, akkor az impulzus vetülete ugyanezekre a tengelyekre állandó érték, azaz. és/vagy és/vagy.

Hasonló bejegyzéseket lehet tenni egy anyagi pontra és egy anyagi pontra.

A feladat. Egy fegyvertől, amelynek tömege M, egy tömeglövedék vízszintes irányban kirepül m sebességgel v. Találd meg a sebességet V fegyverek lövés után.

Megoldás. A mechanikus fegyver-lövedék rendszerre ható minden külső erő függőleges. Ez azt jelenti, hogy a rendszer lendületének változására vonatkozó tétel következményei alapján: .

A mechanikus rendszer mozgásának mértéke égetés előtt:

A mechanikus rendszer mozgásának mértéke a lövés után:

.

A kifejezések jobb oldalát egyenlővé téve azt kapjuk, hogy

.

A „-” jel az eredményül kapott képletben azt jelzi, hogy a lövés után a fegyver a tengellyel ellentétes irányba gurul vissza. Ökör.

2. PÉLDA Sűrűségű folyadékáram V sebességgel folyik egy F keresztmetszeti területű csőből, és szögben ütközik egy függőleges falnak. Határozza meg a folyadék nyomását a falon.

MEGOLDÁS. Alkalmazzuk az impulzus változásának tételét egy tömegű folyadék térfogatára integrált formában m falnak ütközik egy bizonyos idő alatt t.

MESHCSERSKY-EGYENLET

(változó tömegű test dinamikájának alapegyenlete)

A modern technikában előfordulnak olyan esetek, amikor egy pont és egy rendszer tömege mozgás közben nem marad állandó, hanem változik. Így például az űrrakéták repülése során az égéstermékek kilökődése és a rakéták egyes felesleges részei miatt a tömegváltozás eléri a teljes kezdeti érték 90-95% -át. De nem csak az űrtechnika lehet példa a változó tömegű mozgás dinamikájára. A textiliparban a gépek és gépek korszerű üzemi sebessége mellett jelentős változások következnek be a különféle orsók, orsók, tekercsek tömegében.

Tekintsük a tömegváltozással kapcsolatos főbb jellemzőket egy változó tömegű test transzlációs mozgásának példáján. A dinamika alaptörvénye nem alkalmazható közvetlenül változó tömegű testre. Ezért egy változó tömegű pont mozgási differenciálegyenleteit kapjuk, alkalmazva a rendszer lendületének változására vonatkozó tételt.

Legyen a pontnak tömege m+dm sebességgel mozog. Ekkor egy bizonyos tömegű részecskét elválik a ponttól dm sebességgel halad.

A test mozgásának mértéke, mielőtt a részecske leszakad:

Egy testből és egy leválasztott részecskéből álló rendszer mozgásának mértéke a szétválás után:

Aztán a lendület változása:

A rendszer lendületének változásáról szóló tétel alapján:

Jelöljük a mennyiséget - a részecske relatív sebességét:

Jelöljük

Méret R reaktív erőnek nevezzük. A reaktív erő a motor tolóereje, amelyet a fúvókából kilépő gáz okoz.

Végre megkapjuk

-

Ez a képlet egy változó tömegű test dinamikájának alapegyenletét fejezi ki (Meshchersky-formula). Az utolsó képletből az következik, hogy egy változó tömegű pont mozgási differenciálegyenletei ugyanolyan alakúak, mint egy állandó tömegű ponté, kivéve a tömegváltozás miatt a pontra ható további reaktív erőt.

A változó tömegű test dinamikájának alapegyenlete azt jelzi, hogy ennek a testnek a gyorsulása nemcsak külső erők hatására jön létre, hanem a reaktív erő hatására is.

A reaktív erő olyan erő, amely hasonló ahhoz, amit a lövöldöző személy érez – ha pisztolyból lövöldözik, azt a kéz érzi; Puskából lövéskor a váll érzékeli.

Ciolkovszkij első képlete (egyfokozatú rakétához)

Egy változó tömegű pont vagy egy rakéta csak egy reaktív erő hatására mozogjon egyenes vonalban. Mivel sok modern sugárhajtóműhöz , ahol a motor kialakítása által megengedett legnagyobb reaktív erő (motor tolóerő); - a földfelszínen elhelyezkedő motorra ható gravitációs erő. Azok. a fentiek lehetővé teszik, hogy figyelmen kívül hagyjuk a Meshchersky-egyenletben szereplő összetevőt, és elfogadjuk ezt az egyenletet a következő formában további elemzéshez: ,

Jelöljük:

Üzemanyag-tartalék (folyékony sugárhajtóműveknél - a rakéta száraz tömege (az összes üzemanyag kiégése után fennmaradó tömege);

A rakétáról levált részecskék tömege; változó értéknek tekintendő, tól ig változó.

Írjuk fel egy változó tömegű pont egyenes vonalú mozgásának egyenletét a következő formában:

.

Mivel a rakéta változó tömegének meghatározására szolgáló képlet az

Ezért egy pont mozgásegyenletei Mindkét oldal integrálját véve megkapjuk

Ahol - jellemző sebesség- ez az a sebesség, amelyet a rakéta a tolóerő hatására elér, miután az összes részecske kitört a rakétából (folyékony sugárhajtóműveknél - miután az összes üzemanyag kiégett).

Az integráljelen kívül (ami a magasabb matematikából ismert átlagérték tétel alapján tehető meg) a rakétából kilökődő részecskék átlagsebessége látható.

és mechanikai rendszer

Az anyagi pont lendülete a mechanikai mozgás vektormértéke, egyenlő a pont tömegének és sebességének szorzatával. Az impulzus mértékegysége az SI rendszerben az
. Egy mechanikai rendszer mozgásának mértéke egyenlő a rendszert alkotó összes anyagi pont mozgásmennyiségének összegével:

. (5.2)

Alakítsuk át a kapott képletet

.

A (4.2) képlet szerint
, Ezért

.

Így egy mechanikai rendszer lendülete egyenlő tömegének és tömegközéppont sebességének szorzatával:

. (5.3)

Mivel egy rendszer mozgásának mértékét csak az egyik pontjának (a tömegközéppontnak) a mozgása határozza meg, nem lehet teljes jellemzője a rendszer mozgásának. Valójában a rendszer bármely mozgása esetén, amikor a tömegközéppontja mozdulatlan marad, a rendszer impulzusa nulla. Például ez akkor fordul elő, amikor egy merev test a tömegközéppontján áthaladó rögzített tengely körül forog.

Vezessünk be egy referenciarendszert Cxyz, amelynek eredete a mechanikai rendszer tömegközéppontjában van VAL VELés az inerciarendszerhez képest transzlációsan mozog
(5.1. ábra). Ezután az egyes pontok mozgása
összetettnek tekinthető: hordozható mozgás a tengelyekkel együtt Cxyzés ezekhez a tengelyekhez viszonyított mozgás. A tengelyek progresszív mozgása miatt Cxyz az egyes pontok hordozható sebessége megegyezik a rendszer tömegközéppontjának sebességével, és a rendszer (5.3) képlettel meghatározott mozgási mennyisége csak a transzlációs hordozható mozgását jellemzi.

5.3. Impulzus erő

Egy erő meghatározott időtartam alatti hatásának jellemzésére egy mennyiséget ún erő impulzusa . Az erő elemi impulzusa egy erő hatásának vektormértéke, amely egyenlő az erő és a hatás elemi időintervallumának szorzatával:

. (5.4)

Az erőimpulzus SI mértékegysége az
, azaz Az erőimpulzus és a lendület mérete megegyezik.

Erőimpulzus véges időn keresztül
egyenlő az elemi impulzus egy bizonyos integráljával:

. (5.5)

Az állandó erő impulzusa egyenlő az erő és a hatás idejének szorzatával:

. (5.6)

Általában az erőimpulzus meghatározható a koordináta tengelyekre való vetületeiből:

. (5.7)

5.4. Lendületváltozási tétel

anyagi pont

A dinamika alapegyenletében (1.2) egy anyagi pont tömege állandó mennyiség, gyorsulása
, amely lehetővé teszi ennek az egyenletnek a következő formában történő felírását:

. (5.8)

Az így létrejövő kapcsolat lehetővé teszi, hogy megfogalmazzuk tétel egy anyagi pont lendületének változásáról differenciált formában: Egy anyagi pont lendületének időbeli deriváltja egyenlő a pontra ható erők geometriai összegével (fővektorával).

Most megkapjuk ennek a tételnek az integrál alakját. Az (5.8) összefüggésből az következik

.

Integráljuk az egyenlőség mindkét oldalát az időpillanatoknak megfelelő határokon belül És ,

. (5.9)

A jobb oldali integrálok a pontra ható erők impulzusait reprezentálják, így a bal oldal integrálása után kapjuk

. (5.10)

Így bebizonyosodott tétel egy anyagi pont lendületének változásáról integrál formában: Egy anyagi pont lendületének változása egy bizonyos idő alatt megegyezik a pontra ható erők impulzusainak geometriai összegével ugyanazon idő alatt..

Az (5.10) vektoregyenlet a koordinátatengelyekre vetített három egyenletrendszernek felel meg:

;

; (5.11)

.

1. példa A test egy ferde sík mentén mozog, és a horizonttal α szöget zár be. A kezdeti pillanatban sebessége volt , ferde sík mentén felfelé irányítva (5.2. ábra).

Mennyi idő elteltével lesz a test sebessége nulla, ha a súrlódási tényező egyenlő f ?

Vegyünk egy transzlációsan mozgó testet anyagi pontnak, és vegyük figyelembe a rá ható erőket. Ez a gravitáció
, normál sík reakció és súrlódási erő . Irányítsuk a tengelyt x a ferde sík mentén felfelé, és írjuk fel az (5.11) rendszer 1. egyenletét!

hol vannak a mozgásmennyiségek vetületei, és vannak az állandó erők impulzusainak vetületei
,És egyenlők az erőkivetítések és a mozgási idő szorzatával:

Mivel a test gyorsulása a ferde sík mentén irányul, a vetületek összege a tengelyre y a testre ható erők értéke nulla:
, amiből az következik
. Keressük a súrlódási erőt

és az (5.12) egyenletből azt kapjuk

ahonnan meghatározzuk a test mozgási idejét

.