A determinánsok és mátrixok elméletének elemei. Absztrakt: Mátrixok és determinánsok elmélete

Küldje el a jó munkát a tudásbázis egyszerű. Használja az alábbi űrlapot

Diákok, végzős hallgatók, fiatal tudósok, akik a tudásbázist tanulmányaikban és munkájukban használják, nagyon hálásak lesznek Önnek.

A determinánselmélet elemei

A determináns egy négyzet alakú számtáblázatba írt szám, amelyet bizonyos szabályok szerint számítanak ki.

Például mindegyik táblázat (1.1) egyenlő számú sorból és oszlopból áll, és egy számot jelent, amelynek számítási szabályait az alábbiakban tárgyaljuk.

A sorok és oszlopok száma határozza meg a determináns sorrendjét. Így az 1.1a) determináns harmadrendű, az 1.1b) determináns másodrendű, az 1.1c) determináns elsőrendű. Amint látja, az elsőrendű determináns maga a szám.

Az asztal szélein az egyenes függőleges zárójelek a determináns jele és szimbóluma. A determinánst a görög ábécé nagybetűje jelzi? (delta).

Általános formában az n-edrendű determináns a következőképpen írható:

Minden elem A ij a determinánsnak két indexe van: az első index én jelzi a sor számát, másodperc j- annak az oszlopnak a száma, amelynek metszéspontjában az elem található. Tehát az 1.1a) determináns elemekre A 11 , A 22 , A 23 , A 32 rendre 2, 5, 4, 3.

A 2. rendű determinánst a képlet segítségével számítjuk ki

A 2. rendű determináns egyenlő a főátlón lévő elemek szorzatával, mínusz a másodlagos átlón lévő elemek szorzatával.

A 3. rendű determináns kiszámításához a „háromszög módszert” és a Sarrus módszert használjuk. De általában a gyakorlatban a 3. rendű determináns kiszámításához az úgynevezett effektív sorrendcsökkentés módszerét alkalmazzák, amelyet az alábbiakban tárgyalunk.

Háromszög módszer

A determináns ezzel a módszerrel történő kiszámításakor célszerű annak grafikus ábrázolását használni. ábrán. Az 1.1 és 1.2 ábrákon a 3. rendű determináns elemeit sematikusan pontokkal ábrázoltuk.

Rizs. 1.1 ábra. 1.2

A determináns számításakor az egyenes vonallal összekapcsolt elemek szorzata a 2. ábra diagramját követi. 1.1, vegyük pluszjellel, és az ábra diagramja szerint összekötött elemek szorzatát. 1.2, vegye mínusz előjellel. Ezen műveletek eredményeként a számításhoz használt képlet a következőképpen alakul:

Számítsa ki a 3. rendű determinánst!

Sarrus módszer

Megvalósításához hozzá kell rendelni az első két oszlopot a determinánstól jobbra, össze kell állítani a főátlón és a vele párhuzamos egyeneseken elhelyezkedő elemek szorzatait, és pluszjellel kell venni. Ezután állítsa össze az oldalátlón és azzal párhuzamosan elhelyezkedő elemek szorzatait mínuszjellel.

A determináns Sarrus-módszerrel történő kiszámításának sémája.

Számítsa ki az 1.2. példában megadott determinánst a Sarrus-módszerrel.

A determináns elem minor és algebrai komplementere

Kisebb M ij elem A ij determinánsnak nevezzük ( n-1) -a determinánsból kapott sorrend n-edik sorrend áthúzással én-edik sor és j oszlopba (azaz áthúzva azt a sort és oszlopot, amelynek metszéspontjában az elem található A ij).

Keresse meg az elemek kisebb részét A 23 És A 34 a 4. rend meghatározója.

Elem A 23 a 2. sorban és a 3. oszlopban található. Ebben a példában A 23 =4. Ennek az elemnek a metszéspontjában a 2. sort és a 3. oszlopot áthúzva (módszertani okokból függőleges és vízszintes szaggatott vonalak jelzik), ennek az elemnek az M 23 mellékét kapjuk. Ez már 3. rendű meghatározó lesz.

Kiskorúak számításánál a sor és oszlop áthúzásának műveletét gondolatban hajtjuk végre. Ha ezt megtettük, megkapjuk

Algebrai komplementer A ij elem A ij döntő n A sorrend ennek az elemnek a mollja, a (-1) jellel együtt én + j, Ahol én+ j- azon sor- és oszlopszámok összege, amelyekhez az elem tartozik A ij. Azok. a-priory A ij=(-1) én + jM ij

Egyértelmű, hogy ha az összeg én+ j- akkor a szám páros A ij=M ij, Ha én+ j- akkor a szám páratlan A ij= - M ij.

A determinánshoz keresse meg az elemek algebrai komplementereit! A 23 És A 31 .

Elemhez A 23 én=2, j=3 és én+ j Az =5 páratlan szám, ezért

Elemhez A 31 én=3, j=1 és én+ j=4 páros szám, ami azt jelenti

A determinánsok tulajdonságai

1. Ha a determinánsban bármely két párhuzamos sort (két sort vagy két oszlopot) felcserélünk, a determináns előjele az ellenkezőjére változik

Cseréljen fel 2 párhuzamos oszlopot (1. és 2.).

Cseréljen fel 2 párhuzamos vonalat (1. és 3.).

2. Bármely sor (sor vagy oszlop) elemeinek közös tényezője kivehető a meghatározó előjelből.

A nullával egyenlő determináns tulajdonságai

3. Ha egy determinánsban egy bizonyos sorozat minden eleme nullával egyenlő, akkor az ilyen determináns nullával egyenlő.

4. Ha egy determinánsban bármely sorozat elemei arányosak egy párhuzamos sorozat elemeivel, akkor a determináns egyenlő nullával.

A determináns változatlanságának (változatlanságának) tulajdonságai.

5. Ha a determináns sorai és oszlopai felcserélődnek, a determináns nem változik.

6. A determináns nem változik, ha bármely párhuzamos sorozat elemeit hozzáadjuk bármely sorozat elemeihez, először megszorozva egy bizonyos számmal.

A 6. tulajdonságot széles körben használják a determinánsok kiszámításához az úgynevezett effektív sorrendcsökkentési módszerrel. A módszer alkalmazásakor az egy kivételével minden elemet nullára kell hozni egy sorban (egy sorban vagy oszlopban). A determináns egy nem nulla eleme nullával lesz egyenlő, ha hozzáadjuk egy egyenlő nagyságú, de ellentétes előjelű számhoz.

Mutassuk meg egy példán, hogyan történik ez.

A 2. és 6. tulajdonság használatával csökkentse a determinánst olyan determinánssá, amelynek bármely sorban két nullája van.

A 2. tulajdonság használatával egyszerűsítjük a determinánst úgy, hogy eltávolítjuk a 2-t az 1. sorból, a 4-et a 2. sorból és a 2-t a 3. sorból, mint közös tényezőket.

Mert elem A 22 egyenlő nullával, akkor a probléma megoldásához elegendő a 2. sor vagy a 2. oszlop bármely elemét nullára csökkenteni. Ennek többféle módja van.

Vegyük például az elemet A 21 =2 nullához. Ehhez a 6. tulajdonság alapján a teljes harmadik oszlopot megszorozzuk (-2)-vel, és hozzáadjuk az elsőhöz. Miután elvégeztük ezt a műveletet, megkapjuk

Lehetőség van egy elem nullázására A 12 =2, akkor a második oszlopban két nullával egyenlő elemet kapunk. Ehhez meg kell szoroznia a 3. sort (-2)-vel, és hozzá kell adnia a kapott értékeket az első sorhoz

Bármely sorrend determinánsának kiszámítása

A bármely sorrend determinánsának kiszámítására vonatkozó szabály Laplace tételén alapul.

Laplace-tétel

A determináns egyenlő bármely sor (sor vagy oszlop) elemeinek algebrai komplementereinek páronkénti szorzatának összegével.

E tétel szerint a determináns kiszámítható úgy, hogy bármelyik sor vagy oszlop elemeire bontjuk.

Általában az n-edrendű determináns a következő módokon bővíthető és számítható ki:

Számítsa ki a determinánst a Laplace-tétel segítségével a 3. sor elemeire és az 1. oszlop elemeire bontva!

A determinánst a 3. vonal mentén kiterjesztve számítjuk ki

Számítsuk ki a determinánst úgy, hogy kiterjesztjük az első oszlopra

Hatékony rendeléscsökkentési módszer

A determináns Laplace-tétellel történő kiszámításának bonyolultsága lényegesen kisebb lesz, ha csak egy tag van a kiterjesztésében akár egy sorban, akár egy oszlopban. Ilyen kiterjesztést akkor kapunk, ha abban a sorban (vagy oszlopban), amely mentén a determinánst kiterjesztjük, egy kivételével minden elem nulla. A determináns elemeinek „nullázásának” módszeréről korábban volt szó.

Számítsa ki a determinánst az effektív sorrendcsökkentés módszerével.

Mert 3. rendű determináns, akkor a determináns bármely 2 elemét „nullázzuk”. Erre a célra célszerű a 2. oszlopot venni, amelynek elemét A 22 = - 1. Annak érdekében, hogy az elem A 21 nullával egyenlő volt, az 1. oszlopot hozzá kell adni a 2. oszlophoz. Annak érdekében, hogy az elem A 23 nullával egyenlő volt, a 2. oszlopot meg kell szorozni 2-vel, és hozzá kell adni a 3. oszlophoz. Ezen műveletek végrehajtása után az adott determinánst a determinánssá alakítjuk

Most kiterjesztjük ezt a determinánst a 2. sor mentén

A determináns számításaháromszög alakúra vágjuk

Háromszögdeterminánsnak nevezzük azt a determinánst, amelynél a főátló felett vagy alatt lévő összes elem nulla. Ebben az esetben a determináns egyenlő a főátló elemeinek szorzatával.

A determináns háromszög alakúra redukálása mindig lehetséges a tulajdonságai alapján.

Egy determináns adott. Csökkentse háromszög alakúra és számolja ki.

„Nullázzuk ki” például a főátló felett található összes elemet. Ehhez három műveletet kell végrehajtania: 1. művelet - adjuk hozzá az első sort az utolsóhoz, megkapjuk A 13 = 0. 2. művelet - az utolsó sort megszorozva (-2)-vel és összeadva a 2.-vel, azt kapjuk A 23 = 0. Ezeknek a műveleteknek a szekvenciális végrehajtása az alábbiakban látható.

Egy elem visszaállításához A 12 add hozzá az 1. és 2. sort

A mátrixelmélet elemei

A mátrix egy számtáblázat vagy bármely más elemet tartalmazó táblázat m vonalak és n oszlopok.

A mátrix általános képe

A mátrixnak a determinánshoz hasonlóan kettős indexű elemei vannak. Az indexek jelentése ugyanaz, mint a determinánsoké.

Ha a determináns egy számmal egyenlő, akkor a mátrix nem egyenlő más egyszerűbb objektumokkal.

A mátrix oldalán lévő zárójelek a mátrix jelei vagy szimbólumai (de nem a determinánst jelölő egyenes zárójelek). A rövidség kedvéért a mátrixot nagybetűkkel jelöljük A, B, C stb.

A mátrix mérete a sorok és oszlopok számától függ, és a következőképpen van felírva: A m n.

Például egy 23-as méretű numerikus mátrixnak van formája, 31-esnek formája, 14-esnek formája stb.

Négyzetnek nevezzük azt a mátrixot, amelyben a sorok száma megegyezik az oszlopok számával. Ebben az esetben, ami a determinánsokat illeti, a mátrix sorrendjéről beszélünk.

Például egy 3. rendű numerikus mátrixnak van alakja

A mátrixok típusai

Az egy sorból álló mátrixot sormátrixnak nevezzük

Az egy oszlopból álló mátrixot oszlopmátrixnak nevezzük

A mátrixot négyzetnek nevezik n-edik sorrend, ha sorainak száma megegyezik az oszlopok számával és egyenlő n.

Például egy 3. rendű négyzetmátrix.

Az átlós mátrix olyan négyzetmátrix, amelyben minden elem nulla, kivéve a főátlón lévőket. A főátló az az átló, amely a bal felső saroktól a jobb alsó sarokig fut.

Például egy harmadrendű átlós mátrix.

Az átlós mátrixot, amelynek minden eleme egyenlő eggyel, azonosságnak nevezzük, és betűvel jelöljük E vagy 1. szám

A nullmátrix olyan mátrix, amelyben minden elem egyenlő nullával.

A felső háromszög mátrix olyan mátrix, amelyben a főátló alatt található összes elem nulla.

Az alsó háromszög mátrix olyan mátrix, amelyben a főátló felett található összes elem nulla.

Például

Felső háromszög mátrix

Alsó háromszögmátrix

Ha a mátrixban A sorokat oszlopokkal felcserélve egy transzponált mátrixot kapunk, amit a szimbólummal jelölünk A*.

Például adott egy mátrix,

mátrix átültetve hozzá A*

Négyzetes mátrix A determinánsa van, amit det-vel jelölünk A(a det a "determiner" rövidített francia szója).

Például a mátrixhoz A

felírjuk a meghatározóját

A mátrix determinánsával végzett összes művelet ugyanaz, mint korábban tárgyaltuk.

Az olyan mátrixot, amelynek determinánsa nulla, speciálisnak, degeneráltnak vagy szingulárisnak nevezzük. Az olyan mátrixot, amelynek determinánsa nem egyenlő nullával, nem szingulárisnak vagy nem szingulárisnak nevezzük.

Uniós vagy csatolt mátrix.

Ha egy adott négyzetmátrixhoz A határozza meg az összes elemének algebrai komplementerét, majd transzponálja azokat, akkor az így kapott mátrixot a mátrixhoz szövetségesnek vagy adjunktnak nevezzük Aés a szimbólum jelzi A

Mátrix leletre A.

A mátrix determinánsának összeállítása A

A képlet segítségével meghatározzuk a determináns összes elemének algebrai komplementerét

A kapott algebrai komplementereket transzponálva megkapjuk a szövetséges vagy adjunkt mátrixot A adott mátrixhoz képest A.

Műveletek mátrixokon

Mátrix egyenlőség

Két mátrix AÉs BAN BEN egyenlőnek tekintendők, ha:

a) mindkettő azonos méretű;

b) ezen mátrixok megfelelő elemei egyenlők egymással. A megfelelő elemek azonos indexű elemek.

Mátrixok összeadása és kivonása

Csak azonos dimenziójú mátrixokat adhat hozzá és vonhat ki. Két mátrix összege (különbsége). AÉs BAN BEN lesz egy harmadik mátrix VAL VEL, melynek elemei VAL VEL ij egyenlő a megfelelő mátrixelemek összegével (különbségével). AÉs BAN BEN. A definíció szerint mátrixelemek VAL VEL szabály szerint vannak.

Például ha

A mátrixok összegének (különbségének) fogalma bármely véges számú mátrixra kiterjed. Ebben az esetben a mátrixok összege a következő törvényeknek engedelmeskedik:

a) kommutatív A + B = B + A;

b) asszociatív VAL VEL + (A + B) = (B+C)+ A.

Egy mátrix szorzása egy számmal.

Egy mátrix számmal való szorzásához a mátrix minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal.

Következmény. Az összes mátrixelem közös tényezője kivehető a mátrixjelből.

Például, .

Amint láthatja, a mátrixok összeadása, kivonása és a mátrix számmal való szorzása hasonló a számokkal végzett műveletekhez. A mátrixszorzás egy speciális művelet.

Két mátrix szorzata.

Nem minden mátrix szorozható. Két mátrix szorzata AÉs BAN BEN a felsorolt ​​sorrendben A BAN BEN csak akkor lehetséges, ha az első tényező oszlopainak száma A egyenlő a második tényező sorainak számával BAN BEN.

Például, .

Mátrix mérete A 33, mátrix méret BAN BEN 23. Munka A BAN BEN lehetetlen, munka BAN BEN A Talán.

Két A és B mátrix szorzata a harmadik C mátrix, amelynek C ij eleme egyenlő az első tényező i-edik sora és a második j-edik oszlopa elemeinek páronkénti szorzatának összegével. tényező.

Megmutatták, hogy ebben az esetben lehetséges a mátrixok szorzata BAN BEN A

A két mátrix szorzatának létezési szabályából az következik, hogy két mátrix szorzata általános esetben nem engedelmeskedik a kommutatív törvénynek, azaz. A BAN BEN? BAN BEN A. Ha egy adott esetben kiderül, hogy A B = B A, akkor az ilyen mátrixokat permutatívnak vagy kommutatívnak nevezzük.

A mátrixalgebrában két mátrix szorzata lehet nulla mátrix akkor is, ha egyik faktormátrix sem nulla, ellentétben a közönséges algebrával.

Például keressük meg a mátrixok szorzatát A BAN BEN, Ha

Több mátrixot is szorozhat. Ha tudsz mátrixokat szorozni A, BAN BENés ezeknek a mátrixoknak a szorzata megszorozható a mátrixszal VAL VEL, akkor lehetőség van a termék összeállítására ( A BAN BEN) VAL VELÉs A(BAN BEN VAL VEL). Ebben az esetben a szorzásra vonatkozó kombinációs törvény érvényesül ( A BAN BEN) VAL VEL = A(BAN BEN VAL VEL).

inverz mátrix

Ha két mátrix AÉs BAN BEN azonos méretű, és termékük A BAN BEN az E identitásmátrix, akkor a B mátrixot A inverzének nevezzük és jelöljük A -1 , azaz A A -1 = E.

inverz mátrix A -1 egyenlő az uniómátrix arányával A a mátrix determinánsához A

Ebből világos, hogy az inverz mátrix létezéséhez A -1 szükséges és elégséges, hogy a mátrix det A? 0, azaz úgy, hogy a mátrix A nem volt degenerált.

Mátrix leletre A -1 .

A mátrix determinánsa értékének meghatározása A

Mert det A? 0, az inverz mátrix létezik. A 2.1 példában. adott determinánsra megtaláltuk a szövetséges mátrixot

A-priory

Mátrix rang

Számos matematikai és alkalmazott probléma megoldásához és tanulmányozásához fontos a mátrix rang fogalma.

Tekintsük a mátrixot A méret m n

Válassza ki véletlenszerűen a mátrixban Ak vonalak és k oszlopok. A kiválasztott sorok és oszlopok metszéspontjában elhelyezkedő elemek négyzetmátrixot alkotnak k- abból a sorrendből. Ennek a mátrixnak a meghatározóját minornak nevezik k-order of mátrix A. Válassza ki k vonalak és k oszlopok különböző módon használhatók, ami különböző minorokat eredményez k- abból a sorrendből. Az elsőrendű kiskorúak maguk az elemek. Nyilvánvaló, hogy a kiskorúak lehető legnagyobb sorrendje egyenlő a legkisebb számmal mÉs n. A kialakult, különböző rendű kiskorúak között lesznek olyanok is, amelyek nullával egyenlőek és nem nullával egyenlők.

A nem nulla mátrix-mollok legmagasabb rendje A a mátrix rangjának nevezzük.

Mátrix rang A ranggal jelöljük A vagy r( A).

Ha a mátrix rang A egyenlő r, akkor ez azt jelenti, hogy a mátrixnak van egy nem nulla rendű mollja r, de minden kiskorú nagyobb rendű, mint r egyenlő nullával.

A mátrix rang definíciójából az következik, hogy:

a) mátrix rang A m n nem haladja meg a méretei közül a kisebbet, azaz. r(A) ? min(m, n);

b) r(A) = 0 akkor és csak akkor, ha a mátrix minden eleme nulla, azaz. A = 0;

c) négyzetmátrixra n-edik sorrend r(A) = n, ha a mátrix nem szinguláris.

Nézzünk egy példát egy mátrix rangjának meghatározására a kiskorúak határolásának módszerével. Lényege a mátrix molljainak szekvenciális felsorolása és a legmagasabb rendű nem nulla moll megtalálása.

Számítsa ki a mátrix rangját!

Mátrixhoz A 3 4 r(A) ? min (3,4) = 3. Ellenőrizzük, hogy a mátrix rangja egyenlő-e 3-mal, ehhez kiszámítjuk az összes harmadrendű minort (csak 4 van, ezeket egy törlésével kapjuk a mátrix oszlopai közül).

Mivel minden harmadrendű kiskorú nulla, r(A) ? 2. Mivel van például másodrendű nulla moll

Hogy r(A) = 2.

Egy mátrix minden nullától eltérő mollját, amelynek sorrendje megegyezik a rangjával, a mátrix alapmolljának nevezzük.

Egy mátrixnak több bázis-mollja is lehet, de több is lehet. Azonban az összes alapkiskorú sorrendje megegyezik és megegyezik a mátrix rangjával.

Azokat a sorokat és oszlopokat, amelyek alap-mollt képeznek, bázisnak nevezzük.

A mátrix minden sora (oszlopa) az alapsorok (oszlopok) lineáris kombinációja.

Hasonló dokumentumok

A másodrendű determinánsok fogalma és lényege. Két ismeretlenben két lineáris egyenletrendszer alapjainak mérlegelése. N-edrendű determinánsok és számítási módszerek tanulmányozása. Egy n lineáris egyenletrendszer jellemzői n ismeretlennel.

bemutató, hozzáadva: 2014.11.14


Másod- és harmadrend meghatározói. Permutációk és helyettesítések. Minorok és algebrai kiegészítések. Módszerek alkalmazása a determináns háromszög alakra redukálására, a determináns determinánsok összegeként való ábrázolására és a lineáris tényezők elkülönítésére.

tanfolyami munka, hozzáadva 2013.07.19


A mátrix fogalma és a rájuk vonatkozó lineáris műveletek. A mátrixösszeadási művelet tulajdonságai. A másod- és harmadrend meghatározói. Sarrus szabályának alkalmazása. A determinánsok megoldásának alapvető módszerei. Elemi mátrix transzformációk. Egy inverz mátrix tulajdonságai.

oktatóanyag, hozzáadva: 2010.04.03


A lineáris algebra feladatai és módszerei. A determinánsok tulajdonságai és számításuk sorrendje. Az inverz mátrix megtalálása Gauss-módszerrel. Számítási algoritmus fejlesztése a Pascal ABC programban determinánsok számítására és az inverz mátrix megtalálására.

tanfolyami munka, hozzáadva 2013.02.01


A determinánsok fogalma, célja, általános jellemzői, számítási módszerei és tulajdonságai. Mátrix algebra. Lineáris egyenletrendszerek és megoldásuk. Vektoralgebra, törvényei és alapelvei. A kereszttermék tulajdonságai és alkalmazásai.

teszt, hozzáadva 2012.04.01


A lineáris algebra elemei. A mátrixok típusai és a rajtuk végzett műveletek. A mátrix determinánsok tulajdonságai és számításuk. Lineáris egyenletrendszerek megoldása mátrix formában Cramer-képletekkel és Gauss-módszerrel. A differenciál- és integrálszámítás elemei.

oktatóanyag, hozzáadva: 2011.11.06


Négyzetmátrixot jellemző szám. Egy mátrix első és másodrendű determinánsának kiszámítása. A háromszög szabály segítségével. A determináns valamely elemének algebrai komplementere. Egy determináns két sorának vagy oszlopának átrendezése.

bemutató, hozzáadva 2013.09.21


A mátrix rang fogalma. A diverzifikált gazdaság Leontief-modellje. A skalárszorzat tulajdonságai. Vektor felbontása koordinátatengelyek mentén. Kis- és algebrai komplementer. Másod- és harmadrend meghatározói. Sík és egyenes a térben.

előadások tanfolyama, hozzáadva 2013.10.30


A determinánsok elmélete P. Laplace, O. Cauchy és C. Jacobi munkáiban. Másodrendű determinánsok és két lineáris egyenletrendszerek két ismeretlenben. Harmadrendű determinánsok és a determinánsok tulajdonságai. Egyenletrendszer megoldása Cramer-szabály segítségével.

bemutató, hozzáadva 2016.10.31


Másod- és harmadrendű determinánsok, determinánsok tulajdonságai. A harmadrendű determináns kiszámításának két módja. Dekompozíciós tétel. Cramer-tétel, amely gyakorlati módot ad lineáris egyenletrendszerek determinánsok segítségével történő megoldására.

Másod- és harmadrend meghatározói.

Az m és n számokat nevezzük méretek mátrixok.

A mátrix az ún négyzet, ha m = n. Ebben az esetben az n számot hívják sorrendben négyzetmátrix.

Minden négyzetes mátrix hozzárendelhető egy számhoz, amelyet a mátrix összes elemének felhasználásával egyedileg határoznak meg. Ezt a számot determinánsnak nevezzük.

Másodrendű determináns egy másodrendű négyzetmátrix elemeinek felhasználásával kapott szám a következőképpen: .

Ebben az esetben a mátrix úgynevezett főátlóján található elemek szorzatából (a bal felsőtől a jobb alsó sarok felé haladva) levonjuk a második vagy másodlagos átlón található elemek szorzatát. .

Harmadik rendű determináns egy olyan szám, amelyet egy 3. rendű négyzetmátrix elemeinek felhasználásával határozunk meg a következőképpen:

Megjegyzés. A képlet könnyebb megjegyezhetősége érdekében használhatja az úgynevezett Cramer (háromszögek) szabályt. Ez a következő: azok az elemek, amelyek szorzatai szerepelnek a „+” jelű determinánsban, a következőképpen vannak elrendezve:

Két háromszöget alkotva, szimmetrikusan a főátlóra. Azok az elemek, amelyek szorzatai szerepelnek a „-” jelű determinánsban, hasonló módon helyezkednek el a másodlagos átlóhoz képest:

14. A rend meghatározói. (magasabb rendű meghatározók)

Determináns n mátrixnak megfelelő sorrendben n'n, a számot úgy hívják:

A determinánsok kiszámításának alapvető módszerei:

1) Rendeléscsökkentési módszer A determináns a kapcsolaton alapul: (1)

Ahol elem algebrai komplementerének nevezzük. Kisebb a th elemet determinánsnak nevezzük n-1 sorrend, az eredeti determinánsból törléssel nyert én-az a vonal és j oszlop.

Az (1) relációt a determináns kiterjesztésének nevezzük én- az a vonal. Hasonlóképpen felírhatjuk a determináns kiterjesztését egy oszlopba:

Tétel: Bármely négyzetmátrixra érvényes az egyenlőség ,

hol és van a Kronecker szimbólum

2) A háromszög alakra redukálás módja determinánsok hetedik tulajdonsága alapján.

Példa: A determináns kiszámítása: Vonjuk ki az első sort a többiből.

3) Ismétlődési relációs módszer lehetővé teszi, hogy egy adott determinánst egy azonos típusú, de alacsonyabb rendű determinánssal fejezzünk ki.

Permutációk, inverziók.

Az 1, 2, ... számok tetszőleges elrendezése, n valamilyen meghatározott sorrendben, ún újrarendezés tól től n karakterek (számok).

A permutáció általános képe: .

Egyikük sem fordul elő kétszer egy permutációban.

A permutációt ún még , ha elemei páros számú inverziót tesznek ki, és páratlan másképp.

A permutációban szereplő k és p számok inverzió (rendellenesség), ha k > p, de k ebben a permutációban p elé kerül.

A permutációk három tulajdonsága.

1. tulajdonság: A különböző permutációk száma egyenlő ( , így szól: " n faktoriális").

Bizonyíték. A permutációk száma egybeesik a különböző permutációk összeállítási módjainak számával. A permutációk összeállításánál mint j 1 bármelyik számot felveheti az 1, 2, ..., n, mi ad n lehetőségeket. Ha j 1 már ki van választva, majd mint j 2 elviheti a maradékok egyikét n– 1 szám, és a választható módok száma j 1 és j 2 egyenlő lesz stb. Az utolsó szám a permutációban csak egyféleképpen választható, ami megadja módokat, és ezért permutációkat.

2. tulajdonság: Minden transzpozíció megváltoztatja a permutáció paritását.

Bizonyíték.1. eset. A transzponált számok permutációban vannak egymás mellett, azaz. úgy néz ki (..., k,p, ...), itt az ellipszis (...) jelöli azokat a számokat, amelyek a transzponálás során a helyükön maradnak. Az átültetés a forma permutációjává változtatja (..., p, k,...). Ezekben a permutációkban az egyes számok k,R ugyanazokat az inverziókat hajtja végre a helyükön maradó számokkal. Ha a számok kÉs p korábban nem fordítottak inverziót (pl. k < R), akkor egy másik inverzió jelenik meg az új permutációban, és az inverziók száma eggyel nő; ha kÉs R inverziót jelentett, akkor az átültetés után az inverziók száma eggyel csökken. Mindenesetre változik a permutáció paritása.

3. tulajdonság:Átrendezéskor a determináns előjelet vált.

17. Determinánsok tulajdonságai: transzponált mátrix determinánsa, sorok felcserélése a determinánsban, mátrix determinánsa azonos sorokkal.

1. tulajdonság. A determináns nem változik az átültetés során, azaz.

Bizonyíték.

Megjegyzés. A determinánsok alábbi tulajdonságai csak karakterláncokra lesznek megfogalmazva. Ezenkívül az 1. tulajdonságból az következik, hogy az oszlopok ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek.

6. ingatlan. Egy determináns két sorának átrendezésekor azt –1-gyel megszorozzuk.

Bizonyíték.

4. tulajdonság. A két egyenlő karakterláncú determináns 0:

Bizonyíték:

18. A determinánsok tulajdonságai: egy determináns sztringre bontása.

Kisebb A determináns eleme egy adott elemből annak a sornak és oszlopnak a kihúzásával kapott determináns, amelyben a kiválasztott elem megjelenik.

Megnevezés: a determináns kiválasztott eleme, mollja.

Példa. Mert

Algebrai komplementer a determináns elemét mollnak nevezzük, ha ennek az i+j elemnek az indexeinek összege páros szám, vagy a mollral ellentétes számot, ha i+j páratlan, azaz.

Tekintsünk egy másik módszert a harmadrendű determinánsok kiszámítására - az úgynevezett sor- vagy oszlopbővítést. Ehhez bebizonyítjuk a következő tételt:

Tétel: A determináns egyenlő bármely sora vagy oszlopa elemeinek és algebrai komplementereinek szorzatának összegével, azaz: ahol i=1,2,3.

Bizonyíték.

Bizonyítsuk be a tételt a determináns első sorára, hiszen bármely másik sorra vagy oszlopra hasonló érvelést végezhetünk, és ugyanazt az eredményt kaphatjuk.

Keressünk algebrai kiegészítéseket az első sor elemeire:

Ezt a tulajdonságot saját maga is bizonyíthatja, ha összehasonlítja az 1.5 definícióval talált egyenlőség bal és jobb oldalának értékét.

45. számú középiskola.

Moszkva város.

Gorokhov Evgeniy „B” 10. osztályos tanuló

Tanfolyam (tervezet).

Bevezetés a mátrixok és determinánsok elméletébe .

1996

1. Mátrixok.

1.1 A mátrix fogalma.

Mátrix egy bizonyos mennyiséget tartalmazó téglalap alakú számtáblázat m sorok és egy bizonyos szám n oszlopok. Számok m És n hívják parancsokat mátrixok. Ha m = n , a mátrixot négyzetnek nevezzük, és a számot m = n - őt sorrendben .

1.2 Alapműveletek mátrixokkal.

A mátrixokkal kapcsolatos alapvető aritmetikai műveletek egy mátrix szorzása egy számmal, mátrixok összeadása és szorzása.

Térjünk át a mátrixok alapvető műveleteinek meghatározására.

Mátrix összeadás : Két mátrix összege, például: A És B , amelynek ugyanannyi sora és oszlopa van, más szóval ugyanazok a sorrendek m És n mátrixnak nevezzük C = ( VAL VEL ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) ugyanazok a parancsok m És n , elemek Cij amelyek egyenlők.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) ( 1.2 )

Két mátrix összegének jelölésére a jelölést használjuk C = A + B. Az összegző mátrixok műveletét a mátrixoknak nevezzük kiegészítés

Tehát definíció szerint a következőkkel rendelkezünk:

+ =

=

A mátrixok összegének definíciójából, pontosabban a képletből ( 1.2 ) ebből azonnal következik, hogy a mátrixösszeadás művelete ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a valós számok összeadásának művelete, nevezetesen:

kommutatív tulajdonság: A + B = B + A

tulajdonságok kombinálása: (A + B) + C = A + (B + C)

Ezek a tulajdonságok lehetővé teszik, hogy ne aggódjunk a mátrixtagok sorrendje miatt, ha két vagy több mátrixot adunk hozzá.

Egy mátrix szorzása egy számmal :

Mátrix termék valós számra mátrixnak nevezzük C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , melynek elemei egyenlők

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). ( 1.3 )

Egy mátrix és egy szám szorzatának jelölésére a jelölést használjuk C= A vagy C=A . A mátrix szorzatának számmal való összeállításának műveletét úgy nevezzük, hogy a mátrixot megszorozzuk ezzel a számmal.

Közvetlenül a képletből ( 1.3 ) egyértelmű, hogy egy mátrix számmal való szorzása a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

eloszlási tulajdonság a mátrixok összegére vonatkozóan:

( A + B) = A+ B

A numerikus tényező asszociatív tulajdonsága:

( ) A= ( A)

eloszlási tulajdonság a számok összegére vonatkozóan:

( + ) A= A + A .

Megjegyzés : Két mátrix különbsége A És B Az azonos sorrendek esetében természetes, hogy ilyen mátrixot hívunk C azonos sorrendűek, amelyek a mátrixszal összegezve B mátrixot ad A . A két mátrix közötti különbség jelölésére természetes jelölést használunk: C = A – B.

Mátrixszorzás :

Mátrix termék A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , amelynek sorrendje megegyezik m És n , mátrixonként B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , amelynek sorrendje megegyezik n És p , mátrixnak nevezzük C= (VAL VEL ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , amelynek sorrendje megfelelően egyenlő m És p , és elemek Cij képlettel definiált

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) ( 1.4 )

Egy mátrix szorzatának jelölésére A a mátrixhoz B használja a felvételt

C=AB . A mátrixszorzat összeállításának művelete A a mátrixhoz B hívott szorzás ezeket a mátrixokat. A fent megfogalmazott definícióból az következik mátrix A nem szorozható semmilyen mátrixszal B : szükséges, hogy a mátrixoszlopok száma A volt egyenlő mátrix sorok száma B . Mindkét mű érdekében AB És B.A. nem csak definiáltak, hanem azonos sorrendűek is voltak, szükséges és elegendő, hogy mindkét mátrixot A És B azonos rendű négyzetmátrixok voltak.

képlet ( 1.4 ) a mátrixelemek összeállításának szabálya C ,

amely a mátrix szorzata A a mátrixhoz B . Ez a szabály szóban is megfogalmazható: Elem Cij , a kereszteződésben állva én sor és j- mátrixoszlop C=AB , egyenlő a megfelelő elemek páronkénti szorzatainak összege én sor mátrixok A És j- mátrixoszlop B . A szabály alkalmazásának példájaként bemutatjuk a másodrendű négyzetmátrixok szorzóképletét

=

A képletből ( 1.4 ) a mátrixszorzat következő tulajdonságai a következők: A a mátrixhoz B :

asszociatív tulajdonság: ( ABC = A(BC);

eloszlási tulajdonság a mátrixok összegére vonatkoztatva:

(A + B) C = AC + BC vagy A (B + C) = AB + AC.

A mátrixok szorzatának permutációs tulajdonságának kérdését csak azonos rendű négyzetmátrixokra van értelme feltenni. Az elemi példák azt mutatják két azonos rendű négyzetmátrix szorzata általában véve nem rendelkezik kommutációs tulajdonsággal. Sőt, ha tesszük

A= , B = , Hogy AB = , A BA =

Általában ugyanazokat a mátrixokat hívják, amelyekre a szorzat kommutációs tulajdonsággal rendelkezik ingázás.

A négyzetmátrixok közül kiemeljük az ún átlós mátrixok, amelyek mindegyike a nullával egyenlő főátlón kívül található elemekkel rendelkezik. A főátlón egybeeső elemekkel rendelkező átlós mátrixok közül két mátrix különösen fontos szerepet játszik. Ezen mátrixok közül az elsőt akkor kapjuk meg, ha a főátló minden eleme egyenlő eggyel, és ezt identitásmátrixnak nevezzük. n- E . A második mátrixot úgy kapjuk meg, hogy minden eleme nulla, és nulla mátrixnak nevezzük n- sorrendben, és a szimbólum jelöli O . Tegyük fel, hogy van egy tetszőleges mátrix A , Akkor

AE=EA=A , AO=OA=O .

A képletek közül az első az identitásmátrix speciális szerepét jellemzi E , hasonlóan a szám szerepéhez 1 valós számok szorzásakor. Ami a nulla mátrix különleges szerepét illeti RÓL RŐL , akkor nemcsak a második képletből derül ki, hanem egy elemi igazolható egyenlőségből is: A+O=O+A=A . A nulla mátrix fogalma nem négyzetes mátrixokra vezethető be.

2. Meghatározók.

2.1 A determináns fogalma.

Először is emlékeznie kell arra, hogy a determinánsok csak a négyzet típusú mátrixokhoz léteznek, mivel más típusú mátrixokhoz nincsenek determinánsok. A lineáris egyenletrendszerek elméletében és néhány más kérdésben célszerű a fogalom használata döntő , vagy döntő .

2.2 Determinánsok számítása.

Tekintsünk tetszőleges négy számot mátrix formájában két sorban és mindegyik két oszlop , Döntő vagy döntő , amely a táblázatban szereplő számokból áll, a szám ad-bc , a következőképpen jelöljük: . Az ilyen determináns az ún másodrendű meghatározó , mivel az összeállításához egy kétsoros és két oszlopos táblázatot vettek. A determinánst alkotó számokat annak nevezzük elemeket ; ugyanakkor azt mondják, hogy az elemek a És d smink főátló determináns és az elemek b És c övé oldalátló . Látható, hogy a determináns egyenlő a fő- és másodlagos átlóján elhelyezkedő elempárok szorzatának különbségével. A harmadik és bármely más sorrend meghatározója megközelítőleg ugyanaz, nevezetesen: Tegyük fel, hogy van egy négyzetmátrixunk . A következő mátrix meghatározója a következő kifejezés: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Amint látja, ez meglehetősen könnyen kiszámítható, ha emlékszik egy bizonyos sorozatra. Pozitív előjelű a főátló és az elemekből képzett háromszögek, amelyeknek a főátlóval párhuzamos oldaluk van, ebben az esetben ezek háromszögek a12a23a31 , a13a21a32 .

Az oldalátló és a vele párhuzamos háromszögek negatív előjelűek, i.e. a11a23a32 , a12a21a33 . Ily módon bármely sorrend meghatározó tényezői megtalálhatók. De vannak esetek, amikor ez a módszer meglehetősen bonyolulttá válik, például amikor sok elem van a mátrixban, és a determináns kiszámításához sok időt és figyelmet kell fordítani.

Van egy egyszerűbb módszer a determináns kiszámítására n- oh rend, hol n 2 . Egyezzünk meg abban, hogy bármely elemet kiskorúnak nevezünk Aij mátrixok n- a törlés eredményeként a mátrixból kapott mátrixnak megfelelő elsőrendű determináns én sor és j- oszlop (az a sor és az az oszlop, amelynek metszéspontjában van egy elem Aij ). Elem minor Aij szimbólummal fogjuk jelölni . Ebben a jelölésben a felső index a sorszámot, az alsó index az oszlopszámot jelöli, a fenti sáv pedig M azt jelenti, hogy a megadott sor és oszlop át van húzva. A sorrend meghatározója n , a mátrixnak megfelelő számot hívjuk egyenlőnek és a szimbólummal jelöljük .

1.1. tétel Bármi legyen is a sorszám én ( i = 1, 2…, n) , a meghatározónak n- az első nagyságrendi képlet érvényes

= det A =

hívott én- sor . Hangsúlyozzuk, hogy ebben a képletben a kitevő, amelyre a számot emeljük (-1), egyenlő azon sor- és oszlopszámok összegével, amelyek metszéspontjában az elem található. Aij .

Tétel 1.2 Bármi legyen is az oszlop száma j ( j = 1, 2…, n) , a meghatározónak n a sorrendi képlet érvényes

= det A =

hívott ennek a determinánsnak a kiterjesztése j- oszlop .

2.3 A determinánsok alapvető tulajdonságai.

A determinánsoknak vannak olyan tulajdonságai is, amelyek megkönnyítik a kiszámításukat. Az alábbiakban tehát számos olyan tulajdonságot határozunk meg, amelyekkel egy tetszőleges determináns rendelkezik n -edik sorrend.

1 . Sor-oszlop egyenlőség tulajdonság . Transzponálás Bármely mátrix vagy determináns egy olyan művelet, amelynek eredményeként a sorok és oszlopok felcserélődnek, miközben megtartják a sorrendjüket. A mátrix transzponálás eredményeként A a kapott mátrixot mátrixnak nevezzük, amelyet a mátrixhoz képest transzponáltnak nevezünk A és a szimbólum jelzi A .

A determináns első tulajdonsága a következőképpen fogalmazódik meg: az átültetés során a determináns értéke megmarad, azaz. = .

2 . Antiszimmetria tulajdonság két sor (vagy két oszlop) átrendezésekor . Ha két sort (vagy két oszlopot) felcserélünk, a determináns megtartja abszolút értékét, de az ellenkező előjelet váltja. Másodrendű determinánsnál ez a tulajdonság elemi módon ellenőrizhető (a másodrendű determináns számítási képletéből azonnal következik, hogy a determinánsok csak előjelben különböznek egymástól).

3 . A determináns lineáris tulajdonsága. Azt fogjuk mondani, hogy néhány karakterlánc ( a) a másik két karakterlánc lineáris kombinációja ( b És c ) együtthatókkal És . A lineáris tulajdonság a következőképpen fogalmazható meg: ha a determinánsban n -edik sorrend néhány én A -edik sor két sor lineáris kombinációja együtthatókkal És , Azt = + , Ahol

– meghatározó én A -edik sor egyenlő a lineáris kombináció két sora egyikével, és az összes többi sor megegyezik a , A - determináns, amely rendelkezik én- i string egyenlő a két karakterlánc közül a másodikkal, és az összes többi karakterlánc ugyanaz, mint .

Ez a három tulajdonság a determináns fő tulajdonsága, felfedi annak természetét. A következő öt tulajdonság logikus következményei három fő tulajdonsága.

Következmény 1. A két azonos sorral (vagy oszloppal) rendelkező determináns egyenlő nullával.

Következmény 2. Egy determináns valamely sorának (vagy oszlopának) összes elemének megszorzása egy számmal a egyenértékű a determináns ezzel a számmal való szorzásával a . Más szóval, egy determináns egy bizonyos sorának (vagy oszlopának) összes elemének közös tényezője kivehető ennek a determinánsnak az előjeléből.

Következmény 3. Ha egy bizonyos sor (vagy valamelyik oszlop) minden eleme nulla, akkor maga a determináns is nulla.

Következmény 4. Ha egy determináns két sorának (vagy két oszlopának) elemei arányosak, akkor a determináns egyenlő nullával.

Következmény 5. Ha a determináns egy bizonyos sorának (vagy oszlopának) elemeihez hozzáadjuk egy másik sor (egy másik oszlop) megfelelő elemeit, tetszőleges tényezővel szorozva , akkor a determináns értéke nem változik. Az 5. következmény a lineáris tulajdonsághoz hasonlóan egy általánosabb megfogalmazást tesz lehetővé, amit a karakterláncokra adok meg: ha egy determináns egy sorának elemeihez hozzáadjuk egy olyan karakterlánc megfelelő elemeit, amely több sor lineáris kombinációja. ennek a determinánsnak (bármilyen együtthatóval), akkor a determináns értéke nem változik . Az 5. következményt széles körben használják a determinánsok konkrét kiszámításakor.

3. Lineáris egyenletrendszerek.

3.1 Alapvető definíciók.

…….

3.2 Lineáris egyenletrendszerek kompatibilitásának feltétele.

…….

3.3 Lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerrel.

Ismeretes, hogy mátrixok segítségével különféle egyenletrendszereket tudunk megoldani, ezek a rendszerek tetszőleges méretűek és tetszőleges számú változóval rendelkezhetnek. Néhány levezetés és képlet segítségével hatalmas egyenletrendszerek megoldása meglehetősen gyors és egyszerűbb.

Különösen a Cramer- és Gauss-módszert fogom ismertetni. A legegyszerűbb módszer a Cramer-módszer (számomra), vagy ahogy más néven a Cramer-képlet. Tehát tegyük fel, hogy van valamilyen egyenletrendszerünk . A fő determináns, amint azt már észrevette, egy mátrix, amely a változók együtthatóiból épül fel. Oszlopsorrendben is megjelennek, azaz az első oszlop tartalmazza azokat az együtthatókat, amelyek a helyen találhatók x , a második oszlopban at y , stb. Ez nagyon fontos, mert a következő lépésekben egy változó minden együtthatóoszlopát az egyenletválaszok oszlopára cseréljük. Tehát, mint mondtam, az első változónál lévő oszlopot lecseréljük a válasz oszlopra, majd a másodiknál, természetesen minden attól függ, hogy hány változót kell megtalálnunk.

1 = , 2 = , 3 = .

Akkor meg kell találni a meghatározókat a rendszer meghatározója .

3.4 Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel.

…….

4. Inverz mátrix.

4.1 Az inverz mátrix fogalma.

4.2 Az inverz mátrix számítása.

Bibliográfia.

V. A. Iljin, E. G. Poznyak „Lineáris algebra”

2. G. D. Kim, E. V. Shikin „Elemi transzformációk a lineáris algebrában”

1. téma. Mátrixok és mátrixdeterminánsok

Amit tanulunk:

A lineáris algebra alapfogalmai: mátrix, determináns.

Amit meg fogunk tanulni:

Műveletek végrehajtása mátrixokon;

Számoljon másod- és harmadrendű determinánsokkal.

Téma 1.1. A mátrix fogalma. Műveletek mátrixokon

∆ Mátrix egy téglalap alakú táblázat, amely sorokból és oszlopokból áll, tele néhány matematikai objektummal.

A mátrixokat latin nagybetűkkel jelöljük, magát a táblázatot zárójelben (ritkábban négyzet vagy más alakzatban) jelöljük.

Elemek A ij hívott mátrix elemek . Első index én– sorszám, másodikj– oszlopszám. Az elemek legtöbbször számok.

"mátrix" bejegyzés A mérete van m× n» azt jelenti, hogy egy mátrixról beszélünk, amelyből állm vonalak és n oszlopok.

Ha m = 1, a n > 1, akkor a mátrix azmátrix - sor . Ha m > 1, a n = 1, akkor a mátrix azmátrix - oszlop .

Egy mátrix, amelyben a sorok száma egybeesik az oszlopok számával (m= n), hívják négyzet .

.

Elemek a 11 , a 22 ,…, a nn négyzetmátrixA (méret n× n) forma főátló , elemek a 1 n , a 2 n -1 ,…, a n 1 - oldalátló .

A mátrixban
elemek 5; 7 alkotják a főátlót, elemek –5; 8 – oldalátló.

Mátrixok A És B hívják egyenlő (A= B), ha azonos méretűek és azonos pozícióban lévő elemeik egybeesnek, azaz.A ij = b ij .

Identitásmátrix egy négyzetes mátrix, amelyben a főátló elemei eggyel, a többi eleme pedig nullával egyenlő. Az identitásmátrixot általában E-vel jelölik.

Mátrix átültetve méretű A mátrixhozm× nA mátrixnak nevezzük T méret n× m, Az A mátrixból kapjuk, ha annak sorait oszlopokba, oszlopait pedig sorokba írjuk.

Aritmetikai műveletek mátrixokon.

Megtalálni mátrixok összege A És B azonos méretű elemeket kell hozzáadni azonos indexekkel (ugyanolyan helyeken):

.

A mátrixösszeadás kommutatív, azaz A + B = B + A.

Megtalálni mátrix különbség A És B azonos dimenziójú, meg kell találni az azonos indexű elemek különbségét:

.

Nak nek szorzómátrix Aszámonként k, A mátrix minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal:

.

Munka mátrixok AB csak mátrixokhoz definiálhatóA méret m× n És B méret n× p, azaz mátrixoszlopok számaA egyenlőnek kell lennie a mátrix sorok számávalBAN BEN. Ahol A· B= C, mátrix C mérete van m× p, és annak eleme c ij skaláris szorzatként találhatóénth mátrix sorok A tovább jth mátrix oszlopB: ( én=1,2,…, m; j=1,2,…, p).

!! Valójában minden sorra szükség van mátrixok A (bal oldalon áll) szorozzuk meg skalárisan az egyes mátrixoszlopokkal B (jobb oldalon áll).

A mátrixok szorzata nem kommutatív, azazА·В ≠ В·А . ▲

☺ Példák elemzése szükséges az elméleti anyag megszilárdításához.

1. példa Mátrixok méretének meghatározása.

2. példa: Mátrixelemek meghatározása.

A mátrix elemben A 11 = 2, A 12 = 5, A 13 = 3.

A mátrix elemben A 21 = 2, A 13 = 0.

3. példa: Mátrix transzponálás végrehajtása.

,

4. példa Műveletek végrehajtása mátrixokon.

megtalálja 2 A- B, Ha , .

Megoldás. .

5. példa Keresse meg a mátrixok szorzatát És .

Megoldás. Mátrix méreteA – 3 × 2 , mátrixok BAN BEN – 2 × 2 . Ezért a termékA·B megtalálhatod. Kapunk:

Munka VA nem található.

6. példa Find A 3 ha A =
.

Megoldás. A 2 = ·=
=
,

A 3 = ·=
=
.

6. példa Keresse meg a 2-t A 2 + 3 A + 5 E nál nél
,
.

Megoldás. ,

,
,

,
.

Elvégzendő feladatok

1. Töltse ki a táblázatot!

2. Végezzen műveleteket mátrixokon
És
:

3. Hajtsa végre a mátrixszorzást:

4. Transzponálja a mátrixokat:

? 1. Mi a mátrix?

2. Hogyan lehet megkülönböztetni egy mátrixot a lineáris algebra többi elemétől?

3. Hogyan határozzuk meg a mátrix méretét? Miért van erre szükség?

4. Mit jelent a bejegyzés? A ij ?

5. Adja meg a következő fogalmak magyarázatát: a mátrix főátlója, másodlagos átlója!

6. Milyen műveleteket lehet végrehajtani mátrixokon?

7. Ismertesse a mátrixszorzás működésének lényegét?

8. Megszorozható-e bármilyen mátrix? Miért?

Téma 1.2. Másod- és harmadrendű determinánsok : m számítási módszerek

∆ Ha A négyzetmátrix n-edik sorrendben, akkor társíthatunk hozzá egy hívott számot döntő n-edik rendés |A|-val jelöljük. Vagyis a determinánst mátrixként írjuk, de zárójelek helyett egyenes zárójelek közé teszik.

!! Néha a determinánsokat angolul determinánsoknak nevezik, azaz = det A.

1. rendű meghatározó (az A mátrix méretének meghatározója1 × 1 ) maga az elem, amelyet az A mátrix tartalmaz, azaz.

2. rendű determináns (mátrix meghatározó Egy méret 2 × 2 ) egy szám, amely a következő szabály segítségével található:

(a mátrix főátlóján lévő elemek szorzata mínusz a másodlagos átlón lévő elemek szorzata).

3. rendű meghatározó (mátrix meghatározó Egy méret 3 × 3 ) egy olyan szám, amely a „háromszögek” szabály segítségével megtalálható:

A 3. rendű determinánsok kiszámításához használhat egy egyszerűbb szabályt - az irányok (párhuzamos vonalak) szabályát.

Útvonalszabály : Val vel az első két oszlophoz a determináns jobb oldala kerül, a főátlón és a vele párhuzamos átlókon lévő elemek szorzatait pluszjellel vesszük; a másodlagos átló és a vele párhuzamos átlók elemeinek szorzatai pedig mínusz előjelűek.

!! A determinánsok kiszámításához felhasználhatja tulajdonságaikat, amelyek bármilyen sorrendű determinánsra érvényesek.

A determinánsok tulajdonságai:

1° . Az A mátrix determinánsa nem változik a transzponálás során, azaz. |A| = |A T |. Ez a tulajdonság a sorok és oszlopok egyenlőségét jellemzi.

2° . Két sor (két oszlop) átrendezése esetén a determináns megtartja korábbi értékét, de az előjel megfordul.

4° . Ha bármely sor vagy oszlop tartalmaz közös tényezőt, akkor az kivehető a determináns előjelből.

Következmény 4.1. Ha egy determináns bármely sorozatának minden eleme nulla, akkor a determináns egyenlő nullával.

Következmény 4.2. Ha egy determináns bármely sorozatának elemei arányosak egy vele párhuzamos sorozat megfelelő elemeivel, akkor a determináns egyenlő nullával.▲

☺ Elemezni kell a determinánsok számítási szabályait.

1. példa: Számításmásodrendű meghatározók,
.

Megoldás.

45. számú középiskola.

Moszkva város.

Gorokhov Evgeniy „B” 10. osztályos tanuló

Tanfolyam (tervezet).

Bevezetés a mátrixok és determinánsok elméletébe .

1. Mátrixok................................................ ...................................................... ............................................................ ..............................

1.1 A mátrix fogalma................................................ ...................................................... ...................................................

1.2 Alapműveletek mátrixokkal................................................ ...................................................... ..............

2. Meghatározók................................................ ...................................................... ............................................................ ........

2.1 A determináns fogalma................................................ ...................................................... ..........................................

2.2 Determinánsok számítása................................................ ...................................................... ..........................

2.3 A determinánsok alapvető tulajdonságai................................................ ...................................................... ..............

3. Lineáris egyenletrendszerek................................................ ...................................................... ..............

3.1 Alapvető definíciók................................................ ...................................................... ......................................

3.2 Konzisztenciafeltétel lineáris egyenletrendszerekhez................................................ ..........................

3.3 Lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerével................................................ ......................................

3.4 Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss-módszerrel................................................ ..........................

4. Inverz mátrix.................................................. ...................................................... ...................................................

4.1 Az inverz mátrix fogalma................................................ ...................................................... ..............................

4.2 Az inverz mátrix számítása................................................ ...................................................... ..........................

Bibliográfia................................................................ .................................................. .....................................

Mátrix egy bizonyos mennyiséget tartalmazó téglalap alakú számtáblázat m sorok és egy bizonyos szám n oszlopok. Számok m És n hívják parancsokat mátrixok. Ha m = n , a mátrixot négyzetnek nevezzük, és a számot m = n -- őt sorrendben .

A mátrixokkal kapcsolatos alapvető aritmetikai műveletek egy mátrix szorzása egy számmal, mátrixok összeadása és szorzása.

Térjünk át a mátrixok alapvető műveleteinek meghatározására.

Mátrix összeadás: Két mátrix összege, például: A És B , amelynek ugyanannyi sora és oszlopa van, más szóval ugyanazok a sorrendek m És n mátrixnak nevezzük C = ( VAL VEL ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) ugyanazok a parancsok m És n , elemek Cij amelyek egyenlők.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Két mátrix összegének jelölésére a jelölést használjuk C = A + B. Az összegző mátrixok műveletét a mátrixoknak nevezzük kiegészítés

Tehát definíció szerint a következőkkel rendelkezünk:

+ =

=

A mátrixok összegének definíciójából, pontosabban a képletből ( 1.2 ) ebből azonnal következik, hogy a mátrixösszeadás művelete ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a valós számok összeadásának művelete, nevezetesen:

1) kommutatív tulajdonság: A + B = B + A

2) tulajdonságok kombinálása: (A + B) + C = A + (B + C)

Ezek a tulajdonságok lehetővé teszik, hogy ne aggódjunk a mátrixtagok sorrendje miatt, ha két vagy több mátrixot adunk hozzá.

Egy mátrix szorzása egy számmal :

Mátrix termék mert egy valós számot mátrixnak nevezünk C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , melynek elemei egyenlők

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Egy mátrix és egy szám szorzatának jelölésére a jelölést használjuk C= A vagy C=A . A mátrix szorzatának számmal való összeállításának műveletét úgy nevezzük, hogy a mátrixot megszorozzuk ezzel a számmal.

Közvetlenül a képletből ( 1.3 ) egyértelmű, hogy egy mátrix számmal való szorzása a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1) eloszlási tulajdonság a mátrixok összegére vonatkozóan:

( A + B) = A+ B

2) A numerikus tényező asszociatív tulajdonsága:

() A= ( A)

3) eloszlási tulajdonság a számok összegére vonatkozóan:

( + ) A= A + A .

Megjegyzés :Két mátrix különbsége A És B Az azonos sorrendek esetében természetes, hogy ilyen mátrixot hívunk C azonos sorrendűek, amelyek a mátrixszal összegezve B mátrixot ad A . A két mátrix közötti különbség jelölésére természetes jelölést használunk: C = A – B.

Mátrixszorzás :

Mátrix termék A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , amelynek sorrendje megegyezik m És n , mátrixonként B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , amelynek sorrendje megegyezik n És p , mátrixnak nevezzük C= (VAL VEL ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , amelynek sorrendje megfelelően egyenlő m És p , és elemek Cij képlettel definiált

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Egy mátrix szorzatának jelölésére A a mátrixhoz B használja a felvételt

C=AB . A mátrixszorzat összeállításának művelete A a mátrixhoz B hívott szorzás ezeket a mátrixokat. A fent megfogalmazott definícióból az következik mátrix A nem szorozható semmilyen mátrixszal B : szükséges, hogy a mátrixoszlopok száma A volt egyenlő mátrix sorok száma B . Mindkét mű érdekében AB És B.A. nem csak definiáltak, hanem azonos sorrendűek is voltak, szükséges és elegendő, hogy mindkét mátrixot A És B azonos rendű négyzetmátrixok voltak.

képlet ( 1.4 ) a mátrixelemek összeállításának szabálya C ,

amely a mátrix szorzata A a mátrixhoz B . Ez a szabály szóban is megfogalmazható: Elem Cij , a kereszteződésben állva én sor és j- mátrixoszlop C=AB , egyenlő a megfelelő elemek páronkénti szorzatainak összege én sor mátrixok A És j- mátrixoszlop B . A szabály alkalmazásának példájaként bemutatjuk a másodrendű négyzetmátrixok szorzóképletét

A képletből ( 1.4 ) a mátrixszorzat következő tulajdonságai a következők: A a mátrixhoz B :

1) asszociatív tulajdonság: ( ABC = A(BC);

2) eloszlási tulajdonság a mátrixok összegére vonatkoztatva:

(A + B) C = AC + BC vagy A (B + C) = AB + AC.

A mátrixok szorzatának permutációs tulajdonságának kérdését csak azonos rendű négyzetmátrixokra van értelme feltenni. Az elemi példák azt mutatják, hogy két azonos rendű négyzetmátrix szorzata általában véve nem rendelkezik kommutációs tulajdonsággal. Sőt, ha tesszük

A = , B = , Hogy AB = , A BA =

Általában ugyanazokat a mátrixokat hívják, amelyekre a szorzat kommutációs tulajdonsággal rendelkezik ingázás.

A négyzetmátrixok közül kiemeljük az ún átlós mátrixok, amelyek mindegyikének olyan elemei vannak, amelyek a nullával egyenlő főátlón kívül helyezkednek el. A főátlón egybeeső elemekkel rendelkező átlós mátrixok közül két mátrix különösen fontos szerepet játszik. Ezen mátrixok közül az elsőt akkor kapjuk meg, ha a főátló minden eleme egyenlő eggyel, és ezt identitásmátrixnak nevezzük. n- E . A második mátrixot úgy kapjuk meg, hogy minden eleme nulla, és nulla mátrixnak nevezzük n- sorrendben, és a szimbólum jelöli O . Tegyük fel, hogy van egy tetszőleges mátrix A , Akkor

AE=EA=A , AO=OA=O .

A képletek közül az első az identitásmátrix speciális szerepét jellemzi E, hasonlóan a szám szerepéhez 1 valós számok szorzásakor. Ami a nulla mátrix különleges szerepét illeti RÓL RŐL, akkor nemcsak a második képletből derül ki, hanem egy elemi igazolható egyenlőségből is: A+O=O+A=A . A nulla mátrix fogalma nem négyzetes mátrixokra vezethető be.

Először is emlékeznie kell arra, hogy a determinánsok csak a négyzet típusú mátrixokhoz léteznek, mivel más típusú mátrixokhoz nincsenek determinánsok. A lineáris egyenletrendszerek elméletében és néhány más kérdésben célszerű a fogalom használata döntő, vagy döntő .

Tekintsünk egy tetszőleges négy számot, amelyek kettes mátrix formájában vannak felírva az és sorokba két oszlop , Döntő vagy döntő, amely a táblázatban szereplő számokból áll, a szám ad-bc , a következőképpen jelöljük: .Olyan determinánst hívnak másodrendű meghatározó, mivel az összeállításához egy kétsoros és két oszlopos táblázatot vettek. A determinánst alkotó számokat annak nevezzük elemeket; ugyanakkor azt mondják, hogy az elemek a És d smink főátló determináns és az elemek b És c övé oldalátló. Látható, hogy a determináns egyenlő a fő- és másodlagos átlóján elhelyezkedő elempárok szorzatának különbségével. A harmadik és bármely más sorrend meghatározója megközelítőleg ugyanaz, nevezetesen: Tegyük fel, hogy van egy négyzetmátrixunk . A következő mátrix meghatározója a következő kifejezés: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Amint látja, ez meglehetősen könnyen kiszámítható, ha emlékszik egy bizonyos sorozatra. Pozitív előjelű a főátló és az elemekből képzett háromszögek, amelyeknek a főátlóval párhuzamos oldaluk van, ebben az esetben ezek háromszögek a12a23a31, a13a21a32 .

Az oldalátló és a vele párhuzamos háromszögek negatív előjelűek, i.e. a11a23a32 , a12a21a33 . Ily módon bármely sorrend meghatározó tényezői megtalálhatók. De vannak esetek, amikor ez a módszer meglehetősen bonyolulttá válik, például amikor sok elem van a mátrixban, és a determináns kiszámításához sok időt és figyelmet kell fordítani.

Van egy egyszerűbb módszer a determináns kiszámítására n- oh rend, hol n2 . Egyezzünk meg abban, hogy bármely elemet kiskorúnak nevezünk Aij mátrixok n- a törlés eredményeként a mátrixból kapott mátrixnak megfelelő elsőrendű determináns én sor és j- oszlop (az a sor és az az oszlop, amelynek metszéspontjában van egy elem Aij ). Elem minor Aij szimbólummal lesz jelölve. Ebben a jelölésben a felső index a sorszámot, az alsó index az oszlopszámot jelöli, a fenti sáv pedig M azt jelenti, hogy a megadott sor és oszlop át van húzva. A sorrend meghatározója n , a mátrixnak megfelelő számot hívjuk egyenlőnek és a szimbólummal jelöljük .

1.1. tétel Bármi legyen is a sorszám én ( i = 1, 2…, n) , a meghatározónak n- az első nagyságrendi képlet érvényes

= det A =

hívott én- sor . Hangsúlyozzuk, hogy ebben a képletben a kitevő, amelyre a számot emeljük (-1), egyenlő azon sor- és oszlopszámok összegével, amelyek metszéspontjában az elem található. Aij .

Tétel 1.2 Bármi legyen is az oszlop száma j ( j = 1, 2…, n) , a meghatározónak n a sorrendi képlet érvényes

= det A =

hívott ennek a determinánsnak a kiterjesztése j- oszlop .

A determinánsoknak vannak olyan tulajdonságai is, amelyek megkönnyítik a kiszámításukat. Az alábbiakban tehát számos olyan tulajdonságot határozunk meg, amelyekkel egy tetszőleges determináns rendelkezik n -edik sorrend.

1. Sor-oszlop egyenlőség tulajdonság . Transzponálás Bármely mátrix vagy determináns egy olyan művelet, amelynek eredményeként a sorok és oszlopok felcserélődnek, miközben megtartják a sorrendjüket. A mátrix transzponálás eredményeként A a kapott mátrixot mátrixnak nevezzük, amelyet a mátrixhoz képest transzponáltnak nevezünk A és a szimbólum jelzi A .

A determináns első tulajdonsága a következőképpen fogalmazódik meg: transzponáláskor a determináns értéke megmarad, azaz =.

2. Antiszimmetria tulajdonság két sor (vagy két oszlop) átrendezésekor. Ha két sort (vagy két oszlopot) felcserélünk, a determináns megtartja abszolút értékét, de az ellenkező előjelet váltja. Másodrendű determinánsnál ez a tulajdonság elemi módon ellenőrizhető (a másodrendű determináns számítási képletéből azonnal következik, hogy a determinánsok csak előjelben különböznek egymástól).

3. A determináns lineáris tulajdonsága. Azt fogjuk mondani, hogy néhány karakterlánc ( a) a másik két karakterlánc lineáris kombinációja ( b És c ) együtthatókkal és . A lineáris tulajdonság a következőképpen fogalmazható meg: ha a determinánsban n valami rendet én A th sor lineáris kombinációja két sornak, amelyek együtthatói és , akkor = + , hol

- determináns, amely rendelkezik én A -edik sor egyenlő a lineáris kombináció két sora egyikével, és az összes többi sor megegyezik a , a az a meghatározó, amelyre én- i string egyenlő a két karakterlánc közül a másodikkal, és az összes többi karakterlánc megegyezik a .

Ez a három tulajdonság a determináns fő tulajdonsága, felfedi annak természetét. A következő öt tulajdonság logikus következményei három fő tulajdonsága.

Következmény 1. A két azonos sorral (vagy oszloppal) rendelkező determináns egyenlő nullával.

Következmény 2. Egy determináns valamely sorának (vagy oszlopának) összes elemének megszorzása egy számmal a egyenértékű a determináns ezzel a számmal való szorzásával a . Más szóval, egy determináns egy bizonyos sorának (vagy oszlopának) összes elemének közös tényezője kivehető ennek a determinánsnak az előjeléből.

Következmény 3. Ha egy bizonyos sor (vagy valamelyik oszlop) minden eleme nulla, akkor maga a determináns is nulla.

Következmény 4. Ha egy determináns két sorának (vagy két oszlopának) elemei arányosak, akkor a determináns egyenlő nullával.

Következmény 5. Ha egy determináns egy bizonyos sorának (vagy oszlopának) elemeihez hozzáadjuk egy másik sor (egy másik oszlop) megfelelő elemeit tetszőleges tényezővel megszorozva, akkor a determináns értéke nem változik. Az 5. következmény a lineáris tulajdonsághoz hasonlóan egy általánosabb megfogalmazást tesz lehetővé, amit a karakterláncokra adok meg: ha egy determináns egy sorának elemeihez hozzáadjuk egy olyan karakterlánc megfelelő elemeit, amely több sor lineáris kombinációja. ennek a determinánsnak (bármilyen együtthatóval), akkor a determináns értéke nem változik . Az 5. következményt széles körben használják a determinánsok konkrét kiszámításakor.

Ismeretes, hogy mátrixok segítségével különféle egyenletrendszereket tudunk megoldani, ezek a rendszerek tetszőleges méretűek és tetszőleges számú változóval rendelkezhetnek. Néhány levezetés és képlet segítségével hatalmas egyenletrendszerek megoldása meglehetősen gyors és egyszerűbb.

Különösen a Cramer- és Gauss-módszert fogom ismertetni. A legegyszerűbb módszer a Cramer-módszer (számomra), vagy ahogy más néven a Cramer-képlet. Tehát tegyük fel, hogy van valamilyen egyenletrendszerünk

, Mátrix formában ez a rendszer a következőképpen írható fel: A= , ahol az egyenletekre adott válaszok az utolsó oszlopban lesznek. Most bemutatjuk az alapvető determináns fogalmát; ebben az esetben így fog kinézni:

= . A fő determináns, amint azt már észrevette, egy mátrix, amely a változók együtthatóiból épül fel. Oszlopsorrendben is megjelennek, azaz az első oszlop tartalmazza azokat az együtthatókat, amelyek a helyen találhatók x , a második oszlopban at y , stb. Ez nagyon fontos, mert a következő lépésekben egy változó minden együtthatóoszlopát az egyenletválaszok oszlopára cseréljük. Tehát, mint mondtam, az első változónál lévő oszlopot lecseréljük a válasz oszlopra, majd a másodiknál, természetesen minden attól függ, hogy hány változót kell megtalálnunk.

1 = , 2 = , 3 = .

Ezután meg kell találnia a determinánsokat 1, 2, 3. Már tudja, hogyan találja meg a harmadrendű meghatározót. A Itt alkalmazzuk Cramer szabályát. Ez így néz ki:

x1 = , x2 = , x3 = – erre az esetre, de általában így néz ki: x i = . Az ismeretlenek együtthatóiból álló determinánst nevezzük a rendszer meghatározója .

1. V. A. Iljin, E. G. Poznyak „Lineáris algebra”

2. G. D. Kim, E. V. Shikin „Elemi transzformációk a lineáris algebrában”