Egy pont és egy sík vektorképlet távolsága. Távolság ponttól síkig

Tekintsünk a térben egy π síkot és egy tetszőleges M 0 pontot. Válasszunk a repülőhöz egységnyi normálvektor n -val a kezdet egy pontban M 1 ∈ π, és legyen p(M 0 ,π) az M 0 pont és a π sík távolsága. Ezután (5.5. ábra)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

mivel |n| = 1.

Ha a π síkot megadjuk derékszögű koordinátarendszer általános egyenletével Ax + By + Cz + D = 0, akkor normálvektora az (A; B; C) koordinátákkal rendelkező vektor és választhatunk

Legyen (x 0 ; y 0 ; z 0) és (x 1 ; y 1 ; z 1) az M 0 és M 1 pontok koordinátái. Ekkor teljesül az Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 egyenlőség, mivel az M 1 pont a síkhoz tartozik, és az M 1 M 0 vektor koordinátái megtalálhatók: M 1 M 0 = (x 0 - x 1 y 0-y 1; Felvétel skaláris szorzat nM 1 M 0 koordináta alakban és transzformálva (5.8), kapjuk

mivel Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Tehát egy pont és egy sík közötti távolság kiszámításához be kell cserélni a pont koordinátáit a sík általános egyenletébe, majd el kell osztani a pont abszolút értékét az eredményt a megfelelő normálvektor hosszával megegyező normalizáló tényezővel.

, „Prezentáció a leckéhez” verseny

Osztály: 11

Előadás a leckéhez

Vissza előre

Figyelem! A dia előnézetei csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Célok:

• a tanulók tudásának és készségeinek általánosítása és rendszerezése;
• elemzési, összehasonlítási, következtetési képességek fejlesztése.

Felszerelés:

• multimédiás projektor;
• számítógép;
• lapok problémaszövegekkel

AZ OSZTÁLY HALADÁSA

I. Szervezési mozzanat

II. Tudásfrissítési szakasz(2. dia)

Ismételjük meg, hogyan határozzuk meg a pont és a sík távolságát

III. Előadás(3-15. dia)

Ebben a leckében különféle módokat vizsgálunk meg egy pont és egy sík távolságának meghatározására.

Első módszer: lépésről lépésre számítási

Távolság M ponttól az α síkhoz:
– egyenlő az α síkkal mért távolsággal egy tetszőleges, az M ponton átmenő, az α síkkal párhuzamos a egyenesen fekvő P ponttól;
– egyenlő az α síkkal mért távolsággal a β síkon fekvő tetszőleges P ponttól, amely átmegy az M ponton és párhuzamos az α síkkal.

A következő problémákat oldjuk meg:

№1. Az A...D 1 kockában keresse meg a C 1 pont és az AB 1 C sík távolságát.

Ki kell számítani az O 1 N szakasz hosszának értékét.

№2. Határozzuk meg az A pont és a DEA 1 sík távolságát egy A...F 1 szabályos hatszögletű prizmában, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel.

Következő módszer: kötet módszer.

Ha az ABCM piramis térfogata egyenlő V-vel, akkor az M pont és az ∆ABC-t tartalmazó α sík távolságát a következő képlettel számítjuk ki: ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
A feladatok megoldásánál egy alak kétféleképpen kifejezett térfogategyenlőségét használjuk.

Oldjuk meg a következő problémát:

№3. A DABC piramis AD éle merőleges az ABC alapsíkra. Határozza meg az A távolságot az AB, AC és AD élek felezőpontjain átmenő síkig, ha.

A problémák megoldása során koordináta módszer az M pont és az α sík távolsága a ρ(M; α) = képlettel számítható , ahol M(x 0; y 0; z 0), és a síkot az ax + egyenlet adja meg + cz + d = 0

Oldjuk meg a következő problémát:

№4. Az A...D 1 egységkockában keresse meg az A 1 pont és a BDC 1 sík távolságát.

Vezessünk be egy koordinátarendszert, amelynek origója az A pontban van, az y tengely az AB élen, az x tengely az AD élen, a z tengely pedig az AA 1 élen fog futni. Ekkor a B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) pontok koordinátái
Készítsünk egyenletet a B, D, C 1 pontokon áthaladó síkra.

Ekkor – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Ezért ρ =

A következő módszer használható az ilyen típusú problémák megoldására támogatási problémák módszere.

A módszer alkalmazása ismert referenciaproblémák alkalmazásából áll, amelyeket tételként fogalmazunk meg.

Oldjuk meg a következő problémát:

№5. Egy A...D 1 egységkockában keresse meg a D 1 pont és az AB 1 C sík távolságát.

Tekintsük az alkalmazást vektoros módszer.

№6. Az A...D 1 egységkockában keresse meg az A 1 pont és a BDC 1 sík távolságát.

Tehát megvizsgáltunk különféle módszereket, amelyek segítségével megoldható az ilyen típusú probléma. Az egyik vagy másik módszer kiválasztása az adott feladattól és az Ön preferenciáitól függ.

IV. Csoportmunka

Próbálja meg különböző módon megoldani a problémát.

№1. Az A...D 1 kocka éle egyenlő. Határozza meg a C csúcs és a BDC 1 sík távolságát.

№2. Egy éles ABCD szabályos tetraéderben keresse meg az A pont és a BDC sík távolságát

№3. Egy ABCA 1 B 1 C 1 szabályos háromszög prizmában, amelynek minden éle 1, keresse meg az A távolságot a BCA 1 síktól.

№4. Egy szabályos négyszög alakú SABCD piramisban, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel, keresse meg az A távolságot az SCD síktól.

V. Óraösszefoglaló, házi feladat, reflexió

A távolság meghatározása: 1 - pont és sík; 2 - egyenes és lapos; 3 - síkok; 4 - a metsző egyeneseket együtt tekintjük, mivel ezeknek a problémáknak a megoldási algoritmusa lényegében ugyanaz, és geometriai konstrukciókból áll, amelyeket végre kell hajtani egy adott A pont és az α sík közötti távolság meghatározásához. Ha van eltérés, az csak abban áll, hogy a 2. és 3. esetben a feladat megoldásának megkezdése előtt meg kell jelölni egy tetszőleges A pontot az m egyenesen (2. eset) vagy a β síkon (3. eset). A metsző egyenesek közötti távolságokat először az α és β párhuzamos síkba zárjuk, majd meghatározzuk e síkok közötti távolságot.

Tekintsük a problémamegoldás minden említett esetét.

1. Pont és sík távolságának meghatározása.

A pont és a sík távolságát egy pontból a síkra húzott merőleges szakasz hossza határozza meg.

Ezért a probléma megoldása a következő grafikus műveletek egymás utáni végrehajtásából áll:

1) az A pontból leengedjük az α síkra merőlegest (269. ábra);

2) keresse meg ennek a merőlegesnek az M metszéspontját az M = a ∩ α síkkal;

3) határozza meg a szakasz hosszát.

Ha az α sík általános helyzetben van, akkor ahhoz, hogy erre a síkra merőlegest lehessen engedni, először meg kell határozni ennek a síknak a vízszintes és frontális vetületének irányát. Ennek a merőlegesnek a síkkal való találkozási pontjának megtalálása további geometriai konstrukciókat is igényel.

A probléma megoldása leegyszerűsödik, ha az α sík egy adott pozíciót foglal el a vetületi síkokhoz képest. Ebben az esetben mind a merőleges kivetítése, mind a síkkal való találkozási pont megtalálása további segédkonstrukciók nélkül történik.

PÉLDA 1. Határozza meg az A pont és a frontálisan kiálló α sík távolságát (270. ábra).

MEGOLDÁS. A"-n keresztül megrajzoljuk az l" ⊥ h 0α merőleges vízszintes vetületét, és A"-n keresztül - annak l" ⊥ f 0α frontális vetületét. Jelöljük az M" = l" ∩ f 0α pontot. AM óta || π 2, akkor [A" M"] == |AM| = d.

A vizsgált példából jól látható, hogy a probléma milyen egyszerűen megoldható, ha a sík egy kiálló pozíciót foglal el. Ezért ha a forrásadatokban általános helyzetsíkot adunk meg, akkor a megoldáshoz való továbblépés előtt a síkot bármely vetítési síkra merőleges pozícióba kell mozgatni.

2. PÉLDA Határozza meg a K pont és a ΔАВС által meghatározott sík távolságát (271. ábra).

1. A ΔАВС síkot átvisszük a vetületi helyzetbe *. Ehhez az xπ 2 /π 1 rendszerből az x 1 π 3 /π 1-be lépünk: az új x 1 tengely irányát a háromszög vízszintes síkjának vízszintes vetületére merőlegesen választjuk meg.

2. Vetítsük az ΔABC-t egy új π 3 síkra (az ΔABC síkot a [ C " 1 B " 1 ]-ben π 3-ra vetítjük).

3. Vetítse ki a K pontot ugyanarra a síkra (K" → K" 1).

4. A K" 1 ponton keresztül meghúzzuk (K" 1 M" 1)⊥ a [C" 1 B" 1 ] szakaszt. A szükséges távolság d = |K" 1 M" 1 |

A probléma megoldását leegyszerűsíti, ha a síkot nyomvonalak határozzák meg, mivel nincs szükség szintvonalak vetületeinek rajzolására.

3. PÉLDA Határozza meg a K pont és az α sík távolságát, amelyet a pályák határoznak meg (272. ábra).

* A háromszög síkjának vetületi helyzetbe való áthelyezésének legracionálisabb módja a vetítési síkok cseréje, hiszen ebben az esetben elég csak egy segédvetületet megszerkeszteni.

MEGOLDÁS. A π 1 síkot helyettesítjük a π 3 síkkal, ehhez rajzolunk egy új x 1 ⊥ f 0α tengelyt. A h 0α-n megjelölünk egy tetszőleges 1" pontot, és meghatározzuk annak új vízszintes vetületét a π 3 (1" 1) síkon. Az X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) és 1" 1 pontokon keresztül h 0α 1 -et rajzolunk. Meghatározzuk a K → K" 1 pont új vízszintes vetületét. A K" 1 pontból leeresztjük a merőlegest h 0α 1 -re, és megjelöljük a metszéspontját h 0α 1 - M" 1 -vel. A K" 1 M" 1 szakasz hossza jelzi a szükséges távolságot.

2. Egyenes és sík távolságának meghatározása.

Az egyenes és a sík távolságát az egyenes tetszőleges pontjából a síkra ejtett merőleges szakasz hossza határozza meg (lásd 248. ábra).

Ezért az m egyenes és az α sík távolságának meghatározására vonatkozó probléma megoldása nem különbözik az 1. bekezdésben tárgyalt példáktól a pont és a sík távolságának meghatározására (lásd 270 ... 272. ábra). Pontnak bármely m egyeneshez tartozó pontot vehetünk.

3. A síkok közötti távolság meghatározása.

A síkok közötti távolságot az egyik síkon vett pontból a másik síkra ejtett merőleges szakasz mérete határozza meg.

Ebből a definícióból az következik, hogy az α és β síkok közötti távolság megállapításának problémáját megoldó algoritmus csak abban tér el egy hasonló algoritmustól, amely az m egyenes és az α sík távolságának meghatározására szolgál, csak abban az m egyenesben, hogy az α síkhoz kell tartoznia. , azaz az α és β síkok közötti távolság meghatározásához a következőket kell tenni:

1) vegyünk egy m egyenest az α síkban;

2) válasszunk egy tetszőleges A pontot az m egyenesen;

3) az A pontból engedjük le az l merőlegest a β síkra;

4) határozza meg az M pontot - az l merőleges találkozási pontját a β síkkal;

5) határozza meg a szegmens méretét.

A gyakorlatban célszerű más megoldási algoritmust használni, amely csak annyiban tér el a megadotttól, hogy az első lépés előtt a síkokat át kell vinni a vetítési pozícióba.

Ennek a további műveletnek az algoritmusba foglalása kivétel nélkül leegyszerűsíti az összes többi pont végrehajtását, ami végső soron egyszerűbb megoldáshoz vezet.

PÉLDA 1. Határozza meg az α és β síkok távolságát (273. ábra).

MEGOLDÁS. Az xπ 2 /π 1 rendszerből az x 1 π 1 /π 3 rendszerbe lépünk. Az új π 3 síkhoz képest az α és β síkok vetületi pozíciót foglalnak el, ezért az új f 0α 1 és f 0β 1 frontális nyomok közötti távolság a kívánt.

A mérnöki gyakorlatban gyakran meg kell oldani azt a problémát, hogy egy adott síkkal párhuzamos és onnan adott távolságban eltávolított síkot kell megépíteni. Az alábbi 2. példa egy ilyen probléma megoldását mutatja be.

2. PÉLDA Adott α (m || n) síkkal párhuzamos β sík vetületeit kell megszerkeszteni, ha ismert, hogy a köztük lévő távolság d (274. ábra).

1. Az α síkban rajzoljunk tetszőleges h (1, 3) vízszintes vonalakat és f (1,2) frontvonalakat.

2. Az 1. pontból visszaállítjuk az l merőlegest az α(l" ⊥ h", l" ⊥ f" síkra).

3. Az l merőlegesen egy tetszőleges A pontot jelölünk.

4. Határozza meg a szakasz hosszát - (a pozíció az ábrán az l egyenes metrikusan torzítatlan irányát jelzi).

5. Helyezze el a = d szakaszt az egyenesre (1"A 0) az 1. pontból".

6. Jelölje be az l" és l" vetületeken a B" és B" pontokat, amelyek megfelelnek a B 0 pontnak.

7. A B ponton keresztül megrajzoljuk a β (h 1 ∩ f 1) síkot. To β || α, meg kell felelni a h 1 || feltételnek h és f 1 || f.

4. A metsző egyenesek távolságának meghatározása.

A metsző egyenesek közötti távolságot az azon párhuzamos síkok közötti merőleges hossza határozza meg, amelyekhez a metsző egyenesek tartoznak.

Az α és β egymással párhuzamos síkok megrajzolásához az egymást metsző m és f egyeneseken keresztül, elegendő az A ponton (A ∈ m) egy p egyenest húzni, amely párhuzamos az f egyenessel, és a B ponton (B ∈ f) keresztül. az m egyenessel párhuzamos k egyenes. A metsző m és p, f és k egyenesek a egymással párhuzamos α és β síkokat határozzák meg (lásd 248. ábra, e). Az α és β síkok közötti távolság egyenlő az m és f metszésvonalak szükséges távolságával.

A metsző egyenesek közötti távolság meghatározására egy másik mód is javasolható, amely abból áll, hogy az ortogonális vetületek transzformációjának valamilyen módszerével az egyik metsző egyenest a vetületi pozícióba helyezzük. Ebben az esetben az egyenes egyik vetülete ponttá degenerálódik. A keresztező egyenesek új vetületei (A" 2 pont és C" 2 D" 2 szakasz) közötti távolság a szükséges.

ábrán. A 275. ábra megoldást mutat az a és b metszésvonalak közötti távolság meghatározására, adott [AB] és [CD] szakaszon. A megoldást a következő sorrendben hajtjuk végre:

1. Vigyük át az egyik keresztezési egyenest (a) a π 3 síkkal párhuzamos helyzetbe; Ehhez lépjen az xπ 2 /π 1 vetületi síkok rendszeréből az új x 1 π 1 /π 3 -ba, az x 1 tengely párhuzamos az a egyenes vízszintes vetületével. Határozzuk meg: a" 1 [A" 1 B" 1 ] és b" 1.

2. A π 1 síkot a π 4 síkra cserélve lefordítjuk az egyenest

és a π 4 síkra merőleges a" 2 helyzetbe (az új x 2 tengely a" 1-re merőlegesen van megrajzolva).

3. Szerkesszük meg a b" 2 - [ C" 2 D" 2 ] egyenes új vízszintes vetületét.

4. Az A" 2 pont és a C" 2 D" 2 egyenes (szakasz (A" 2 M" 2 ]) távolsága (a szükséges.

Nem szabad megfeledkezni arról, hogy az egyik keresztező egyenesnek a vetületi helyzetbe való átvitele nem más, mint a párhuzamosság síkjainak átvitele, amelyekbe az a és b egyenesek bezárhatók, szintén a vetületi helyzetbe.

Valójában az a egyenest a π 4 síkra merőleges helyzetbe mozgatva biztosítjuk, hogy minden a vonalat tartalmazó sík merőleges legyen a π 4 síkra, beleértve az a és m egyenesek által meghatározott α síkot is (a ∩ m, m | |. b ). Ha most húzunk egy n egyenest, amely párhuzamos a-val és metsző b egyenessel, akkor megkapjuk a β síkot, amely a párhuzamosság második síkja, amely tartalmazza az a és b metsző egyeneseket. Mivel β || α, majd β ⊥ π 4 .

Legyen repülő . Rajzoljunk egy normált
koordináták origóján keresztül O. Legyen adott
– a normál által alkotott szögek koordináta tengelyekkel.
. Hadd – a normál szegmens hossza
amíg nem metszi a síkot. Feltételezve, hogy a normál irány koszinuszai ismertek , levezetjük a sík egyenletét .

Hadd
) egy tetszőleges pont a síkon. Az egységnyi normálvektornak vannak koordinátái. Keressük a vektor vetületét
normálra.

A lényeg óta M akkor a géphez tartozik

.

Ez egy adott sík egyenlete, ún Normál .

Távolság ponttól síkig

Legyen sík adott ,M*
- pont a térben, d – távolsága a síktól.

Meghatározás. Eltérés pontokat M* a repülőből a számot ( + d), Ha M* a sík másik oldalán fekszik, ahol a normál pozitív iránya mutat , és szám (- d), ha a pont a sík másik oldalán található:

.

Tétel. Engedd a repülőt normál egységgel normál egyenlettel megadva:

Hadd M*
– pont a térben Eltérés t. M* síkból a kifejezés adja meg

Bizonyíték. Vetítés t.
* normálal jelöljük K. Ponteltérés M* síkból egyenlő

.

Szabály. Megtalálni eltérés T. M* a síkból a t koordinátákat be kell cserélni a sík normál egyenletébe. M* . Egy pont és egy sík távolsága a .

Az általános síkegyenlet visszavezetése normál formára

Határozzuk meg ugyanazt a síkot két egyenlettel:

Általános egyenlet

Normál egyenlet.

Mivel mindkét egyenlet ugyanazt a síkot határozza meg, együtthatóik arányosak:

Nézzük négyzetre az első három egyenlőséget, és adjuk össze őket:

Innentől megtaláljuk – normalizáló tényező:

. (10)

A sík általános egyenletét egy normalizáló tényezővel megszorozva megkapjuk a sík normálegyenletét:

Példák a „Sík” témakörben felmerülő problémákra.

1. példa Hozd létre a sík egyenletét adott ponton áthaladva
(2,1,-1) és párhuzamos a síkkal.

Megoldás. Normál síkra :
. Mivel a síkok párhuzamosak, akkor a normál normál is a kívánt síkra . Egy adott ponton átmenő sík (3) egyenletét felhasználva megkapjuk a síkra az egyenlet:

Válasz:

2. példa A merőleges alapja az origóból egy síkra esett , ez a lényeg
. Keresse meg a sík egyenletét! .

Megoldás. Vektor
normális a repülőhöz . Pont M 0 a repülőhöz tartozik. Használhatja egy adott ponton áthaladó sík egyenletét (3):

Válasz:

3. példa Készítsen síkot , áthaladva a pontokon

és a síkra merőlegesen :.

Ezért egy bizonyos ideig M (x, y, z) a géphez tartozott , három vektor szükséges
egy síkban voltak:

=0.

Fel kell tárni a determinánst, és az eredményül kapott kifejezést az (1) általános egyenlet alakjába hozni.

4. példa Repülőgép általános egyenlettel megadva:

Ponteltérés keresése
adott síkról.

Megoldás. A sík egyenletét hozzuk normálformába.

,

.

Helyettesítsük be a pont koordinátáit a kapott normálegyenletbe M*.

.

Válasz:
.

5. példa A sík metszi a szakaszt?

Megoldás. Vágni ABátkelt a síkon, eltérések És a repülőből különböző jelekkel kell rendelkeznie:

.

6. példa. Három sík metszéspontja egy pontban.

.

A rendszer egyedi megoldással rendelkezik, ezért a három síknak egy közös pontja van.

7. példa. Két adott sík által alkotott kétszög felezőpontjainak megtalálása.

Hadd És - Valamilyen pont eltérése
az első és a második síkból.

Az egyik felezősíkon (amely a koordináták origójának szögének felel meg) ezek az eltérések nagyságukban és előjelükben egyenlők, a másikon pedig nagyságuk egyenlő, előjelük pedig ellentétes.

Ez az első felezősík egyenlete.

Ez a második felezősík egyenlete.

8. példa. Két adott pont helyének meghatározása És az e síkok által alkotott diéderszögekhez képest.

Hadd
. Határozza meg: vannak pontok az egyik, szomszédos vagy függőleges sarkokban És .

A). Ha És feküdjön az egyik oldalán és től , akkor ugyanabban a diéderszögben fekszenek.

b). Ha És feküdjön az egyik oldalán és különbözik attól , akkor a szomszédos sarkokban fekszenek.

V). Ha És ellentétes oldalán feküdjön És , akkor függőleges sarkokban fekszenek.

Koordinátarendszerek 3

Vonalak egy síkon 8

Elsőrendű sorok. Egyenesen egy repülőn. 10

Az egyenesek közötti szög 12

A 13. sor általános egyenlete

Hiányos elsőfokú 14. egyenlet

Egy egyenes egyenlete „szakaszokban” 14

Két egyenes egyenleteinek közös vizsgálata 15

Normál a 15. sorhoz

Két egyenes közötti szög 16

A 16. egyenes kanonikus egyenlete

Egy egyenes paraméteres egyenletei 17

Egy egyenes normál (normalizált) egyenlete 18

A pont és a 19. vonal közötti távolság

A 20-as vonalak ceruza egyenlete

Példák a „vonal egy síkban” témakörben felmerülő problémákra 22

A 24. vektorok vektorszorzata

A kereszttermék tulajdonságai 24

Geometriai tulajdonságok 24

Algebrai tulajdonságok 25

A vektorszorzat kifejezése a tényezők koordinátáin keresztül 26

Három vektor vegyes szorzata 28

A vegyes termék geometriai jelentése 28

Vegyes szorzat kifejezése vektorkoordinátákkal 29

Példák problémamegoldásra

Egy pont és egy sík távolságának megállapítása gyakori probléma, amely az analitikai geometria különböző problémáinak megoldása során merül fel, például ez a probléma két egymást metsző egyenes vagy egy egyenes és egy vele párhuzamos sík közötti távolság meghatározására redukálható; azt.

Tekintsük a $β$ síkot és egy $M_0$ pontot, amelynek koordinátái $(x_0;y_0; z_0)$ nem tartoznak a $β$ síkhoz.

1. definíció

Egy pont és egy sík közötti legrövidebb távolság az $M_0$ pontból a $β$ síkra húzott merőleges lesz.

1. ábra Egy pont és egy sík távolsága. Szerző24 - diákmunkák online cseréje

Az alábbiakban azt tárgyaljuk, hogyan találjuk meg a távolságot egy ponttól egy síkhoz a koordináta módszerrel.

Egy pont és egy sík távolságának meghatározására szolgáló koordináta módszer képletének levezetése a térben

A $M_0$ pontból a $β$ síkot a $M_1$ pontban $(x_1;y_1; z_1)$ koordinátákkal metsző merőleges egy olyan egyenesen fekszik, amelynek irányvektora a $β$ sík normálvektora. Ebben az esetben a $n$ egységvektor hossza eggyel egyenlő. Ennek megfelelően a $β$ és a $M_0$ pont közötti távolság:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, ahol $\vec(M_1M_0)$ a $β$ sík normálvektora, és $\vec( n)$ a vizsgált sík egységnyi normálvektora.

Abban az esetben, ha a sík egyenlete $Ax+ By + Cz + D=0$ általános formában van megadva, akkor a sík normálvektorának koordinátái a $\(A;B;C\) egyenlet együtthatói )$, és az egységnyi normálvektor ebben az esetben a következő egyenlettel kiszámított koordinátákkal rendelkezik:

$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

Most megtaláljuk a $\vec(M_1M_0)$ normálvektor koordinátáit:

$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\left(3\right)$.

A $D$ együtthatót a $β$ síkban lévő pont koordinátáival is kifejezzük:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Az egységnyi normálvektor koordinátái a $(2)$ egyenlőségből behelyettesíthetők a $β$ sík egyenletébe, ekkor kapjuk:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\left(4\right)$

A $(4)$ egyenlőség egy képlet egy pont és egy sík távolságának meghatározására a térben.

Általános algoritmus $M_0$ pont és egy sík távolságának meghatározására

1. Ha a sík egyenlete nem általános formában van megadva, először le kell redukálnia azt általános alakra.
2. Ezek után a sík általános egyenletéből ki kell fejezni egy adott sík normálvektorát a $M_0$ ponton és egy adott síkhoz tartozó ponton keresztül, ehhez a $(3)$ egyenlőséget kell használnunk. .
3. A következő lépés a sík egységnyi normálvektorának koordinátáinak keresése a $(2)$ képlet segítségével.
4. Végül elkezdhetjük keresni a pont és a sík távolságát, ezt a $\vec(n)$ és $\vec(M_1M_0)$ vektorok skaláris szorzatának kiszámításával lehet megtenni.