Elméleti anyag. Elméleti anyag Készítsen egyenletet egy felület érintőjére

Töltse le a Depositfiles oldalról

4. FELÜLETEK ELMÉLETE.

4.1 FELÜLETEGYENLETEK.

Megadható egy felület a háromdimenziós térben:

1) implicit módon: F ( x , y , z ) =0 (4.1)

2) kifejezetten: z = f ( x , y ) (4.2)

3) paraméteresen: (4.3)

vagy:
(4.3’)

hol vannak a skaláris argumentumok
néha görbe vonalú koordinátáknak nevezik. Például a gömb
célszerű gömbi koordinátákkal megadni:
.

4.2 ÉRINTŐSÍK ÉS A FELÜLET NORMÁLIS.

Ha egy egyenes a (4.1) felületen fekszik, akkor pontjainak koordinátái kielégítik a felületi egyenletet:

Ezt az identitást megkülönböztetve a következőket kapjuk:

(4.4)

vagy
(4.4 ’ )

a felület görbéjének minden pontjában. Így a gradiensvektor a felület nem szinguláris pontjaiban (amelyeknél a (4.5) függvény differenciálható és
) merőleges a felület bármely vonalának érintővektoraira, azaz normálvektorként használható az M pontban lévő érintősík egyenletének összeállításához 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) felület

(4.6)

és irányvektorként a normál egyenletben:

(4.7)

A felület explicit (4.2) specifikációja esetén az érintősík és a normál egyenlete a következőképpen alakul:

(4.8)

És
(4.9)

A felület parametrikus ábrázolásával (4.3) a vektorok
fekszenek az érintősíkban, és az érintősík egyenlete a következőképpen írható fel:

(4.10)

és vektorszorzatuk iránynormálvektornak tekinthető:

és a normál egyenlet így írható fel:

(4.11)

Ahol
— az M pontnak megfelelő paraméterértékek 0 .

A következőkben arra szorítkozunk, hogy csak olyan felületi pontokat vegyünk figyelembe, ahol a vektorok

nem egyenlő nullával és nem párhuzamos.

4.1. példa Hozzon létre egyenleteket az érintősíkra és a normálra az M pontban 0 (1,1,2) egy forgásparaboloid felületére
.

Megoldás: Mivel a paraboloid egyenlet explicit módon adott, ezért (4.8) és (4.9) szerint meg kell találnunk
az M pontban 0 :

, és az M 0 pontban
. Ekkor az érintősík egyenlete az M pontban A 0 a következő formában lesz:

2(x -1)+2(y -1)-(z-2)=0 vagy 2 x +2 y – z - 2=0, és a normál egyenlet
.

4.2. példa Készítsen egyenleteket az érintősíkra és a normálra a helikoid tetszőleges pontjában
, .

Megoldás. Itt ,

Érintősík egyenlet:

vagy

Normál egyenletek:

.

4.3 ELSŐ QUADRATIKUS FELÜLET FORMA.

Ha a felületet az egyenlet adja meg

majd a görbe
egyenlettel megadható
(4.12)

Sugárvektor differenciál
a görbe mentén, ami megfelel az M ponttól való elmozdulásnak 0 a legközelebbi M ponthoz egyenlő

(4.13)

Mert
az azonos elmozdulásnak megfelelő görbe ívének differenciálja), akkor

(4.14)

Ahol .

A (4.14) jobb oldalán lévő kifejezést a felület első másodfokú alakjának nevezik, és óriási szerepet játszik a felületek elméletében.

A differenciálművet integrálomds kezdve t 0 (az M pontnak felel meg 0 ) a t (megfelel az M pontnak), megkapjuk a görbe megfelelő szakaszának hosszát

(4.15)

Egy felület első másodfokú alakjának ismeretében nemcsak a hosszak, hanem a görbék közötti szögek is megtalálhatók.

Ha du , dv görbe vonalú koordináták differenciáljai, amelyek egy görbe mentén végtelenül kicsi elmozdulásnak felelnek meg, és
- másrészt figyelembe véve (4.13):

(4.16)

Képlet segítségével

(4.17)

az első másodfokú forma lehetővé teszi a régió területének kiszámítását
felületek.

4.3. példa Egy helikoidon keresse meg a spirál hosszát
két pont között.

Megoldás. Mert a helixen
, Azt . Keressük a lényeget
első másodfokú forma. Miután kijelölte ésv = t , formában kapjuk meg ennek a spirálnak az egyenletét. Négyzetes forma:

= - első másodfokú alak.

Itt . Ebben az esetben a (4.15) képletben
és ív hossza:

=

4.4 MÁSODIK QUADRATIKUS FELÜLET FORMA.

Jelöljük
- a felületre merőleges egységvektor
:

(4.18) . (4.23)

A felületen lévő vonalat görbületi vonalnak nevezzük, ha annak iránya minden pontban a fő irány.

4.6 GEODÉZIKAI VONALOK FELÜLETÉN.

Meghatározás 4.1 . Egy felületen lévő görbét geodetikusnak nevezzük, ha főnormálisa minden pontban, ahol a görbület nem nulla, egybeesik a normállal a felszínre.

A felület minden pontján bármely irányban áthalad, és csak egy geodetikus. Egy gömbön például a nagy körök geodetikusok.

Egy felületparaméterezést félgeodézikusnak nevezünk, ha a koordinátavonalak egyik családja geodetikus elemekből áll, a másik pedig arra merőleges. Például egy gömbön vannak meridiánok (geodézia) és párhuzamosok.

Egy kellően kis szakaszon lévő geodetikus a legrövidebb a hozzá közel álló, ugyanazokat a pontokat összekötő görbék közül.

A 2 változós z = f(x,y) függvény grafikonja az XOY síkra vetített felület a D függvény definíciós tartományába.
Vegye figyelembe a felületet σ , amelyet a z = f(x,y) egyenlet ad meg, ahol f(x,y) egy differenciálható függvény, és legyen M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) egy fix pont a σ felületen, azaz. z 0 = f(x 0 ,y 0). Célja. Az online számológépet úgy tervezték, hogy megtalálja érintő sík- és felületi normálegyenletek. A megoldás Word formátumban készül. Ha meg kell találnia egy görbe érintőjének egyenletét (y = f(x)), akkor ezt a szolgáltatást kell használnia.

A függvények bevitelének szabályai:

A függvények bevitelének szabályai:

A felület érintősíkja σ pontjában M 0 az a sík, amelyben a felületre rajzolt összes görbe érintői fekszenek σ ponton keresztül M 0 .
Az M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) pontban a z = f(x,y) egyenlettel meghatározott felület érintősíkjának egyenlete a következő:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

1. számú példa. A felületet az x 3 +5y egyenlet adja meg. Határozzuk meg a felület érintősíkjának egyenletét az M 0 (0;1) pontban!
Megoldás. Írjuk fel az érintőegyenleteket általános formában: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
A feladat feltételei szerint x 0 = 0, y 0 = 1, akkor z 0 = 5
Keressük meg a z = x^3+5*y függvény parciális deriváltjait:
f" x (x, y) = (x 3 + 5 y)" x = 3 x 2
f" x (x, y) = (x 3 + 5 y)" y = 5
Az M 0 (0,1) pontban a parciális deriváltak értékei:
f" x (0;1) = 0
f"y (0;1) = 5
A képlet segítségével megkapjuk a felület érintősíkjának egyenletét az M 0 pontban: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) vagy -5 y+z = 0

2. példa. A felület implicit módon y 2 -1/2*x 3 -8z. Határozzuk meg a felület érintősíkjának egyenletét az M 0 (1;0;1) pontban!
Megoldás. Egy függvény parciális deriváltjainak megkeresése. Mivel a függvény implicit módon van megadva, a származékokat a következő képlettel keressük:

A mi feladatunkhoz:

Akkor:

Az M 0 (1,0,1) pontban a parciális deriváltak értékei:
f" x (1; 0; 1) = -3/16
f"y (1;0;1) = 0
A képlet segítségével megkapjuk a felület érintősíkjának egyenletét az M 0 pontban: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) vagy 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Példa. Felület σ egyenlettel adott z= y/x + xy – 5x 3. Határozzuk meg a felület érintősíkjának és normáljának egyenletét! σ azon a ponton M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), hozzá tartozó, ha x 0 = –1, y 0 = 2.
Keressük meg a függvény parciális deriváltjait z= f(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x '( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f y' ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)' y = 1/x + x.
Pont M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) a felülethez tartozik σ , így ki tudjuk számolni z 0 , az adott helyett x 0 = –1 és y 0 = 2 a felületi egyenletbe:

z= y/x + xy – 5x 3

1. számú példa. Adott egy z=f(x,y) függvény és két A(x 0, y 0) és B(x 1, y 1) pont. Szükséges: 1) számítsa ki a függvény z 1 értékét a B pontban; 2) számítsa ki a függvény közelítő z 1 értékét a B pontban a függvény A pontban lévő z 0 értéke alapján, helyettesítve a függvény növekményét az A pontból B pontba való mozgáskor differenciálművel; 3) alkossunk egyenletet a z = f(x,y) felület érintősíkjára a C(x 0 ,y 0 ,z 0 pontban).
Megoldás.
Írjuk fel az érintőegyenleteket általános formában:
z - z 0 = f" x (x 0 , y 0 , z 0) (x - x 0) + f" y (x 0 , y 0 , z 0) (y - y 0)
A feladat feltételei szerint x 0 = 1, y 0 = 2, akkor z 0 = 25
Keressük meg a z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2 függvény parciális deriváltjait:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
Az M 0 (1,2) pontban a parciális deriváltak értékei:
f" x (1;2) = 26
f"y (1;2) = 36
A képlet segítségével megkapjuk az M 0 pontban lévő felület érintősíkjának egyenletét:
z - 25 = 26 (x - 1) + 36 (y - 2)
vagy
-26 x-36 y+z+73 = 0

2. példa. Írja fel a z = 2x 2 + y 2 elliptikus paraboloid érintősíkjának és normáljának egyenleteit az (1;-1;3) pontban!

1°. Az érintősík és a normál egyenlete a felület explicit meghatározása esetén.

Tekintsük két változó függvényének parciális deriváltjainak egyik geometriai alkalmazását. Legyen a függvény z = f (x ;y) ponton differenciálható (x 0; y 0) valamilyen területet DÎ R 2. Vágjuk le a felületet S, a funkciót reprezentálja z, repülőgépek x = x 0És y = y 0(11. ábra).

Repülőgép x = x 0 metszi a felületet S valamilyen vonal mentén z 0 (y ), melynek egyenletét az eredeti függvény kifejezésébe behelyettesítve kapjuk z ==f (x ;y) ahelyett x számok x 0. Pont M 0 (x 0;y 0,f (x 0;y 0)) görbéhez tartozik z 0 (y). A differenciálható funkció miatt z azon a ponton M 0 funkció z 0 (y) ponton is differenciálható y =y 0 . Ezért ezen a ponton a síkban x = x 0 a görbére z 0 (y)érintőt lehet húzni l 1.

Hasonló érvelés végrehajtása a szakaszra vonatkozóan nál nél = y 0,építsünk érintőt l 2 a görbére z 0 (x) azon a ponton x = x 0 - Közvetlen 1 1 És 1 2 nevű síkot határozzuk meg érintő sík a felszínre S azon a ponton M 0.

Készítsük el az egyenletét. Mivel a sík áthalad a ponton Mo(x 0;y 0;z 0), akkor az egyenlete úgy írható fel

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

ami így átírható:

z -z 0 = A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)

(az egyenletet -C-vel osztva és jelölve ).

Meg fogjuk találni A 1és B 1.

Érintőegyenletek 1 1 És 1 2 hasonló

illetőleg.

Tangens l 1 a síkban fekszik , ezért az összes pont koordinátái l 1 kielégíti az (1) egyenletet. Ez a tény leírható egy rendszer formájában

Ha ezt a rendszert B 1-re vonatkoztatjuk, azt kapjuk, hogy hasonló érvelést hajtunk végre az érintőre l 3, könnyű megállapítani, hogy .

Az értékek helyettesítése A 1és B 1-et az (1) egyenletbe, megkapjuk a kívánt érintősík egyenletet:

Ponton átmenő egyenes M 0és a felület ezen pontjában megszerkesztett érintősíkra merőlegesen annak nevezzük Normál.

Az egyenes és a sík merőlegességének feltételével könnyen előállíthatók a kanonikus normálegyenletek:

Megjegyzés. Az érintősík és a felület normális képleteit a felület közönséges, azaz nem speciális pontjaira kapjuk. Pont M 0 felületnek nevezzük különleges, ha ezen a ponton minden parciális derivált nulla vagy legalább az egyik nem létezik. Nem vesszük figyelembe az ilyen szempontokat.

Példa. Írjon fel egyenleteket az érintősíkra és a felület normális pontjára! M(2; -1; 1).

Megoldás. Keressük meg ennek a függvénynek a parciális deriváltjait és azok értékét az M pontban

Innentől kezdve a (2) és (3) képlet alkalmazásával a következőket kapjuk: z-1=2(x-2)+2(y+1) vagy 2х+2у-z-1=0- érintősík egyenlet és - normál egyenletek.

2°. Az érintősík és a normál egyenletei a felület implicit meghatározása esetén.

Ha a felület S egyenlettel adott F (x ; y;z)= 0, akkor a (2) és (3) egyenlet, figyelembe véve, hogy a parciális deriváltok egy implicit függvény deriváltjaként is megtalálhatók.

Normál sík egyenlet

1.

4.

Érintősík és felület normál

Legyen adott valamilyen felület, A a felület fix pontja, B pedig a felület változó pontja,

Nem nulla vektor

Az F (x, y, z) = 0 felületi pontot közönségesnek nevezzük, ha ebben a pontban

1. az F " x , F " y , F " z parciális deriváltak folytonosak;
2. (F " x ) 2 + ( F " y ) 2 + ( F " z ) 2 ≠ 0 .

Ha ezen feltételek közül legalább egy megsértődik, a felületi pontot hívjuk a felület speciális pontja .

1. tétel. Ha M(x 0 , y 0 , z 0 ) az F (x , y , z) = 0 felület közönséges pontja, akkor a vektor

normális erre a felületre az M pontban (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Bizonyíték könyvében I.M. Petrushko, L.A. Kuznyecova, V.I. Prohorenko, V.F. Safonova `` Felső matematika tantárgy: Integrálszámítás. Több változó függvényei. Differenciál egyenletek. M.: MPEI Kiadó, 2002 (128. o.).

Normális a felszínre egy ponton van egy egyenes, amelynek irányvektora normális a felületre ebben a pontban, és amely átmegy ezen a ponton.

Kánoni normál egyenletek formában ábrázolható

Érintő sík egy felülethez egy bizonyos pontban egy sík, amely ezen a ponton halad át merőlegesen a felület normáljára ebben a pontban.

Ebből a meghatározásból az következik érintősík egyenlet a következő formában van:

Ha a felület egy pontja szinguláris, akkor abban a pontban előfordulhat, hogy a felületre normális vektor nem létezik, és ezért a felületnek nem lehet normálsíkja és érintősíkja.

Két változó függvénye teljes differenciáljának geometriai jelentése

Legyen a z = f (x, y) függvény differenciálható az a (x 0, y 0) pontban. A grafikonja a felület

f (x, y) − z = 0.

Tegyük fel z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Ekkor az A (x 0, y 0, z 0) pont a felülethez tartozik.

Az F (x, y, z) = f (x, y) − z függvény parciális deriváltjai

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = - 1

és az A pontban (x 0 , y 0 , z 0 )

1. folyamatosak;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Következésképpen A az F (x, y, z) felület közönséges pontja, és ezen a ponton van a felület érintősíkja. A (3) szerint az érintősík egyenlet alakja:

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

Az érintősíkon egy pont függőleges elmozdulása az a (x 0, y 0) pontból egy tetszőleges p (x, y) pontba B Q (2. ábra). A kérelmek megfelelő növekménye a

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x - x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y - y 0 )

Itt a jobb oldalon van egy differenciálmű d z függvény z = f (x, y) az a (x 0, x 0) pontban. Ennélfogva,
d f (x 0, y 0). az f (x, y) függvény grafikonjára vonatkozó érintősík pont alkalmazásának növekménye az (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0) pontban).

A differenciál definíciójából az következik, hogy a függvény grafikonján látható P pont és az érintősíkon lévő Q pont közötti távolság nagyobb rendű infinitezim, mint a p pont és az a pont távolsága.