A diszkrét eloszlások figyelembe vett tulajdonsága jelentős nehézségeket okoz az ilyen eloszlások táblázatosítása és használata során, mivel lehetetlen pontosan fenntartani az eloszlási jellemzők tipikus számértékeit. Ez különösen igaz a nemparaméteres statisztikai tesztek kritikus értékeire és szignifikanciaszintjére (lásd alább), mivel ezeknek a teszteknek a statisztikáinak eloszlása ​​diszkrét.

A kvantilis sorrendnek nagy jelentősége van a statisztikában R= ½. Mediánnak (véletlenszerű változónak) hívják x vagy elosztási funkciója F(x))és ki van jelölve Én (X). A geometriában létezik a „medián” fogalma - egy egyenes vonal, amely áthalad a háromszög csúcsán, és felosztja annak ellenkező oldalát. A matematikai statisztikában a medián nem a háromszög oldalát, hanem egy valószínűségi változó eloszlását osztja felére: egyenlőség F(x 0,5)= 0,5 azt jelenti, hogy a bal oldali ütés valószínűsége x 0,5és a jobbra kerülés valószínűsége x 0,5(vagy közvetlenül x 0,5) egyenlő egymással és egyenlő ½, azaz.

P(x < x 0,5) = P(x > x 0,5) = ½.

A medián az eloszlás "középpontját" jelöli. Az egyik modern fogalom - a stabil statisztikai eljárások elmélete - szempontjából a medián jobban jellemzi a valószínűségi változót, mint a matematikai elvárás. A mérési eredmények ordinális skálán történő feldolgozásakor (lásd a méréselmélet fejezetet) a medián használható, de a matematikai elvárás nem.

Egy valószínűségi változó jellemzőinek, például a módusznak egyértelmű jelentése van - egy valószínűségi változó értéke (vagy értékei), amelyek megfelelnek a valószínűségi sűrűség helyi maximumának folytonos valószínűségi változó esetén vagy a valószínűség lokális maximumának egy diszkrét valószínűségi változó esetén. .

Ha x 0– sűrűségű valószínűségi változó módusa f(x), akkor a differenciálszámításból ismert.

Egy véletlen változónak sok módozata lehet. Tehát az egyenletes eloszlás érdekében (1) minden pont x oly módon, hogy a< x < b , a divat. Ez azonban kivétel. A döntéshozatal és más alkalmazott kutatás valószínűségi statisztikai módszereiben használt valószínűségi változók többsége egy móddal rendelkezik. Azokat a véletlen változókat, sűrűségeket, eloszlásokat, amelyeknek egy módusa van, unimodálisnak nevezzük.

A véges számú értékű diszkrét valószínűségi változókra vonatkozó matematikai elvárásokat az „Események és valószínűségek” című fejezet tárgyalja. Folyamatos valószínűségi változóhoz x várható érték M(X) kielégíti az egyenlőséget

amely az (5) képlet analógja az „Események és valószínűségek” fejezet 2. állításából.

5. példa. Egyenletes eloszlású valószínűségi változó elvárása x egyenlő

Az ebben a fejezetben tárgyalt valószínűségi változókra a matematikai elvárásoknak és szórásoknak mindazok a tulajdonságai igazak, amelyeket korábban a véges számú diszkrét valószínűségi változóknál figyelembe vettünk. Ezeket a tulajdonságokat azonban nem igazoljuk, mivel ezek matematikai finomságokba való elmélyülést igényelnek, ami nem szükséges a valószínűségi-statisztikai döntéshozatali módszerek megértéséhez és minősített alkalmazásához.

Megjegyzés. Ez a tankönyv szándékosan kerüli azokat a matematikai finomságokat, amelyek különösen a mérhető halmazok és a mérhető függvények, az események algebra stb. fogalmaihoz kapcsolódnak. Aki ezeket a fogalmakat el akarja sajátítani, annak a szakirodalomhoz, különösen az enciklopédiához kell fordulnia.

A három jellemző – matematikai várakozás, medián, módus – mindegyike a valószínűségi eloszlás „középpontját” írja le. A „középpont” fogalma többféleképpen definiálható – ebből fakad három különböző jellemző. Az eloszlások egy fontos osztályánál – a szimmetrikus unimodálisnál – azonban mindhárom jellemző egybeesik.

Eloszlási sűrűség f(x)– szimmetrikus eloszlás sűrűsége, ha van szám x 0 oly módon, hogy

. (3)

Az egyenlőség (3) azt jelenti, hogy a függvény grafikonja y = f(x) szimmetrikus a szimmetriaközépponton áthaladó függőleges vonalra x = x 0 . A (3)-ból az következik, hogy a szimmetrikus eloszlásfüggvény kielégíti az összefüggést

(4)

Egymódusú szimmetrikus eloszlás esetén a matematikai elvárás, a medián és a módusz egybeesik és egyenlő x 0.

A legfontosabb eset a 0 körüli szimmetria, azaz. x 0= 0. Ekkor (3) és (4) egyenlőség lesz

(6)

illetőleg. A fenti összefüggések azt mutatják, hogy nincs szükség mindenre szimmetrikus eloszlások táblázatba foglalására x, elég, ha asztalunk van x > x 0.

Vegyük észre a szimmetrikus eloszlások még egy tulajdonságát, amelyet folyamatosan alkalmaznak a valószínűségi-statisztikai döntéshozatali és egyéb alkalmazott kutatásokban. Folyamatos elosztási funkcióhoz

P(|X| < a) = P(-a < x < a) = F(a) – F(-a),

Ahol F– egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye x. Ha az elosztási függvény F szimmetrikus 0 körül, azaz. akkor a (6) képlet érvényes rá

P(|X| < a) = 2F(a) – 1.

Gyakran használják a kérdéses állítás másik megfogalmazását: ha

.

Ha a és egy eloszlásfüggvény rendjének, illetve (2) kvantilisei szimmetrikusak 0 körül, akkor a (6)-ból az következik, hogy

A pozíció jellemzőitől - matematikai elvárás, medián, módus - térjünk át a valószínűségi változó terjedésének jellemzőire x: szórás, szórás és variációs együttható v. A diszkrét valószínűségi változók diszperziójának definícióját és tulajdonságait az előző fejezetben tárgyaltuk. Folyamatos valószínűségi változókhoz

A szórás az eltérés négyzetgyökének nem negatív értéke:

A variációs együttható a szórás és a matematikai elvárás aránya:

A variációs együtthatót akkor alkalmazzuk, ha M(X)> 0. A szórást relatív mértékegységben méri, míg a szórást abszolút mértékegységben.

6. példa. Egyenletes eloszlású valószínűségi változóhoz x Határozzuk meg a szórást, a szórást és a variációs együtthatót. Az eltérés a következő:

A változó megváltoztatása lehetővé teszi a következők írását:

Ahol c = (b – a)/ 2. Ezért a szórás egyenlő és a variációs együttható:

Minden valószínűségi változóhoz x határozzon meg három további mennyiséget - középre Y, normalizált Vés adott U. Központosított valószínűségi változó Y az adott valószínűségi változó közötti különbség xés annak matematikai elvárása M(X), azok. Y = X – M(X). Központos valószínűségi változó elvárása Y egyenlő 0-val, a variancia pedig egy adott valószínűségi változó varianciája: M(Y) = 0, D(Y) = D(x). Elosztási funkció F Y(x) központú valószínűségi változó Y az elosztási függvényhez kapcsolódik F(x) eredeti valószínűségi változó x hányados:

F Y(x) = F(x + M(x)).

Ezen valószínűségi változók sűrűsége kielégíti az egyenlőséget

f Y(x) = f(x + M(x)).

Normalizált valószínűségi változó V egy adott valószínűségi változó aránya x szórására, azaz . Normalizált valószínűségi változó elvárása és varianciája V jellemzőkkel fejeződik ki xÍgy:

,

Ahol v– az eredeti valószínűségi változó variációs együtthatója x. Az elosztási függvényhez F V(x) és sűrűsége f V(x) normalizált valószínűségi változó V nekünk van:

Ahol F(x) – az eredeti valószínűségi változó eloszlásfüggvénye x, A f(x) – valószínűségi sűrűsége.

Csökkentett valószínűségi változó U egy központosított és normalizált valószínűségi változó:

.

Az adott valószínűségi változóhoz

A normalizált, központosított és redukált valószínűségi változókat folyamatosan használják mind az elméleti tanulmányokban, mind az algoritmusokban, szoftvertermékekben, szabályozási, műszaki és oktatási dokumentációkban. Különösen azért, mert az egyenlőség lehetővé teszik a módszerek indokolásának, a tételek és számítási képletek megfogalmazásának egyszerűsítését.

Valószínűségi változók és általánosabb transzformációk használatosak. Tehát, ha Y = fejsze + b, Ahol aÉs b– akkor néhány szám

7. példa. Ha akkor Y a redukált valószínűségi változó, és a (8) képletek (7) képletté alakulnak.

Minden valószínűségi változóval x sok valószínűségi változót társíthat Y, a képlet adja meg Y = fejsze + b különbözőnél a> 0 és b. Ezt a készletet ún léptékváltó család, amelyet a valószínűségi változó generál x. Elosztási funkciók F Y(x) az eloszlásfüggvény által generált eloszlások léptékeltolásos családját alkotják F(x). Ahelyett Y = fejsze + b gyakran használnak felvételt

Szám Val vel eltolási paraméternek és számnak nevezzük d- skála paraméter. A (9) képlet azt mutatja x– egy bizonyos mennyiség mérésének eredménye – belemegy U– azonos mennyiség mérésének eredménye, ha a mérés elejét a pontra mozgatjuk Val vel, majd használja az új mértékegységet, in d szor nagyobb, mint a régi.

A (9) léptékeltolásos család esetében X eloszlását standardnak nevezzük. A döntéshozatal valószínűségi statisztikai módszereiben és egyéb alkalmazott kutatásokban a standard normális eloszlást, a standard Weibull-Gnedenko eloszlást, a standard gamma eloszlást stb. használják (lásd alább).

A valószínűségi változók egyéb transzformációit is használják. Például egy pozitív valószínűségi változóhoz x fontolgatják Y= log x, ahol lg x– egy szám decimális logaritmusa x. Egyenlőségi lánc

F Y (x) = P( lg x< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

elosztási funkciókat köt össze xÉs Y.

Az adatok feldolgozásakor egy valószínűségi változó alábbi jellemzőit használjuk x mint a rend pillanatai q, azaz egy valószínűségi változó matematikai elvárásai Xq, q= 1, 2, ... Így maga a matematikai elvárás egy 1-es sorrendi momentum. Egy diszkrét valószínűségi változó esetén a sorrend pillanata q ként lehet kiszámítani

Folyamatos valószínűségi változóhoz

A rend pillanatai q a rend kezdeti pillanatainak is nevezik q, a kapcsolódó jellemzőkkel ellentétben - a rend központi mozzanatai q, képlet adja meg

Tehát a diszperzió a 2. sorrend központi momentuma.

Normál eloszlás és a centrális határérték tétel. A valószínűségi-statisztikai döntéshozatali módszerekben gyakran beszélünk normális eloszlásról. Néha megpróbálják a kezdeti adatok eloszlásának modellezésére használni (ezek a próbálkozások nem mindig indokoltak – lásd alább). Ennél is fontosabb, hogy sok adatfeldolgozási módszer azon a tényen alapul, hogy a számított értékek normálishoz közeli eloszlásúak.

Hadd x 1 , x 2 ,…, X n M(X i) = més eltérések D(X i) = , én = 1, 2,…, n,... Amint az előző fejezet eredményeiből következik,

Tekintsük a redukált valószínűségi változót U n az összegért , nevezetesen,

Ahogy a (7) képletből következik, M(U n) = 0, D(U n) = 1.

(azonos eloszlású kifejezések esetén). Hadd x 1 , x 2 ,…, X n, … – független, azonos eloszlású valószínűségi változók matematikai elvárásokkal M(X i) = més eltérések D(X i) = , én = 1, 2,…, n,... Akkor minden x-nek van határa

Ahol F(x)– standard normális eloszlás függvénye.

Bővebben a funkcióról F(x) – alább (olvasd el a „fi x-ből”, mert F- görög nagy "phi" betű).

A központi határtétel (CLT) azért kapta a nevét, mert ez a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika központi, leggyakrabban használt matematikai eredménye. A CLT története körülbelül 200 évig tart – 1730-tól, amikor is A. Moivre (1667-1754) angol matematikus publikálta a CLT-vel kapcsolatos első eredményt (lásd alább a Moivre-Laplace tételt), egészen a húszas-harmincas évekig. század, amikor Finn J.W. Lindeberg, francia Paul Levy (1886-1971), jugoszláv V. Feller (1906-1970), orosz A.Ya. Khinchin (1894-1959) és más tudósok szükséges és elégséges feltételeket szereztek a klasszikus központi határtétel érvényességéhez.

A vizsgált téma fejlesztése nem állt meg itt – olyan valószínűségi változókat vizsgáltak, amelyeknek nincs szórása, pl. akiknek

(B.V. Gnedenko akadémikus és mások), olyan helyzet, amikor a számoknál bonyolultabb természetű valószínűségi változókat (pontosabban véletlenszerű elemeket) összegeznek (Ju.V. Prohorov, A.A. Borovkov és munkatársaik) stb. .d.

Elosztási funkció F(x) az egyenlőség adja meg

,

hol van a standard normális eloszlás sűrűsége, amelynek meglehetősen összetett kifejezése van:

.

Itt =3,1415925… a geometriában ismert szám, amely egyenlő a kerület és az átmérő arányával, e = 2,718281828... - a természetes logaritmusok alapja (hogy emlékezzen erre a számra, vegye figyelembe, hogy 1828 L. N. Tolsztoj író születési éve). Amint az a matematikai elemzésből ismeretes,

A megfigyelési eredmények feldolgozása során a normál eloszlási függvényt nem a megadott képletekkel számítjuk ki, hanem speciális táblázatok vagy számítógépes programok segítségével találjuk meg. A legjobb orosz nyelvű „matematikai statisztikai táblázatokat” a Szovjetunió Tudományos Akadémia megfelelő tagjai állították össze, L.N. Bolsev és N. V. Szmirnov.

A standard normális eloszlás sűrűségének formája a matematikai elméletből következik, amelyet itt nem tudunk figyelembe venni, valamint a CLT bizonyítását.

Szemléltetésül az eloszlásfüggvény kis táblázatait mutatjuk be F(x)(2. táblázat) és kvantilisei (3. táblázat). Funkció F(x) szimmetrikus 0 körül, amit a 2-3. táblázat tükröz.

2. táblázat.

Szabványos normál eloszlási függvény.

Ha a valószínűségi változó x elosztó funkciója van F(x), Hogy M(X) = 0, D(x) = 1. Ezt az állítást a valószínűségszámítás a valószínűségi sűrűség alakja alapján bizonyítja. Ez összhangban van a redukált valószínűségi változó jellemzőire vonatkozó hasonló állítással U n, ami teljesen természetes, hiszen a CLT kimondja, hogy a kifejezések számának korlátlan növekedésével az eloszlásfüggvény U n a standard normál eloszlási függvényre hajlik F(x),és bármilyen x.

3. táblázat.

A standard normális eloszlás kvantilisei.

Vezessük be a normális eloszlások családjának fogalmát. Definíció szerint a normális eloszlás egy valószínűségi változó eloszlása x, amelyre a redukált valószínűségi változó eloszlása ​​az F(x). Amint a léptékeltolásos eloszláscsaládok általános tulajdonságaiból következik (lásd fent), a normális eloszlás egy valószínűségi változó eloszlása.

Ahol x– valószínűségi változó eloszlással F(X),és m = M(Y), = D(Y). Normál eloszlás eltolási paraméterekkel més a léptéket általában jelzik N(m, ) (néha a jelölést használják N(m, ) ).

A (8) szerint a normális eloszlás valószínűségi sűrűsége N(m, ) Van

A normál eloszlások skálaeltolódásos családot alkotnak. Ebben az esetben a skála paraméter az d= 1/ , és a shift paraméter c = - m/ .

A normális eloszlás harmadik és negyedik rendjének központi momentumaira a következő egyenlőségek érvényesek:

Ezek az egyenlőségek képezik a klasszikus módszerek alapját annak igazolására, hogy a megfigyelések normális eloszlást követnek. Manapság általában javasolt a normalitás tesztelése a kritérium segítségével W Shapiro - Wilka. A normalitásvizsgálat problémáját az alábbiakban tárgyaljuk.

Ha a valószínűségi változók X 1És X 2 elosztási funkciójuk van N(m 1 , 1) És N(m 2 , 2) ennek megfelelően akkor X 1+ X 2 disztribúciója van Ezért ha a valószínűségi változók x 1 , x 2 ,…, X n N(m, ) , akkor a számtani átlaguk

disztribúciója van N(m, ) . A normális eloszlás ezen tulajdonságait folyamatosan alkalmazzák a különböző valószínűségszámítási és statisztikai döntéshozatali módszerekben, különösen a technológiai folyamatok statisztikai szabályozásában és a kvantitatív kritériumokon alapuló statisztikai átvétel-ellenőrzésben.

A normál eloszlás felhasználásával három olyan eloszlást definiálunk, amelyeket ma már gyakran használnak a statisztikai adatfeldolgozásban.

Eloszlás (khi - négyzet) – egy valószínűségi változó eloszlása

hol vannak a valószínűségi változók x 1 , x 2 ,…, X n függetlenek és azonos eloszlásúak N(0,1). Ebben az esetben a kifejezések száma, pl. n, a khi-négyzet eloszlás „szabadságfokainak száma”.

terjesztés t Student-féle t egy valószínűségi változó eloszlása

hol vannak a valószínűségi változók UÉs x független, U szabványos normál eloszlású N(0,1), és x– chi eloszlás – négyzet c n szabadsági fokokat. Ahol n a Student-eloszlás „szabadságfokainak száma”. Ezt az elosztást 1908-ban vezette be W. Gosset angol statisztikus, aki egy sörgyárban dolgozott. Ebben a gyárban valószínűségszámítási és statisztikai módszereket alkalmaztak a gazdasági és műszaki döntések meghozatalára, ezért a vezetése megtiltotta V. Gosset-nek, hogy saját neve alatt publikáljon tudományos cikkeket. Ily módon a V. Gosset által kidolgozott valószínűségi és statisztikai módszerek formájában megvédték az üzleti titkokat és a „know-how-t”. Lehetősége volt azonban „Diák” álnéven publikálni. A Gosset-Student története azt mutatja, hogy Nagy-Britanniában további száz éven át a vezetők tudatában voltak a valószínűségi-statisztikai döntéshozatali módszerek nagyobb gazdasági hatékonyságának.

A Fisher-eloszlás egy valószínűségi változó eloszlása

hol vannak a valószínűségi változók X 1És X 2 függetlenek és khi-négyzet eloszlásúak a szabadsági fokok számával k 1 És k 2 illetőleg. Ugyanakkor a pár (k 1 , k 2 ) – a Fisher-eloszlás „szabadságfokának” párja, nevezetesen, k 1 a számláló szabadságfokainak száma, és k 2 – a nevező szabadságfokainak száma. Az F valószínűségi változó eloszlása ​​a nagy angol statisztikusról, R. Fisherről (1890-1962) kapta a nevét, aki aktívan alkalmazta munkáiban.

A khi-négyzet kifejezései, a Student és Fisher eloszlásfüggvények, ezek sűrűsége és jellemzői, valamint táblázatok találhatók a szakirodalomban (lásd pl.).

Mint már említettük, a normális eloszlásokat manapság gyakran használják valószínűségi modellekben a különböző alkalmazott területeken. Mi az oka annak, hogy ez a kétparaméteres eloszláscsalád ennyire elterjedt? Ezt a következő tétel tisztázza.

Központi határérték tétel(eltérően elosztott kifejezésekre). Hadd x 1 , x 2 ,…, X n,… - független valószínűségi változók matematikai elvárásokkal M(x 1 ), M(x 2 ),…, M(x n), ... és eltérések D(x 1 ), D(x 2 ),…, D(x n), ... ill. Hadd

Ezután, ha bizonyos feltételek teljesülnek, amelyek biztosítják bármely kifejezés csekély hozzájárulását U n,

bárkinek x.

A szóban forgó feltételeket itt nem fogjuk megfogalmazni. Megtalálhatók a szakirodalomban (lásd például). "A CPT működési feltételeinek tisztázása a kiváló orosz tudósok, A. A. Markov (1857-1922) és különösen A. M. Ljapunov (1857-1918) érdeme."

A központi határtétel azt mutatja, hogy abban az esetben, ha egy mérés (megfigyelés) eredménye sok ok hatására alakul ki, amelyek mindegyike csak kis mértékben járul hozzá, és a teljes eredményt határozzuk meg. additív módon, azaz összeadással, akkor a mérési (megfigyelési) eredmény eloszlása ​​a normálhoz közeli.

Néha úgy gondolják, hogy ahhoz, hogy az eloszlás normális legyen, elegendő, ha a mérés (megfigyelés) eredménye x számos ok hatására alakul ki, amelyek mindegyikének van kis hatása. Ez rossz. Az számít, hogy ezek az okok hogyan működnek. Ha adalék, akkor x megközelítőleg normális eloszlású. Ha sokszorozva(vagyis az egyes okok cselekedeteit megsokszorozzák és nem adják össze), majd az eloszlást x közel nem a normálishoz, hanem az ún. logaritmikusan normális, azaz. Nem x, és a log X megközelítőleg normális eloszlású. Ha nincs okunk azt hinni, hogy a végeredmény kialakulásának e két mechanizmusa közül az egyik működik (vagy más, jól meghatározott mechanizmus), akkor az eloszlásról x semmi határozottat nem lehet mondani.

A fentiekből következik, hogy egy konkrét alkalmazott problémában a mérési eredmények (megfigyelések) normalitása általában nem állapítható meg általános megfontolások alapján, azt statisztikai szempontok alapján kell ellenőrizni. Vagy használjon nem paraméteres statisztikai módszereket, amelyek nem a mérési eredmények (megfigyelések) eloszlási függvényeinek egyik vagy másik parametrikus családhoz való tartozására vonatkozó feltevéseken alapulnak.

A döntéshozatal valószínűségi és statisztikai módszereiben használt folyamatos eloszlások. A normál eloszlások léptékeltolásos családján kívül számos más eloszláscsaládot is széles körben használnak - lognormális, exponenciális, Weibull-Gnedenko, gamma eloszlást. Nézzük ezeket a családokat.

Véletlenszerű érték x lognormális eloszlású, ha a valószínűségi változó Y= log x normál eloszlású. Akkor Z= log x = 2,3026…Y normál eloszlású is N(a 1 ,σ 1), ahol ln x- természetes logaritmus x. A lognormális eloszlás sűrűsége:

A centrális határérték tételből az következik, hogy a szorzat x = x 1 x 2 … X n független pozitív valószínűségi változók X i, én = 1, 2,…, n, szabadlábon n lognormális eloszlással közelíthető. Konkrétan a bérek vagy jövedelmek képződésének multiplikatív modellje vezet ahhoz az ajánláshoz, hogy logaritmikusan normális törvényekkel közelítsék meg a bérek és a jövedelmek eloszlását. Oroszország számára ez az ajánlás indokoltnak bizonyult - a statisztikai adatok megerősítik.

Vannak más valószínűségi modellek is, amelyek a lognormális törvényhez vezetnek. Klasszikus példát adott egy ilyen modellre A. N. Kolmogorov, aki egy fizikai alapú posztulátumrendszerből arra a következtetésre jutott, hogy a részecskeméretek az érc, szén stb. golyósmalmokban lognormális eloszlásúak.

Térjünk át az eloszlások egy másik családjára, amelyet széles körben használnak a döntéshozatal és egyéb alkalmazott kutatások különböző valószínűségi-statisztikai módszereiben - az exponenciális eloszlások családjára. Kezdjük egy valószínűségi modellel, amely ilyen eloszlásokhoz vezet. Ehhez vegyük figyelembe az „események áramlását”, azaz. bizonyos időpontokban egymás után bekövetkező események sorozata. Példák: hívásfolyam egy telefonközpontban; berendezéshibák áramlása a technológiai láncban; termékhibák áramlása a terméktesztelés során; az ügyfelek kérelmeinek áramlása a bankfiókba; árukra és szolgáltatásokra jelentkező vásárlók áramlása stb. Az eseményfolyamok elméletében a centrális határérték tételhez hasonló tétel érvényesül, de ez nem a valószínűségi változók összegzésére vonatkozik, hanem az eseményfolyamok összegzésére. Egy nagy számú független áramlásból álló teljes áramlást tekintünk, amelyek egyike sem befolyásolja túlnyomórészt a teljes áramlást. Például egy telefonközpontba belépő hívásfolyam nagyszámú független hívásfolyamból áll, amelyek egyéni előfizetőktől származnak. Bebizonyosodott, hogy abban az esetben, ha az áramlások jellemzői nem függnek az időtől, a teljes áramlást egy számmal - az áramlás intenzitásával - írja le. A teljes áramláshoz vegyük figyelembe a valószínűségi változót x- az egymást követő események közötti időintervallum hossza. Eloszlási függvénye a formája

(10)

Ezt az eloszlást exponenciális eloszlásnak nevezzük, mert a (10) képlet magában foglalja az exponenciális függvényt e -λ x. Az 1/λ érték skálaparaméter. Néha egy shift paramétert is bevezetnek Val vel, egy valószínűségi változó eloszlását exponenciálisnak nevezzük X + s, ahol az elosztás x a (10) képlet adja meg.

Az exponenciális eloszlások egy speciális esete az ún. Weibull - Gnedenko disztribúciók. Nevét V. Weibull mérnök nevéről kapták, aki bevezette ezeket az eloszlásokat a kifáradási tesztek eredményeinek elemzésének gyakorlatába, és B. V. Gnedenko matematikus (1912-1995) nevéről, aki az ilyen eloszlásokat határértékként kapta, amikor tanulmányozta a maximális eloszlást. a vizsgálati eredményeket. Hadd x- egy termék, komplex rendszer, elem (azaz erőforrás, működési idő határállapotig stb.) működési idejét, egy vállalkozás működési idejét vagy egy élőlény életét stb. jellemző valószínűségi változó. A hiba intenzitása fontos szerepet játszik

(11)

Ahol F(x) És f(x) - egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye és sűrűsége x.

Ismertesse a meghibásodási arány tipikus viselkedését. A teljes időintervallum három időszakra osztható. Az elsőn a funkció λ(x) magas értékei és egyértelmű csökkenési tendenciája van (leggyakrabban monoton csökken). Ez azzal magyarázható, hogy a szóban forgó termék egységek jelen vannak a tételben, nyilvánvaló és rejtett hibákkal, amelyek e termékegységek viszonylag gyors meghibásodásához vezetnek. Az első időszakot „betörési periódusnak” (vagy „betörésnek”) nevezik. A jótállási idő általában erre vonatkozik.

Ezután következik a normál működés időszaka, amelyet megközelítőleg állandó és viszonylag alacsony meghibásodási arány jellemez. A meghibásodások jellege ebben az időszakban hirtelen fellépő (balesetek, kezelőszemélyzet hibái stb.), és nem függ a termékegység működési időtartamától.

Végül az utolsó működési időszak az öregedés és a kopás időszaka. Ebben az időszakban a meghibásodások természete az anyagok visszafordíthatatlan fizikai, mechanikai és kémiai változásai, amelyek a termékegység minőségének fokozatos romlásához és végső meghibásodásához vezetnek.

Minden időszaknak megvan a maga típusú funkciója λ(x). Tekintsük a hatalmi függőségek osztályát

λ(x) = λ 0bx b -1 , (12)

Ahol λ 0 > 0 és b> 0 - néhány numerikus paraméter. Értékek b < 1, b= 0 és b> 1 megfelel a meghibásodási arány típusának a bejáratás, a normál működés és az öregedés időszakában.

Kapcsolat (11) adott hibaarány mellett λ(x)- differenciálegyenlet egy függvényhez F(x). A differenciálegyenletek elméletéből az következik

(13)

A (12)-t (13) behelyettesítve azt kapjuk, hogy

(14)

A (14) képlet által adott eloszlást Weibull-Gnedenko eloszlásnak nevezzük. Mert a

akkor a (14) képletből az következik, hogy a mennyiség A, amelyet a (15) képlet ad meg, egy skálaparaméter. Néha egy shift paramétert is bevezetnek, pl. A Weibull-Gnedenko eloszlásfüggvényeket nevezzük F(x - c), Ahol F(x) a (14) képlet adja meg valamilyen λ 0 és b.

A Weibull-Gnedenko eloszlássűrűség alakja

(16)

Ahol a> 0 - skála paraméter, b> 0 - űrlapparaméter, Val vel- shift paraméter. Ebben az esetben a paraméter A a (16) képletből a paraméterhez van társítva λ 0 a (14) képletből a (15) képletben megadott összefüggés szerint.

Az exponenciális eloszlás a Weibull-Gnedenko eloszlás egy nagyon speciális esete, amely megfelel az alakparaméter értékének. b = 1.

A Weibull-Gnedenko eloszlást olyan helyzetek valószínűségi modelljeinek felépítésére is használják, amelyekben egy objektum viselkedését a „leggyengébb láncszem” határozza meg. Van egy analógia a lánccal, amelynek biztonságát a legkevésbé erős láncszem határozza meg. Más szóval, hagyjuk x 1 , x 2 ,…, X n- független, azonos eloszlású valószínűségi változók,

X(1)=min( X 1, X 2,…, X n), X(n)=max( X 1, X 2,…, X n).

Számos alkalmazott problémában fontos szerepet játszanak x(1) És x(n) különösen bizonyos értékek maximális lehetséges értékeinek ("rekordoknak") tanulmányozásakor, például biztosítási kifizetések vagy kereskedelmi kockázatok miatti veszteségek, az acél rugalmassági és tartóssági határainak, számos megbízhatósági jellemző stb. . Megmutattuk, hogy nagy n esetén az eloszlások x(1) És x(n) , általában jól leírják a Weibull-Gnedenko eloszlások. Alapvető hozzájárulás az eloszlások vizsgálatához x(1) És x(n) közreműködött a szovjet matematikus B. V. Gnedenko. V. Weibull, E. Gumbel, V. B. munkái a közgazdaságtan, menedzsment, technológia és egyéb területeken elért eredmények felhasználására irányulnak. Nevzorova, E.M. Kudlaev és sok más szakember.

Térjünk át a gamma-eloszlások családjára. Széles körben használják a közgazdaságtanban és a menedzsmentben, a megbízhatóság és a tesztelés elméletében és gyakorlatában, a technológia különböző területein, a meteorológiában stb. Különösen sok helyzetben a gamma-eloszlás olyan mennyiségektől függ, mint a termék teljes élettartama, a vezetőképes porrészecskék láncának hossza, az az idő, amikor a termék eléri a határállapotot a korrózió során, az üzemidő k- az elutasítás, k= 1, 2, … stb. A krónikus betegségben szenvedő betegek várható élettartama és a kezelés során a hatás eléréséhez szükséges idő bizonyos esetekben gamma eloszlású. Ez az eloszlás a legmegfelelőbb a kereslet leírására a készletgazdálkodás (logisztika) közgazdasági és matematikai modelljeiben.

A gamma-eloszlási sűrűség alakja

(17)

A (17) képletben a valószínűségi sűrűséget három paraméter határozza meg a, b, c, Ahol a>0, b>0. Ahol a egy űrlap paraméter, b- skála paraméter és Val vel- shift paraméter. Tényező 1/Γ a) normalizálódik, bevezették

Itt Γ(a)- a matematikában használt speciális függvények egyike, az ún. „gammafüggvény”, amelyről a (17) képlettel megadott eloszlást nevezik,

Fixen A a (17) képlet a sűrűségű eloszlás által generált eloszlások léptékeltolásos családját határozza meg

(18)

A (18) alakú eloszlást standard gamma-eloszlásnak nevezzük. A (17) képletből kapjuk at b= 1 és Val vel= 0.

A gamma eloszlások speciális esete a A= 1 exponenciális eloszlások (val λ = 1/b). Természetessel AÉs Val vel Az =0 gamma eloszlásokat Erlang-eloszlásoknak nevezzük. K. A. Erlang (1878-1929) dán tudós, a Koppenhágai Telefontársaság alkalmazottja munkáiból, aki 1908-1922-ben tanult. megkezdődött a telefonhálózatok működése, a sorbanálláselmélet kialakulása. Ez az elmélet olyan rendszerek valószínűségi és statisztikai modellezésével foglalkozik, amelyekben kérések áramlását szolgálják ki az optimális döntések meghozatala érdekében. Az Erlang-eloszlásokat ugyanazokon az alkalmazási területeken használják, ahol az exponenciális eloszlásokat. Ez a következő matematikai tényen alapul: k független valószínűségi változó összege, amelyek exponenciálisan eloszlanak azonos paraméterekkel λ és Val vel, gamma-eloszlása ​​van alakparaméterrel a =k, skála paraméter b= 1/λ és eltolási paraméter kc. Nál nél Val vel= 0 kapjuk az Erlang eloszlást.

Ha a valószínűségi változó x gamma-eloszlása ​​van alakparaméterrel A oly módon, hogy d = 2 a- egész szám, b= 1 és Val vel= 0, majd 2 x khi-négyzet eloszlású d szabadsági fokokat.

Véletlenszerű érték x a gvmma eloszlással a következő jellemzőkkel rendelkezik:

Várható érték M(X) =ab + c,

Variancia D(x) = σ 2 = ab 2 ,

A variációs együttható

Aszimmetria

Felesleg

A normál eloszlás a gamma eloszlás szélsőséges esete. Pontosabban, legyen Z egy valószínűségi változó, amelynek standard gamma-eloszlása ​​van a (18) képlet alapján. Akkor

bármely valós számra x, Ahol F(x)- szabványos normál eloszlási függvény N(0,1).

Az alkalmazott kutatásban más parametrikus eloszláscsaládokat is alkalmaznak, amelyek közül a leghíresebb a Pearson-görberendszer, az Edgeworth és Charlier sorozat. Itt nem veszik figyelembe őket.

Diszkrét a valószínűségi és statisztikai döntéshozatali módszerekben használt eloszlások. A leggyakrabban használt három diszkrét eloszláscsalád - binomiális, hipergeometrikus és Poisson, valamint néhány más család - geometriai, negatív binomiális, multinomiális, negatív hipergeometrikus stb.

Mint már említettük, a binomiális eloszlás független kísérletekben fordul elő, amelyek mindegyikében valószínűséggel R esemény jelenik meg A. Ha a kísérletek teljes száma n adott, akkor a tesztek száma Y, amelyben az esemény megjelent A, binomiális eloszlású. Binomiális eloszlás esetén annak valószínűsége, hogy elfogadjuk valószínűségi változóként: Yértékeket y képlet határozza meg

A kombinációk száma n elemek által y, a kombinatorikából ismert. Mindenkinek y, kivéve 0, 1, 2, …, n, nekünk van P(Y= y)= 0. Binomiális eloszlás rögzített mintamérettel n paraméter határozza meg p, azaz a binomiális eloszlások egyparaméteres családot alkotnak. A mintavizsgálatok adatainak elemzésére használják őket, különösen a fogyasztói preferenciák tanulmányozására, a termékminőség szelektív ellenőrzésére az egylépcsős ellenőrzési tervek szerint, az egyének populációinak tesztelésekor demográfiai, szociológiai, orvosi, biológiai stb. .

Ha Y 1 És Y 2 - független binomiális valószínűségi változók azonos paraméterrel p 0 térfogatú mintákból meghatározva n 1 És n 2 ennek megfelelően akkor Y 1 + Y 2 - binomiális valószínűségi változó, amelynek eloszlása ​​(19) -val R = p 0 És n = n 1 + n 2 . Ez a megjegyzés kiterjeszti a binomiális eloszlás alkalmazhatóságát azáltal, hogy lehetővé teszi több tesztcsoport eredményeinek kombinálását, ha okkal feltételezhető, hogy ugyanaz a paraméter felel meg ezeknek a csoportoknak.

A binomiális eloszlás jellemzőit korábban számítottuk ki:

M(Y) = n.p., D(Y) = n.p.( 1- p).

Az "Események és valószínűségek" részben a nagy számok törvényét bizonyítjuk egy binomiális valószínűségi változóra:

bárkinek . A centrális határértéktétel segítségével a nagy számok törvénye finomítható, ha megadjuk, hogy mennyi Y/ n eltér R.

De Moivre-Laplace tétel. Bármilyen szám esetén a és b, a< b, nekünk van

Ahol F(x) a standard normális eloszlás függvénye 0 matematikai elvárással és 1 variancia mellett.

Ennek bizonyításához elegendő a reprezentációt használni Y az egyes tesztek eredményeinek megfelelő független valószínűségi változók összege, képletek formájában M(Y) És D(Y) és a centrális határérték tétel.

Ez a tétel erre az esetre vonatkozik R= ½-t A. Moivre (1667-1754) angol matematikus bizonyította 1730-ban. A fenti megfogalmazásban 1810-ben Pierre Simon Laplace (1749-1827) francia matematikus bizonyította.

A hipergeometrikus eloszlás az N térfogatú objektumok véges halmazának egy alternatív kritérium szerinti szelektív vezérlése során következik be. Minden vezérelt objektum vagy az attribútummal rendelkezik A, vagy nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. A hipergeometrikus eloszlásnak van egy valószínűségi változója Y, egyenlő az attribútummal rendelkező objektumok számával A véletlenszerű térfogatmintában n, Ahol n< N. Például szám Y hibás termékegységek véletlenszerű térfogatmintában n a tétel mennyiségétől N hipergeometrikus eloszlású, ha n< N. Egy másik példa a lottó. Hagyja a jelet A jegy a „nyertesnek lenni” jele. Legyen a jegyek teljes száma N, és néhány személy szerzett n tőlük. Ekkor az adott személy nyertes jegyeinek száma hipergeometrikus eloszlású.

Hipergeometrikus eloszlás esetén annak a valószínűsége, hogy egy Y valószínűségi változó elfogadja az y értéket, alakja

(20)

Ahol D– az attribútummal rendelkező objektumok száma A, a figyelembe vett kötetkészletben N. Ahol yértékeket a max(0, n - (N - D)) min( n, D), egyebek y a (20) képletben a valószínűség 0. Így a hipergeometrikus eloszlást három paraméter határozza meg - a sokaság térfogata N, objektumok száma D benne, a kérdéses tulajdonság birtokában A, és a minta mérete n.

Egyszerű véletlenszerű térfogat-mintavételezés n a teljes mennyiségből N egy véletlenszerű kiválasztás eredményeként kapott minta, amelyben a halmazok bármelyike n objektumok kijelölésének valószínűsége azonos. A válaszadók mintáinak (felmérések) vagy darabáru-egységeinek véletlenszerű kiválasztásának módszereit az oktatási, módszertani és szabályozási dokumentumok tárgyalják. Az egyik kiválasztási módszer a következő: az objektumok kijelölése egymásból történik, és minden lépésben a halmaz többi objektumának azonos esélye van a kiválasztásra. A szakirodalomban a „véletlen minta” és a „visszatérés nélküli véletlen minta” kifejezéseket is használják a vizsgált minták típusára.

Mivel a lakosság mennyisége (tétel) Nés minták náltalában ismertek, akkor a hipergeometriai eloszlás becsülendő paramétere az D. A termékminőség-menedzsment statisztikai módszereiben D– általában a hibás egységek száma egy tételben. Az eloszlási jellemző is érdekes D/ N– a hibák mértéke.

Hipergeometrikus eloszláshoz

A variancia kifejezés utolsó tényezője közel van 1-hez, ha N>10 n. Ha cserét végez p = D/ N, akkor a hipergeometriai eloszlás matematikai elvárásának és varianciájának kifejezései a binomiális eloszlás matematikai elvárásának és varianciájának kifejezéseivé alakulnak. Ez nem véletlen. Meg lehet mutatni, hogy

nál nél N>10 n, Ahol p = D/ N. A korlátozó arány érvényes

és ez a korlátozó reláció akkor használható, amikor N>10 n.

A harmadik széles körben használt diszkrét eloszlás a Poisson-eloszlás. Az Y valószínűségi változó Poisson-eloszlású, ha

,

ahol λ a Poisson-eloszlás paramétere, és P(Y= y)= 0 az összes többinél y(y=0 esetén 0! =1). Poisson-elosztáshoz

M(Y) = λ, D(Y) = λ.

Ez az eloszlás S. D. Poisson (1781-1840) francia matematikusról kapta a nevét, aki először 1837-ben szerezte meg. A Poisson-eloszlás a binomiális eloszlás határesete, amikor a valószínűség R az esemény megvalósítása kicsi, de a tesztek száma n nagyszerű, és n.p.= λ. Pontosabban a határreláció érvényes

Ezért a Poisson-eloszlást (a régi terminológiában „eloszlási törvény”) gyakran „ritka események törvényének” is nevezik.

A Poisson-eloszlás az eseményfolyam elméletből származik (lásd fent). Bebizonyosodott, hogy a legegyszerűbb, állandó Λ intenzitású áramlásnál az idő alatt bekövetkezett események (hívások) száma t, Poisson-eloszlása ​​λ = Λ paraméterrel t. Ezért annak a valószínűsége, hogy az idő alatt t esemény nem fog bekövetkezni, egyenlő e - Λ t, azaz az események közötti intervallum hosszának eloszlásfüggvénye exponenciális.

A Poisson-eloszlást fogyasztói minta-marketing felmérések eredményeinek elemzésére, a statisztikai átvétel-ellenőrzési tervek működési jellemzőinek kiszámítására használják kis hibaelfogadási szint esetén, a statisztikailag ellenőrzött meghibásodások számának leírására. az időegységre vetített technológiai folyamat, az egységnyi idő alatt beérkező „szolgáltatási igények” száma a sorban állási rendszerben, a balesetek és ritka betegségek statisztikai mintázata stb.

A diszkrét eloszlások egyéb parametrikus családjainak leírását és gyakorlati felhasználási lehetőségeit a szakirodalom figyelembe veszi.

Egyes esetekben, például az árak, a kibocsátási mennyiségek vagy a meghibásodások közötti teljes idő vizsgálatakor megbízhatósági problémák esetén, az eloszlási függvények bizonyos intervallumokban állandóak, amelyekbe a vizsgált valószínűségi változók értékei nem eshetnek.

Az előző számban bemutattuk az eloszlássorozatot, mint egy nem folytonos valószínűségi változó kimerítő jellemzőjét (eloszlási törvényét). Ez a jellemző azonban nem univerzális; csak nem folytonos valószínűségi változók esetén létezik. Könnyen belátható, hogy folytonos valószínűségi változóra ilyen karakterisztikát nem lehet megszerkeszteni. Valójában egy folytonos valószínűségi változónak végtelen számú lehetséges értéke van, amelyek teljesen kitöltenek egy bizonyos intervallumot (az úgynevezett „megszámlálható halmazt”). Lehetetlen olyan táblázatot létrehozni, amely felsorolja egy ilyen valószínűségi változó összes lehetséges értékét. Sőt, ahogy később látni fogjuk, egy folytonos valószínűségi változó minden egyes értékének általában nincs nullától eltérő valószínűsége. Következésképpen egy folytonos valószínűségi változó esetében nincs eloszlássorozat abban az értelemben, ahogyan nem folytonos változó esetén létezik. Egy valószínűségi változó lehetséges értékeinek különböző területei azonban még mindig nem egyformán valószínűek, és egy folytonos változó esetében létezik „valószínűségi eloszlás”, bár nem abban az értelemben, mint egy nem folytonos esetében.

Ennek a valószínűségi eloszlásnak a kvantitatív jellemzésére célszerű nem az esemény valószínűségét használni, hanem az esemény valószínűségét, ahol van valamilyen aktuális változó. Ennek az eseménynek a valószínűsége nyilvánvalóan attól függ, hogy van valamilyen függvénye. Ezt a függvényt egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük, és a következővel jelöljük:

. (5.2.1)

Az eloszlásfüggvényt néha kumulatív eloszlási függvénynek vagy kumulatív eloszlási törvénynek is nevezik.

Az eloszlásfüggvény a valószínűségi változó leguniverzálisabb jellemzője. Minden valószínűségi változóra létezik: nem folytonosra és folytonosra is. Az eloszlásfüggvény teljes mértékben jellemez egy valószínűségi változót valószínűségi szempontból, azaz. az elosztási törvény egyik formája.

Fogalmazzuk meg az eloszlásfüggvény néhány általános tulajdonságát.

1. Az eloszlásfüggvény az argumentumának nem csökkenő függvénye, azaz. nál nél .

2. Mínusz végtelennél az eloszlásfüggvény egyenlő nullával:.

3. Plusz végtelennél az eloszlásfüggvény egyenlő eggyel: .

Anélkül, hogy szigorúan bizonyítanánk ezeket a tulajdonságokat, vizuális geometriai interpretációval illusztráljuk őket. Ehhez egy valószínűségi változót fogunk az Ox tengelyén véletlenszerű pontnak tekinteni (5.2.1. ábra), amely a kísérlet eredményeként egy vagy másik pozícióba kerülhet. Ekkor az eloszlásfüggvény annak a valószínűsége, hogy a kísérlet eredményeként egy véletlen pont balra esik a ponttól.

Növeljük, azaz mozgatjuk a pontot jobbra az abszcissza tengely mentén. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerű pont balra esik, nem csökkenhet; ezért az eloszlásfüggvény nem csökkenhet a növekedéssel.

Ennek megbizonyosodásához a pontot a végtelenségig balra mozgatjuk az abszcissza mentén. Ebben az esetben egy véletlenszerű pont eltalálása balra a határban lehetetlen esemény lesz; Természetes azt hinni, hogy ennek az eseménynek a valószínűsége nullára hajlik, i.e. .

Hasonló módon a pontot korlátlanul jobbra mozgatva ügyelünk arra, hogy , mivel az esemény a limitben megbízhatóvá válik.

Az eloszlásfüggvény grafikonja általános esetben egy nem csökkenő függvény grafikonja (5.2.2. ábra), melynek értékei 0-tól indulnak és elérik az 1-et, és bizonyos pontokon a függvény ugrásai lehetnek (5.2.2. ábra). folytonossági hiányok).

Egy nem folytonos valószínűségi változó eloszlássorozatának ismeretében könnyen megszerkeszthető ennek a változónak az eloszlásfüggvénye. Igazán,

,

ahol az összegjel alatti egyenlőtlenség azt jelzi, hogy az összegzés minden olyan értékre vonatkozik, amelyek kisebbek, mint .

Amikor az aktuális változó áthalad a nem folytonos érték bármely lehetséges értékén, az eloszlási függvény hirtelen megváltozik, és az ugrás nagysága megegyezik ennek az értéknek a valószínűségével.

1. példa: Elvégzünk egy kísérletet, amelyben az esemény megjelenhet vagy nem. Az esemény valószínűsége 0,3. Véletlenszerű változó – egy esemény előfordulásának száma egy kísérletben (egy esemény jellemző valószínűségi változója). Szerkessze meg eloszlásfüggvényét!

Megoldás. Az értékeloszlási sorozat alakja a következő:

Szerkesszük meg az érték eloszlásfüggvényét:

Az eloszlásfüggvény grafikonja a ábrán látható. 5.2.3. A megszakítási pontokon a függvény a rajzon pontokkal jelölt értékeket veszi fel (a függvény bal oldalon folyamatos).

2. példa Az előző példa körülményei között 4 független kísérletet végzünk. Készítsen eloszlásfüggvényt egy esemény előfordulásának számához.

Megoldás. Jelöljük négy kísérletben az esemény előfordulásának számát. Ennek a mennyiségnek van eloszlási sorozata

Szerkesszük meg egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényét:

3) at ;

A gyakorlatban általában egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye egy olyan függvény, amely minden pontban folytonos, amint az az 1. ábrán látható. 5.2.6. Lehet azonban példákat konstruálni olyan valószínűségi változókra, amelyek lehetséges értékei folyamatosan kitöltenek egy bizonyos intervallumot, de az eloszlásfüggvény nem mindenhol folytonos, hanem bizonyos pontokon megszakadást szenved (5.2.7. ábra). .

Az ilyen valószínűségi változókat kevertnek nevezzük. A vegyes értékre példa a bomba által a célpontnak okozott megsemmisítési terület, amelynek pusztító hatásának sugara egyenlő R-vel (5.2.8. ábra).

Ennek a valószínűségi változónak az értékei folyamatosan töltik ki a 0-tól ig terjedő intervallumot, az I. és II. típusú bombaállásoknál, bizonyos véges valószínűséggel, és ezek az értékek az eloszlásfüggvény ugrásainak, míg a köztes értékeknek felelnek meg. (III. típusú pozíció) az eloszlásfüggvény folytonos. Egy másik példa a kevert valószínűségi változóra egy t időre tesztelt eszköz T hibamentes működési ideje. Ennek a valószínűségi változónak az eloszlásfüggvénye a t pont kivételével mindenhol folytonos.