Test forgatása rögzített tengely körül. Merev test fix tengely körüli forgó mozgása Anyagi pont forgó mozgása

MEGHATÁROZÁS: Merev test forgó mozgása olyan mozgást fogunk nevezni, amelyben a test minden pontja körben mozog, amelynek középpontjai ugyanazon az egyenesen vannak, ezt nevezzük forgástengelynek.

A forgás dinamikájának tanulmányozásához hozzáadjuk az ismert kinematikai mennyiségeket két mennyiség: a hatalom pillanata(M) és tehetetlenségi nyomaték(J).

1. Tapasztalatból ismert: a forgómozgás gyorsulása nemcsak a testre ható erő nagyságától függ, hanem attól is, hogy a forgástengely milyen távolságban van attól az egyenestől, amely mentén az erő hat. Ennek a körülménynek a jellemzésére egy fizikai mennyiséget ún erőpillanat.

Nézzük a legegyszerűbb esetet.

DEFINÍCIÓ: Az erő nyomatéka egy bizonyos pontra „O” a kifejezés által meghatározott vektormennyiség, ahol az „O” ponttól az erő alkalmazási pontjáig húzott sugárvektor.

A definícióból az következik, hogy ez egy axiális vektor. Irányát úgy választjuk meg, hogy a vektor „O” pont körüli forgása az erő irányában és a vektor jobbkezes rendszert alkosson. Az erőnyomaték modulusa egyenlő , ahol a a vektorok irányai és a szög, és l= r bűn a az „O” pontból arra az egyenesre ejtett merőleges hossza, amely mentén az erő hat (ún. az erő vállát az „O” ponthoz képest (4.2. ábra).

2. Kísérleti adatok azt mutatják, hogy a szöggyorsulás nagyságát nem csak a forgó test tömege, hanem a tömegnek a forgástengelyhez viszonyított eloszlása ​​is befolyásolja. Az ezt a körülményt figyelembe vevő mennyiséget ún tehetetlenségi nyomaték a forgástengelyhez képest.

DEFINÍCIÓ: Szigorúan véve tehetetlenségi nyomaték A testet egy bizonyos forgástengelyhez képest J értéknek nevezzük, amely egyenlő az elemi tömegek szorzatának egy adott tengelytől való távolságának négyzetével.

Az összegzést az összes elemi tömegre kell elvégezni, amelyre a testet felosztották. Figyelembe kell venni, hogy ez a mennyiség (J) forgástól függetlenül létezik (bár a tehetetlenségi nyomaték fogalmát a merev test forgásának figyelembevételekor vezették be).

Minden testnek, függetlenül attól, hogy nyugalomban van-e vagy forog, van egy bizonyos tehetetlenségi nyomatéka bármely tengelyhez képest, ahogyan a testnek is van tömege, függetlenül attól, hogy mozog-e vagy nyugalomban.

Figyelembe véve, hogy a tehetetlenségi nyomaték a következőképpen ábrázolható: . Ez az összefüggés közelítő, és minél kisebbek az elemi térfogatok és a megfelelő tömegelemek, annál pontosabb lesz. Következésképpen a tehetetlenségi nyomatékok megtalálásának feladata az integrációhoz vezet: . Itt az integráció a test teljes térfogatára kiterjed.

Írjuk fel néhány szabályos geometriai alakú test tehetetlenségi nyomatékát.

A tehetetlenségi nyomaték kiszámítása itt meglehetősen egyszerű, mert A testet homogénnek és szimmetrikusnak tételezzük fel, és a tehetetlenségi nyomatékot a szimmetriatengelyhez viszonyítva határozzuk meg.

A test tehetetlenségi nyomatékának bármely tengelyhez viszonyított meghatározásához Steiner tételét kell használni.

MEGHATÁROZÁS: J tehetetlenségi nyomaték tetszőleges tengely körül egyenlő a test tehetetlenségi középpontján átmenő tengelyhez viszonyított J c tehetetlenségi nyomaték összegével, valamint a test tömegének a tengelyek közötti távolság négyzetének szorzatával. 4.10).

A merev test fix tengely körüli forgó mozgása olyan mozgás, amelyben a testhez tartozó (vagy állandóan hozzátartozó) két pont mozdulatlan marad a mozgás során.(2.2. ábra) .

2.2. ábra

Rögzített pontokon való áthaladás AÉs BAN BEN az egyenest nevezzük forgástengely. Mivel a merev test pontjai közötti távolságnak változatlannak kell maradnia, nyilvánvaló, hogy a forgó mozgás során a tengelyhez tartozó összes pont mozdulatlan lesz, a többi pedig köröket ír le, amelyek síkjai merőlegesek a forgástengelyre. és a középpontok ezen a tengelyen helyezkednek el. A forgó test helyzetének meghatározásához azt a forgástengelyt húzzuk át, amelyre a tengely irányul Az, félsík І – fix és félsík ІІ magába a testbe ágyazva és vele együtt forogva. Ekkor a test helyzetét bármely pillanatban egyértelműen meghatározza a megfelelő előjellel bevett szög φ e síkok között, amelyeket mi úgy hívunk test elfordulási szöge. Figyelembe vesszük a szöget φ pozitív, ha késik egy rögzített síkról az óramutató járásával ellentétes irányban (a tengely pozitív végéről néző megfigyelő számára Az), az óramutató járásával megegyező irányban pedig negatív. Mérje meg a szöget φ Radiánban leszünk. Ahhoz, hogy egy test helyzetét egy adott pillanatban megtudjuk, ismernünk kell a szög függését φ időről t, azaz

Ez az egyenlet azt fejezi ki merev test fix tengely körüli forgási törvénye.

A merev test forgómozgásának fő kinematikai jellemzői a szögsebessége ω és szöggyorsulás ε.

9.2.1. Egy test szögsebessége és szöggyorsulása

A φ forgásszög időbeli változásának sebességét jellemző mennyiséget szögsebességnek nevezzük.

Ha egy idő alatt
a test szögben forog
, akkor a test számszerűen átlagos szögsebessége ez idő alatt az lesz
. A limitben:
kapunk

És így, egy test adott időpontban mért szögsebességének számértéke egyenlő a forgásszög időhöz viszonyított első deriváltjával.

Előírási szabály: Ha az óramutató járásával ellentétes irányban forog, ω> 0, és amikor az óramutató járásával megegyező irányba, akkor ω< 0.

vagy mivel a radián dimenzió nélküli mennyiség,
.

Az elméleti számításokban kényelmesebb a szögsebesség-vektor használata , amelynek modulusa egyenlő és amely a test forgástengelye mentén irányul abban az irányban, ahonnan a forgás az óramutató járásával ellentétes irányban látható. Ez a vektor azonnal meghatározza a szögsebesség nagyságát, a forgástengelyt és a tengely körüli forgásirányt.

Azt a mennyiséget, amely a szögsebesség időbeli változásának sebességét jellemzi, a test szöggyorsulásának nevezzük.

Ha egy idő alatt
a szögsebesség növekedése egyenlő
, akkor a reláció
, azaz egy forgó test időbeli átlagos gyorsulásának értékét határozza meg
.

Amikor törekszik
megkapjuk a pillanatnyi szöggyorsulás nagyságát t:

És így, egy test szöggyorsulásának számértéke egy adott időpontban megegyezik a test szögsebességének első deriváltjával vagy a test időbeli forgásszögének második deriváltjával.

Általában a mértékegységet használják vagy ami egyben
.

Ha a szögsebesség modulusa idővel növekszik, akkor a test forgását nevezzük felgyorsult, és ha csökken, - lassú Amikor az értékek ω És ε ugyanazok a jelek, akkor a forgás felgyorsul, ha eltérnek, akkor lelassul. A szögsebességgel analóg módon a szöggyorsulás vektorként is ábrázolható , a forgástengely mentén irányítva. Ahol

.

Ha egy test gyorsított irányban forog egybeesik , és az ellenkezője lassú forgással.

Ha egy test szögsebessége mozgás közben állandó marad ( ω= const), akkor a test forgását ún egyenruha.

Tól től
nekünk van
. Tehát figyelembe véve, hogy a kezdeti pillanatban
sarok
, és az integrálokat balra véve előtt , jobb oldalon pedig 0-tól t, végre megkapjuk

Egyenletes forgatással, mikor =0,
És
.

Az egyenletes forgás sebességét gyakran a percenkénti fordulatok száma határozza meg, ezt az értéket jelölve n fordulat Keressük az összefüggést n fordulatszám és ω 1/s. Egy fordulattal a test 2π-vel elfordul, és azzal n fordulatszám 2π-nél n; ez a fordulat 1 perc alatt megtörténik, i.e. t= 1 perc = 60 másodperc. Ebből következik, hogy

Ha egy test szöggyorsulása mozgása során állandó marad (ε = const), akkor a forgatást hívják egyformán változó.

Az idő kezdeti pillanatában t=0 szög
, és a szögsebesség
(- kezdeti szögsebesség).
;
=ε
. A bal oldal integrálása előtt , és a jobb oldali 0-tól t, megtaláljuk

Ennek a forgásnak az ω szögsebessége
. Ha ω és ε azonos előjelű, akkor a forgatás a következő lesz egyenletesen gyorsulés ha más - ugyanolyan lassú.

És Saveljeva.

Egy test előremozgása során (60. § E. M. Nikitin tankönyvében) minden pontja azonos pályán mozog, és minden adott pillanatban egyenlő sebességgel és azonos gyorsulással rendelkeznek.

Ezért egy test transzlációs mozgását bármely pont mozgása határozza meg, általában a súlypont mozgása.

Ha egy személygépkocsi (147. probléma) vagy egy dízelmozdony (141. probléma) mozgását vesszük figyelembe bármely problémában, akkor tulajdonképpen azok súlypontjainak mozgását vesszük figyelembe.

Egy test forgó mozgása (E.M. Nikitin, 61. §) nem azonosítható egyetlen pontjának mozgásával sem. Bármely forgó test (dízel lendkerék, villanymotor forgórésze, géporsó, ventilátorlapátok stb.) tengelye mozgás közben ugyanazt a helyet foglalja el a térben a környező álló testekhez képest.

Anyagi pont mozgása ill előre mozgás a testeket időtől függően jellemzik lineáris mennyiségek s (út, távolság), v (sebesség) és a (gyorsulás) a t és a n komponenseivel.

Forgó mozgás testek időtől függően t jellemzik szögértékek: φ (forgásszög radiánban), ω (szögsebesség rad/sec-ben) és ε (szöggyorsulás rad/sec-ben 2).

A test forgási mozgásának törvényét az egyenlet fejezi ki
φ = f(t).

Szögsebesség- egy test forgási sebességét jellemző mennyiséget általános esetben a forgásszög időhöz viszonyított deriváltjaként határozzuk meg
ω = dφ/dt = f" (t).

Szöggyorsulás- a szögsebesség változási sebességét jellemző mennyiséget a szögsebesség deriváltjaként definiáljuk
ε = dω/dt = f"" (t).

A test forgómozgásával kapcsolatos problémák megoldásának megkezdésekor szem előtt kell tartani, hogy a műszaki számításokban és feladatokban a szögeltolódást általában nem radiánban φ, hanem φ körüli fordulatokban fejezzük ki.

Ezért szükséges, hogy a fordulatszámról a szögelmozdulás radián mérésére térjünk át és fordítva.

Mivel egy teljes fordulat 2π radnak felel meg, akkor
φ = 2πφ körülbelül és φ körülbelül = φ/(2π).

A műszaki számításokban a szögsebességet nagyon gyakran percenkénti fordulatszámban (rpm) mérik, ezért világosan meg kell érteni, hogy ω rad/sec és n rpm ugyanazt a fogalmat fejezi ki - a test forgási sebessége (szögsebesség) , de különböző mértékegységekben - rad/sec-ben vagy rpm-ben.

Az egyik szögsebesség-egységről a másikra való átmenet a képletek szerint történik
ω = πn/30 és n = 30ω/π.

Egy test forgó mozgása során minden pontja körben mozog, amelynek középpontjai egy rögzített egyenesen (a forgó test tengelyén) helyezkednek el. A fejezetben megadott feladatok megoldása során nagyon fontos, hogy világosan megértsük a test forgási mozgását jellemző φ, ω és ε szögmennyiségek és a jellemző s, v, a t és an lineáris mennyiségek kapcsolatát. e test különböző pontjainak mozgása (205. ábra).

Ha R egy forgó test geometriai tengelyétől tetszőleges A pontig mért távolság (a 205. ábrán R = OA), akkor a φ - a test elfordulási szöge és az s - egy pont által megtett távolság közötti kapcsolat. a test ugyanabban az időben a következőképpen fejeződik ki:
s = φR.

A test szögsebessége és egy pont sebessége közötti összefüggést minden adott pillanatban az egyenlőség fejezi ki
v = ωR.

Egy pont érintőleges gyorsulása a szöggyorsulástól függ, és a képlet határozza meg
a t = εR.

Egy pont normál gyorsulása a test szögsebességétől függ, és az összefüggés határozza meg
a n = ω 2 R.

A fejezetben megadott feladat megoldása során világosan meg kell értenünk, hogy a forgás egy merev test mozgása, nem pedig egy pont. Egyetlen anyagi pont nem forog, hanem körben mozog – görbe vonalú mozgást végez.

33. § Egyenletes forgó mozgás

Ha a szögsebesség ω=const, akkor a forgó mozgást egyenletesnek nevezzük.

Az egyenletes forgási egyenletnek megvan a formája
φ = φ 0 + ωt.

Abban az esetben, ha a kezdeti forgásszög φ 0 =0,
φ = ωt.

Egyenletesen forgó test szögsebessége
ω = φ/t
így fejezhető ki:
ω = 2π/T,
ahol T a test forgási periódusa; φ=2π - forgásszög egy periódusra.

34. § Egységes forgó mozgás

A változó szögsebességű forgómozgást egyenetlennek nevezzük (lásd lent 35. §). Ha a szöggyorsulás ε=const, akkor a forgó mozgást hívjuk egyformán változó. Így a test egyenletes forgása a nem egyenletes forgómozgás speciális esete.

Az egyenletes forgás egyenlete
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
és az egyenlet, amely kifejezi egy test szögsebességét bármikor,
(2) ω = ω 0 + εt
egy test forgási egyenletes mozgásának alapképleteinek halmazát ábrázolja.

Ezek a képletek csak hat mennyiséget tartalmaznak: egy adott probléma három állandóját φ 0, ω 0 és ε, valamint három φ, ω és t változót. Ebből következően az egyes feladatok egyenletes forgási feltételének legalább négy meghatározott mennyiséget kell tartalmaznia.

Néhány feladat megoldásának kényelme érdekében az (1) és (2) egyenletekből további két segédképlet nyerhető.

Zárjuk ki az ε szöggyorsulást (1) és (2) közül:
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0) t/2.

Zárjuk ki a t időt (1) és (2) közül:
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

A nyugalmi állapotból kiinduló egyenletesen gyorsított forgás adott esetben φ 0 =0 és ω 0 =0. Ezért a fenti alap- és segédképletek a következő formában vannak:
(5) φ = εt 2/2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

35. § Egyenetlen forgó mozgás

Tekintsünk egy példát egy olyan probléma megoldására, amelyben egy test nem egyenletes forgómozgása van megadva.

A merev test mozgását forgásnak nevezzük, ha mozgás közben a test minden pontja, amely egy bizonyos egyenesen, az úgynevezett forgástengelyen helyezkedik el, mozdulatlan marad.(2.15. ábra).

Általában meghatározzák a test helyzetét a forgó mozgás során forgási szög test , amelyet a forgástengelyen áthaladó rögzített és mozgó sík közötti diéderszögként mérünk. Ezenkívül a mozgatható sík egy forgó testhez van csatlakoztatva.

Vegyünk figyelembe mozgó és fix koordináta rendszereket, amelyek origója a forgástengely egy tetszőleges O pontjába kerül. A mozgó és rögzített koordinátarendszerekben közös Óz tengely a forgástengely, a tengely mentén lesz irányítva. Ó a rögzített koordinátarendszert az Óz tengelyre merőlegesen irányítjuk úgy, hogy a rögzített síkban, a tengelyben legyen Ó 1 Irányítsuk a mozgó koordináta-rendszert az Oz tengelyre merőlegesen úgy, hogy az a mozgó síkban legyen (2.15. ábra).

Ha egy test metszetét a forgástengelyre merőleges síkkal tekintjük, akkor a forgásszög φ a rögzített tengely közötti szögként határozható meg Óés mozgatható tengely Ó 1, változatlanul egy forgó testhez társul (2.16. ábra).

A test forgásszögének vonatkoztatási iránya elfogadott φ az óramutató járásával ellentétes irányban pozitívnak tekinthető, ha az Óz tengely pozitív irányából nézzük.

Egyenlőség φ = φ(t), a szög változását írja le φ az időben merev test forgómozgásának törvényének vagy egyenletének nevezzük.

A merev test forgásszögének változásának sebességét és irányát az jellemzi szögsebesség. A szögsebesség abszolút értékét általában a görög ábécé betűivel jelölik ω (omega). A szögsebesség algebrai értékét általában jelöli. A szögsebesség algebrai értéke megegyezik a forgásszög első deriváltjával:

. (2.33)

A szögsebesség mértékegységei megegyeznek a szög egységeivel osztva az idő egységgel, például fok/perc, rad/h. Az SI rendszerben a szögsebesség mértékegysége rad/s, de gyakrabban ennek a mértékegységnek a neve 1/s.

Ha > 0, akkor a test az óramutató járásával ellentétes irányban forog, ha a forgástengelyhez igazodó koordinátatengely végéről nézzük.

Ha< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

A szögsebesség változásának sebességét és irányát a szöggyorsulás jellemzi. A szöggyorsulás abszolút értékét általában a görög ábécé e (epszilon) betűjével jelölik. A szöggyorsulás algebrai értékét általában jelöli. A szöggyorsulás algebrai értéke egyenlő a szögsebesség algebrai értékének időbeli első deriváltjával vagy a forgásszög második deriváltjával:

A szöggyorsulás mértékegységei megegyeznek a szög egységeivel osztva az időegység négyzetével. Például deg/s 2, rad/h 2. Az SI rendszerben a szöggyorsulás mértékegysége rad/s 2, de gyakrabban ennek a mértékegységnek a neve 1/s 2.

Ha a szögsebesség és a szöggyorsulás algebrai értékei azonos előjelűek, akkor a szögsebesség nagysága idővel növekszik, ha pedig eltérő, akkor csökken.

Ha a szögsebesség állandó ( ω = const), akkor azt szokás mondani, hogy a test forgása egyenletes. Ebben az esetben:

φ = t + φ 0, (2.35)

Ahol φ 0 - kezdeti elforgatási szög.

Ha a szöggyorsulás állandó (e = const), akkor azt szokás mondani, hogy a test forgása egyenletesen gyorsul (egyenletesen lassú). Ebben az esetben:

Ahol 0 - kezdeti szögsebesség.

Más esetekben a függőség megállapítására φ tól től És szükséges a (2.33), (2.34) kifejezések integrálása adott kezdeti feltételek mellett.

A rajzokon a test forgásirányát néha görbe nyíllal tüntetik fel (2.17. ábra).

A mechanikában gyakran a szögsebességet és a szöggyorsulást vektormennyiségnek tekintik És . Mindkét vektor a test forgástengelye mentén irányul. Sőt, a vektor a forgástengellyel egybeeső koordinátatengely irányát meghatározó egységvektorral egy irányba irányítva, ha >0, és fordítva, ha
A vektor irányát ugyanígy választjuk meg (2.18. ábra).

Egy test forgó mozgása során minden pontja (a forgástengelyen lévő pontok kivételével) egy pálya mentén mozog, amely egy kör, amelynek sugara megegyezik a ponttól a forgástengelyig mért legrövidebb távolsággal. 2.19).

Mivel a kör érintője bármely pontban 90°-os szöget zár be a sugárral, a forgó mozgásban lévő test pontjának sebességvektora a sugárra merőlegesen irányul, és a kör síkjában helyezkedik el, ami a a pont mozgásának pályája. A gyorsulás tangenciális komponense a sebességgel azonos egyenesre esik, a normál komponens pedig sugárirányban a kör közepe felé irányul. Ezért néha a forgómozgás során a gyorsulás tangenciális és normál összetevőit rendre hívják forgó és centripetális (axiális) alkatrészek (2.19. ábra)

Egy pont sebességének algebrai értékét a következő kifejezés határozza meg:

, (2.37)

ahol R = OM a pont és a forgástengely közötti legrövidebb távolság.

A gyorsulás érintőleges összetevőjének algebrai értékét a következő kifejezés határozza meg:

. (2.38)

A gyorsulás normálkomponensének modulusát a következő kifejezés határozza meg:

. (2.39)

Egy pont gyorsulási vektorát forgó mozgás közben a paralelogramma-szabály határozza meg az érintő és a normálkomponens geometriai összegeként. Ennek megfelelően a gyorsulási modulus a Pitagorasz-tétel segítségével határozható meg:

Ha a szögsebességet és a szöggyorsulást vektormennyiségként határozzuk meg , , akkor a sebességvektorok, a gyorsulás tangenciális és normálkomponensei a következő képletekkel határozhatók meg:

ahol a forgástengely egy tetszőleges pontjából az M pontba húzott sugárvektor (2.20. ábra).

Egy test forgómozgásával járó problémák megoldása általában nem okoz nehézséget. A (2.33)-(2.40) képletek segítségével könnyen meghatározhat bármilyen ismeretlen paramétert.

Bizonyos nehézségek merülnek fel a több, egymással összefüggő, forgó és transzlációs mozgást végző testből álló mechanizmusok tanulmányozásával kapcsolatos problémák megoldása során.

Az ilyen problémák megoldásának általános megközelítése az, hogy az egyik testről a másikra történő mozgás egy ponton - az érintési ponton (érintkezésen) keresztül történik. Ezenkívül az érintkező testek sebessége és tangenciális gyorsulási összetevői azonosak az érintkezési ponton. Az érintkezési pontban érintkező testek gyorsulásának normál összetevői különbözőek, a testek pontjainak pályájától függenek.

Az ilyen típusú feladatok megoldása során célszerű az adott körülményektől függően mind a 2.3. pontban megadott képleteket, mind a pont sebességének és gyorsulásának meghatározására szolgáló képleteket használni, amikor természetesnek adjuk meg a mozgását (2.7), (2.14). ) (2.16) vagy koordináta (2.3), (2.4), (2.10), (2.11) módszerek. Sőt, ha annak a testnek a mozgása, amelyhez a pont tartozik, forgó, akkor a pont pályája egy kör lesz. Ha a test mozgása egyenes vonalú transzlációs, akkor a pont pályája egyenes lesz.

2.4. példa. A test egy rögzített tengely körül forog. A test forgásszöge a törvény szerint változik φ = π t 3 boldog. A forgástengelytől OM = R = 0,5 m távolságra lévő pontra határozza meg a sebességet, az érintőt, a gyorsulás és a gyorsulás normál összetevőit az időpillanatban t 1= 0,5 s. Mutassa be ezeknek a vektoroknak az irányát a rajzon.

Tekintsük egy testnek a forgástengelyre merőleges O ponton átmenő sík metszetét (2.21. ábra). Ezen az ábrán az O pont a forgástengely és a vágási sík metszéspontja, pont M oÉs M 1- rendre az M pont kezdeti és aktuális helyzete. Az O és pontokon keresztül M o rajzoljon egy rögzített tengelyt Ó, valamint az O és pontokon keresztül M 1 - mozgatható tengely Ó 1. A tengelyek közötti szög egyenlő lesz

Megtaláljuk a test szögsebességének változásának törvényét, ha megkülönböztetjük a forgásszög változásának törvényét:

Ebben a pillanatban t 1 a szögsebesség egyenlő lesz

Megtaláljuk a test szöggyorsulásának változásának törvényét, ha megkülönböztetjük a szögsebesség változásának törvényét:

Ebben a pillanatban t 1 a szöggyorsulás egyenlő lesz:

1/s 2,

A sebességvektorok algebrai értékeit, a gyorsulás tangenciális komponensét, a gyorsulás normálkomponensének modulusát és a gyorsulási modulust a (2.37), (2.38), (2.39), (2.40) képletekkel találjuk meg:

M/s 2 ;

m/s 2 .

A szög óta φ 1>0, akkor az Ox tengelyétől az óramutató járásával ellentétes irányba mozgatjuk. És azóta > 0, majd a vektorok a sugárra merőlegesen lesz irányítva OM 1 hogy az óramutató járásával ellentétes irányban forogjanak. Vektor sugár mentén lesz irányítva OM 1 a forgástengelyhez. Vektor Építsünk a paralelogramma szabály szerint vektorokra τ És .

2.5. példa. A terhelés egyenes vonalú transzlációs mozgásának adott egyenlete szerint 1 x = 0,6t 2 - 0,18 (m) határozza meg a sebességet, valamint a gyorsulás érintőleges, normál összetevőjét és a mechanizmus M pontjának gyorsulását az időpillanatban t 1, amikor az 1. terhelés által megtett út s = 0,2 m A feladat megoldása során feltételezzük, hogy a 2. és 3. testek érintkezési pontján nincs csúszás, R 2= 1,0 m, r 2 = 0,6 m, R3 = 0,5 m (2.22. ábra).

Az 1. terhelés egyenes vonalú transzlációs mozgásának törvénye koordináta formában van megadva. Határozzuk meg az idő pillanatát t 1, amelyre az 1 terhelés által megtett út egyenlő lesz s-vel

s = x(t l)-x(0),

honnan kapjuk:

0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.

Ennélfogva,

Miután a mozgás egyenletét az idő függvényében differenciáltuk, megkapjuk az 1 terhelés sebességének és gyorsulásának vetületeit az Ox tengelyre:

Kisasszony 2 ;

A pillanatban t = t 1 az 1 terhelés sebességének vetülete egyenlő lesz:

azaz nagyobb lesz nullánál, akárcsak az 1. terhelés gyorsulásának vetülete. Ezért az 1. terhelés a t pillanatban lesz 1 egyenletesen gyorsulva lefelé mozog, a 2 test egyenletesen gyorsulva fog forogni az óramutató járásával ellentétes irányban, és a 3 test az óramutató járásával megegyezően forog.

A 2. testet az 1. test forgatja egy pergődobra tekercselt meneten keresztül. Ezért az 1. test pontjainak, a menetnek és a 2. test pergőjének felületének sebességmoduljai egyenlőek, az 1. test pontjainak gyorsulási moduljai, a menet és a gyorsulás érintőleges összetevője A 2. test pergőjének felületének pontjai is egyenlőek lesznek, így a 2. test szögsebességének modulja a következőképpen definiálható:

A 2 test szöggyorsulási modulusa egyenlő lesz:

1/s 2 .

Határozzuk meg a sebesség moduljait és a gyorsulás tangenciális összetevőjét a 2. test K pontjára - a 2. és 3. testek érintkezési pontjára:

Kisasszony, Kisasszony 2

Mivel a 2 és 3 testek kölcsönös csúszás nélkül forognak, a sebesség nagysága és a K pont gyorsulásának érintőleges összetevője egyenlő lesz ezeknek a testeknek az érintkezési pontjával.

Rizs. 6.4

A test olyan mozgása, amelyben bármelyik két pontja (AÉs BAN BENábrán. 6.4) mozdulatlanok maradnak, amelyet egy rögzített tengely körüli forgásnak neveznek.

Megmutatható, hogy ebben az esetben a test bármely pontja, amely a pontokat összekötő egyenesen fekszik, mozdulatlan marad. Ó, V.

Az ezeken a pontokon áthaladó tengelyt ún forgástengely testek; pozitív irányát tetszőlegesen választjuk meg (6.4. ábra).

Bármilyen pontot M a forgástengelyen nem fekvő test egy kört ír le, amelynek középpontja a forgástengelyen helyezkedik el (6.4. ábra).

Testhelyzet rögzített forgástengellyel z(6.5. ábra) egyetlen skaláris paraméterrel írható le - elforgatási szög (r. Ez a forgástengelyen áthúzott két sík közötti szög: egy rögzített sík Nés mozgatható - R, mereven csatlakozik a testhez (6.5. ábra). A szög vonatkoztatási irányát pozitívnak vesszük a tengely végéről nézve az óramutató járásával megegyező mozgással ellentétes z.(6.5. ábrán ívnyíl jelöli). A szög SI mértékegysége 1 radián «57,3°. Az elforgatási szög funkcionális függése az időtől

teljesen meghatározza a test forgó mozgását egy rögzített tengely körül. Ezért a (6.3) egyenlőséget merev test fix tengely körüli forgási egyenletének nevezzük.

A test forgási sebességét a szögsebesség jellemzi val vel test, amelyet az elforgatási szög időhöz viszonyított deriváltjaként definiálunk

és mérete rad/s (vagy s"").

A forgó mozgás második kinematikai jellemzője a szöggyorsulás - a test szögsebességének deriváltja:

A szöggyorsulás mérete rad/s 2 (vagy Val vel~ 2).

Megjegyzés. Szimbólumok és? V ennek az előadásnak vannak kijelölve algebrai szögsebesség és szöggyorsulás értékei. Jeleik jelzik a forgás irányát és annak jellegét (gyorsított vagy lassított). Például ha val vel = f> 0, akkor a szög (R idővel növekszik, és ezért a test a vonatkoztatási irányban forog (R.

A forgó test egyes pontjainak sebessége és gyorsulása könnyen összefüggésbe hozható annak szögsebességével és szöggyorsulásával. Tekintsük egy tetszőleges pont mozgását M testek (6.6. ábra).

Mivel a pályája egy kör, ezért a pont ívkoordinátája.9 M miután a testet szögben elfordította akarat

Ahol h- távolság a ponttól M a forgástengelyhez (6.6. ábra).

Ennek az egyenlőségnek a két oldalát időben megkülönböztetve (5.14) és (6.4) figyelembevételével kapjuk:

ahol g g a pont sebességének vetülete a g érintőre, az ív.v referenciapontja és a szög irányába

Egy pont normál gyorsulásának nagysága M(5.20) és (6.6) szerint lesz

és tangenciális gyorsulásának vetítése az r érintőre az (5.19) és (6.5) szerint.

Teljes pontos gyorsulás modul M

v vektorok irányai, a, a„, a, arra az esetre, amikor f> 0 és f >ábrán 0 látható. 6.7.

Példa 1. A sebességváltó mechanizmus / és 2 kerekekből áll, amelyek egy ponton össze vannak kötve NAK NEK hogy amikor forognak, ne legyen kölcsönös csúszás. A kerék forgási egyenlete 1:

pozitív szög referencia iránya (Rábrán egy ívnyil jelzi. 6.8.

A mechanizmus méretei ismertek: G= 4 cm, R2= 6 cm, g 2 = 2 cm.

Keresse meg egy pont sebességét és gyorsulását M kerekek 2 az idő pillanatában /| = 2 s.

Megoldás. Amikor a kerék mechanizmus mozog 1 és 2 forog a pontokon átmenő rögzített tengelyek körül 0 És 0 2 ábra síkjára merőlegesen. 6.8. A kerék szögsebességének és szöggyorsulásának meghatározása én időpontban / = 2 s, a fenti mennyiségek (6.4) és (6.5) definícióival:

Negatív előjeleik azt mutatják, hogy pillanatnyilag t- 2 s kerék / az óramutató járásával megegyező irányban forog (ellentétben a szögleolvasás irányával (R) és ez a forgás felgyorsul. A kölcsönös kerékcsúszás hiánya miatt énés pontjaik 2 sebességvektora az érintkezési pontban NAK NEK egyenlőnek kell lennie. Fejezzük ki ennek a sebességnek a nagyságát a kerekek szögsebességei alapján (6.6):

Az utolsó egyenlőségből kifejezzük a 2. kerék szögsebességének modulját, és megkeressük az értékét a megadott 6 = 2 s időpillanathoz:

Sebesség iránya Nak nek(6.9. ábra) azt jelzi, hogy a 2. kerék az óramutató járásával ellentétes irányban forog, és ezért ó> 0. A (6.10) és az utolsó egyenlőtlenségből jól látható, hogy a kerekek szögsebességei állandó negatív tényezővel különböznek (- g1g 2): 2 =-vel g (/g 2). De akkor ezeknek a sebességeknek a származékainak - a kerekek szöggyorsulásainak - ugyanazzal a tényezővel kell különbözniük: e 2 =? ] (-g ] /g 1)=-2-(-4/2) = 4s~ 2.

Egy pont sebességének és gyorsulásának meghatározása M lépcsős kerék 2 a (6.6) - (6.9) képletekkel:

A v és, a, és d/ vektorok irányait a ábra mutatja. 6.9.