Az anyagi pont lendületének megváltoztatására vonatkozó tétel ennek következménye. Tételek egy pont és egy rendszer lendületének változásáról

Mozogjon egy anyagi pont az erő hatására F. Meg kell határozni ennek a pontnak a mozgását a mozgó rendszerhez képest Oxyz(lásd anyagi pont összetett mozgása), amely ismert módon mozog egy álló rendszerhez képest O 1 x 1 y 1 z 1 .

Dinamikai alapegyenlet stacionárius rendszerben

Írjuk fel egy pont abszolút gyorsulását a Coriolis-tétel segítségével

Ahol a abs– abszolút gyorsulás;

a rel– relatív gyorsulás;

a sáv– hordozható gyorsítás;

a mag– Coriolis gyorsulás.

Írjuk át (25) a (26) figyelembevételével!

Bemutatjuk a jelölést
- hordozható tehetetlenségi erő,
- Coriolis tehetetlenségi erő. Ekkor a (27) egyenlet felveszi a formát

A dinamika alapegyenlete a relatív mozgás tanulmányozására (28) ugyanúgy van felírva, mint az abszolút mozgásnál, csak az átviteli és Coriolis tehetetlenségi erőket kell hozzáadni a pontra ható erőkhöz.

Általános tételek egy anyagi pont dinamikájáról

Számos probléma megoldása során használhatja a Newton második törvénye alapján kapott előre elkészített nyersdarabokat. Ebben a részben az ilyen problémamegoldó módszereket kombináljuk.

Tétel egy anyagi pont lendületének változásáról

Bemutatjuk a következő dinamikus jellemzőket:

1. Anyagi pont lendülete– vektormennyiség egyenlő egy pont tömegének és sebességvektorának szorzatával

. (29)

2. Erőimpulzus

Elemi erőimpulzus– vektormennyiség egyenlő az erővektor és egy elemi időintervallum szorzatával

(30).

Akkor teljes impulzus

. (31)

Nál nél F=const kapunk S=Ft.

A véges időtartam alatti teljes impulzus csak két esetben számítható ki, amikor a pontra ható erő állandó vagy időfüggő. Más esetekben az erőt az idő függvényében kell kifejezni.

Az impulzus (29) és az impulzus (30) dimenzióinak egyenlősége lehetővé teszi, hogy kvantitatív kapcsolatot létesítsünk közöttük.

Tekintsük egy anyagi M pont mozgását tetszőleges erő hatására F tetszőleges pálya mentén.

RÓL RŐL UD:
. (32)

A (32) változókat szétválasztjuk és integráljuk

. (33)

Ennek eredményeként (31) figyelembe véve azt kapjuk, hogy

. (34)

A (34) egyenlet a következő tételt fejezi ki.

Tétel: Egy anyagi pont impulzusának egy bizonyos időtartam alatti változása megegyezik a pontra ható erő impulzusával ugyanabban az időintervallumban.

A feladatok megoldása során a (34) egyenletet ki kell vetíteni a koordináta tengelyekre

Ezt a tételt akkor célszerű használni, ha az adott és ismeretlen mennyiségek között van egy pont tömege, kezdeti és végsebessége, erői és mozgási ideje.

Tétel egy anyagi pont szögimpulzusának változásáról

M
egy anyagi pont lendületének pillanata a középponthoz viszonyítva egyenlő a pont és a váll lendületi modulusának szorzatával, azaz. a középponttól a sebességvektorral egybeeső egyenesig mért legrövidebb távolság (merőleges).

, (36)

. (37)

Az erőnyomaték (ok) és a lendület (hatás) nyomatéka közötti kapcsolatot a következő tétel állapítja meg.

Legyen egy adott tömeg M pontja m erő hatására mozog F.

,
,

, (38)

. (39)

Számítsuk ki (39) deriváltját

. (40)

A (40) és (38) kombinálásával végül megkapjuk

. (41)

A (41) egyenlet a következő tételt fejezi ki.

Tétel: Egy anyagi pont szögimpulzusvektorának valamely középponthoz viszonyított időbeli deriváltja megegyezik a pontra ható erő nyomatékával ugyanahhoz a középponthoz képest.

A feladatok megoldása során a (41) egyenletet ki kell vetíteni a koordináta tengelyekre

A (42) egyenletekben a lendület és az erő momentumait a koordinátatengelyekhez viszonyítva számítjuk ki.

A (41)-ből az következik a szögimpulzus megmaradásának törvénye (Kepler-törvény).

Ha egy anyagi pontra bármely középponthoz képest ható erőnyomaték nulla, akkor a pont e középponthoz viszonyított szögimpulzusa megtartja nagyságát és irányát.

Ha
, Azt
.

A tételt és a megmaradási törvényt a görbe vonalú mozgással kapcsolatos feladatokban használják, különösen központi erők hatására.

A tételben tárgyalt rendszer lehet bármilyen testből álló mechanikai rendszer.

A tétel kijelentése

Egy mechanikai rendszer mozgásának (impulzusának) mennyisége a rendszerben lévő összes test mozgásmennyiségének (impulzusainak) összegével egyenlő mennyiség. A rendszer testeire ható külső erők impulzusa a rendszer testeire ható összes külső erő impulzusainak összege.

( kg m/s)

A rendszerállapotok lendületének változásáról szóló tétel

A rendszer impulzusának bizonyos időn belüli változása megegyezik a rendszerre ugyanazon idő alatt ható külső erők impulzusával.

A rendszer impulzus-megmaradásának törvénye

Ha a rendszerre ható összes külső erő összege nulla, akkor a rendszer mozgásának nagysága (impulzusa) állandó mennyiség.

, megkapjuk a rendszer impulzusváltozására vonatkozó tétel kifejezését differenciális formában:

Miután a kapott egyenlőség mindkét oldalát egy önkényesen felvett idő alatt egyesítette néhány és megkapjuk a rendszer impulzusváltozására vonatkozó tétel kifejezését integrál formában:

A lendület megmaradásának törvénye (A lendület megmaradásának törvénye) kimondja, hogy a rendszer összes testének impulzusainak vektorösszege állandó érték, ha a rendszerre ható külső erők vektorösszege nullával egyenlő.

(impulzusnyomaték m 2 kg s −1)

Tétel a szögimpulzus középponthoz viszonyított változásáról

egy anyagi pont impulzusnyomatékának (kinetikus nyomatékának) bármely rögzített középponthoz viszonyított időbeli deriváltja megegyezik a pontra ható erő nyomatékával ugyanazon középponthoz képest.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Tétel a szögimpulzus tengelyhez viszonyított változásáról

egy anyagi pont lendületi nyomatékának (kinetikus nyomatékának) bármely rögzített tengelyhez viszonyított időbeli deriváltja megegyezik az erre a pontra ható erő nyomatékával ugyanazon tengelyhez képest.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Vegyünk egy anyagi pontot M tömeg m , erő hatására mozog F (3.1. ábra). Írjuk fel és konstruáljuk meg a szögimpulzus vektorát (kinetikus momentum) M 0 anyagpont a középponthoz képest O :

Különböztessük meg a szögimpulzus (kinetikus nyomaték) kifejezést k 0) idő szerint:

Mert dr /dt = V , akkor a vektorszorzat V ⊗ m ⋅ V (kollineáris vektorok V És m ⋅ V ) egyenlő nullával. Eközben d(m ⋅ V) /dt = F az anyagi pont lendületére vonatkozó tétel szerint. Ezért ezt kapjuk

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Ahol r ⊗F = M 0 (F ) – vektor-erőnyomaték F fix középponthoz képest O . Vektor k 0 ⊥ sík ( r , m ⊗V ), és a vektor M 0 (F ) ⊥ repülőgép ( r ,F ), végre megvan

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

A (3.4) egyenlet egy anyagi pont szögimpulzusának (szögimpulzusának) a középponthoz viszonyított változására vonatkozó tételt fejezi ki: egy anyagi pont impulzusnyomatékának (kinetikus nyomatékának) bármely rögzített középponthoz viszonyított időbeli deriváltja megegyezik a pontra ható erő nyomatékával ugyanazon középponthoz képest.

A (3.4) egyenlőséget a derékszögű koordináták tengelyeire vetítve megkapjuk

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

A (3.5) egyenlőségek egy anyagi pont szögimpulzusának (kinetikus impulzusának) a tengelyhez viszonyított változására vonatkozó tételt fejezik ki: egy anyagi pont lendületi nyomatékának (kinetikus nyomatékának) bármely rögzített tengelyhez viszonyított időbeli deriváltja megegyezik az erre a pontra ható erő nyomatékával ugyanazon tengelyhez képest.

Tekintsük a (3.4) és (3.5) tételekből következő következményeket.

Következmény 1. Tekintsük azt az esetet, amikor az erő F a pont teljes mozgása során áthalad az álló középponton O (centrális erő esete), i.e. Amikor M 0 (F ) = 0. Ekkor a (3.4) tételből az következik, hogy k 0 = const ,

azok. centrális erő esetén egy anyagi pont szögimpulzusa (kinetikai nyomatéka) ennek az erőnek a középpontjához viszonyítva nagyságrendileg és irányában állandó marad (3.2. ábra).

3.2. ábra

Az állapottól k 0 = const ebből következik, hogy egy mozgó pont pályája egy lapos görbe, amelynek síkja átmegy ennek az erőnek a középpontján.

Következmény 2. Hadd M z (F ) = 0, azaz az erő keresztezi a tengelyt z vagy azzal párhuzamosan. Ebben az esetben, amint az a (3.5) egyenlet harmadik részéből látható, k z = const ,

azok. ha egy pontra bármely rögzített tengelyhez képest ható erőnyomaték mindig nulla, akkor a pont e tengelyhez viszonyított szögnyomatéka (kinetikus nyomatéka) állandó marad.

Az impulzus változására vonatkozó tétel bizonyítása

Álljon a rendszer tömegű és gyorsulású anyagi pontokból. A rendszer testeire ható erőket két típusra osztjuk:

A külső erők olyan erők, amelyek a vizsgált rendszerben nem szereplő testekből hatnak. A számmal rendelkező anyagi pontra ható külső erők eredője én jelöljük

A belső erők azok az erők, amelyekkel a rendszer testei kölcsönhatásba lépnek egymással. Az erő, amellyel a ponton a szám én számmal ellátott pont érvényes k, fogjuk jelölni , és a befolyási erőt én pontra k pont - . Nyilván akkor mikor

A bevezetett jelöléssel Newton második törvényét írjuk az űrlapba minden vizsgált anyagi pontra

Tekintve, hogy és Newton második törvényének összes egyenletét összegezve a következőt kapjuk:

A kifejezés a rendszerben ható összes belső erő összegét jelenti. Newton harmadik törvénye szerint ebben az összegben minden erő egy olyan erőnek felel meg, amely ezért fennáll Mivel a teljes összeg ilyen párokból áll, maga az összeg nulla. Így tudunk írni

A rendszer impulzusának jelölésével azt kapjuk, hogy

Figyelembe véve a külső erők lendületének változását , megkapjuk a rendszer impulzusváltozására vonatkozó tétel kifejezését differenciális formában:

Így az utolsó kapott egyenletek mindegyike lehetővé teszi, hogy megállapítsuk: a rendszer impulzusának változása csak külső erők hatására következik be, és a belső erők ezt az értéket nem befolyásolhatják.

A kapott egyenlőség mindkét oldalát integrálva egy tetszőlegesen felvett időintervallumban néhány és között, megkapjuk a rendszer impulzusváltozására vonatkozó tétel kifejezését integrál formában:

ahol és a rendszer mozgásának értékei az időpillanatokban, illetve, illetve a külső erők impulzusa egy adott időtartam alatt. A korábban elmondottaknak és a bevezetett jelöléseknek megfelelően

Anyagi pont esetében a dinamika alaptörvénye a következőképpen ábrázolható

Ennek a bal oldali relációnak mindkét oldalát vektorosan megszorozva a sugárvektorral (3.9. ábra), azt kapjuk, hogy

(3.32)

Ennek a képletnek a jobb oldalán van az O ponthoz viszonyított erőnyomaték. A bal oldalt transzformáljuk egy vektorszorzat deriváltjának képletével

De párhuzamos vektorok vektorszorzataként. Ezek után megkapjuk

(3.33)

Egy pont impulzusnyomatékának bármely középponthoz viszonyított első deriváltja az időre vonatkoztatva egyenlő az ugyanahhoz a középponthoz viszonyított erőnyomatékkal.

3.12. ábra

; ;

Adott bemenő adatok esetén a rendszer szögimpulzusa

Tétel egy rendszer szögimpulzusának változásáról. Az eredő külső és belső erőket a rendszer minden pontjára alkalmazzuk. A rendszer minden pontjára alkalmazhatja a szögimpulzus változására vonatkozó tételt, például a (3.33) formában.

A rendszer összes pontját összegezve, és figyelembe véve, hogy a deriváltak összege egyenlő az összeg deriváltjával, megkapjuk

A rendszer kinetikai nyomatékának, valamint a külső és belső erők tulajdonságainak meghatározásával

Ezért az eredményül kapott összefüggést úgy ábrázolhatjuk

Egy rendszer tetszőleges ponthoz viszonyított impulzusimpulzusának első deriváltja megegyezik a rendszerre ható külső erők főnyomatékával ugyanahhoz a ponthoz képest.

3.3.5. Erő munkája

1) Egy erő elemi munkája megegyezik az erő skaláris szorzatával és az erő alkalmazási pontja vektorának differenciális sugarával (3.13. ábra)

3.13. ábra

A (3.36) kifejezés a következő ekvivalens alakokban is felírható

ahol az erő vetülete az erő alkalmazási pontjának sebességének irányára.

2) Erőhatás a végső elmozduláskor

Az erő elemi munkáját integrálva a következő kifejezéseket kapjuk az A pontból a B pontba való végső elmozdulás erőmunkájára

3) Állandó erő munkája

Ha az erő állandó, akkor a (3.38)-ból következik

Az állandó erő munkája nem függ a pálya alakjától, hanem csak az erő alkalmazási pontjának elmozdulásvektorától.

4) A súlyerő munkája

A súlyerőre (3.14. ábra) és a (3.39)-ből kapjuk

3.14. ábra

Ha a mozgás B pontból A pontba történik, akkor

Általában

A „+” jel az erőkifejtési pont lefelé, a „-” jel – felfelé mozgásának felel meg.

4) A rugalmas erő munkája

Legyen a rugó tengelye az x tengely mentén irányítva (3.15. ábra), és a rugó vége az 1-es pontból a 2-es pontba mozog, majd a (3.38)-ból kapjuk

Ha a rugó merevsége az Val vel, így aztán

A (3.41)

Ha a rugó vége 0 pontból 1 pontba mozog, akkor ebben a kifejezésben helyettesítjük a , -t, akkor a rugalmas erő munkája a következő alakot ölti

(3.42)

hol van a rugó megnyúlása.

3.15. ábra

5) A forgó testre ható erő munkája. A pillanat műve.

ábrán. A 3.16. ábra egy forgó testet mutat, amelyre tetszőleges erő hat. Forgás közben ennek az erőnek az alkalmazási pontja körben mozog.

A következőket tartalmazza n anyagi pontok. Válasszunk ki egy bizonyos pontot ebből a rendszerből Mj masszával m j. Mint ismeretes, külső és belső erők hatnak ezen a ponton.

Alkalmazzuk a lényegre Mj minden belső erő eredménye F j iés minden külső erő eredője F j e(2.2. ábra). Egy kiválasztott anyagi ponthoz Mj(szabadponthoz hasonlóan) felírjuk az impulzus változására vonatkozó tételt differenciál alakban (2.3):

Írjunk fel hasonló egyenleteket a mechanikai rendszer minden pontjára (j=1,2,3,…,n).

2.2. ábra

Adjuk össze az egészet darabonként n egyenletek:

∑d(m j × V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j × V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)

Itt ∑m j ×V j =Q– a mechanikai rendszer mozgásának mértéke;
∑F j e = R e– a mechanikai rendszerre ható összes külső erő fővektora;
∑F j i = R i =0– a rendszer belső erőinek fővektora (a belső erők tulajdonsága szerint egyenlő nullával).

Végül a mechanikai rendszerhez kapunk

dQ/dt = R e. (2.11)

A (2.11) kifejezés egy tétel egy mechanikai rendszer impulzusának változásáról differenciális formában (vektoros kifejezésben): egy mechanikai rendszer impulzusvektorának időbeli deriváltja egyenlő a rendszerre ható összes külső erő fővektorával.

A (2.11) vektoregyenlőséget a derékszögű koordinátatengelyekre vetítve kifejezéseket kapunk a mechanikai rendszer impulzusának változására vonatkozó tételhez koordináta (skaláris) kifejezésben:

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

azok. egy mechanikai rendszer lendületének bármely tengelyre vetítésének időbeli deriváltja megegyezik a mechanikai rendszerre ható összes külső erő fővektorának erre a tengelyre való vetületével.

A (2.12) egyenlőség mindkét oldalát megszorozva ezzel dt, a tételt egy másik differenciálformában kapjuk meg:

dQ = R e × dt = δS e, (2.13)

azok. egy mechanikai rendszer differenciálimpulzusa egyenlő a rendszerre ható összes külső erő fővektorának elemi impulzusával (az elemi impulzusok összegével)..

Integráló egyenlőség (2.13) az időn belül változik 0-ról t, egy tételt kapunk egy mechanikai rendszer impulzusának változásáról végső (integrális) formában (vektoros kifejezésben):

Q - Q 0 = S e,

azok. egy mechanikai rendszer impulzusának véges időn belüli változása megegyezik a rendszerre ugyanazon idő alatt ható összes külső erő fővektorának teljes impulzusával (az összes impulzus összegével)..

A (2.14) vektoregyenlőséget a derékszögű koordinátatengelyekre vetítve a tételhez kifejezéseket kapunk vetületekben (skaláris kifejezésben):

azok. a mechanikai rendszer impulzusának bármely tengelyre való vetületének véges idő alatt bekövetkező változása megegyezik az összes külső erő fővektorának teljes impulzusának (a teljes impulzusok összegének) ugyanazon tengelyre történő vetületével. ugyanabban az időszakban hat a mechanikai rendszerre.

A vizsgált (2.11) – (2.15) tételből a következő következmények következnek:

1. Ha R e = ∑F j e = 0, Azt Q = állandó– megvan a mechanikai rendszer impulzusvektorának megmaradásának törvénye: ha a fővektor Újra A mechanikai rendszerre ható összes külső erő nulla, akkor ennek a rendszernek a lendületvektora nagyságrendileg és irányukban állandó marad, és egyenlő a kezdeti értékével Q 0, azaz Q = Q 0.
2. Ha R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Azt Q x = állandó– van egy mechanikai rendszer impulzustengelyére való vetület fennmaradásának törvénye: ha a mechanikai rendszerre ható összes erő fővektorának bármely tengelyre vetülete nulla, akkor a vetület ugyanarra a tengelyre ennek a rendszernek az impulzusvektora állandó értékű lesz, és egyenlő az erre a tengelyre történő vetítéssel a kezdeti impulzusvektor, azaz. Q x = Q 0x.

Az anyagrendszer lendületének változására vonatkozó tétel differenciálformájának fontos és érdekes alkalmazásai vannak a kontinuummechanikában. A (2.11)-ből megkaphatjuk az Euler-tételt.

Anyagi pont mozgásának differenciálegyenlete erő hatására F a következő vektoros formában ábrázolható:

Mivel egy pont tömege m konstansnak fogadjuk el, akkor a származékjel alá írható be. Akkor

Az (1) képlet egy pont impulzusának változására vonatkozó tételt fejezi ki differenciális formában: egy pont lendületének első deriváltja az időre vonatkoztatva egyenlő a pontra ható erővel.

A koordinátatengelyekre történő vetítésekben (1) a következőképpen ábrázolható

Ha mindkét oldalt (1) megszorozzuk dt, akkor ugyanannak a tételnek egy másik formáját kapjuk - az impulzustételt differenciális formában:

azok. egy pont lendületének különbsége egyenlő a pontra ható erő elemi impulzusával.

A (2) mindkét részét a koordinátatengelyekre vetítve megkapjuk

A (2) mindkét részét nullától t-ig integrálva (1. ábra) megkaptuk

hol van a pont sebessége pillanatnyilag t; - sebesség at t = 0;

S- erőimpulzus az idő múlásával t.

A (3) formájú kifejezést gyakran véges (vagy integrál) alakban impulzustételnek nevezik: egy pont lendületének tetszőleges időtartam alatti változása megegyezik az azonos időtartam alatt fellépő erő impulzusával.

A koordinátatengelyekre történő vetítéseknél ez a tétel a következő formában ábrázolható:

Anyagi pont esetében az impulzus változására vonatkozó tétel egyik alakban sem különbözik lényegében egy pont mozgási differenciálegyenleteitől.

Tétel egy rendszer lendületének változásáról

A rendszer mozgásmennyiségét vektormennyiségnek nevezzük K, egyenlő a rendszer összes pontja mozgásmennyiségeinek geometriai összegével (fővektorával).

Tekintsünk egy rendszert, amely a következőkből áll n anyagi pontok. Állítsunk fel erre a rendszerre mozgásdifferenciálegyenleteket, és adjuk össze ezeket tagonként. Akkor kapjuk:

Az utolsó összeg a belső erők tulajdonsága miatt egyenlő nullával. Kívül,

Végül megtaláljuk:

A (4) egyenlet a rendszer impulzusváltozásának tételét differenciális formában fejezi ki: a rendszer lendületének időbeli deriváltja egyenlő a rendszerre ható összes külső erő geometriai összegével.

Keressünk egy másik kifejezést a tételre. Engedd be a pillanatot t= 0 a rendszer mozgásának mértéke Q 0, és az idő pillanatában t 1 egyenlővé válik Q 1. Ezután a (4) egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk dtés integrálva a következőket kapjuk:

Vagy hol:

(S-erő impulzus)

mivel a jobb oldali integrálok külső erők impulzusait adják,

az (5) egyenlet a rendszer impulzusváltozására vonatkozó tételt integrál formában fejezi ki: a rendszer impulzusának bizonyos időn belüli változása megegyezik a rendszerre ugyanazon idő alatt ható külső erők impulzusainak összegével.

A koordinátatengelyekre vonatkozó vetületekben a következők lesznek:

A lendület megmaradásának törvénye

A rendszer impulzusváltozására vonatkozó tételből a következő fontos következtetések vonhatók le:

1. Legyen a rendszerre ható összes külső erő összege nulla:

Ekkor a (4) egyenletből az következik, hogy ebben az esetben Q = állandó.

És így, Ha a rendszerre ható összes külső erő összege nulla, akkor a rendszer impulzusának vektora állandó nagyságrendű és irányú lesz.

2. 01 Legyenek a rendszerre ható külső erők olyanok, hogy valamely tengelyre (például Oxra) vetületeik összege nullával egyenlő:

Ekkor a (4`) egyenletekből az következik, hogy ebben az esetben Q = állandó.

És így, ha az összes ható külső erő bármely tengelyre vetületének összege nulla, akkor a rendszer mozgásának erre a tengelyre való vetülete állandó érték.

Ezek az eredmények kifejezik rendszer impulzusmegmaradásának törvénye. Ezekből következik, hogy a belső erők nem tudják megváltoztatni a rendszer teljes mozgását.

Nézzünk néhány példát:

· A tekercs visszatérésével kapcsolatos jelenség. Ha a puskát és a golyót egy rendszernek tekintjük, akkor a porgázok nyomása lövés közben belső erő lesz. Ez az erő nem tudja megváltoztatni a rendszer teljes lendületét. De mivel a porgázok a lövedékre ható bizonyos mennyiségű előre irányuló mozgást kölcsönöznek neki, egyidejűleg ugyanolyan mértékű, ellenkező irányú mozgást kell adniuk a puskának. Ez azt eredményezi, hogy a puska hátrafelé mozdul el, azaz. az úgynevezett visszatérés. Hasonló jelenség fordul elő fegyver elsütésénél (visszagurítás).

· A légcsavar (propeller) működése. A propeller a légcsavar tengelye mentén mozgást kölcsönöz egy bizonyos mennyiségű levegőnek (vagy víznek), és ezt a tömeget visszadobja. Ha a feldobott tömeget és a repülőgépet (vagy hajót) egy rendszernek tekintjük, akkor a légcsavar és a környezet, mint belső kölcsönhatási erők nem tudják megváltoztatni ennek a rendszernek a teljes mozgását. Ezért, amikor egy tömeg levegőt (víz) dobunk vissza, a repülőgép (vagy hajó) megfelelő előrehaladási sebességet kap, így a vizsgált rendszer teljes mozgása nulla marad, mivel a mozgás megkezdése előtt nulla volt. .

Hasonló hatás érhető el az evezők vagy a lapátkerekek hatására.

· R e c t i v e Propulsion A rakétában (rakétában) az üzemanyag égéséből származó gáznemű termékek nagy sebességgel kilökődnek a rakéta végében lévő lyukon (a sugárhajtómű fúvókájából). A nyomóerők ebben az esetben belső erők lesznek, és nem tudják megváltoztatni a rakétaporos gázrendszer teljes lendületét. De mivel a kiáramló gázok bizonyos mértékű visszafelé irányuló mozgással rendelkeznek, a rakéta ennek megfelelő előrehaladási sebességet kap.

Egy tengely körüli nyomatéktétel.

Tekintsük az anyagi tömegpontot m, erő hatására mozog F. Keressük meg a vektorok nyomatéka közötti összefüggést mVÉs F valamely rögzített Z tengelyhez képest.

m z (F) = xF - yF (7)

Hasonlóan az értékre m(mV), ha kiveszik m zárójelben lesz

m z (mV) = m (xV - yV)(7`)

Ha ennek az egyenlőségnek mindkét oldaláról vesszük az időre vonatkozó deriváltokat, azt találjuk

Az eredményül kapott kifejezés jobb oldalán az első zárójel egyenlő 0-val, mivel dx/dt=V és dу/dt = V, a (7) képlet szerinti második zárójel egyenlő

mz(F), hiszen a dinamika alaptörvénye szerint:

Végre lesz (8)

A kapott egyenlet a tengely körüli nyomatékok tételét fejezi ki: egy pont tetszőleges tengelyhez viszonyított impulzusnyomatékának időbeli deriváltja megegyezik az azonos tengelyhez viszonyított ható erő nyomatékával. Egy hasonló tétel pillanatokra érvényes bármely O középpontra.