A trapézformula súlypontja. Anyagszilárdsági problémák megoldása

6.1. Általános információ

Párhuzamos Erők Központja
Tekintsünk két párhuzamos erőt, amelyek egy irányba irányulnak, és , amelyek a testre a pontokban hatnak A 1 és A 2 (6.1. ábra). Ennek az erőrendszernek van egy eredője, amelynek hatásvonala egy bizonyos ponton halad át VAL VEL. Pont pozíció VAL VEL a Varignon-tétel segítségével találhatjuk meg:

Ha megfordítja az erőket és közel a pontokhoz A 1 és A 2 egy irányban és ugyanabban a szögben, akkor kapunk egy új párhuzamos salas rendszert azonos modulokkal. Ebben az esetben az eredőjük is átmegy a ponton VAL VEL. Ezt a pontot párhuzamos erők középpontjának nevezzük.
Tekintsük a szilárd testre pontokban ható párhuzamos és azonos irányú erők rendszerét. Ennek a rendszernek van eredménye.
Ha a rendszer minden egyes erejét az alkalmazási pontok közelében ugyanabban az irányban és ugyanabban a szögben elforgatjuk, akkor új, azonos irányú párhuzamos erőkből álló rendszereket kapunk, azonos modulokkal és alkalmazási pontokkal. Az ilyen rendszerek eredője ugyanazzal a modulussal rendelkezik R, de minden alkalommal más irányba. Miután összeszedtem az erőmet F 1 és F 2 azt találjuk, hogy eredőjük R 1, amely mindig átmegy a ponton VAL VEL 1, amelynek helyzetét az egyenlőség határozza meg. Hajtogatás tovább R 1 és F 3, megtaláljuk az eredőjüket, amely mindig átmegy a ponton VAL VEL 2 egyenes vonalon fekve A 3 VAL VEL 2. Miután befejeztük az erők összeadásának folyamatát, arra a következtetésre jutunk, hogy az összes erő eredője valóban mindig ugyanazon a ponton fog áthaladni. VAL VEL, amelynek a pontokhoz viszonyított helyzete változatlan marad.
Pont VAL VEL, amelyen a párhuzamos erők eredő rendszerének hatásvonala áthalad ezen erők alkalmazási pontjai közelében, azonos szögben, azonos irányban, párhuzamos erők középpontjának nevezzük (6.2. ábra).

6.2. ábra

Határozzuk meg a párhuzamos erők középpontjának koordinátáit. A pont helyzete óta VAL VEL a testhez képest változatlan, akkor a koordinátái nem függenek a koordinátarendszer megválasztásától. Fordítsuk meg az összes erőt az alkalmazásuk körül úgy, hogy párhuzamosak legyenek a tengellyel OUés alkalmazzuk a Varignon-tételt elforgatott erőkre. Mert R" ezeknek az erőknek az eredője, akkor Varignon tétele szerint megvan , mert , , kapunk

Innen megtaláljuk a párhuzamos erők középpontjának koordinátáját zc:

A koordináták meghatározásához xc hozzunk létre egy kifejezést a tengely körüli erőnyomatékra Oz.

A koordináták meghatározásához yc fordítsuk meg az összes erőt úgy, hogy párhuzamosak legyenek a tengellyel Oz.

A párhuzamos erők középpontjának helyzete az origóhoz képest (6.2. ábra) a sugárvektorával határozható meg:

6.2. Merev test súlypontja

Gravitáció középpontja egy merev test egy pontja mindig ehhez a testhez kapcsolódik VAL VEL, amelyen áthalad egy adott test eredő gravitációs erőinek hatásvonala, a test tetszőleges térbeli helyzetére.
A súlypontot a testek és a folytonos közegek egyensúlyi helyzetének stabilitásának tanulmányozására használják a gravitáció hatására, és néhány más esetben, nevezetesen: az anyagok szilárdságában és a szerkezeti mechanikában - Vereschagin szabályának alkalmazásakor.
A test súlypontjának meghatározásának két módja van: analitikus és kísérleti. A tömegközéppont meghatározásának analitikai módszere közvetlenül következik a párhuzamos erők középpontjának fogalmából.
A súlypont koordinátáit, mint a párhuzamos erők középpontját, a következő képletek határozzák meg:

Ahol R- teljes testtömeg; pk- a testrészecskék tömege; xk, yk, zk- testrészecskék koordinátái.
Homogén test esetén az egész test és bármely részének súlya arányos a térfogattal P=Vγ, pk =vk γ, Ahol γ - egységnyi térfogatú tömeg, V- testtérfogat. Kifejezések helyettesítése P, pk a súlypont koordinátáit meghatározó képletbe és közös tényezővel redukálva γ , kapunk:

Pont VAL VEL, melynek koordinátáit a kapott képletek határozzák meg, hívjuk a térfogat súlypontja.
Ha a test vékony, homogén lemez, akkor a súlypontot a következő képletek határozzák meg:

Ahol S- a teljes lemez területe; sk- részének területe; xk, yk- a lemezrészek súlypontjának koordinátái.
Pont VAL VEL ebben az esetben úgy hívják súlyponti terület.
A síkidomok súlypontjának koordinátáit meghatározó kifejezések számlálóit -val hívjuk terület statikus pillanatai a tengelyekhez képest nál nélÉs x:

Ezután a terület súlypontja a következő képletekkel határozható meg:

Azon testeknél, amelyek hossza sokszorosa a keresztmetszeti méreteknek, határozza meg a vonal súlypontját. A vonal súlypontjának koordinátáit a következő képletek határozzák meg:

Ahol L- vonal hossza; lk- részeinek hossza; xk, yk, zk- a vonal egyes részeinek súlypontjának koordinátája.

6.3. A testek súlypontjainak koordinátáinak meghatározására szolgáló módszerek

A kapott képletek alapján gyakorlati módszereket lehet javasolni a testek súlypontjainak meghatározására.
1. Szimmetria. Ha egy testnek van szimmetriaközéppontja, akkor a súlypont a szimmetria középpontjában van.
Ha a testnek van szimmetriasíkja. Például az XOU sík, akkor a súlypont ebben a síkban található.
2. Hasítás. Az egyszerű formájú testekből álló testeknél a hasítási módszert alkalmazzuk. A test részekre oszlik, amelyek súlypontját a szimmetria módszere határozza meg. Az egész test súlypontját a térfogat (terület) súlypontjának képletei határozzák meg.

Példa. Határozza meg az alábbi ábrán látható lemez súlypontját (6.3. ábra). A lemez többféleképpen osztható téglalapokra, és meghatározható az egyes téglalapok súlypontjának koordinátái és területük.

6.3. ábra

Válasz: xc=17,0 cm; yc= 18,0 cm.

3. Kiegészítés. Ez a módszer a particionálási módszer speciális esete. Akkor használatos, ha a testen vannak kivágások, szeletek stb., ha ismertek a test súlypontjának koordinátái a kivágás nélkül.

Példa. Határozza meg egy kör alakú lemez súlypontját, amelynek kivágási sugara van r = 0,6 R(6.4. ábra).

6.4

A kerek lemeznek van szimmetriaközéppontja. Helyezzük a koordináták origóját a lemez közepére. Lemezterület kivágás nélkül, kivágási terület. Négyzet alakú lemez kivágással; .
A kivágással ellátott lemeznek van egy szimmetriatengelye О1 x, ennélfogva, yc=0.

4. Integráció. Ha a testet nem lehet véges számú részre osztani, amelyek súlypontjainak helyzete ismert, akkor a testet tetszőleges kis térfogatokra osztjuk, amelyekre a particionálási módszerrel a képlet a következő: .
Aztán a határig mennek, nullára irányítják az elemi térfogatokat, azaz. mennyiségek pontokba bontása. Az összegeket a test teljes térfogatára kiterjesztett integrálok helyettesítik, majd a térfogat súlypontjának koordinátáinak meghatározására szolgáló képletek a következő alakot öltik:

Képletek egy terület súlypontjának koordinátáinak meghatározására:

A lemezek egyensúlyának vizsgálatakor, a szerkezetmechanikai Mohr-integrál számításakor meg kell határozni a terület súlypontjának koordinátáit.

Példa. Határozzuk meg egy sugarú körív súlypontját! R központi szöggel AOB= 2α (6.5. ábra).

Rizs. 6.5

A kör íve szimmetrikus a tengelyre Ó, ezért az ív súlypontja a tengelyen fekszik Ó, yс = 0.
Az egyenes súlypontjának képlete szerint:

6.Kísérleti módszer. Az összetett konfigurációjú inhomogén testek súlypontja kísérletileg meghatározható: akasztás és mérlegelés módszerével. Az első módszer az, hogy a testet különböző pontokon egy kábelre függesztjük fel. A kábel iránya, amelyre a testet felfüggesztik, megadja a gravitáció irányát. Ezen irányok metszéspontja határozza meg a test súlypontját.
A mérési módszer magában foglalja először egy test, például egy autó tömegének meghatározását. Ezután a mérlegen meghatározzák a jármű hátsó tengelyének nyomását a támasztékra. Egy ponthoz, például az első kerekek tengelyéhez viszonyított egyensúlyi egyenlet felállításával kiszámíthatja a távolságot ettől a tengelytől az autó súlypontjához (6.6. ábra).

6.6

Néha a problémák megoldása során egyidejűleg különböző módszereket kell alkalmazni a súlypont koordinátáinak meghatározására.

6.4. Néhány egyszerű geometriai alakzat súlypontja

A gyakran előforduló alakú testek (háromszög, körív, szektor, szakasz) súlypontjának meghatározásához célszerű referenciaadatokat használni (6.1. táblázat).

6.1. táblázat

Néhány homogén test súlypontjának koordinátái

Egy körív súlypontja

Az ívnek van szimmetriatengelye. Ezen a tengelyen fekszik a súlypont, azaz. y C = 0 .

dl– ívelem, dl = Rdφ, R- a kör sugara, x = Rcosφ, L= 2αR,

Ennélfogva:

x C = R(sinα/α).

Egy kör alakú szektor súlypontja

Sugár szektor R középső szöggel 2 α szimmetriatengelye van Ökör, ahol a súlypont található.

A szektort elemi szektorokra osztjuk, amelyeket háromszögeknek tekinthetünk. Az elemi szektorok súlypontjai egy (2/3) sugarú köríven helyezkednek el. R.

A szektor súlypontja egybeesik az ív súlypontjával AB:

Félkör:

37. Kinematika. Egy pont kinematikája. Egy pont mozgásának meghatározására szolgáló módszerek.

Kinematika– a mechanika olyan ága, amelyben az anyagi testek mozgását geometriai szempontból vizsgálják, a tömeg és a rájuk ható erők figyelembevétele nélkül. Egy pont mozgásának megadásának módjai: 1) természetes, 2) koordináta, 3) vektor.

Egy pont kinematikája- a kinematika egyik ága, amely az anyagi pontok mozgásának matematikai leírását vizsgálja. A kinematika fő feladata a mozgás matematikai apparátus segítségével történő leírása anélkül, hogy azonosítaná a mozgást okozó okokat.

Natural sp. a pont pályája, e pálya mentén történő mozgásának törvénye, az ívkoordináta kezdete és iránya látható: s=f(t) – a pont mozgásának törvénye. Lineáris mozgáshoz: x=f(t).

Coordinate sp. egy pont helyzetét a térben három koordináta határozza meg, amelyek változása határozza meg a pont mozgástörvényét: x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Ha a mozgás síkban történik, akkor két mozgásegyenlet létezik. A mozgásegyenletek paraméteres formában írják le a pályaegyenletet. A t paramétert az egyenletek közül kizárva a pályaegyenletet a szokásos formában kapjuk: f(x,y)=0 (síkra).

Vector sp. egy pont helyzetét valamely középpontból húzott sugárvektora határozza meg. A vektor végére rajzolt görbét nevezzük. hodográf ezt a vektort. Azok. pálya – sugárvektor hodográf.

38. A koordináta és a vektor kapcsolata, egy pont mozgásának megadásának koordináta és természetes módszerei.

A VEKTORMÓDSZER KAPCSOLATA A KOORDINÁTA ÉS A TERMÉSZETES MÓDSZERHEZ arányokkal kifejezve:

ahol az adott pontban a pálya érintőjének egységegysége, amely a távolságreferencia felé irányul, és a görbületi középpont felé mutató, adott pontban a pálya normáljának egységegysége (lásd 3. ábra) .

A KOORDINÁTA MÓDSZER KAPCSOLATA A TERMÉSZETESHEZ. Trajektóriaegyenlet f(x, y)=z; f 1 (x, z)=y a mozgásegyenletekből koordináta alakban a t idő kiiktatásával adódik. A pont koordinátái által felvehető értékek további elemzése meghatározza a görbe azon szakaszát, amely pálya. Például, ha egy pont mozgását az egyenletek adják meg: x=sin t; y=sin 2 t=x 2, akkor a pont pályája az y=x 2 parabola azon szakasza, amelyre -1≤x≤+1, 0≤x≤1. A távolságszámlálás kezdetét és irányát tetszőlegesen választjuk meg, ez határozza meg tovább a sebesség előjelét és a kezdeti távolság s 0 nagyságát és előjelét.

A mozgás törvényét a függőség határozza meg:

a + vagy - jelet a távolságmérés elfogadott irányától függően határozzuk meg.

Pont sebessége a mozgásának kinematikai mértéke, amely egyenlő a vizsgált vonatkoztatási rendszer e pontjának sugárvektorának időbeli deriváltjával. A sebességvektor a pont pályáját érintően irányul a mozgás irányában

Sebességvektor (v) az a távolság, amelyet egy test időegység alatt egy bizonyos irányban megtesz. Felhívjuk figyelmét, hogy a meghatározás sebességvektor nagyon hasonló a sebesség definíciójához, kivéve egy fontos különbséget: a test sebessége nem a mozgás irányát jelzi, hanem a test sebességvektora jelzi a sebességet és a mozgás irányát is. Ezért két változóra van szükség, amelyek a test sebességvektorát írják le: a sebességre és az irányra. Azokat a fizikai mennyiségeket, amelyeknek van értéke és iránya, vektormennyiségeknek nevezzük.

Sebesség vektor a test időről időre megváltozhat. Ha akár sebessége, akár iránya megváltozik, a test sebessége is megváltozik. Az állandó sebességvektor állandó sebességet és állandó irányt jelent, míg az állandó sebesség kifejezés csak állandó értéket jelent az irány figyelembevétele nélkül. A "sebességvektor" kifejezést gyakran felcserélhetően használják a "sebesség" kifejezéssel. Mindkettő azt a távolságot fejezi ki, amelyet egy test egységnyi idő alatt megtesz

Pontgyorsulás a sebessége változásának mértéke, amely egyenlő ennek a pontnak a sebességének időbeli deriváltjával vagy a pont sugárvektorának második deriváltjával az idő függvényében. A gyorsulás a sebességvektor nagyságrendi és irányú változását jellemzi, és a pálya konkávsága felé irányul.

Gyorsulási vektor

Ez a sebesség változásának és annak az időtartamnak az aránya, amely alatt ez a változás bekövetkezett. Az átlagos gyorsulás a következő képlettel határozható meg:

Ahol - gyorsulási vektor.

A gyorsulásvektor iránya egybeesik a sebesség változásának irányával Δ = - 0 (itt 0 a kezdeti sebesség, vagyis az a sebesség, amellyel a test gyorsulni kezdett).

A t1 időpontban (lásd 1.8. ábra) a test sebessége 0. A t2 időpontban a test sebességgel rendelkezik. A vektorkivonás szabálya szerint megtaláljuk a Δ = - 0 sebességváltozás vektorát. Ezután a következőképpen határozhatja meg a gyorsulást:

A fent kapott általános képletek alapján lehetőség van konkrét módszerek megjelölésére a testek súlypontjainak koordinátáinak meghatározására.

1. Szimmetria. Ha egy homogén testnek van síkja, tengelye vagy szimmetriaközéppontja (7. ábra), akkor a súlypontja rendre a szimmetriasíkban, a szimmetriatengelyben vagy a szimmetriaközéppontban van.

7. ábra

2. Hasítás. A test véges számú részre van osztva (8. ábra), amelyek mindegyikénél ismert a súlypont és a terület helyzete.

8. ábra

3.Negatív terület módszer. A particionálási módszer speciális esete (9. ábra). Kivágásokkal rendelkező testekre vonatkozik, ha a kivágás és a kivágás nélküli test súlypontja ismert. A kivágással ellátott lemez alakú testet egy tömör lemez (kivágás nélkül) kombinációja képviseli, amelynek területe S 1 és a kivágott rész S 2 területe.

9. ábra

4.Csoportosítási módszer. Jó kiegészítője az utolsó két módszernek. Miután az ábrát felosztottuk alkotóelemeire, célszerű néhányat újra kombinálni, hogy azután leegyszerűsítsük a megoldást a csoport szimmetriájának figyelembevételével.

Egyes homogén testek súlypontjai.

1) Egy körív súlypontja. Tekintsük az ívet AB sugár R központi szöggel. A szimmetria miatt ennek az ívnek a súlypontja a tengelyen fekszik Ökör(10. ábra).

10. ábra

Keressük meg a koordinátát a képlet segítségével. Ehhez válassza ki az íven AB elem MM' hossza, melynek helyzetét a szög határozza meg. Koordináta x elem MM' fog . Ezeket az értékeket helyettesítve xés d lés szem előtt tartva, hogy az integrált az ív teljes hosszára ki kell terjeszteni, így kapjuk:

Ahol L- ívhossz AB, egyenlő .

Innentől végre azt találjuk, hogy egy körív súlypontja a szimmetriatengelyén van a középponttól távol. RÓL RŐL, egyenlő

ahol a szöget radiánban mérjük.

2) A háromszög területének súlypontja. Tekintsünk egy háromszöget, amely a síkban fekszik Oxy, melynek csúcsainak koordinátái ismertek: A i(x i,y i), (én= 1,2,3). A háromszög oldalával párhuzamos keskeny csíkokra bontása A 1 A A 2. ábrán arra a következtetésre jutunk, hogy a háromszög súlypontjának a mediánhoz kell tartoznia A 3 M 3 (11. ábra).

11. ábra

Háromszög feltörése oldalával párhuzamos csíkokra A 2 A 3, ellenőrizhetjük, hogy a mediánon kell feküdnie A 1 M 1 . És így, a háromszög súlypontja a mediánjainak metszéspontjában van, amely, mint ismeretes, minden mediántól egy harmadik részt választ el, a megfelelő oldaltól számítva.

Különösen a medián esetében A 1 M 1 kapjuk, figyelembe véve, hogy a pont koordinátái M 1 a csúcsok koordinátáinak számtani átlaga A 2 és A 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Így a háromszög súlypontjának koordinátái a csúcsok koordinátáinak számtani átlagai:

x c =(1/3)Σ x i ; y c =(1/3)Σ y i.

3) Egy kör alakú szektor területének súlypontja. Tekintsük egy kör sugarú szektorát R 2α középponti szöggel, a tengelyhez képest szimmetrikusan helyezkedik el Ökör(12. ábra) .

Ez nyilvánvaló y c = 0, és a távolság annak a körnek a középpontjától, amelyből ez a szektor el van vágva a súlypontig, a következő képlettel határozható meg:

12. ábra

Ezt az integrált a legegyszerűbben úgy számíthatjuk ki, hogy az integrációs tartományt szöggel elemi szektorokra osztjuk dφ. Az első rendű infinitezimálisok pontosságával egy ilyen szektor helyettesíthető egy háromszöggel, amelynek alapja egyenlő R× dφ és magasság R. Egy ilyen háromszög területe dF=(1/2)R 2 ∙dφ, súlypontja pedig 2/3 távolságra van R a csúcsból, ezért az (5)-ben feltesszük x = (2/3)R∙cosφ. Behelyettesítés (5) F= α R 2, kapjuk:

Az utolsó képlet segítségével kiszámítjuk különösen a súlypont távolságát félkör.

Ha α = π/2-t behelyettesítjük (2)-be, a következőt kapjuk: x c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

1. példa Határozzuk meg az ábrán látható homogén test súlypontját! 13.

13. ábra

A test homogén, két szimmetrikus formájú részből áll. Súlypontjuk koordinátái:

Köteteik:

Ezért a test súlypontjának koordinátái

2. példa Keressük meg egy derékszögben meghajlított lemez súlypontját. A méretek a rajzon találhatók (14. ábra).

14. ábra

A súlypontok koordinátái:

Területek:

15. ábra

Ebben a problémában kényelmesebb a testet két részre osztani: egy nagy négyzetre és egy négyzet alakú lyukra. Csak a lyuk területét kell negatívnak tekinteni. Ezután a lap súlypontjának koordinátái a furattal:

koordináta, mivel a testnek van szimmetriatengelye (átlója).

4. példa A huzalkonzol (16. ábra) három egyenlő hosszúságú részből áll l.

16. ábra

A szakaszok súlypontjainak koordinátái:

Ezért a teljes konzol súlypontjának koordinátái:

5. példa. Határozzuk meg a rácsozat súlypontjának helyzetét, amelynek minden rúdja azonos lineáris sűrűségű (17. ábra).

Emlékezzünk vissza, hogy a fizikában egy test ρ sűrűsége és g fajsúlya a következő összefüggéssel függ össze: γ= ρ g, Ahol g- a gravitáció gyorsulása. Egy ilyen homogén test tömegének meghatározásához meg kell szoroznia a sűrűséget a térfogatával.

17. ábra

A „lineáris” vagy „lineáris” sűrűség kifejezés azt jelenti, hogy a rácsos rúd tömegének meghatározásához a lineáris sűrűséget meg kell szorozni a rúd hosszával.

A probléma megoldásához használhatja a particionálási módszert. Ha egy adott rácsot 6 különálló rúd összegeként ábrázolunk, a következőket kapjuk:

Ahol L i hossz én th rácsos rúd, és x i, y i- súlypontjának koordinátái.

A probléma megoldása leegyszerűsíthető a rácsos tartó utolsó 5 rúdjának csoportosításával. Könnyen belátható, hogy a negyedik rúd közepén elhelyezkedő szimmetriaközéppontú alakzatot alkotnak, ahol ennek a rúdcsoportnak a súlypontja található.

Így egy adott rácsos tartó csak két rúdcsoport kombinációjával ábrázolható.

Az első csoport az első rúdból áll L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, y 1 = 2 m. A második rúdcsoport ehhez öt rúdból áll L 2 = 20 m, x 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

A rácsos súlypont koordinátáit a következő képlet segítségével találjuk meg:

x c = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Vegye figyelembe, hogy a központ VAL VEL az összekötő egyenesen fekszik VAL VEL 1 és VAL VEL 2, és felosztja a szakaszt VAL VEL 1 VAL VEL 2 kapcsolatban: VAL VEL 1 VAL VEL/SS 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Önellenőrző kérdések

Mit nevezünk a párhuzamos erők középpontjának?

Hogyan határozzák meg a párhuzamos erők középpontjának koordinátáit?

Hogyan határozzuk meg azoknak a párhuzamos erőknek a középpontját, amelyek eredője nulla?

Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a párhuzamos erők középpontja?

Milyen képletekkel számítjuk ki a párhuzamos erők középpontjának koordinátáit?

Mi a test súlypontja?

Miért tekinthetők párhuzamos erők rendszerének a Föld egy test pontjára ható gravitációs erői?

Írja fel az inhomogén és homogén testek súlypontjának meghatározására szolgáló képletet, a síkszelvények súlypontjának meghatározására szolgáló képletet?

Írja fel az egyszerű geometriai alakzatok súlypontjának meghatározására szolgáló képletet: téglalap, háromszög, trapéz és félkör?

Mi a terület statikus momentuma?

Mondjon példát olyan testre, amelynek súlypontja a testen kívül található!

Hogyan használják fel a szimmetria tulajdonságait a testek súlypontjának meghatározásában?

Mi a negatív súlyozási módszer lényege?

Hol van egy körív súlypontja?

Milyen grafikus konstrukcióval lehet megkeresni egy háromszög súlypontját?

Írja fel a képletet, amely meghatározza egy kör alakú szektor súlypontját!

A háromszög és egy körszektor súlypontját meghatározó képletek segítségével állítson elő egy hasonló képletet egy körszakaszra.

Milyen képletekkel számítják ki a homogén testek, sík alakok és egyenesek súlypontjainak koordinátáit?

Mit nevezünk egy sík alakzat területének statikus nyomatékának a tengelyhez viszonyítva, hogyan számítják ki és milyen méretei vannak?

Hogyan határozható meg egy terület súlypontjának helyzete, ha ismert az egyes részeinek súlypontjainak helyzete?

Milyen segédtételeket használnak a súlypont helyzetének meghatározásához?

A mérnöki gyakorlatban előfordul, hogy olyan egyszerű elemekből álló összetett lapos alakzat súlypontjának koordinátáit kell kiszámítani, amelyeknél ismert a tömegközéppont helye. Ez a feladat része annak a feladatnak, hogy meghatározzuk...

Gerendák és rudak kompozit keresztmetszeteinek geometriai jellemzői. Gyakran hasonló kérdésekkel kell szembesülniük a vágószerszámok tervezőinek a nyomásközéppont koordinátáinak meghatározásakor, a különféle járművek rakodási sémáinak kidolgozóinak a rakomány elhelyezésekor, a fémszerkezetek tervezőinek az elemek keresztmetszete kiválasztásakor és természetesen a hallgatók az „Elméleti mechanika” és az „Anyagok szilárdsága” tudományágak tanulmányozása során.

Elemi figurák könyvtára.

Szimmetrikus síkidomok esetén a súlypont egybeesik a szimmetria középpontjával. Az elemi objektumok szimmetrikus csoportjába tartozik: kör, téglalap (beleértve a négyzetet is), paralelogramma (a rombusz is), szabályos sokszög.

A fenti ábrán bemutatott tíz ábra közül csak kettő alapvető. Vagyis háromszögek és körágak segítségével szinte bármilyen gyakorlati érdeklődésre számot tartó figurát kombinálhat. Bármely tetszőleges görbe szakaszokra osztható és körívekkel helyettesíthető.

A maradék nyolc figura a leggyakoribb, ezért kerültek be ebbe az egyedülálló könyvtárba. Osztályozásunkban ezek az elemek nem alapvetőek. Két háromszögből téglalap, paralelogramma és trapéz alkotható. A hatszög négy háromszög összege. A körszakasz a kör szektora és a háromszög közötti különbség. A kör gyűrű alakú szektora két szektor különbsége. A kör egy kör olyan szektora, amelynek szöge α=2*π=360˚. A félkör ennek megfelelően egy α=π=180˚ szögű kör szektora.

Összetett ábra súlypontjának koordinátáinak kiszámítása Excelben.

Mindig könnyebb egy példán keresztül információt átadni és felfogni, mint pusztán elméleti számításokkal tanulmányozni a kérdést. Nézzük meg a „Hogyan találjuk meg a súlypontot?” probléma megoldását. a szöveg alatti ábrán látható összetett ábra példájával.

Az összetett szakasz egy téglalap (méretekkel a1 = 80 mm, b1 =40 mm), amelyhez egy egyenlő szárú háromszög került a bal felsőbe (az alap méretével a2 =24 mm és magasság h2 =42 mm) és amelyből jobbról felülről egy félkört vágtunk ki (a középponttal a koordinátákkal ellátott pontban) x03 =50 mm és y03 =40 mm, sugár r3 =26 mm).

A számítások elvégzéséhez egy programot fogunk használni MS Excel vagy program OOo Calc . Bármelyikük könnyedén megbirkózik a feladatunkkal!

A cellákban sárga megtöltjük segédelőzetes számításokat .

Az eredményeket világossárga kitöltésű cellákban számítjuk ki.

Kék betűtípus az kezdeti adatok .

Fekete betűtípus az közbülső számítási eredmények .

Piros betűtípus az végső számítási eredmények .

Elkezdjük a probléma megoldását - elkezdjük keresni a szakasz súlypontjának koordinátáit.

Kiinduló adatok:

1. Ennek megfelelően írjuk fel az összetett szakaszt alkotó elemi alakzatok nevét

D3 cellába: Téglalap

az E3 cellához: Háromszög

az F3 cellába: Félkör

2. A jelen cikkben bemutatott „Elemi figurák könyvtára” segítségével meghatározzuk az összetett metszet elemeinek súlypontjainak koordinátáit. xciÉs yci mm-ben a tetszőlegesen kiválasztott 0x és 0y tengelyekhez képest, és írja be

a D4 cellához: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

a D5 cellához: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

az E4 cellához: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

az E5 cellába: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

az F4 cellába: =50 =50,000

xc 3 = x03

az F5 cellába: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Számítsuk ki az elemek területét! F 1 , F 2 , F3 mm2-ben, ismét az „Elemi ábrák könyvtára” szakasz képleteivel

a D6 cellában: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

az E6 cellában: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

az F6 cellában: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

A harmadik elem - a félkör - területe negatív, mert ez egy kivágás - egy üres hely!

A súlypont koordinátáinak kiszámítása:

4. Határozza meg a végső szám teljes területét F0 mm2-ben

a D8E8F8 egyesített cellában: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Számítsuk ki egy összetett ábra statikus momentumait SxÉs Sy mm3-ben a kiválasztott 0x és 0y tengelyekhez képest

a D9E9F9 egyesített cellában: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

az egyesített D10E10F10 cellában: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Végül pedig számítsuk ki az összetett szakasz súlypontjának koordinátáit XcÉs Yc mm-ben a kiválasztott koordinátarendszerben 0x - 0y

a D11E11F11 egyesített cellában: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

az egyesített D12E12F12 cellában: =D9/D8 =22,883

Yc =Sx/F0

A probléma megoldva, a számítás Excelben elkészült - a szakasz súlypontjának három egyszerű elem segítségével összeállított koordinátáit megtaláltuk!

Következtetés.

A cikkben szereplő példát nagyon egyszerűnek választottuk, hogy könnyebben érthető legyen egy összetett szakasz súlypontjának kiszámításának módszere. A módszer az, hogy minden összetett ábrát egyszerű elemekre kell osztani, amelyekben ismert a súlypontok elhelyezkedése, és végső számításokat kell végezni a teljes szakaszra.

Ha a szakasz hengerelt profilokból - szögekből és csatornákból áll, akkor nem kell azokat téglalapokra és négyzetekre osztani, kivágott kör alakú „π/2” szektorokkal. Ezeknek a profiloknak a súlypontjának koordinátáit a GOST táblázatok adják meg, vagyis mind a szög, mind a csatorna lesz az alapvető elemi elem az összetett metszetek számításaiban (nincs értelme I-gerendákról beszélni, csövek, rudak és hatszögek – ezek központilag szimmetrikus szakaszok).

A koordinátatengelyek elhelyezkedése természetesen nem befolyásolja az ábra súlypontjának helyzetét! Ezért válasszon olyan koordináta-rendszert, amely leegyszerűsíti a számításokat. Ha például példánkban a koordinátarendszert az óramutató járásával megegyező irányban 45˚-kal elforgatnám, akkor egy téglalap, háromszög és félkör súlypontjainak koordinátáinak kiszámítása egy másik különálló és nehézkes számítási szakaszba fordulna, amelyet nem lehet elvégezni. a fejben".

Az alábbiakban bemutatott Excel számítási fájl ebben az esetben nem program. Inkább egy számológép vázlata, egy algoritmus, egy sablon, amely minden konkrét esetben követi hozza létre saját képletsorozatát az élénksárga kitöltésű cellákhoz.

Tehát most már tudja, hogyan találja meg bármely szakasz súlypontját! A tetszőleges összetett összetett metszet összes geometriai jellemzőjének teljes kiszámítását a „” szakasz egyik következő cikkében tárgyaljuk. Kövesse a híreket a blogon.

Mert fogadása információk az új cikkek megjelenéséről és azért működő programfájlok letöltése Kérem, hogy iratkozzon fel a közleményekre a cikk végén található ablakban vagy az oldal tetején található ablakban.

Miután megadta e-mail címét és a „Cikkhirdetések fogadása” gombra kattintott NE FELEJTSD EL ERŐSÍTSD EL ELŐFIZETÉSÉT a linkre kattintva levélben, amely azonnal megérkezik a megadott e-mail címre (néha a mappában « Levélszemét » )!

Néhány szó az üvegről, az érméről és a két villáról, amelyek a cikk elején található „illusztrációs ikonban” láthatók. Bizonyára sokan ismeritek ezt a „trükköt”, amely gyönyörködtető pillantásokat vált ki gyerekekből és avatatlan felnőttekből. A cikk témája a súlypont. Ő és a támaszpont, akik a tudatunkkal és tapasztalatunkkal játszanak, egyszerűen becsapják az elménket!

A „villa+érme” rendszer súlypontja mindig a következőn található rögzített távolság függőlegesen lefelé az érme szélétől, ami viszont a támaszpont. Ez egy stabil egyensúlyi helyzet! Ha megrázzuk a villákat, azonnal nyilvánvalóvá válik, hogy a rendszer igyekszik elfoglalni korábbi stabil pozícióját! Képzeljünk el egy ingát - rögzítési pontot (= egy érme támaszpontja az üveg szélén), az inga rúdtengelyét (= esetünkben a tengely virtuális, mivel a két villa tömege a tér különböző irányaiban szétterítve) és a tengely alján lévő teher (= a teljes „villa” rendszer súlypontja + érme”). Ha elkezdi az ingát bármilyen irányba eltéríteni a függőlegestől (előre, hátra, balra, jobbra), akkor a gravitáció hatására elkerülhetetlenül visszatér eredeti helyzetébe. állandó egyensúlyi állapot(ugyanez történik a villáinkkal és az érméinkkel is)!

Ha nem érted, de érteni akarod, találd ki magad. Nagyon érdekes "odajutni" magad! Hozzáteszem, hogy ugyanez a stabil egyensúly használatának elve érvényesül a Vanka-stand-up játékban is. Ennek a játéknak csak a súlypontja található a támaszpont felett, de a tartófelület félgömbjének középpontja alatt.

Mindig örömmel látom a hozzászólásaitokat, kedves olvasók!!!

Kérdez, TISZTELETT szerzői mű, letölthető fájl ELŐFIZETÉS UTÁN cikkhirdetésekre.

A számítások eredménye nem csak a keresztmetszeti területtől függ, ezért az anyagok szilárdsági problémáinak megoldása során nem nélkülözhetjük a figurák geometriai jellemzői: statikus, axiális, poláris és centrifugális tehetetlenségi nyomatékok. Feltétlenül meg kell tudni határozni a szelvény súlypontjának helyzetét (a felsorolt ​​geometriai jellemzők a súlypont helyzetétől függenek). Továbbá egyszerű alakzatok geometriai jellemzői: téglalap, négyzet, egyenlő szárú és derékszögű háromszög, kör, félkör. A súlypont és a fő központi tengelyek helyzete feltüntetésre kerül, és a hozzájuk viszonyított geometriai jellemzők meghatározásra kerülnek, feltéve, hogy a gerenda anyaga homogén.

Téglalap és négyzet geometriai jellemzői

Egy téglalap (négyzet) tengelyirányú tehetetlenségi nyomatéka

Derékszögű háromszög geometriai jellemzői

Derékszögű háromszög tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai

Egyenlőszárú háromszög geometriai jellemzői

Egyenlőszárú háromszög tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékai