Ferrari és Cardano formulák. Cardano képlet a köbös egyenlet megoldásához

Nézzük meg még egyszer az összegkocka képletet, de írjuk másképp:

Hasonlítsa össze ezt a bejegyzést a (13) egyenlettel, és próbáljon meg kapcsolatot teremteni közöttük. Még tippeléssel sem könnyű. Tisztelnünk kell a reneszánsz matematikusai előtt, akik az alfabetikus szimbolizmus ismerete nélkül oldották meg a köbös egyenletet. Helyettesítsük be a képletünkbe:

Most már világos: a (13) egyenlet gyökerének megtalálásához elegendő az egyenletrendszert megoldani

vagy

és vegyük összegként és . A lecserélésével ez a rendszer nagyon egyszerű formára redukálódik:

Akkor különböző módokon cselekedhet, de minden „út” ugyanahhoz a másodfokú egyenlethez vezet. Például Vieta tétele szerint a redukált másodfokú egyenlet gyökeinek összege egyenlő a mínusz előjelű együtthatóval, a szorzat pedig a szabad taggal. Ebből következik, hogy és az egyenlet gyökerei

Írjuk fel ezeket a gyökereket:

A és változók egyenlőek a és köbgyökével, és a (13) köbegyenlet kívánt megoldása a gyökök összege:

Ez a képlet az úgynevezett Cardano formula.

Trigonometrikus megoldás

helyettesítéssel „hiányos” formává redukálódik

, , . (14)

A (14) „nem teljes” köbegyenlet gyöke , , egyenlő

, ,

Legyen érvényes a (14) „nem teljes” köbegyenlet.

a) Ha (az „irreducibilis” eset), akkor

(b) Ha , , akkor

, .

, ,

, .

Minden esetben a kockagyök tényleges értékét veszik.

Biquadratic egyenlet

Negyedik fokú algebrai egyenlet.

ahol a, b, c néhány valós szám, úgynevezett bikvadratikus egyenlet. Behelyettesítéssel az egyenletet másodfokú egyenletté redukáljuk ezt követi két binomiális egyenlet megoldása és ( és a megfelelő másodfokú egyenlet gyökei).

Ha és , akkor a kétnegyedes egyenletnek négy valós gyöke van:

Ha , ), akkor a kétnegyedes egyenletnek két valós gyöke és képzeletbeli konjugált gyöke van:

Ha és , akkor a kétnegyedes egyenletnek négy tisztán képzeletbeli páronkénti konjugált gyöke van:

, .

Negyedik fokú egyenletek

A negyedfokú egyenletek megoldására a XVI. században találtak módszert. Ludovico Ferrari, Gerolamo Cardano tanítványa. Így hívják – a módszer. Ferrari.

Mint a köb- és másodfokú egyenletek megoldásánál, egy negyedik fokú egyenletben

helyettesítéssel megszabadulhat a kifejezéstől. Ezért feltételezzük, hogy az ismeretlen kockájának együtthatója nulla:

Ferrari ötlete az volt, hogy az egyenletet a formában ábrázolja, ahol a bal oldal a kifejezés négyzete, a jobb oldal pedig egy lineáris egyenlet négyzete, amelynek együtthatói a -tól függenek. Ezek után két másodfokú egyenletet kell megoldani: és. Természetesen ilyen ábrázolás csak a paraméter speciális megválasztásával lehetséges. Kényelmes formában venni, akkor az egyenlet a következőképpen lesz átírva:

Ennek az egyenletnek a jobb oldala a másodfokú trinomikus. Akkor lesz teljes négyzet, ha diszkriminánsa nulla, azaz.

, vagy

Ezt az egyenletet ún oldószer (azaz "megengedő"). Viszonylag köbös, és Cardano képlete lehetővé teszi, hogy megtaláljuk néhány gyökerét. Amikor a (15) egyenlet jobb oldala felveszi a formát

és maga az egyenlet két másodfokúra redukálódik:

Gyökük adja az eredeti egyenlet összes megoldását.

Például oldjuk meg az egyenletet

Itt kényelmesebb lesz nem kész képleteket használni, hanem a megoldás gondolatát. Írjuk át az egyenletet a formába

és adjuk hozzá a kifejezést mindkét oldalhoz úgy, hogy egy teljes négyzet alakuljon ki a bal oldalon:

Most tegyük egyenlővé az egyenlet jobb oldalának diszkriminánsát nullával:

vagy egyszerűsítés után

A kapott egyenlet egyik gyökere a szabad tag osztóinak kiválogatásával sejthető: . Ennek az értéknek a behelyettesítése után megkapjuk az egyenletet

ahol . A kapott másodfokú egyenletek gyökerei a következők És . Természetesen általános esetben összetett gyökerek is nyerhetők.

Minden valós együtthatóval rendelkező köbegyenletnek van legalább egy valós gyöke, a másik kettő vagy szintén valós, vagy összetett konjugált pár.

Kezdjük az áttekintést a legegyszerűbb esetekkel - binomiálisÉs visszaváltható egyenletek. Ezután továbblépünk a racionális gyökerek megtalálására (ha vannak). Befejezésül egy példával keressük meg a köbös egyenlet gyökereit a segítségével Cardano képleteáltalános esetre.

Oldalnavigáció.

Kéttagú köbegyenlet megoldása.

A binomiális köbegyenlet alakja .

Ezt az egyenletet a formára redukáljuk úgy, hogy elosztjuk egy nullától eltérő A együtthatóval. Ezután alkalmazza a kockák rövidített szorzóösszegének képletét:

Az első zárójelből megtaláljuk a , és a négyzetes trinomit csak összetett gyökerei vannak.

Példa.

Keresse meg a köbegyenlet valódi gyökereit!

Megoldás.

A kockák különbségének rövidített szorzására a képletet alkalmazzuk:

Az első zárójelből azt találjuk, hogy a második zárójelben lévő négyzetes trinomnak nincs valódi gyöke, mivel a diszkriminánsa negatív.

Válasz:

A reciprok köbegyenlet megoldása.

A reciprok köbös egyenlet alakja , ahol A és B együtthatók.

Csoportosítsunk:

Nyilvánvaló, hogy x = -1 egy ilyen egyenlet gyöke, és a kapott másodfokú trinom gyöke könnyen megtalálhatók a diszkrimináns révén.

Példa.

Köbös egyenlet megoldása .

Megoldás.

Ez egy reciprok egyenlet. Csoportosítsunk:

Nyilvánvalóan x = -1 az egyenlet gyöke.

A másodfokú trinom gyökereinek megkeresése:

Válasz:

Köbös egyenletek megoldása racionális gyökökkel.

Kezdjük a legegyszerűbb esettel, amikor x=0 a köbegyenlet gyöke.

Ebben az esetben a D szabad tag egyenlő nullával, vagyis az egyenletnek van alakja .

Ha kiveszed x-et a zárójelekből, akkor egy négyzetes trinom marad zárójelben, aminek a gyökerei könnyen megtalálhatóak a diszkriminánson vagy Vieta tételén keresztül. .

Példa.

Keresse meg az egyenlet valódi gyökereit! .

Megoldás.

x=0 az egyenlet gyöke. Keressük meg a másodfokú trinom gyökereit.

Mivel a diszkriminánsa kisebb, mint nulla, a trinomiálisnak nincs valódi gyökere.

Válasz:

x=0.

Ha egy köbegyenlet együtthatói egész számok, akkor az egyenletnek lehetnek racionális gyökerei.

Ha , szorozza meg az egyenlet mindkét oldalát és változtassa meg az y = Ax változókat:

Elérkeztünk a megadott köbös egyenlethez. Egész gyökerei lehetnek, amelyek a szabad kifejezés osztói. Tehát felírjuk az összes osztót, és elkezdjük behelyettesíteni őket a kapott egyenletbe, amíg azonos egyenlőséget nem kapunk. Az az osztó, amelynél az azonosságot megkapjuk, az egyenlet gyöke. Ezért az eredeti egyenlet gyöke .

Példa.

Keresse meg a köbös egyenlet gyökereit!

Megoldás.

Alakítsuk át az egyenletet a fentiekre: szorozzuk meg mindkét oldallal, és változtassuk meg az y = 2x változót.

A szabad futamidő 36. Írjuk fel az összes osztóját: .

Egyenként helyettesítjük őket az egyenlőségbe a személyazonosság megszerzéséig:

Tehát y = -1 a gyök. Megfelel a .

Osszuk el be, használja:

Kapunk

Már csak meg kell találni a másodfokú trinomikus gyökereit.

Ez nyilvánvaló , azaz többszörös gyöke x=3.

Válasz:

Megjegyzés.

Ez az algoritmus használható reciprok egyenletek megoldására. Mivel -1 bármely reciprok köbegyenlet gyöke, az eredeti egyenlet bal oldalát eloszthatjuk x+1-gyel, és megkereshetjük a kapott másodfokú trinom gyökereit.

Abban az esetben, ha a köbegyenletnek nincs racionális gyöke, más megoldási módszereket alkalmazunk, például specifikus módszereket.

Köbös egyenletek megoldása Cardano képlet segítségével.

Általában a köbös egyenlet gyökereit a Cardano-képlet segítségével találjuk meg.

A köbös egyenlethez az értékek megtalálhatók . Következő megtaláljuk És .

A kapott p-t és q-t behelyettesítjük a Cardano-képletbe:

Vita

KépletCardano

Mostovoy

Odessza

Vita

A középkori viták mindig érdekes látványt nyújtottak, vonzották a tétlen városlakókat, fiatalokat és időseket. A viták témái változatosak voltak, de mindig tudományosak. Ugyanakkor a tudományt úgy értelmezték, mint ami az úgynevezett hét szabad művészet listáján szerepel, ami természetesen a teológia volt. A teológiai viták voltak a leggyakoribbak. Mindenről vitatkoztak. Például arról, hogy társítsuk-e az egeret a szentlélekkel, ha az úrvacsorát eszik, hogy a Cumae Sibyl megjósolhatta-e Jézus Krisztus születését, miért nem avatják szentté a Megváltó testvéreit stb.

A híres matematikus és a nem kevésbé híres orvos közötti vitáról csak a legáltalánosabb találgatások hangzottak el, hiszen senki sem tudott igazán semmit. Azt mondták, hogy egyikük megtévesztette a másikat (nem tudni, hogy pontosan kit és kinek). Szinte minden téren összegyűltnek volt a leghomályosabb elképzelése a matematikáról, de mindenki izgatottan várta a vita kezdetét. Mindig érdekes volt, lehetett röhögni a vesztesen, függetlenül attól, hogy igaza van vagy nincs igaza.

Amikor a városháza órája ötöt ütött, a kapuk kitárultak, és a tömeg berontott a katedrálisba. Az oltár bejáratát összekötő középvonal két oldalán a két oldaloszlop közelében két magas szószéket állítottak fel, melyeket a vitázóknak szántak. A jelenlévők nagy zajt csaptak, nem figyeltek arra, hogy a templomban vannak. Végül az ikonosztázt a központi hajó többi részétől elválasztó vasrács előtt egy fekete-lila köpenyű városi kiáltó jelent meg, és így kiáltott: „Milánó város jeles polgárai! Most a híres matematikus, Niccolo Tartaglia Breniából szól hozzád. Ellenfele Geronimo Cardano matematikusnak és orvosnak kellett volna lennie. Niccolò Tartaglia azzal vádolja Cardanót, hogy ő az utolsó, aki „Ars magna” című könyvében publikált egy harmadik fokú egyenlet megoldására szolgáló módszert, amely az övé, Tartaglia. Maga Cardano azonban nem tudott eljönni a vitára, ezért elküldte tanítványát, Luige Ferrarit. Tehát a vitát nyitottnak nyilvánítják, a résztvevőket meghívják az osztályokra.” A bejárattól balra lévő szószékre egy esetlen, kampós orrú, göndör szakállú férfi, a szemközti szószékre pedig egy huszonéves, jóképű, magabiztos arcú fiatalember. Egész viselkedése azt a teljes bizalmat tükrözte, hogy minden gesztusát és minden szavát örömmel fogadják.

Tartaglia kezdődött.

Tisztelt Uraim! Tudod, hogy 13 évvel ezelőtt sikerült megtalálnom a módját egy 3. fokú egyenlet megoldásának, majd ezzel a módszerrel megnyertem a vitát Fiorival. Az én módszerem felkeltette Cardano polgártársa figyelmét, és minden ravasz művészetét bevetette, hogy megtudja tőlem a titkot. Nem állt meg sem a megtévesztéstől, sem a nyílt hamisítástól. Azt is tudod, hogy 3 éve jelent meg Cardano könyve az algebra szabályairól Nürnbergben, ahol mindenki számára elérhetővé tették az én olyan szemérmetlenül ellopott módszeremet. Kihívtam Cardanót és tanítványát egy versenyre. 31 feladat megoldását javasoltam, ugyanennyit javasoltak nekem az ellenfeleim. A problémák megoldására határidőt tűztek ki - 15 nap. 7 nap alatt sikerült megoldanom a Cardano és a Ferrari által összeállított problémák nagy részét. Kinyomtattam és futárral elküldtem Milánóba. Azonban teljes öt hónapot kellett várnom, amíg választ kaptam a feladataimra. Rosszul oldották meg. Ez okot adott arra, hogy nyilvános vitára hívjam mindkettőjüket.

Tartaglia elhallgatott. A fiatalember a szerencsétlen Tartagliára nézve így szólt:

Tisztelt Uraim! Méltó ellenfelem megengedte magának, hogy beszéde legelső szavaiban annyi rágalmat fejezzen ki ellenem és tanárom ellen, hogy érvelése annyira alaptalan volt, hogy aligha vennék fáradságot, ha megcáfolnám az elsőt, és megmutathatnám önöknek a következetlenséget; a második. Először is, milyen megtévesztésről beszélhetünk, ha Niccolo Tartaglia teljesen önként osztotta meg módszerét mindkettőnkkel? Geronimo Cardano pedig így ír az ellenfelem szerepéről az algebrai szabály felfedezésében. Azt mondja, hogy nem ő, Cardano, „hanem Tartaglia barátom az a megtiszteltetés, hogy felfedezhet valami oly szépet és csodálatosat, amely felülmúlja az emberi szellemet és az emberi szellem minden tehetségét. Ez a felfedezés valóban mennyei ajándék, olyan csodálatos bizonyítéka az elme erejének, amely felfogta, hogy számára semmi sem tekinthető elérhetetlennek.”

Ellenfelem azzal vádolt engem és a tanáromat, hogy állítólag rossz megoldást adtak a problémáira. De hogyan lehet hibás egy egyenlet gyöke, ha az egyenletbe behelyettesítve és az ebben az egyenletben előírt összes művelet végrehajtásával azonossághoz jutunk? És ha Senor Tartaglia következetes akar lenni, akkor arra a megjegyzésre kellett volna reagálnia, hogy mi, akik ellopták, de szavai szerint az ő találmányát és felhasználtuk a felvetett problémák megoldására, miért kaptunk rossz megoldást. Mi - tanárom és én - nem tartjuk csekély jelentőségűnek Signor Tartaglia találmányát. Ez a találmány csodálatos. Sőt, nagyrészt erre támaszkodva találtam módot egy 4. fokú egyenlet megoldására, és az Ars Magnában erről beszél a tanárom. Mit akar tőlünk Senor Tartaglia? Mit akar elérni a vitával?

Uraim, uraim – kiáltotta Tartaglia –, arra kérem, hallgassanak rám! Nem tagadom, hogy fiatal ellenfelem nagyon erős logikában és ékesszólásban. De ez nem helyettesítheti a valódi matematikai bizonyítást. A Cardanónak és a Ferrarinak adott problémákat nem oldották meg megfelelően, de ezt is be fogom bizonyítani. Valóban, vegyünk például egy egyenletet a megoldottak közül. Tudott...

A templomban elképzelhetetlen zaj támadt, teljesen elnyelve a szerencsétlen matematikus által elkezdett mondat végét. Nem engedték folytatni. A tömeg követelte, hogy fogjon be, és a Ferrari forduljon. Tartaglia látva, hogy a vita folytatása teljesen haszontalan, sietve leszállt a szószékről, és kiment az északi tornácon keresztül a térre. A tömeg vadul üdvözölte a vita „győztesét”, Luigi Ferrarit.

...Így ért véget ez a vita, ami továbbra is újabb és újabb vitákat okoz. Valójában kié a 3. fokú egyenlet megoldási módszere? Most beszélünk – Niccolo Tartaglie. Ő fedezte fel, és Cardano becsapta a felfedezésbe. És ha most egy 3. fokú egyenlet gyökereit az együtthatókon keresztül reprezentáló képletet Cardano formulának nevezzük, akkor ez történelmi igazságtalanság. Azonban igazságtalan? Hogyan lehet kiszámítani az egyes matematikusok részvételének mértékét a felfedezésben? Talán idővel valaki képes lesz erre a kérdésre abszolút pontosan megválaszolni, vagy talán rejtély marad...

Cardano formula

A modern matematikai nyelv és a modern szimbolika felhasználásával a Cardano-képlet levezetése a következő rendkívül elemi megfontolások alapján érhető el:

Adjunk meg egy 3. fokú általános egyenletet:

ax 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Ha felteszed

, akkor megadjuk az egyenletet (1) elmélkedni

Mutassunk be egy új ismeretlent U egyenlőség felhasználásával

Ezt a kifejezést bevezetve a (2) , kapunk

ennélfogva

Ha a második tag számlálóját és nevezőjét megszorozzuk a kifejezéssel és figyelembe vesszük, akkor a kapott kifejezés u szimmetrikusnak bizonyul a „+” és „-” jelekhez képest, akkor végül megkapjuk

(A köbös gyökök szorzatának az utolsó egyenlőségben egyenlőnek kell lennie p).

Ez a híres Cardano formula. Ha innen indulsz y vissza a x, akkor egy 3. fokú általános egyenlet gyökét meghatározó képletet kapunk.

Az a fiatalember, aki olyan kíméletlenül bánt Tartagliával, ugyanolyan könnyen ért a matematikához, mint az igénytelen titoktartáshoz. A Ferrari megtalálja a módját egy 4. fokú egyenlet megoldásának. Cardano ezt a módszert belefoglalta könyvébe. Mi ez a módszer?

Hadd (1)

- 4. fokozat általános egyenlete.

Ha felteszed

majd az egyenletet (1) eszünkbe lehet juttatni

Ahol p,q,r- néhány együttható attól függően a,b,c,d,e. Könnyen belátható, hogy ez az egyenlet a következőképpen írható fel:

Valójában elég megnyitni a zárójeleket, majd az összes kifejezést tartalmazó kifejezést t, érvényteleníti, és visszatérünk az egyenlethez (2) .

Válasszunk ki egy paramétert t hogy az egyenlet jobb oldala (3) tökéletes négyzet volt ahhoz képest y. Mint ismeretes, ennek szükséges és elégséges feltétele a trinomiális együtthatói diszkriminánsának eltűnése (a y) jobb oldalon állva:

Kaptunk egy teljes köbös egyenletet, amit most meg is tudunk oldani. Keressük meg bármelyik gyökerét, és adjuk hozzá az egyenlethez (3) , most a formát veszi fel

Ez egy másodfokú egyenlet. Megoldása után megtalálhatja az egyenlet gyökerét (2) , és ezért (1) .

4 hónappal a halála előtt Cardano befejezte önéletrajzát, amelyet az elmúlt évben intenzíven írt, és aminek nehéz életét kellett volna összefoglalnia. Érezte, hogy közeledik a halál. Egyes hírek szerint saját horoszkópja összefüggésbe hozta halálát 75. születésnapjával. 1576. szeptember 21-én halt meg. 2 nappal az évforduló előtt. Van egy olyan verzió, hogy öngyilkosságot követett el a közelgő halálra számítva, vagy éppen azért, hogy megerősítse horoszkópját. Cardano asztrológus mindenesetre komolyan vette a horoszkópot.

Megjegyzés Cardano képletéhez

Elemezzük az egyenlet megoldási képletét a valós tartományban. Így,

Számításkor x először a négyzetgyököt, majd a köbgyököt kell vennünk. A valós régióban maradva vehetjük a négyzetgyököt, ha . Két négyzetgyök érték, amelyek előjelben különböznek egymástól, különböző kifejezésekkel jelennek meg x. A kocka gyökér értékei a valós tartományban egyediek, és az eredmény egy egyedi valódi gyökér x nál nél . A köbös trinom gráfját megvizsgálva könnyen ellenőrizhető, hogy valójában egyetlen valós gyöke van -ben. Három igazi gyökér van. Amikor van egy dupla valódi gyök és egy gyök, és amikor van egy hármas gyök x=0.

Folytassuk a képlet tanulmányozását. Kiderül. Mi van akkor, ha egy egész együtthatós egyenletnek egész gyöke van, a képlettel történő kiszámításkor közbenső irracionalitások merülhetnek fel. Például az egyenletnek egyetlen gyöke van (valós) - x=1. Cardano képlete megadja ennek az egyetlen valódi gyökérnek a kifejezést

De gyakorlatilag minden bizonyítás magában foglalja azt a tényt, hogy ez a kifejezés az egyenlet gyökere. Ha ezt nem sejti, elpusztíthatatlan köbös gyökök jelennek meg az átalakulás során.

A Cardano-Tartaglia problémát hamar feledésbe merült. A köbös egyenlet megoldásának képletét a „Nagy Művészettel” társították, és fokozatosan kezdték el hívni. képlet Cardano.

Sokan vágytak arra, hogy visszaállítsák az események valódi képét egy olyan helyzetben, amikor résztvevőik kétségtelenül nem mondták el a teljes igazságot. Sokak számára fontos volt Cardano bűnösségének megállapítása. A 19. század végére a viták egy része komoly történelmi és matematikai kutatások jellegét öltötte. A matematikusok rájöttek, milyen nagy szerepet játszott Cardano munkája a 16. század végén. Világossá vált, amit Leibniz már korábban is megjegyez: „Cardano nagyszerű ember volt minden hiányosságával együtt; nélkülük tökéletes lenne.”

VÁROSI VII TUDOMÁNYOS ÉS GYAKORLATI HALLGATÓI KONFERENCIA „IFJÚSÁG: KREATIVITÁS, KERESÉS, SIKER”

Anninsky önkormányzati kerület

Voronyezsi régió

Szakasz:MATEMATIKA

Tantárgy:"Cardano formula: történelem és alkalmazás"

MKOU Anninskaya 3. számú középiskola, 9 „B” osztály

Niccolò Fontana Tartaglia (olaszul: NiccolòFontanaTartaglia, 1499-1557) - olasz matematikus.

Általában a történelem azt mondja, hogy a képletet eredetileg Tartaglia fedezte fel, és kész formában adták át Cardanónak, de maga Cardano tagadta ezt a tényt, bár nem tagadta Tartaglia részvételét a képlet létrehozásában.

A „Cardano formulája” név szilárdan gyökerezik a képlet mögött, annak a tudósnak a tiszteletére, aki ténylegesen elmagyarázta és bemutatta a nyilvánosságnak.

Amikor a városháza órája ötöt ütött, a kapuk kitárultak, és a tömeg berontott a katedrálisba. Az oltár bejáratát összekötő középvonal két oldalán a két oldaloszlop közelében két magas szószéket állítottak fel, melyeket a vitázóknak szántak. A jelenlévők nagy zajt csaptak, nem figyeltek arra, hogy a templomban vannak. Végül az ikonosztázt a központi hajó többi részétől elválasztó vasrács előtt egy fekete-lila köpenyű városi kiáltó jelent meg, és így kiáltott: „Milánó város jeles polgárai! Most a híres matematikus, Niccolo Tartaglia Breniából szól hozzád. Ellenfele Geronimo Cardano matematikusnak és orvosnak kellett volna lennie. Niccolò Tartaglia azzal vádolja Cardanót, hogy ez utóbbi az „Arsmagna” című könyvében egy 3. fokú egyenlet megoldási módszerét tette közzé, amely az övé, Tartaglia. Maga Cardano azonban nem tudott eljönni a vitára, ezért elküldte tanítványát, Luige Ferrarit. Tehát a vitát nyitottnak nyilvánítják, a résztvevőket meghívják az osztályokra.” A bejárattól balra lévő szószékre egy esetlen, kampós orrú, göndör szakállú férfi, a szemközti szószékre pedig egy huszonéves, jóképű, magabiztos arcú fiatalember. Egész viselkedése azt a teljes bizalmat tükrözte, hogy minden gesztusát és minden szavát örömmel fogadják.

Tartaglia kezdődött.

Tartaglia elhallgatott. A fiatalember a szerencsétlen Tartagliára nézve így szólt:

Tisztelt Uraim! Méltó ellenfelem megengedte magának, hogy beszéde legelső szavaiban annyi rágalmat fejezzen ki ellenem és tanárom ellen, hogy érvelése annyira alaptalan volt, hogy aligha vennék fáradságot, ha megcáfolnám az elsőt, és megmutathatnám önöknek a következetlenséget; a második. Először is, milyen megtévesztésről beszélhetünk, ha Niccolo Tartaglia teljesen önként osztotta meg módszerét mindkettőnkkel? Geronimo Cardano pedig így ír az ellenfelem szerepéről az algebrai szabály felfedezésében. Azt mondja, hogy nem ő, Cardano, „hanem Tartaglia barátom az a megtiszteltetés, hogy felfedezhet valami oly szépet és csodálatosat, amely felülmúlja az emberi szellemet és az emberi szellem minden tehetségét. Ez a felfedezés valóban mennyei ajándék, olyan csodálatos bizonyítéka az elme erejének, amely felfogta, hogy semmi sem tekinthető elérhetetlennek számára.”

Ellenfelem azzal vádolt engem és a tanáromat, hogy állítólag rossz megoldást adtak a problémáira. De hogyan lehet hibás egy egyenlet gyöke, ha az egyenletbe behelyettesítve és az ebben az egyenletben előírt összes művelet végrehajtásával azonossághoz jutunk? És ha Senor Tartaglia következetes akar lenni, akkor arra a megjegyzésre kellett volna reagálnia, hogy mi, akik szavai szerint elloptuk a találmányát és felhasználtuk a felvetett problémák megoldására, miért kaptunk rossz megoldást. Mi - tanárom és én - nem tartjuk csekély jelentőségűnek Signor Tartaglia találmányát. Ez a találmány csodálatos. Sőt, nagyrészt erre támaszkodva találtam módot egy 4. fokú egyenlet megoldására, és Arsmagnában erről beszél a tanárom. Mit akar tőlünk Senor Tartaglia? Mit akar elérni a vitával?

Uraim, uraim – kiáltotta Tartaglia –, arra kérem, hallgassanak rám! Nem tagadom, hogy fiatal ellenfelem nagyon erős logikában és ékesszólásban. De ez nem helyettesítheti a valódi matematikai bizonyítást. A Cardanónak és a Ferrarinak adott problémákat rosszul oldották meg, de ezt is be fogom bizonyítani. Valóban, vegyünk például egy egyenletet a megoldottak közül. Tudott...

Ezzel véget ért ez a vita, amely továbbra is újabb és újabb vitákat okoz. Valójában kié a 3. fokú egyenlet megoldási módszere? Most beszélünk – Niccolo Tartaglie. Ő fedezte fel, és Cardano becsapta a felfedezésbe. És ha most egy 3. fokú egyenlet gyökereit az együtthatókon keresztül reprezentáló képletet Cardano formulának nevezzük, akkor ez történelmi igazságtalanság. Azonban igazságtalan? Hogyan lehet kiszámítani az egyes matematikusok részvételének mértékét a felfedezésben? Talán idővel valaki képes lesz erre a kérdésre abszolút pontosan megválaszolni, vagy talán rejtély marad...

A modern matematikai nyelv és a modern szimbolika felhasználásával a Cardano-képlet levezetése a következő rendkívül elemi megfontolások alapján érhető el:

Adjunk meg egy 3. fokú általános egyenletet:

x 3 + fejsze 2 + bx + c = 0,

(1)

Ahola, b, c – tetszőleges valós számok.

Cseréljük le az (1) egyenletben szereplő változót!x egy új változóhoz yképlet szerint:

x 3 +ax 2 +bx+c = (y ) 3 + a(y ) 2 + b(y ) + c = y 3 3 év 2 + 3 év+ a(y 2 2y+ által = y 3 y 3 + (b

akkor az (1) egyenlet a következő alakot veszi fely 3 + ( b

Ha bevezetjük a jelöléstp = b, q = ,

akkor az egyenlet alakot vesz fely 3 + py + q = 0.

Ez a híres Cardano formula.

Köbös egyenlet gyökereiy 3 + py + q = 0 a diszkriminánstól függ

HaD> 0, akkoregy köbös polinomnak három különböző valós gyöke van.

HaD< 0, то egy köbös polinomnak van egy valós gyöke és két komplex gyöke (amelyek komplex konjugált).

HaD = 0, többszörös gyöke van (vagy a 2. multiplicitás egy gyökere és az 1. multiplicitás egy gyöke, mindkettő valós; vagy a 3. multiplicitás egyetlen valós gyöke).

2.4. Példák a köbegyenletek megoldásának univerzális módszereire

Próbáljuk meg alkalmazni a Cardan-képletet konkrét egyenletek megoldására.

1. példa: x 3 +15 x+124 = 0

Ittp = 15; q = 124.

Válasz:x