Hogyan találjuk meg a vektorszorzat koordinátáit. Kereszttermék - definíciók, tulajdonságok, képletek, példák és megoldások

Ebben a leckében további két műveletet nézünk meg vektorokkal: vektorok vektorszorzataÉs vektorok vegyes szorzata (azonnali link akinek szüksége van rá). Nem baj, néha megesik, hogy a teljes boldogság érdekében, ráadásul vektorok skaláris szorzata, egyre többre van szükség. Ez vektorfüggőség. Úgy tűnhet, hogy az analitikus geometria dzsungelébe kerülünk. Ez rossz. A felsőbb matematikának ebben a részében általában kevés a fa, kivéve talán elég Pinokkiót. Valójában az anyag nagyon gyakori és egyszerű – aligha bonyolultabb, mint ugyanaz skaláris szorzat, még kevesebb lesz a tipikus feladat. Az analitikus geometriában a legfontosabb, ahogyan sokan meggyõzõdnek vagy már meggyõzõdtek, hogy NE KÖVESSEN HIBÁT A SZÁMÍTÁSBAN. Ismételd, mint egy varázslatot, és boldog leszel =)

Ha a vektorok valahol távol csillognak, mint a villám a láthatáron, akkor nem számít, kezdje a leckével Vektorok bábokhoz a vektorokkal kapcsolatos alapvető ismeretek helyreállítása vagy visszaszerzése. A felkészültebb olvasók szelektíven ismerkedhetnek meg az információkkal. Igyekeztem a gyakorlati munkában gyakran előforduló legteljesebb példagyűjteményt összegyűjteni

Mitől leszel azonnal boldog? Kicsi koromban két vagy akár három labdával is tudtam zsonglőrködni. Jól sikerült. Most már egyáltalán nem kell zsonglőrködnie, hiszen megfontoljuk csak térbeli vektorok, és a két koordinátájú lapos vektorok kimaradnak. Miért? Így születtek ezek az akciók - a vektorok és a vektorok vegyes szorzata definiálva és háromdimenziós térben működik. Máris könnyebb!

Ez a művelet, akárcsak a skalárszorzat, magában foglalja két vektor. Legyenek ezek múlhatatlan betűk.

Maga az akció által jelölve a következő módon: . Vannak más lehetőségek is, de én a vektorok vektorszorzatát szoktam így jelölni, szögletes zárójelben kereszttel.

És azonnal kérdés: ha bent vektorok skaláris szorzata két vektorról van szó, és itt is két vektort szorozunk, akkor mi a különbség? A nyilvánvaló különbség mindenekelőtt az EREDMÉNYBEN rejlik:

A vektorok skaláris szorzatának eredménye SZÁM:

A vektorok keresztszorzatának eredménye VECTOR: , azaz megszorozzuk a vektorokat és ismét vektort kapunk. Zárt klub. Valójában innen származik a művelet neve. A különböző oktatási irodalomban a megnevezések is változhatnak.

A keresztszorzat definíciója

Először lesz egy definíció képpel, majd kommentek.

Meghatározás: Vektoros termék nem kollineáris vektorok, ebben a sorrendben szedve, neve VECTOR, hossz ami számszerűen egyenlő a paralelogramma területével, ezekre a vektorokra épülve; vektor merőleges a vektorokra, és úgy van irányítva, hogy az alap megfelelő tájolású legyen:

Bontsuk fel a definíciót, sok érdekesség van itt!

Tehát a következő lényeges pontokat lehet kiemelni:

1) Az eredeti vektorok, amelyeket piros nyilak jelölnek, értelemszerűen nem kollineáris. A kollineáris vektorok esetét egy kicsit később célszerű megvizsgálni.

2) Vektorokat veszünk szigorúan meghatározott sorrendben: – "a" szorozva "be", és nem a „legyen” az „a”-vel. A vektorszorzás eredménye a VECTOR, amely kék színnel van jelölve. Ha a vektorokat fordított sorrendben szorozzuk, akkor egyenlő hosszúságú és ellentétes irányú (málna színű) vektort kapunk. Vagyis az egyenlőség igaz .

3) Most ismerkedjünk meg a vektorszorzat geometriai jelentésével. Ez egy nagyon fontos szempont! A kék vektor HOSSZA (és így a bíbor vektor) numerikusan egyenlő a vektorokra épített paralelogramma TERÜLETÉVEL. Az ábrán ez a paralelogramma feketére van árnyékolva.

jegyzet : a rajz sematikus, és természetesen a vektorszorzat névleges hossza nem egyenlő a paralelogramma területével.

Emlékezzünk vissza az egyik geometriai képletre: A paralelogramma területe egyenlő a szomszédos oldalak és a köztük lévő szög szinuszának szorzatával. Ezért a fentiek alapján érvényes a vektorszorzat HOSSZ-számítási képlete:

Hangsúlyozom, hogy a képlet a vektor HOSSZÁRÓL szól, és nem magáról a vektorról. Mi a gyakorlati jelentése? És a jelentés az, hogy az analitikai geometria problémáiban a paralelogramma területét gyakran a vektorszorzat fogalmán keresztül találják meg:

Lássuk a második fontos képletet. A paralelogramma átlója (piros pontozott vonal) két egyenlő háromszögre osztja. Ezért a vektorokra épített háromszög területe (piros árnyékolás) a következő képlettel kereshető meg:

4) Ugyanilyen fontos tény, hogy a vektor ortogonális a vektorokra, azaz . Természetesen az ellentétes irányú vektor (málna nyíl) is ortogonális az eredeti vektorokra.

5) A vektort úgy irányítjuk, hogy alapon Megvan jobb irányultság. A leckében kb áttérni egy új alapra Elég részletesen beszéltem róla sík tájolás, és most kitaláljuk, mi az a térorientáció. Az ujjadon elmagyarázom jobb kéz. Szellemileg kombinálni mutatóujj vektorral és középső ujj vektorral. Gyűrűsujj és kisujj nyomd a tenyeredbe. Ennek eredményeként hüvelykujj– a vektorszorzat felfelé néz. Ez egy jobboldali alap (az ábrán ez van). Most változtassa meg a vektorokat ( mutató és középső ujj) helyenként a hüvelykujj megfordul, és a vektorszorzat máris lefelé néz. Ez is egy jobboldali alap. Felmerülhet a kérdés: melyik alap balra irányult? „Hozzárendelés” ugyanazokhoz az ujjakhoz bal kéz vektorokat, és megkapja a tér bal oldali bázisát és bal oldali tájolását (ebben az esetben a hüvelykujj az alsó vektor irányába fog elhelyezkedni). Képletesen szólva ezek az alapok különböző irányokba „csavarják” vagy orientálják a teret. És ezt a koncepciót nem szabad valami távolinak vagy elvontnak tekinteni - például a tér tájolását a leghétköznapibb tükör megváltoztatja, és ha „kihúzza a visszavert tárgyat az üvegből”, akkor általános esetben nem lehet kombinálni az „eredetivel”. Amúgy tartsd három ujjad a tükör felé, és elemezd a visszaverődést ;-)

...milyen jó, hogy most már tudsz róla jobbra és balra orientált alapokon, mert ijesztőek egyes oktatók kijelentései az irányváltásról =)

Kollineáris vektorok keresztszorzata

A definíciót részletesen tárgyaltuk, még ki kell deríteni, mi történik, ha a vektorok kollineárisak. Ha a vektorok kollineárisak, akkor egy egyenesre helyezhetők, és a paralelogrammánk is egy egyenesbe „gyűrődik”. Az ilyenek területe, ahogy a matematikusok mondják, elfajzott paralelogramma egyenlő nullával. Ugyanez következik a képletből - a nulla vagy 180 fok szinusza egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy a terület nulla

Így ha , akkor És . Vegye figyelembe, hogy maga a vektorszorzat egyenlő a nulla vektorral, de a gyakorlatban ezt gyakran figyelmen kívül hagyják, és azt írják, hogy ez is egyenlő nullával.

Speciális eset egy vektor önmagával való vektorszorzata:

A vektorszorzat segítségével ellenőrizhető a háromdimenziós vektorok kollinearitása, és többek között ezt a problémát is elemezzük.

A gyakorlati példák megoldásához szüksége lehet trigonometrikus táblázat hogy kikeressük belőle a szinuszértékeket.

Na, gyújtsuk meg a tüzet:

1. példa

a) Határozza meg a vektorok vektorszorzatának hosszát, ha

b) Határozza meg a vektorokra épített paralelogramma területét, ha

Megoldás: Nem, ez nem elírás, szándékosan tettem azonossá a kiindulási adatokat a tagmondatokban. Mert a megoldások kialakítása más lesz!

a) A feltételnek megfelelően meg kell találnia hossz vektor (kereszttermék). A megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Ha a hosszról kérdezték, akkor a válaszban megadjuk a méretet - mértékegységeket.

b) A feltételnek megfelelően meg kell találnia négyzet vektorokra épített paralelogramma. Ennek a paralelogrammának a területe számszerűen megegyezik a vektorszorzat hosszával:

Válasz:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a válasz egyáltalán nem szól a vektorszorzatról; az ábra területe, ennek megfelelően a méret négyzetegység.

Mindig megnézzük, MIT kell az állapotnak megfelelően találnunk, és ennek alapján fogalmazunk egyértelmű válasz. Szó szerintinek tűnhet, de rengeteg szó szerinti tanár van köztük, és a feladat jó eséllyel visszakerül átdolgozásra. Bár ez nem egy különösebben eltalált civakodás – ha a válasz helytelen, akkor az a benyomásunk támad, hogy az illető nem ért egyszerű dolgokhoz és/vagy nem értette a feladat lényegét. Ezt a pontot mindig kézben kell tartani a felsőbb matematika és más tantárgyak bármely feladatának megoldása során.

Hová tűnt a nagy „en” betű? Elvileg pluszban hozzá lehetett volna csatolni a megoldáshoz, de a bejegyzés lerövidítése érdekében ezt nem tettem meg. Remélem, ezt mindenki megérti, és ugyanazt a jelölést jelenti.

Egy népszerű példa a barkács megoldásra:

2. példa

Keresse meg a vektorokra épített háromszög területét, ha

A háromszög területének vektorszorzaton keresztüli meghatározásának képlete a definíció megjegyzéseiben található. A megoldás és a válasz a lecke végén található.

A gyakorlatban a feladat nagyon gyakori, a háromszögek általában kínozhatnak.

Más problémák megoldásához szükségünk lesz:

A vektorok vektorszorzatának tulajdonságai

A vektorszorzat néhány tulajdonságát már megvizsgáltuk, de ebbe a listába felveszem őket.

Tetszőleges vektorokra és tetszőleges számokra a következő tulajdonságok igazak:

1) Más információforrásokban ez a tétel általában nincs kiemelve a tulajdonságoknál, de gyakorlati szempontból nagyon fontos. Úgyhogy legyen.

2) – az ingatlanról fentebb is van szó, néha ún antikommutativitás. Más szóval, a vektorok sorrendje számít.

3) – asszociatív ill asszociációs vektor szorzat törvényei. A konstansok könnyen áthelyezhetők a vektorszorzaton kívülre. Tényleg, mit csináljanak ott?

4) – terjesztés ill elosztó vektor szorzat törvényei. A konzolok kinyitásával sincs gond.

Ennek bemutatására nézzünk egy rövid példát:

3. példa

Keresse meg, ha

Megoldás: A feltételhez ismét meg kell találni a vektorszorzat hosszát. Festjük meg miniatűrünket:

(1) Az asszociatív törvények szerint az állandókat a vektorszorzat körén kívülre vesszük.

(2) A konstanst a modulon kívülre mozgatjuk, és a modul „megeszi” a mínusz jelet. A hossza nem lehet negatív.

(3) A többi világos.

Válasz:

Itt az ideje, hogy több fát rakjunk a tűzre:

4. példa

Számítsa ki a vektorokra épített háromszög területét, ha

Megoldás: Keresse meg a háromszög területét a képlet segítségével . A bökkenő az, hogy maguk a „tse” és „de” vektorok vektorok összegeként jelennek meg. Az algoritmus itt szabványos, és némileg emlékeztet a lecke 3. és 4. példájára Vektorok pontszorzata. Az egyértelműség kedvéért a megoldást három szakaszra osztjuk:

1) Az első lépésben a vektorszorzatot a vektorszorzaton keresztül fejezzük ki, valójában fejezzünk ki egy vektort vektorral. A hosszról még nem esett szó!

(1) Helyettesítsd be a vektorok kifejezéseit!

(2) Distributív törvények segítségével kinyitjuk a zárójeleket a polinomok szorzási szabálya szerint.

(3) Az asszociatív törvények segítségével az összes állandót a vektorszorzatokon túlra mozgatjuk. Kis tapasztalattal a 2. és 3. lépés egyszerre is végrehajtható.

(4) Az első és az utolsó tag a szép tulajdonság miatt nullával (nulla vektor) egyenlő. A második tagban egy vektorszorzat antikommutativitásának tulajdonságát használjuk:

(5) Hasonló kifejezéseket mutatunk be.

Ennek eredményeként kiderült, hogy a vektor egy vektoron keresztül fejeződik ki, amit el kellett érni:

2) A második lépésben megkeressük a szükséges vektorszorzat hosszát. Ez a művelet hasonló a 3. példához:

3) Keresse meg a kívánt háromszög területét:

A megoldás 2-3. szakaszát egy sorba lehetett volna írni.

Válasz:

A vizsgált probléma meglehetősen gyakori a tesztekben, itt van egy példa, hogyan oldja meg saját maga:

5. példa

Keresse meg, ha

Rövid megoldás és válasz a lecke végén. Lássuk, milyen figyelmes voltál az előző példák tanulmányozásakor ;-)

A vektorok keresztszorzata koordinátákban

A képlet nagyon egyszerű: a determináns felső sorába írjuk a koordináta vektorokat, a második és harmadik sorba a vektorok koordinátáit „rakjuk”, és szigorú sorrendben– először a „ve” vektor koordinátái, majd a „dupla-ve” vektor koordinátái. Ha a vektorokat más sorrendben kell szorozni, akkor a sorokat fel kell cserélni:

10. példa

Ellenőrizze, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:
A)
b)

Megoldás: Az ellenőrzés a lecke egyik állításán alapul: ha a vektorok kollineárisak, akkor a vektorszorzatuk egyenlő nullával (nulla vektor): .

a) Keresse meg a vektorszorzatot:

Így a vektorok nem kollineárisak.

b) Keresse meg a vektorszorzatot:

Válasz: a) nem kollineáris, b)

Itt van talán minden alapvető információ a vektorok vektorszorzatáról.

Ez a szakasz nem lesz túl nagy, mivel kevés probléma adódik a vektorok vegyes szorzatának felhasználásával. Valójában minden a meghatározástól, a geometriai jelentéstől és néhány munkaképlettől függ.

A vektorok vegyes szorzata három vektor szorzata:

Így hát felsorakoztak, mint egy vonat, és alig várják, hogy azonosítsák őket.

Először is egy definíció és egy kép:

Meghatározás: Vegyes munka nem egysíkú vektorok, ebben a sorrendben szedve, hívott paralelepipedon térfogata, ezekre a vektorokra épül, „+” jellel, ha az alap jobb, és „–” jellel, ha az alap bal.

Csináljuk a rajzot. A számunkra láthatatlan vonalakat pontozott vonalak húzzák:

Merüljünk el a definícióban:

2) Vektorokat veszünk egy bizonyos sorrendben, vagyis a vektorok átrendeződése a szorzatban, ahogy sejthető, nem következik be következmények nélkül.

3) Mielőtt kommentálnám a geometriai jelentést, megjegyzek egy nyilvánvaló tényt: vektorok vegyes szorzata SZÁM: . Az oktatási irodalomban a design kissé eltérhet, a vegyes terméket a jelöléssel, a számítások eredményét pedig a „pe” betűvel szoktam jelölni.

A-priory a kevert termék a paralelepipedon térfogata, vektorokra épített (az ábra piros vektorokkal és fekete vonalakkal van megrajzolva). Vagyis a szám megegyezik egy adott paralelepipedon térfogatával.

jegyzet : A rajz sematikus.

4) Ne törődjünk ismét az alap és a tér orientációjának fogalmával. A záró rész jelentése az, hogy mínusz jelet lehet adni a kötethez. Egyszerűen fogalmazva, a vegyes termék negatív is lehet: .

Közvetlenül a definícióból következik a vektorokra épített paralelepipedon térfogatának kiszámításának képlete.

vektoros alkotás egy két tényezőből felépített síkra merőleges pszeudovektor, amely a háromdimenziós euklideszi tér vektorai feletti „vektorszorzás” bináris művelet eredménye. A vektorszorzat nem rendelkezik a kommutativitás és az asszociativitás tulajdonságaival (antikommutatív), és a vektorok skaláris szorzatával ellentétben vektor. Széles körben használják számos mérnöki és fizikai alkalmazásban. Például a szögimpulzus és a Lorentz-erő matematikailag vektorszorzatként van felírva. A keresztszorzat hasznos a vektorok merőlegességének "mérésére" - két vektor keresztszorzatának modulusa egyenlő a modulusuk szorzatával, ha merőlegesek, és nullára csökken, ha a vektorok párhuzamosak vagy antiparallelek.

A vektorszorzat többféleképpen definiálható, és elméletileg tetszőleges n dimenziójú térben kiszámítható n-1 vektor szorzata, így egyetlen, mindegyikre merőleges vektort kapunk. De ha a szorzat nem triviális bináris szorzatokra korlátozódik vektoreredményekkel, akkor a hagyományos vektorszorzatot csak háromdimenziós és hétdimenziós terekben határozzuk meg. A vektorszorzat eredménye, akárcsak a skalárszorzat, az euklideszi tér metrikájától függ.

Ellentétben a skaláris szorzatvektorok koordinátákból háromdimenziós téglalap alakú koordinátarendszerben történő kiszámításának képletével, a keresztszorzat képlete a téglalap alakú koordinátarendszer orientációjától, vagy más szóval „kiralitásától” függ.

Meghatározás:
Az a és b vektor vektorszorzata az R3 térben egy c vektor, amely megfelel a következő követelményeknek:
a c vektor hossza egyenlő az a és b vektorok hosszának és a közöttük lévő φ szög szinuszának szorzatával:
|c|=|a||b|sin φ;
a c vektor ortogonális az a és b vektorra;
a c vektor úgy van irányítva, hogy az abc vektorok hármasa jobb oldali legyen;
az R7 tér esetében az a, b, c vektorok hármasának asszociativitása szükséges.
Kijelölés:
c===a × b

Rizs. 1. A paralelogramma területe megegyezik a vektorszorzat modulusával

Keresztszorzat geometriai tulajdonságai:
Két nem nulla vektor kollinearitása szükséges és elégséges feltétele, hogy vektorszorzatuk nullával egyenlő.

Kereszttermék modul területtel egyenlő S közös origóra redukált vektorokra épített paralelogramma aÉs b(lásd 1. ábra).

Ha e- a vektorokra merőleges egységvektor aÉs bés úgy választották ki, hogy három a,b,e- igaz, és S a rájuk felépített paralelogramma területe (közös origóra redukálva), akkor érvényes a vektorszorzat képlete:
=S e

2. ábra. Egy paralelepipedon térfogata a vektorok és a vektorok skaláris szorzatának felhasználásával; a szaggatott vonalak a c vektor a × b-re és az a vektor vetületeit mutatják b × c-re, első lépésként meg kell keresni a skaláris szorzatokat

Ha c- néhány vektor, π - bármely sík, amely tartalmazza ezt a vektort, e- egységvektor a síkban fekszik π és arra merőleges c,g- a síkra merőleges egységvektor π és úgy irányítjuk, hogy a vektorok hármasa ekg igaza van, akkor a gépben fekvő mindenre π vektor a a képlet helyes:
=Pr e a |c|g
ahol Pr e a az e vektor vetülete a-ra
|c|-a c vektor modulusa

Vektor és skaláris szorzatok használatakor kiszámítható egy közös origóra redukált vektorokra épített paralelepipedon térfogata a, bÉs c. Három vektor ilyen szorzatát vegyesnek nevezzük.
V=|a (b×c)|
Az ábrán látható, hogy ez a térfogat kétféleképpen is megtalálható: a geometriai eredmény akkor is megmarad, ha a „skaláris” és a „vektor” szorzatot felcseréljük:
V=a×b c=a b×c

A keresztszorzat nagysága az eredeti vektorok közötti szög szinuszától függ, így a keresztszorzat felfogható a vektorok „merőlegességének” mértékeként, ahogy a skaláris szorzat a „párhuzamosság” mértékeként is felfogható. ”. Két egységvektor vektorszorzata egyenlő 1-gyel (egységvektor), ha az eredeti vektorok merőlegesek, és 0-val (nulla vektor), ha a vektorok párhuzamosak vagy antiparallelek.

A keresztszorzat kifejezése derékszögű koordinátákkal
Ha két vektor aÉs b derékszögű derékszögű koordinátáikkal, pontosabban ortonormális alapon ábrázolva
a=(a x,a y,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
és a koordinátarendszer jobbkezes, akkor vektorszorzatuk alakja
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Hogy emlékezzünk erre a képletre:
i =∑ε ijk a j b k
Ahol ε ijk- Levi-Civita szimbóluma.

7.1. A keresztszorzat definíciója

Három nem egysíkú a, b és c vektor a jelzett sorrendben egy jobb oldali hármast alkot, ha a harmadik c vektor végétől az első a vektortól a második b vektorig tartó legrövidebb fordulatot látjuk. legyen az óramutató járásával ellentétes, és egy balkezes hármas, ha az óramutató járásával megegyező irányban (lásd: 16. ábra).

Az a és b vektor keresztszorzatát c vektornak nevezzük, amely:

1. Merőleges az a és b vektorra, azaz c ^ a és c ^ b ;

2. A hossza számszerűen megegyezik az a és vektorokból felépített paralelogramma területévelb mint az oldalakon (lásd 17. ábra), azaz.

3. Az a, b és c vektorok jobb oldali hármast alkotnak.

A keresztszorzatot a x b-vel vagy [a,b]-vel jelöljük. Az alábbi összefüggések az i egységvektorok között közvetlenül következnek a vektorszorzat definíciójából, jÉs k(lásd: 18. ábra):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Bizonyítsuk be például azt i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1, de | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) i, j és vektorok k jobboldali hármast alkotnak (lásd 16. ábra).

7.2. A kereszttermék tulajdonságai

1. A faktorok átrendezésekor a vektorszorzat előjelet vált, azaz. és xb =(b xa) (lásd 19. ábra).

Az a xb és b xa vektorok kollineárisak, ugyanazokkal a modulokkal rendelkeznek (a paralelogramma területe változatlan marad), de ellentétes irányúak (ellentétes orientációjú a, b, a xb és a, b, b x a hármasok). Azaz axb = -(b xa).

2. A vektorszorzatnak van egy kombináló tulajdonsága a skaláris tényezőhöz képest, azaz l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Legyen l >0. Az l (a xb) vektor merőleges az a és b vektorokra. vektor ( l fejsze b szintén merőleges az a és vektorokra b(a vektorok, l de ugyanabban a síkban fekszenek). Ez azt jelenti, hogy a vektorok l(a xb) és ( l fejsze b kollineáris. Nyilvánvaló, hogy irányuk egybeesik. Ugyanolyan hosszúak:

Ezért l(a xb)= l egy xb. Hasonló módon bizonyított l<0.

3. Két nem nulla vektor a és b akkor és csak akkor kollineárisak, ha vektorszorzatuk egyenlő a nulla vektorral, azaz a ||b<=>és xb =0.

Konkrétan i *i =j *j =k *k =0 .

4. A vektorszorzat eloszlási tulajdonsággal rendelkezik:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Bizonyíték nélkül elfogadjuk.

7.3. A keresztszorzat kifejezése koordinátákkal

Az i vektorok keresztszorzattáblázatát fogjuk használni, jés k:

ha az első vektortól a másodikig tartó legrövidebb út iránya egybeesik a nyíl irányával, akkor a szorzat egyenlő a harmadik vektorral, ha nem esik egybe, a harmadik vektort mínuszjellel vesszük.

Legyen adott két a =a x i +a y vektor j+a z kés b =b x én+b y j+b z k. Határozzuk meg ezeknek a vektoroknak a vektorszorzatát úgy, hogy megszorozzuk őket polinomként (a vektorszorzat tulajdonságainak megfelelően):

A kapott képletet még rövidebben is felírhatjuk:

mivel a (7.1) egyenlőség jobb oldala a harmadrendű determináns kiterjesztésének felel meg az első sor elemei tekintetében Az egyenlőség (7.2) könnyen megjegyezhető.

7.4. A kereszttermékek egyes alkalmazásai

Vektorok kollinearitásának megállapítása

Egy paralelogramma és egy háromszög területének meghatározása

A vektorok vektorszorzatának definíciója szerint Aés b |a xb | =|a | * |b |sin g, azaz S pár = |a x b |. És ezért D S =1/2|a x b |.

Egy pont körüli erőnyomaték meghatározása

Legyen erő az A pontban F =AB elengedni RÓL RŐL- valami pont a térben (lásd 20. ábra).

A fizikából ismert, hogy erőpillanat F ponthoz képest RÓL RŐL vektornak nevezzük M, amely áthalad a ponton RÓL RŐLÉs:

1) merőleges a pontokon átmenő síkra O, A, B;

2) számszerűen egyenlő a karonkénti erő szorzatával

3) jobboldali hármast alkot OA és A B vektorokkal.

Ezért M = OA x F.

Lineáris forgási sebesség megállapítása

Sebesség v szögsebességgel forgó merev test M pontja w egy rögzített tengely körül, az Euler-képlet v =w xr határozza meg, ahol r =OM, ahol O a tengely valamely rögzített pontja (lásd 21. ábra).

Angol: A Wikipédia biztonságosabbá teszi az oldalt. Régi webböngészőt használ, amely a jövőben nem tud csatlakozni a Wikipédiához. Kérjük, frissítse eszközét, vagy forduljon a rendszergazdához.

中文: Az 以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）.

Spanyol: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Használta a webes navigációt a Wikipédiában és a jövőképben. Aktuális eszköz vagy kapcsolatfelvétel az adminisztrátorral. Más abajo hay una aktualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniks et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ???す るか情報は以下に英語で提供しています.

Német: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

olasz: A Wikipédia biztonságosabb. Maradjon használatban a webböngészőben che non sarà a Wikipédia jövőbeli kapcsolataiban. Per favore, aggiorna il your dispositivo or contatta il your administratore informatic. Più in basso elérhető egy legrészletesebb és legfejlettebb technológia angol nyelven.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipédia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Frissítse az IT-adminisztrátort. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Eltávolítjuk a nem biztonságos TLS-protokoll-verziók támogatását, különösen a TLSv1.0-t és a TLSv1.1-et, amelyekre böngészőszoftvere támaszkodik a webhelyeinkhez való csatlakozáskor. Ezt általában elavult böngészők vagy régebbi Android okostelefonok okozzák. Vagy lehet a vállalati vagy személyes "Web Security" szoftver által okozott interferencia, amely valójában rontja a kapcsolat biztonságát.

Webhelyeink eléréséhez frissítenie kell webböngészőjét, vagy más módon meg kell oldania a problémát. Ez az üzenet 2020. január 1-ig megmarad. Ezt követően a böngészője nem tud kapcsolatot létesíteni a szervereinkkel.

Az i, j és k vektorok keresztszorzattáblázatát fogjuk használni:

ha az első vektortól a másodikig tartó legrövidebb út iránya egybeesik a nyíl irányával, akkor a szorzat egyenlő a harmadik vektorral, ha nem esik egybe, a harmadik vektort mínuszjellel vesszük.

Legyen adott két a=axi +ayj +azk és b =bxi +byj +bzk vektor. Határozzuk meg ezeknek a vektoroknak a vektorszorzatát úgy, hogy megszorozzuk őket polinomként (a vektorszorzat tulajdonságainak megfelelően):
A kapott képletet még rövidebben is felírhatjuk: mivel a (7.1) egyenlőség jobb oldala a harmadrendű determináns kiterjesztésének felel meg az első sor elemei tekintetében Az egyenlőség (7.2) könnyen megjegyezhető.

7.4. A kereszttermékek egyes alkalmazásai

Vektorok kollinearitásának megállapítása.
Egy paralelogramma és egy háromszög területének meghatározása

Az a és b vektorok vektorszorzatának meghatározása szerint |a xb | = |a| * |b |ének, azaz S pár = |a x b |. És ezért DS =1/2|a x b |.

Egy pont körüli erőnyomaték meghatározása

Legyen egy F =AB erő az A pontban, és legyen O a tér valamely pontja A fizikából ismert, hogy az F erő nyomatéka az O ponthoz képest az M vektor, amely átmegy az O ponton, és:

1) merőleges az O, A, B pontokon átmenő síkra;

2) számszerűen egyenlő a vállra ható erő szorzatával 3) jobb oldali hármast alkot OA és A B vektorokkal.

Ezért M = OA x F. Lineáris forgási sebesség megállapítása

Egy rögzített tengely körül w szögsebességgel forgó merev test M pontjának v sebességét a v =w xr Euler-képlet határozza meg, ahol r =OM, ahol O a tengely valamely rögzített pontja (lásd az ábrát). 21).

Szög vektorok között

Két vektor skaláris szorzatának definíciójából az következik, hogy ha a és vektorokat a koordináták ill. , akkor az (1.6.3.1) képlet a következőképpen lesz felírva:

A vektorokra épített paralelogramma területe

A szakaszok hosszának, a pontok közötti távolságnak, a testek felületének és térfogatának mérésével kapcsolatos problémák a problémák egy fontos osztályába tartoznak, amelyeket általában metrikusnak neveznek. Az előző részben megtanultuk, hogyan kell vektoralgebra segítségével kiszámítani a szakaszok hosszát és a pontok közötti távolságot. Most meg fogjuk találni a területek és térfogatok kiszámításának módjait. A vektoralgebra csak meglehetősen egyszerű esetekben teszi lehetővé az ilyen problémák felállítását és megoldását. Tetszőleges felületek területeinek és tetszőleges testek térfogatának kiszámításához elemzési módszerekre van szükség. Az elemzési módszerek viszont jelentősen támaszkodnak azokra az eredményekre, amelyeket a vektoralgebra ad.

A probléma megoldására egy meglehetősen hosszú és nehéz utat választottunk, amelyet Hilbert Strang javasolt, számos geometriai transzformációval és gondos algebrai számításokkal. Annak ellenére választottuk ezt az utat, hogy vannak más megközelítések is, amelyek gyorsabban vezetnek a célhoz, mert ez közvetlennek és természetesnek tűnt számunkra. A tudományban a közvetlen út nem mindig a legkönnyebb. A tapasztalt emberek tudnak erről, és előnyben részesítik a körforgalmú utakat, de ha nem próbál egyenesen haladni, tudatlan maradhat az elmélet néhány finomságáról.

Az általunk választott úton természetesen megjelennek olyan fogalmak, mint a térbeli tájékozódás, determináns, vektor és vegyes szorzat. A determináns geometriai jelentése és tulajdonságai különösen jól láthatóak, mintha mikroszkóp alatt lennének. Hagyományosan a determináns fogalmát a lineáris egyenletrendszerek elmélete vezeti be, de éppen az ilyen rendszerek megoldására szinte használhatatlan a determináns. A determináns geometriai jelentése elengedhetetlen a vektor- és tenzoralgebrához.

Most legyünk türelmesek, és kezdjük a legegyszerűbb és legérthetőbb esetekkel.

1. A vektorok a derékszögű koordinátarendszer koordinátatengelyei mentén vannak orientálva.

Legyen az a vektor az x tengely mentén, a b vektor pedig az y tengely mentén. ábrán. A 21. ábra négy különböző lehetőséget mutat a vektorok koordinátatengelyekhez viszonyított elhelyezkedésére.

A és b vektorok koordináta alakban: Ahol a és b jelöli a megfelelő vektor nagyságát, a pedig a vektor koordinátájának előjele.

Mivel a vektorok merőlegesek, a rájuk szerkesztett paralelogrammák téglalapok. Területük egyszerűen az oldaluk terméke. Fejezzük ki ezeket a szorzatokat vektorkoordinátákkal mind a négy esetben.

Mind a négy képlet a terület kiszámításához ugyanaz, kivéve az előjelet. Csupán becsukhatod a szemed és leírhatod, hogy minden esetben. Egy másik lehetőség azonban eredményesebbnek bizonyul: a jelnek valamilyen jelentést adni. Nézzük meg figyelmesen az ábrát. 21. Azokban az esetekben, amikor a vektorról vektorra forgatást az óramutató járásával megegyezően hajtjuk végre. Azokban az esetekben, amikor kénytelenek vagyunk mínuszjelet használni a képletben, a vektorról vektorra forgatás az óramutató járásával ellentétes irányban történik. Ez a megfigyelés lehetővé teszi számunkra, hogy a terület kifejezésekben szereplő jelet a sík tájolásához viszonyítsuk.

A plusz vagy mínusz előjellel rendelkező a és b vektorokra épített téglalap területét orientált területnek tekintjük, és a jelet a vektorok által meghatározott tájolással társítják. Egy orientált területhez írhatunk egyetlen képletet mind a négy esetre: . Az S betű feletti „vektor” oszlopjel azért került bevezetésre, hogy megkülönböztesse a közönséges, mindig pozitív területet az orientálttól.

Sőt, nyilvánvaló, hogy ugyanazok a vektorok, eltérő sorrendben, ellentétes orientációt határoznak meg, ezért . Továbbra is csak S betűvel jelöljük a területet, és ezért .

Most, hogy úgy tűnik, hogy a terület fogalmának bővítése árán általános kifejezést kaptunk, a figyelmes olvasó azt fogja mondani, hogy nem vettünk figyelembe minden lehetőséget. Valójában a vektorok elhelyezésére vonatkozó, az ábrán bemutatott négy lehetőség mellett. 21, van még négy (22. ábra) Írjuk fel ismét koordináta alakban a vektorokat: fejezzük ki a területeket a vektorok koordinátáin keresztül. 4. . Az új kifejezésekben a jelek nem változtak, de sajnos az elõzõ négy esethez viszonyított orientáció megváltozott. Ezért az orientált területre kénytelenek vagyunk írni: . Bár a zseniális egyszerűség reménye nem volt jogos, mégis leírhatunk egy általános kifejezést mind a négy esetre.

Vagyis a vektorokra épített téglalap orientált területe, mint az oldalakon, megegyezik a vektorok koordinátáiból álló determinánssal, mint az oszlopokon.

Úgy gondoljuk, hogy az olvasó ismeri a determinánsok elméletét, ezért nem foglalkozunk vele részletesen. Megfelelő definíciókat adunk azonban annak érdekében, hogy megváltoztassuk a hangsúlyt, és megmutassuk, hogy ez a fogalom pusztán geometriai megfontolásokból származhat. , , ugyanazon fogalom különböző jelölési formái – determináns, amely vektorkoordinátákból, például oszlopokból áll. Egyenlőség definíciójának tekinthető a kétdimenziós esetre.

2. A b vektor nem párhuzamos az x tengellyel; az a/ vektor tetszőleges vektor.

Annak érdekében, hogy ezt az esetet a már ismertekre redukáljuk, nézzünk meg néhány geometriai transzformációt egy vektorokra épített paralelogramma és (ábra. vektorok vegyes szorzatai és tulajdonságai