Mátrixok. Műveletek mátrixokon

Vegye figyelembe, hogy a mátrixelemek nem csak számok lehetnek. Képzeljük el, hogy a könyvespolcán lévő könyveket írja le. Legyen rendben a polca, és minden könyv szigorúan meghatározott helyen legyen. A táblázat, amely a könyvtár leírását tartalmazza (polcok és a polcon lévő könyvek sorrendje szerint), szintén mátrix lesz. De egy ilyen mátrix nem lesz numerikus. Egy másik példa. A számok helyett különböző függvények vannak, amelyeket bizonyos függőség egyesít. A kapott táblázatot mátrixnak is nevezzük. Más szavakkal, a mátrix bármely téglalap alakú asztal, amelyből áll homogén elemeket. Itt és a továbbiakban a számokból álló mátrixokról lesz szó.

Zárójelek helyett szögletes zárójeleket vagy egyenes dupla függőleges vonalakat használnak a mátrixok írásához

(2.1*)

2. definíció. Ha a kifejezésben(1) m = n, aztán arról beszélnek négyzetmátrix, és ha , akkor ó négyszögletes.

Az m és n értékétől függően néhány speciális mátrixtípust különböztetünk meg:

A legfontosabb jellemző négyzet mátrix ő döntő vagy döntő, amely mátrixelemekből épül fel és jelöli

Nyilvánvaló, hogy D E =1; .

3. definíció. Ha , majd a mátrix A hívott nem degenerált vagy nem különleges.

4. definíció. Ha detA = 0, majd a mátrix A hívott elfajzott vagy különleges.

5. definíció. Két mátrix A És B hívják egyenlő és írj A = B ha azonos méretekkel rendelkeznek és a hozzájuk tartozó elemeik egyenlőek, pl..

Például a és mátrixok egyenlőek, mert egyenlő méretűek, és az egyik mátrix minden eleme egyenlő a másik mátrix megfelelő elemével. De a mátrixok nem nevezhetők egyenlőnek, bár mindkét mátrix determinánsai egyenlőek, és a mátrixok mérete is azonos, de nem minden azonos helyen található elem egyenlő. A mátrixok eltérőek, mert különböző méretűek. Az első mátrix 2x3, a második 3x2 méretű. Bár az elemek száma azonos - 6, és maguk az elemek ugyanazok: 1, 2, 3, 4, 5, 6, de minden mátrixban más-más helyen vannak. De a mátrixok egyenlőek az 5. definíció szerint.

6. definíció. Ha bizonyos számú mátrixoszlopot rögzít A és ugyanannyi sor, akkor a jelzett oszlopok és sorok metszéspontjában lévő elemek négyzetmátrixot alkotnak n- rendű, melynek meghatározója hívott kiskorú k – rendű mátrix A.

Példa. Írjon fel a mátrix három másodrendű minorját!

Lineáris algebrai feladatok. A mátrix fogalma. A mátrixok típusai. Műveletek mátrixokkal. Mátrix transzformációs feladatok megoldása.

A matematika különféle feladatainak megoldása során gyakran kell mátrixnak nevezett számtáblázatokkal foglalkozni. A mátrixok segítségével kényelmes a lineáris egyenletrendszerek megoldása, számos művelet végrehajtása vektorokkal, különféle számítógépes grafikai és egyéb mérnöki problémák megoldása.

A mátrix az ún mennyiséget tartalmazó téglalap alakú számtáblázat m sorok és egy bizonyos szám P oszlopok. Számok TÉs P mátrix rendeknek nevezzük. Ha T = P, a mátrixot négyzetnek nevezzük, és a számot m = n - a rendelése.

A jövőben dupla kötőjeleket vagy zárójeleket használunk a mátrixok írásához:

Vagy

Egy mátrix rövid jelölésére gyakran egyetlen nagybetűt (például A) vagy szimbólumot használnak || a ij ||, és néha magyarázattal: A = || a ij || = (a ij), Ahol (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n).

Számok aij, ebbe a mátrixba bekerült elemeinek nevezzük. Felvételben a ij első index і a sorszámot és a második indexet jelenti j- oszlopszám. Négyzetes mátrix esetén

(1.1)

Bemutatjuk a fő- és másodlagos átló fogalmát. Az (1.1) mátrix főátlóját átlónak nevezzük a 11 és 12 … Ann ennek a mátrixnak a bal felső sarkából a jobb alsó sarkába haladva. Ugyanazon mátrix oldalátlóját átlónak nevezik a n 1 a (n -1)2… a 1 n, a bal alsó saroktól a jobb felső sarok felé haladva.

Alapműveletek mátrixokkal és tulajdonságaik.

Térjünk át a mátrixok alapvető műveleteinek meghatározására.

Mátrix összeadás. Két mátrix összege A = || a ij || , Ahol És B = || b ij || , Ahol (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n) ugyanazok a parancsok TÉs P C = mátrixnak nevezzük || c ij || (i = 1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) ugyanazok a parancsok TÉs P, elemeket ij-vel amelyeket a képlet határoz meg

, Ahol (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.2)

Két mátrix összegének jelölésére a jelölést használjuk C = A + B. A mátrixok összegének összeállításának műveletét összeadásnak nevezzük. Tehát definíció szerint:

+ =

A mátrixok összegének definíciójából, pontosabban az (1.2) képletekből azonnal következik, hogy a mátrixösszeadás művelete ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a valós számok összeadásának művelete, nevezetesen:

1) kommutatív tulajdonság: A + B = B + A,

2) asszociatív tulajdonság: ( A + B) + C = A + (B + C).

Ezek a tulajdonságok lehetővé teszik, hogy ne aggódjunk a mátrixtagok sorrendje miatt, amikor két vagy több mátrixot adunk hozzá.

Egy mátrix szorzása egy számmal. Az A mátrix szorzata = || a ij || , ahol (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) l valós számmal, mátrixnak nevezzük. C = || c ij || (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), amelynek elemeit a következő képlet határozza meg:

, Ahol (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.3)

Egy mátrix és egy szám szorzatának jelölésére a jelölést használjuk C = l A vagy C = A l. Azt a műveletet, amikor egy mátrix szorzatát számmal állítjuk össze, úgy nevezzük, hogy a mátrixot megszorozzuk ezzel a számmal.

Közvetlenül az (1.3) képletből világos, hogy egy mátrix számmal való szorzata a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1) asszociatív tulajdonság a numerikus szorzóval kapcsolatban: (l m) A = l (m A);

2) eloszlási tulajdonság a mátrixok összegére vonatkozóan: l (A + B) = l A + l B;

3) megoszlási tulajdonság a számok összegére vonatkozóan: (l + m) A = l A + m A

Megjegyzés. Két mátrix különbsége AÉs BAN BEN azonos megrendelések TÉs P természetes az ilyen mátrix elnevezése VAL VEL ugyanazok a parancsok TÉs P, ami a mátrixszal összegez B megadja az A mátrixot. A természetes jelölés két mátrix különbségének jelölésére szolgál: C = A - B.

Nagyon könnyű ellenőrizni a különbséget VAL VEL két mátrix AÉs BAN BEN szabály szerint lehet beszerezni C = A + (–1) V.

Mátrixok szorzata vagy mátrixszorzás.

Mátrix termék A = || a ij || , ahol (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) amelynek sorrendje megfelelően egyenlő TÉs n, a mátrixhoz B = || b ij || , Ahol (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p), amelynek sorrendje megfelelően egyenlő nÉs R, mátrixnak nevezzük C = || c ij || (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), amelynek sorrendje megfelelően egyenlő TÉs R amelynek elemeit a következő képlet határozza meg:

Ahol (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Egy mátrix szorzatának jelölésére A a mátrixhoz BAN BEN használja a felvételt C = A × B. A mátrixszorzat összeállításának művelete A a mátrixhoz BAN BEN ezeket a mátrixokat szorzásnak nevezzük.

A fent megfogalmazott definícióból az következik Az A mátrix nem szorozható meg minden B mátrixszal, szükséges, hogy a mátrix oszlopainak száma A egyenlő volt a mátrix sorok számával BAN BEN.

Az (1.4) képlet a C mátrix elemeinek összeállítására szolgáló szabály, amely a mátrix szorzata A a mátrixhoz BAN BEN. Ez a szabály szóban is megfogalmazható: a C = A B mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának metszéspontjában álló c i j elem egyenlő az A mátrix i-edik sora és a j-edik oszlopa megfelelő elemeinek páronkénti szorzatának összegével. a B mátrixból.

E szabály alkalmazására példaként bemutatjuk a másodrendű négyzetmátrixok szorzóképletét.

× =

Az (1.4) képletből a mátrixszorzat következő tulajdonságai következnek: A a mátrixon BAN BEN:

1) asszociatív tulajdonság: (A B) C = A (B C);

2) eloszlási tulajdonság a mátrixok összegéhez viszonyítva:

(A + B) C = A C + B C vagy A (B + C) = A B + A C.

Kérdés egy mátrix szorzatának kommutatív tulajdonságára vonatkozóan A a mátrixhoz BAN BEN csak négyzetmátrixokra érdemes beállítani A és B ugyanaz a sorrend.

Mutassuk be a mátrixok fontos speciális eseteit, amelyekre a permutációs tulajdonság is igaz. Két olyan mátrixot, amelyek szorzata rendelkezik kommutációs tulajdonsággal, általában ingázásnak nevezik.

A négyzetes mátrixok közül kiemeljük az úgynevezett átlós mátrixok osztályát, amelyek mindegyikének vannak olyan elemei, amelyek a nullával egyenlő főátlón kívül helyezkednek el. Minden átlós sorrendű mátrix Púgy néz ki, mint a

D= (1.5)

Ahol d 1, d 2,… ,dn- bármilyen szám. Könnyen belátható, hogy ha mindezek a számok egyenlőek egymással, i.e. d 1 = d 2 =… = d n akkor bármely négyzetmátrixra A rendelés P az egyenlőség igaz A D = D A.

Az összes átlós mátrix (1.5) között, amelyek egybeeső elemei vannak d 1 = d 2 =… = dn= = d Két mátrix különösen fontos szerepet játszik. Ezen mátrixok közül az elsőt úgy kapjuk meg d = 1, identitásmátrixnak nevezzük n E. A második mátrixot akkor kapjuk meg, amikor d = 0, nulla mátrixnak nevezzük n-edik sorrendben, és a szimbólum jelöli O.És így,

E= O=

A fentebb bizonyítottak miatt A E = E AÉs A O = O A. Ráadásul ezt könnyű kimutatni

A E = E A = A, A O = O A = 0. (1.6)

Az (1.6) képlet közül az első az identitásmátrix speciális szerepét jellemzi E, hasonló az 1-es szám szerepéhez a valós számok szorzásakor. Ami a nulla mátrix speciális szerepét illeti RÓL RŐL, akkor nem csak az (1.7) képlet második, hanem az elemi igazolható egyenlőség is megmutatja

A + 0 = 0 + A = A.

Végezetül megjegyezzük, hogy a nulla mátrix fogalma bevezethető nem négyzetes mátrixokra is (nulla ún. Bármi mátrix, amelynek minden eleme nulla).

Blokkmátrixok

Tegyük fel, hogy valamilyen mátrix A = || a ij || vízszintes és függőleges vonalak segítségével külön téglalap alakú cellákra osztják, amelyek mindegyike kisebb méretű mátrix, és az eredeti mátrix blokkjának nevezik. Ebben az esetben lehetővé válik az eredeti mátrix figyelembevétele A mint valami új (ún. blokk) mátrix A = || A a b ||, melynek elemei a megadott blokkok. Ezeket az elemeket nagybetűvel jelöljük, hogy hangsúlyozzuk, hogy ezek általában véve mátrixok és nem számok, és (a közönséges numerikus elemekhez hasonlóan) két indexet adunk, amelyek közül az első a „blokk” sor számát, a második pedig a „blokk” sor számát jelzi. - a „blokk” » oszlop száma.

Például egy mátrix

blokkmátrixnak tekinthető

melynek elemei a következő blokkok:

Figyelemre méltó az a tény, hogy a blokkmátrixokkal végzett fő műveleteket ugyanazok a szabályok szerint hajtják végre, mint a hagyományos numerikus mátrixokkal, csak a blokkok működnek elemként.

A determináns fogalma.

Tekintsünk egy tetszőleges sorrendű négyzetmátrixot P:

A= (1.7)

Minden ilyen mátrixhoz egy jól definiált numerikus karakterisztikát rendelünk, amelyet determinánsnak nevezünk, és amely ennek a mátrixnak felel meg.

Ha a rendelés n mátrix (1.7) egyenlő eggyel, akkor ez a mátrix egy elemből áll és én j az ilyen mátrixnak megfelelő elsőrendű determináns, ennek az elemnek az értékét fogjuk nevezni.

akkor az ilyen mátrixnak megfelelő másodrendű determináns a szám egyenlő 11-22-12-21 közöttés a következő szimbólumok egyike jelöli:

Tehát definíció szerint

(1.9)

Az (1.9) képlet egy szabály a megfelelő mátrix elemeiből másodrendű determináns felépítésére. Ennek a szabálynak a szóbeli megfogalmazása a következő: az (1.8) mátrixnak megfelelő másodrendű determináns egyenlő a mátrix főátlóján lévő elemek szorzata és a másodlagos átlóján lévő elemek szorzata közötti különbséggel. A második és magasabb rendű determinánsokat széles körben használják lineáris egyenletrendszerek megoldásában.

Nézzük meg, hogyan teljesítik őket műveletek mátrixokkal a MathCad rendszerben . A mátrixalgebra legegyszerűbb műveleteit a MathCad operátorok formájában valósítja meg. Az operátorok írása jelentésében a lehető legközelebb áll a matematikai cselekvésükhöz. Minden operátort egy megfelelő szimbólum fejez ki. Tekintsük a MathCad 2001 mátrix- és vektorműveleteit. A vektorok a dimenziós mátrixok speciális esetei n x 1, ezért rájuk ugyanazok a műveletek érvényesek, mint a mátrixokra, hacsak nincsenek külön korlátozások (például bizonyos műveletek csak négyzetes mátrixokra alkalmazhatók n x n). Egyes műveletek csak vektorokra érvényesek (például skaláris szorzat), míg mások az azonos írásmód ellenére eltérően hatnak vektorokra és mátrixokra.

q Az OK gomb megnyomása után megnyílik egy mező a mátrixelemek bevitelére. Mátrixelem beviteléhez helyezze a kurzort a megjelölt helyre, és írjon be egy számot vagy kifejezést a billentyűzetről.

Ha bármilyen műveletet szeretne végrehajtani az eszköztár használatával, a következőket kell tennie:

q válassza ki a mátrixot, és kattintson a panelen a művelet gombra,

q vagy kattintson a gombra a panelen, és írja be a mátrix nevét a megjelölt helyre.

A „Szimbólumok” menü három műveletet tartalmaz: transzponál, inverzió, determináns.

Ez például azt jelenti, hogy a parancs futtatásával kiszámíthatja egy mátrix determinánsát Szimbólumok/Mátrixok/Determinánsok.

A MathCAD a mátrix első sorának (és első oszlopának) számát az ORIGIN változóban tárolja. Alapértelmezés szerint a számlálás nulláról indul. A matematikai jelöléseknél gyakoribb az 1-től való számolás. Ahhoz, hogy a MathCAD 1-től számolja a sor- és oszlopszámokat, be kell állítani az ORIGIN:=1 változó értékét.

A lineáris algebrai problémák kezelésére tervezett függvények a „Függvény beszúrása” párbeszédpanel „Vektorok és mátrixok” részében vannak gyűjtve (emlékeztessünk arra, hogy a „Standard” panelen található gombbal hívható meg). A főbb funkciókat később ismertetjük.

Transzponálja

Kapcsolódó információ.

A mátrix egy téglalap alakú táblázat, amely tele van néhány matematikai objektummal. Többnyire valamilyen mező elemeit tartalmazó mátrixokat fogunk figyelembe venni, bár sok javaslat érvényben marad, ha a mátrixok elemeit egy asszociatív (nem feltétlenül kommutatív) gyűrű elemeinek tekintjük.

A mátrixelemeket leggyakrabban egy betű és két index jelöli, amelyek az elem „címét” jelzik - az első index az elemet tartalmazó sor számát, a második az oszlop számát adja meg. Így a (dimenziók) mátrixa a formába van írva

A számokból beszúrt mátrixok természetesen keletkeznek, ha lineáris egyenletrendszereket veszünk figyelembe

A probléma bemeneti adatai együtthatók halmaza, amely természetesen egy mátrixot alkot

és csak egy oszlopból álló mátrixot alkotó szabad tagok halmaza. Amit keresünk, az az ismeretlen értékek halmaza, amely, mint kiderült, kényelmesen ábrázolható egy oszlopból álló mátrixként is.

Fontos szerepet játszanak az úgynevezett átlós mátrixok. Ez az elnevezés azokra a négyzetes mátrixokra vonatkozik, amelyeknek minden eleme nulla, kivéve a főátló elemeit, azaz a pozícióban lévő elemeket

Egy átlós elemekkel rendelkező D átlós mátrixot jelölünk

Az A mátrix több kiválasztott sorának és több kijelölt oszlopának metszéspontjában elhelyezkedő elemekből álló mátrixot az A mátrix almátrixának nevezzük. Ha a kiválasztott sorok száma és a kiválasztott oszlopok száma, akkor a megfelelő almátrix

Különösen a mátrix sorai és oszlopai tekinthetők almátrixainak.

A mátrixok természetes módon kapcsolódnak a változók lineáris helyettesítéséhez (lineáris transzformációjához). Ez az elnevezés az eredeti változórendszerről egy másik, új, a képletekkel összefüggő változórendszerre való átmenetre utal

A változók lineáris helyettesítését együtthatómátrix segítségével határozzuk meg

A lineáris egyenletrendszerek közül azoknak a rendszereknek van a legnagyobb jelentősége, amelyekben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával. A változók lineáris helyettesítései között a főszerepet azok a helyettesítések játsszák, amelyekben az eredeti és az új változók száma azonos. Ezekben a helyzetekben az együttható mátrix négyzetesnek bizonyul, azaz azonos számú sorral és oszloppal rendelkezik; ezt a számot a négyzetmátrix rendjének nevezzük.

Ahelyett, hogy azt mondanák, hogy „egy sorból álló mátrix” és „egy oszlopból álló mátrix”, röviden azt mondják: sor, oszlop.

Mátrixok. Műveletek mátrixokon. Mátrixokon végzett műveletek tulajdonságai. A mátrixok típusai.

Mátrixok (és ennek megfelelően a matematikai szakasz - mátrixalgebra) Az alkalmazott matematikában fontosak, mivel lehetővé teszik az objektumok és folyamatok matematikai modelljeinek jelentős részét meglehetősen egyszerű formában. A "mátrix" kifejezés 1850-ben jelent meg. A mátrixokat először az ókori Kínában említették, később az arab matematikusok.

Mátrix A=A mn Az m*n rendet hívják téglalap alakú számtáblázat, amely m - sort és n - oszlopot tartalmaz.

Mátrix elemek aij, amelyre i=j-t átlónak és alaknak nevezzük főátló.

Négyzetes mátrix esetén (m=n) a főátlót az a 11, a 22,..., a nn elemek alkotják.

Mátrix egyenlőség.

A=B, ha a mátrix rendel AÉs B azonosak és a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Műveletek mátrixokon.

1. Mátrix összeadás - elemenkénti művelet

2. Mátrixok kivonása - elemenkénti művelet

3. Egy mátrix és egy szám szorzata elemenkénti művelet

4. Szorzás A*B mátrixok a szabály szerint sorról oszlopra(az A mátrix oszlopainak számának meg kell egyeznie a B mátrix sorainak számával)

A mk *B kn =C mnés minden elemet ij-vel mátrixok Cmn egyenlő az A mátrix i-edik sora elemeinek a B mátrix j-edik oszlopának megfelelő elemeinek szorzatával, azaz.

Mutassuk be egy példa segítségével a mátrixszorzás működését

5. Hatványozás

m>1 pozitív egész szám. A négyzetmátrix (m=n), azaz. csak a négyzetmátrixokra vonatkozik

6. A transzponáló mátrix. A transzponált mátrixot A T vagy A" jelöli

Sorok és oszlopok felcserélve

Példa

Mátrixokon végzett műveletek tulajdonságai

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

A mátrixok típusai

1. Téglalap alakú: mÉs n- tetszőleges pozitív egész számok

2. Négyzet: m=n

3. Mátrix sor: m=1. Például (1 3 5 7) - sok gyakorlati problémában egy ilyen mátrixot vektornak neveznek

4. Mátrix oszlop: n=1. Például

5. Átlós mátrix: m=nÉs a ij =0, Ha i≠j. Például

6. Identitásmátrix: m=nÉs

7. Nulla mátrix: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Háromszögmátrix: a főátló alatti összes elem 0.

9. Szimmetrikus mátrix: m=nÉs a ij =a ji(azaz az egyenlő elemek a főátlóhoz képest szimmetrikus helyeken helyezkednek el), és ezért A"=A

Például,

10. Ferde-szimmetrikus mátrix: m=nÉs a ij =-a ji(azaz az ellentétes elemek a főátlóhoz képest szimmetrikus helyeken helyezkednek el). Következésképpen a főátlón nullák vannak (mióta i=j nekünk van a ii =-a ii)

Egyértelmű, A"=-A

11. Hermitikus mátrix: m=nÉs a ii =-ã ii (ã ji- komplex - konjugált a ji, azaz Ha A=3+2i, akkor a komplex konjugátum Ã=3-2i)

Utasítás. Online megoldáshoz meg kell adni egy mátrix kifejezést. A második szakaszban tisztázni kell a mátrixok méretét. Érvényes műveletek: szorzás (*), összeadás (+), kivonás (-), inverz mátrix A^(-1), hatványozás (A^2, B^3), mátrix transzponálás (A^T).

Érvényes műveletek: szorzás (*), összeadás (+), kivonás (-), inverz mátrix A^(-1), hatványozás (A^2, B^3), mátrix transzponálás (A^T).
A műveletek listájának végrehajtásához használjon pontosvesszőt (;) elválasztót. Például három művelet végrehajtásához:
a) 3A+4B
b) AB-BA
c) (A-B) -1
így kell írni: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

A mátrix egy téglalap alakú numerikus táblázat, m sorral és n oszloppal, így a mátrix sematikusan téglalapként ábrázolható.
Nulla mátrix (null mátrix) olyan mátrix, amelynek minden eleme egyenlő nullával, és 0-val jelöljük.
Identitásmátrix forma négyzetmátrixának nevezzük

Határozzuk meg alapvető műveletek mátrixokon.

Mátrix összeadás

6. példa. .
A mátrixösszeadás művelete tetszőleges számú tag esetére kiterjed. Nyilvánvalóan A+0=A .
Hangsúlyozzuk még egyszer, hogy csak azonos méretű mátrixok adhatók hozzá; Különböző méretű mátrixok esetén az összeadási művelet nincs meghatározva.

Mátrixok kivonása

Mátrixszorzás

Meghatározás . Legyen két mátrix A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) és B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), és A oszlopok száma megegyezik B sorainak számával. A és B szorzata a C=||c i k || mátrix, melynek elemeit a képlet határozza meg .
Jelöljük: C=A·B.
Sematikusan a mátrixszorzás művelete a következőképpen ábrázolható:

és a termék elemének kiszámításának szabálya:

Hangsúlyozzuk még egyszer, hogy az A·B szorzatnak akkor és csak akkor van értelme, ha az első tényező oszlopainak száma megegyezik a második sorainak számával, és a szorzat olyan mátrixot állít elő, amelynek sorainak száma megegyezik a az első tényező sorainak száma, és az oszlopok száma megegyezik a második faktor oszlopainak számával. A szorzás eredményét egy speciális online számológép segítségével ellenőrizheti.

7. példa. Adott mátrixok És . Keresse meg a C = A·B és D = B·A mátrixokat.
Megoldás. Először is vegye figyelembe, hogy az A·B szorzat azért létezik, mert A oszlopainak száma megegyezik B sorainak számával.

8. példa. Adott egy mátrix . Keresse meg a 3A 2 – 2A.
Megoldás.

.
; .
.
Vegyük észre a következő érdekességet.
Mint tudják, két nem nulla szám szorzata nem egyenlő nullával. Mátrixoknál hasonló körülmény nem fordulhat elő, vagyis a nullától eltérő mátrixok szorzata egyenlőnek bizonyulhat a nullmátrixszal.