Egy végtelenül nagy függvény definíciója. A végtelenül nagy sorozat definíciója és tulajdonságai.

Infinitezimális és végtelenül nagy függvények definíciói és tulajdonságai egy pontban. Tulajdonságok és tételek bizonyítása. Összefüggés a végtelenül kicsi és a végtelenül nagy függvények között.

Lásd még: Infinitezimális sorozatok - definíció és tulajdonságok
Végtelenül nagy sorozatok tulajdonságai

Infinitezimális és infinitezimális függvények meghatározása

Legyen x 0 véges vagy végtelen pont: ∞, -∞ vagy +∞.

Infinitezimális függvény definíciója
α függvény (x) hívott elenyésző ahogy x hajlamos x-re 0 0 , és egyenlő nullával:
.

Egy végtelenül nagy függvény definíciója
Funkció f (x) hívott végtelenül nagy ahogy x hajlamos x-re 0 , ha a függvény határértéke x → x 0 , és egyenlő a végtelennel:
.

Infinitezimális függvények tulajdonságai

Infinitezimális függvények összegének, különbségének és szorzatának tulajdonsága

Összeg, különbség és szorzat véges számú infinitezimális függvény, mint x → x 0 egy infinitezimális függvény, mint x → x 0 .

Ez a tulajdonság egy függvény határértékeinek aritmetikai tulajdonságainak egyenes következménye.

Tétel egy korlátos függvény és egy infinitezimális szorzatáról

Egy függvény korlátos szorzata az x pont valamelyik kilyukadt szomszédságán 0 , infinitezimálisra, mint x → x 0 , egy infinitezimális függvény, mint x → x 0 .

Az a tulajdonsága, hogy egy függvényt egy állandó és egy infinitezimális függvény összegeként ábrázolunk

Annak érdekében, hogy a függvény f (x) véges határa volt, ez szükséges és elégséges
,
ahol egy infinitezimális függvény x → x 0 .

Végtelenül nagy függvények tulajdonságai

Tétel egy korlátos függvény és egy végtelenül nagy függvény összegéről

Egy korlátos függvény összege vagy különbsége az x pont valamely szúrt környezetében 0 , és egy végtelenül nagy függvény, mint x → x 0 , egy végtelenül nagy függvény, mint x → x 0 .

Tétel egy korlátos függvény végtelen nagydal való osztásának hányadosáról

Ha f függvény (x) végtelenül nagy, mint x → x 0 , és a g függvény (x)- az x pont valamely kilyukadt környékére van határolva 0 , Azt
.

Tétel egy infinitezimális függvény osztásáról

Ha a függvényt a pont valamely kiszúrt környezetében alulról abszolút értékben pozitív szám határolja:
,
és a függvény infinitezimális mint x → x 0 :
,
és van egy kilyukadt környéke annak a pontnak, amelyen , akkor
.

Végtelen nagy függvények egyenlőtlenségeinek tulajdonsága

Ha a függvény végtelenül nagy itt:
,
és a és függvényei a pont valamely kilyukadt szomszédságán kielégítik az egyenlőtlenséget:
,
akkor a függvény is végtelenül nagy itt:
.

Ennek az ingatlannak két speciális esete van.

Legyen a pont valamelyik kilyukasztott környezetében a függvények és teljesüljenek az egyenlőtlenség:
.
Akkor ha , akkor és .
Ha , akkor és .

Összefüggés a végtelenül nagy és a végtelenül kicsi függvények között

Az előző két tulajdonságból a végtelenül nagy és a végtelenül kicsi függvények kapcsolata következik.

Ha egy függvény végtelenül nagy -ben, akkor a függvény végtelenül kicsi -ben.

Ha egy függvény végtelenül kicsi a , és függvényre, akkor a függvény végtelenül nagy -ra.

Egy infinitezimális és egy végtelenül nagy függvény kapcsolata szimbolikusan kifejezhető:
, .

Ha egy infinitezimális függvénynek van egy bizonyos előjele a pontban, azaz pozitív (vagy negatív) a pont valamelyik kilyukadt környezetében, akkor a következőképpen írhatjuk fel:
.
Ugyanígy, ha egy végtelenül nagy függvénynek van egy bizonyos előjele -nél, akkor ezt írják:
, vagy .

Ekkor a végtelenül kicsi és végtelenül nagy függvények közötti szimbolikus kapcsolat a következő összefüggésekkel egészíthető ki:
, ,
, .

A végtelen szimbólumokhoz kapcsolódó további képletek találhatók az oldalon
"A végtelenben lévő pontok és tulajdonságaik."

Tulajdonságok és tételek bizonyítása

Egy korlátos függvény és egy infinitezimális függvény szorzatára vonatkozó tétel bizonyítása

Ennek a tételnek a bizonyítására a -t használjuk. Használjuk az infinitezimális sorozatok tulajdonságát is, amely szerint

Legyen a függvény infinitezimális -ben, és legyen a függvény a pont valamely kiszúrt környezetében korlátos:
nál nél .

Mivel van határ, van egy kilyukadt környéke annak a pontnak, amelyen a függvény definiálva van. Legyen kereszteződése a környékeknek és . Ezután a és a függvények vannak meghatározva rajta.

.
,
egy sorozat végtelenül kicsi:
.

Használjuk ki azt a tényt, hogy egy korlátos sorozat és egy infinitezimális sorozat szorzata egy infinitezimális sorozat:
.
.

A tétel bizonyítást nyert.

Annak a tulajdonságának bizonyítása, hogy egy függvényt egy állandó és egy infinitezimális függvény összegeként ábrázolunk

Szükségesség. Legyen a függvénynek véges határértéke egy pontban
.
Fontolja meg a funkciót:
.
A függvénykülönbség határának tulajdonságát felhasználva a következőket kapjuk:
.
Vagyis van egy infinitezimális függvény.

Megfelelőség. Hadd legyen. Alkalmazzuk a függvényösszeg határának tulajdonságát:
.

Az ingatlan bizonyított.

Egy korlátos függvény és egy végtelenül nagy függvény összegére vonatkozó tétel bizonyítása

A tétel bizonyításához a függvény határértékének Heine definícióját fogjuk használni

nál nél .

Mivel van határ, van egy kilyukadt környéke annak a pontnak, amelyen a függvény definiálva van. Legyen kereszteződése a környékeknek és . Ezután a és a függvények vannak meghatározva rajta.

Legyen egy tetszőleges sorozat, amely konvergál -hoz, amelynek elemei a szomszédsághoz tartoznak:
.
Ezután a és sorozatok definiálva vannak. Ezenkívül a sorrend korlátozott:
,
egy sorozat végtelenül nagy:
.

Mivel egy korlátozott sorozat és egy végtelenül nagy sorozat összege vagy különbsége
.
Ekkor egy sorozat határértékének Heine szerinti meghatározása szerint,
.

A tétel bizonyítást nyert.

Egy korlátos függvény végtelen nagydal való osztásának hányadosára vonatkozó tétel bizonyítása

Ennek bizonyítására a függvény határértékének Heine definícióját fogjuk használni. Használjuk a végtelenül nagy sorozatok tulajdonságát is, amely szerint egy infinitezimális sorozat.

Legyen a függvény végtelenül nagy -ben, és legyen a függvény korlátos a pont valamely szúrt környezetében:
nál nél .

Mivel a függvény végtelenül nagy, van egy kilyukadt környéke annak a pontnak, ahol meghatározásra került, és nem tűnik el:
nál nél .
Legyen kereszteződése a környékeknek és . Ezután a és a függvények vannak meghatározva rajta.

Legyen egy tetszőleges sorozat, amely konvergál -hoz, amelynek elemei a szomszédsághoz tartoznak:
.
Ezután a és sorozatok definiálva vannak. Ezenkívül a sorrend korlátozott:
,
egy sorozat végtelenül nagy nullától eltérő tagokkal:
, .

Mivel a korlátozott sorozatnak egy végtelenül nagydal való osztásának hányadosa egy végtelenül kicsi sorozat, akkor
.
Ekkor egy sorozat határértékének Heine szerinti meghatározása szerint,
.

A tétel bizonyítást nyert.

A hányadostétel bizonyítása alatta határolt függvény végtelen kicsivel való osztására

Ennek a tulajdonságnak a bizonyítására a függvény határértékének Heine definícióját fogjuk használni. Használjuk a végtelenül nagy sorozatok tulajdonságát is, amely szerint egy végtelenül nagy sorozat.

Legyen a függvény infinitezimális -re, és a függvényt abszolút értékben határolja alulról egy pozitív szám, a pont valamely kiszúrt környezetében:
nál nél .

Feltétel szerint van egy kilyukadt környéke annak a pontnak, ahol a függvény definiálva van, és nem tűnik el:
nál nél .
Legyen kereszteződése a környékeknek és . Ezután a és a függvények vannak meghatározva rajta. Ráadásul.

Legyen egy tetszőleges sorozat, amely konvergál -hoz, amelynek elemei a szomszédsághoz tartoznak:
.
Ezután a és sorozatok definiálva vannak. Ezen túlmenően, a sorrend az alábbiakban korlátozott:
,
és a sorozat végtelenül kicsi, nem nulla tagokkal:
, .

Mivel az alatta határolt sorozat végtelen kicsivel való osztásának hányadosa egy végtelenül nagy sorozat, akkor
.
És legyen egy defektes környéke annak a pontnak, amelyen
nál nél .

Vegyünk egy tetszőleges sorozatot, amely -hez konvergál. Ekkor valamilyen N számból kiindulva a sorozat elemei ehhez a szomszédsághoz fognak tartozni:
nál nél .
Akkor
nál nél .

A függvény határértékének Heine szerinti meghatározása szerint,
.
Ekkor a végtelenül nagy sorozatok egyenlőtlenségeinek tulajdonsága alapján
.
Mivel a sorozat tetszőleges, konvergál -hoz, akkor a függvény határértékének Heine szerinti meghatározása alapján,
.

Az ingatlan bizonyított.

Referenciák:
L.D. Kudrjavcev. Matematikai elemzés tanfolyam. 1. kötet Moszkva, 2003.

Infinitezimális függvények

A %%f(x)%% függvény meghívásra kerül elenyésző(b.m.) %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ha az argumentum ezen tendenciájával a függvény határértéke nulla.

A b.m. fogalma. A függvény elválaszthatatlanul kapcsolódik az argumentumát módosító utasításokhoz. Beszélhetünk a b.m. függvények: %%a \to a + 0%% és %%a \to a - 0%%. Általában b.m. a függvényeket a görög ábécé első betűivel jelöljük %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Példák

1. A %%f(x) = x%% függvény a b.m. %%x \to 0%%, mivel a határa a %%a = 0%% pontban nulla. A kétoldali határ és az egyoldali határ kapcsolatáról szóló tétel szerint ez a függvény b.m. mind a %%x \to +0%% és a %%x \to -0%% értékkel.
2. Függvény %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. %%x \to \infty%% között (valamint %%x \to +\infty%% és %%x \to -\infty%%) között.

Egy nem nulla állandó szám, bármilyen kicsi is abszolút értékben, nem b.m. funkció. Állandó számok esetén az egyetlen kivétel a nulla, mivel a %%f(x) \equiv 0%% függvény nulla határértékkel rendelkezik.

Tétel

A %%f(x)%% függvénynek a kiterjesztett számsor %%a \in \overline(\mathbb(R))%% pontjában van egy végső korlátja, amely akkor és csak a %%b%% számmal egyenlő ha ez a függvény egyenlő ennek a számnak a %%b%% és a b.m összegével. %%\alpha(x)%% függvények %%x \to a%%, vagy $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Baljobbra nyíl \bal(f(x) = b + \alpha(x)\jobbra) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\jobbra). $$

Infinitezimális függvények tulajdonságai

A %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, határértékre való áthaladás szabályai szerint a következő állítások következnek:

1. A végső szám összege a b.m. függvények %%x-hez \to a%% a b.m. itt: %%x \to a%%.
2. Bármely szám szorzata b.m. függvények %%x-hez \to a%% a b.m. itt: %%x \to a%%.

Termék b.m. függvények %%x \to a%% pontban, és egy függvény, amely az a pont %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% pontjában van átszúrva, ott van b.m. a %%x \to a%% függvényben.

Nyilvánvaló, hogy egy állandó függvény és a b.m szorzata. %%x \to a%% között van b.m. függvény: %%x \to a%%.

Egyenértékű infinitezimális függvények

A %%\alpha(x), \beta(x)%% végtelen kicsi függvények a %%x \to a%% esetén egyenértékűés írja be a %%\alpha(x) \sim \beta(x)%%, ha

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

Tétel a b.m pótlásáról. funkciók egyenértékűek

Legyen %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% b.m. függvények %%x \to a%%, %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, majd $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ limits_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Egyenértékű b.m. funkciókat.

Legyen %%\alpha(x)%% b.m. függvény %%x \to a%%, akkor

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Példa

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(tömb) $$

Végtelenül nagy funkciók

A %%f(x)%% függvény meghívásra kerül végtelenül nagy(b.b.) %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ha az argumentum ezen tendenciájával a függvénynek végtelen határa van.

Hasonló a b.m. függvények fogalma b.b. A függvény elválaszthatatlanul kapcsolódik az argumentumát módosító utasításokhoz. Beszélhetünk a b.b. függvények: %%x \to a + 0%% és %%x \to a - 0%%. A „végtelenül nagy” kifejezés nem a függvény abszolút értékéről, hanem a kérdéses pont környezetében bekövetkezett változásának természetéről beszél. Egyetlen állandó szám sem, akármekkora is legyen abszolút értékben, végtelenül nagy.

Példák

1. %%f(x) = 1/x%% függvény - b.b. %%x \-0%% között.
2. Függvény %%f(x) = x%% - b.b. %%x \to \infty%%.

Ha a definíciós feltételek $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)(f( x)) = -\infty, \end(tömb) $$

aztán arról beszélnek pozitív vagy negatív b.b. %%a%% függvénynél.

Példa

%%1/(x^2)%% függvény - pozitív b.b. %%x \-0%% között.

A kapcsolat a b.b. és b.m. funkciókat

Ha %%f(x)%% b.b. %%x \to a%% függvénnyel, majd %%1/f(x)%% - b.m.

itt: %%x \to a%%. Ha %%\alpha(x)%% - b.m. mert %%x \to a%% egy nem nulla függvény a %%a%% pont valamely átszúrt környezetében, akkor a %%1/\alpha(x)%% b.b. itt: %%x \to a%%.

Végtelenül nagy függvények tulajdonságai

Mutassuk be a b.b. számos tulajdonságát. funkciókat. Ezek a tulajdonságok közvetlenül a b.b definíciójából következnek. véges határértékekkel rendelkező függvények függvényei és tulajdonságai, valamint a b.b. közötti kapcsolatra vonatkozó tételből. és b.m. funkciókat.

1. Egy véges számú b.b szorzata. függvények %%x \to a%% számára b.b. függvény: %%x \to a%%. Valóban, ha %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% - b.b. függvények: %%x \to a%%, majd a %%a%% %%f_k(x) \ne 0%% pont valamilyen kilyukasztott környezetében, és kapcsolódási tétel alapján b.b. és b.m. függvények %%1/f_k(x)%% - b.m. függvény: %%x \to a%%. Kiderült, hogy %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% - b.m függvény %%x \to a%%, és %%\displaystyle\prod^(n )_(k = 1)f_k(x)%% - b.b. függvény: %%x \to a%%.
2. Termék b.b. függvények %%x \to a%%-ra, és egy olyan függvény, amely a %%a%% pont valamely kiszúrt környezetében abszolút értékben nagyobb, mint egy pozitív állandó, b.b. függvény: %%x \to a%%. Különösen a termék b.b. egy %%x \to a%% függvény és egy véges, nem nulla határértékkel rendelkező függvény a %%a%% pontban b.b. függvény: %%x \to a%%.

A %%a%% pont és a b.b pont valamely átszúrt környezetében határolt függvény összege. függvények %%x-el \to a%% a b.b. függvény: %%x \to a%%.

Például a %%x - \sin x%% és a %%x + \cos x%% függvények b.b. %%x \to \infty%%.

3. Két b.b. függvények %%x \to a%% között bizonytalanság van. A feltételek előjelétől függően egy ilyen összeg változásának jellege nagyon eltérő lehet.

   Példa

   Legyenek adottak a %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% függvények. függvények: %%x \to \infty%%. Akkor:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. függvény: %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. függvény: %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% nincs korlátja %%x \to \infty%%.

Numerikus függvény definíciója. A függvények megadásának módszerei.

Legyen D egy halmaz az R számegyenesen. Ha minden D-hez tartozó x-hez egyetlen y=f(x) szám tartozik, akkor azt mondjuk, hogy adott egy f függvény.

A függvények megadásának módjai:

1) táblázatos – véges halmazon definiált függvényekhez.

2) elemző

3) grafika

2 és 3 – végtelen halmazon definiált függvényekhez.

Az inverz függvény fogalma.

Ha az y=f(x) függvény olyan, hogy az x argumentum különböző értékei a függvény különböző értékeinek felelnek meg, akkor az x változó kifejezhető az y változó függvényében: x=g(y ). A g függvényt f inverzének nevezzük, és f^(-1) jelöli.

A komplex függvény fogalma.

Az összetett függvény olyan függvény, amelynek argumentuma bármely más függvény.

Legyen adott f(x) és g(x) függvény. Készítsünk belőlük két összetett függvényt. Ha az f függvényt külső (fő), a g függvényt belsőnek tekintjük, egy u(x)=f(g(x)) komplex függvényt kapunk.

A sorozathatár meghatározása.

Egy a számot akkor nevezünk sorozat határértékének (xn), ha bármely pozitívra van n0 szám, amelyből kiindulva a sorozat összes tagja ε-nál kisebb mértékben tér el a modulustól (azaz az ε-szomszédságba esnek). az a) pontból:

A konvergens sorozatok határértékeinek kiszámításának szabályai.

1. Minden konvergens sorozatnak csak egy határa van. 2. Ha az (x n) sorozat minden eleme egyenlő C-vel (állandó), akkor az (x n) sorozat határértéke is egyenlő C-vel. 3. ; 4. ; 5. .

Korlátozott sorozat definíciója.

Az (x n) sorozatot korlátosnak nevezzük, ha az X=(x n) számhalmaz korlátos: .

Infinitezimális sorozat definíciója.

Az (x n) sorozatot infinitezimálisnak nevezzük, ha bármely (bármilyen kicsi) >0 esetén van olyan n 0 szám, hogy bármely n>n 0 esetén az |x n |< .

Egy végtelenül nagy sorozat definíciója.

Egy sorozatot végtelenül nagynak nevezünk, ha bármely (mindegy mekkora) A>0 számra van olyan n 0 szám, amelyre minden n>n 0 számra érvényes az |x n |>A egyenlőtlenség.

Monoton sorozatok meghatározása.

Monoton sorozatok: 1) ifx n növelése x n +1 minden n-re, 4) nem növekvő, ha x n x n +1 minden n-re.

Egy függvény határértékének meghatározása egy pontban.

Az y=f(x) függvény határértéke az x 0 pontban (vagy az x x 0 pontban) az a szám, ha az argumentum bármely sorozatának (x n) értékei konvergálnak x 0-hoz (mind x n x 0), a függvény (f(x n)) értékeinek sorozata az a határértékhez konvergál.

Infinitezimális függvény definíciója.

F-iya f(x) infinitezimálisnak mondható mint x→A, ha .

Egy végtelenül nagy függvény definíciója.

F-iya f(x) végtelenül nagynak mondható x→A esetén, ha .

Infinitezimálisok és nagyok számítása

Infinitezimális számítás- infinitezimális mennyiségekkel végzett számítások, amelyekben a származtatott eredményt a végtelen kicsinyek végtelen összegének tekintjük. Az infinitezimálisok számítása a differenciál- és integrálszámítás általános fogalma, amely a modern felsőbb matematika alapját képezi. Az infinitezimális mennyiség fogalma szorosan összefügg a határ fogalmával.

Elenyésző

Utóbbi a n hívott elenyésző, Ha . Például egy számsorozat végtelenül kicsi.

A függvényt hívják végtelenül kicsi egy pont közelében x 0 ha .

A függvényt hívják végtelenül kicsi a végtelenben, Ha vagy .

Szintén infinitezimális az a függvény, amely a függvény és a határértéke közötti különbség, azaz ha , Azt f(x) − a = α( x) , .

Végtelenül nagy mennyiség

Utóbbi a n hívott végtelenül nagy, Ha .

A függvényt hívják végtelenül nagy egy pont közelében x 0 ha .

A függvényt hívják végtelenül nagy a végtelenben, Ha vagy .

Az egyenlőség jogának végtelensége minden esetben azt jelenti, hogy van egy bizonyos jel (vagy „plusz” vagy „mínusz”). Ez például a függvény x bűn x nem végtelenül nagy at .

A végtelenül kicsi és a végtelenül nagy tulajdonságai

Végtelenül kicsi mennyiségek összehasonlítása

Hogyan hasonlítsuk össze a végtelenül kicsi mennyiségeket?
Az infinitezimális mennyiségek aránya alkotja az úgynevezett bizonytalanságot.

Definíciók

Tegyük fel, hogy infinitezimális α( x) és β( x) (vagy ami a definíció szempontjából nem fontos, infinitezimális sorozatok).

Az ilyen határértékek kiszámításához célszerű a L'Hopital-szabályt használni.

Összehasonlítási példák

Egyenértékű értékek

Meghatározás

Ha , akkor az α és β végtelenül kicsiny mennyiségeket nevezzük egyenértékű ().
Nyilvánvaló, hogy az ekvivalens mennyiségek az azonos kicsinységi nagyságrendű végtelenül kicsi mennyiségek speciális esetét jelentik.

Ha a következő ekvivalencia viszonyok érvényesek: , , .

Tétel

Ennek a tételnek gyakorlati jelentősége van a határok megtalálásakor (lásd a példát).

Használati példa

Történelmi vázlat

Az „infinitezimális” fogalmát már az ókorban tárgyalták az oszthatatlan atomok fogalmával kapcsolatban, de a klasszikus matematikában nem szerepelt. A 16. században az „oszthatatlanok módszerének” megjelenésével újjáéledt – a vizsgált figurát végtelenül kis részekre osztva.

A 17. században megtörtént az infinitezimális számítás algebraizálása. Olyan numerikus mennyiségekként kezdték meghatározni őket, amelyek kisebbek bármely véges (nem nulla) mennyiségnél, és mégsem egyenlők nullával. Az elemzés művészete abból állt, hogy felállítottunk egy infinitezimálisokat (differenciálokat) tartalmazó relációt, majd integráltuk azt.

A régi iskola matematikusai próbára teszik a koncepciót elenyésző kemény kritika. Michel Rolle azt írta, hogy az új kalkulus: zseniális hibák halmaza"; Voltaire maróan megjegyezte, hogy a kalkulus olyan dolgok kiszámításának és pontos mérésének művészete, amelyek létezését nem lehet bizonyítani. Még Huygens is elismerte, hogy nem értette a magasabb rendű különbségek jelentését.

A sors iróniájának tekinthető a nem szabványos elemzések század közepén kialakuló megjelenése, amely bebizonyította, hogy az eredeti nézőpont - a tényleges infinitezimálisok - is konzisztens volt, és az elemzés alapjául is használható.

Lásd még

Wikimédia Alapítvány. 2010.

Nézze meg, mi a „végtelenül nagy” más szótárakban:

Az Y változó mennyiség a végtelenül kicsi X mennyiség inverze, azaz Y = 1/X... Nagy enciklopédikus szótár

Az y változó az infinitezimális x inverze, azaz y = 1/x. * * * VÉGTELEN NAGY VÉGTELEN NAGY, Y változó mennyiség, inverz a végtelenül kicsi X mennyiséggel, azaz Y = 1/X ... enciklopédikus szótár

A matematikában egy olyan változó mennyiség, amely egy adott változási folyamat során abszolút értékben nagyobb lesz és marad, mint bármely előre meghatározott szám. Tanulmány a B. b. mennyiségeket le lehet redukálni az infinitezimálisok tanulmányozására (Lásd... ... Nagy szovjet enciklopédia

Funkció y=f(x) hívott elenyésző nál nél x→a vagy mikor x→∞, ha vagy , azaz. az infinitezimális függvény olyan függvény, amelynek határértéke egy adott pontban nulla.

Példák.

1. Funkció f(x)=(x-1) 2 infinitezimális at x→1, mivel (lásd az ábrát).

2. Funkció f(x)= tg x– végtelenül kicsi at x→0.

3. f(x)= log(1+ x) – végtelenül kicsi x→0.

4. f(x) = 1/x– végtelenül kicsi at x→∞.

Hozzuk létre a következő fontos kapcsolatot:

Tétel. Ha a funkció y=f(x)-val reprezentálható x→aállandó szám összegeként bés végtelenül kicsiny nagyságrendű α(x): f(x)=b+ α(x) Az .

Fordítva, ha , akkor f(x)=b+α(x), Ahol fejsze)– végtelenül kicsi at x→a.

Bizonyíték.

1. Bizonyítsuk be az állítás első részét! Az egyenlőségtől f(x)=b+α(x) kellene |f(x) – b|=| α|. De azóta fejsze) infinitezimális, akkor tetszőleges ε esetén van δ – a pont szomszédsága a, mindenki előtt x ahonnan, értékek fejsze) kielégíti a kapcsolatot |α(x)|< ε. Akkor |f(x) – b|< ε. Ez pedig azt jelenti.

2. Ha , akkor bármely ε esetén >0 mindenkinek x valamilyen δ – egy pont szomszédságából a akarat |f(x) – b|< ε. De ha jelöljük f(x) – b= α, Azt |α(x)|< ε, ami azt jelenti a– végtelenül kicsi.

Tekintsük az infinitezimális függvények alapvető tulajdonságait.

1. tétel. Kettő, három és általában tetszőleges számú infinitezimális algebrai összege végtelen kicsi függvény.

Bizonyíték. Bizonyítsunk két kifejezésre. Hadd f(x)=α(x)+β(x), hol és . Be kell bizonyítanunk, hogy tetszőleges kis ε esetén > 0 talált δ> 0, olyan, hogy a x, kielégítve az egyenlőtlenséget |x – a|<δ , előadták |f(x)|< ε.

Tehát rögzítsünk egy tetszőleges ε számot > 0. Mivel a tétel feltételei szerint α(x) egy infinitezimális függvény, akkor van ilyen δ 1 > 0, ami |x – a|< δ 1 van |α(x)|< ε / 2. Ugyanígy, mióta β(x) végtelenül kicsi, akkor van ilyen δ 2 > 0, ami |x – a|< δ 2 van | β(x)|< ε / 2.

Vessünk δ=min(δ 1 , δ2 } .Akkor a pont szomszédságában a sugár δ mindegyik egyenlőtlenség teljesülni fog |α(x)|< ε / 2 és | β(x)|< ε / 2. Ezért ezen a környéken lesz

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

azok. |f(x)|< ε, amit bizonyítani kellett.

2. tétel. Egy infinitezimális függvény szorzata fejsze) korlátozott funkcióhoz f(x) nál nél x→a(vagy mikor x→∞) egy végtelenül kicsi függvény.

Bizonyíték. Mivel a funkció f(x) korlátozott, akkor van egy szám M olyan, hogy minden értékre x egy pont valamelyik környékéről a|f(x)|≤M. Ráadásul mivel fejsze) egy végtelenül kicsi függvény at x→a, akkor tetszőleges ε-re > 0 van a pont szomszédsága a, amelyben az egyenlőtlenség érvényesül |α(x)|< ε /M. Aztán a kisebbik környéken van | αf|< ε /M= ε. Ez pedig azt jelenti af– végtelenül kicsi. Az alkalomra x→∞ a bizonyítást hasonlóan hajtják végre.

A bizonyított tételből az következik:

Következmény 1. Ha és akkor.

Következmény 2. Ha c= const, akkor .

3. tétel. Egy infinitezimális függvény aránya α(x) függvényenként f(x), amelynek határértéke eltér nullától, egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Hadd . Aztán 1 /f(x) korlátozott funkciója van. Ezért a tört egy végtelenül kicsi függvény és egy korlátozott függvény szorzata, azaz. függvény végtelenül kicsi.