Egy függvény differenciálja az első differenciál alakjának invarianciája. Egy függvény első differenciáljának tulajdonságai

Definíció szerint egy függvény differenciálját (első differenciálját) a képlet számítja ki
Ha egy független változó.

PÉLDA.

Mutassuk meg, hogy az első differenciál alakja változatlan marad (invariáns) abban az esetben is, ha a függvény argumentuma maga is függvény, vagyis egy komplex függvényre vonatkozik
.

Hadd
definíció szerint megkülönböztethetők

Ráadásul a bizonyításhoz szükséges.

PÉLDÁK.

Az első differenciál alakjának bizonyított változatlansága lehetővé teszi, hogy azt feltételezzük
vagyis a derivált egyenlő a függvény differenciáljának arányával érvelésének különbsége, függetlenül attól, hogy az argumentum független változó vagy függvény.

Paraméteresen meghatározott függvény differenciálása

Hagyjuk az If funkciót
van a forgatáson hát fordítva
Aztán az egyenlőségeket
a készleten meghatározott paraméteresen definiált függvény, – paraméter (köztes változó).

PÉLDA. Ábrázoljon egy függvényt
.

A megszerkesztett görbét ún ciklois(25. ábra) és az 1 sugarú kör azon pontjának pályája, amely csúszás nélkül gördül az OX tengelye mentén.

MEGJEGYZÉS. Néha, de nem mindig, egy paramétert ki lehet küszöbölni a parametrikus görbe egyenletekből.

PÉLDÁK.
a kör parametrikus egyenletei, mivel nyilvánvalóan

az ellipszis parametrikus egyenletei, mivel

a parabola parametrikus egyenletei

Keresse meg egy paraméteresen megadott függvény deriváltját:

A paraméteresen meghatározott függvény deriváltja egyben paraméteresen definiált függvény is: .

MEGHATÁROZÁS. Egy függvény második deriváltját az első deriváltjának deriváltjának nevezzük.

derivált -edik rend a rendi származékának a származéka
.

jelölje a származékait a második és sorrendben így:

A második derivált definíciójából és egy parametrikusan adott függvény differenciálási szabályából következik, hogy
A harmadik derivált kiszámításához szükséges a második derivált ábrázolása a formában
és használja újra a kapott szabályt. A magasabb rendű származtatott ügyleteket hasonló módon számítják ki.

PÉLDA. Keresse meg egy függvény első és másodrendű deriváltját

.

A differenciálszámítás alaptételei

TÉTEL(Farm). Hagyja a függvényt
pontban van
extrémum. Ha létezik
, Azt

BIZONYÍTÉK. Hadd
például a minimum pont. A minimumpont meghatározása szerint ennek a pontnak van egy szomszédja
, amelyen belül
, vagyis
- növekmény
azon a ponton
. A-priory
Számítsa ki az egyoldalú deriváltokat egy ponton
:

az egyenlőtlenség határtételére való átlépéssel,

mert

, mert
De feltételek szerint
létezik, tehát a baloldali derivált egyenlő a jobboldalival, és ez csak akkor lehetséges, ha

Az a feltételezés, hogy
- a maximum pont, ugyanerre vezet.

A tétel geometriai jelentése:

TÉTEL(Tekercs). Hagyja a függvényt
folyamatos
, differenciálható
És
akkor van
oly módon, hogy

BIZONYÍTÉK. Mert
folyamatos
, akkor a második Weierstrass-tétellel eléri
a legnagyobbak
és a legkevésbé
értékeket akár a szélsőpontokon, akár a szegmens végén.

1. Hagyjuk
, Akkor

2. Hagyjuk
Mert
bármelyik
, vagy
elérte a szélső pontot
, hanem Fermat tétele szerint
Q.E.D.

TÉTEL(Lagrange). Hagyja a függvényt
folyamatos
és megkülönböztethető
, akkor létezik
oly módon, hogy
.

A tétel geometriai jelentése:

Mert
, akkor a szekáns párhuzamos az érintővel. Így a tétel kimondja, hogy az A és B pontokon áthaladó szekánssal párhuzamos érintő található.

BIZONYÍTÉK. Az A pontokon keresztül
és B
rajzoljon egy AB szekánst. Egyenlete
Vegye figyelembe a funkciót

- a grafikon és az AB szekáns megfelelő pontjai közötti távolság.

1.
folyamatos
mint a folytonos függvények különbsége.

2.
megkülönböztethető
mint a differenciálható függvények különbsége.

3.

Eszközök,
teljesíti a Rolle-tétel feltételeit, tehát létezik
oly módon, hogy

A tétel bizonyítást nyert.

MEGJEGYZÉS. A képlet az ún Lagrange formula.

TÉTEL(Koshi). Hagyjuk a függvényeket
folyamatos
, differenciálható
És
, akkor van értelme
oly módon, hogy
.

BIZONYÍTÉK. Mutassuk meg
. Ha
, majd a függvény
teljesítené a Rolle-tétel feltételét, tehát lenne pont
oly módon, hogy
ellentmondás a feltétellel. Eszközök,
, és a képlet mindkét része definiálva van. Nézzünk egy segédfüggvényt.

folyamatos
, differenciálható
És
, vagyis
kielégíti a Rolle-tétel feltételeit. Akkor van egy pont
, ahol
, De

Q.E.D.

A bevált képlet az ún Cauchy képlet.

A L'Hopital SZABÁLYA(L'Hopital-Bernoulli tétel). Hagyjuk a függvényeket
folyamatos
, differenciálható
,
És
. Ezen kívül van véges vagy végtelen
.

Aztán van

BIZONYÍTÉK. Mivel az állapot szerint
, akkor meghatározzuk
azon a ponton
, feltételezve
Akkor
folyamatossá válnak
. Mutassuk meg

Tegyünk úgy, mintha
akkor van
oly módon, hogy
, mivel a funkció
tovább
kielégíti a Rolle-tétel feltételeit. De feltételek szerint
- ellentmondás. Ezért

. Funkciók
kielégíti a Cauchy-tétel feltételeit bármely intervallumon
, amelyet tartalmaz
. Írjuk fel a Cauchy-képletet:

,
.

Ezért rendelkezünk:
, Mert ha
, Azt
.

Az utolsó korlátban lévő változót átnevezve megkapjuk a szükséges értéket:

1. MEGJEGYZÉS. L'Hopital szabálya akkor is érvényben marad, ha
És
. Lehetővé teszi nemcsak a forma bizonytalanságának feltárását , hanem a formáról is :

.

JEGYZET 2. Ha a L'Hopital-szabály alkalmazása után a bizonytalanság nem derül ki, akkor azt újra alkalmazni kell.

PÉLDA.

MEGJEGYZÉS 3 . A L'Hopital-szabály egy univerzális módszer a bizonytalanságok feltárására, de vannak határok, amelyeket a korábban vizsgált konkrét technikák közül csak az egyik alkalmazásával lehet feltárni.

De nyilván
, mivel a számláló foka egyenlő a nevező fokával, a határ pedig egyenlő a nagyobb hatványokon lévő együtthatók arányával

Az összetett függvények megkülönböztetésének szabálya elvezet bennünket a differenciál egyik figyelemre méltó és fontos tulajdonságához.

Legyenek a függvények olyanok, hogy komplex függvényt tudjunk összeállítani belőlük: . Ha vannak származékok, akkor - V. szabály szerint - van derivált is

Ha azonban a származékát a (7) kifejezéssel helyettesítjük, és észrevesszük, hogy x-nek van differenciálja t függvényében, végül megkapjuk:

azaz térjünk vissza a differenciál korábbi formájához!

Így azt látjuk, hogy a differenciál alakja akkor is megőrizhető, ha a régi független változót egy újra cseréljük. Mindig szabadon írhatjuk y differenciálját az (5) alakba, függetlenül attól, hogy x független változó-e vagy sem; csak annyi a különbség, hogy ha t-t választjuk független változónak, akkor az nem tetszőleges növekményt jelent, hanem egy x differenciált a függvényében Ezt a tulajdonságot nevezzük a differenciál alakjának invarianciájának.

Mivel az (5) képletből közvetlenül adódik a (6) képlet, amely a deriváltot differenciálokkal fejezi ki, az utolsó képlet érvényben marad, függetlenül attól, hogy milyen független változót (természetesen mindkét esetben ugyanazt) számoljuk ki a nevezett differenciálokat.

Legyen például így

Most beállítjuk Akkor is lesz: Könnyű ellenőrizni, hogy a képlet

csak egy másik kifejezést ad a fent kiszámított deriváltra.

Ez a körülmény különösen hasznos olyan esetekben, amikor y függősége x-től nincs közvetlenül megadva, hanem megadjuk mind az x, mind az y változó függőségét valamilyen harmadik, segédváltozótól (úgynevezett paraméter):

Feltételezve, hogy mindkét függvénynek van deriváltja, és az elsőnek van egy inverz függvénye, amelynek deriváltja van, könnyen belátható, hogy akkor y is x függvénye lesz:

amelynek származéka is van. Ennek a származéknak a kiszámítása a fenti szabály szerint végezhető el:

anélkül, hogy helyreállítaná y közvetlen függését az x-től.

Például, ha a derivált definiálható, amint azt fent megtettük, anélkül, hogy a függőséget használnánk.

Ha x-et és y-t a sík egy pontjának derékszögű koordinátáinak tekintjük, akkor a (8) egyenletek a t paraméter minden értékét egy bizonyos ponthoz rendelik, amely t változásával egy görbét ír le a síkon. A (8) egyenleteket ezen görbe paraméteres egyenleteinek nevezzük.

Paraméteres görbe specifikáció esetén a (10) képlet lehetővé teszi az érintő meredekségének közvetlen beállítását a (8) egyenletek segítségével, anélkül, hogy a (9) egyenlettel a görbe specifikációjához tovább kellene lépnie; pontosan,

Megjegyzés. Az a lehetőség, hogy a származékot bármely változóra vonatkozó differenciálokkal fejezzük ki, különösen azt a tényt eredményezi, hogy a képletek

Leibniz-jelöléssel kifejezve egy inverz függvény és egy komplex függvény megkülönböztetésének szabályai egyszerű algebrai azonosságokká válnak (mivel itt minden differenciál felvehető ugyanarra a változóra vonatkozóan). Nem szabad azonban azt gondolni, hogy ez a fenti képletek új levezetését adja: először is itt nem bizonyítottuk a baloldali származékok létezését, de a lényeg az, hogy lényegében a differenciál alakjának invarianciáját használtuk. , ami maga az V. szabály következménye.

Ha egy független változók differenciálható függvénye és teljes differenciája dz egyenlő: Tegyük fel most, hogy a ((,?/) pontban a "?) és r)) függvényeknek folytonos parciális deriváltjai vannak az rf-hez (és az rf-hez képest) , és a megfelelő (x, y ) pontban parciális deriváltak léteznek és folytonosak, és ennek eredményeként az r = f(x, y) függvény ebben a pontban differenciálható Ilyen feltételek mellett a függvénynek a geometriai pontban deriváltjai vannak. a teljes differenciál jelentése Normál a felületre A (2) képletekből látható, hogy u és u folytonos a pontban ((, *?). Ezért a pontban lévő függvény differenciálható, a képlet szerint vesszük a t és m független változók függvényének teljes differenciáljára, ha a (3) egyenlőség jobb oldalán lévő u-t és u-t lecseréljük a (2) képletből származó kifejezéseikre, megkapjuk, vagy feltétel szerint a A ((,17) pontban lévő függvényeknek folytonos parciális deriváltjai vannak, akkor ezen a ponton differenciálhatók és a (4) és (5) összefüggésekből azt kapjuk, hogy az (1) és (6) képletek összehasonlítása azt mutatja, hogy a teljes differenciál a z = /(i, y) függvényt ugyanolyan formájú képlettel fejezzük ki, mint abban az esetben, amikor a /(z, y) y) függvény x és y argumentumai független változók, és abban az esetben, amikor ezek Az argumentumok bizonyos változók függvényei. Így egy több változóból álló függvény teljes differenciája az alakváltozatlanság tulajdonságával rendelkezik. Megjegyzés. A teljes differenciál alakjának invarianciájából következik, hogy ha x és y tetszőleges véges számú változó differenciálható függvényei, akkor a képletek érvényben maradnak. Ha egy adott intervallumból (xo - Lo, xo + ^o) minden x értékhez pontosan egy y-érték tartozik, amely x-szel együtt kielégíti az (1) egyenletet, akkor ez határozza meg az y = y(x) függvényt. ), amelyre az egyenlőség azonosan x-szel van kiírva a megadott intervallumban. Ebben az esetben az (1) egyenlet y-t x implicit függvényeként határozza meg. Más szóval, egy olyan egyenlettel megadott függvényt, amelyet y-hoz képest nem oldunk meg, implicit függvénynek nevezünk; akkor válik explicitté, ha közvetlenül megadjuk y függését x-től. Példák: az y mennyiséget egyértékűként definiáljuk Az x függvénye. Illusztráljuk ezt az állítást. Az egyenletet x = 0, y = 0 értékpár teljesíti. A *-ot paraméternek tekintjük, és függvényeket. Az a kérdés, hogy létezik-e a kiválasztott xo-ra az Yo megfelelő egyedi értéke, amelyre a pár (eleget tesz a (2) egyenletnek), a következőre redukálódik: az x és y görbék és egyetlen pont újravetésével. xOy síkon (11. ábra) A » = x + c sin y görbét, ahol x-et paraméternek tekintjük, az Ox tengely mentén az r = r sin y görbe párhuzamos transzlációjával kapjuk meg Geometriailag nyilvánvaló, hogy tetszőleges x esetén az x = y és r = t + c $ 1ny görbéknek van egy egyedi "adik metszéspontja, amelynek ordinvtv-je x függvénye, amelyet a (2) egyenlet implicit módon definiál. Ez a függőség nem fejezhető ki elemi függvényekkel 3. Bármely valós x egyenlete nem határozza meg az x argumentum valós függvényét kvk-ban Ugyanebben az értelemben beszélhetünk több változó implicit függvényéről is.A következő tétel elegendő feltételt ad az egyenlet egyedi megoldhatóságához = 0(1) y-hoz egy adott pont valamely környezetében (®o > V0). 8. tétel (implicit függvény létezése) Teljesüljenek a következő feltételek: 1) a függvény definiált és folytonos valamilyen téglalap középpontja egy pontban a pontban, az y) függvény eltűnik, 3) léteznek és folytonosak a parciális deriváltak a D 4) Y) téglalap szomszédságában, van egy egyedi folytonos y = f(x) függvény (ábra. 12), amely az értéket veszi fel), kielégíti a \y - yol okfejtést, és az (1) egyenletet azonossággá alakítja: Ez a függvény az Xq pont szomszédságában folyamatosan differenciálható, és a (3) képletet származtatjuk a deriváltra. az implicit függvény, feltételezve, hogy ennek a deriváltnak a létezése bebizonyosodott. Legyen y = f(x) az (1) egyenlettel definiált implicit differenciálható függvény. Ekkor az intervallumban) történik az azonosság Egy komplex függvény differenciálja A differenciál alakjának invarianciája Implicit függvények A felület érintősíkja és normálisa A felület érintősíkja A teljes differenciál geometriai jelentése A normál a neki köszönhető felület ebben az intervallumban Egy összetett függvény differenciálódási szabálya szerint egyedi van abban az értelemben, hogy a görbén fekvő bármely pont (x , y) az (xo, y0) pont szomszédságába tartozik. " az egyenlettel összefüggő koordinátákat tartalmaz Keresse meg j*-ot az egyenlettel definiált y = y(x) függvényből Ebben az esetben Innen a (3) képlet alapján Megjegyzés. Az elmélet feltételeket ad egyetlen implicit függvény létezésére, amelynek gráfja átmegy egy adott ponton (xo, yo). elegendő, de nem szükséges. Valójában tekintsük a Here egyenletnek a folytonos parciális deriváltjai nullával egyenlőek a 0(0,0) pontban. Ennek az egyenletnek azonban van egy egyedi megoldása, amely egyenlő nullával a feladatnál. Legyen egy egyenlet - egy egyértékű függvény, amely kielégíti a (D) egyenletet. 1) Hány egyértékű függvény (2") elégíti ki a (!") egyenletet? 2) Hány egyértékű folytonos függvény elégíti ki a (!) egyenletet 3) Hány egyértékű differenciálható függvény elégíti ki a (!) egyenletet? 4) Hány egyértékű folytonos függvény elégíti ki az "(1" egyenletet), ha és elég kicsi? A 8. tételhez hasonló létezési tétel a 9 egyenlettel definiált két változó z - z(x, y) implicit függvénye esetén is teljesül. Legyenek teljesülnek a következő feltételek. 0, van az (®o»Yo)/ pontnak egy Γ2 szomszédsága, amelyben létezik egy egyedi folytonos z - /(x, y) függvény, amely x = x0, y = yo esetén vesz fel értéket, kielégíti a feltételt és az egyenletet. (4) az azonosságba: Ebben az esetben a Q tartománybeli függvénynek folyamatos parciális deriváltjai vannak ésGG Keressünk kifejezéseket ezekre a deriváltokra. Határozza meg az egyenlet z-t az xnu független változók z = f(x, y) egyértékű és differenciálható függvényeként. Ha ebben az egyenletben az f(x, y) függvényt helyettesítjük z helyett, akkor megkapjuk az azonosságot. Megkülönböztetve azt találjuk, hogy honnan Ezek a formulák két független változó implicit függvényének parciális deriváltjaira adnak kifejezéseket. Példa. Határozzuk meg a 4. egyenlettel megadott x(r, y) függvény parciális pro- és egyikét. Ahonnan §11. Érintősík és felület normál 11.1. Előzetesek Legyen egy S felületünk, amelyet a Defined* egyenlet ad meg. Az (1) felület egy M(x, y, z) pontját e felület közönséges pontjának nevezzük, ha az M pontban mindhárom derivált létezik és folytonos, és legalább az egyik nem nulla. Ha az (1) felület Mu, z) pontjában mindhárom derivált nulla, vagy ezek közül legalább egy nem létezik, akkor az M pontot a felület szinguláris pontjának nevezzük. Példa. Vegyünk egy körkúpot (13. ábra). Itt a 0(0,0,0) koordináták origója az egyetlen szinguláris finompont: ezen a ponton a parciális deriváltak egyidejűleg eltűnnek. Rizs. 13 Tekintsünk egy paraméteres egyenletekkel definiált L térgörbét. Legyen a függvényeknek folytonos deriváltja az intervallumban. Vegyük ki a számításból a görbe azon szinguláris pontjait, amelyeknél Legyen az L görbe egy közönséges pontja, amelyet a to paraméter értéke határoz meg. Ezután - a pontban lévő görbe érintőjének vektora. A felület érintősíkja Adjuk meg az S felületet az egyenlettel. Vegyünk egy közönséges P pontot az S felületen, és rajzoljunk át rajta egy, a felületen fekvő és parametrikus egyenletekkel adott L görbét. Tegyük fel, hogy a £(*), »/ A (0» С(0)-nak folytonos deriváltjai vannak, az (a)p) pontban sehol nem tűnnek el egyszerre. Definíció szerint az L görbe P pontban lévő érintőjét az S felület érintőjének nevezzük ezen a ponton. 2) behelyettesítjük az (1) egyenletbe, akkor, mivel az L görbe az S felületen fekszik, az (1) egyenlet t-re vonatkoztatva azonossággá változik: Ezt az azonosságot t-hez képest differenciálva a differenciálás szabálya szerint. komplex függvényt kapunk, A (3) bal oldalán lévő kifejezés két vektor skaláris szorzata: ezen a ponton (14. ábra) Ami az n vektort illeti, ez csak ennek a pontnak a koordinátáitól és a az ^ "(x, y, z) függvény alakja, és nem függ a P ponton áthaladó görbe alakjától. Mivel P - az 5 felület közönséges pontja, ezért az n vektor hossza nem nulla , Az a tény, hogy a skaláris szorzat azt jelenti, hogy az r vektor, amely érinti az L görbét a P pontban, ebben a pontban merőleges az n vektorra (ábra. 14). Ezek a megfontolások érvényesek minden görbére, amely áthalad a P ponton és az S felületen fekszik. Ezért az S felületet a P pontban lévő bármely érintő egyenes merőleges az n vektorra, és ezért ezek az egyenesek ugyanabban a síkban helyezkednek el. n vektorra is merőlegesen Definíció. Azt a síkot, amelyben az 5 felület összes érintővonala található, átmenve egy adott P G 5 közönséges ponton, a felület P pontban lévő érintősíkjának nevezzük (15. ábra). Vektor Komplex függvény differenciálja A differenciál alakjának változatlansága Implicit függvények A felület érintősíkja és normálisa A felület érintősíkja A teljes differenciál geometriai jelentése A felület normálja a felület érintősíkjának normálvektora a P pont. Innen azonnal megkapjuk a ZG felület érintősíkjának egyenletét (ennek a felületnek egy közönséges P0 (® o, Uo "pontjában: Ha az 5 felületet az egyenlet adja meg, akkor ezt felírva formában lévő egyenletet, megkapjuk az érintősík egyenletét a pontban, ez így fog kinézni: 11. 3. A teljes differenciál geometriai jelentése Ha betesszük a (7) képletet, akkor két független x és y változó \u003d / (x, y) alakját veszi fel az M0 pontban, ami megfelel a Dx és növekménynek. A változók Dy és y értéke egyenlő az 5 felület érintősíkjának R> pontban lévő pontjának z alkalmazásának z - z0 növekedésével (xo "Yo" / (, Uo)) AT az átmenet az M0 (ho, Uo) ponttól a pontig - 11.4. Felületi Normál Definíció. A felület P0(xo, y0, t0) pontján átmenő egyenest, amely a felület érintősíkjára merőleges a P0 pontban, a Pq pontban lévő felület normálisának nevezzük. Az)L vektor a normális irányítóvektora, egyenletei pedig olyan alakúak, ha az 5 felületet egy egyenlet adja, akkor a) pontban a normál egyenletei így néznek ki: pontban Itt A pontban (0,0) ezek a deriváltak egyenlők nullával: és a 0 (0,0,0) pontban lévő érintősík egyenlete a következő alakot ölti: (xOy sík). Normál egyenletek

A függvény differenciálképletének van alakja

ahol a független változó differenciálja.

Adjunk meg most egy komplex (differenciálható) függvényt, ahol,. Ekkor egy komplex függvény deriváltjának képletével azt kapjuk, hogy

mert .

Így, , azaz a differenciálképletnek ugyanaz az alakja a független változóra és a köztes argumentumra, amely a differenciálható függvénye.

Ezt a tulajdonságot tulajdonságnak nevezik képlet változatlansága vagy differenciál alakja. Vegye figyelembe, hogy a derivált nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal.

A folytonosság és a differenciálhatóság kapcsolata.

Tétel (szükséges feltétele, hogy a függvény differenciálható legyen). Ha egy függvény egy pontban differenciálható, akkor abban a pontban folytonos.

Bizonyíték. Hagyja a függvényt y=f(x) egy ponton differenciálható x 0 . Adjunk növekményt az érvelésnek ezen a ponton  x. A funkció növekszik  nál nél. Találjuk meg.

Ennélfogva, y=f(x) pontban folyamatos x 0 .

Következmény. Ha x A 0 a függvény szakadási pontja, akkor a függvény nem differenciálható rajta.

A tétel fordítottja nem igaz. A folytonosság nem jelent differenciálhatóságot.

Differenciális. geometriai jelentése. A differenciál alkalmazása közelítő számításokhoz.

Meghatározás

funkció differenciál lineárisnak nevezzük a függvény növekményének egy részére vonatkozóan. Kakiliként jelölik. És így:

Megjegyzés

Egy függvény differenciálja a növekedésének fő része.

Megjegyzés

A függvénydifferenciál fogalma mellett bevezetik az argumentumdifferenciál fogalmát is. A-priory érvelési különbség van egy argumentumnövekmény:

Megjegyzés

Egy függvény differenciáljának képlete a következőképpen írható fel:

Ezért ezt kapjuk

Tehát ez azt jelenti, hogy a derivált közönséges törtként ábrázolható - a függvény és az argumentum differenciálaránya.

A differenciál geometriai jelentése

Egy függvény differenciálja egy pontban megegyezik a függvény grafikonjára az adott pontban húzott érintő ordinátájának növekedésével, amely megfelel az argumentum növekményének.

A megkülönböztetés alapszabályai. Állandó deriváltja, összeg deriváltja.

Legyen függvények és deriváltjai egy pontban. Akkor

1. Állandó kivehető a származék előjeléből.

5. Állandó differenciál egyenlő nullával.

2. Összeg/különbség derivált.

Két függvény összegének/különbségének deriváltja egyenlő az egyes függvények deriváltjainak összegével/különbségével.

A megkülönböztetés alapszabályai. A termék származéka.

3. Egy termék származéka.

A megkülönböztetés alapszabályai. Komplex és inverz függvény deriváltja.

5. Összetett függvény származéka.

Egy komplex függvény deriváltja egyenlő ennek a függvénynek a köztes argumentumhoz viszonyított deriváltjával, megszorozva a köztes argumentum deriváltjával a fő argumentumhoz képest.

És legyenek deriváltjai a pontokban, ill. Akkor

Tétel

(Az inverz függvény deriváltjáról)

Ha egy függvény folytonos és szigorúan monoton egy pont valamely környezetében, és ezen a ponton differenciálható, akkor az inverz függvénynek van deriváltja a pontban, és .

Differenciálási képletek. Az exponenciális függvény deriváltja.