Matrici, operazioni sulle matrici. matrice inversa
1° anno, matematica superiore, studio matrici e le azioni di base su di essi. Qui sistemiamo le operazioni di base che possono essere eseguite con le matrici. Da dove iniziare a conoscere le matrici? Naturalmente, dalle cose più semplici: definizioni, concetti di base e operazioni semplici. Vi assicuriamo che le matrici saranno comprese da tutti coloro che vi dedicheranno almeno un po' di tempo!
Definizione di matrice
Matriceè una tabella rettangolare di elementi. Bene, in termini semplici: una tabella di numeri.
Tipicamente, le matrici sono indicate con lettere latine maiuscole. Ad esempio, matrice UN , matrice B e così via. Le matrici possono essere di diverse dimensioni: rettangolari, quadrate e ci sono anche matrici di righe e colonne chiamate vettori. La dimensione della matrice è determinata dal numero di righe e colonne. Ad esempio, scriviamo una matrice rettangolare di dimensioni M SU N , Dove M – numero di righe e N - numero di colonne.
Articoli per i quali io=j (a11, a22, .. ) formano la diagonale principale della matrice e sono chiamate diagonale.
Cosa puoi fare con le matrici? Aggiungi/Sottrai, moltiplicare per un numero, moltiplicarsi tra loro, trasporre. Ora riguardo a tutte queste operazioni di base sulle matrici in ordine.
Operazioni di addizione e sottrazione di matrici
Ti avvisiamo subito che puoi aggiungere solo matrici della stessa dimensione. Il risultato sarà una matrice della stessa dimensione. Aggiungere (o sottrarre) matrici è semplice: devi solo aggiungere gli elementi corrispondenti . Facciamo un esempio. Eseguiamo l'addizione di due matrici A e B di dimensione due a due.
La sottrazione viene eseguita per analogia, solo con il segno opposto.
Qualsiasi matrice può essere moltiplicata per un numero arbitrario. Per fare questo, devi moltiplicare ciascuno dei suoi elementi per questo numero. Ad esempio, moltiplichiamo la matrice A del primo esempio per il numero 5:
Operazione di moltiplicazione di matrici
Non tutte le matrici possono essere moltiplicate insieme. Ad esempio, abbiamo due matrici: A e B. Possono essere moltiplicate tra loro solo se il numero di colonne della matrice A è uguale al numero di righe della matrice B. In questo caso ciascun elemento della matrice risultante, situato nella i-esima riga e nella j-esima colonna, sarà uguale alla somma dei prodotti degli elementi corrispondenti nella i-esima riga del primo fattore e nella j-esima colonna di il secondo. Per comprendere questo algoritmo, scriviamo come vengono moltiplicate due matrici quadrate:
E un esempio con numeri reali. Moltiplichiamo le matrici:
Operazione di trasposizione della matrice
La trasposizione della matrice è un'operazione in cui le righe e le colonne corrispondenti vengono scambiate. Ad esempio, trasponiamo la matrice A del primo esempio:
Determinante della matrice
Determinante, o determinante, è uno dei concetti di base dell'algebra lineare. C'era una volta, le persone inventavano equazioni lineari e dopo di loro dovevano inventare un determinante. Alla fine, spetta a te affrontare tutto questo, quindi, l’ultima spinta!
Il determinante è una caratteristica numerica di una matrice quadrata, necessaria per risolvere molti problemi.
Per calcolare il determinante della matrice quadrata più semplice, è necessario calcolare la differenza tra i prodotti degli elementi delle diagonali principale e secondaria.
Il determinante di una matrice del primo ordine, cioè composta da un solo elemento, è uguale a questo elemento.
Cosa succede se la matrice è tre per tre? Questo è più difficile, ma puoi gestirlo.
Per tale matrice, il valore del determinante è pari alla somma dei prodotti degli elementi della diagonale principale e dei prodotti degli elementi giacenti sui triangoli con faccia parallela alla diagonale principale, da cui si ottiene il prodotto della si sottraggono gli elementi della diagonale secondaria e il prodotto degli elementi che giacciono sui triangoli con la faccia della diagonale secondaria parallela.
Fortunatamente, nella pratica raramente è necessario calcolare i determinanti di matrici di grandi dimensioni.
Qui abbiamo esaminato le operazioni di base sulle matrici. Naturalmente, nella vita reale potresti non incontrare mai nemmeno un accenno di un sistema di equazioni a matrice o, al contrario, potresti incontrare casi molto più complessi in cui devi davvero scervellarti. È per questi casi che esistono servizi professionali per gli studenti. Chiedi aiuto, ottieni una soluzione dettagliata e di alta qualità, goditi il successo accademico e il tempo libero.
Lezione 1. “Matrici e operazioni fondamentali su di esse. Determinanti
Definizione. Matrice misurare M N, Dove M- numero di righe, N- il numero di colonne, chiamata tabella di numeri disposti in un determinato ordine. Questi numeri sono chiamati elementi di matrice. La posizione di ciascun elemento è determinata in modo univoco dal numero della riga e della colonna all'intersezione delle quali si trova. Gli elementi della matrice sono designatiUN ij, Dove io- numero di riga e J- numero di colonna.
A =
Operazioni fondamentali sulle matrici.
Una matrice può essere costituita da una riga o da una colonna. In generale una matrice può essere costituita anche da un solo elemento.
Definizione. Se il numero di colonne della matrice è uguale al numero di righe (m=n), viene richiamata la matrice piazza.
Definizione. Vista matrice:
= E
,
chiamato matrice identità.
Definizione. Se UN mn = UN nm , quindi viene chiamata la matrice simmetrico.
Esempio. 
- matrice simmetrica
Definizione.
Matrice quadrata della forma 
chiamato diagonale matrice.
Addizione e sottrazione matrici si riduce alle operazioni corrispondenti sui loro elementi. La proprietà più importante di queste operazioni è che definito solo per matrici della stessa dimensione. Pertanto, è possibile definire operazioni di addizione e sottrazione di matrici:
Definizione. Somma (differenza) matrici è una matrice i cui elementi sono, rispettivamente, la somma (differenza) degli elementi delle matrici originali.
c ij = a ij b ij
C = UN + B = B + A.
Operazione moltiplicazione (divisione) una matrice di qualsiasi dimensione per un numero arbitrario si riduce a moltiplicare (dividere) ciascun elemento della matrice per questo numero.
(A+B) = A B A( ) = A A
Esempio. Date le matrici A = 
; B= 
, trova 2A + B.
2A = 
,2A+B= 
.
Operazione di moltiplicazione di matrici.
Definizione: Il lavoro matrici è una matrice i cui elementi possono essere calcolati utilizzando le seguenti formule:
UN
B =
C;
.
Dalla definizione precedente è chiaro che l'operazione di moltiplicazione di matrici è definita solo per le matrici il numero di colonne della prima è pari al numero di righe della seconda.
Proprietà dell'operazione di moltiplicazione di matrici.
1) Moltiplicazione di matricinon commutativo , cioè. AB VA anche se entrambi i prodotti sono definiti. Tuttavia, se per qualsiasi matrice è soddisfatta la relazione AB = BA, allora vengono chiamate tali matricipermutabile.
L'esempio più tipico è una matrice che commuta con qualsiasi altra matrice della stessa dimensione.
Solo le matrici quadrate dello stesso ordine possono essere permutabili.
LA MI = MI LA = LA
Ovviamente per ogni matrice vale la seguente proprietà:
UN O = O; O UN = O,
dove O- zero matrice.
2) Operazione di moltiplicazione di matrici associativo, quelli. se i prodotti AB e (AB)C sono definiti, allora sono definiti BC e A(BC), e vale l'uguaglianza:
(AB)C=A(BC).
3) Operazione di moltiplicazione di matrici distributivo in relazione all'addizione, cioè se le espressioni A(B+C) e (A+B)C hanno senso, allora di conseguenza:
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC.
4) Se il prodotto AB è definito, allora per qualsiasi numero è corretta la seguente proporzione:
(AB) = ( UN) B = UN( B).
5) Se il prodotto AB è definito, allora è definito il prodotto B T A T e vale l'uguaglianza:
(AB) T = B T A T, dove
l'indice T denota trasposto matrice.
6) Si noti inoltre che per ogni matrice quadrata det (AB) = detAdetB.
Che è successo ciò sarà discusso di seguito.
Definizione . Si chiama Matrice B trasposto matrice A e la transizione da A a B trasposizione, se gli elementi di ciascuna riga della matrice A sono scritti nello stesso ordine nelle colonne della matrice B.
A = 
; B = UN T = 
;
in altre parole, b ji = a ij .
In conseguenza della precedente proprietà (5), possiamo scrivere che:
(ABC ) T = C T B T A T ,
a condizione che sia definito il prodotto delle matrici ABC.
Esempio.
Date le matrici A = 
, B = , C = 
e numero = 2. Trova A T B+ C.
UN T =
;
UN T B =
=
=
;
C =
; A T B+ C = +
=
.
Esempio. Trova il prodotto delle matrici A = e B = 
.
AB = = 
.
VA =
= 2
1 + 4
4 + 1
3 = 2 + 16 + 3 = 21.
Esempio. Trovare il prodotto delle matrici A= 
, B = 
AB =
= 
= 
.
Determinanti(determinanti).
Definizione.
Determinante matrice quadrata A= 
è un numero che può essere calcolato dagli elementi di una matrice utilizzando la formula:
det A = 
, dove (1)
M 1 a– determinante della matrice ottenuta da quella originaria eliminando la prima riga e la k-esima colonna. Va notato che i determinanti hanno solo matrici quadrate, cioè matrici in cui il numero di righe è uguale al numero di colonne.
F 
La formula (1) permette di calcolare il determinante di una matrice dalla prima riga è valida anche la formula per calcolare il determinante dalla prima colonna:
det A = 
(2)
In generale, il determinante può essere calcolato da qualsiasi riga o colonna di una matrice, cioè la formula è corretta:
detA = 
, i = 1,2,…,n. (3)
Ovviamente matrici diverse possono avere gli stessi determinanti.
Il determinante della matrice identità è 1.
Per la matrice A specificata, viene chiamato il numero M 1k ulteriore minore elemento della matrice a 1 k . Possiamo quindi concludere che ogni elemento della matrice ha il proprio minore aggiuntivo. Ulteriori minori esistono solo nelle matrici quadrate.
Definizione. Minore aggiuntivo di un elemento arbitrario di una matrice quadrata a ij è uguale al determinante della matrice ottenuta da quella originale eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna.
Proprietà1. Una proprietà importante dei determinanti è la seguente relazione:
det A = det A T ;
Proprietà 2. de (A B) = punto A de B.
Proprietà 3. det (AB) = detA detB
Proprietà 4. Se si scambiano due righe (o colonne) qualsiasi in una matrice quadrata, il determinante della matrice cambierà segno senza cambiare in valore assoluto.
Proprietà 5. Quando moltiplichi una colonna (o riga) di una matrice per un numero, il suo determinante viene moltiplicato per quel numero.
Proprietà 6. Se nella matrice A le righe o le colonne sono linearmente dipendenti, allora il suo determinante è uguale a zero.
Definizione: Le colonne (righe) di una matrice vengono chiamate linearmente dipendente, se esiste una loro combinazione lineare uguale a zero che ha soluzioni non banali (diverse da zero).
Proprietà 7. Se una matrice contiene una colonna o una riga zero, il suo determinante è zero. (Questa affermazione è ovvia, poiché il determinante può essere calcolato esattamente dalla riga o colonna zero.)
Proprietà 8. Il determinante di una matrice non cambierà se agli elementi di una delle sue righe (colonne) vengono aggiunti (sottratti) elementi di un'altra riga (colonna), moltiplicati per qualsiasi numero diverso da zero.
Proprietà 9. Se vale la seguente relazione per gli elementi di qualsiasi riga o colonna della matrice:D = D 1 D 2 , e = e 1 e 2 , F = punto (AB).
1° metodo: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A punto B = -26.
2° metodo: AB =
,
det (AB) = 7
18 - 8
19 = 126 –
– 152 = -26.
Questo manuale ti aiuterà a imparare come eseguire operazioni con matrici: addizione (sottrazione) di matrici, trasposizione di una matrice, moltiplicazione di matrici, ricerca della matrice inversa. Tutto il materiale è presentato in una forma semplice e accessibile, vengono forniti esempi rilevanti, quindi anche una persona impreparata può imparare come eseguire azioni con le matrici. Per l'automonitoraggio e l'autotest è possibile scaricare gratuitamente un calcolatore di matrici >>>.
Cercherò di ridurre al minimo i calcoli teorici, in alcuni punti sono possibili spiegazioni “sulle dita” e l'uso di termini non scientifici. Amanti della solida teoria, per favore non impegnatevi in critiche, il nostro compito è imparare a eseguire operazioni con le matrici.
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Una matrice è una tabella rettangolare di alcuni elementi. COME elementi considereremo i numeri, cioè le matrici numeriche. ELEMENTOè un termine. È opportuno ricordare il termine, apparirà spesso, non è un caso che ho utilizzato il carattere grassetto per evidenziarlo.
Designazione: le matrici sono solitamente indicate in lettere latine maiuscole
Esempio: Consideriamo una matrice due per tre:
Questa matrice è composta da sei elementi:
Tutti i numeri (elementi) all'interno della matrice esistono da soli, cioè non si tratta di alcuna sottrazione: 
È solo una tabella (insieme) di numeri!
Saremo anche d'accordo non riorganizzare numeri, se non diversamente indicato nelle spiegazioni. Ogni numero ha la sua posizione e non può essere mescolato!
La matrice in questione ha due righe: 
e tre colonne: 
STANDARD: quando si parla di dimensioni delle matrici, quindi All'inizio indicare il numero di righe e solo successivamente il numero di colonne. Abbiamo appena scomposto la matrice due per tre.
Se il numero di righe e colonne di una matrice è lo stesso, viene chiamata la matrice piazza, Per esempio: 
– una matrice tre per tre.
Se una matrice ha una colonna o una riga, vengono chiamate anche tali matrici vettori.
Conosciamo infatti il concetto di matrice fin dai tempi della scuola; consideriamo, ad esempio, un punto di coordinate “x” e “y”: . Essenzialmente, le coordinate di un punto vengono scritte in una matrice uno per due. A proposito, ecco un esempio del perché l'ordine dei numeri è importante: e sono due punti completamente diversi sull'aereo.
Adesso passiamo allo studio operazioni con matrici:
1) Atto primo. Rimuovere un segno meno dalla matrice (introdurre un segno meno nella matrice).
Torniamo alla nostra matrice 
. Come probabilmente avrai notato, ci sono troppi numeri negativi in questa matrice. Questo è molto scomodo dal punto di vista dell'esecuzione di varie azioni con la matrice, è scomodo scrivere così tanti svantaggi e sembra semplicemente brutto nel design.
Spostiamo il meno all'esterno della matrice, cambiando il segno di CIASCUN elemento della matrice:
A zero, come avete capito, il segno non cambia; lo zero è zero anche in Africa.
Esempio inverso: 
. Sembra brutto.
Introduciamo un meno nella matrice cambiando il segno di CIASCUN elemento della matrice:
Beh, si è rivelato molto più bello. E, soprattutto, sarà PIÙ FACILE eseguire qualsiasi azione con la matrice. Perché esiste un segno popolare così matematico: più sono gli svantaggi, maggiore è la confusione e gli errori.
2) Atto secondo. Moltiplicazione di una matrice per un numero.
Esempio:
È semplice, per moltiplicare una matrice per un numero, è necessario ogni elemento della matrice moltiplicato per un dato numero. In questo caso - un tre.
Altro esempio utile:
– moltiplicare una matrice per una frazione
Per prima cosa vediamo cosa fare NON C'È BISOGNO:
NON È NECESSARIO inserire una frazione nella matrice, in primo luogo, complica solo ulteriori azioni con la matrice e, in secondo luogo, rende difficile per l'insegnante verificare la soluzione; 
– risposta finale del compito).
E specialmente, NON C'È BISOGNO dividi ogni elemento della matrice per meno sette:
Dall'articolo Matematica per manichini o da dove cominciare, ricordiamo che nella matematica superiore si cerca in ogni modo di evitare le frazioni decimali con virgole.
L'unica cosa è preferibilmente Quello che fare in questo esempio è aggiungere un segno meno alla matrice:
Ma se solo TUTTO gli elementi della matrice sono stati divisi per 7 senza traccia, allora sarebbe possibile (e necessario!) dividere.
Esempio:
In questo caso puoi BISOGNO DI moltiplicare tutti gli elementi della matrice per , poiché tutti i numeri della matrice sono divisibili per 2 senza traccia.
Nota: nella teoria della matematica delle scuole superiori non esiste il concetto di “divisione”. Invece di dire “questo diviso per quello”, puoi sempre dire “questo moltiplicato per una frazione”. Cioè, la divisione è un caso speciale di moltiplicazione.
3) Atto terzo. Trasposizione della matrice.
Per trasporre una matrice è necessario scrivere le sue righe nelle colonne della matrice trasposta.
Esempio:
Matrice trasposta
C'è solo una riga qui e, secondo la regola, deve essere scritta in una colonna:
– matrice trasposta.
Una matrice trasposta è solitamente indicata da un apice o da un numero primo in alto a destra.
Esempio passo dopo passo:
Matrice trasposta 
Per prima cosa riscriviamo la prima riga nella prima colonna:
Quindi riscriviamo la seconda riga nella seconda colonna: 
E infine, riscriviamo la terza riga nella terza colonna:
Pronto. In parole povere, trasporre significa capovolgere la matrice.
4) Atto quarto. Somma (differenza) di matrici.
La somma delle matrici è un'operazione semplice.
NON TUTTE LE MATRICI POSSONO ESSERE PIEGATE. Per eseguire l'addizione (sottrazione) di matrici, è necessario che abbiano la STESSA DIMENSIONE.
Ad esempio, se viene fornita una matrice due per due, è possibile aggiungerla solo con una matrice due per due e nessun'altra! 
Esempio:
Aggiungi matrici 
E 
Per aggiungere matrici, è necessario aggiungere gli elementi corrispondenti:
Per la differenza di matrici la regola è simile, è necessario trovare la differenza degli elementi corrispondenti.
Esempio:
Trova la differenza di matrice 
, 
Come puoi risolvere questo esempio più facilmente, per non confonderti? Si consiglia di eliminare gli svantaggi non necessari, per fare ciò aggiungere un segno meno alla matrice:
Nota: nella teoria della matematica delle scuole superiori non esiste il concetto di “sottrazione”. Invece di dire “sottrai questo da questo”, puoi sempre dire “aggiungi un numero negativo a questo”. Cioè, la sottrazione è un caso speciale di addizione.
5) Atto quinto. Moltiplicazione di matrici.
Quali matrici possono essere moltiplicate?
Affinché una matrice possa essere moltiplicata per una matrice, è necessario in modo che il numero di colonne della matrice sia uguale al numero di righe della matrice.
Esempio:
È possibile moltiplicare una matrice per una matrice?
Ciò significa che i dati della matrice possono essere moltiplicati.
Ma se le matrici vengono riorganizzate, in questo caso la moltiplicazione non è più possibile!
Pertanto la moltiplicazione non è possibile:
Non è così raro imbattersi in compiti con un trucco, quando allo studente viene chiesto di moltiplicare matrici, la cui moltiplicazione è ovviamente impossibile.
È da notare che in alcuni casi è possibile moltiplicare le matrici in entrambi i modi.
Ad esempio, per le matrici, sono possibili sia la moltiplicazione che la moltiplicazione
DEFINIZIONE DI MATRICE. TIPI DI MATRICI
Matrice di dimensioni m× N chiamato insieme m·n numeri disposti in una tabella rettangolare di M linee e N colonne. Questa tabella è solitamente racchiusa tra parentesi. Ad esempio, la matrice potrebbe essere simile a:
Per brevità, una matrice può essere denotata da una singola lettera maiuscola, ad esempio, UN O IN.
In generale, una matrice di dimensioni M× N scrivilo così
.
I numeri che compongono la matrice vengono chiamati elementi della matrice. È conveniente fornire agli elementi della matrice due indici un ij: Il primo indica il numero di riga e il secondo indica il numero di colonna. Per esempio, un 23– l'elemento si trova nella 2a riga, 3a colonna.
Se una matrice ha un numero di righe pari al numero di colonne, viene chiamata la matrice piazza e viene chiamato il numero delle sue righe o colonne al fine matrici. Negli esempi precedenti, la seconda matrice è quadrata: il suo ordine è 3 e la quarta matrice è il suo ordine 1.
Viene chiamata una matrice in cui il numero di righe non è uguale al numero di colonne rettangolare. Negli esempi questa è la prima matrice e la terza.
Esistono anche matrici che hanno solo una riga o una colonna.
Viene chiamata una matrice con una sola riga matrice - riga(o stringa) e una matrice con una sola colonna matrice - colonna.
Si dice una matrice i cui elementi sono tutti zero nullo ed è indicato con (0) o semplicemente 0. Ad esempio,
.
Diagonale principale di una matrice quadrata chiamiamo la diagonale che va dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra.
Viene detta una matrice quadrata in cui tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono uguali a zero triangolare matrice.
.
Si chiama matrice quadrata in cui tutti gli elementi, tranne forse quelli sulla diagonale principale, sono uguali a zero diagonale matrice. Ad esempio, o.
Si dice una matrice diagonale in cui tutti gli elementi diagonali sono uguali a uno separare matrice ed è denotata dalla lettera E. Ad esempio, la matrice identità del 3° ordine ha la forma 
.
AZIONI SULLE MATRICI
Uguaglianza di matrice. Due matrici UN E B si dicono uguali se hanno lo stesso numero di righe e colonne e gli elementi corrispondenti sono uguali un ij = b ij. Quindi se 
E 
, Quello A=B, Se un 11 = b 11, un 12 = b 12, un 21 = b 21 E un22 = b22.
Trasporre. Consideriamo una matrice arbitraria UN da M linee e N colonne. Può essere associato alla seguente matrice B da N linee e M colonne, in cui ogni riga è una colonna della matrice UN con lo stesso numero (quindi ogni colonna è una riga della matrice UN con lo stesso numero). Quindi se 
, Quello 
.
Questa matrice B chiamato trasposto matrice UN e la transizione da UN A Trasposizione B.
Pertanto, la trasposizione è un'inversione dei ruoli delle righe e delle colonne di una matrice. Matrice trasposta in matrice UN, solitamente indicato A.
Comunicazione tra matrici UN e la sua trasposizione può essere scritta nella forma .
Per esempio. Trova la matrice trasposta di quella data.
Addizione di matrici. Consideriamo le matrici UN E B sono costituiti dallo stesso numero di righe e dallo stesso numero di colonne, cioè Avere stesse dimensioni. Quindi per aggiungere matrici UN E B necessari per gli elementi della matrice UN aggiungere elementi di matrice B stare negli stessi posti. Quindi, la somma di due matrici UN E B chiamata matrice C, che è determinato dalla regola, ad esempio,
Esempi. Trova la somma delle matrici:
È facile verificare che l'addizione di matrici obbedisce alle seguenti leggi: commutativa A+B=B+A e associativo ( A+B)+C=UN+(B+C).
Moltiplicazione di una matrice per un numero. Moltiplicare una matrice UN per numero K ogni elemento della matrice è necessario UN moltiplicare per questo numero. Quindi, il prodotto della matrice UN per numero K c'è una nuova matrice, che è determinata dalla regola 
O .
Per qualsiasi numero UN E B e matrici UN E B valgono le seguenti uguaglianze:
Esempi.
Moltiplicazione di matrici. Questa operazione viene eseguita secondo una legge particolare. Innanzitutto notiamo che le dimensioni delle matrici dei fattori devono essere coerenti. Puoi moltiplicare solo quelle matrici in cui il numero di colonne della prima matrice coincide con il numero di righe della seconda matrice (cioè la lunghezza della prima riga è uguale all'altezza della seconda colonna). Il lavoro matrici UN non una matrice B chiamata la nuova matrice C=AB, i cui elementi sono così composti:
Così, ad esempio, per ottenere il prodotto (cioè nella matrice C) elemento situato nella prima riga e nella terza colonna dalle 13, devi prendere la prima riga nella prima matrice, la terza colonna nella seconda, quindi moltiplicare gli elementi della riga per gli elementi della colonna corrispondenti e aggiungere i prodotti risultanti. E altri elementi della matrice del prodotto si ottengono utilizzando un prodotto simile delle righe della prima matrice e delle colonne della seconda matrice.
In generale, se moltiplichiamo una matrice A = (a ij) misurare M× N alla matrice B = (b ij) misurare N× P, quindi otteniamo la matrice C misurare M× P, i cui elementi vengono calcolati come segue: elemento c ij si ottiene come risultato del prodotto degli elementi io-esima riga della matrice UN agli elementi corrispondenti J esima colonna della matrice B e le loro aggiunte.
Da questa regola segue che si possono sempre moltiplicare due matrici quadrate dello stesso ordine, e di conseguenza otteniamo una matrice quadrata dello stesso ordine. In particolare, una matrice quadrata può sempre essere moltiplicata per se stessa, cioè quadrarlo.
Un altro caso importante è la moltiplicazione di una matrice di righe per una matrice di colonne, e la larghezza della prima deve essere uguale all'altezza della seconda, risultando in una matrice del primo ordine (cioè un elemento). Veramente,
.
Esempi.
Pertanto, questi semplici esempi mostrano che le matrici, in generale, non commutano tra loro, cioè A∙B ≠ B∙A . Pertanto, quando si moltiplicano le matrici, è necessario monitorare attentamente l'ordine dei fattori.
Si può verificare che la moltiplicazione di matrici obbedisce a leggi associative e distributive, cioè (AB)C=A(BC) E (A+B)C=AC+BC.
È anche facile verificarlo moltiplicando una matrice quadrata UN alla matrice identità E dello stesso ordine otteniamo nuovamente una matrice UN, E AE=EA=A.
Si può notare il seguente fatto interessante. Come sai, il prodotto di 2 numeri diversi da zero non è uguale a 0. Per le matrici potrebbe non essere così, ad es. il prodotto di 2 matrici diverse da zero può risultare uguale alla matrice zero.
Per esempio, Se 
, Quello
.
IL CONCETTO DI DETERMINANTI
Sia data una matrice del secondo ordine: una matrice quadrata composta da due righe e due colonne .
Determinante del secondo ordine corrispondente ad una data matrice è il numero ottenuto come segue: un 11 un 22 – un 12 un 21.
Il determinante è indicato dal simbolo 
.
Quindi, per trovare il determinante del secondo ordine, devi sottrarre il prodotto degli elementi lungo la seconda diagonale dal prodotto degli elementi della diagonale principale.
Esempi. Calcolare i determinanti del secondo ordine.
Allo stesso modo, possiamo considerare una matrice del terzo ordine e il suo determinante corrispondente.
Determinante del terzo ordine, corrispondente ad una data matrice quadrata del terzo ordine, è un numero denotato e ottenuto come segue:
.
Pertanto, questa formula fornisce l'espansione del determinante del terzo ordine in termini di elementi della prima riga un 11, un 12, un 13 e riduce il calcolo del determinante del terzo ordine al calcolo dei determinanti del secondo ordine.
Esempi. Calcolare il determinante del terzo ordine.
Allo stesso modo possiamo introdurre i concetti di determinanti di quarta, quinta, ecc. ordini, decrescendone l'ordine espandendosi negli elementi della 1a riga, con l'alternanza dei segni “+” e “–” dei termini.
Quindi, a differenza di una matrice, che è una tabella di numeri, un determinante è un numero assegnato alla matrice in un certo modo.
Matrice dimension è un tavolo rettangolare composto da elementi collocati in M linee e N colonne.
Elementi della matrice (primo indice io− numero di riga, secondo indice J− numero di colonna) possono essere numeri, funzioni, ecc. Le matrici sono indicate con lettere maiuscole dell'alfabeto latino.
La matrice si chiama piazza, se ha un numero di righe pari al numero di colonne ( M = N). In questo caso il numero Nè detto ordine della matrice, e la matrice stessa è detta matrice N-esimo ordine.
Elementi con gli stessi indici 
modulo diagonale principale matrice quadrata, e gli elementi (cioè aventi una somma di indici pari a N+1)
− diagonale laterale.
Separare matriceè una matrice quadrata, tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali a 1 e gli elementi rimanenti sono uguali a 0. È denotato dalla lettera E.
Zero matrice− è una matrice i cui elementi sono tutti uguali a 0. Una matrice zero può avere qualsiasi dimensione.
Al numero operazioni lineari su matrici relazionare:
1) addizione di matrici;
2) moltiplicare le matrici per numero.
L'operazione di addizione di matrici è definita solo per matrici della stessa dimensione.
La somma di due matrici UN E IN chiamata matrice CON, i cui elementi sono tutti uguali alla somma dei corrispondenti elementi della matrice UN E IN:
.
Prodotto a matrice UN per numero K chiamata matrice IN, i cui elementi sono tutti uguali ai corrispondenti elementi di questa matrice UN, moltiplicato per il numero K:
Operazione moltiplicazione di matrici viene introdotto per le matrici che soddisfano la condizione: il numero di colonne della prima matrice è pari al numero di righe della seconda.
Prodotto a matrice UN dimensioni alla matrice IN dimensione è chiamata matrice CON dimensioni, elemento io-esima riga e J la cui esima colonna è uguale alla somma dei prodotti degli elementi io-esima riga della matrice UN agli elementi corrispondenti J esima colonna della matrice IN:
Il prodotto di matrici (a differenza del prodotto di numeri reali) non obbedisce alla legge commutativa, cioè generalmente UN IN IN UN.
1.2. Determinanti. Proprietà dei determinanti
Il concetto di determinante viene introdotto solo per matrici quadrate.
Il determinante di una matrice del 2° ordine è un numero calcolato secondo la seguente regola
.
Determinante di una matrice del 3° ordine 
è un numero calcolato secondo la seguente regola:
Il primo dei termini con il segno “+” è il prodotto degli elementi situati sulla diagonale principale della matrice (). I restanti due contengono elementi situati ai vertici di triangoli con la base parallela alla diagonale principale (i). Il segno “-” comprende i prodotti degli elementi della diagonale secondaria () e gli elementi che formano triangoli con basi parallele a tale diagonale (i).
Questa regola per il calcolo del determinante del 3° ordine è chiamata regola del triangolo (o regola di Sarrus).
Proprietà dei determinanti Consideriamo l'esempio dei determinanti del terzo ordine.
1. Quando si sostituiscono tutte le righe del determinante con colonne con gli stessi numeri delle righe, il determinante non cambia il suo valore, cioè righe e colonne del determinante sono uguali
.
2. Quando due righe (colonne) vengono riorganizzate, il determinante cambia segno.
3. Se tutti gli elementi di una determinata riga (colonna) sono zero, il determinante è 0.
4. Dal segno determinante si può togliere il fattore comune di tutti gli elementi di una riga (colonna).
5. Il determinante contenente due righe (colonne) identiche è uguale a 0.
6. Un determinante contenente due righe (colonne) proporzionali è uguale a zero.
7. Se ogni elemento di una certa colonna (riga) di un determinante rappresenta la somma di due termini, allora il determinante è uguale alla somma di due determinanti, uno dei quali contiene i primi termini della stessa colonna (riga), e l'altro contiene il secondo. I restanti elementi di entrambi i determinanti sono gli stessi. COSÌ,
.
8. Il determinante non cambierà se agli elementi di una qualsiasi delle sue colonne (righe) vengono aggiunti gli elementi corrispondenti di un'altra colonna (riga), moltiplicati per lo stesso numero.
La prossima proprietà del determinante è legata ai concetti di complemento minore e algebrico.
Minore L'elemento di un determinante è un determinante ottenuto da un dato cancellando la riga e la colonna all'intersezione delle quali si trova questo elemento.
Ad esempio, l'elemento minore del determinanteè chiamato determinante.
Complemento algebrico un elemento determinante è chiamato il suo minore moltiplicato per, dove io− numero di riga, J− numero della colonna all'intersezione della quale si trova l'elemento. Il complemento algebrico è solitamente indicato. Per un elemento determinante del 3° ordine, il complemento algebrico
9. Il determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di qualsiasi riga (colonna) per i loro corrispondenti complementi algebrici.
Ad esempio, il determinante può essere espanso negli elementi della prima riga
,
o seconda colonna
Per calcolarli vengono utilizzate le proprietà dei determinanti.