Dimostrare che i vettori sono linearmente indipendenti. Dipendenza lineare e indipendenza lineare di un sistema di vettori

Permettere l – spazio lineare sopra il campo R . Permettere А1, а2, …, аn (*) sistema finito di vettori da l . Vettore IN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× UN (16) viene chiamato Combinazione lineare di vettori ( *), oppure dicono che è un vettore IN espresso linearmente attraverso un sistema di vettori (*).

Definizione 14. Il sistema di vettori (*) si chiama Dipendenza lineare , se e solo se esiste un insieme diverso da zero di coefficienti a1, a2, … , tale che a1× A1 + a2× A2 + … + an× UN = 0. Se a1× A1 + a2× A2 + … + an× UN = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, allora viene chiamato il sistema (*) Linearmente indipendente.

Proprietà di dipendenza e indipendenza lineare.

10. Se un sistema di vettori contiene un vettore zero, allora è linearmente dipendente.

Infatti, se nel sistema (*) il vettore A1 = 0, Questo è 1× 0 + 0× A2+…+0 × An = 0 .

20. Se un sistema di vettori contiene due vettori proporzionali, allora è linearmente dipendente.

Permettere A1 = l×a2. Quindi 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× UN N= 0.

30. Un sistema finito di vettori (*) per n ³ 2 è linearmente dipendente se e solo se almeno uno dei suoi vettori è una combinazione lineare dei restanti vettori di questo sistema.

Þ Sia (*) una dipendenza lineare. Allora esiste un insieme diverso da zero di coefficienti a1, a2, …, an, per i quali a1× A1 + a2× A2 + … + an× UN = 0 . Senza perdita di generalità, possiamo supporre che a1 ¹ 0. Allora esiste A1 = ×a2× A2 + … + ×an× UN N. Quindi, vettore A1 è una combinazione lineare dei rimanenti vettori.

Ü Sia uno dei vettori (*) una combinazione lineare degli altri. Possiamo supporre che questo sia il primo vettore, cioè A1 = B2 A2+ … + miliardi UN N, quindi (–1)× A1 +b2 A2+ … + miliardi UN N= 0 , cioè (*) è linearmente dipendente.

Commento. Usando l'ultima proprietà, possiamo definire la dipendenza e l'indipendenza lineare di un sistema infinito di vettori.

Definizione 15. Sistema vettoriale А1, а2, …, аn , … (**) è chiamato Dipendenza lineare, Se almeno uno dei suoi vettori è una combinazione lineare di un numero finito di altri vettori. Altrimenti viene chiamato il sistema (**). Linearmente indipendente.

40. Un sistema finito di vettori è linearmente indipendente se e solo se nessuno dei suoi vettori può essere espresso linearmente in termini dei suoi restanti vettori.

50. Se un sistema di vettori è linearmente indipendente, allora anche qualsiasi suo sottosistema è linearmente indipendente.

60. Se qualche sottosistema di un dato sistema di vettori è linearmente dipendente, allora anche l'intero sistema è linearmente dipendente.

Siano dati due sistemi di vettori А1, а2, …, аn , … (16) e В1, В2, …, Вs, … (17). Se ciascun vettore del sistema (16) può essere rappresentato come una combinazione lineare di un numero finito di vettori del sistema (17), allora il sistema (17) si dice espresso linearmente attraverso il sistema (16).

Definizione 16. I due sistemi vettoriali vengono chiamati Equivalente , se ciascuno di essi è espresso linearmente attraverso l'altro.

Teorema 9 (teorema base della dipendenza lineare).

Lascia fare – due sistemi finiti di vettori da l . Se il primo sistema è linearmente indipendente ed espresso linearmente attraverso il secondo, allora N£s.

Prova. Facciamo finta che N> S. Secondo le condizioni del teorema

giunto Poiché il numero delle equazioni è maggiore del numero delle incognite, il sistema ha infinite soluzioni. Pertanto ha un valore diverso da zero X10,x20,...,xN0. Per questi valori sarà vera l'uguaglianza (18), il che contraddice il fatto che il sistema di vettori è linearmente indipendente. Quindi la nostra ipotesi è sbagliata. Quindi, N£s.

Conseguenza. Se due sistemi equivalenti di vettori sono finiti e linearmente indipendenti, allora contengono lo stesso numero di vettori.

Definizione 17. Il sistema vettoriale si chiama Massimo sistema di vettori linearmente indipendenti Spazio lineare l , se è linearmente indipendente, ma quando si aggiunge ad esso qualsiasi vettore da l , non compreso in questo sistema, diventa linearmente dipendente.

Teorema 10. Due sistemi di vettori finiti massimali linearmente indipendenti qualsiasi da l Contengono lo stesso numero di vettori.

Prova deriva dal fatto che due sistemi massimi di vettori linearmente indipendenti sono equivalenti .

È facile dimostrare che qualsiasi sistema linearmente indipendente di vettori spaziali l può essere espanso a un massimo sistema di vettori linearmente indipendenti in questo spazio.

Esempi:

1. Nell'insieme di tutti i vettori geometrici collineari, qualsiasi sistema costituito da un vettore diverso da zero è linearmente indipendente al massimo.

2. Nell'insieme di tutti i vettori geometrici complanari, due vettori qualsiasi non collineari costituiscono un sistema massimo linearmente indipendente.

3. Nell'insieme di tutti i possibili vettori geometrici dello spazio euclideo tridimensionale, qualsiasi sistema di tre vettori non complanari è linearmente indipendente al massimo.

4. Nell'insieme di tutti i polinomi, i gradi non sono superiori a N A coefficienti reali (complessi), un sistema di polinomi 1, x, x2, … , xnÈ massimamente linearmente indipendente.

5. Nell'insieme di tutti i polinomi con coefficienti reali (complessi), esempi di un sistema massimale linearmente indipendente sono

UN) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

B) 1, (1 – X), (1 – X)2, … , (1 – X)N, ...

6. Insieme di matrici dimensionali M´ Nè uno spazio lineare (controlla questo). Un esempio di massimo sistema linearmente indipendente in questo spazio è il sistema a matrice E11= , E12 =, …, EMn = .

Sia dato un sistema di vettori C1, c2, …, cfr (*). Viene chiamato il sottosistema di vettori da (*) Massimo linearmente indipendente Sottosistema Sistemi ( *) , se è linearmente indipendente, ma aggiungendo ad esso qualsiasi altro vettore di questo sistema, diventa linearmente dipendente. Se il sistema (*) è finito, allora ciascuno dei suoi sottosistemi linearmente indipendenti massimi contiene lo stesso numero di vettori. (Dimostralo tu stesso). Viene chiamato il numero di vettori nel massimo sottosistema linearmente indipendente del sistema (*) Rango Questo sistema. Ovviamente, sistemi equivalenti di vettori hanno gli stessi ranghi.

Definizione. Combinazione lineare di vettori a 1 , ..., an con coefficienti x 1 , ..., x n è detto vettore

x 1 un 1 + ... + x n un n .

banale, se tutti i coefficienti x 1 , ..., x n sono uguali a zero.

Definizione. Si chiama la combinazione lineare x 1 a 1 + ... + x n a n non banale, se almeno uno dei coefficienti x 1, ..., x n non è uguale a zero.

linearmente indipendenti, se non esiste una combinazione non banale di questi vettori uguale al vettore zero.

Cioè i vettori a 1, ..., an sono linearmente indipendenti se x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 se e solo se x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definizione. I vettori a 1, ..., an si chiamano linearmente dipendente, se esiste una combinazione non banale di questi vettori uguale al vettore zero.

Proprietà dei vettori linearmente dipendenti:

Per vettori bi e tridimensionali.

Due vettori linearmente dipendenti sono collineari. (I vettori collineari sono linearmente dipendenti.)

Per vettori tridimensionali.

Tre vettori linearmente dipendenti sono complanari. (Tre vettori complanari sono linearmente dipendenti.)

• Per vettori n-dimensionali.

  n+1 vettori sono sempre linearmente dipendenti.

Esempi di problemi sulla dipendenza lineare e sull'indipendenza lineare dei vettori:

Esempio 1. Controlla se i vettori a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) sono linearmente indipendenti .

Soluzione:

I vettori saranno linearmente dipendenti, poiché la dimensione dei vettori è inferiore al numero di vettori.

Esempio 2. Controlla se i vettori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) sono linearmente indipendenti.

Soluzione:

sottrarre il secondo dalla prima riga; aggiungi una seconda riga alla terza riga:

Questa soluzione mostra che il sistema ha molte soluzioni, cioè esiste una combinazione diversa da zero di valori dei numeri x 1, x 2, x 3 tale che la combinazione lineare dei vettori a, b, c è uguale a il vettore zero, ad esempio:

A+b+c=0

e questo significa che i vettori a, b, c sono linearmente dipendenti.

Risposta: i vettori a, b, c sono linearmente dipendenti.

Esempio 3. Controlla se i vettori a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) sono linearmente indipendenti.

Soluzione: Troviamo i valori dei coefficienti ai quali la combinazione lineare di questi vettori sarà uguale al vettore zero.

Questa equazione vettoriale può essere scritta come un sistema di equazioni lineari

Risolviamo questo sistema utilizzando il metodo di Gauss

sottrarre la prima dalla seconda riga; sottrai il primo dalla terza riga:

sottrarre il secondo dalla prima riga; aggiungi un secondo alla terza riga.

In altre parole, la dipendenza lineare di un gruppo di vettori significa che tra essi esiste un vettore che può essere rappresentato da una combinazione lineare di altri vettori di questo gruppo.

Diciamo. Poi

Quindi il vettore X linearmente dipendente dai vettori di questo gruppo.

Vettori X, sì, ..., z sono detti lineari vettori indipendenti, se dall'uguaglianza (0) segue che

α=β= ...= γ=0.

Cioè, i gruppi di vettori sono linearmente indipendenti se nessun vettore può essere rappresentato da una combinazione lineare di altri vettori in questo gruppo.

Determinazione della dipendenza lineare dei vettori

Siano dati m vettori stringa di ordine n:

Avendo fatto un'eccezione gaussiana, riduciamo la matrice (2) alla forma triangolare superiore. Gli elementi dell'ultima colonna cambiano solo quando le righe vengono riorganizzate. Dopo m passaggi di eliminazione otteniamo:

Dove io 1 , io 2 , ..., io m - indici di riga ottenuti da possibili riarrangiamenti di riga. Considerando le righe risultanti dagli indici di riga, escludiamo quelle che corrispondono al vettore riga zero. Le restanti linee formano vettori linearmente indipendenti. Si noti che componendo la matrice (2), modificando la sequenza dei vettori riga, è possibile ottenere un altro gruppo di vettori linearmente indipendenti. Ma il sottospazio formato da entrambi questi gruppi di vettori coincide.

Presentato da noi operazioni lineari sui vettori consentono di creare varie espressioni per quantità vettoriali e trasformarli utilizzando le proprietà impostate per queste operazioni.

Sulla base di un dato insieme di vettori a 1, ..., a n, puoi creare un'espressione della forma

dove a 1, ... e n sono numeri reali arbitrari. Questa espressione si chiama combinazione lineare di vettori un 1, ..., un n. I numeri α i, i = 1, n, rappresentano coefficienti di combinazione lineare. Viene anche chiamato un insieme di vettori sistema di vettori.

In relazione al concetto introdotto di combinazione lineare di vettori, si pone il problema di descrivere un insieme di vettori che può essere scritto come combinazione lineare di un dato sistema di vettori a 1, ..., a n. Inoltre, sorgono domande naturali sulle condizioni in cui esiste una rappresentazione di un vettore sotto forma di combinazione lineare e sull'unicità di tale rappresentazione.

Definizione 2.1. I vettori a 1, ... e n sono chiamati linearmente dipendente, se esiste un insieme di coefficienti α 1 , ... , α n tale che

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

e almeno uno di questi coefficienti è diverso da zero. Se l'insieme di coefficienti specificato non esiste, vengono chiamati i vettori linearmente indipendenti.

Se α 1 = ... = α n = 0, allora, ovviamente, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Tenendo presente questo, possiamo dire questo: vettori a 1, ..., e n sono linearmente indipendenti se dall'uguaglianza (2.2) segue che tutti i coefficienti α 1 , ... , α n sono uguali a zero.

Il seguente teorema spiega perché il nuovo concetto è chiamato il termine "dipendenza" (o "indipendenza") e fornisce un semplice criterio per la dipendenza lineare.

Teorema 2.1. Affinché i vettori a 1, ..., en, n > 1, siano linearmente dipendenti, è necessario e sufficiente che uno di essi sia una combinazione lineare degli altri.

◄ Necessità. Supponiamo che i vettori a 1, ... e n siano linearmente dipendenti. Secondo la Definizione 2.1 di dipendenza lineare, nell'uguaglianza (2.2) a sinistra c'è almeno un coefficiente diverso da zero, ad esempio α 1. Lasciando il primo termine a sinistra dell'uguaglianza, spostiamo gli altri a destra, cambiando segno, come al solito. Dividendo l'uguaglianza risultante per α 1, otteniamo

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

quelli. rappresentazione del vettore a 1 come combinazione lineare dei restanti vettori a 2, ..., a n.

Adeguatezza. Supponiamo, ad esempio, che il primo vettore a 1 possa essere rappresentato come una combinazione lineare dei restanti vettori: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Trasferendo tutti i termini da destra a sinistra otteniamo a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, cioè una combinazione lineare di vettori a 1, ..., an con coefficienti α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, pari a vettore nullo. In questa combinazione lineare, non tutti i coefficienti sono zero. Secondo la Definizione 2.1, i vettori a 1, ..., e n sono linearmente dipendenti.

La definizione e il criterio per la dipendenza lineare sono formulati per implicare la presenza di due o più vettori. Tuttavia, possiamo anche parlare di una dipendenza lineare di un vettore. Per realizzare questa possibilità, invece di “i vettori sono linearmente dipendenti”, è necessario dire “il sistema di vettori è linearmente dipendente”. È facile vedere che l'espressione “un sistema di un vettore è linearmente dipendente” significa che questo singolo vettore è zero (in una combinazione lineare c'è solo un coefficiente e non dovrebbe essere uguale a zero).

Il concetto di dipendenza lineare ha una semplice interpretazione geometrica. Le tre affermazioni seguenti chiariscono questa interpretazione.

Teorema 2.2. Due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se collineare.

◄ Se i vettori a e b sono linearmente dipendenti, allora uno di essi, ad esempio a, è espresso attraverso l'altro, cioè a = λb per un numero reale λ. Secondo la definizione 1.7 lavori vettori per numero, i vettori a e b sono collineari.

Siano ora i vettori a e b collineari. Se sono entrambi nulli, allora è ovvio che sono linearmente dipendenti, poiché qualsiasi loro combinazione lineare è uguale al vettore zero. Sia uno di questi vettori diverso da 0, ad esempio il vettore b. Indichiamo con λ il rapporto tra le lunghezze dei vettori: λ = |a|/|b|. I vettori collineari possono essere unidirezionale O diretto in senso opposto. In quest'ultimo caso cambiamo il segno di λ. Allora, verificando la Definizione 1.7, siamo convinti che a = λb. Secondo il Teorema 2.1, i vettori aeb sono linearmente dipendenti.

Osservazione 2.1. Nel caso di due vettori, tenendo conto del criterio della dipendenza lineare, il teorema dimostrato può essere riformulato così: due vettori sono collineari se e solo se uno di essi è rappresentato come il prodotto dell'altro da un numero. Questo è un criterio conveniente per la collinearità di due vettori.

Teorema 2.3. Tre vettori sono linearmente dipendenti se e solo se Complanare.

◄ Se tre vettori a, b, c sono linearmente dipendenti, allora, secondo il Teorema 2.1, uno di essi, ad esempio a, è una combinazione lineare degli altri: a = βb + γc. Combiniamo le origini dei vettori b e c nel punto A. Allora i vettori βb, γс avranno un'origine comune nel punto A e lungo secondo la regola del parallelogramma, la loro somma è quelli. il vettore a sarà un vettore con origine A e fine, che è il vertice di un parallelogramma costruito sui vettori componenti. Pertanto tutti i vettori giacciono sullo stesso piano, cioè complanari.

Siano complanari i vettori a, b, c. Se uno di questi vettori è zero, allora è ovvio che sarà una combinazione lineare degli altri. È sufficiente prendere tutti i coefficienti di una combinazione lineare uguali a zero. Pertanto, possiamo supporre che tutti e tre i vettori non siano zero. Compatibile iniziato di questi vettori in un punto comune O. Lascia che le loro estremità siano rispettivamente i punti A, B, C (Fig. 2.1). Per il punto C tracciamo rette parallele alle rette passanti per coppie di punti O, A e O, B. Designando i punti di intersezione come A" e B", otteniamo un parallelogramma OA"CB", quindi OC" = OA" + OB". Il vettore OA" e il vettore diverso da zero a = OA sono collineari, e quindi il primo di essi può essere ottenuto moltiplicando il secondo per un numero reale α:OA" = αOA. Allo stesso modo, OB" = βOB, β ∈ R. Di conseguenza, otteniamo che OC" = α OA. + βOB, cioè il vettore c è una combinazione lineare dei vettori a e b. Secondo il Teorema 2.1, i vettori a, b, c sono linearmente dipendenti.

Teorema 2.4. Quattro vettori qualsiasi sono linearmente dipendenti.

◄ Effettuiamo la dimostrazione secondo lo stesso schema del Teorema 2.3. Considera quattro vettori arbitrari a, b, c e d. Se uno dei quattro vettori è zero, o tra di essi ci sono due vettori collineari, oppure tre dei quattro vettori sono complanari, allora questi quattro vettori sono linearmente dipendenti. Ad esempio, se i vettori a e b sono collineari, allora possiamo creare la loro combinazione lineare αa + βb = 0 con coefficienti diversi da zero, quindi aggiungere i due vettori rimanenti a questa combinazione, prendendo zero come coefficienti. Otteniamo una combinazione lineare di quattro vettori uguali a 0, in cui sono presenti coefficienti diversi da zero.

Pertanto, possiamo assumere che tra i quattro vettori selezionati, nessun vettore è zero, nessuno due è collineare e nessuno tre è complanare. Scegliamo il punto O come inizio comune. Quindi le estremità dei vettori a, b, c, d saranno alcuni punti A, B, C, D (Fig. 2.2). Per il punto D tracciamo tre piani paralleli ai piani OBC, OCA, OAB, e siano A", B", C" i punti di intersezione di questi piani rispettivamente con le rette OA, OB, OS. Otteniamo un parallelepipedo OA" C "B" C" B"DA", e i vettori a, b, c giacciono sui suoi bordi emergenti dal vertice O. Poiché il quadrilatero OC"DC" è un parallelogramma, allora OD = OC" + OC " A sua volta, il segmento OC" è un parallelogramma OA"C"B", quindi OC" = OA" + OB" e OD = OA" + OB" + OC" .

Resta da notare che le coppie di vettori OA ≠ 0 e OA" , OB ≠ 0 e OB" , OC ≠ 0 e OC" sono collineari, e quindi è possibile selezionare i coefficienti α, β, γ in modo che OA" = αOA, OB" = βOB e OC" = γOC. Alla fine otteniamo OD = αOA + βOB + γOC. Di conseguenza, il vettore OD è espresso attraverso gli altri tre vettori, e tutti e quattro i vettori, secondo il Teorema 2.1, sono linearmente dipendenti.

UN 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, UN 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, UN 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Soluzione. Cerchiamo una soluzione generale del sistema di equazioni

UN 1 X 1 + UN 2 X 2 + UN 3 X 3 = Θ

Metodo di Gauss. Per fare ciò, scriviamo questo sistema omogeneo in coordinate:

Matrice del sistema

Il sistema consentito ha la forma: (RA = 2, N= 3). Il sistema è cooperativo e incerto. La sua soluzione generale ( X 2 – variabile libera): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . La presenza di una soluzione particolare diversa da zero, ad esempio, indica che i vettori UN 1 , UN 2 , UN 3 linearmente dipendente.

Esempio 2.

Scopri se un dato sistema di vettori è linearmente dipendente o linearmente indipendente:

1. UN 1 = { -20, -15, - 4 }, UN 2 = { –7, -2, -4 }, UN 3 = { 3, –1, –2 }.

Soluzione. Consideriamo un sistema omogeneo di equazioni UN 1 X 1 + UN 2 X 2 + UN 3 X 3 = Θ

o in forma estesa (per coordinate)

Il sistema è omogeneo. Se non è degenerato, allora ha una soluzione unica. Nel caso di un sistema omogeneo, esiste una soluzione zero (banale). Ciò significa che in questo caso il sistema di vettori è indipendente. Se il sistema è degenere allora ha soluzioni diverse da zero e quindi è dipendente.

Controlliamo la degenerazione del sistema:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Il sistema non è degenere e, quindi, i vettori UN 1 , UN 2 , UN 3 linearmente indipendenti.

Compiti. Scopri se un dato sistema di vettori è linearmente dipendente o linearmente indipendente:

1. UN 1 = { -4, 2, 8 }, UN 2 = { 14, -7, -28 }.

2. UN 1 = { 2, -1, 3, 5 }, UN 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. UN 1 = { -7, 5, 19 }, UN 2 = { -5, 7 , -7 }, UN 3 = { -8, 7, 14 }.

4. UN 1 = { 1, 2, -2 }, UN 2 = { 0, -1, 4 }, UN 3 = { 2, -3, 3 }.

5. UN 1 = { 1, 8 , -1 }, UN 2 = { -2, 3, 3 }, UN 3 = { 4, -11, 9 }.

6. UN 1 = { 1, 2 , 3 }, UN 2 = { 2, -1 , 1 }, UN 3 = { 1, 3, 4 }.

7. UN 1 = {0, 1, 1 , 0}, UN 2 = {1, 1 , 3, 1}, UN 3 = {1, 3, 5, 1}, UN 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. UN 1 = {-1, 7, 1 , -2}, UN 2 = {2, 3 , 2, 1}, UN 3 = {4, 4, 4, -3}, UN 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Dimostrare che un sistema di vettori sarà linearmente dipendente se contiene:

a) due vettori uguali;

b) due vettori proporzionali.