Formulare la legge di conservazione del momento angolare. §2
Le leggi di conservazione dell'energia cinetica e della quantità di moto sono state a lungo in competizione tra loro, rivendicando un ruolo di primo piano, poiché né l'una né l'altra legge hanno una giustificazione rigorosa. Tuttavia, gli scienziati sospettavano da tempo l'esistenza di una connessione tra loro, come parlò di H. Huygens (1629-1695). Secondo Huygens, questa connessione significa che la conservazione dell'energia meccanica in qualsiasi sistema in movimento uniforme implica la conservazione della quantità di moto. Pertanto, dopo un lungo dibattito, gli scienziati sono giunti alla conclusione che queste leggi sono equivalenti. Quindi, ad esempio, d’Alembert ha fatto la seguente dichiarazione su questo argomento: “Ognuno deve avere la libertà di risolvere questo problema a propria discrezione. Inoltre, la questione sollevata non è altro che una disputa metafisica sulle parole del tutto infruttuosa, indegna dell’attenzione dei filosofi”.
La connessione tra le leggi di conservazione dell'energia cinetica e della quantità di moto fu stabilita da W. Pauli (1900-1958). Per dimostrare questa connessione utilizza l'idea di Huygens. Citiamo da: “In un sistema costituito da particelle in collisione con masse, le velocità delle particelle cambiano dopo l'impatto in velocità. La conservazione dell’energia è espressa dall’equazione: 
Lascia che il sistema guadagni ulteriore velocità V. Le velocità delle particelle prima dell'impatto saranno ora uguali a , e dopo l'impatto, e la conservazione dell'energia è ora espressa dalla relazione: 
,
Quindi: 
Velocità V- è arbitraria, quindi l'uguaglianza scritta sarà valida solo se: 
In altre parole, la quantità di moto del sistema prima dell’urto delle particelle, pari all’espressione a sinistra, si conserva dopo l’urto”.
Considereremo questo problema anche per la sua particolare importanza usando l'esempio della collisione di palline, ma in un'interpretazione leggermente diversa (Fig. 1).
Lasciamo che le palline si muovano in un sistema di riferimento inerziale arbitrario X-sì nella stessa direzione (Fig. 1, a) con velocità e . Dopo l'impatto le velocità delle palline assumeranno i valori e . Secondo la legge di conservazione dell’energia varrà la seguente espressione: 
, (1)
Consideriamo ora il moto relativo, prendendo come sistema di riferimento una delle sfere. Per fare questo, utilizziamo il principio dell'inversione del movimento, cioè diamo ad entrambe le palline la stessa velocità, il che porterà, ad esempio, all'arresto della prima pallina, poiché la sua velocità totale sarà zero. La velocità della seconda palla sarà uguale alla velocità relativa: 
(2)
La legge di conservazione dell’energia cinetica in questo caso assumerà la forma: 
(3)
(4)
Risolvendo insieme le equazioni (1) e (4), otteniamo l'espressione:
, (5)
(7)
Si ottiene così un risultato interessante: la legge di conservazione della quantità di moto segue dalla legge di conservazione dell'energia. Va inoltre notato che il risultato ottenuto non dipende dalla scelta del sistema di riferimento.
Se consideriamo il contromovimento delle sfere (Fig. 1, b), per ottenere il risultato corretto, la velocità dovrebbe essere sottratta dalla velocità, cioè la velocità relativa dovrebbe essere trovata secondo l'espressione (2) , anche se, come si vede dalla figura, queste velocità andrebbero sommate. Questa circostanza è dovuta al fatto che le velocità di movimento di tutti i corpi sono vettori, il che significa che anche sottraendo i loro valori possono essere sommati.
Pertanto, le espressioni (2), (5) e (7) dovrebbero essere considerate come vettori.
Risolvendo insieme le espressioni (1) e (5), nonché (3) e (7), troviamo le velocità delle palle dopo l'impatto, considerandole come vettori:
; (8)
; (9)
; (10)
(11)
Usando queste espressioni, troviamo le velocità relative delle palle dopo l'impatto: 
; (12)
(13)
Pertanto, durante un impatto elastico, le velocità relative delle palline cambieranno solo la loro direzione.
L'espressione (1), che caratterizza la legge di conservazione dell'energia, può essere presentata in un'altra forma: 
(14)
; (15)
, (16)
; (17)
, (18)
- da cui ne consegue che l'energia acquisita dalla prima palla è uguale all'energia ceduta dalla seconda palla.
Sostituendo i valori delle velocità e nelle espressioni (7) e (8), otteniamo: 
; (19)
(20)
Vediamo ora come verrà soddisfatta la connessione tra le leggi di conservazione dell'energia e della quantità di moto per un caso di impatto più complesso: un impatto obliquo, quando le velocità delle sfere in movimento sono dirette ad angolo l'una rispetto all'altra (Fig. 2) . Nella figura, le palline sono separate per mostrare meglio i loro schemi di velocità. Assumiamo che la velocità coincida con la direzione dell'asse X.
Per risolvere il problema, utilizziamo il metodo dell'inversione del movimento, attribuendo una velocità a entrambe le palline, ovvero selezioniamo la prima pallina come sistema di riferimento in movimento relativo, la cui velocità totale sarà pari a zero. Supponiamo inoltre, per semplificare il problema, che la velocità risultante sia diretta lungo la linea che collega i centri delle palline. Quindi, utilizzando i valori noti delle velocità della seconda palla, viene costruito un parallelogramma, con l'aiuto del quale viene stabilita una connessione tra queste velocità e la velocità del movimento relativo, e si può anche trovare l'angolo, poiché l'angolo è dato.
Utilizzando un parallelogramma, utilizzando il teorema del coseno otteniamo l'espressione: 
(21)
- che trasformiamo nella forma:
(22)
Da questa equazione troviamo la velocità nel moto relativo prima dell'inizio dell'impatto -: 
(23)
L'angolo che caratterizza la direzione del vettore si ricava dall'espressione ottenuta utilizzando il teorema del coseno:
, (24)
- da dove otteniamo:
(25)
Pertanto, come risultato delle operazioni eseguite, otteniamo la solita collisione di una palla in movimento e ferma nella direzione della linea dei loro centri con una velocità relativa iniziale .
Prima di determinare le velocità delle sfere dopo la collisione, stabiliamo una connessione tra le energie cinetiche delle sfere in movimento assoluto e relativo: 
; (26)
(27)
Perché
(28)
- Di conseguenza, verranno determinate altre velocità nel movimento relativo:
; (29)
(30)
Sostituendo questi valori delle velocità relative nell'espressione (27), otteniamo: 
(31)
Riducendo per due e elevando al quadrato la differenza di velocità, trasformiamo l'espressione (31) nella forma:
, (32)
Aggiungendo al primo termine a destra dell'espressione, è possibile eliminare i termini corrispondenti all'espressione (26), per cui l'espressione (32) assumerà la forma:
(33)
Riducendo questa espressione e raggruppando i termini, otteniamo:
(34)
Dopo aver determinato le velocità e in conformità con le espressioni (28) – (32):
(35)
- e sostituendoli nell'espressione (34), la trasformiamo nella forma:
(36)
Pertanto, abbiamo stabilito una connessione tra le leggi di conservazione dell'energia e della quantità di moto nel movimento assoluto e relativo delle sfere durante un impatto obliquo.
Risolvendo insieme le equazioni (27) e (36), troviamo le velocità delle sfere nel loro movimento relativo: 
; (37)
, (38)
Quando si risolvono equazioni per ottenere una soluzione in forma vettoriale, i quadrati delle velocità dovrebbero essere rappresentati come il prodotto scalare di due vettori identici.
Le velocità delle sfere in movimento assoluto possono essere trovate utilizzando il teorema del coseno dei parallelogrammi presentati in Fig. 2.
Per la prima palla, il modulo della velocità è determinato dall'espressione: 
, (39)
- da dove otteniamo:
(40)
Per la seconda palla, il modulo di velocità sarà uguale a: 
, (41)
- dove possiamo trovarlo:
(42)
Gli angoli e , che caratterizzano le direzioni dei vettori e rispetto ai vettori e , si trovano anche utilizzando il teorema del coseno: 
; (43)
(44)
Sostituendo in queste espressioni i valori delle velocità e delle formule (39) e (41), otteniamo: 
; (45)
(46)
Per verificare le soluzioni ottenute si possono trovare i valori dell'energia cinetica delle palline dopo l'impatto, poiché prima dell'impatto la loro energia era pari a: 
, (47)
- e dopo il colpo sarà:
(48)
Sostituendo i valori delle velocità al quadrato nell'espressione (48) e dalle espressioni (39) e (41), otteniamo: 
(49)
Ora utilizziamo i valori dei moduli di velocità e delle espressioni (37) e (38): 
(50)
Sostituendo il valore del modulo di velocità in questa espressione secondo la formula (23) ed effettuando trasformazioni, alla fine otteniamo che , cioè la legge di conservazione dell'energia sarà soddisfatta.
Consideriamo ora l'urto anelastico di due palline. In questo caso, parte dell'energia verrà spesa per cambiamenti strutturali (deformazioni anelastiche delle sfere) e per il loro riscaldamento, cioè una variazione dell'energia interna. Pertanto, le espressioni delle leggi di conservazione dell’energia in due sistemi di riferimento assumeranno la forma:
; (51)
(52)
Risolvendo insieme questo sistema di equazioni, otteniamo la legge di conservazione della quantità di moto nella sua forma abituale:
, (53)
- cioè, le perdite di energia durante l'interazione dei corpi non influenzano la forma di questa legge.
Utilizzando le equazioni (51) e (53), troviamo le velocità delle sfere dopo la loro collisione anelastica: 
; (54)
(55)
Ovviamente le espressioni (54) e (55) avranno significato fisico solo se l'espressione radicale ha valore positivo. Da questa condizione si può ricavare il valore al quale la legge di conservazione della quantità di moto sarà ancora soddisfatta eguagliando a zero l'espressione radicale: 
(56)
, (57)
(58)
Le espressioni (54) e (56), tenendo conto della formula (57), possono essere rappresentate come:
; (59)
, (60)
(61)
Nel moto relativo, le espressioni per le velocità assumeranno la forma: 
; (62)
(63)
Dalle espressioni di cui sopra ne consegue che le velocità delle palline saranno uguali e si muoveranno insieme come una cosa sola.
Se il coefficiente è maggiore di uno, l'espressione radicale sarà negativa e le espressioni per le velocità perderanno il loro significato fisico. Poiché in , le palline si muoveranno come un'unità, un'equazione è sufficiente per determinare la velocità del loro movimento. Quando puoi ancora usare la legge di conservazione della quantità di moto, quando dovresti usare solo la legge di conservazione dell'energia, anche se in termini matematici la legge di conservazione della quantità di moto in questo caso sarà soddisfatta. Pertanto, la legge di conservazione della quantità di moto ha dei limiti al suo utilizzo. Ciò conferma ancora una volta il ruolo prioritario della legge di conservazione dell'energia rispetto alla legge di conservazione della quantità di moto. Tuttavia, in linea di principio, è possibile che i valori del coefficiente non possano essere maggiori di uno, quindi varranno sempre entrambe le leggi, ma questa affermazione richiede una verifica sperimentale.
Poiché le palline si muoveranno come un tutt'uno con la stessa velocità, la legge di conservazione dell'energia assumerà la forma: 
, (64)
- dove, secondo l'espressione (61),
(65)
Risolvendo l'equazione (64), otteniamo: 
(66)
- o in moto relativo:
(67)
Se tutta l'energia d'impatto viene spesa in perdite, cioè quando la relazione è soddisfatta: 
, (68)
(69)
È vero, permangono dubbi sulla possibilità effettiva di un caso del genere.
Nel §5 del primo capitolo si è dimostrato che la quantità di movimento caratterizza l'inerzia di un corpo ed è determinata dal rapporto, cioè dal rapporto tra la variazione dell'energia cinetica del corpo e la variazione della sua velocità . In relazione a questa definizione dell'inerzia di un corpo, si può dare un'altra conclusione alla legge di conservazione della quantità di moto. Per fare ciò, utilizziamo le espressioni (15), (17) e (18), dividendole per la variazione della velocità del primo corpo: 
(70)
Trasformiamo l'espressione risultante nella forma: 
(71)
Utilizzando il rapporto di velocità (12) nella forma: 
, (72)
- Trasformiamo l'espressione (71) nella forma:
(73)
- da cui segue la legge di conservazione della quantità di moto:
Le leggi di conservazione dell'energia e della quantità di moto sono ampiamente utilizzate nella risoluzione di vari problemi di meccanica. Tuttavia, poiché queste leggi sono integrali, poiché tengono conto degli stati dei corpi solo prima e dopo la loro interazione, ma non al momento dell'interazione stessa, c'è il pericolo di perdere il significato fisico dell'interazione. interazione stessa, evitando la spiegazione di questo significato fisico per mancanza di comprensione, anche se il risultato finale sarà corretto.
Dimostriamo questa affermazione usando l'esempio del movimento di una barca quando una persona a bordo lancia una pietra in acqua (Fig. 3). Non c'è dubbio che la barca si muoverà nella direzione opposta al lancio. Per risolvere il problema si utilizza la legge di conservazione della quantità di moto che, tenendo conto della direzione delle velocità, avrà la forma:
, (74)
, (75)
- cioè quanto maggiore è la massa della pietra e la sua velocità, tanto maggiore sarà la velocità della barca.
Se chiedi agli insegnanti di meccanica quale sia il motivo che fa muovere una barca, la maggior parte di loro risponderà che la barca si muoverà perché deve essere soddisfatta la legge di conservazione della quantità di moto. Danno una risposta del genere perché non riescono a spiegare la vera causa del movimento, sebbene sappiano molto bene che il movimento può avvenire solo sotto l'influenza della forza. Quindi quale forza farà muovere la barca?
Ovviamente qui dobbiamo comprendere l'interazione tra le mani dell'uomo e la pietra al momento del lancio. L'unica ragione per cui appare la forza che agisce su una persona, e attraverso di essa sulla barca, è l'impatto della pietra. Questa forza apparirà se la pietra si muove accelerata al momento del lancio. Quindi si deformerà e in esso si formeranno forze elastiche che agiranno sulle mani della persona. Queste forze, come già sappiamo, sono forze di inerzia e la loro grandezza sarà pari al prodotto della massa della pietra e della sua accelerazione. Puoi anche dire che una persona si sta allontanando da una pietra. Tuttavia, risolvere questo problema utilizzando la seconda legge di Newton è quasi impossibile, poiché non saremo in grado di trovare l'accelerazione della pietra al momento del lancio. La velocità del suo movimento nei primi istanti di movimento è molto più facile da trovare. Quindi l'uso delle leggi integrali del movimento semplifica notevolmente la soluzione di molti problemi di meccanica. È vero, non bisogna dimenticare l'essenza fisica dei fenomeni in esame. In questo caso la potenza matematica delle leggi di conservazione integrale si rivelerà ancora più chiaramente.
Consideriamo ora un problema più complesso relativo al movimento di un carrello su cui si trovano due carichi, che ruotano in direzioni diverse con la stessa velocità angolare (Fig. 4). Questo problema si risolve anche utilizzando la legge di conservazione della quantità di moto:
, (76)
Dall'espressione (76) segue: 
, (77)
- cioè il carrello eseguirà oscillazioni armoniche. Ma qual è il motivo di queste fluttuazioni? Non si può dire che il carro obbedisca alla legge di conservazione della quantità di moto. Una forza deve far oscillare il carro, ma che tipo di forza? L’unico candidato a questo ruolo non può che essere la forza centrifuga d’inerzia agente sui carichi rotanti:
(78)
Sotto l'influenza di due forze d'inerzia, il carrello si muoverà lungo l'asse sì. La natura del movimento del carrello può essere trovata utilizzando la seconda legge di Newton: 
(79)
La velocità del carrello si determina integrando questa espressione: 
, (80)
- Dove CON– costante di integrazione.
Per determinare la velocità del carrello è necessario utilizzare le condizioni iniziali. Qui però sorge un problema: a quanto sarà uguale la velocità del carrello? Supponiamo che nel momento iniziale il carrello non fissato e i carichi fossero fermi, e quindi i carichi siano stati immediatamente messi in rotazione con una velocità angolare costante, cioè non ci sarà alcuna modalità di movimento transitoria. Pertanto, l'entità delle forze di inerzia assumerà immediatamente il valore finale determinato dall'espressione (78). Sotto l'influenza delle forze d'inerzia, il carrello dovrebbe muoversi immediatamente in una direzione positiva. Bisogna però tenere presente che con l'apparizione istantanea della velocità di movimento dei carichi, apparirà un'accelerazione teoricamente infinita, ma praticamente molto grande nella direzione dell'asse sì, se i carichi fossero posizionati lungo l'asse X, e la corrispondente forza d'inerzia nella direzione opposta, che farà muovere il carrello nella direzione della sua azione nella direzione negativa dell'asse sì, cioè ci sarà effettivamente un impatto sul carrello.
Assumiamo che la velocità iniziale del carrello sia pari a , quindi dall'equazione (80) otteniamo: 
,
- dove troviamo la costante di integrazione CON:
(81)
In base a ciò, la velocità del carrello sarà:
(82)
Integrando questa espressione troviamo lo spostamento del carro lungo l'asse sì:
(83)
Nelle condizioni date, il moto del carro sarà armonico, quindi l'espressione tra parentesi deve essere uguale a zero. Allora la legge del moto del carro assumerà la forma: 
, (84)
(85)
Quindi la velocità del carrello in funzione dell'angolo di rotazione sarà determinata dall'espressione (80): 
,
- che corrisponde all'espressione (77).
Tuttavia, è possibile anche una seconda soluzione a questo problema, supponendo che inizialmente il carrello sia fisso e che i carichi ruotino a velocità costante. Quindi, quando i carichi prendono posizione lungo l'asse X, il carrello viene rilasciato. In tali condizioni, le forze d'inerzia nella direzione dell'asse sì sarà assente, poiché il valore della velocità di rotazione dei carichi non cambierà, quindi non ci sarà alcun impatto sul carrello nella direzione negativa dell'asse sì e la sua velocità iniziale sarà zero. Quindi dall'equazione (80) segue che la costante di integrazione CON sarà uguale a: 
, (86)
- pertanto la velocità del carro in funzione del tempo avrà la forma:
(87)
Integrando questa espressione nel tempo, troviamo il movimento del carro lungo l'asse y: 
(88)
, (89)
; (90)
(91)
Pertanto, la proiezione periodicamente variabile delle forze di inerzia dei carichi sull'asse sì fa sì che il carrello esegua oscillazioni armoniche e si muova anche lungo l'asse sì a seconda delle condizioni iniziali di guida. Un carrello non fissato eseguirà solo oscillazioni armoniche, mentre un carrello fissato e poi rilasciato eseguirà un movimento rettilineo, al quale si sovrapporranno oscillazioni armoniche.
L'analisi da noi effettuata sarebbe stata impossibile senza tenere conto delle forze agenti sul carrello, che in questo caso sono le forze d'inerzia. Se il movimento del carro si spiega con la necessità di rispettare la legge di conservazione della quantità di moto, ciò significa non dire nulla nel merito della questione. Pertanto, è consigliabile combinare l'uso delle leggi di conservazione con un'analisi dettagliata delle forze del problema in esame.
Dal teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema si possono ricavare le seguenti importanti conseguenze.
1. Lascia che la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema sia uguale a zero:
Quindi dall'equazione (20) ne consegue che in questo caso Quindi, se la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema è uguale a zero, allora il vettore quantità di moto del sistema sarà costante in grandezza e direzione.
2. Supponiamo che le forze esterne che agiscono sul sistema siano tali che la somma delle loro proiezioni su un asse (ad esempio ) sia uguale a zero:
Quindi dalle equazioni (20) ne consegue che in questo caso Quindi, se la somma delle proiezioni di tutte le forze esterne agenti su qualsiasi asse è uguale a zero, allora la proiezione della quantità di moto del sistema su questo asse è un valore costante.
Questi risultati esprimono la legge di conservazione della quantità di moto del sistema. Ne consegue che le forze interne non possono modificare la quantità di movimento del sistema. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.
Il fenomeno del rinculo o del rinculo. Se consideriamo il fucile e il proiettile come un unico sistema, la pressione dei gas in polvere durante uno sparo sarà una forza interna. Questa forza non può modificare la quantità di movimento del sistema, pari al tiro di un proiettile. Ma poiché i gas in polvere, agendo sul proiettile, gli impartiscono una certa quantità di movimento diretto in avanti, devono contemporaneamente impartire al fucile la stessa quantità di movimento nella direzione opposta. Ciò farà sì che il fucile si muova all'indietro, noto come rinculo. Un fenomeno simile si verifica quando si spara con una pistola (rollback).
Funzionamento dell'elica (elica). L'elica imprime movimento ad una certa massa d'aria (o acqua) lungo l'asse dell'elica, respingendo questa massa. Se consideriamo la massa lanciata e l'aereo (o la nave) come un unico sistema, allora le forze di interazione tra l'elica e l'ambiente, come quelle interne, non possono modificare la quantità totale di movimento di questo sistema. Pertanto, quando una massa d'aria (acqua) viene respinta, l'aereo (o la nave) riceve una corrispondente velocità di avanzamento tale che la quantità totale di movimento del sistema in esame rimane uguale a zero, poiché era zero prima che iniziasse il movimento .
Un effetto simile si ottiene mediante l'azione di remi o ruote a pale.
Propulsione a jet. In un razzo (razzo), i prodotti gassosi della combustione del carburante vengono espulsi ad alta velocità da un'apertura nella coda del razzo (dall'ugello del motore a razzo). Le forze di pressione che agiscono in questo caso saranno forze interne e non potranno modificare la quantità di moto del sistema a razzo: i prodotti della combustione del carburante. Ma poiché i gas in fuga hanno un certo movimento diretto all'indietro, il razzo riceve una velocità corrispondente diretta in avanti. L'entità di questa velocità sarà determinata nel § 114.
Si noti che un motore a elica (esempio precedente) impartisce movimento a un oggetto, come un aeroplano, respingendo particelle del mezzo in cui si muove. Nello spazio senz'aria tale movimento è impossibile. Un motore a reazione trasmette il moto respingendo le masse generate nel motore stesso (prodotti della combustione). Questo movimento è ugualmente possibile sia nell'aria che nello spazio senz'aria.
Quando si risolvono i problemi, l'applicazione del teorema ci consente di escludere dalla considerazione tutte le forze interne. Dobbiamo quindi cercare di scegliere il sistema in esame in modo tale che tutte (o parte di) le forze precedentemente sconosciute siano rese interne.
La legge di conservazione della quantità di moto è conveniente da applicare nei casi in cui, variando la velocità di traslazione di una parte del sistema, è necessario determinare la velocità di un'altra parte. In particolare, questa legge è ampiamente utilizzata nella teoria dell’impatto.
Problema 126. Un proiettile di massa, che vola orizzontalmente con velocità, colpisce una scatola di sabbia montata su un carrello (Fig. 289). A quale velocità inizierà a muoversi il carrello dopo l'impatto, se la massa del carrello insieme alla scatola è uguale a
Soluzione. Considereremo il proiettile e il carrello come un unico sistema, ciò ci consentirà di eliminare le forze che si presentano quando il proiettile colpisce la scatola durante la risoluzione del problema. La somma delle proiezioni delle forze esterne applicate al sistema sull'asse orizzontale Ox è uguale a zero. Pertanto, ovvero dov'è la quantità di movimento del sistema prima dell'impatto; - dopo il colpo.
Poiché il carrello è immobile prima dell'impatto, allora .
Dopo l'impatto, il carrello e il proiettile si muovono con una velocità comune, che indicheremo con v. Poi .
Uguagliando i lati destri delle espressioni, troviamo
Problema 127. Determina la velocità di rinculo libero della pistola se il peso delle parti di rinculo è uguale a P, il peso del proiettile è e la velocità del proiettile rispetto alla canna è uguale a al momento della partenza.
Soluzione. Per eliminare le forze di pressione sconosciute dei gas in polvere, considerare il proiettile e le parti di rinculo come un unico sistema.
Consideriamo l'azione reciproca di due corpi isolati che non interagiscono con altri corpi. Supponiamo che le forze siano costanti durante tutta l'interazione. Secondo la seconda legge della dinamica, la variazione della quantità di moto del primo corpo è:
dove è l'intervallo di tempo di interazione.
Variazione della quantità di moto del secondo corpo:
dove è la forza che agisce dal primo corpo al secondo.
Secondo la terza legge di Newton
e inoltre, ovviamente
Quindi,
Indipendentemente dalla natura delle forze di interazione e dalla durata della loro azione, la quantità di moto totale di due corpi isolati rimane costante.
Il risultato ottenuto può essere esteso a un numero qualsiasi di corpi interagenti e a forze che cambiano nel tempo. Per fare ciò, dividiamo l'intervallo di tempo durante il quale avviene l'interazione dei corpi in intervalli così piccoli durante ciascuno dei quali la forza può essere considerata costante con un dato grado di precisione. Durante ciascun periodo di tempo, la relazione (1.8) sarà soddisfatta. Pertanto, sarà valido per l'intero intervallo di tempo
Per generalizzare la conclusione ai corpi interagenti, introduciamo il concetto di sistema chiuso.
Chiusoè un sistema di corpi per i quali le forze esterne risultanti sono pari a zero.
Supponiamo che le masse dei punti materiali formino un sistema chiuso. La variazione della quantità di moto di ciascuno di questi punti come risultato della sua interazione con tutti gli altri punti del sistema, rispettivamente:
Indichiamo le forze interne che agiscono su un punto con la massa da altri punti, con il punto con massa, ecc. (Il primo indice indica il punto su cui agisce la forza; il secondo indice indica il punto sull'asse di cui agisce la forza atti.)
Scriviamo nella notazione accettata la seconda legge della dinamica per ciascun punto separatamente:
Il numero di equazioni è uguale al numero di corpi nel sistema. Per trovare la variazione totale della quantità di moto del sistema, è necessario calcolare la somma geometrica delle variazioni della quantità di moto di tutti i punti del sistema. Riassumendo le uguaglianze (1.9), otteniamo sul lato sinistro il vettore completo delle variazioni della quantità di moto del sistema nel tempo e sul lato destro l'impulso elementare della risultante di tutte le forze che agiscono nel sistema. Ma poiché il sistema è chiuso, le forze risultanti sono pari a zero. Infatti, secondo la terza legge della dinamica, ad ogni forza nelle uguaglianze (1.9) corrisponde una forza e
cioè ecc.,
e la risultante di queste forze è zero. Di conseguenza, nell’intero sistema chiuso la variazione della quantità di moto è zero:
la quantità di moto totale di un sistema chiuso è una quantità costante durante l'intero movimento (legge di conservazione della quantità di moto).
La legge di conservazione della quantità di moto è una delle leggi fondamentali della fisica, valida sia per sistemi di corpi macroscopici che per sistemi formati da corpi microscopici: molecole, atomi, ecc.
Se sui punti del sistema agiscono forze esterne, la quantità di movimento posseduta dal sistema cambia.
Scriviamo le equazioni (1.9), includendo in esse le forze esterne risultanti agenti rispettivamente sulla prima, sulla seconda, ecc. Fino al punto th:
Sommando i lati sinistro e destro delle equazioni, otteniamo: a sinistra - il vettore completo delle variazioni della quantità di moto del sistema; a destra - l'impulso delle forze esterne risultanti:
oppure, denotando le forze esterne risultanti:
la variazione della quantità di moto totale di un sistema di corpi è uguale all'impulso delle forze esterne risultanti.
L’uguaglianza (1.13) può essere scritta in un’altra forma:
la derivata temporale della quantità totale di movimento di un sistema di punti è uguale alle forze esterne risultanti che agiscono sui punti del sistema.
Proiettando i vettori della quantità di moto del sistema e delle forze esterne su tre assi reciprocamente perpendicolari, invece del vettore di uguaglianza (6.14), otteniamo tre equazioni scalari della forma:
Se lungo un asse qualsiasi, ad esempio, la componente delle forze esterne risultanti è uguale a zero, allora la quantità di movimento lungo questo asse non cambia, cioè, essendo generalmente aperto, nella direzione in cui il sistema può essere considerato chiuso.
Abbiamo esaminato il trasferimento del movimento meccanico da un corpo all'altro senza il suo passaggio ad altre forme di movimento della materia.
La quantità “mv risulta essere una misura del movimento semplicemente trasferito, cioè continuo...”.
L'applicazione della legge della variazione della quantità di moto al problema del movimento di un sistema di corpi ci consente di escludere dalla considerazione tutte le forze interne, il che semplifica la ricerca teorica e la risoluzione dei problemi pratici.
1. Lasciare una persona in piedi immobile su un carrello fermo (Fig. 2.a). La quantità di moto del sistema uomo-carrello è zero. Questo sistema è chiuso? È influenzato da forze esterne: gravità e attrito tra le ruote del carrello e il pavimento. In generale il sistema non è chiuso. Tuttavia, posizionando il carrello sulle rotaie e trattando di conseguenza la superficie delle rotaie e delle ruote, cioè riducendo significativamente l'attrito tra di loro, è possibile trascurare la forza di attrito.
La forza di gravità, diretta verticalmente verso il basso, è bilanciata dalla reazione delle rotaie deformate, e la risultante di queste forze non può impartire accelerazione orizzontale al sistema, cioè non può cambiare la velocità, e quindi la quantità di moto del sistema. Possiamo quindi, con una certa approssimazione, considerare questo sistema chiuso.
Supponiamo ora che una persona lasci il carro verso sinistra (Fig. 2.b), avendo velocità. Per acquisire questa velocità, una persona deve, contraendo i muscoli, agire con i piedi sulla piattaforma del carro e deformarla. La forza che agisce dal lato della piattaforma deformata sui piedi della persona imprime un'accelerazione al corpo umano verso sinistra, e la forza che agisce dal lato dei piedi deformati della persona (secondo la terza legge della dinamica) imprime l'accelerazione al carrello a destra. Di conseguenza, quando l’interazione si interrompe (la persona scende dal carrello), il carrello guadagna una certa velocità.
Per trovare le velocità utilizzando le leggi fondamentali della dinamica, sarebbe necessario sapere come cambiano nel tempo le forze di interazione tra una persona e un carro e dove vengono applicate queste forze. La legge di conservazione della quantità di moto consente di trovare immediatamente il rapporto tra le velocità di una persona e di un carro, nonché di indicare la loro direzione reciproca, se si conoscono i valori delle masse di una persona e di un carro.
Mentre la persona resta immobile sul carrello, la quantità totale di movimento del sistema rimane pari a zero:
Le velocità acquisite da una persona e da un carro sono inversamente proporzionali alle loro masse. Il segno meno indica la direzione opposta.
2. Se una persona, muovendosi a velocità, corre su un carrello fermo e si ferma su di esso, allora il carrello inizia a muoversi, in modo che la quantità totale di movimento di esso e della persona risulta essere uguale alla quantità di movimento che la persona sola aveva prima:
3. Una persona che si muove a velocità corre su un carrello che si muove verso di lui a velocità e si ferma su di esso. Successivamente, il sistema uomo-carro si muove con una velocità comune. La quantità totale di movimento della persona e del carro è uguale alla somma delle quantità di movimento che ciascuno possiede separatamente:
4. Utilizzando il fatto che il carrello può muoversi solo lungo i binari, possiamo dimostrare la natura vettoriale della variazione di quantità di moto. Se una persona entra e si ferma su un carrello precedentemente fermo una volta lungo la direzione del suo possibile movimento, la seconda volta - con un angolo di 45°, e la terza volta - con un angolo di 90° rispetto a questa direzione, poi nella seconda In questo caso la velocità acquisita dal carrello è circa una volta e mezza inferiore a quella del primo caso e nel terzo caso il carrello è fermo.
Consideriamo le leggi di conservazione più generali, che governano l'intero mondo materiale e che introducono nella fisica una serie di concetti fondamentali: energia, quantità di moto (momento), momento angolare, carica.
Legge di conservazione della quantità di moto
Come è noto la quantità di moto, o impulso, è il prodotto tra la velocità e la massa di un corpo in movimento: p = mv Questa grandezza fisica permette di individuare la variazione del movimento di un corpo in un certo periodo di tempo. Per risolvere questo problema bisognerebbe applicare la seconda legge di Newton innumerevoli volte, in tutti i momenti intermedi del tempo. La legge di conservazione della quantità di moto (momento) può essere ottenuta utilizzando la seconda e la terza legge di Newton. Se consideriamo due (o più) punti materiali (corpi) che interagiscono tra loro e formano un sistema isolato dall'azione di forze esterne, allora durante il movimento gli impulsi di ciascun punto (corpo) possono cambiare, ma l'impulso totale del il sistema deve rimanere invariato:
M 1 v+M 1 v 2 = cost.
I corpi interagenti si scambiano impulsi mantenendo l'impulso totale.
Nel caso generale otteniamo:
dove P Σ è l'impulso totale totale del sistema, M io v io– impulsi di singole parti interagenti del sistema. Formuliamo la legge di conservazione della quantità di moto:
Se la somma delle forze esterne è zero, la quantità di moto del sistema di corpi rimane costante durante tutti i processi che si verificano in esso.
Un esempio del funzionamento della legge di conservazione della quantità di moto può essere considerato nel processo di interazione di una barca con una persona, che ha affondato il naso sulla riva, e la persona nella barca cammina rapidamente da poppa a prua a una velocità velocità v 1 . In questo caso, la barca si allontanerà rapidamente dalla riva v 2 :
Un esempio simile può essere dato con un proiettile esploso in aria in più parti. La somma vettoriale degli impulsi di tutti i frammenti è uguale all'impulso del proiettile prima dell'esplosione.
Legge di conservazione del momento angolare
È conveniente caratterizzare la rotazione dei corpi rigidi mediante una quantità fisica chiamata momento angolare.
Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso, ogni singola particella del corpo si muove lungo un cerchio con un raggio R io ad una certa velocità lineare v io. Velocità v io e slancio p = m io v io perpendicolare al raggio r i. Prodotto dell'impulso p = m io v io per raggio R ioè chiamato momento angolare della particella:
l io= M io v io R io= P io R io·
Momento angolare del corpo intero:
Se sostituiamo la velocità lineare con la velocità angolare (v i = ωr i), allora
dove J = mr 2 – momento di inerzia.
Il momento angolare di un sistema chiuso non cambia nel tempo l= cost e Jω = cost.
In questo caso, il momento angolare delle singole particelle di un corpo rotante può cambiare a piacere, ma il momento angolare totale (la somma del momento angolare delle singole parti del corpo) rimane costante. La legge di conservazione del momento angolare può essere dimostrata osservando un pattinatore che gira sui pattini con le braccia estese ai lati e con le braccia sollevate sopra la testa. Poiché Jω = cost, allora nel secondo caso il momento d'inerzia J diminuisce, il che significa che la velocità angolare u deve aumentare, poiché Jω = cost.
Legge di conservazione dell'energia
Energiaè una misura universale di varie forme di movimento e interazione. L'energia ceduta da un corpo a un altro è sempre uguale all'energia ricevuta dall'altro corpo. Per quantificare il processo di scambio energetico tra corpi interagenti, la meccanica introduce il concetto di lavoro di una forza che provoca il movimento.
L'energia cinetica di un sistema meccanico è l'energia del movimento meccanico di questo sistema. La forza che causa il movimento di un corpo funziona e l'energia di un corpo in movimento aumenta in base alla quantità di lavoro impiegato. Come è noto, un corpo di massa M, muovendosi a velocità v, ha energia cinetica E=mv 2 /2.
Energia potenzialeè l'energia meccanica di un sistema di corpi che interagiscono attraverso campi di forze, ad esempio attraverso le forze gravitazionali. Il lavoro svolto da queste forze quando si sposta un corpo da una posizione all'altra non dipende dalla traiettoria del movimento, ma dipende solo dalla posizione iniziale e finale del corpo nel campo di forze.
Tali campi di forza sono chiamati potenziali e le forze che agiscono in essi sono chiamate conservatore. Le forze gravitazionali sono forze conservative e rappresentano l'energia potenziale di un corpo di massa M, sollevato ad un'altezza H sopra la superficie terrestre è uguale a
E sudore = mgh,
Dove G- accelerazione di gravità.
L’energia meccanica totale è uguale alla somma dell’energia cinetica e potenziale:
E= E parente + E sudore
Legge di conservazione dell'energia meccanica(1686, Leibniz) afferma che in un sistema di corpi tra i quali agiscono solo forze conservative, l'energia meccanica totale rimane invariata nel tempo. In questo caso le trasformazioni dell'energia cinetica in energia potenziale e viceversa possono avvenire in quantità equivalenti.
Esiste un altro tipo di sistema in cui l'energia meccanica può essere ridotta mediante conversione in altre forme di energia. Ad esempio, quando un sistema si muove per attrito, parte dell'energia meccanica viene ridotta a causa dell'attrito. Tali sistemi sono chiamati dissipativo, cioè sistemi che dissipano energia meccanica. In tali sistemi la legge di conservazione dell'energia meccanica totale non è valida. Tuttavia, quando l'energia meccanica diminuisce, a tale diminuzione appare sempre una quantità di energia di tipo diverso. Così, l'energia non scompare né riappare mai, cambia solo da un tipo all'altro. Qui si manifesta la proprietà di indistruttibilità della materia e il suo movimento.
Dettagli Categoria: Meccanica Pubblicato il 21/04/2014 14:29 Visualizzazioni: 55509Nella meccanica classica esistono due leggi di conservazione: la legge di conservazione della quantità di moto e la legge di conservazione dell’energia.
Impulso del corpo
Il concetto di quantità di moto fu introdotto per la prima volta da un matematico, fisico e meccanico francese. e il filosofo Cartesio, che chiamò impulso quantità di movimento .
Dal latino, "impulso" è tradotto come "spingere, muovere".
Qualsiasi corpo che si muove possiede quantità di moto.
Immaginiamo un carro fermo. La sua quantità di moto è zero. Ma non appena il carro comincia a muoversi, la sua quantità di moto non sarà più nulla. Inizierà a cambiare man mano che cambia la velocità.
Momento di un punto materiale, O quantità di movimento – una quantità vettoriale pari al prodotto della massa di un punto per la sua velocità. La direzione del vettore quantità di moto del punto coincide con la direzione del vettore velocità.
Se stiamo parlando di un corpo fisico solido, la quantità di moto di tale corpo è chiamata il prodotto della massa di questo corpo e la velocità del centro di massa.
Come calcolare la quantità di moto di un corpo? Si può immaginare che un corpo sia costituito da molti punti materiali, o da un sistema di punti materiali.
Se - l'impulso di un punto materiale, quindi l'impulso di un sistema di punti materiali
Questo è, quantità di moto di un sistema di punti materiali è la somma vettoriale delle quantità di moto di tutti i punti materiali inclusi nel sistema. È uguale al prodotto delle masse di questi punti e della loro velocità.
L'unità di misura dell'impulso nel sistema internazionale di unità SI è il chilogrammo-metro al secondo (kg m/sec).
Forza d'impulso
In meccanica esiste una stretta connessione tra la quantità di moto di un corpo e la forza. Queste due quantità sono collegate da una quantità chiamata impulso di forza .
Se su un corpo agisce una forza costanteF per un periodo di tempo T , quindi secondo la seconda legge di Newton
Questa formula mostra la relazione tra la forza che agisce su un corpo, il tempo di azione di questa forza e la variazione della velocità del corpo.
Si chiama la quantità pari al prodotto della forza che agisce su un corpo per il tempo durante il quale agisce impulso di forza .
Come vediamo dall'equazione, l'impulso della forza è uguale alla differenza tra gli impulsi del corpo nel momento iniziale e finale del tempo, o al cambiamento dell'impulso nel corso di un certo tempo.
La seconda legge di Newton in forma di quantità di moto è formulata come segue: la variazione della quantità di moto di un corpo è pari alla quantità di moto della forza che agisce su di esso. Va detto che lo stesso Newton originariamente formulò la sua legge esattamente in questo modo.
Anche l'impulso di forza è una grandezza vettoriale.
La legge di conservazione della quantità di moto deriva dalla terza legge di Newton.
Va ricordato che questa legge opera solo in un sistema fisico chiuso o isolato. Un sistema chiuso è un sistema in cui i corpi interagiscono solo tra loro e non interagiscono con corpi esterni.
Immaginiamo un sistema chiuso di due corpi fisici. Le forze di interazione dei corpi tra loro sono chiamate forze interne.
L'impulso di forza per il primo corpo è uguale a
Secondo la terza legge di Newton, le forze che agiscono sui corpi durante la loro interazione sono uguali in grandezza e opposte in direzione.
Pertanto per il secondo corpo la quantità di moto della forza è pari a
Con semplici calcoli otteniamo un'espressione matematica per la legge di conservazione della quantità di moto:
Dove m1 E m2 – masse corporee,
v1 E v2 – velocità del primo e del secondo corpo prima dell'interazione,
v1" E v2" – velocità del primo e del secondo corpo dopo l'interazione .
P 1 = m 1 · v 1 - quantità di moto del primo corpo prima dell'interazione;
p2 = m2 · v2 - quantità di moto del secondo corpo prima dell'interazione;
p1"= m1 · v1" - quantità di moto del primo corpo dopo l'interazione;
p2"= m2 · v2" - quantità di moto del secondo corpo dopo l'interazione;
Questo è
P 1 + P 2 = p 1" + p 2"
In un sistema chiuso i corpi si scambiano solo impulsi. E la somma vettoriale delle quantità di moto di questi corpi prima della loro interazione è uguale alla somma vettoriale delle loro quantità di moto dopo l'interazione.
Quindi, come risultato dello sparo con una pistola, la quantità di moto della pistola stessa e la quantità di moto del proiettile cambieranno. Ma la somma degli impulsi della pistola e del proiettile in essa contenuto prima dello sparo rimarrà uguale alla somma degli impulsi della pistola e del proiettile volante dopo lo sparo.
Quando si spara con un cannone, si verifica il rinculo. Il proiettile vola in avanti e la pistola stessa rotola indietro. Il proiettile e la pistola sono un sistema chiuso in cui opera la legge di conservazione della quantità di moto.
La quantità di moto di ciascun corpo in un sistema chiuso possono cambiare a causa della loro interazione reciproca. Ma la somma vettoriale degli impulsi dei corpi compresi in un sistema chiuso non cambia quando questi corpi interagiscono nel tempo, cioè, rimane costante. Questo è quello che è legge di conservazione della quantità di moto.
Più precisamente, la legge di conservazione della quantità di moto è formulata come segue: la somma vettoriale degli impulsi di tutti i corpi di un sistema chiuso è un valore costante se su di essa non agiscono forze esterne, oppure la loro somma vettoriale è uguale a zero.
La quantità di moto di un sistema di corpi può cambiare solo come risultato dell'azione di forze esterne sul sistema. E quindi la legge di conservazione della quantità di moto non si applicherà.
Va detto che in natura non esistono sistemi chiusi. Ma se il tempo di azione delle forze esterne è molto breve, ad esempio durante un'esplosione, uno sparo, ecc., In questo caso l'influenza delle forze esterne sul sistema viene trascurata e il sistema stesso è considerato chiuso.
Inoltre, se sul sistema agiscono forze esterne, ma la somma delle loro proiezioni su uno degli assi coordinati è zero (cioè le forze sono bilanciate nella direzione di questo asse), allora la legge di conservazione della quantità di moto è soddisfatta in questa direzione.
Viene anche chiamata la legge di conservazione della quantità di moto legge di conservazione della quantità di moto .
L'esempio più eclatante dell'applicazione della legge di conservazione della quantità di moto è il movimento del getto.
Propulsione a jet
Il moto reattivo è il movimento di un corpo che avviene quando una parte di esso viene separata da esso ad una certa velocità. Il corpo stesso riceve un impulso diretto in modo opposto.
L'esempio più semplice di propulsione a reazione è il volo di un pallone da cui fuoriesce l'aria. Se gonfiamo un palloncino e lo rilasciamo, inizierà a volare nella direzione opposta al movimento dell'aria che ne esce.
Un esempio di propulsione a reazione in natura è il rilascio di liquido dal frutto di un cetriolo pazzo quando scoppia. Allo stesso tempo, il cetriolo stesso vola nella direzione opposta.
Meduse, seppie e altri abitanti degli abissi marini si muovono assorbendo acqua e poi gettandola fuori.
La spinta del getto si basa sulla legge di conservazione della quantità di moto. Sappiamo che quando un razzo con un motore a reazione si muove, a seguito della combustione del carburante, un getto di liquido o gas viene espulso dall'ugello ( corrente a getto ). Come risultato dell'interazione del motore con la sostanza in fuga, Forza reattiva . Poiché il razzo, insieme alla sostanza emessa, è un sistema chiuso, la quantità di moto di tale sistema non cambia nel tempo.
La forza reattiva nasce dall'interazione di sole parti del sistema. Le forze esterne non hanno alcuna influenza sul suo aspetto.
Prima che il razzo iniziasse a muoversi, la somma degli impulsi del razzo e del carburante era zero. Di conseguenza, secondo la legge di conservazione della quantità di moto, dopo aver acceso i motori, anche la somma di questi impulsi è zero.
dov'è la massa del razzo
Portata del gas
Modifica della velocità del razzo
∆mf - consumo di carburante
Supponiamo che il razzo abbia funzionato per un certo periodo di tempo T .
Dividendo entrambi i membri dell'equazione per ∆ T, otteniamo l'espressione
Secondo la seconda legge di Newton la forza reattiva è uguale a
La forza di reazione, o spinta del getto, assicura il movimento del motore a reazione e dell'oggetto ad esso associato nella direzione opposta alla direzione del flusso del getto.
I motori a reazione sono utilizzati negli aerei moderni e in vari missili, militari, spaziali, ecc.