Come trovare la probabilità di un evento esempi. Definizione classica e statistica di probabilità

In economia, come in altri ambiti dell’attività umana o della natura, dobbiamo costantemente confrontarci con eventi che non possono essere previsti con precisione. Pertanto, il volume delle vendite di un prodotto dipende dalla domanda, che può variare in modo significativo, e da una serie di altri fattori che è quasi impossibile prendere in considerazione. Pertanto, quando si organizza la produzione e si effettuano le vendite, è necessario prevedere il risultato di tali attività sulla base della propria esperienza precedente, o di esperienze simili di altre persone, o dell'intuizione, che in larga misura si basa anche su dati sperimentali.

Per valutare in qualche modo l'evento in questione, è necessario tenere conto o organizzare appositamente le condizioni in cui viene registrato questo evento.

Viene chiamata l'implementazione di determinate condizioni o azioni per identificare l'evento in questione esperienza O sperimentare.

L'evento è chiamato casuale, se in seguito all'esperienza ciò può o meno verificarsi.

L'evento è chiamato affidabile, se appare necessariamente come risultato di una determinata esperienza, e impossibile, se non può apparire in questa esperienza.

Ad esempio, la nevicata a Mosca il 30 novembre è un evento casuale. L'alba quotidiana può essere considerata un evento affidabile. Le nevicate all'equatore possono essere considerate un evento impossibile.

Uno dei compiti principali della teoria della probabilità è il compito di determinare una misura quantitativa della possibilità che si verifichi un evento.

Algebra degli eventi

Gli eventi si dicono incompatibili se non possono essere osservati insieme nella stessa esperienza. Pertanto, la presenza di due e tre automobili nello stesso negozio in vendita contemporaneamente sono due eventi incompatibili.

Quantità eventi è un evento consistente nel verificarsi di almeno uno di questi eventi

Un esempio di somma di eventi è la presenza di almeno uno dei due prodotti nel negozio.

Il lavoro events è un evento costituito dal verificarsi simultaneo di tutti questi eventi

Un evento consistente nella comparsa contemporanea di due beni in un negozio è il prodotto di eventi: - la comparsa di un prodotto, - la comparsa di un altro prodotto.

Gli eventi formano un gruppo completo di eventi se almeno uno di essi è sicuro che si verifichi nell'esperienza.

Esempio. Il porto dispone di due ormeggi per la ricezione delle navi. Si possono considerare tre eventi: - l'assenza di navi agli ormeggi, - la presenza di una nave ad uno degli ormeggi, - la presenza di due navi a due ormeggi. Questi tre eventi formano un gruppo completo di eventi.

Opposto vengono chiamati due unici eventi possibili che formano un gruppo completo.

Se uno degli eventi opposti è indicato con , allora l'evento opposto è solitamente indicato con .

Definizioni classiche e statistiche di probabilità degli eventi

Ciascuno dei risultati ugualmente possibili dei test (esperimenti) è chiamato risultato elementare. Di solito sono designati da lettere. Ad esempio, viene lanciato un dado. Possono esserci un totale di sei risultati elementari in base al numero di punti sui lati.

Da risultati elementari è possibile creare un evento più complesso. Pertanto, l'evento di un numero pari di punti è determinato da tre risultati: 2, 4, 6.

Una misura quantitativa della possibilità che si verifichi l'evento in questione è la probabilità.

Le definizioni più utilizzate della probabilità di un evento sono: classico E statistico.

La definizione classica di probabilità è associata al concetto di esito favorevole.

Il risultato è chiamato favorevole ad un dato evento se il suo verificarsi comporta il verificarsi di questo evento.

Nell'esempio sopra, l'evento in questione – un numero pari di punti sul lato lanciato – ha tre risultati favorevoli. In questo caso, il generale
numero di possibili risultati. Ciò significa che qui può essere utilizzata la definizione classica di probabilità di un evento.

Definizione classicaè uguale al rapporto tra il numero di esiti favorevoli e il numero totale di esiti possibili

dove è la probabilità dell'evento, è il numero di esiti favorevoli all'evento, è il numero totale di esiti possibili.

Nell'esempio considerato

La definizione statistica di probabilità è associata al concetto di frequenza relativa di occorrenza di un evento negli esperimenti.

La frequenza relativa del verificarsi di un evento viene calcolata utilizzando la formula

dove è il numero di occorrenze di un evento in una serie di esperimenti (test).

Definizione statistica. La probabilità di un evento è il numero attorno al quale si stabilizza (si fissa) la relativa frequenza con un aumento illimitato del numero di esperimenti.

Nei problemi pratici, la probabilità di un evento viene considerata la frequenza relativa di un numero sufficientemente ampio di prove.

Da queste definizioni della probabilità di un evento è chiaro che la disuguaglianza è sempre soddisfatta

Per determinare la probabilità di un evento in base alla formula (1.1), vengono spesso utilizzate formule combinatorie, che vengono utilizzate per trovare il numero di risultati favorevoli e il numero totale di risultati possibili.

Quando viene lanciata una moneta, possiamo dire che atterrerà a testa in su, oppure probabilità questo è 1/2. Naturalmente, questo non significa che se una moneta viene lanciata 10 volte, uscirà necessariamente testa 5 volte. Se la moneta è "giusta" e viene lanciata molte volte, la testa cadrà molto vicina nella metà delle volte. Esistono quindi due tipi di probabilità: sperimentale E teorico .

Probabilità sperimentale e teorica

Se lanciamo una moneta un gran numero di volte – diciamo 1000 – e contiamo quante volte esce testa, possiamo determinare la probabilità che esca testa. Se la testa viene lanciata 503 volte, possiamo calcolare la probabilità che cada:
503/1000, o 0,503.

Questo sperimentale definizione di probabilità. Questa definizione di probabilità deriva dall'osservazione e dallo studio dei dati ed è abbastanza comune e molto utile. Ecco, ad esempio, alcune probabilità determinate sperimentalmente:

1. La probabilità che una donna sviluppi un cancro al seno è 1/11.

2. Se baci qualcuno che ha il raffreddore, la probabilità che anche tu prenderai il raffreddore è 0,07.

3. Una persona appena uscita di prigione ha l'80% di possibilità di tornare in prigione.

Se consideriamo il lancio di una moneta e tenendo conto che è altrettanto probabile che esca testa o croce, possiamo calcolare la probabilità che esca testa: 1/2: questa è una definizione teorica di probabilità. Ecco alcune altre probabilità che sono state determinate teoricamente utilizzando la matematica:

1. Se in una stanza ci sono 30 persone, la probabilità che due di loro compiano lo stesso compleanno (anno escluso) è 0,706.

2. Durante un viaggio incontri qualcuno e durante la conversazione scopri di avere un amico in comune. Reazione tipica: “Non può essere!” In realtà, questa frase non è adatta, perché la probabilità di un tale evento è piuttosto alta, poco più del 22%.

Pertanto, le probabilità sperimentali vengono determinate attraverso l'osservazione e la raccolta di dati. Le probabilità teoriche sono determinate attraverso il ragionamento matematico. Esempi di probabilità sperimentali e teoriche, come quelli discussi sopra, e soprattutto quelli che non ci aspettiamo, ci portano all'importanza dello studio della probabilità. Potresti chiedere: "Cos'è la vera probabilità?" In realtà, non esiste una cosa del genere. Le probabilità entro certi limiti possono essere determinate sperimentalmente. Possono coincidere o meno con le probabilità che otteniamo teoricamente. Ci sono situazioni in cui è molto più semplice determinare un tipo di probabilità piuttosto che un altro. Ad esempio, sarebbe sufficiente trovare la probabilità di prendere un raffreddore utilizzando la probabilità teorica.

Calcolo delle probabilità sperimentali

Consideriamo innanzitutto la definizione sperimentale di probabilità. Il principio di base che utilizziamo per calcolare tali probabilità è il seguente.

Principio P (sperimentale)

Se in un esperimento in cui vengono effettuate n osservazioni, una situazione o un evento E si verifica m volte in n osservazioni, allora la probabilità sperimentale dell'evento si dice che sia P (E) = m/n.

Esempio 1 Indagine sociologica. È stato condotto uno studio sperimentale per determinare il numero di mancini, destrimani e persone le cui entrambe le mani hanno lo stesso sviluppo. I risultati sono mostrati nel grafico.

a) Determinare la probabilità che la persona sia destrimane.

b) Determinare la probabilità che la persona sia mancina.

c) Determinare la probabilità che una persona parli ugualmente fluentemente entrambe le mani.

d) La maggior parte dei tornei della Professional Bowling Association sono limitati a 120 giocatori. Sulla base dei dati di questo esperimento, quanti giocatori potrebbero essere mancini?

Soluzione

a) Il numero di persone destre è 82, il numero di mancini è 17 e il numero di coloro che parlano altrettanto bene entrambe le mani è 1. Il numero totale di osservazioni è 100. Pertanto, la probabilità che una persona sia destrorsa è P
P = 82/100, o 0,82, o 82%.

b) La probabilità che una persona sia mancina è P, dove
P = 17/100, o 0,17, o 17%.

c) La probabilità che una persona parli ugualmente fluentemente entrambe le mani è P, dove
P = 1/100, o 0,01, o 1%.

d) 120 giocatori di bowling, e da (b) possiamo aspettarci che il 17% siano mancini. Da qui
17% di 120 = 0.17.120 = 20,4,
cioè, possiamo aspettarci che circa 20 giocatori siano mancini.

Esempio 2 Controllo di qualità . È molto importante per un produttore mantenere la qualità dei suoi prodotti ad un livello elevato. In effetti, le aziende assumono ispettori del controllo qualità per garantire questo processo. L’obiettivo è produrre il minor numero possibile di prodotti difettosi. Ma poiché l’azienda produce migliaia di prodotti ogni giorno, non può permettersi di testare ogni prodotto per determinare se è difettoso o meno. Per scoprire quale percentuale di prodotti è difettosa, l’azienda testa molti meno prodotti.
L'USDA richiede che l'80% dei semi venduti dai coltivatori debbano germinare. Per determinare la qualità dei semi che produce un'azienda agricola, vengono piantati 500 semi tra quelli prodotti. Successivamente si calcolò che germogliarono 417 semi.

a) Qual è la probabilità che il seme germini?

b) I semi soddisfano gli standard governativi?

Soluzione a) Sappiamo che su 500 semi piantati ne sono germogliati 417. Probabilità di germinazione dei semi P, e
P = 417/500 = 0,834, o 83,4%.

b) Poiché la percentuale di semi germinati ha superato l'80% come richiesto, i semi soddisfano gli standard governativi.

Esempio 3 Ascolti televisivi. Secondo le statistiche, negli Stati Uniti ci sono 105.500.000 famiglie dotate di televisione. Ogni settimana vengono raccolte ed elaborate informazioni sulla visione dei programmi. In una settimana, 7.815.000 famiglie si sono sintonizzate sulla serie comica di successo "Everybody Loves Raymond" sulla CBS e 8.302.000 famiglie si sono sintonizzate sulla serie di successo "Law & Order" sulla NBC (Fonte: Nielsen Media Research). Qual è la probabilità che la TV di una famiglia sia sintonizzata su "Tutti amano Raymond" durante una determinata settimana? su "Law & Order"?

Soluzione La probabilità che la TV di una famiglia sia sintonizzata su "Tutti amano Raymond" è P, e
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
La possibilità che la TV di casa fosse sintonizzata su Law & Order è P, e
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Queste percentuali sono chiamate rating.

Probabilità teorica

Supponiamo di condurre un esperimento, come lanciare una moneta o delle freccette, pescare una carta da un mazzo o testare la qualità dei prodotti su una catena di montaggio. Viene chiamato ogni possibile risultato di un tale esperimento Esodo . Viene chiamato l'insieme di tutti i possibili risultati spazio dei risultati . Evento è un insieme di risultati, cioè un sottoinsieme dello spazio dei risultati.

Esempio 4 Lanciare freccette. Supponiamo che in un esperimento di lancio di una freccetta, una freccetta colpisca un bersaglio. Trova ciascuno dei seguenti:

b) Spazio dei risultati

Soluzione
a) I risultati sono: colpire il nero (B), colpire il rosso (R) e colpire il bianco (B).

b) Lo spazio dei risultati è (colpire il nero, colpire il rosso, colpire il bianco), che può essere scritto semplicemente come (H, K, B).

Esempio 5 Lancio di dadi. Un dado è un cubo con sei lati, ciascuno con da uno a sei punti su di esso.

Supponiamo di lanciare un dado. Trovare
a) Risultati
b) Spazio dei risultati

Soluzione
a) Risultati: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Spazio dei risultati (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Indichiamo la probabilità che un evento E si verifichi come P(E). Ad esempio, “la moneta esce testa” può essere indicato con H. Quindi P(H) rappresenta la probabilità che la moneta esca testa. Quando tutti i risultati di un esperimento hanno la stessa probabilità di verificarsi, si dicono che hanno la stessa probabilità. Per vedere le differenze tra eventi ugualmente probabili ed eventi che non lo sono, considera l'obiettivo mostrato di seguito.

Per il bersaglio A, gli eventi in cui viene colpito il nero, il rosso e il bianco sono ugualmente probabili, poiché i settori nero, rosso e bianco sono gli stessi. Tuttavia, per il bersaglio B, le zone con questi colori non sono le stesse, cioè colpirle non è ugualmente probabile.

Principio P (teorico)

Se un evento E può accadere in m modi tra n possibili risultati ugualmente probabili dallo spazio dei risultati S, allora probabilità teorica eventi, P(E) è
P(E) = m/n.

Esempio 6 Qual è la probabilità che lanciando un dado esca 3?

Soluzione Ci sono 6 risultati ugualmente probabili su un dado e c'è solo una possibilità di far uscire il numero 3. Allora la probabilità P sarà P(3) = 1/6.

Esempio 7 Qual è la probabilità che su un dado esca un numero pari?

Soluzione L'evento è il lancio di un numero pari. Questo può accadere in 3 modi (se ottieni 2, 4 o 6). Il numero di risultati ugualmente probabili è 6. Quindi la probabilità P(pari) = 3/6 o 1/2.

Utilizzeremo una serie di esempi che coinvolgono un mazzo standard da 52 carte. Questo mazzo è composto dalle carte mostrate nella figura seguente.

Esempio 8 Qual è la probabilità di estrarre un asso da un mazzo di carte ben mescolato?

Soluzione Ci sono 52 risultati (il numero di carte nel mazzo), sono ugualmente probabili (se il mazzo è ben mescolato) e ci sono 4 modi per pescare un asso, quindi secondo il principio P, la probabilità
P(pesca un asso) = 4/52 o 1/13.

Esempio 9 Supponiamo di scegliere, senza guardare, una pallina da un sacchetto con 3 palline rosse e 4 palline verdi. Qual è la probabilità di scegliere una pallina rossa?

Soluzione Ci sono 7 risultati ugualmente probabili nell'estrarre una pallina qualsiasi, e poiché il numero di modi per estrarre una pallina rossa è 3, otteniamo
P (selezione della pallina rossa) = 3/7.

Le seguenti affermazioni sono il risultato del Principio P.

Proprietà della probabilità

a) Se l'evento E non può verificarsi, allora P(E) = 0.
b) Se l'evento E è certo che accadrà allora P(E) = 1.
c) La probabilità che si verifichi l'evento E è un numero da 0 a 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Ad esempio, nel lancio di una moneta, l'evento che la moneta cada sul bordo ha probabilità zero. La probabilità che una moneta sia testa o croce ha una probabilità pari a 1.

Esempio 10 Supponiamo che vengano estratte 2 carte da un mazzo di 52 carte. Qual è la probabilità che entrambi siano picchi?

Soluzione Il numero n di modi per pescare 2 carte da un mazzo di 52 carte ben mescolato è 52 C 2 . Poiché 13 delle 52 carte sono di picche, il numero di modi m per pescare 2 carte di picche è 13 C 2 . Poi,
P(tirando 2 picchi) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Esempio 11 Supponiamo che 3 persone vengano selezionate casualmente da un gruppo di 6 uomini e 4 donne. Qual è la probabilità che vengano selezionati 1 uomo e 2 donne?

Soluzione Il numero di modi per selezionare tre persone da un gruppo di 10 persone è 10 C 3. Un uomo può essere scelto in 6 modi C 1 e 2 donne possono essere scelte in 4 modi C 2. Secondo il principio fondamentale del conteggio, il numero di modi per scegliere 1 uomo e 2 donne è 6 C 1. 4C2. Quindi, la probabilità che vengano selezionati 1 uomo e 2 donne è
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Esempio 12 Lancio di dadi. Qual è la probabilità di ottenere un totale di 8 su due dadi?

Soluzione Ogni dado ha 6 possibili risultati. I risultati vengono raddoppiati, il che significa che ci sono 6,6 o 36 modi possibili in cui possono apparire i numeri sui due dadi. (È meglio se i cubi sono diversi, diciamo che uno è rosso e l'altro è blu: questo aiuterà a visualizzare il risultato.)

Le coppie di numeri la cui somma dà come risultato 8 sono mostrate nella figura seguente. Esistono 5 modi possibili per ottenere una somma pari a 8, quindi la probabilità è 5/36.

Nei compiti dell'Esame di Stato Unificato di matematica, ci sono anche problemi di probabilità più complessi (di quelli considerati nella Parte 1), in cui dobbiamo applicare la regola dell'addizione, della moltiplicazione delle probabilità e distinguere tra eventi compatibili e incompatibili.

Quindi, la teoria.

Eventi congiunti e non congiunti

Gli eventi si dicono incompatibili se il verificarsi di uno di essi esclude il verificarsi degli altri. Cioè, può accadere solo un evento specifico o un altro.

Ad esempio, quando si lancia un dado, è possibile distinguere tra eventi come ottenere un numero pari di punti e ottenere un numero dispari di punti. Questi eventi sono incompatibili.

Gli eventi si dicono congiunti se il verificarsi di uno di essi non esclude il verificarsi dell'altro.

Ad esempio, quando si lancia un dado, è possibile distinguere eventi come il lancio di un numero dispari di punti e il lancio di un numero di punti multiplo di tre. Quando esce un tre si verificano entrambi gli eventi.

Somma di eventi

La somma (o combinazione) di più eventi è un evento costituito dal verificarsi di almeno uno di questi eventi.

In cui somma di due eventi incompatibili è la somma delle probabilità di questi eventi:

Ad esempio, la probabilità di ottenere 5 o 6 punti con un dado con un solo lancio sarà , perché entrambi gli eventi (lancio 5, lancio 6) sono incoerenti e la probabilità che si verifichi l'uno o l'altro evento viene calcolata come segue:

La probabilità somma di due eventi congiunti pari alla somma delle probabilità di questi eventi senza tener conto del loro verificarsi congiunto:

Ad esempio, in un centro commerciale, due macchine identiche vendono il caffè. La probabilità che la macchina rimanga senza caffè entro la fine della giornata è 0,3. La probabilità che entrambe le macchine finiscano il caffè è 0,12. Troviamo la probabilità che entro la fine della giornata il caffè finisca in almeno una delle macchine (cioè in una, oppure nell'altra, oppure in entrambe contemporaneamente).

La probabilità del primo evento “il caffè finirà nella prima macchina” e la probabilità del secondo evento “il caffè finirà nella seconda macchina” a seconda della condizione è pari a 0,3. Gli eventi sono collaborativi.

La probabilità del verificarsi congiunto dei primi due eventi secondo la condizione è 0,12.

Ciò significa che la probabilità che entro la fine della giornata il caffè finisca in almeno una delle macchine è

Eventi dipendenti e indipendenti

Due eventi casuali A e B si dicono indipendenti se il verificarsi di uno di essi non cambia la probabilità del verificarsi dell’altro. Altrimenti gli eventi A e B si dicono dipendenti.

Ad esempio, quando due dadi vengono lanciati contemporaneamente, uno di essi, diciamo 1, e l'altro, 5, sono eventi indipendenti.

Prodotto di probabilità

Il prodotto (o l'intersezione) di più eventi è un evento costituito dal verificarsi congiunto di tutti questi eventi.

Se se ne verificano due eventi indipendenti A e B con probabilità rispettivamente P(A) e P(B), allora la probabilità che si verifichino gli eventi A e B contemporaneamente è uguale al prodotto delle probabilità:

Ad esempio, siamo interessati a vedere apparire un sei su un dado due volte di seguito. Entrambi gli eventi sono indipendenti e la probabilità che ciascuno di essi si verifichi separatamente è . La probabilità che si verifichino entrambi questi eventi verrà calcolata utilizzando la formula sopra riportata: .

Visualizza una selezione di attività per esercitarti sull'argomento.

La probabilità è il grado (misura relativa, valutazione quantitativa) della possibilità che si verifichi un determinato evento. Quando le ragioni per cui un possibile evento si verifica effettivamente superano le ragioni opposte, allora questo evento è chiamato probabile, altrimenti improbabile o improbabile. La preponderanza delle ragioni positive su quelle negative, e viceversa, può essere di varia misura, per cui la probabilità (e improbabilità) può essere maggiore o minore. Pertanto, la probabilità viene spesso valutata a livello qualitativo, soprattutto nei casi in cui una valutazione quantitativa più o meno accurata è impossibile o estremamente difficile. Sono possibili varie gradazioni di “livelli” di probabilità.
Lo studio della probabilità da un punto di vista matematico costituisce una disciplina speciale: la teoria della probabilità. Nella teoria della probabilità e nella statistica matematica, il concetto di probabilità è formalizzato come una caratteristica numerica di un evento - una misura di probabilità (o il suo valore) - una misura su un insieme di eventi (sottoinsiemi di un insieme di eventi elementari), assumendo valori da
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Senso
(\displaystyle 1)
Corrisponde a un evento affidabile. Un evento impossibile ha una probabilità pari a 0 (in genere non è sempre vero il contrario). Se la probabilità che si verifichi un evento è
(\displaystyle p)
Quindi la probabilità del suo mancato verificarsi è uguale a
(\displaystyle 1-p)
In particolare, la probabilità
(\displaystyle 1/2)
Significa uguale probabilità di accadimento e di non accadimento di un evento.
La definizione classica di probabilità si basa sul concetto di uguale probabilità dei risultati. La probabilità è il rapporto tra il numero di esiti favorevoli per un dato evento e il numero totale di esiti ugualmente possibili. Ad esempio, la probabilità di ottenere testa o croce nel lancio casuale di una moneta è 1/2 se si presuppone che si verifichino solo queste due possibilità e che siano ugualmente possibili. Questa classica "definizione" di probabilità può essere generalizzata al caso di un numero infinito di valori possibili - ad esempio, se un evento può verificarsi con uguale probabilità in qualsiasi punto (il numero di punti è infinito) di una regione limitata di spazio (piano), allora la probabilità che si verifichi in qualche parte di questa regione fattibile è uguale al rapporto tra il volume (area) di questa parte e il volume (area) della regione di tutti i punti possibili.
La “definizione” empirica di probabilità è legata alla frequenza di un evento, in base al fatto che con un numero di prove sufficientemente ampio, la frequenza dovrebbe tendere al grado oggettivo di possibilità di questo evento. Nella presentazione moderna della teoria della probabilità, la probabilità è definita assiomaticamente, come un caso speciale della teoria astratta della misura degli insiemi. Tuttavia, l'anello di congiunzione tra la misura astratta e la probabilità, che esprime il grado di possibilità del verificarsi di un evento, è proprio la frequenza della sua osservazione.
La descrizione probabilistica di alcuni fenomeni si è diffusa ampiamente nella scienza moderna, in particolare nell'econometria, fisica statistica dei sistemi macroscopici (termodinamici), dove anche nel caso di una descrizione deterministica classica del movimento delle particelle, una descrizione deterministica dell'intero sistema delle particelle non sembra praticamente possibile o appropriato. Nella fisica quantistica, i processi descritti sono essi stessi di natura probabilistica.

Cos'è la probabilità?

La prima volta che incontrai questo termine, non avrei capito cosa fosse. Pertanto, cercherò di spiegare chiaramente.

La probabilità è la possibilità che si verifichi l’evento che desideriamo.

Ad esempio, hai deciso di andare a casa di un amico, ricordi l'ingresso e anche il piano in cui vive. Ma ho dimenticato il numero e l'ubicazione dell'appartamento. E ora sei sulle scale e davanti a te ci sono le porte tra cui scegliere.

Qual è la probabilità (probabilità) che se suoni il primo campanello, il tuo amico ti aprirà la porta? Ci sono solo appartamenti e un amico abita solo dietro uno di essi. Con pari possibilità possiamo scegliere qualsiasi porta.

Ma qual è questa possibilità?

La porta, la porta giusta. Probabilità di indovinare suonando il primo campanello: . Cioè, una volta su tre indovinerai accuratamente.

Vogliamo sapere, dopo aver chiamato una volta, quanto spesso indovineremo la porta? Diamo un'occhiata a tutte le opzioni:

Hai chiamato 1° porta
Hai chiamato 2° porta
Hai chiamato 3° porta

Ora diamo un'occhiata a tutte le opzioni in cui potrebbe trovarsi un amico:

UN. Dietro 1° la porta
B. Dietro 2° la porta
V. Dietro 3° la porta

Confrontiamo tutte le opzioni in forma di tabella. Un segno di spunta indica le opzioni quando la tua scelta coincide con la posizione di un amico, una croce quando non coincide.

Come vedi tutto? Forse opzioni la posizione del tuo amico e la tua scelta di quale porta suonare.

UN esiti favorevoli per tutti . Cioè, indovinerai una volta suonando il campanello una volta, ad es. .

Questa è la probabilità: il rapporto tra un risultato favorevole (quando la tua scelta coincide con la posizione del tuo amico) e il numero di possibili eventi.

La definizione è la formula. La probabilità è solitamente indicata con p, quindi:

Non è molto conveniente scrivere una formula del genere, quindi prenderemo per - il numero di risultati favorevoli e per - il numero totale di risultati.

La probabilità può essere scritta come percentuale; per fare ciò è necessario moltiplicare il risultato risultante per:

La parola “risultati” probabilmente ha attirato la tua attenzione. Poiché i matematici chiamano esperimenti varie azioni (nel nostro caso, un'azione del genere è un campanello), il risultato di tali esperimenti è solitamente chiamato risultato.

Bene, ci sono risultati favorevoli e sfavorevoli.

Torniamo al nostro esempio. Diciamo che abbiamo suonato a una delle porte, ma uno sconosciuto ce l'ha aperta. Non abbiamo indovinato. Qual è la probabilità che se suoniamo a una delle porte rimanenti, il nostro amico ce la aprirà?

Se lo pensavi, allora è un errore. Scopriamolo.

Ci restano due porte. Quindi abbiamo possibili passaggi:

1) Chiama 1° porta
2) Chiama 2° porta

L’amico, nonostante tutto questo, è sicuramente dietro uno di loro (dopotutto non c’era lui dietro quello che abbiamo chiamato):

a) Amico per 1° la porta
b) Amico per 2° la porta

Disegniamo di nuovo la tabella:

Come puoi vedere, ci sono solo opzioni, di cui favorevoli. Cioè, la probabilità è uguale.

Perché no?

La situazione che abbiamo considerato è esempio di eventi dipendenti. Il primo evento è il primo campanello, il secondo evento è il secondo campanello.

E sono chiamati dipendenti perché influenzano le azioni successive. Dopotutto, se dopo il primo squillo al campanello rispondesse un amico, quale sarebbe la probabilità che lui si trovasse dietro uno degli altri due? Giusto, .

Ma se ci sono eventi dipendenti, allora devono esserci anche indipendente? Esatto, accadono.

Un esempio da manuale è il lancio di una moneta.

Lancia una moneta una volta. Qual è, ad esempio, la probabilità che esca testa? Esatto, perché ci sono tutte le opzioni (testa o croce, trascureremo la probabilità che la moneta cada sul bordo), ma va bene solo per noi.
Ma è venuta fuori testa. Ok, lanciamolo di nuovo. Qual è la probabilità di ottenere testa adesso? Niente è cambiato, tutto è uguale. Quante opzioni? Due. Di quanti siamo contenti? Uno.

E lascia che esca testa almeno mille volte di seguito. La probabilità di ottenere testa in una volta sarà la stessa. Ci sono sempre opzioni, e anche favorevoli.

È facile distinguere gli eventi dipendenti da quelli indipendenti:

Se l'esperimento viene eseguito una volta (una volta lanciano una moneta, una volta suonano il campanello, ecc.), gli eventi sono sempre indipendenti.
Se un esperimento viene eseguito più volte (si lancia una moneta una volta, si suona il campanello più volte), il primo evento è sempre indipendente. E poi, se cambia il numero di quelli favorevoli o il numero di tutti i risultati, allora gli eventi sono dipendenti e, in caso contrario, indipendenti.

Esercitiamoci un po' a determinare la probabilità.

Esempio 1.

La moneta viene lanciata due volte. Qual è la probabilità che esca testa due volte di seguito?

Soluzione:

Consideriamo tutte le opzioni possibili:

Aquila-aquila
Testa-croce
Code-teste
Code-code

Come puoi vedere, ci sono solo opzioni. Di questi, siamo solo soddisfatti. Cioè la probabilità:

Se la condizione ti chiede semplicemente di trovare la probabilità, la risposta deve essere data sotto forma di frazione decimale. Se fosse specificato che la risposta deve essere data in percentuale, allora moltiplicheremmo per.

Risposta:

Esempio 2.

In una scatola di cioccolatini, tutti i cioccolatini sono confezionati nello stesso involucro. Tuttavia, dai dolci: con noci, cognac, ciliegie, caramello e torrone.

Qual è la probabilità di prendere una caramella e ottenere una caramella con le noci? Dai la tua risposta in percentuale.

Soluzione:

Quanti possibili risultati ci sono? .

Cioè, se prendi una caramella, sarà una di quelle disponibili nella scatola.

Quanti esiti favorevoli?

Perché la scatola contiene solo cioccolatini con nocciole.

Risposta:

Esempio 3.

In una scatola di palloncini. di cui bianchi e neri.

Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca?
Abbiamo aggiunto più palline nere alla scatola. Qual è ora la probabilità di estrarre una pallina bianca?

Soluzione:

a) Nella scatola ci sono solo palline. Di loro sono bianchi.

La probabilità è:

b) Ora ci sono più palline nella scatola. E sono rimasti altrettanti bianchi - .

Risposta:

Probabilità totale

La probabilità di tutti gli eventi possibili è uguale a ().

Diciamo che in una scatola ci sono palline rosse e verdi. Qual è la probabilità di estrarre una pallina rossa? Palla verde? Palla rossa o verde?

Probabilità di estrarre una pallina rossa

Palla verde:

Palla rossa o verde:

Come puoi vedere, la somma di tutti gli eventi possibili è uguale a (). Comprendere questo punto ti aiuterà a risolvere molti problemi.

Esempio 4.

Ci sono dei segnalini nella scatola: verde, rosso, blu, giallo, nero.

Qual è la probabilità di disegnare NON un pennarello rosso?

Soluzione:

Contiamo il numero esiti favorevoli.

NON un pennarello rosso, significa verde, blu, giallo o nero.

Probabilità di tutti gli eventi. E la probabilità di eventi che consideriamo sfavorevoli (quando tiriamo fuori un pennarello rosso) è .

Pertanto, la probabilità di estrarre un pennarello NON rosso è .

Risposta:

La probabilità che un evento non si verifichi è pari a meno la probabilità che l’evento si verifichi.

Regola per moltiplicare le probabilità di eventi indipendenti

Sai già cosa sono gli eventi indipendenti.

Cosa succede se devi trovare la probabilità che due (o più) eventi indipendenti si verifichino di seguito?

Diciamo che vogliamo sapere qual è la probabilità che se lanciamo una moneta una volta, vedremo testa due volte?

Abbiamo già considerato - .

E se lanciassimo una moneta una volta? Qual è la probabilità di vedere un'aquila due volte di seguito?

Totale opzioni possibili:

Aquila-aquila-aquila
Testa-testa-croce
Testa-croce-testa
Testa-croce-croce
Croce-testa-testa
Croce-testa-croce
Code-code-teste
Code-code-code

Non so voi, ma io ho commesso errori più volte durante la compilazione di questo elenco. Oh! E l'unica opzione (la prima) è adatta a noi.

Per 5 lanci, puoi creare tu stesso un elenco di possibili risultati. Ma i matematici non sono laboriosi come te.

Pertanto, hanno prima notato e poi dimostrato che la probabilità di una certa sequenza di eventi indipendenti diminuisce ogni volta della probabilità di un evento.

In altre parole,

Diamo un'occhiata all'esempio della stessa moneta sfortunata.

Probabilità di ottenere testa in una sfida? . Ora lanciamo la moneta una volta.

Qual è la probabilità che esca testa di fila?

Questa regola non funziona solo se ci viene chiesto di trovare la probabilità che lo stesso evento accada più volte di seguito.

Se volessimo trovare la sequenza CODA-TESTA-CROCE per lanci consecutivi, faremmo lo stesso.

La probabilità che esca croce è , testa - .

Probabilità di ottenere la sequenza CODE-TESTA-CODA-CODA:

Puoi verificarlo tu stesso creando una tabella.

La regola per sommare le probabilità di eventi incompatibili.

Quindi fermati! Nuova definizione.

Scopriamolo. Prendiamo la nostra moneta consumata e lanciamola una volta.
Opzioni possibili:

Aquila-aquila-aquila
Testa-testa-croce
Testa-croce-testa
Testa-croce-croce
Croce-testa-testa
Croce-testa-croce
Code-code-teste
Code-code-code

Quindi, gli eventi incompatibili sono una determinata sequenza di eventi. - questi sono eventi incompatibili.

Se vogliamo determinare qual è la probabilità di due (o più) eventi incompatibili, allora aggiungiamo le probabilità di questi eventi.

Devi capire che testa o croce sono due eventi indipendenti.

Se vogliamo determinare la probabilità che si verifichi una sequenza (o qualsiasi altra), allora utilizziamo la regola della moltiplicazione delle probabilità.
Qual è la probabilità che esca testa al primo lancio e croce al secondo e al terzo lancio?

Ma se vogliamo sapere qual è la probabilità di ottenere una delle diverse sequenze, ad esempio, quando esce testa esattamente una volta, cioè opzioni e, quindi dobbiamo sommare le probabilità di queste sequenze.

Le opzioni totali sono adatte a noi.

Possiamo ottenere la stessa cosa sommando le probabilità di accadimento di ciascuna sequenza:

Pertanto, aggiungiamo probabilità quando vogliamo determinare la probabilità di determinate sequenze di eventi incoerenti.

Esiste un'ottima regola per aiutarti a evitare di confonderti quando moltiplicare e quando aggiungere:

Torniamo all'esempio in cui abbiamo lanciato una moneta una volta e volevamo conoscere la probabilità che esca testa una volta.
Cosa succederà?

Dovrebbe cadere:
(testa E croce E croce) OPPURE (croce E testa E croce) O (croce E croce E teste).
Ecco come risulta:

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio 5.

Ci sono delle matite nella scatola. rosso, verde, arancione, giallo e nero. Qual è la probabilità di disegnare matite rosse o verdi?

Soluzione:

Cosa succederà? Dobbiamo tirare (rosso O verde).

Adesso è chiaro, sommiamo le probabilità di questi eventi:

Risposta:

Esempio 6.

Se si lancia un dado due volte, qual è la probabilità di ottenere un totale di 8?

Soluzione.

Come possiamo ottenere punti?

(e) o (e) o (e) o (e) o (e).

La probabilità di ottenere una (qualsiasi) faccia è .

Calcoliamo la probabilità:

Risposta:

Formazione.

Penso che ora tu capisca quando devi calcolare le probabilità, quando sommarle e quando moltiplicarle. Non è questo? Facciamo un po' di pratica.

Compiti:

Prendiamo un mazzo di carte contenente carte di picche, cuori, 13 fiori e 13 quadri. Dall'Asso di ogni seme.

Qual è la probabilità di pescare fiori di seguito (rimettiamo la prima carta estratta nel mazzo e mescoliamo)?
Qual è la probabilità di estrarre una carta nera (picche o fiori)?
Qual è la probabilità di estrarre un'immagine (jack, regina, re o asso)?
Qual è la probabilità di estrarre due immagini di seguito (togliamo la prima carta estratta dal mazzo)?
Qual è la probabilità, prendendo due carte, di ottenere una combinazione (jack, regina o re) e un asso? La sequenza in cui vengono estratte le carte non ha importanza.

Risposte:

In un mazzo di carte di ogni valore, significa:
Gli eventi sono dipendenti, poiché dopo l'estrazione della prima carta, il numero di carte nel mazzo è diminuito (così come il numero di “immagini”). Inizialmente nel mazzo ci sono jack, regine, re e assi totali, il che significa la probabilità di estrarre una "immagine" con la prima carta:
Poiché rimuoviamo la prima carta dal mazzo, significa che nel mazzo sono già rimaste delle carte, comprese le immagini. Probabilità di fare un'immagine con la seconda carta:
Dato che siamo interessati alla situazione in cui estraiamo una “immagine” E una “immagine” dal mazzo, dobbiamo moltiplicare le probabilità:
Risposta:
Dopo aver estratto la prima carta, il numero di carte nel mazzo diminuirà, quindi due opzioni sono adatte a noi:
1) La prima carta è l'Asso, la seconda è il Jack, la Regina o il Re
2) Tiriamo fuori un jack, una regina o un re con la prima carta e un asso con la seconda. (asso e (jack o regina o re)) o ((jack o regina o re) e asso). Non dimenticare di ridurre il numero di carte nel mazzo!

Se sei riuscito a risolvere tutti i problemi da solo, allora sei fantastico! Ora risolverai i problemi di teoria della probabilità all'esame di stato unificato come un matto!

TEORIA DELLA PROBABILITÀ. LIVELLO MEDIO

Diamo un'occhiata a un esempio. Diciamo che lanciamo un dado. Che razza di osso è questo, lo sai? Questo è quello che chiamano un cubo con i numeri sulle facce. Quanti volti, tanti numeri: da a quanti? Prima.

Quindi lanciamo i dadi e vogliamo che esca o. E lo capiamo.

Nella teoria della probabilità dicono cosa è successo evento di buon auspicio(da non confondere con prospero).

Se accadesse, anche l’evento sarebbe favorevole. In totale possono verificarsi solo due eventi favorevoli.

Quanti sono sfavorevoli? Poiché ci sono tutti gli eventi possibili, significa che quelli sfavorevoli sono eventi (questo è se o cade).

Definizione:

La probabilità è il rapporto tra il numero di eventi favorevoli e il numero di tutti gli eventi possibili. Cioè, la probabilità mostra quale proporzione di tutti gli eventi possibili è favorevole.

Indicano la probabilità con una lettera latina (apparentemente dalla parola inglese probabilità - probabilità).

È consuetudine misurare la probabilità in percentuale (vedi argomenti e). Per fare ciò, il valore della probabilità deve essere moltiplicato per. Nell'esempio dei dadi, probabilità.

E in percentuale: .

Esempi (decidi tu stesso):

Qual è la probabilità che esca testa lanciando una moneta? Qual è la probabilità che cadano teste?
Qual è la probabilità di ottenere un numero pari lanciando un dado? Quale è strano?
In una scatola di matite semplici, blu e rosse. Disegniamo una matita a caso. Qual è la probabilità di ottenerne uno semplice?

Soluzioni:

Quante opzioni ci sono? Testa e croce: solo due. Quanti di loro sono favorevoli? Solo uno è un'aquila. Quindi la probabilità
È lo stesso con le code: .
Opzioni totali: (quanti lati ha il cubo, tante opzioni diverse). Quelli favorevoli: (questi sono tutti numeri pari:).
Probabilità. Naturalmente, è lo stesso con i numeri dispari.
Totale: . Favorevole: . Probabilità: .

Probabilità totale

Tutte le matite nella scatola sono verdi. Qual è la probabilità di disegnare una matita rossa? Non ci sono possibilità: probabilità (dopotutto, eventi favorevoli -).

Un tale evento è chiamato impossibile.

Qual è la probabilità di disegnare una matita verde? Il numero di eventi favorevoli è esattamente uguale al numero di eventi totali (tutti gli eventi sono favorevoli). Quindi la probabilità è uguale a o.

Un tale evento è chiamato affidabile.

Se una scatola contiene matite verdi e rosse, qual è la probabilità di disegnare verdi o rosse? Ancora una volta. Notiamo questo: la probabilità di estrarre il verde è uguale e il rosso è uguale.

In sintesi, queste probabilità sono esattamente uguali. Questo è, la somma delle probabilità di tutti gli eventi possibili è uguale a o.

Esempio:

In una scatola di matite, tra queste ci sono blu, rosse, verdi, semplici, gialle e il resto è arancione. Qual è la probabilità di non disegnare il verde?

Soluzione:

Ricordiamo che tutte le probabilità si sommano. E la probabilità di diventare verde è uguale. Ciò significa che la probabilità di non disegnare il verde è uguale.

Ricorda questo trucco: La probabilità che un evento non si verifichi è pari a meno la probabilità che l’evento si verifichi.

Eventi indipendenti e regola della moltiplicazione

Lanci una moneta una volta e vuoi che esca testa entrambe le volte. Qual è la probabilità che ciò accada?

Esaminiamo tutte le opzioni possibili e determiniamo quante ce ne sono:

Testa-testa, croce-testa, testa-croce, croce-croce. Cos'altro?

Opzioni totali. Di questi, solo uno ci si addice: Eagle-Eagle. In totale, la probabilità è uguale.

Bene. Ora lanciamo una moneta una volta. Fai i conti da solo. Accaduto? (risposta).

Potresti aver notato che con l'aggiunta di ogni lancio successivo, la probabilità diminuisce della metà. Si chiama la regola generale regola della moltiplicazione:

Le probabilità di eventi indipendenti cambiano.

Cosa sono gli eventi indipendenti? Tutto è logico: questi sono quelli che non dipendono l'uno dall'altro. Ad esempio, quando lanciamo più volte una moneta, ogni volta viene effettuato un nuovo lancio, il cui risultato non dipende da tutti i lanci precedenti. Possiamo altrettanto facilmente lanciare due monete diverse contemporaneamente.

Altri esempi:

I dadi vengono lanciati due volte. Qual è la probabilità di ottenerlo entrambe le volte?
La moneta viene lanciata una volta. Qual è la probabilità che esca testa la prima volta e poi croce due volte?
Il giocatore lancia due dadi. Qual è la probabilità che la somma dei numeri su di essi sia uguale?

Risposte:

Gli eventi sono indipendenti, il che significa che la regola della moltiplicazione funziona: .
La probabilità che esca testa è uguale. La probabilità che esca croce è la stessa. Moltiplicare:
12 può essere ottenuto solo lanciando due -ki: .

Eventi incompatibili e regola dell'addizione

Gli eventi che si completano a vicenda fino al punto di piena probabilità sono detti incompatibili. Come suggerisce il nome, non possono verificarsi contemporaneamente. Ad esempio, se lanciamo una moneta, può uscire testa o croce.

Esempio.

In una scatola di matite, tra queste ci sono blu, rosse, verdi, semplici, gialle e il resto è arancione. Qual è la probabilità di estrarre il verde o il rosso?

Soluzione.

La probabilità di disegnare una matita verde è uguale. Rosso - .

Eventi favorevoli in tutto: verde+rosso. Ciò significa che la probabilità di estrarre il verde o il rosso è uguale.

La stessa probabilità può essere rappresentata in questa forma: .

Questa è la regola dell'addizione: le probabilità di eventi incompatibili si sommano.

Problemi di tipo misto

Esempio.

La moneta viene lanciata due volte. Qual è la probabilità che i risultati dei tiri siano diversi?

Soluzione.

Ciò significa che se il primo risultato è testa, il secondo deve essere croce e viceversa. Si scopre che esistono due coppie di eventi indipendenti e queste coppie sono incompatibili tra loro. Come non confondersi su dove moltiplicare e dove aggiungere.

Esiste una regola semplice per tali situazioni. Prova a descrivere cosa accadrà utilizzando le congiunzioni “AND” o “OR”. Ad esempio, in questo caso:

Dovrebbe uscire (testa e croce) o (croce e testa).

Dove c’è una congiunzione “e” ci sarà moltiplicazione, e dove c’è “o” ci sarà addizione:

Prova tu stesso:

Qual è la probabilità che se una moneta viene lanciata due volte, cada entrambe le volte dalla stessa parte?
I dadi vengono lanciati due volte. Qual è la probabilità di ottenere un totale di punti?

Soluzioni:

(Le teste cadono e le code cadono) o (le code cadono e le code cadono): .
Quali sono le opzioni? E. Poi:
Rilasciato (e) o (e) o (e): .

Un altro esempio:

Lancia una moneta una volta. Qual è la probabilità che la testa appaia almeno una volta?

Soluzione:

Oh, come non voglio passare attraverso le opzioni... Testa-croce-croce, Aquila-testa-croce,... Ma non ce n'è bisogno! Ricordiamo la probabilità totale. Ti ricordi? Qual è la probabilità che l'aquila non cadrà mai? È semplice: le teste volano continuamente, ecco perché.

TEORIA DELLA PROBABILITÀ. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

La probabilità è il rapporto tra il numero di eventi favorevoli e il numero di tutti gli eventi possibili.

Eventi indipendenti

Due eventi sono indipendenti se il verificarsi dell’uno non modifica la probabilità che si verifichi l’altro.

Probabilità totale

La probabilità di tutti gli eventi possibili è uguale a ().

La probabilità che un evento non si verifichi è pari a meno la probabilità che l’evento si verifichi.

Regola per moltiplicare le probabilità di eventi indipendenti

La probabilità di una certa sequenza di eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità di ciascun evento

Eventi incompatibili

Gli eventi incompatibili sono quelli che non possono verificarsi simultaneamente come risultato di un esperimento. Un numero di eventi incompatibili forma un gruppo completo di eventi.

Le probabilità di eventi incompatibili si sommano.

Dopo aver descritto cosa dovrebbe accadere, usando le congiunzioni “AND” o “OR”, invece di “AND” mettiamo un segno di moltiplicazione, e invece di “OR” mettiamo un segno di addizione.

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