Proprietà di una tangente. Retta tangente Regola della tangente

Definizione. Una tangente ad una circonferenza è una linea retta su un piano che ha esattamente un punto in comune con la circonferenza.

Qui ci sono un paio di esempi:

Cerchio con centro O tocca una linea retta l al punto UN

Da qualsiasi luogo M All'esterno del cerchio si possono tracciare esattamente due tangenti

Differenza tra tangente l, secante AVANTI CRISTO. e dritto M, che non ha punti in comune con un cerchio

Potremmo finire qui, ma la pratica dimostra che non è sufficiente memorizzare semplicemente la definizione: è necessario imparare a vedere le tangenti nei disegni, conoscerne le proprietà e, inoltre, esercitarsi correttamente nell'applicazione di queste proprietà risolvendo problemi reali. Faremo tutto questo oggi.

Proprietà fondamentali delle tangenti

Per risolvere qualsiasi problema, è necessario conoscere quattro proprietà chiave. Due di essi sono descritti in qualsiasi libro di consultazione/libro di testo, ma gli ultimi due sono in qualche modo dimenticati, ma invano.

1. I segmenti tangenti disegnati da un punto sono uguali

Un po' più in alto abbiamo già parlato di due tangenti tracciate da un punto M. Quindi:

I segmenti tangenti ad una circonferenza tracciata da un punto sono uguali.

Segmenti SONO. E B.M. pari

2. La tangente è perpendicolare al raggio tracciato fino al punto di tangenza

Diamo un'occhiata di nuovo all'immagine qui sopra. Disegniamo i raggi O.A. E O.B., dopo di che troviamo che gli angoli OAM E O.B.M.- Dritto.

Il raggio tracciato fino al punto di contatto è perpendicolare alla tangente.

Questo fatto può essere utilizzato senza prova in qualsiasi problema:

I raggi tracciati verso il punto tangente sono perpendicolari alle tangenti

A proposito, nota: se disegni un segmento OM, quindi otteniamo due triangoli uguali: OAM E O.B.M..

3. Relazione tra tangente e secante

Ma questo è un fatto più serio e la maggior parte degli scolari non lo sa. Consideriamo una tangente e una secante che passano per lo stesso punto comune M. Naturalmente la secante ci darà due segmenti: all'interno del cerchio (segmento AVANTI CRISTO.- è anche chiamato accordo) e all'esterno (così lo chiamano - la parte esterna). M.C.).

Il prodotto dell'intera secante e della sua parte esterna è uguale al quadrato del segmento tangente

Relazione tra secante e tangente

4. Angolo tra tangente e corda

Un fatto ancora più avanzato che viene spesso utilizzato per risolvere problemi complessi. Consiglio vivamente di metterlo in servizio.

L'angolo formato dalla tangente alla corda è uguale all'angolo inscritto sotteso da questa corda.

Da dove viene il punto? B? Nei problemi reali, di solito “si apre” da qualche parte nella condizione. Pertanto è importante imparare a riconoscere questa configurazione nei disegni.

A volte conta :)

\[(\Large(\text(Angoli centrali e inscritti)))\]

Definizioni

Un angolo al centro è un angolo il cui vertice si trova al centro della circonferenza.

Un angolo inscritto è un angolo il cui vertice giace su una circonferenza.

La misura in gradi di un arco di cerchio è la misura in gradi dell'angolo al centro che lo sottende.

Teorema

La misura in gradi di un angolo inscritto è pari alla metà della misura in gradi dell'arco su cui poggia.

Prova

Effettueremo la dimostrazione in due fasi: innanzitutto dimostreremo la validità dell'enunciato per il caso in cui uno dei lati dell'angolo inscritto contiene un diametro. Sia il punto $B$ il vertice dell'angolo inscritto $ABC$ e $BC$ il diametro del cerchio:

Il triangolo $AOB$ è isoscele, $AO = OB$ , $\angolo AOC$ è esterno, quindi $\angolo AOC = \angolo OAB + \angolo ABO = 2\angolo ABC$, Dove $\angolo ABC = 0,5\cdot\angolo AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)$.

Consideriamo ora un angolo inscritto arbitrario $ABC$ . Dal vertice dell'angolo inscritto ricaviamo il diametro del cerchio $BD$. I casi possibili sono due:

1) il diametro taglia l'angolo in due angoli $\angolo ABD, \angolo CBD$ (per ognuno dei quali vale il teorema come dimostrato sopra, quindi vale anche per l'angolo originario, che è la somma di questi due e quindi pari alla metà della somma degli archi su cui poggia, cioè pari alla metà dell'arco su cui poggia). Riso. 1.

2) il diametro non ha diviso l'angolo in due angoli, allora abbiamo altri due nuovi angoli inscritti $\angolo ABD, \angolo CBD$, il cui lato contiene il diametro, quindi per essi vale il teorema, allora vale vale anche per l'angolo originario (che è uguale alla differenza di questi due angoli, cioè è uguale alla metà della differenza degli archi su cui poggiano, cioè uguale alla metà dell'arco su cui poggia) . Riso. 2.

Conseguenze

1. Gli angoli inscritti che sottendono lo stesso arco sono uguali.

2. Un angolo inscritto sotteso da un semicerchio è un angolo retto.

3. Un angolo inscritto è uguale alla metà dell'angolo al centro sotteso dallo stesso arco.

\[(\Large(\text(Tangente al cerchio)))\]

Definizioni

Esistono tre tipi di posizioni relative di una linea e di un cerchio:

1) La retta $a$ interseca il cerchio in due punti. Una retta di questo tipo si chiama retta secante. In questo caso la distanza $d$ dal centro del cerchio alla retta è inferiore al raggio $R$ del cerchio (Fig. 3).

2) La retta $b$ interseca il cerchio in un punto. Tale retta è detta tangente e il loro punto comune $B$ è detto punto di tangenza. In questo caso $d=R$ (Fig. 4).

Teorema

1. Una tangente a un cerchio è perpendicolare al raggio tracciato fino al punto di tangenza.

2. Se una linea passa attraverso l'estremità del raggio di un cerchio ed è perpendicolare a questo raggio, allora è tangente al cerchio.

Conseguenza

I segmenti tangenti disegnati da un punto a una circonferenza sono uguali.

Prova

Disegniamo due tangenti $KA$ e $KB$ alla circonferenza dal punto $K$:

Ciò significa che $OA\perp KA, OB\perp KB$ sono come i raggi. I triangoli rettangoli $\triangle KAO$ e $\triangle KBO$ hanno cateto e ipotenusa uguali, quindi $KA=KB$ .

Conseguenza

Il centro del cerchio $O$ giace sulla bisettrice dell'angolo $AKB$ formato da due tangenti tracciate dallo stesso punto $K$ .

\[(\Large(\text(Teoremi relativi agli angoli)))\]

Teorema sull'angolo tra le secanti

L'angolo tra due secanti disegnate dallo stesso punto è uguale alla semidifferenza in gradi dell'arco maggiore e di quello minore che tagliano.

Prova

Sia $M$ il punto da cui si tracciano due secanti come mostrato in figura:

Mostriamolo $\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$.

$\angle DAB$ è l'angolo esterno del triangolo $MAD$, quindi $\angolo DAB = \angolo DMB + \angolo MDA$, Dove $\angolo DMB = \angolo DAB - \angolo MDA$, ma gli angoli $\angolo DAB$ e $\angolo MDA$ sono inscritti, allora $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$, che era ciò che doveva essere dimostrato.

Teorema sull'angolo tra corde che si intersecano

L'angolo formato da due corde che si intersecano è uguale alla metà della somma delle misure in gradi degli archi da esse tagliati: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Prova

$\angolo BMA = \angolo CMD$ come verticale.

Dal triangolo $AMD$: $\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)$.

Ma $\angolo AMD = 180^\circ - \angolo CMD$, da cui concludiamo che \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ sorridi\sopra(CD)).\]

Teorema sull'angolo tra una corda e una tangente

L'angolo formato dalla tangente alla corda passante per il punto di tangenza è pari alla metà della misura in gradi dell'arco sotteso dalla corda.

Prova

Lascia che la retta $a$ tocchi il cerchio nel punto $A$, $AB$ è la corda di questo cerchio, $O$ è il suo centro. Lascia che la linea contenente $OB$ intersechi $a$ nel punto $M$ . Dimostriamolo $\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)$.

Indichiamo $\angle OAB = \alpha$ . Poiché $OA$ e $OB$ sono raggi, allora $OA = OB$ e $\angolo OBA = \angolo OAB = \alfa$. Così, $\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)$.

Poiché $OA$ è il raggio tracciato al punto tangente, allora $OA\perp a$, cioè $\angle OAM = 90^\circ$, quindi, $\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)$.

Teorema sugli archi sottesi da corde uguali

Corde uguali sottendono archi uguali più piccoli dei semicerchi.

E viceversa: archi uguali sono sottesi da accordi uguali.

Prova

1) Sia $AB=CD$ . Dimostriamo che i semicerchi più piccoli dell'arco .

Su tre lati quindi $\angolo AOB=\angolo COD$ . Ma perché $\angle AOB, \angle COD$ - angoli al centro sostenuti da archi $\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)$ di conseguenza, quindi $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$.

2) Se $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$, Quello $\triangolo AOB=\triangolo COD$ su due lati $AO=BO=CO=DO$ e l'angolo compreso tra loro $\angolo AOB=\angolo COD$ . Pertanto, e $AB=CD$ .

Teorema

Se il raggio divide in due la corda allora è perpendicolare ad essa.

È vero anche il contrario: se il raggio è perpendicolare alla corda, nel punto di intersezione la biseca.

Prova

1) Sia $AN=NB$ . Dimostriamo che $OQ\perp AB$ .

Consideriamo $\triangolo AOB$: è isoscele, perché $OA=OB$ – raggi del cerchio. Perché $ON$ è la mediana portata alla base, quindi è anche l'altezza, quindi $ON\perp AB$ .

2) Sia $OQ\perp AB$ . Dimostriamo che $AN=NB$ .

Allo stesso modo, $\triangolo AOB$ è isoscele, $ON$ è l'altezza, quindi $ON$ è la mediana. Pertanto, $AN=NB$ .

\[(\Large(\text(Teoremi relativi alla lunghezza dei segmenti)))\]

Teorema sul prodotto di segmenti di corda

Se due corde di una circonferenza si intersecano, il prodotto dei segmenti di una corda è uguale al prodotto dei segmenti dell'altra corda.

Prova

Lascia che gli accordi $AB$ e $CD$ si intersechino nel punto $E$ .

Consideriamo i triangoli $ADE$ e $CBE$ . In questi triangoli gli angoli $1$ e $2$ sono uguali, poiché sono inscritti e poggiano sullo stesso arco $BD$, e gli angoli $3$ e $4$ sono uguali come verticale. I triangoli $ADE$ e $CBE$ sono simili (in base al primo criterio di somiglianza dei triangoli).

Poi $\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)$, da cui $AE\cdot BE = CE\cdot DE$ .

Teorema della tangente e della secante

Il quadrato di un segmento tangente è uguale al prodotto di una secante per la sua parte esterna.

Prova

Lascia che la tangente passi per il punto $M$ e tocchi la circonferenza nel punto $A$ . Lasciamo che la secante passi per il punto $M$ e intersechi la circonferenza nei punti $B$ e $C$ in modo che $MB< MC$ . Покажем, что $MB\cdot MC = MA^2$ .

Consideriamo i triangoli $MBA$ e $MCA$: $\angolo M$ è comune, $\angolo BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)$. Secondo il teorema sull'angolo formato da una tangente e una secante, $\angolo BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angolo BCA$. Pertanto, i triangoli $MBA$ e $MCA$ sono simili su due angoli.

Dalla somiglianza dei triangoli $MBA$ e $MCA$ abbiamo: $\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)$, che equivale a $MB\cdot MC = MA^2$ .

Conseguenza

Il prodotto di una secante tracciata dal punto $O$ per la sua parte esterna non dipende dalla scelta della secante tracciata dal punto $O$ .

Punti $x_0\in\mathbb(R)$ , ed è differenziabile in esso: $f \in \mathcal(D)(x_0)$ . Retta tangente al grafico di una funzione $F$ al punto $x_0$ è chiamato il grafico di una funzione lineare data dall'equazione $y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb(R)$ .

Se la funzione

F

ha al punto

x_0

derivata infinita

f"(x_0) = \pm \infty,

quindi la linea tangente in questo punto è la linea verticale data dall'equazione

x = x_0.

Commento

Dalla definizione segue direttamente che il grafico di una retta tangente passa per il punto $(x_0,f(x_0))$ . Angolo $\alfa$ tra la tangente alla curva e l'asse Ox soddisfa l'equazione

$\nomeoperatore(tg)\,\alpha = f"(x_0)= k,$

Dove $\nomeoperatore(tg)$ denota tangente e $\nomeoperatore (k)$ - coefficiente di pendenza tangente. Derivata in un punto $x_0$ uguale alla pendenza della tangente al grafico della funzione $y = f(x)$ a questo punto.

Tangente come posizione limite di una secante

Permettere $f\due punti U(x_0) \to \R$ E $x_1 \in U(x_0).$ Poi una linea retta che passa per i punti $(x_0,f(x_0))$ E $(x_1,f(x_1))$ dato dall'equazione

$y = f(x_0) + \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0)(x-x_0).$

Questa linea passa per il punto $(x_0,f(x_0))$ per chiunque $x_1\inU(x_0),$ e il suo angolo di inclinazione $\alfa(x_1)$ soddisfa l'equazione

$\nomeoperatore(tg)\,\alpha(x_1) = \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0).$

A causa dell'esistenza della funzione derivativa $F$ al punto $x_0,$ andando al limite a $x_1 \a x_0,$ troviamo che c'è un limite

$\lim\limits_(x_1 \to x_0) \nomeoperatore(tg)\,\alpha(x_1) = f"(x_0),$

e per la continuità dell'arcotangente e dell'angolo limite

$\alpha = \nomeoperatore(arctg)\,f"(x_0).$

Retta passante per un punto $(x_0,f(x_0))$ e avente un angolo di inclinazione massimo che soddisfi $\nomeoperatore(tg)\,\alpha = f"(x_0),$ è dato dall'equazione tangente:

$y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0).$

Tangente ad una circonferenza

Una retta che ha un punto in comune con una circonferenza e giace sul suo stesso piano si dice tangente alla circonferenza.

Proprietà

Una tangente ad una circonferenza è perpendicolare al raggio tracciato fino al punto di tangenza.
I segmenti tangenti a una circonferenza tracciata da un punto sono uguali e formano angoli uguali con una retta passante per questo punto e il centro della circonferenza.
La lunghezza di un segmento tangente tracciato a una circonferenza di raggio unitario, preso tra il punto di tangenza e il punto di intersezione della tangente con un raggio tracciato dal centro del cerchio, è la tangente dell'angolo compreso tra questo raggio e il direzione dal centro della circonferenza al punto di tangenza. "Tangente" dal lat. tangenti- “tangente”.

Variazioni e generalizzazioni

Semitangenti unilaterali

Se esiste una derivata giusta $f"_+(x_0)< \infty,$ Quello semitangente destra al grafico della funzione $F$ al punto $x_0$ chiamato raggio

y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x\geqslant x_0.

Se esiste una derivata sinistra $f"_-(x_0)< \infty,$ Quello semitangente sinistra al grafico della funzione $F$ al punto $x_0$ chiamato raggio

y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.

Se esiste una derivata giusta infinita $f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ $F$ al punto $x_0$ chiamato raggio

x = x_0,\;  y\geqslant f(x_0)\;  (y \leqslant f(x_0)).

Se esiste una derivata sinistra infinita $f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ quindi la semitangente destra al grafico della funzione $F$ al punto $x_0$ chiamato raggio

x = x_0,\;  y \leqslant f(x_0)\;  (y \geqslant f(x_0)).

Guarda anche

Normale, binormale

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Letteratura

Toponogov V.A. Geometria differenziale di curve e superfici. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
// Dizionario enciclopedico di Brockhaus ed Efron: in 86 volumi (82 volumi e 4 aggiuntivi). - San Pietroburgo. , 1890-1907.

Un estratto che caratterizza la linea tangente

- Nei posti! - gridò il giovane ufficiale ai soldati radunati attorno a Pierre. Questo giovane ufficiale, a quanto pare, ricopriva la sua posizione per la prima o la seconda volta e quindi trattava sia i soldati che il comandante con particolare chiarezza e formalità.
Il fuoco crescente di cannoni e fucili si intensificò in tutto il campo, soprattutto a sinistra, dove si trovavano i lampi di Bagration, ma a causa del fumo degli spari era impossibile vedere quasi nulla dal luogo in cui si trovava Pierre. Inoltre, osservare la cerchia apparentemente familiare (separata da tutti gli altri) di persone che erano sotto la batteria assorbiva tutta l’attenzione di Pierre. La sua prima eccitazione gioiosa inconscia, prodotta dalla vista e dai suoni del campo di battaglia, fu ora sostituita, soprattutto dopo la vista di questo soldato solitario disteso nel prato, da un'altra sensazione. Ora, seduto sul pendio del fosso, osservava i volti che lo circondavano.
Alle dieci erano già state portate via dalla batteria venti persone; due pistole erano rotte, i proiettili colpivano la batteria sempre più spesso e volavano proiettili a lungo raggio, ronzando e fischiando. Ma le persone che erano alla batteria non sembravano accorgersene; Da tutte le parti si udivano allegri discorsi e battute.
- Chinenka! - gridò il soldato alla granata che si avvicinava volando con un fischio. - Non qui! Alla fanteria! – aggiunse ridendo un altro, notando che la granata volò oltre e colpì le file di copertura.
- Quale amico? - un altro soldato rise dell'uomo accovacciato sotto la palla di cannone volante.
Diversi soldati si radunarono sul bastione, guardando cosa stava succedendo davanti a loro.
"E hanno tolto la catena, vedi, sono tornati indietro", hanno detto, indicando l'altra parte del pozzo.
«Attenti al lavoro», gridò loro il vecchio sottufficiale. "Siamo tornati indietro, quindi è ora di tornare indietro." - E il sottufficiale, prendendo per la spalla uno dei soldati, lo spinse con il ginocchio. Ci furono delle risate.
- Rotola verso il quinto cannone! - gridarono da un lato.
"Subito, più amichevolmente, in stile burlatsky", si udirono le allegre grida di coloro che cambiavano la pistola.
"Oh, ho quasi fatto cadere il cappello del nostro padrone", rise di Pierre il burlone dalla faccia rossa, mostrando i denti. “Eh, goffo”, ha aggiunto in tono di rimprovero alla palla di cannone che ha colpito il volante e la gamba dell’uomo.
- Andiamo, volpi! - un altro rise dei miliziani curvati che entravano nella batteria dietro il ferito.
- Il porridge non è gustoso? Oh, i corvi, li hanno massacrati! - hanno gridato ai miliziani, che hanno esitato davanti al soldato con una gamba mozzata.
"Qualcos'altro, ragazzo", imitarono gli uomini. – A loro non piace la passione.
Pierre notò come dopo ogni palla di cannone che colpiva, dopo ogni sconfitta, la rinascita generale divampava sempre di più.
Come da una nuvola temporalesca in avvicinamento, sempre più spesso, più leggeri e luminosi, i lampi di un fuoco nascosto e ardente lampeggiavano sui volti di tutte queste persone (come in segno di rifiuto per ciò che stava accadendo).
Pierre non aspettava con ansia il campo di battaglia e non era interessato a sapere cosa stava succedendo lì: era completamente assorbito nella contemplazione di questo fuoco sempre più divampante, che allo stesso modo (sentiva) divampava nella sua anima.
Alle dieci i soldati di fanteria che si trovavano davanti alla batteria tra i cespugli e lungo il fiume Kamenka si ritirarono. Dalla batteria era visibile come correvano indietro, trasportando i feriti con le armi. Un generale con il suo seguito entrò nel tumulo e, dopo aver parlato con il colonnello, guardò con rabbia Pierre, scese di nuovo, ordinando alla copertura di fanteria stazionata dietro la batteria di sdraiarsi per essere meno esposta ai colpi. Successivamente, nelle file della fanteria, a destra della batteria, si udirono un tamburo e grida di comando, e dalla batteria era visibile come le file della fanteria avanzavano.
Pierre guardò attraverso il pozzo. Un volto in particolare catturò la sua attenzione. Era un ufficiale che, dal viso giovane e pallido, camminava all'indietro, portando una spada abbassata, e si guardava intorno con inquietudine.
Le file dei soldati di fanteria sparivano nel fumo e si udivano le loro grida prolungate e i frequenti colpi di arma da fuoco. Pochi minuti dopo, di lì passarono folle di feriti e barelle. I proiettili iniziarono a colpire la batteria ancora più spesso. Diverse persone giacevano impure. I soldati si muovevano più alacremente e più animatamente intorno ai cannoni. Nessuno prestava più attenzione a Pierre. Una o due volte lo sgridarono con rabbia perché era per strada. L'ufficiale anziano, con la faccia accigliata, si muoveva con passi ampi e veloci da un'arma all'altra. Il giovane ufficiale, arrossato ancora di più, comandò i soldati con ancora più diligenza. I soldati sparavano, si voltavano, caricavano e svolgevano il loro lavoro con teso brio. Rimbalzavano mentre camminavano, come su molle.

Secante, tangente: tutto questo potrebbe essere ascoltato centinaia di volte nelle lezioni di geometria. Ma il diploma di scuola è alle nostre spalle, gli anni passano e tutta questa conoscenza viene dimenticata. Cosa dovresti ricordare?

Essenza

Il termine “tangente a un cerchio” è probabilmente familiare a tutti. Ma è improbabile che tutti riescano a formularne rapidamente la definizione. Nel frattempo, una tangente è una linea retta che giace sullo stesso piano di un cerchio e che lo interseca solo in un punto. Potrebbero essercene un numero enorme, ma hanno tutti le stesse proprietà, che verranno discusse di seguito. Come puoi immaginare, il punto di tangenza è il punto in cui il cerchio e la retta si intersecano. In ogni caso specifico ce n'è solo uno, ma se ce ne sono più, allora sarà una secante.

Storia della scoperta e dello studio

Il concetto di tangente è apparso nei tempi antichi. La costruzione di queste linee rette, prima in un cerchio, e poi in ellissi, parabole e iperboli utilizzando riga e compasso, è stata effettuata nelle fasi iniziali dello sviluppo della geometria. Naturalmente, la storia non ha conservato il nome dello scopritore, ma è ovvio che anche a quel tempo le proprietà della tangente al cerchio erano abbastanza familiari.

Nei tempi moderni, l'interesse per questo fenomeno è divampato di nuovo: è iniziato un nuovo ciclo di studi su questo concetto in combinazione con la scoperta di nuove curve. Pertanto, Galileo introdusse il concetto di cicloide e Fermat e Cartesio ne costruirono una tangente. Per quanto riguarda i cerchi, sembra che in questa zona non siano rimasti segreti per gli antichi.

Proprietà

Il raggio tracciato fino al punto di intersezione sarà Questo

la proprietà principale, ma non l'unica, della tangente a un cerchio. Un'altra caratteristica importante include due linee rette. Quindi, attraverso un punto esterno al cerchio, si possono tracciare due tangenti e i loro segmenti saranno uguali. Esiste un altro teorema su questo argomento, ma raramente viene insegnato come parte di un corso scolastico standard, sebbene sia estremamente conveniente per risolvere alcuni problemi. Sembra così. Da un punto situato all'esterno del cerchio vengono disegnate una tangente e una secante. Si formano i segmenti AB, AC e AD. A è l'intersezione delle rette, B è il punto di tangenza, C e D sono intersezioni. In questo caso varrà la seguente uguaglianza: la lunghezza della tangente al cerchio, al quadrato, sarà pari al prodotto dei segmenti AC e AD.

A quanto sopra esposto c’è un importante corollario. Per ogni punto della circonferenza puoi costruire una tangente, ma solo una. La dimostrazione di ciò è abbastanza semplice: teoricamente facendo cadere su di essa una perpendicolare dal raggio, scopriamo che il triangolo formato non può esistere. E questo significa che la tangente è l'unica.

Costruzione

Tra gli altri problemi di geometria esiste una categoria speciale, di regola no

amato da alunni e studenti. Per risolvere i problemi di questa categoria ti servono solo un compasso e un righello. Questi sono compiti di costruzione. Ce ne sono anche per costruire una tangente.

Quindi, dato un cerchio e un punto che si trova al di fuori dei suoi confini. Ed è necessario tracciare una tangente attraverso di essi. Come fare questo? Prima di tutto, devi disegnare un segmento tra il centro del cerchio O e un dato punto. Quindi, usando un compasso, dividilo a metà. Per fare ciò, è necessario impostare un raggio, poco più della metà della distanza tra il centro del cerchio originale e questo punto. Successivamente, devi costruire due archi che si intersecano. Inoltre, non è necessario modificare il raggio della bussola e il centro di ciascuna parte del cerchio sarà rispettivamente il punto originale e O. Le intersezioni degli archi devono essere collegate, il che dividerà il segmento a metà. Imposta un raggio sulla bussola uguale a questa distanza. Successivamente, costruisci un altro cerchio con il centro nel punto di intersezione. Su di esso giaceranno sia il punto originale che O. In questo caso ci saranno altre due intersezioni con il cerchio indicato nel problema. Saranno i punti di contatto per il punto inizialmente specificato.

È stata la costruzione delle tangenti al cerchio che ha portato alla nascita

Calcolo differenziale. Il primo lavoro su questo argomento è stato pubblicato dal famoso matematico tedesco Leibniz. Prevedeva la possibilità di trovare massimi, minimi e tangenti indipendentemente da quantità frazionarie e irrazionali. Bene, ora viene utilizzato per molti altri calcoli.

Inoltre, la tangente ad un cerchio è legata al significato geometrico di tangente. Da qui deriva il suo nome. Tradotto dal latino tangens significa “tangente”. Pertanto, questo concetto è associato non solo alla geometria e al calcolo differenziale, ma anche alla trigonometria.

Due cerchi

La tangente non sempre influenza una sola figura. Se è possibile tracciare un numero enorme di linee rette su un cerchio, perché non viceversa? Potere. Ma il compito in questo caso diventa seriamente complicato, perché la tangente a due cerchi potrebbe non passare per nessun punto, e la posizione relativa di tutte queste figure può essere molto

diverso.

Tipi e varietà

Quando si parla di due cerchi e di una o più rette, anche se si sa che si tratta di tangenti, non è immediatamente chiaro come si trovino tutte queste figure l'una rispetto all'altra. Sulla base di ciò, si distinguono diverse varietà. Pertanto, i cerchi possono avere uno o due punti comuni o non averli affatto. Nel primo caso si intersecheranno, nel secondo si toccheranno. E qui si distinguono due varietà. Se un cerchio è, per così dire, incorporato nel secondo, la tangenza viene chiamata interna, altrimenti esterna. Puoi capire la posizione relativa delle figure non solo in base al disegno, ma anche avendo informazioni sulla somma dei loro raggi e sulla distanza tra i loro centri. Se queste due quantità sono uguali, i cerchi si toccano. Se il primo è maggiore, si intersecano e, se è inferiore, non hanno punti in comune.

Lo stesso con le linee rette. Puoi farlo per due cerchi qualsiasi che non hanno punti in comune

costruire quattro tangenti. Due di loro si intersecheranno tra le figure, sono chiamati interni. Un paio di altri sono esterni.

Se parliamo di cerchi che hanno un punto in comune, il problema è notevolmente semplificato. Il fatto è che, indipendentemente dalla loro posizione relativa, in questo caso avranno solo una tangente. E passerà per il punto della loro intersezione. Quindi la costruzione non sarà difficile.

Se le figure hanno due punti di intersezione, allora per esse si può costruire una linea retta, tangente al cerchio dell'una e dell'altra, ma solo esterna. La soluzione a questo problema è simile a quella che verrà discussa di seguito.

Risoluzione dei problemi

Sia la tangente interna che quella esterna a due cerchi non sono così semplici da costruire, sebbene questo problema possa essere risolto. Il fatto è che per questo viene utilizzata una figura ausiliaria, quindi devi inventare questo metodo tu stesso

abbastanza problematico. Vengono quindi dati due cerchi con raggi e centri diversi O1 e O2. Per loro è necessario costruire due coppie di tangenti.

Prima di tutto, devi costruirne uno ausiliario vicino al centro del cerchio più grande. In questo caso, la differenza tra i raggi delle due cifre iniziali dovrebbe essere stabilita sulla bussola. Le tangenti al cerchio ausiliario sono costruite dal centro del cerchio più piccolo. Successivamente, vengono tracciate le perpendicolari da O1 e O2 a queste linee finché non si intersecano con le figure originali. Come segue dalla proprietà fondamentale della tangente, si trovano i punti richiesti su entrambi i cerchi. Il problema è risolto, almeno nella prima parte.

Per costruire le tangenti interne, dovrai risolverle praticamente

compito simile. Anche in questo caso avrai bisogno di una figura ausiliaria, ma questa volta il suo raggio sarà uguale alla somma di quelli originali. Ad esso vengono costruite le tangenti dal centro di uno di questi cerchi. L'ulteriore svolgimento della soluzione può essere compreso dall'esempio precedente.

Tangente ad un cerchio o anche a due o più non è un compito così difficile. Naturalmente, i matematici hanno smesso da tempo di risolvere tali problemi manualmente e affidano i calcoli a programmi speciali. Ma non dovresti pensare che ora non devi essere in grado di farlo da solo, perché per formulare correttamente un compito per un computer devi fare e capire molto. Sfortunatamente, si teme che dopo il passaggio finale a una forma di prova di controllo della conoscenza, i compiti di costruzione causeranno agli studenti sempre più difficoltà.

Quanto a trovare tangenti comuni per un numero maggiore di cerchi, questo non è sempre possibile, anche se giacciono sullo stesso piano. Ma in alcuni casi puoi trovare una linea così retta.

Esempi dalla vita

Nella pratica si verifica spesso una tangente comune a due cerchi, sebbene ciò non sia sempre evidente. Trasportatori, sistemi di blocco, cinghie di trasmissione a pulegge, tensione del filo in una macchina da cucire e persino solo una catena di bicicletta: tutti questi sono esempi di vita reale. Non bisogna quindi pensare che i problemi geometrici restino solo in teoria: nell’ingegneria, nella fisica, nell’edilizia e in molti altri campi trovano applicazione pratica.

Diretto ( MN), avente un solo punto in comune con il cerchio ( UN), chiamato tangente al cerchio.

Il punto comune si chiama in questo caso punto di contatto.

Possibilità di esistenza tangente, e, inoltre, tracciato attraverso qualsiasi punto cerchio, come punto di tangenza, si dimostra come segue teorema.

Lascia che sia necessario eseguire cerchio con centro O tangente attraverso il punto UN. Per farlo dal punto UN, come dal centro, descriviamo arco raggio A.O., e dal punto O, come centro, intersechiamo questo arco nei punti B E CON una soluzione del compasso uguale al diametro del cerchio dato.

Dopo aver speso allora accordi O.B. E sistema operativo, collega il punto UN con punti D E E, in cui questi accordi si intersecano con un dato cerchio. Diretto ANNO DOMINI E A.E. - tangenti ad una circonferenza O. In effetti, dalla costruzione è chiaro che triangoli AOB E AOC isoscele(AO = AB = AC) con basi O.B. E sistema operativo, uguale al diametro del cerchio O.

Perché D.O. E O.E.- raggi, allora D - mezzo O.B., UN E- mezzo sistema operativo, Significa ANNO DOMINI E A.E. - mediane, disegnato alle basi dei triangoli isosceli, e quindi perpendicolare a queste basi. Se dritto D.A. E E.A. perpendicolare ai raggi D.O. E O.E., Allora loro - tangenti.

Conseguenza.

Due tangenti condotte da un punto ad una circonferenza sono uguali e formano angoli uguali con la retta che collega questo punto al centro.

COSÌ d.C.=EA e ∠ OAD = ∠OAE Perché triangoli rettangoli AOD E AOE, avendo un comune ipotenusa A.O. e pari gambe D.O. E O.E.(come i raggi) sono uguali. Nota che qui la parola “tangente” in realtà significa “ segmento tangente” da un dato punto al punto di contatto.