Teoremi sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico. Il principio dei movimenti possibili

Il sistema discusso nel teorema può essere qualsiasi sistema meccanico costituito da qualsiasi corpo.

Enunciato del teorema

La quantità di movimento (impulsi) di un sistema meccanico è una quantità pari alla somma delle quantità di movimento (impulsi) di tutti i corpi inclusi nel sistema. L'impulso delle forze esterne che agiscono sui corpi del sistema è la somma degli impulsi di tutte le forze esterne che agiscono sui corpi del sistema.

( kg m/s)

Afferma il teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema

La variazione della quantità di moto del sistema in un certo periodo di tempo è uguale all'impulso delle forze esterne che agiscono sul sistema nello stesso periodo di tempo.

Legge di conservazione della quantità di moto di un sistema

Se la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema è zero, allora la quantità di moto (momento) del sistema è una quantità costante.

, otteniamo l'espressione del teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma differenziale:

Avendo integrato entrambi i lati dell'uguaglianza risultante in un periodo di tempo arbitrariamente preso tra alcuni e , otteniamo l’espressione del teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma integrale:

Legge di conservazione della quantità di moto (Legge di conservazione della quantità di moto) afferma che la somma vettoriale degli impulsi di tutti i corpi del sistema è un valore costante se la somma vettoriale delle forze esterne agenti sul sistema è pari a zero.

(momento della quantità di moto m 2 kg s −1)

Teorema sulla variazione del momento angolare rispetto al centro

la derivata temporale del momento della quantità di moto (momento cinetico) di un punto materiale rispetto a un qualsiasi centro fisso è uguale al momento della forza agente sul punto rispetto allo stesso centro.

non so 0 /dt = M 0 (F ) .

Teorema sulla variazione del momento angolare rispetto ad un asse

la derivata temporale del momento della quantità di moto (momento cinetico) di un punto materiale rispetto a qualsiasi asse fisso è uguale al momento della forza che agisce su questo punto rispetto allo stesso asse.

non so X /dt = M X (F ); non so sì /dt = M sì (F ); non so z /dt = M z (F ) .

Considera un punto materiale M massa M , muovendosi sotto l'influenza della forza F (Figura 3.1). Scriviamo e costruiamo il vettore del momento angolare (momento cinetico) M 0 punto materiale rispetto al centro O :

Differenziamo l'espressione del momento angolare (momento cinetico K 0) in base all'ora:

Perché dottor /dt = V , quindi il prodotto vettoriale V ⊗ M ⋅ V (vettori collineari V E M ⋅ V ) è uguale a zero. Allo stesso tempo d(m ⋅ V) /dt = F secondo il teorema sulla quantità di moto di un punto materiale. Quindi lo capiamo

non so 0 /dt = R ⊗F , (3.3)

Dove R ⊗F = M 0 (F ) – vettore momento della forza F rispetto ad un centro fisso O . Vettore K 0 ⊥ piano ( R , M ⊗V ) e il vettore M 0 (F ) ⊥ aereo ( R ,F ), finalmente abbiamo

non so 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

L'equazione (3.4) esprime il teorema sulla variazione del momento angolare (momento angolare) di un punto materiale rispetto al centro: la derivata temporale del momento della quantità di moto (momento cinetico) di un punto materiale rispetto a un qualsiasi centro fisso è uguale al momento della forza agente sul punto rispetto allo stesso centro.

Proiettando l'uguaglianza (3.4) sugli assi delle coordinate cartesiane, si ottiene

non so X /dt = M X (F ); non so sì /dt = M sì (F ); non so z /dt = M z (F ) . (3.5)

Le uguaglianze (3.5) esprimono il teorema sulla variazione del momento angolare (momento cinetico) di un punto materiale rispetto all'asse: la derivata temporale del momento della quantità di moto (momento cinetico) di un punto materiale rispetto a qualsiasi asse fisso è uguale al momento della forza che agisce su questo punto rispetto allo stesso asse.

Consideriamo le conseguenze derivanti dai Teoremi (3.4) e (3.5).

Corollario 1. Consideriamo il caso in cui la forza F durante l'intero movimento il punto passa per il centro stazionario O (caso di forza centrale), cioè Quando M 0 (F ) = 0. Allora dal Teorema (3.4) segue che K 0 = cost ,

quelli. nel caso di una forza centrale, il momento angolare (momento cinetico) di un punto materiale rispetto al centro di questa forza rimane costante in grandezza e direzione (Figura 3.2).

Figura 3.2

Dalla condizione K 0 = cost ne consegue che la traiettoria di un punto in movimento è una curva piana, il cui piano passa per il centro di questa forza.

Corollario 2. Permettere M z (F ) = 0, cioè la forza attraversa l'asse z o parallelo ad esso. In questo caso, come si può vedere dalla terza delle equazioni (3.5), K z = cost ,

quelli. se il momento della forza che agisce su un punto rispetto a un qualsiasi asse fisso è sempre zero, allora il momento angolare (momento cinetico) del punto rispetto a questo asse rimane costante.

Dimostrazione del teorema sulla variazione della quantità di moto

Supponiamo che il sistema sia costituito da punti materiali con masse e accelerazioni. Dividiamo tutte le forze che agiscono sui corpi del sistema in due tipi:

Le forze esterne sono forze che agiscono da corpi non inclusi nel sistema in esame. La risultante delle forze esterne che agiscono su un punto materiale con numero io indichiamo

Le forze interne sono le forze con cui interagiscono tra loro i corpi del sistema stesso. La forza con cui si arriva al punto con il numero io il punto con il numero è valido K, denoteremo , e la forza di influenza io punto in poi K esimo punto - . Ovviamente, quando, allora

Usando la notazione introdotta, scriviamo la seconda legge di Newton per ciascuno dei punti materiali considerati nella forma

Considerando che e sommando tutte le equazioni della seconda legge di Newton, otteniamo:

L'espressione rappresenta la somma di tutte le forze interne che agiscono nel sistema. Secondo la terza legge di Newton, in questa somma, ad ogni forza corrisponde una forza tale che, quindi, vale Poiché l'intera somma è costituita da tali coppie, la somma stessa è zero. Quindi possiamo scrivere

Usando la notazione per la quantità di moto del sistema, otteniamo

Avendo preso in considerazione la variazione della quantità di moto delle forze esterne , otteniamo l’espressione del teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma differenziale:

Pertanto, ciascuna delle ultime equazioni ottenute ci consente di affermare: un cambiamento nella quantità di moto del sistema avviene solo come risultato dell'azione di forze esterne e le forze interne non possono avere alcuna influenza su questo valore.

Avendo integrato entrambi i lati dell'uguaglianza risultante su un intervallo di tempo arbitrariamente scelto tra alcuni e , otteniamo l'espressione del teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in forma integrale:

dove e sono i valori della quantità di movimento del sistema in alcuni istanti di tempo e, rispettivamente, e è l'impulso delle forze esterne in un periodo di tempo. In accordo con quanto detto in precedenza e con le notazioni introdotte,

Come per un punto materiale, ricaveremo un teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema in varie forme.

Trasformiamo l'equazione (teorema sul movimento del baricentro di un sistema meccanico)

nel seguente modo:

;

;

L'equazione risultante esprime il teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in forma differenziale: la derivata della quantità di moto di un sistema meccanico rispetto al tempo è uguale al vettore principale delle forze esterne che agiscono sul sistema .

Nelle proiezioni sugli assi delle coordinate cartesiane:

; ; .

Prendendo nel tempo gli integrali di entrambi i membri delle ultime equazioni, otteniamo un teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in forma integrale: la variazione della quantità di moto di un sistema meccanico è uguale alla quantità di moto del vettore principale di forze esterne che agiscono sul sistema .

.

Oppure nelle proiezioni sugli assi delle coordinate cartesiane:

; ; .

Corollari dal teorema (leggi di conservazione della quantità di moto)

La legge di conservazione della quantità di moto si ottiene come casi particolari del teorema sulla variazione della quantità di moto per un sistema in funzione delle caratteristiche del sistema di forze esterne. Le forze interne possono essere qualsiasi, poiché non influenzano i cambiamenti della quantità di moto.

I casi possibili sono due:

1. Se la somma vettoriale di tutte le forze esterne applicate al sistema è uguale a zero, allora la quantità di movimento del sistema è costante in grandezza e direzione

2. Se la proiezione del vettore principale delle forze esterne su qualsiasi asse di coordinate e/o e/o è uguale a zero, allora la proiezione della quantità di moto su questi stessi assi è un valore costante, cioè e/o e/o rispettivamente.

Immissioni simili possono essere effettuate per un punto materiale e per un punto materiale.

L'obiettivo. Da una pistola la cui massa M, un proiettile di massa vola via in direzione orizzontale M con velocità v. Trova la velocità V armi dopo aver sparato.

Soluzione. Tutte le forze esterne che agiscono sul sistema meccanico arma-proiettile sono verticali. Ciò significa che, in base al corollario del teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema, abbiamo: .

La quantità di movimento del sistema meccanico prima dello sparo:

La quantità di movimento del sistema meccanico dopo lo sparo:

.

Uguagliando i membri destri delle espressioni, otteniamo che

.

Il segno "-" nella formula risultante indica che dopo aver sparato la pistola rotolerà indietro nella direzione opposta all'asse Bue.

ESEMPIO 2. Un flusso di liquido con densità scorre ad una velocità V da un tubo con area di sezione trasversale F e colpisce una parete verticale ad angolo. Determinare la pressione del fluido sulla parete.

SOLUZIONE. Applichiamo il teorema sulla variazione della quantità di moto in forma integrale a un volume di liquido con una massa M colpire un muro per un periodo di tempo T.

EQUAZIONE DI MESHCHERSKY

(equazione base della dinamica di un corpo di massa variabile)

Nella tecnologia moderna si verificano casi in cui la massa di un punto e di un sistema non rimane costante durante il movimento, ma cambia. Quindi, ad esempio, durante il volo dei razzi spaziali, a causa dell'espulsione dei prodotti della combustione e di singole parti non necessarie dei razzi, la variazione di massa raggiunge il 90-95% del valore iniziale totale. Ma non solo la tecnologia spaziale può essere un esempio della dinamica del movimento di massa variabile. Nell'industria tessile si verificano cambiamenti significativi nella massa di vari fusi, bobine, rotoli alle moderne velocità operative di macchine e macchinari.

Consideriamo le principali caratteristiche associate alle variazioni di massa, utilizzando l'esempio del movimento traslatorio di un corpo di massa variabile. La legge fondamentale della dinamica non può essere applicata direttamente ad un corpo di massa variabile. Si ottengono quindi equazioni differenziali del moto di un punto di massa variabile, applicando il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema.

Lascia che il punto abbia massa m+DM si muove a velocità. Quindi una certa particella con una massa viene separata dal punto dm muovendosi a velocità.

La quantità di movimento del corpo prima che la particella si stacchi:

La quantità di movimento di un sistema costituito da un corpo e una particella staccata dopo la sua separazione:

Quindi il cambiamento di slancio:

Per il teorema sulla variazione della quantità di moto del sistema:

Indichiamo la quantità - la velocità relativa della particella:

Denotiamo

Misurare R chiamata forza reattiva. La forza reattiva è la spinta del motore causata dall'espulsione del gas dall'ugello.

Finalmente otteniamo

-

Questa formula esprime l'equazione base della dinamica di un corpo di massa variabile (formula di Meshchersky). Dall'ultima formula segue che le equazioni differenziali del moto di un punto di massa variabile hanno la stessa forma di un punto di massa costante, fatta eccezione per la forza reattiva aggiuntiva applicata al punto dovuta alla variazione di massa.

L'equazione fondamentale per la dinamica di un corpo di massa variabile indica che l'accelerazione di questo corpo si forma non solo a causa delle forze esterne, ma anche a causa della forza reattiva.

La forza reattiva è una forza simile a quella avvertita dalla persona che spara: quando si spara con una pistola, viene avvertita dalla mano; Quando si spara con un fucile, viene percepito dalla spalla.

La prima formula di Tsiolkovsky (per un razzo a stadio singolo)

Lasciamo che un punto di massa variabile o un razzo si muovano in linea retta sotto l'influenza di una sola forza reattiva. Poiché per molti moderni motori a reazione, dov'è la massima forza reattiva (spinta del motore) consentita dalla progettazione del motore; - la forza di gravità agente sul motore situato sulla superficie terrestre. Quelli. quanto sopra ci consente di trascurare la componente nell'equazione di Meshchersky e di accettare questa equazione nella forma per ulteriori analisi: ,

Indichiamo:

Riserva di carburante (per i motori a reazione liquida - la massa secca del razzo (la sua massa rimanente dopo aver bruciato tutto il carburante);

La massa di particelle separate dal razzo; è considerato come un valore variabile, che varia da a .

Scriviamo l'equazione del moto rettilineo di un punto di massa variabile nella forma seguente:

Poiché la formula per determinare la massa variabile di un razzo è

Pertanto le equazioni del moto di un punto Prendendo gli integrali di entrambi i membri otteniamo

Dove - velocità caratteristica- questa è la velocità che un razzo acquisisce sotto l'influenza della spinta dopo che tutte le particelle sono state espulse dal razzo (per i motori a reazione liquida - dopo che tutto il carburante si è esaurito).

Al di fuori del segno integrale (cosa che si può fare sulla base del teorema del valore medio noto dalla matematica superiore) si trova la velocità media delle particelle espulse dal razzo.

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Breve recensione

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Quantità di movimento

Momento di un punto materiale - una quantità vettoriale pari al prodotto della massa di un punto e del suo vettore velocità.

L'unità di misura della quantità di moto è (kg m/s).

Momento del sistema meccanico - una quantità vettoriale pari alla somma geometrica (vettore principale) della quantità di moto di un sistema meccanico è pari al prodotto della massa dell'intero sistema e della velocità del suo centro di massa.

Quando un corpo (o un sistema) si muove in modo che il suo centro di massa sia stazionario, la quantità di movimento del corpo è uguale a zero (ad esempio, rotazione del corpo attorno a un asse fisso passante per il centro di massa del corpo ).

Nel caso del movimento complesso, la quantità di movimento del sistema non caratterizzerà la parte rotazionale del movimento quando ruota attorno al centro di massa. Cioè, la quantità di movimento caratterizza solo il movimento traslatorio del sistema (insieme al centro di massa).

Forza d'impulso

L'impulso di una forza caratterizza l'azione di una forza in un certo periodo di tempo.

Impulso di forza per un periodo di tempo finito è definita come la somma integrale dei corrispondenti impulsi elementari.

Teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto materiale

(nelle forme differenziali e ):

La derivata temporale della quantità di moto di un punto materiale è uguale alla somma geometrica delle forze agenti sui punti.

(V forma integrale ):

La variazione della quantità di moto di un punto materiale in un certo periodo di tempo è uguale alla somma geometrica degli impulsi di forza applicati al punto durante questo periodo di tempo.

Teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico

(in forma differenziale ):

La derivata temporale della quantità di moto del sistema è uguale alla somma geometrica di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema.

(in forma integrale ):

La variazione della quantità di moto di un sistema in un certo periodo di tempo è uguale alla somma geometrica degli impulsi delle forze esterne che agiscono sul sistema durante questo periodo di tempo.

Il teorema permette di escludere dalla considerazione le forze interne ovviamente sconosciute.

Il teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico e il teorema sul moto del centro di massa sono due forme diverse dello stesso teorema.

Legge di conservazione della quantità di moto di un sistema

1. Se la somma di tutte le forze esterne che agiscono sul sistema è uguale a zero, allora il vettore della quantità di moto del sistema sarà costante in direzione e grandezza.
2. Se la somma delle proiezioni di tutte le forze esterne agenti su un qualsiasi asse arbitrario è uguale a zero, allora la proiezione della quantità di moto su questo asse è un valore costante.

conclusioni:

1. Le leggi di conservazione indicano che le forze interne non possono modificare la quantità totale di movimento del sistema.
2. Il teorema sulla variazione della quantità di moto di un sistema meccanico non caratterizza il moto rotatorio di un sistema meccanico, ma solo quello traslatorio.

Viene fornito un esempio: determinare la quantità di moto di un disco di una certa massa se se ne conoscono la velocità angolare e le dimensioni.

Esempio di calcolo di un ingranaggio cilindrico
Un esempio di calcolo di un ingranaggio cilindrico. Sono stati effettuati la scelta del materiale, il calcolo delle sollecitazioni ammissibili, il calcolo della resistenza al contatto e alla flessione.

Un esempio di risoluzione di un problema di flessione della trave
Nell'esempio sono stati costruiti i diagrammi delle forze trasversali e dei momenti flettenti, è stata trovata una sezione pericolosa ed è stata selezionata una trave a I. Il problema ha analizzato la costruzione di diagrammi utilizzando le dipendenze differenziali e ha effettuato un'analisi comparativa di varie sezioni trasversali della trave.

Un esempio di risoluzione di un problema di torsione dell'albero
Il compito è testare la resistenza di un albero in acciaio con un determinato diametro, materiale e sollecitazione ammissibile. Durante la soluzione vengono costruiti diagrammi di coppie, sollecitazioni di taglio e angoli di torsione. Il peso proprio dell'albero non viene preso in considerazione

Un esempio di risoluzione di un problema di tensione-compressione di un'asta
Il compito è testare la resistenza di un'asta di acciaio alle sollecitazioni ammissibili specificate. Durante la soluzione vengono costruiti i diagrammi delle forze longitudinali, delle tensioni normali e degli spostamenti. Il peso proprio della canna non viene preso in considerazione

Applicazione del teorema sulla conservazione dell'energia cinetica
Un esempio di risoluzione di un problema utilizzando il teorema sulla conservazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico

Determinazione della velocità e dell'accelerazione di un punto utilizzando determinate equazioni del moto
Un esempio di risoluzione di un problema per determinare la velocità e l'accelerazione di un punto utilizzando determinate equazioni del moto

Determinazione delle velocità e delle accelerazioni di punti di un corpo rigido durante il moto piano parallelo
Un esempio di risoluzione di un problema per determinare le velocità e le accelerazioni dei punti di un corpo rigido durante il movimento piano parallelo

Determinazione delle forze nelle barre di una capriata piana
Un esempio di risoluzione del problema di determinazione delle forze nelle aste di una capriata piatta utilizzando il metodo Ritter e il metodo di taglio dei nodi

Applicazione del teorema sulla variazione del momento angolare
Un esempio di risoluzione di un problema utilizzando il teorema sulla variazione della quantità di moto cinetica per determinare la velocità angolare di un corpo che ruota attorno a un asse fisso.

(Frammenti di una sinfonia matematica)

La connessione tra l'impulso della forza e l'equazione base della dinamica newtoniana è espressa dal teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto materiale.

Teorema. La variazione della quantità di moto di un punto materiale in un certo periodo di tempo è uguale all'impulso della forza () che agisce sul punto materiale nello stesso periodo di tempo. La dimostrazione matematica di questo teorema può essere definita un frammento di una sinfonia matematica. Eccolo.

La quantità di moto differenziale di un punto materiale è uguale all'impulso elementare della forza agente sul punto materiale. Abbiamo l'espressione integrativa (128) per la quantità di moto differenziale di un punto materiale

(129)

Il teorema è stato dimostrato e i matematici considerano la loro missione completata, ma gli ingegneri, il cui destino è credere in modo sacro nei matematici, hanno domande quando usano l'equazione dimostrata (129). Ma sono fermamente bloccati dalla sequenza e dalla bellezza delle operazioni matematiche (128 e 129), che affascinano e ci incoraggiano a definirle un frammento di una sinfonia matematica. Quante generazioni di ingegneri erano d'accordo con i matematici e ammiravano il mistero dei loro simboli matematici! Ma poi ci fu un ingegnere che non fu d'accordo con i matematici e fece loro delle domande.

Cari matematici! Perché nessuno dei tuoi libri di testo sulla meccanica teorica non discute il processo di applicazione pratica del tuo risultato sinfonico (129), ad esempio, quando descrivi il processo di accelerazione di un'auto? Il lato sinistro dell'equazione (129) è molto chiaro. L'auto inizia l'accelerazione dalla velocità e la termina, ad esempio, alla velocità. È del tutto naturale che l'equazione (129) diventi

E sorge immediatamente la prima domanda: come possiamo determinare dall'equazione (130) la forza sotto l'influenza della quale l'auto viene accelerata fino alla velocità di 10 m/s? La risposta a questa domanda non si trova in nessuno degli innumerevoli libri di testo sulla meccanica teorica. Andiamo oltre. Dopo l'accelerazione l'auto comincia a muoversi uniformemente ad una velocità di 10 m/s. Quale forza muove l'auto?????????? Non mi resta che arrossire insieme ai matematici. La prima legge della dinamica newtoniana afferma che quando un'auto si muove uniformemente, su di essa non agisce alcuna forza e l'auto, in senso figurato, starnutisce davanti a questa legge, consuma benzina e lavora, percorrendo, ad esempio, una distanza di 100 km. Dov'è la forza che ha compiuto il lavoro per spostare l'auto di 100 km? L'equazione matematica sinfonica (130) tace, ma la vita va avanti ed esige una risposta. Iniziamo a cercarlo.

Dato che l'auto si muove in modo rettilineo e uniforme, la forza che la muove è costante in intensità e direzione e l'equazione (130) diventa

(131)

Quindi, l'equazione (131) in questo caso descrive il movimento accelerato del corpo. A quanto vale la forza? Come esprimere il suo cambiamento nel tempo? I matematici preferiscono aggirare questa domanda e lasciarla agli ingegneri, ritenendo che siano loro a dover cercare la risposta a questa domanda. Agli ingegneri rimane solo un'opzione: tenere conto del fatto che se, dopo il completamento del movimento accelerato del corpo, inizia una fase di movimento uniforme, accompagnata dall'azione di una forza costante, presente l'equazione (131) per momento di transizione dal moto accelerato a quello uniforme in questa forma

(132)

La freccia in questa equazione non indica il risultato dell'integrazione di questa equazione, ma il processo di transizione dalla sua forma integrale a una forma semplificata. La forza in questa equazione è equivalente alla forza media che ha cambiato la quantità di moto del corpo da zero a un valore finale. Quindi, cari matematici e fisici teorici, l'assenza del vostro metodo per determinare l'entità del vostro impulso ci costringe a semplificare la procedura per determinare la forza, e l'assenza di un metodo per determinare il tempo di azione di questa forza generalmente ci mette in una situazione posizione senza speranza e siamo costretti ad usare un'espressione per analizzare il processo di cambiamento della quantità di moto di un corpo. Il risultato è che più a lungo agisce la forza, maggiore è il suo impulso. Ciò contraddice chiaramente l'idea consolidata secondo cui quanto più breve è la durata della sua azione, tanto maggiore è l'impulso di forza.

Richiamiamo l'attenzione sul fatto che la variazione della quantità di moto di un punto materiale (impulso di forza) durante il suo movimento accelerato avviene sotto l'azione della forza newtoniana e delle forze di resistenza al movimento, sotto forma di forze generate da resistenze meccaniche e la forza d'inerzia. Ma la dinamica newtoniana nella stragrande maggioranza dei problemi ignora la forza di inerzia, e la meccanodinamica afferma che un cambiamento nella quantità di moto di un corpo durante il suo movimento accelerato avviene a causa dell'eccesso della forza newtoniana rispetto alle forze di resistenza al movimento, comprese le forze forza d'inerzia.

Quando un corpo si muove al rallentatore, ad esempio un'auto con la marcia spenta, non c'è forza newtoniana e la variazione della quantità di moto dell'auto avviene a causa dell'eccesso delle forze di resistenza al movimento rispetto alla forza di inerzia, che muove l'auto quando si muove lentamente.

Come possiamo ora riportare i risultati delle note azioni matematiche “sinfoniche” (128) alla corrente principale delle relazioni di causa-effetto? C'è solo una via d'uscita: trovare una nuova definizione dei concetti di "impulso di forza" e "forza d'impatto". Per fare ciò, dividi entrambi i lati dell'equazione (132) per il tempo t. Di conseguenza avremo

. (133)

Notiamo che l'espressione mV/t è la velocità di variazione della quantità di moto (mV/t) di un punto o corpo materiale. Se consideriamo che V/t è l'accelerazione, allora mV/t è la forza che modifica la quantità di moto del corpo. La stessa dimensione a sinistra e a destra del segno uguale ci dà il diritto di chiamare la forza F una forza d'urto e denotarla con il simbolo, e l'impulso S - un impulso d'urto e denotarla con il simbolo. Ciò porta ad una nuova definizione di forza d’impatto. La forza d'impatto che agisce su un punto o corpo materiale è uguale al rapporto tra la variazione della quantità di moto del punto o corpo materiale e il tempo di questo cambiamento.

Prestiamo particolare attenzione al fatto che solo la forza newtoniana partecipa alla formazione dell'impulso d'urto (134), che ha cambiato la velocità dell'auto da zero al massimo - , quindi l'equazione (134) appartiene interamente alla dinamica newtoniana. Poiché è molto più semplice determinare sperimentalmente l'entità della velocità che determinare l'accelerazione, la formula (134) è molto comoda per i calcoli.

Questo risultato insolito deriva dall'equazione (134).

Prestiamo attenzione al fatto che secondo le nuove leggi della meccanodinamica, il generatore dell'impulso di forza durante il movimento accelerato di un punto o corpo materiale è la forza newtoniana. Forma l'accelerazione del movimento di un punto o corpo, in corrispondenza della quale si genera automaticamente una forza inerziale, diretta in senso opposto alla forza newtoniana e la forza newtoniana d'impatto deve superare l'azione della forza inerziale, quindi la forza inerziale deve essere rappresentata nel equilibrio delle forze sul lato sinistro dell'equazione (134). Poiché la forza d'inerzia è pari alla massa del punto o corpo moltiplicata per la decelerazione che esso forma, l'equazione (134) diventa

(136)

Cari matematici! Vedete quale forma ha assunto il modello matematico che descrive l'impulso d'urto, che accelera il movimento del corpo colpito dalla velocità zero alla V massima (11). Ora controlliamo il suo funzionamento nel determinare l'impulso d'impatto, che è uguale alla forza d'impatto che ha azionato il 2o propulsore dell'SShG (Fig. 120), e vi lasceremo con la vostra inutile equazione (132). Per non complicare la presentazione, per ora lasceremo stare la formula (134) e utilizzeremo formule che danno valori medi delle forze. Vedi in quale posizione metti un ingegnere che cerca di risolvere un problema specifico.

Cominciamo con la dinamica newtoniana. Gli esperti hanno scoperto che il 2° propulsore raggiungeva un'altezza di 14 m. Poiché si elevava nel campo di gravità, ad un'altezza h = 14 m la sua energia potenziale risultava pari a

e l'energia cinetica media era uguale a

Riso. 120. Foto della sala turbine prima del disastro

Dall'uguaglianza dell'energia cinetica (138) e potenziale (137) segue la velocità media di aumento del propulsore (Fig. 121, 122)

Riso. 121. Fotone della sala turbine dopo il disastro

Secondo le nuove leggi della meccanodinamica, la salita del propulsore consisteva in due fasi (Fig. 123): la prima fase OA - salita accelerata e la seconda fase AB - salita lenta , , .

Il tempo e la distanza della loro azione sono approssimativamente uguali (). Quindi l'equazione cinematica della fase accelerata di sollevamento della parte di potenza verrà scritta come segue:

. (140)

Riso. 122. Veduta del pozzo della centrale e della centrale stessa dopo il disastro

La legge di variazione del tasso di aumento del propulsore nella prima fase ha la forma

. (141)

Riso. 123. Regolarità delle variazioni della velocità di volo V di un propulsore

Sostituendo il tempo dall'equazione (140) nell'equazione (141), abbiamo

. (142)

Il tempo di sollevamento del blocco nella prima fase è determinato dalla formula (140)

. (143)

Quindi il tempo totale per sollevare l'unità di potenza ad un'altezza di 14 m sarà pari a . La massa dell'unità di potenza e della copertura è di 2580 tonnellate. Secondo la dinamica newtoniana, la forza che ha sollevato il propulsore è uguale a

Cari matematici! Seguiamo i tuoi risultati matematici sinfonici e scriviamo la tua formula (129), seguendo la dinamica newtoniana, per determinare l'impulso d'urto che ha acceso il 2° propulsore

e fai una domanda fondamentale: come determinare la durata dell'impulso d'urto che ha attivato il 2o propulsore????????????

Caro!!! Ricorda quanto gesso è stato scritto sulle lavagne da generazioni di tuoi colleghi, insegnando astrusamente agli studenti come determinare l'impulso d'urto, e nessuno ha spiegato come determinare la durata dell'impulso d'urto in ciascun caso specifico. Dirai che la durata dell'impulso d'urto è uguale all'intervallo di tempo della variazione della velocità del propulsore da zero al, supponiamo, il valore massimo di 16,75 m/s (139). È nella formula (143) ed è pari a 0,84 s. Per ora siamo d'accordo con te e determiniamo il valore medio dell'impulso d'urto

Sorge immediatamente la domanda: perché l'entità dell'impulso d'urto (146) è inferiore alla forza newtoniana di 50600 tonnellate? Voi, cari matematici, non avete risposta. Andiamo oltre.

Secondo la dinamica newtoniana, la forza principale che resisteva al sollevamento del propulsore era la gravità. Poiché questa forza è diretta contro il movimento del propulsore, genera una decelerazione pari all'accelerazione della caduta libera. Quindi la forza gravitazionale che agisce sull'unità di potenza che vola verso l'alto è uguale a

La dinamica di Newton non tiene conto delle altre forze che impedivano l'azione della forza newtoniana di 50.600 tonnellate (144), e la meccanodinamica afferma che al sollevamento del propulsore si oppose anche una forza d'inerzia pari a

Sorge immediatamente la domanda: come trovare la quantità di decelerazione nel movimento del propulsore? La dinamica newtoniana tace, ma la meccanodinamica risponde: al momento dell'azione della forza newtoniana, che sollevava la centralina, ad essa resistevano: la forza di gravità e la forza d'inerzia, quindi l'equazione delle forze agenti sulla potenza l'unità in quel momento è scritta come segue.

La quantità di movimento è una misura del movimento meccanico, se il movimento meccanico si trasforma in meccanico. Ad esempio, il movimento meccanico di una palla da biliardo (Fig. 22) prima dell'impatto si trasforma in movimento meccanico delle palle dopo l'impatto. Per un punto, la quantità di moto è uguale al prodotto.

La misura della forza in questo caso è l'impulso di forza

. (9.1)

La quantità di moto determina l'azione della forza per un periodo di tempo . Per un punto materiale, il teorema sulla variazione della quantità di moto può essere utilizzato in forma differenziale
(9.2) o forma integrale (finita).
. (9.3)

La variazione della quantità di moto di un punto materiale in un certo periodo di tempo è uguale all'impulso di tutte le forze applicate al punto nello stesso tempo.

Figura 22

Nella risoluzione dei problemi, il Teorema (9.3) è più spesso utilizzato nelle proiezioni sugli assi delle coordinate
;

; (9.4)

.

Utilizzando il teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto è possibile risolvere problemi in cui un punto o un corpo in movimento traslatorio è sottoposto a forze costanti o variabili che dipendono dal tempo, e le quantità date e cercate includono il tempo di movimento e velocità all'inizio e alla fine del movimento. I problemi che utilizzano il teorema vengono risolti nella seguente sequenza:

1. scegli un sistema di coordinate;

2. rappresentare tutte le forze e le reazioni date (attive) che agiscono su un punto;

3. scrivere un teorema sulla variazione della quantità di moto di un punto nelle proiezioni sugli assi delle coordinate selezionati;

4. determinare le quantità richieste.

ESEMPIO 12.

Un martello del peso di G=2t cade da un'altezza h=1m sul pezzo in lavorazione in un tempo t=0,01 s e stampa il pezzo (Fig. 23). Determinare la forza di pressione media del martello sul pezzo.

La variazione della quantità di moto di un sistema meccanico in un certo periodo di tempo è uguale alla somma degli impulsi delle forze esterne che agiscono nello stesso tempo. A volte è più conveniente utilizzare il teorema sulla variazione della quantità di moto nella proiezione sugli assi coordinati
; (9.8)
. (9.9)

La legge di conservazione della quantità di moto afferma che in assenza di forze esterne la quantità di moto di un sistema meccanico rimane costante. L’azione delle forze interne non può modificare la quantità di moto del sistema. Dall'equazione (9.6) è chiaro che quando
,
.

Se
, Quello
O
.

D

elica o elica, propulsione a reazione. I calamari si muovono a scatti, lanciando acqua dal sacco muscolare come un cannone ad acqua (Fig. 25). L'acqua respinta ha un certo movimento diretto all'indietro. Il calamaro riceve la velocità corrispondente movimento in avanti dovuto alla forza reattiva di trazione , da prima che il calamaro salti fuori dalla forza bilanciato dalla gravità .

L'applicazione del teorema sulla variazione della quantità di moto ci consente di escludere dalla considerazione tutte le forze interne.

ESEMPIO 13.

Un argano A con tamburo di raggio r è installato su una piattaforma ferroviaria indipendente sulle rotaie (Fig. 26). L'argano è progettato per spostare un carico B di massa m 1 lungo la piattaforma. Peso della piattaforma con verricello m 2. Il tamburo del verricello ruota a norma di legge
. Nel momento iniziale il sistema era mobile. Trascurando l'attrito, trovare la legge della variazione della velocità della piattaforma dopo aver azionato l'argano.

R SOLUZIONE.

1. Considerare piattaforma, verricello e carico come un unico sistema meccanico, sul quale agiscono forze esterne: gravità del carico e piattaforme e reazioni E
.

2. Poiché tutte le forze esterne sono perpendicolari all'asse x, cioè
, applichiamo la legge di conservazione della quantità di moto di un sistema meccanico in proiezione sull'asse x:
. Nel momento iniziale il sistema era immobile, quindi,

Esprimiamo la quantità di movimento del sistema in un momento arbitrario nel tempo. La piattaforma avanza velocemente , il carico subisce un movimento complesso costituito da un movimento relativo lungo la piattaforma ad una velocità e movimento portatile insieme alla piattaforma in velocità ., Dove
. La piattaforma si sposterà nella direzione opposta al movimento relativo del carico.

ESEMPIO 14.

Dove ,
- la quantità di movimento della piastra e del carico, rispettivamente.

;
, Dove --velocità assoluta del carico D. Dall'uguaglianza (1) segue che K 1x + K 2x =C 1 ovvero m 1 u x +m 2 V Dx =C 1. (2) Per determinare V Dx si consideri complesso il moto del carico D, considerando il suo moto relativo alla piastra relativa, ed il moto della piastra stessa mobile, quindi
, (3)
;o in proiezione sull'asse x: . (4) Sostituiamo la (4) nella (2):
. (5) Determiniamo la costante di integrazione C 1 dalle condizioni iniziali: at=0 u=u 0 ; (m1 +m2)u0 =C1. (6) Sostituendo il valore della costante C 1 nell'equazione (5), otteniamo

SM.