Elementi di teoria dei determinanti e delle matrici. Abstract: Teoria delle matrici e dei determinanti

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Elementi di teoria dei determinanti

Un determinante è un numero scritto sotto forma di una tabella quadrata di numeri, calcolato secondo determinate regole.

Ad esempio, ciascuna delle tabelle (1.1) è composta da un numero uguale di righe e colonne e rappresenta un numero, le cui regole di calcolo verranno discusse di seguito.

Il numero di righe e colonne determina l'ordine del determinante. Pertanto, il determinante 1.1a) è del terzo ordine, il determinante 1.1b) è del secondo ordine, 1.1c) è del primo ordine. Come puoi vedere, il determinante del primo ordine è il numero stesso.

Le parentesi verticali diritte ai bordi della tabella sono il segno e il simbolo del determinante. Il determinante è indicato con una lettera maiuscola dell'alfabeto greco? (delta).

In forma generale, il determinante dell'ordine ennesimo si scrive come segue:

Ogni elemento UN ij il determinante ha due indici: il primo indice io indica il numero di riga, secondo J- numero della colonna all'intersezione della quale si trova l'elemento. Quindi per gli elementi determinanti 1.1a). UN 11 , UN 22 , UN 23 , UN 32 sono rispettivamente pari a 2, 5, 4, 3.

Il determinante del 2° ordine viene calcolato utilizzando la formula

Il determinante del 2° ordine è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale meno il prodotto degli elementi sulla diagonale secondaria.

Per calcolare il determinante del 3° ordine si utilizzano il “metodo del triangolo” e il metodo Sarrus. Ma di solito in pratica, per calcolare il determinante del 3o ordine, viene utilizzato il cosiddetto metodo di riduzione effettiva dell'ordine, che verrà discusso di seguito.

Metodo del triangolo

Quando si calcola il determinante utilizzando questo metodo, è conveniente utilizzare la sua rappresentazione grafica. Nella fig. 1.1 e 1.2, gli elementi del determinante del 3° ordine sono rappresentati schematicamente da punti.

Riso. 1.1fig. 1.2

Nel calcolo del determinante, il prodotto di elementi collegati da rette segue il diagramma di Fig. 1.1, prendi con un segno più, e il prodotto di elementi collegati secondo lo schema di Fig. 1.2, prendi con il segno meno. Come risultato di queste azioni, la formula utilizzata per il calcolo assume la forma:

Calcolare il determinante del 3° ordine.

Metodo Sarrus

Per implementarlo è necessario assegnare le prime due colonne a destra del determinante, comporre i prodotti degli elementi situati sulla diagonale principale e su linee ad essa parallele e prenderli con un segno più. Quindi comporre i prodotti degli elementi situati sul lato diagonale e parallelo ad esso con un segno meno.

Schema per il calcolo del determinante utilizzando il metodo Sarrus.

Calcola il determinante fornito nell'Esempio 1.2 utilizzando il metodo Sarrus.

Complemento minore e algebrico dell'elemento determinante

Minore M ij elemento UN ijè chiamato determinante ( N-1) -esimo ordine ottenuto dal determinante N-esimo ordine barrando io-esima riga e J-esima colonna (ovvero barrando la riga e la colonna all'intersezione delle quali si trova l'elemento UN ij).

Trova il minore degli elementi UN 23 E UN 34 determinante del 4° ordine.

Elemento UN 23 è nella 2a riga e nella 3a colonna. In questo esempio UN 23 =4. Cancellando la 2a riga e la 3a colonna all'intersezione di questo elemento (rappresentata per scopi metodologici con linee tratteggiate verticali e orizzontali), si ottiene la minore M 23 di questo elemento. Questo sarà già un determinante di 3° ordine.

Quando si calcolano i minori, l'operazione di cancellazione di una riga e di una colonna viene eseguita mentalmente. Fatto questo, otteniamo

Complemento algebrico UN ij elemento UN ij determinante N Il -esimo ordine è il minore di questo elemento, preso con il segno (-1) io + J, Dove io+ J- la somma dei numeri di riga e di colonna a cui appartiene l'elemento UN ij. Quelli. a-prior UN ij=(-1) io + JM ij

È chiaro che se l'importo io+ J- Allora il numero è pari UN ij=M ij, Se io+ J- Allora il numero è dispari UN ij= - M ij.

Per il determinante, trova i complementi algebrici degli elementi UN 23 E UN 31 .

Per elemento UN 23 io=2, J=3 e io+ J=5 è quindi un numero dispari

Per elemento UN 31 io=3, J=1 e io+ J=4 è un numero pari, il che significa

Proprietà dei determinanti

1. Se due righe parallele qualsiasi (due righe o due colonne) vengono scambiate nel determinante, il segno del determinante cambia al contrario

Scambia 2 colonne parallele (1a e 2a).

Scambia 2 linee parallele (1a e 3a).

2. Dal segno determinante si può togliere il divisore comune degli elementi di qualunque riga (riga o colonna).

Proprietà di un determinante uguale a zero

3. Se tutti gli elementi di una certa serie in un determinante sono uguali a zero, tale determinante è uguale a zero.

4. Se in un determinante gli elementi di una qualsiasi serie sono proporzionali agli elementi di una serie parallela, il determinante è uguale a zero.

Proprietà di invarianza (immutabilità) del determinante.

5. Se le righe e le colonne nel determinante vengono scambiate, il determinante non cambierà.

6. Il determinante non cambierà se agli elementi di qualsiasi serie vengono aggiunti elementi di qualsiasi serie parallela, moltiplicandoli prima per un certo numero.

La proprietà 6 è ampiamente utilizzata nel calcolo dei determinanti utilizzando il cosiddetto metodo di riduzione dell'ordine effettivo. Quando si applica questo metodo, è necessario portare tutti gli elementi tranne uno a zero in una riga (una riga o colonna). Un elemento diverso da zero del determinante sarà uguale a zero se viene aggiunto a un numero di uguale grandezza ma di segno opposto.

Mostriamo con un esempio come si fa.

Usando le proprietà 2 e 6, riduci il determinante a un determinante che abbia due zeri in ogni riga.

Usando la proprietà 2, semplifichiamo il determinante rimuovendo 2 dalla prima riga, 4 dalla seconda riga e 2 dalla terza riga come fattori comuni.

Perché elemento UN 22 è uguale a zero, quindi per risolvere il problema è sufficiente ridurre a zero qualsiasi elemento della 2a riga o della 2a colonna. Esistono diversi modi per farlo.

Prendiamo ad esempio l'elemento UN 21 =2 a zero. Per fare ciò, in base alla proprietà 6, moltiplica l'intera terza colonna per (-2) e aggiungila alla prima. Dopo aver eseguito questa operazione, otteniamo

È possibile annullare un elemento UN 12 =2, allora otterremo due elementi uguali a zero nella seconda colonna. Per fare ciò, moltiplica la terza riga per (-2) e aggiungi i valori risultanti alla prima riga

Calcolo del determinante di qualsiasi ordine

La regola per calcolare il determinante di qualsiasi ordine si basa sul teorema di Laplace.

Il teorema di Laplace

Il determinante è uguale alla somma dei prodotti a coppie degli elementi di qualsiasi riga (riga o colonna) per i loro complementi algebrici.

Secondo questo teorema, il determinante può essere calcolato scomponendolo sugli elementi di qualsiasi riga o di qualsiasi colonna.

In generale, il determinante dell'ordine n può essere espanso e calcolato nei seguenti modi:

Calcola il determinante utilizzando il teorema di Laplace scomponendolo negli elementi della 3a riga e negli elementi della 1a colonna.

Calcoliamo il determinante espandendolo lungo la terza linea

Calcoliamo il determinante espandendolo sulla prima colonna

Metodo efficace di riduzione degli ordini

La complessità del calcolo del determinante utilizzando il teorema di Laplace sarà significativamente inferiore se nella sua espansione è presente un solo termine in una riga o in una colonna. Tale espansione si otterrà se nella riga (o colonna) lungo la quale si espande il determinante, tutti gli elementi tranne uno sono uguali a zero. Il metodo per “azzerare” gli elementi del determinante è stato discusso in precedenza.

Calcolare il determinante utilizzando il metodo di riduzione dell'ordine effettivo.

Perché determinante del 3° ordine, quindi “azzeriamo” 2 elementi qualsiasi del determinante. A questo scopo è conveniente prendere la 2a colonna, il cui elemento UN 22 = - 1. In ordine per l'elemento UN 21 era uguale a zero, la prima colonna deve essere aggiunta alla seconda. In ordine per l'elemento UN 23 era uguale a zero, devi moltiplicare la seconda colonna per 2 e aggiungerla alla terza. Dopo aver eseguito queste operazioni, il determinante dato viene convertito nel determinante

Ora espandiamo questo determinante lungo la 2a linea

Calcolo del determinantetagliandolo a forma triangolare

Un determinante per il quale tutti gli elementi sopra o sotto la diagonale principale sono uguali a zero è chiamato determinante triangolare. In questo caso il determinante è uguale al prodotto dei suoi elementi della diagonale principale.

Ridurre il determinante alla forma triangolare è sempre possibile in base alle sue proprietà.

Viene fornito un determinante. Riducilo alla forma triangolare e calcola.

Ad esempio, "azzeriamo" tutti gli elementi situati sopra la diagonale principale. Per fare ciò, è necessario eseguire tre operazioni: 1a operazione: aggiungi la prima riga all'ultima, otteniamo UN 13 = 0. 2a operazione: moltiplicando l'ultima riga per (-2) e sommando con la 2a, otteniamo UN 23 = 0. L'esecuzione sequenziale di queste operazioni è mostrata di seguito.

Per reimpostare un elemento UN 12 aggiungi la 1a e la 2a riga

Elementi di teoria delle matrici

Una matrice è una tabella di numeri o qualsiasi altro elemento contenente M linee e N colonne.

Vista generale della matrice

La matrice, come il determinante, ha elementi dotati di doppio indice. Il significato degli indici è lo stesso dei determinanti.

Se il determinante è uguale ad un numero, allora la matrice non è equiparata a nessun altro oggetto più semplice.

Le parentesi ai lati della matrice ne sono il segno o il simbolo (ma non le parentesi diritte che denotano il determinante). Per brevità la matrice è indicata con lettere maiuscole A, B, C eccetera.

Una matrice ha una dimensione determinata dal numero di righe e colonne, che viene scritta come: UN M N.

Ad esempio, una matrice numerica di dimensione 23 ha la forma, dimensione 31 ha la forma, dimensione 14 ha la forma, ecc.

Una matrice in cui il numero di righe è uguale al numero di colonne è detta quadrata. In questo caso, come per i determinanti, si parla di ordine della matrice.

Ad esempio, una matrice numerica del 3° ordine ha la forma

Tipi di matrici

Una matrice composta da una riga è detta matrice di righe

Una matrice composta da una colonna è detta matrice di colonne

La matrice si chiama quadrata N-esimo ordine se il numero delle sue righe è uguale al numero di colonne ed è uguale a N.

Ad esempio, una matrice quadrata di 3° ordine.

Una matrice diagonale è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi sono nulli tranne quelli sulla diagonale principale. La diagonale principale è la diagonale che va dall'angolo in alto a sinistra all'angolo in basso a destra.

Ad esempio, una matrice diagonale del terzo ordine.

Una matrice diagonale, i cui elementi sono tutti uguali a uno, è chiamata identità ed è denotata dalla lettera E o il numero 1

Una matrice nulla è una matrice in cui tutti gli elementi sono uguali a zero.

Una matrice triangolare superiore è una matrice in cui tutti gli elementi situati al di sotto della diagonale principale sono uguali a zero.

Una matrice triangolare inferiore è una matrice in cui tutti gli elementi situati sopra la diagonale principale sono uguali a zero.

Per esempio

Matrice triangolare superiore

Matrice triangolare inferiore

Se nella matrice UN scambiando righe con colonne, otteniamo una matrice trasposta, che è denotata dal simbolo UN*.

Ad esempio, data una matrice,

matrice trasposta rispetto ad essa UN*

Matrice quadrata UN ha un determinante, che è indicato con det UN(det è una parola francese abbreviata per "determinante").

Ad esempio, per la matrice UN

scriviamo il suo determinante

Tutte le operazioni con il determinante di una matrice sono le stesse discusse in precedenza.

Una matrice il cui determinante è uguale a zero è detta speciale, o degenere, o singolare. Una matrice per la quale il suo determinante non è uguale a zero si dice non singolare o non singolare.

Unione o matrice allegata.

Se per una data matrice quadrata UN determinare i complementi algebrici di tutti i suoi elementi e poi trasporli, allora la matrice così ottenuta si chiamerà alleata o aggiunta alla matrice UN ed è indicato dal simbolo UN

Per una matrice trovare UN.

Compilazione del determinante della matrice UN

Determiniamo i complementi algebrici di tutti gli elementi del determinante usando la formula

Trasponendo i complementi algebrici risultanti, otteniamo la matrice alleata o aggiunta UN rispetto ad una determinata matrice UN.

Azioni sulle matrici

Uguaglianza di matrice

Due matrici UN E IN sono considerati uguali se:

a) hanno entrambi la stessa dimensione;

b) gli elementi corrispondenti di queste matrici sono uguali tra loro. Gli elementi corrispondenti sono elementi con gli stessi indici.

Addizione e sottrazione di matrici

È possibile aggiungere e sottrarre solo matrici della stessa dimensione. La somma (differenza) di due matrici UN E IN ci sarà una terza matrice CON, i cui elementi CON ij uguale alla somma (differenza) dei corrispondenti elementi della matrice UN E IN. Secondo la definizione, elementi di matrice CON sono secondo la regola.

Ad esempio, se

Il concetto di somma (differenza) di matrici si estende a qualsiasi numero finito di matrici. In questo caso, la somma delle matrici obbedisce alle seguenti leggi:

a) commutativo A + B = B + A;

b) associativo CON + (A+B) = (B+C)+A.

Moltiplicazione di una matrice per un numero.

Per moltiplicare una matrice per un numero, devi moltiplicare ogni elemento della matrice per quel numero.

Conseguenza. Il fattore comune di tutti gli elementi della matrice può essere estratto dal segno della matrice.

Per esempio, .

Come puoi vedere, le azioni di addizione, sottrazione di matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero sono simili alle azioni sui numeri. La moltiplicazione di matrici è un'operazione specifica.

Prodotto di due matrici.

Non tutte le matrici possono essere moltiplicate. Prodotto di due matrici UN E IN nell'ordine elencato UN IN possibile solo quando il numero di colonne del primo fattore UN uguale al numero di righe del secondo fattore IN.

Per esempio, .

Dimensione della matrice UN 33, dimensione della matrice IN 23. Lavoro UN IN impossibile, lavoro IN UN Forse.

Il prodotto di due matrici A e B è la terza matrice C, il cui elemento C ij è uguale alla somma dei prodotti a coppie degli elementi della i-esima riga del primo fattore e della j-esima colonna del secondo fattore.

È stato dimostrato che in questo caso è possibile il prodotto di matrici IN UN

Dalla regola di esistenza del prodotto di due matrici segue che il prodotto di due matrici nel caso generale non obbedisce alla legge commutativa, cioè UN IN? IN UN. Se in un caso particolare risulta così UN B = B UN, allora tali matrici si dicono permutabili o commutative.

Nell'algebra delle matrici, il prodotto di due matrici può essere una matrice zero anche quando nessuna delle matrici dei fattori è zero, contrariamente all'algebra ordinaria.

Ad esempio, troviamo il prodotto di matrici UN IN, Se

Puoi moltiplicare più matrici. Se sai moltiplicare le matrici UN, IN e il prodotto di queste matrici può essere moltiplicato per la matrice CON, allora è possibile comporre il prodotto ( UN IN) CON E UN(IN CON). In questo caso vale la legge combinatoria relativa alla moltiplicazione ( UN IN) CON = UN(IN CON).

matrice inversa

Se due matrici UN E IN la stessa dimensione e il loro prodotto UN INè la matrice identità E, allora la matrice B è detta inversa di A e si denota UN -1 , cioè. UN UN -1 =E.

matrice inversa UN -1 uguale al rapporto della matrice di unione UN al determinante della matrice UN

Da ciò è chiaro che affinché esista la matrice inversa UN -1 è necessario e sufficiente che la matrice det UN? 0, cioè in modo che la matrice UN non era degenerato.

Per una matrice trovare UN -1 .

Determinazione del valore del determinante della matrice UN

Perché det UN? 0, esiste la matrice inversa. Nell'esempio 2.1. per un dato determinante è stata trovata la matrice alleata

A-prior

Rango della matrice

Per risolvere e studiare una serie di problemi matematici e applicati, il concetto di rango di matrice è importante.

Considera la matrice UN misurare M N

Seleziona in modo casuale nella matrice UNK linee e K colonne. Gli elementi situati all'intersezione delle righe e delle colonne selezionate formano una matrice quadrata K-di quell'ordine. Il determinante di questa matrice è chiamato minore K-ordine della matrice A. Seleziona K linee e K le colonne possono essere utilizzate in modi diversi, risultando in minori diversi K-di quell'ordine. I minori del 1° ordine sono gli elementi stessi. Ovviamente, l'ordine minore possibile è uguale al più piccolo dei numeri M E N. Fra i minori formati di ordine diverso ci saranno quelli uguali a zero e quelli non uguali a zero.

Ordine più alto dei minori di matrice diversi da zero UNè chiamato rango della matrice.

Rango della matrice UN indicato con il grado UN oppure r( UN).

Se il rango della matrice UN equivale R, allora questo significa che la matrice ha un ordine minore diverso da zero R, ma ogni minore è di ordine maggiore di R uguale a zero.

Dalla definizione di rango di matrice segue che:

a) rango della matrice UN M N non supera la più piccola delle sue dimensioni, cioè R(UN) ? min(m, n);

B) R(UN) = 0 se e solo se tutti gli elementi della matrice sono uguali a zero, cioè UN = 0;

c) per una matrice quadrata N-esimo ordine R(UN) = N, se la matrice è non singolare.

Consideriamo un esempio per determinare il rango di una matrice utilizzando il metodo dei minori confinanti. La sua essenza sta nell'enumerare sequenzialmente i minori della matrice e trovare il minore di ordine più alto diverso da zero.

Calcolare il rango della matrice.

Per matrice UN 3 4 R(UN) ? min (3,4) = 3. Controlliamo se il rango della matrice è pari a 3, per fare questo calcoliamo tutti i minori del terzo ordine (sono solo 4, si ottengono eliminandone uno delle colonne della matrice).

Poiché tutti i minori del terzo ordine sono zero, R(UN) ? 2. Poiché esiste uno zero minore del secondo ordine, ad esempio

Quello R(UN) = 2.

Qualsiasi minore diverso da zero di una matrice il cui ordine è uguale al suo rango è chiamato base minore di questa matrice.

Una matrice può avere più di una base minore, ma diverse. Tuttavia, gli ordini di tutte le basi minori sono uguali e uguali al rango della matrice.

Le righe e le colonne che formano una base minore si chiamano base.

Ogni riga (colonna) di una matrice è una combinazione lineare delle righe (colonne) di base.

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Determinanti del secondo e terzo ordine.

Si chiamano i numeri m e n dimensioni matrici.

La matrice si chiama piazza, se m = n. Il numero n in questo caso viene chiamato al fine matrice quadrata.

Ad ogni matrice quadrata può essere associato un numero determinato univocamente utilizzando tutti gli elementi della matrice. Questo numero è chiamato determinante.

Determinante del secondo ordineè un numero ottenuto utilizzando gli elementi di una matrice quadrata del 2° ordine come segue: .

In questo caso, dal prodotto degli elementi posti sulla cosiddetta diagonale principale della matrice (andando dall'angolo in alto a sinistra fino all'angolo in basso a destra), viene sottratto il prodotto degli elementi posti sulla seconda diagonale, o secondaria. .

Determinante del terzo ordineè un numero determinato utilizzando gli elementi di una matrice quadrata del 3° ordine come segue:

Commento. Per rendere più facile ricordare questa formula, puoi utilizzare la cosiddetta regola di Cramer (triangoli). È così: gli elementi i cui prodotti sono compresi nel determinante con il segno “+” sono così disposti:

Formare due triangoli, simmetrici rispetto alla diagonale principale. Gli elementi i cui prodotti sono inclusi nel determinante con il segno “-” si trovano in modo simile rispetto alla diagonale secondaria:

14. Determinanti del IV ordine. (determinanti di ordine superiore)

Determinante n ordine corrispondente alla matrice no, il numero si chiama:

Metodi di base per il calcolo dei determinanti:

1) Metodo di riduzione dell'ordine Il determinante si basa sulla relazione: (1)

Dove è detto complemento algebrico dell'elemento th. Minore l'esimo elemento è detto determinante n-1 ordine, ottenuto dal determinante originale mediante eliminazione io-quella linea e J esima colonna.

La relazione (1) è detta espansione del determinante in io-quella linea. Allo stesso modo possiamo scrivere lo sviluppo del determinante lungo una colonna:

Teorema: Per qualsiasi matrice quadrata vale l'uguaglianza ,

dove e è il simbolo Kronecker

2) Metodo di riduzione alla forma triangolare si basa sulla settima proprietà dei determinanti.

Esempio: Calcola il determinante: sottrai la prima riga da tutte le altre.

3) Metodo delle relazioni ricorrenti permette di esprimere un dato determinante attraverso un determinante dello stesso tipo, ma di ordine inferiore.

Permutazioni, inversioni.

Qualsiasi disposizione dei numeri 1, 2, ..., N in un ordine specifico, chiamato riarrangiamento da N caratteri (numeri).

Vista generale della permutazione: .

Nessuno di essi ricorre due volte in una permutazione.

Si chiama la permutazione Anche , se i suoi elementi costituiscono un numero pari di inversioni, e strano Altrimenti.

I numeri k e p nella permutazione sono inversione (disturbo), se k > p, ma k viene prima di p in questa permutazione.

Tre proprietà delle permutazioni.

Proprietà 1: Il numero di diverse permutazioni è uguale a ( , si legge: “ N fattoriale").

Prova. Il numero di permutazioni coincide con il numero di modi in cui si possono comporre diverse permutazioni. Quando si compongono permutazioni come J 1 puoi prendere uno qualsiasi dei numeri 1, 2, ..., N, cosa dà N opportunità. Se J 1 è già selezionato, quindi come J 2 puoi prenderne uno dei rimanenti N– 1 numeri e il numero di modi che puoi scegliere J 1 e J 2 sarà uguale, ecc. L'ultimo numero nella permutazione può essere scelto solo in un modo, il che dà modi e quindi permutazioni.

Proprietà 2: Ogni trasposizione cambia la parità della permutazione.

Prova.Caso 1. I numeri trasposti sono in permutazione uno accanto all'altro, cioè sembra (..., K,P, ...), qui i puntini di sospensione (...) contrassegnano i numeri che rimangono al loro posto durante la trasposizione. La trasposizione lo trasforma in una permutazione della forma (..., P, K,...). In queste permutazioni, ciascuno dei numeri K,R fa le stesse inversioni con i numeri rimasti al loro posto. Se i numeri K E P non hanno precedentemente compilato inversioni (ad es. K < R), quindi apparirà un'altra inversione nella nuova permutazione e il numero di inversioni aumenterà di uno; Se K E R costituito un'inversione, quindi dopo la trasposizione il numero delle inversioni diminuirà di uno. In ogni caso cambia la parità della permutazione.

Proprietà 3: Quando riorganizzato, il determinante cambia segno.

17. Proprietà dei determinanti: determinante di una matrice trasposta, scambio di righe nel determinante, determinante di una matrice con righe identiche.

Proprietà 1. Il determinante non cambia durante la trasposizione, cioè

Prova.

Commento. Le seguenti proprietà dei determinanti verranno formulate solo per le stringhe. Inoltre dalla proprietà 1 consegue che le colonne avranno le stesse proprietà.

Proprietà 6. Quando si riorganizzano due righe di un determinante, viene moltiplicato per –1.

Prova.

Proprietà 4. Il determinante avente due stringhe uguali è 0:

Prova:

18. Proprietà dei determinanti: scomposizione di un determinante in una stringa.

Minore L'elemento di un determinante è un determinante ottenuto da un dato elemento cancellando la riga e la colonna in cui appare l'elemento selezionato.

Designazione: l'elemento selezionato del determinante, il suo minore.

Esempio. Per

Complemento algebrico L'elemento del determinante è chiamato minore se la somma degli indici di questo elemento i+j è un numero pari, o il numero opposto al minore se i+j è dispari, cioè

Consideriamo un altro modo per calcolare i determinanti del terzo ordine: la cosiddetta espansione di riga o colonna. Per fare ciò dimostriamo il seguente teorema:

Teorema: Il determinante è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi delle sue righe o colonne e dei loro complementi algebrici, cioè: dove i=1,2,3.

Prova.

Dimostriamo il teorema per la prima riga del determinante, poiché per qualsiasi altra riga o colonna si può fare un ragionamento simile e ottenere lo stesso risultato.

Troviamo i complementi algebrici agli elementi della prima riga:

Puoi dimostrare tu stesso questa proprietà confrontando i valori dei lati sinistro e destro dell'uguaglianza trovata utilizzando la Definizione 1.5.

Scuola secondaria n. 45.

Città di Mosca.

Studente del 10° grado “B” Gorokhov Evgeniy

Corsi (bozza).

Introduzione alla teoria delle matrici e dei determinanti .

1996

1. Matrici.

1.1 Il concetto di matrice.

Matrice è una tabella rettangolare di numeri contenente una certa quantità M linee e un certo numero N colonne. Numeri M E N sono chiamati ordini matrici. Se M = N , la matrice è detta quadrata e il numero m = n - suo al fine .

1.2 Operazioni fondamentali sulle matrici.

Le operazioni aritmetiche di base sulle matrici sono la moltiplicazione di una matrice per un numero, l'addizione e la moltiplicazione di matrici.

Passiamo alla definizione delle operazioni base sulle matrici.

Addizione di matrici : La somma di due matrici, ad esempio: UN E B , aventi lo stesso numero di righe e colonne, in altre parole, gli stessi ordini M E N chiamata matrice C = ( CON ij )( io = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) gli stessi ordini M E N , elementi Cij che sono uguali.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) ( 1.2 )

Per denotare la somma di due matrici, viene utilizzata la notazione C = A+B. L'operazione di somma delle matrici è chiamata loro aggiunta

Quindi per definizione abbiamo:

+ =

=

Dalla definizione di somma di matrici, o più precisamente dalla formula ( 1.2 ) ne consegue immediatamente che l'operazione di somma di matrici ha le stesse proprietà dell'operazione di somma di numeri reali, vale a dire:

proprietà commutativa: A + B = B + A

proprietà che combina: (A + B) + C = A + (B + C)

Queste proprietà consentono di non preoccuparsi dell'ordine dei termini della matrice quando si sommano due o più matrici.

Moltiplicazione di una matrice per un numero :

Prodotto a matrice ad un numero reale chiamata matrice C = (Cij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , i cui elementi sono uguali

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). ( 1.3 )

Per denotare il prodotto di una matrice e un numero, viene utilizzata la notazione C= UN O C=A . L'operazione di comporre il prodotto di una matrice per un numero si chiama moltiplicazione della matrice per questo numero.

Direttamente dalla formula ( 1.3 ) è chiaro che moltiplicare una matrice per un numero ha le seguenti proprietà:

proprietà distributiva relativa alla somma di matrici:

( A + B) = A+ B

proprietà associativa rispetto ad un fattore numerico:

( ) A= ( UN)

proprietà distributiva relativa alla somma dei numeri:

( + ) A= UN + UN .

Commento : Differenza di due matrici UN E B di ordini identici è naturale chiamare tale matrice C degli stessi ordini, che in somma con la matrice B dà una matrice UN . Per indicare la differenza tra due matrici, viene utilizzata una notazione naturale: C = A-B.

Moltiplicazione di matrici :

Prodotto a matrice A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , aventi ordini rispettivamente uguali M E N , per matrice B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , aventi ordini rispettivamente uguali N E P , è detta matrice C= (CON ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , avendo ordini corrispondentemente uguali M E P ed elementi Cij , definito dalla formula

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) ( 1.4 )

Per denotare il prodotto di una matrice UN alla matrice B utilizzare la registrazione

C=AB . L'operazione di comporre un prodotto a matrice UN alla matrice B chiamato moltiplicazione queste matrici. Dalla definizione sopra formulata risulta che matrice UN non può essere moltiplicato per nessuna matrice B : è necessario che il numero di colonne della matrice UN era equivale numero di righe della matrice B . In ordine per entrambi i lavori AB E BA non solo erano definite, ma avevano anche lo stesso ordine, è necessario e sufficiente che entrambe le matrici UN E B erano matrici quadrate dello stesso ordine.

Formula ( 1.4 ) è una regola per la composizione degli elementi della matrice C ,

che è il prodotto della matrice UN alla matrice B . Questa regola può essere formulata verbalmente: Elemento Cij , in piedi all'incrocio io th linea e J- esima colonna della matrice C=AB , è uguale la somma dei prodotti a coppie degli elementi corrispondenti io th linea matrici UN E J- esima colonna della matrice B . Come esempio dell'applicazione di questa regola, presentiamo la formula per moltiplicare le matrici quadrate del secondo ordine

=

Dalla formula ( 1.4 ) seguono le seguenti proprietà del prodotto matrice: UN alla matrice B :

proprietà associativa: ( AB)C = A(BC);

proprietà distributiva rispetto alla somma di matrici:

(A + B) C = AC + BC O A(B+C) = AB+AC.

Ha senso sollevare la questione della proprietà di permutazione di un prodotto di matrici solo per matrici quadrate dello stesso ordine. Esempi elementari lo dimostrano prodotti di due matrici quadrate dello stesso ordine non ha, in generale, la proprietà di commutazione. Infatti, se mettiamo

A= , B = , Quello AB = , UN BA =

Solitamente vengono chiamate le stesse matrici per le quali il prodotto ha la proprietà di commutazione pendolarismo.

Tra le matrici quadrate segnaliamo la classe delle cosiddette diagonale matrici, ciascuna delle quali ha elementi situati all'esterno della diagonale principale pari a zero. Tra tutte le matrici diagonali con elementi coincidenti sulla diagonale principale, due matrici svolgono un ruolo particolarmente importante. La prima di queste matrici si ottiene quando tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali a uno, ed è detta matrice identità N- E . La seconda matrice si ottiene con tutti gli elementi uguali a zero e si chiama matrice zero N- ordine ed è indicato dal simbolo O . Supponiamo che esista una matrice arbitraria UN , Poi

AE=EA=A , AO=OA=O .

La prima delle formule caratterizza il ruolo speciale della matrice identità E , simile al ruolo svolto dal numero 1 quando si moltiplicano numeri reali. Per quanto riguarda il ruolo speciale della matrice zero DI , allora è rivelato non solo dalla seconda delle formule, ma anche da un'uguaglianza elementare verificabile: A+O=O+A=A . Il concetto di matrice zero può essere introdotto non per matrici quadrate.

2. Determinanti.

2.1 Il concetto di determinante.

Innanzitutto bisogna ricordare che i determinanti esistono solo per matrici di tipo quadrato, perché non esistono determinanti per matrici di altro tipo. Nella teoria dei sistemi di equazioni lineari e in alcune altre questioni è conveniente utilizzare il concetto determinante , O determinante .

2.2 Calcolo dei determinanti.

Considera quattro numeri qualsiasi scritti sotto forma di matrice due in fila e ciascuno due colonne , Determinante O determinante , composto dai numeri in questa tabella, è il numero ad-bc , indicato come segue: . Un tale determinante si chiama determinante del secondo ordine , poiché per compilarla è stata utilizzata una tabella di due righe e due colonne. I numeri che compongono il determinante sono chiamati suoi elementi ; allo stesso tempo dicono che gli elementi UN E D trucco diagonale principale determinante e gli elementi B E C il suo diagonale laterale . Si può vedere che il determinante è uguale alla differenza dei prodotti di coppie di elementi situati sulle sue diagonali principale e secondaria. Il determinante del terzo e qualsiasi altro ordine è approssimativamente lo stesso, vale a dire: Diciamo di avere una matrice quadrata . Il determinante della seguente matrice è la seguente espressione: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Come puoi vedere, viene calcolato abbastanza facilmente se ricordi una determinata sequenza. Con segno positivo sono la diagonale principale e i triangoli formati dagli elementi, che hanno il lato parallelo alla diagonale principale, in questo caso si tratta di triangoli a12a23a31 , a13a21a32 .

La diagonale laterale e i triangoli ad essa paralleli hanno segno negativo, cioè a11a23a32, a12a21a33 . In questo modo si possono trovare determinanti di qualsiasi ordine. Ma ci sono casi in cui questo metodo diventa piuttosto complicato, ad esempio, quando ci sono molti elementi nella matrice e per calcolare il determinante è necessario dedicare molto tempo e attenzione.

Esiste un modo più semplice per calcolare il determinante N- oh ordine, dove N 2 . Accettiamo di chiamare qualsiasi elemento minore Aij matrici N- determinante del primo ordine corrispondente alla matrice ottenuta dalla matrice come risultato dell'eliminazione io th linea e J- -esima colonna (quella riga e quella colonna all'intersezione delle quali c'è un elemento Aij ). Elemento minore Aij indicheremo con il simbolo . In questa notazione, l'indice superiore indica il numero di riga, l'indice inferiore il numero di colonna e la barra sopra M significa che la riga e la colonna specificate sono barrate. Determinante dell'ordine N , corrispondente alla matrice, chiamiamo il numero uguale a e indicato dal simbolo .

Teorema 1.1 Qualunque sia il numero di riga io ( i =1, 2…, n) , per il determinante N- vale la formula del primo ordine di grandezza

= det A =

chiamato io- th linea . Sottolineiamo che in questa formula l'esponente a cui viene elevato il numero (-1) è uguale alla somma dei numeri di riga e colonna all'intersezione dei quali si trova l'elemento Aij .

Teorema 1.2 Qualunque sia il numero della colonna J ( j =1, 2…, n) , per il determinante N è valida la formula dell'esimo ordine

= det A =

chiamato espansione di questo determinante in J- esima colonna .

2.3 Proprietà fondamentali dei determinanti.

I determinanti hanno anche proprietà che rendono più semplice il compito di calcolarli. Quindi, di seguito stabiliamo una serie di proprietà che ha un determinante arbitrario N -esimo ordine.

1 . Proprietà di uguaglianza righe-colonne . Trasposizione di qualsiasi matrice o determinante è un'operazione in seguito alla quale le righe e le colonne vengono scambiate mantenendo il loro ordine. Come risultato della trasposizione della matrice UN la matrice risultante è detta matrice, detta trasposta rispetto alla matrice UN ed è indicato dal simbolo UN .

La prima proprietà del determinante è formulata come segue: durante la trasposizione, il valore del determinante viene preservato, cioè = .

2 . Proprietà antisimmetrica quando si riorganizzano due righe (o due colonne) . Quando due righe (o due colonne) vengono scambiate, il determinante mantiene il suo valore assoluto, ma cambia segno in quello opposto. Per un determinante del secondo ordine, questa proprietà può essere verificata in modo elementare (dalla formula per calcolare il determinante del secondo ordine segue immediatamente che i determinanti differiscono solo per il segno).

3 . Proprietà lineare del determinante. Diremo che una stringa ( UN) è una combinazione lineare delle altre due stringhe ( B E C ) con coefficienti E . La proprietà lineare può essere formulata come segue: se nel determinante N -esimo ordine Alcuni io La -esima riga è una combinazione lineare di due righe con coefficienti E , Quello = + , Dove

– determinante che ha io La -esima riga è uguale a una delle due righe della combinazione lineare e tutte le altre righe sono uguali a , UN - un determinante che ha io- i stringa è uguale alla seconda delle due stringhe e tutte le altre stringhe sono uguali a .

Queste tre proprietà sono le proprietà principali del determinante, rivelandone la natura. Le seguenti cinque proprietà sono conseguenze logiche tre proprietà principali.

Corollario 1. Un determinante con due righe (o colonne) identiche è uguale a zero.

Corollario 2. Moltiplicare tutti gli elementi di una riga (o di una colonna) di un determinante per un numero UN equivale a moltiplicare il determinante per questo numero UN . In altre parole, il fattore comune di tutti gli elementi di una certa riga (o colonna) di un determinante può essere tolto dal segno di questo determinante.

Corollario 3. Se tutti gli elementi di una determinata riga (o di una colonna) sono uguali a zero, allora il determinante stesso è uguale a zero.

Corollario 4. Se gli elementi di due righe (o due colonne) di un determinante sono proporzionali, allora il determinante è uguale a zero.

Corollario 5. Se agli elementi di una certa riga (o qualche colonna) del determinante aggiungiamo gli elementi corrispondenti di un'altra riga (un'altra colonna), moltiplicazione per un fattore arbitrario , allora il valore del determinante non cambia. Il corollario 5, come la proprietà lineare, consente una formulazione più generale, che darò per le stringhe: se agli elementi di una certa riga di un determinante aggiungiamo i corrispondenti elementi di una stringa che è una combinazione lineare di più altre righe di questo determinante (con qualsiasi coefficiente), il valore del determinante non cambierà. Il corollario 5 è ampiamente utilizzato nel calcolo concreto dei determinanti.

3. Sistemi di equazioni lineari.

3.1 Definizioni di base.

…….

3.2 Condizione di compatibilità di sistemi di equazioni lineari.

…….

3.3 Risoluzione di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo Cramer.

È noto che utilizzando le matrici possiamo risolvere vari sistemi di equazioni e questi sistemi possono essere di qualsiasi dimensione e avere qualsiasi numero di variabili. Con poche derivazioni e formule, risolvere enormi sistemi di equazioni diventa abbastanza veloce e semplice.

In particolare descriverò i metodi di Cramer e Gauss. Il modo più semplice è il metodo Cramer (per me), o come viene anche chiamata, la formula Cramer. Quindi, diciamo che abbiamo un sistema di equazioni . La determinante principale, come hai già notato, è una matrice composta dai coefficienti delle variabili. Appaiono anche in ordine di colonna, cioè la prima colonna contiene i coefficienti che si trovano in X , nella seconda colonna a sì , e così via. Questo è molto importante, perché nei passaggi successivi sostituiremo ciascuna colonna di coefficienti di una variabile con una colonna di risposte di equazioni. Quindi, come ho detto, sostituiamo la colonna della prima variabile con la colonna della risposta, poi della seconda, ovviamente tutto dipende da quante variabili dobbiamo trovare.

1 = , 2 = , 3 = .

Quindi è necessario trovare i determinanti determinante del sistema .

3.4 Risoluzione di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss.

…….

4. Matrice inversa.

4.1 Il concetto di matrice inversa.

4.2 Calcolo della matrice inversa.

Bibliografia.

V. A. Ilyin, E. G. Poznyak “Algebra lineare”

2. G. D. Kim, E. V. Shikin “Trasformazioni elementari nell'algebra lineare”

Argomento 1. Matrici e determinanti di matrice

Cosa impariamo:

Concetti base di algebra lineare: matrice, determinante.

Cosa impareremo:

Eseguire operazioni su matrici;

Calcoli con determinanti del secondo e del terzo ordine.

Argomento 1.1. Il concetto di matrice. Azioni sulle matrici

∆ Matrice è una tabella rettangolare composta da righe e colonne, riempita con alcuni oggetti matematici.

Le matrici sono indicate in lettere latine maiuscole, la tabella stessa è racchiusa tra parentesi (meno spesso in forme quadrate o di altro tipo).

Elementi UN ij chiamato elementi della matrice . Primo indice io– numero di riga, secondoJ– numero di colonna. Molto spesso gli elementi sono numeri.

Voce "matrice" UN ha la dimensione M× N» significa che stiamo parlando di una matrice composta daM linee e N colonne.

Se M = 1, a N > 1, allora la matrice èmatrice - riga . Se M > 1, a N = 1, allora la matrice èmatrice - colonna .

Una matrice in cui il numero di righe coincide con il numero di colonne (m=n), chiamato piazza .

.

Elementi UN 11 , UN 22 ,…, UN nn matrice quadrataUN (misurare N× N) modulo diagonale principale , elementi UN 1 N , UN 2 N -1 ,…, UN N 1 - diagonale laterale .

Nella matrice
elementi 5; 7 formano la diagonale principale, elementi –5; 8 – diagonale laterale.

Matrici UN E B sono chiamati pari (UN= B), se hanno la stessa dimensione e i loro elementi nelle stesse posizioni coincidono, cioèUN ij = b ij .

Matrice identità è una matrice quadrata in cui gli elementi della diagonale principale sono uguali a uno e gli elementi rimanenti sono uguali a zero. La matrice identità è solitamente indicata con E.

Matrice trasposto alla matrice A di dimensioneM× N, è detta matrice A Taglia T N× M, ottenuto dalla matrice A, se le sue righe sono scritte in colonne e le sue colonne in righe.

Operazioni aritmetiche sulle matrici.

Trovare somma di matrici UN E B della stessa dimensione, è necessario aggiungere elementi con gli stessi indici (che stanno negli stessi posti):

.

L'addizione di matrici è commutativa, cioè A + B = B + A.

Trovare differenza di matrice UN E B della stessa dimensione, è necessario trovare la differenza di elementi con gli stessi indici:

.

A matrice di moltiplicazione UNper numero K, È necessario moltiplicare ciascun elemento della matrice per questo numero:

.

Lavoro matrici AB può essere definito solo per le matriciUN misurare M× N E B misurare N× P, cioè. numero di colonne della matriceUN deve essere uguale al numero di righe della matriceIN. In cui UN· B= C, matrice C ha la dimensione M× P, e il suo elemento C ij si trova come prodotto scalareioth righe della matrice UN SU Jth colonna della matriceB: ( io=1,2,…, M; J=1,2,…, P).

!! In realtà ogni riga è necessaria matrici UN (in piedi a sinistra) moltiplicare scalarmente per ciascuna colonna della matrice B (in piedi a destra).

Il prodotto di matrici non è commutativoА·В ≠ В·А . ▲

☺ È necessario analizzare esempi per consolidare il materiale teorico.

Esempio 1. Determinazione della dimensione delle matrici.

Esempio 2. Definizione di elementi di matrice.

Nell'elemento matrice UN 11 = 2, UN 12 = 5, UN 13 = 3.

Nell'elemento matrice UN 21 = 2, UN 13 = 0.

Esempio 3: esecuzione della trasposizione di matrice.

,

Esempio 4. Esecuzione di operazioni su matrici.

Trovare 2 UN- B, Se , .

Soluzione. .

Esempio 5. Trova il prodotto delle matrici E .

Soluzione. Dimensione della matriceUN – 3 × 2 , matrici IN – 2 × 2 . Quindi il prodottoA·B Puoi trovarlo. Noi abbiamo:

Lavoro VA non può essere trovato.

Esempio 6. Trova UN 3 se UN =
.

Soluzione. UN 2 = ·=
=
,

UN 3 = ·=
=
.

Esempio 6. Trova 2 UN 2 + 3 UN + 5 E A
,
.

Soluzione. ,

,
,

,
.

Compiti da completare

1. Compila la tabella.

2. Eseguire operazioni sulle matrici
E
:

3. Esegui la moltiplicazione di matrici:

4. Trasporre matrici:

? 1. Cos'è una matrice?

2. Come distinguere una matrice da altri elementi dell'algebra lineare?

3. Come determinare la dimensione della matrice? Perché è necessario?

4. Cosa significa la voce? UN ij ?

5. Fornire una spiegazione dei seguenti concetti: diagonale principale, diagonale secondaria della matrice.

6. Quali operazioni si possono eseguire sulle matrici?

7. Spiegare l'essenza dell'operazione di moltiplicazione di matrici?

8. È possibile moltiplicare qualsiasi matrice? Perché?

Argomento 1.2. Determinanti del secondo e terzo ordine : M metodi per il loro calcolo

∆ Se A è una matrice quadrata N-esimo ordine, allora possiamo associargli un numero chiamato determinante ennesimo ordine e indicato con |A|. Cioè, il determinante è scritto come una matrice, ma invece delle parentesi è racchiuso tra parentesi dritte.

!! A volte i determinanti sono chiamati determinanti alla maniera inglese = punto A.

Determinante del 1° ordine (determinante della matrice A di dimensione1 × 1 ) è l'elemento stesso che la matrice A contiene, cioè.

Determinante del 2° ordine (determinante della matrice Una dimensione 2 × 2 ) è un numero che può essere trovato utilizzando la regola:

(il prodotto degli elementi sulla diagonale principale della matrice meno il prodotto degli elementi sulla diagonale secondaria).

Determinante del 3° ordine (determinante della matrice Una dimensione 3 × 3 ) è un numero che può essere trovato utilizzando la regola dei “triangoli”:

Per calcolare i determinanti del 3o ordine, puoi utilizzare una regola più semplice: la regola delle direzioni (linee parallele).

Regola delle direzioni : Con alle prime due colonne si aggiunge la destra del determinante, i prodotti degli elementi sulla diagonale principale e sulle diagonali ad essa parallele si prendono con il segno più; e i prodotti degli elementi della diagonale secondaria e delle diagonali ad essa parallele hanno segno meno.

!! Per calcolare i determinanti, puoi utilizzare le loro proprietà, che sono valide per i determinanti di qualsiasi ordine.

Proprietà dei determinanti:

1° . Il determinante della matrice A non cambia durante la trasposizione, cioè |A| = |A T |. Questa proprietà caratterizza l'uguaglianza di righe e colonne.

2° . Quando si riorganizzano due righe (due colonne), il determinante mantiene il suo valore precedente, ma il segno viene invertito.

4° . Se una riga o una colonna contiene un fattore comune, è possibile eliminarlo dal segno determinante.

Corollario 4.1. Se tutti gli elementi di una qualsiasi serie di un determinante sono uguali a zero, allora il determinante è uguale a zero.

Corollario 4.2. Se gli elementi di una qualsiasi serie di un determinante sono proporzionali ai corrispondenti elementi di una serie ad essa parallela, allora il determinante è uguale a zero.▲

☺ È necessario analizzare le regole per il calcolo dei determinanti.

Esempio 1: Calcolodeterminanti del secondo ordine,
.

Soluzione.

Scuola secondaria n. 45.

Città di Mosca.

Studente del 10° grado “B” Gorokhov Evgeniy

Corsi (bozza).

Introduzione alla teoria delle matrici e dei determinanti .

1. Matrici................................................ .................................................... .................................... .......................

1.1 Concetto di matrice............................................ ...................................................... ....................................................

1.2 Operazioni fondamentali sulle matrici............................................... ...................................................... ............. .

2. Determinanti................................................ .................................................... .................................... ........

2.1 Il concetto di determinante............................................ ............................................................ ............................................

2.2 Calcolo dei determinanti............................................ ...................................................... ....................

2.3 Proprietà fondamentali dei determinanti................................................ ...................................................... .............

3. Sistemi di equazioni lineari............................................ ............................................................ .............. .

3.1 Definizioni di base................................................ .................................................... ........................................

3.2 Condizione di coerenza per sistemi di equazioni lineari............................................ ........................

3.3 Risoluzione di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Cramer................................. ...........................

3.4 Risoluzione di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo gaussiano................................ ...............................

4. Matrice inversa................................................ ...................................................... ....................................................

4.1 Concetto di matrice inversa............................................ ...................................................... ............. ................

4.2 Calcolo della matrice inversa............................................ ............................................................ .............. ........

Bibliografia............................................... .................................................... .....................................

Matrice è una tabella rettangolare di numeri contenente una certa quantità M linee e un certo numero N colonne. Numeri M E N sono chiamati ordini matrici. Se M = N , la matrice è detta quadrata e il numero m = n -- suo al fine .

Le operazioni aritmetiche di base sulle matrici sono la moltiplicazione di una matrice per un numero, l'addizione e la moltiplicazione di matrici.

Passiamo alla definizione delle operazioni base sulle matrici.

Addizione di matrici: La somma di due matrici, ad esempio: UN E B , aventi lo stesso numero di righe e colonne, in altre parole, gli stessi ordini M E N chiamata matrice C = ( CON ij )( io = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) gli stessi ordini M E N , elementi Cij che sono uguali.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Per denotare la somma di due matrici, viene utilizzata la notazione C = A+B. L'operazione di somma delle matrici è chiamata loro aggiunta

Quindi per definizione abbiamo:

+ =

=

Dalla definizione di somma di matrici, o più precisamente dalla formula ( 1.2 ) ne consegue immediatamente che l'operazione di somma di matrici ha le stesse proprietà dell'operazione di somma di numeri reali, vale a dire:

1) proprietà commutativa: A + B = B + A

2) proprietà che combina: (A + B) + C = A + (B + C)

Queste proprietà consentono di non preoccuparsi dell'ordine dei termini della matrice quando si sommano due o più matrici.

Moltiplicazione di una matrice per un numero :

Prodotto a matrice poiché un numero reale è chiamato matrice C = (Cij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , i cui elementi sono uguali

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Per denotare il prodotto di una matrice e un numero, viene utilizzata la notazione C= UN O C=A . L'operazione di comporre il prodotto di una matrice per un numero si chiama moltiplicazione della matrice per questo numero.

Direttamente dalla formula ( 1.3 ) è chiaro che moltiplicare una matrice per un numero ha le seguenti proprietà:

1) proprietà distributiva relativa alla somma di matrici:

( A + B) = A+ B

2) proprietà associativa rispetto ad un fattore numerico:

() A= ( UN)

3) proprietà distributiva relativa alla somma dei numeri:

( + ) A= UN + UN .

Commento :Differenza di due matrici UN E B di ordini identici è naturale chiamare tale matrice C degli stessi ordini, che in somma con la matrice B dà una matrice UN . Per indicare la differenza tra due matrici, viene utilizzata una notazione naturale: C = A-B.

Moltiplicazione di matrici :

Prodotto a matrice A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , aventi ordini rispettivamente uguali M E N , per matrice B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , aventi ordini rispettivamente uguali N E P , è detta matrice C= (CON ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , avendo ordini corrispondentemente uguali M E P ed elementi Cij , definito dalla formula

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Per denotare il prodotto di una matrice UN alla matrice B utilizzare la registrazione

C=AB . L'operazione di comporre un prodotto a matrice UN alla matrice B chiamato moltiplicazione queste matrici. Dalla definizione sopra formulata risulta che matrice UN non può essere moltiplicato per nessuna matrice B : è necessario che il numero di colonne della matrice UN era equivale numero di righe della matrice B . In ordine per entrambi i lavori AB E BA non solo erano definite, ma avevano anche lo stesso ordine, è necessario e sufficiente che entrambe le matrici UN E B erano matrici quadrate dello stesso ordine.

Formula ( 1.4 ) è una regola per la composizione degli elementi della matrice C ,

che è il prodotto della matrice UN alla matrice B . Questa regola può essere formulata verbalmente: Elemento Cij , in piedi all'incrocio io th linea e J- esima colonna della matrice C=AB , è uguale la somma dei prodotti a coppie degli elementi corrispondenti io th linea matrici UN E J- esima colonna della matrice B . Come esempio dell'applicazione di questa regola, presentiamo la formula per moltiplicare le matrici quadrate del secondo ordine

Dalla formula ( 1.4 ) seguono le seguenti proprietà del prodotto matrice: UN alla matrice B :

1) proprietà associativa: ( AB)C = A(BC);

2) proprietà distributiva rispetto alla somma di matrici:

(A + B) C = AC + BC O A(B+C) = AB+AC.

Ha senso sollevare la questione della proprietà di permutazione di un prodotto di matrici solo per matrici quadrate dello stesso ordine. Esempi elementari mostrano che il prodotto di due matrici quadrate dello stesso ordine non possiede, in generale, la proprietà di commutazione. Infatti, se mettiamo

A = , B = , Quello AB = , UN BA =

Solitamente vengono chiamate le stesse matrici per le quali il prodotto ha la proprietà di commutazione pendolarismo.

Tra le matrici quadrate segnaliamo la classe delle cosiddette diagonale matrici, ciascuna delle quali ha elementi situati all'esterno della diagonale principale pari a zero. Tra tutte le matrici diagonali con elementi coincidenti sulla diagonale principale, due matrici svolgono un ruolo particolarmente importante. La prima di queste matrici si ottiene quando tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali a uno, ed è detta matrice identità N- E . La seconda matrice si ottiene con tutti gli elementi uguali a zero e si chiama matrice zero N- ordine ed è indicato dal simbolo O . Supponiamo che esista una matrice arbitraria UN , Poi

AE=EA=A , AO=OA=O .

La prima delle formule caratterizza il ruolo speciale della matrice identità E, simile al ruolo svolto dal numero 1 quando si moltiplicano numeri reali. Per quanto riguarda il ruolo speciale della matrice zero DI, allora è rivelato non solo dalla seconda delle formule, ma anche da un'uguaglianza elementare verificabile: A+O=O+A=A . Il concetto di matrice zero può essere introdotto non per matrici quadrate.

Innanzitutto bisogna ricordare che i determinanti esistono solo per matrici di tipo quadrato, perché non esistono determinanti per matrici di altro tipo. Nella teoria dei sistemi di equazioni lineari e in alcune altre questioni è conveniente utilizzare il concetto determinante, O determinante .

Consideriamo quattro numeri qualsiasi scritti sotto forma di una matrice di due in righe e due colonne , Determinante O determinante, composto dai numeri in questa tabella, è il numero ad-bc , indicato come segue: .Tale determinante è chiamato determinante del secondo ordine, poiché per compilarla è stata utilizzata una tabella di due righe e due colonne. I numeri che compongono il determinante sono chiamati suoi elementi; allo stesso tempo dicono che gli elementi UN E D trucco diagonale principale determinante e gli elementi B E C il suo diagonale laterale. Si può vedere che il determinante è uguale alla differenza dei prodotti di coppie di elementi situati sulle sue diagonali principale e secondaria. Il determinante del terzo e qualsiasi altro ordine è approssimativamente lo stesso, vale a dire: Diciamo di avere una matrice quadrata . Il determinante della seguente matrice è la seguente espressione: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Come puoi vedere, viene calcolato abbastanza facilmente se ricordi una determinata sequenza. Con segno positivo sono la diagonale principale e i triangoli formati dagli elementi, che hanno il lato parallelo alla diagonale principale, in questo caso si tratta di triangoli a12a23a31, a13a21a32 .

La diagonale laterale e i triangoli ad essa paralleli hanno segno negativo, cioè a11a23a32, a12a21a33 . In questo modo si possono trovare determinanti di qualsiasi ordine. Ma ci sono casi in cui questo metodo diventa piuttosto complicato, ad esempio, quando ci sono molti elementi nella matrice e per calcolare il determinante è necessario dedicare molto tempo e attenzione.

Esiste un modo più semplice per calcolare il determinante N- oh ordine, dove n2 . Accettiamo di chiamare qualsiasi elemento minore Aij matrici N- determinante del primo ordine corrispondente alla matrice ottenuta dalla matrice come risultato dell'eliminazione io th linea e J- -esima colonna (quella riga e quella colonna all'intersezione delle quali c'è un elemento Aij ). Elemento minore Aij sarà indicato dal simbolo . In questa notazione, l'indice superiore indica il numero di riga, l'indice inferiore il numero di colonna e la barra sopra M significa che la riga e la colonna specificate sono barrate. Determinante dell'ordine N , corrispondente alla matrice, chiamiamo il numero uguale a e indicato dal simbolo .

Teorema 1.1 Qualunque sia il numero di riga io ( i =1, 2…, n) , per il determinante N- vale la formula del primo ordine di grandezza

= det A =

chiamato io- th linea . Sottolineiamo che in questa formula l'esponente a cui viene elevato il numero (-1) è uguale alla somma dei numeri di riga e colonna all'intersezione dei quali si trova l'elemento Aij .

Teorema 1.2 Qualunque sia il numero della colonna J ( j =1, 2…, n) , per il determinante N è valida la formula dell'esimo ordine

= det A =

chiamato espansione di questo determinante in J- esima colonna .

I determinanti hanno anche proprietà che rendono più semplice il compito di calcolarli. Quindi, di seguito stabiliamo una serie di proprietà che ha un determinante arbitrario N -esimo ordine.

1. Proprietà di uguaglianza righe-colonne . Trasposizione di qualsiasi matrice o determinante è un'operazione in seguito alla quale le righe e le colonne vengono scambiate mantenendo il loro ordine. Come risultato della trasposizione della matrice UN la matrice risultante è detta matrice, detta trasposta rispetto alla matrice UN ed è indicato dal simbolo UN .

La prima proprietà del determinante è formulata come segue: durante la trasposizione, il valore del determinante viene preservato, cioè = .

2. Proprietà antisimmetrica quando si riorganizzano due righe (o due colonne). Quando due righe (o due colonne) vengono scambiate, il determinante mantiene il suo valore assoluto, ma cambia segno in quello opposto. Per un determinante del secondo ordine, questa proprietà può essere verificata in modo elementare (dalla formula per calcolare il determinante del secondo ordine segue immediatamente che i determinanti differiscono solo per il segno).

3. Proprietà lineare del determinante. Diremo che una stringa ( UN) è una combinazione lineare delle altre due stringhe ( B E C ) con coefficienti e . La proprietà lineare può essere formulata come segue: se nel determinante N un po' di ordine io La th riga è una combinazione lineare di due righe con coefficienti e , quindi = +, dove

- un determinante che ha io La -esima riga è uguale a una delle due righe della combinazione lineare e tutte le altre righe sono uguali a , a è il determinante per cui io- i string è uguale alla seconda delle due stringhe e tutte le altre stringhe sono uguali a .

Queste tre proprietà sono le proprietà principali del determinante, rivelandone la natura. Le seguenti cinque proprietà sono conseguenze logiche tre proprietà principali.

Corollario 1. Un determinante con due righe (o colonne) identiche è uguale a zero.

Corollario 2. Moltiplicare tutti gli elementi di una riga (o di una colonna) di un determinante per un numero UN equivale a moltiplicare il determinante per questo numero UN . In altre parole, il fattore comune di tutti gli elementi di una certa riga (o colonna) di un determinante può essere tolto dal segno di questo determinante.

Corollario 3. Se tutti gli elementi di una determinata riga (o di una colonna) sono uguali a zero, allora il determinante stesso è uguale a zero.

Corollario 4. Se gli elementi di due righe (o due colonne) di un determinante sono proporzionali, allora il determinante è uguale a zero.

Corollario 5. Se agli elementi di una certa riga (o di qualche colonna) di un determinante aggiungiamo gli elementi corrispondenti di un'altra riga (un'altra colonna), moltiplicandoli per un fattore arbitrario, allora il valore del determinante non cambia. Il corollario 5, come la proprietà lineare, consente una formulazione più generale, che darò per le stringhe: se agli elementi di una certa riga di un determinante aggiungiamo i corrispondenti elementi di una stringa che è una combinazione lineare di più altre righe di questo determinante (con qualsiasi coefficiente), il valore del determinante non cambierà. Il corollario 5 è ampiamente utilizzato nel calcolo concreto dei determinanti.

È noto che utilizzando le matrici possiamo risolvere vari sistemi di equazioni e questi sistemi possono essere di qualsiasi dimensione e avere qualsiasi numero di variabili. Con poche derivazioni e formule, risolvere enormi sistemi di equazioni diventa abbastanza veloce e semplice.

In particolare descriverò i metodi di Cramer e Gauss. Il modo più semplice è il metodo Cramer (per me), o come viene anche chiamata, la formula Cramer. Quindi, diciamo che abbiamo un sistema di equazioni

, In forma matriciale, questo sistema può essere scritto come segue: A= , dove le risposte alle equazioni saranno nell'ultima colonna. Introdurremo ora il concetto di determinante fondamentale; in questo caso sarà simile a questo:

= . La determinante principale, come hai già notato, è una matrice composta dai coefficienti delle variabili. Appaiono anche in ordine di colonna, cioè la prima colonna contiene i coefficienti che si trovano in X , nella seconda colonna a sì , e così via. Questo è molto importante, perché nei passaggi successivi sostituiremo ciascuna colonna di coefficienti di una variabile con una colonna di risposte di equazioni. Quindi, come ho detto, sostituiamo la colonna della prima variabile con la colonna della risposta, poi della seconda, ovviamente tutto dipende da quante variabili dobbiamo trovare.

1 = , 2 = , 3 = .

Quindi devi trovare i determinanti 1, 2, 3. Sai già come trovare il determinante del terzo ordine. UN È qui che applichiamo la regola di Cramer. Sembra questo:

x1 = , x2 = , x3 = – per questo caso, ma in generale assomiglia a questo: X io = . Viene chiamato un determinante formato da coefficienti per incognite determinante del sistema .

1. V. A. Ilyin, E. G. Poznyak “Algebra lineare”

2. G. D. Kim, E. V. Shikin “Trasformazioni elementari nell'algebra lineare”