Formula della distanza da un punto a un vettore piano. Distanza dal punto al piano

Consideriamo nello spazio un piano π e un punto arbitrario M 0 . Scegliamo per l'aereo vettore normale unitario n con l'inizio in un certo punto M 1 ∈ π, e sia p(M 0 ,π) la distanza dal punto M 0 al piano π. Quindi (Fig. 5.5)

р(Ì 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

poiché |n| = 1.

Se viene fornito il piano π sistema di coordinate rettangolari con la sua equazione generale Ax + By + Cz + D = 0, allora il suo vettore normale è il vettore di coordinate (A; B; C) e possiamo scegliere

Siano (x 0 ; y 0 ; z 0) e (x 1 ; y 1 ; z 1) le coordinate dei punti M 0 e M 1 . Allora vale l'uguaglianza Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, poiché il punto M 1 appartiene al piano, e le coordinate del vettore M 1 M 0 si trovano: M 1 M 0 = (x 0 - x1; y0 -y1; z0 -z1). Registrazione prodotto scalare nM 1 M 0 in forma coordinata e trasformando (5.8), otteniamo


poiché Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Quindi, per calcolare la distanza da un punto a un piano, è necessario sostituire le coordinate del punto nell'equazione generale del piano, quindi dividere il valore assoluto di il risultato mediante un fattore di normalizzazione pari alla lunghezza del corrispondente vettore normale.

, Concorso "Presentazione per la lezione"

Classe: 11

Presentazione della lezione
















Indietro avanti

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Obiettivi:

  • generalizzazione e sistematizzazione delle conoscenze e delle competenze degli studenti;
  • sviluppo di capacità di analizzare, confrontare, trarre conclusioni.

Attrezzatura:

  • proiettore multimediale;
  • computer;
  • fogli con testi problematici

PROGRESSO DELLA CLASSE

I. Momento organizzativo

II. Fase di aggiornamento delle conoscenze(diapositiva 2)

Ripetiamo come viene determinata la distanza da un punto a un piano

III. Conferenza(diapositive 3-15)

In questa lezione esamineremo vari modi per trovare la distanza da un punto a un piano.

Primo metodo: computazionale passo dopo passo

Distanza dal punto M al piano α:
– pari alla distanza dal piano α da un punto arbitrario P giacente su una retta a, passante per il punto M e parallela al piano α;
– è uguale alla distanza dal piano α da un punto arbitrario P giacente sul piano β, che passa per il punto M ed è parallelo al piano α.

Risolveremo i seguenti problemi:

№1. Nel cubo A...D 1, trova la distanza dal punto C 1 al piano AB 1 C.

Resta da calcolare il valore della lunghezza del segmento O 1 N.

№2. In un prisma esagonale regolare A...F 1, i cui lati sono tutti uguali a 1, determinare la distanza dal punto A al piano DEA 1.

Metodo successivo: metodo del volume.

Se il volume della piramide ABCM è uguale a V, la distanza dal punto M al piano α contenente ∆ABC è calcolata con la formula ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Quando risolviamo i problemi, utilizziamo l'uguaglianza dei volumi di una cifra, espressa in due modi diversi.

Risolviamo il seguente problema:

№3. Il bordo AD della piramide DABC è perpendicolare al piano base ABC. Trova la distanza da A al piano passante per i punti medi degli spigoli AB, AC e AD, se.

Quando si risolvono i problemi metodo delle coordinate la distanza dal punto M al piano α può essere calcolata utilizzando la formula ρ(M; α) = , dove M(x 0; y 0; z 0), e il piano è dato dall'equazione ax + by + cz + d = 0

Risolviamo il seguente problema:

№4. In un cubo unitario A...D 1, trova la distanza dal punto A 1 al piano BDC 1.

Introduciamo un sistema di coordinate con l'origine nel punto A, l'asse y correrà lungo il bordo AB, l'asse x lungo il bordo AD e l'asse z lungo il bordo AA 1. Quindi le coordinate dei punti B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Creiamo un'equazione per un piano che passa per i punti B, D, C 1.

Allora – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Pertanto, ρ =

Il seguente metodo che può essere utilizzato per risolvere problemi di questo tipo è metodo di supporto problemi.

L'applicazione di questo metodo consiste nell'utilizzo di problemi di riferimento noti, formulati come teoremi.

Risolviamo il seguente problema:

№5. In un cubo unitario A...D 1, trova la distanza dal punto D 1 al piano AB 1 C.

Consideriamo l'applicazione metodo vettoriale.

№6. In un cubo unitario A...D 1, trova la distanza dal punto A 1 al piano BDC 1.

Quindi, abbiamo esaminato vari metodi che possono essere utilizzati per risolvere questo tipo di problema. La scelta di un metodo o di un altro dipende dall'attività specifica e dalle preferenze.

IV. Lavoro di gruppo

Prova a risolvere il problema in diversi modi.

№1. Lo spigolo del cubo A...D 1 è uguale a . Trova la distanza dal vertice C al piano BDC 1.

№2. In un tetraedro regolare ABCD con uno spigolo, trova la distanza dal punto A al piano BDC

№3. In un prisma triangolare regolare ABCA 1 B 1 C 1 i cui lati sono tutti uguali a 1, determinare la distanza da A al piano BCA 1.

№4. In una piramide quadrangolare regolare SABCD, i cui lati sono tutti uguali a 1, determinare la distanza da A al piano SCD.

V. Riepilogo della lezione, compiti a casa, riflessione

Determinazione della distanza tra: 1 - punto e piano; 2 - dritto e piatto; 3 - aerei; 4 - le linee rette che si incrociano sono considerate insieme, poiché l'algoritmo di soluzione per tutti questi problemi è essenzialmente lo stesso e consiste in costruzioni geometriche che devono essere eseguite per determinare la distanza tra un dato punto A e il piano α. Se c'è qualche differenza, essa consiste solo nel fatto che nei casi 2 e 3, prima di iniziare a risolvere il problema, si dovrebbe segnare un punto arbitrario A sulla retta m (caso 2) o sul piano β (caso 3). distanze tra rette che si intersecano, prima le racchiudiamo nei piani paralleli α e β e poi determiniamo la distanza tra questi piani.

Consideriamo ciascuno dei casi noti di risoluzione dei problemi.

1. Determinazione della distanza tra un punto e un piano.

La distanza da un punto a un piano è determinata dalla lunghezza di un segmento perpendicolare tracciato da un punto al piano.

Pertanto, la soluzione a questo problema consiste nell'eseguire in sequenza le seguenti operazioni grafiche:

1) dal punto A abbassiamo la perpendicolare al piano α (Fig. 269);

2) trovare il punto M di intersezione di tale perpendicolare con il piano M = a ∩ α;

3) determinare la lunghezza del segmento.

Se il piano α si trova nella posizione generale, per abbassare una perpendicolare su questo piano, è necessario prima determinare la direzione delle proiezioni orizzontali e frontali di questo piano. Trovare il punto d'incontro di questa perpendicolare con il piano richiede anche costruzioni geometriche aggiuntive.


La soluzione del problema è semplificata se il piano α occupa una particolare posizione rispetto ai piani di proiezione. In questo caso, sia la proiezione della perpendicolare che la ricerca del punto del suo incontro con il piano vengono eseguite senza ulteriori costruzioni ausiliarie.

ESEMPIO 1. Determinare la distanza dal punto A al piano di proiezione frontale α (Fig. 270).

SOLUZIONE. Attraverso A" disegniamo la proiezione orizzontale della perpendicolare l" ⊥ h 0α, e attraverso A" - la sua proiezione frontale l" ⊥ f 0α. Segniamo il punto M" = l" ∩ f 0α . Dal mattino || π 2, allora [A" M"] == |AM| = d.

Dall'esempio considerato risulta chiaro come il problema venga risolto semplicemente quando l'aereo occupa una posizione sporgente. Pertanto, se nei dati di origine è specificato un piano di posizione generale, prima di procedere alla soluzione, il piano deve essere spostato in una posizione perpendicolare a qualsiasi piano di proiezione.

ESEMPIO 2. Determina la distanza dal punto K al piano specificato da ΔАВС (Fig. 271).

1. Trasferiamo l'aereo ΔАВС nella posizione di proiezione *. Per fare ciò passiamo dal sistema xπ 2 /π 1 a x 1 π 3 /π 1: la direzione del nuovo asse x 1 viene scelta perpendicolare alla proiezione orizzontale del piano orizzontale del triangolo.

2. Proietta ΔABC su un nuovo piano π 3 (il piano ΔABC è proiettato su π 3, in [ C " 1 B " 1 ]).

3. Proiettare il punto K sullo stesso piano (K" → K" 1).

4. Attraverso il punto K" 1 tracciamo (K" 1 M" 1)⊥ il segmento [C" 1 B" 1 ]. La distanza richiesta d = |K" 1 M" 1 |

La soluzione del problema è semplificata se il piano è definito da tracce, poiché non è necessario disegnare proiezioni di linee di livello.

ESEMPIO 3. Determinare la distanza dal punto K al piano α, specificato dalle tracce (Fig. 272).

* Il modo più razionale per trasferire il piano del triangolo nella posizione di proiezione è sostituire i piani di proiezione, poiché in questo caso è sufficiente costruire una sola proiezione ausiliaria.

SOLUZIONE. Sostituiamo il piano π 1 con il piano π 3, per questo disegniamo un nuovo asse x 1 ⊥ f 0α. Su h 0α segniamo un punto arbitrario 1" e determiniamo la sua nuova proiezione orizzontale sul piano π 3 (1" 1). Attraverso i punti X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) e 1" 1 disegniamo h 0α 1. Determiniamo la nuova proiezione orizzontale del punto K → K" 1. Dal punto K" 1 abbassiamo la perpendicolare a h 0α 1 e segniamo il punto della sua intersezione con h 0α 1 - M" 1. La lunghezza del segmento K" 1 M" 1 indicherà la distanza richiesta.

2. Determinazione della distanza tra una linea retta e un piano.

La distanza tra una linea e un piano è determinata dalla lunghezza di un segmento perpendicolare sceso da un punto arbitrario sulla linea al piano (vedi Fig. 248).

Pertanto, la soluzione al problema della determinazione della distanza tra la retta m e il piano α non è diversa dagli esempi discussi nel paragrafo 1 per la determinazione della distanza tra un punto e un piano (vedi Fig. 270 ... 272). Come punto si può prendere qualsiasi punto appartenente alla retta m.

3. Determinazione della distanza tra i piani.

La distanza tra i piani è determinata dalla dimensione del segmento perpendicolare lasciato cadere da un punto preso su un piano su un altro piano.

Da questa definizione segue che l'algoritmo per risolvere il problema di trovare la distanza tra i piani α e β differisce da un algoritmo simile per risolvere il problema di determinare la distanza tra la linea m e il piano α solo per il fatto che la linea m deve appartenere al piano α , cioè per determinare la distanza tra i piani α e β segue:

1) prendere una retta m nel piano α;

2) selezionare un punto arbitrario A sulla linea m;

3) dal punto A abbassare la perpendicolare l al piano β;

4) determinare il punto M - il punto d'incontro della perpendicolare l con il piano β;

5) determinare la dimensione del segmento.

In pratica è consigliabile utilizzare un algoritmo risolutivo diverso, che differirà da quello riportato solo per il fatto che, prima di procedere con il primo passo, i piani dovranno essere trasferiti nella posizione di proiezione.

Includere questa operazione aggiuntiva nell'algoritmo semplifica l'esecuzione di tutti gli altri punti senza eccezioni, il che alla fine porta a una soluzione più semplice.

ESEMPIO 1. Determinare la distanza tra i piani α e β (Fig. 273).

SOLUZIONE. Passiamo dal sistema xπ 2 /π 1 a x 1 π 1 /π 3. Rispetto al nuovo piano π 3, i piani α e β occupano una posizione sporgente, pertanto la distanza tra le nuove tracce frontali f 0α 1 e f 0β 1 è quella desiderata.

Nella pratica ingegneristica, è spesso necessario risolvere il problema della costruzione di un piano parallelo a un dato piano e lontano da esso ad una determinata distanza. L'esempio 2 di seguito illustra la soluzione a tale problema.

ESEMPIO 2. Occorre costruire proiezioni di un piano β parallelo ad un dato piano α (m || n), se è noto che la distanza tra loro è d (Fig. 274).

1. Nel piano α, traccia linee orizzontali arbitrarie h (1, 3) e linee frontali f (1,2).

2. Dal punto 1 ripristiniamo la perpendicolare l al piano α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Sulla perpendicolare l segniamo un punto arbitrario A.

4. Determinare la lunghezza del segmento - (la posizione indica sul diagramma la direzione metricamente non distorta della retta l).


5. Tracciare il segmento = d sulla retta (1"A 0) dal punto 1".

6. Segnare sulle sporgenze l" e l" i punti B" e B", corrispondenti al punto B 0.

7. Attraverso il punto B disegniamo il piano β (h 1 ∩ f 1). A β || α, è necessario rispettare la condizione h 1 || h e f 1 || F.

4. Determinazione della distanza tra le linee che si intersecano.

La distanza tra le linee che si intersecano è determinata dalla lunghezza della perpendicolare contenuta tra i piani paralleli a cui appartengono le linee che si intersecano.

Per tracciare piani α e β paralleli tra loro attraverso le rette m e f che si intersecano, è sufficiente condurre per il punto A (A ∈ m) una retta p parallela alla retta f, e per il punto B (B ∈ f) una retta k parallela alla retta m . Le linee che si intersecano m e p, f e k definiscono i piani reciprocamente paralleli α e β (vedi Fig. 248, e). La distanza tra i piani α e β è uguale alla distanza richiesta tra le linee che si incrociano m ed f.

Si può proporre un altro modo per determinare la distanza tra linee che si intersecano, che consiste nel fatto che, utilizzando un qualche metodo di trasformazione delle proiezioni ortogonali, una delle linee che si intersecano viene trasferita nella posizione sporgente. In questo caso, una proiezione della linea degenera in un punto. La distanza tra le nuove proiezioni delle linee che si incrociano (punto A" 2 e segmento C" 2 D" 2) è quella richiesta.

Nella fig. 275 mostra una soluzione al problema di determinare la distanza tra le linee incrociate a e b, dati i segmenti [AB] e [CD]. La soluzione viene eseguita nella seguente sequenza:

1. Trasferire una delle linee intersecanti (a) in una posizione parallela al piano π 3; Per fare ciò si passa dal sistema di piani di proiezione xπ 2 /π 1 al nuovo x 1 π 1 /π 3, l'asse x 1 è parallelo alla proiezione orizzontale della retta a. Determina a" 1 [A" 1 B" 1 ] e b" 1.

2. Sostituendo il piano π 1 con il piano π 4 trasliamo la retta


e posizionare a" 2, perpendicolare al piano π 4 (il nuovo asse x 2 viene disegnato perpendicolare ad a" 1).

3. Costruisci una nuova proiezione orizzontale della retta b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. La distanza dal punto A" 2 alla linea retta C" 2 D" 2 (segmento (A" 2 M" 2 ] (è quella richiesta.

Si tenga presente che il trasferimento di una delle linee che si incrociano nella posizione sporgente non è altro che il trasferimento dei piani di parallelismo, in cui possono essere racchiuse le linee aeb, anch'essi nella posizione sporgente.

Infatti, spostando la linea a in una posizione perpendicolare al piano π 4, ci assicuriamo che qualsiasi piano contenente la linea a sia perpendicolare al piano π 4, compreso il piano α definito dalle linee a e m (a ∩ m, m | |.b). Se ora tracciamo una linea n, parallela ad a e intersecante b, allora otteniamo il piano β, che è il secondo piano di parallelismo, che contiene le linee intersecanti a e b. Poiché β || α, allora β ⊥ π 4 .

Lascia che ci sia un aereo . Disegniamo una normale
attraverso l'origine delle coordinate O. Sia dato
– angoli formati dalla normale con assi coordinati.
. Permettere – lunghezza del segmento normale
finché non si interseca con l'aereo. Supponendo che siano noti i coseni di direzione della normale , ricaviamo l'equazione del piano .

Permettere
) è un punto arbitrario sul piano. Il vettore normale unitario ha coordinate. Troviamo la proiezione del vettore
alla normalità.

Dal punto M appartiene all'aereo, allora

.

Questa è l'equazione di un dato piano, chiamata normale .

Distanza dal punto al piano

Lasciamo che venga dato un aereo ,M*
– punto nello spazio, D – la sua distanza dall'aereo.

Definizione. Deviazione punti M* dall'aereo è chiamato il numero ( + D), Se M* si trova dall'altra parte del piano dove punta la direzione positiva della normale e numero (- D), se il punto si trova dall'altra parte del piano:

.

Teorema. Lasciamo l'aereo con unità normale data dall'equazione normale:

Permettere M*
– punto nello spazio Deviazione t. M* dall'aereo è dato dall'espressione

Prova. Proiezione t.
* indichiamo con normale Q. Deviazione del punto M* dall'aereo è uguale

.

Regola. Trovare deviazione T. M* dal piano, è necessario sostituire le coordinate t nell'equazione normale del piano. M* . La distanza da un punto a un piano è .

Riduzione dell'equazione del piano generale alla forma normale

Sia lo stesso piano definito da due equazioni:

Equazione generale

Equazione normale.

Poiché entrambe le equazioni definiscono lo stesso piano, i loro coefficienti sono proporzionali:

Quadramo le prime tre uguaglianze e sommiamole:

Da qui troveremo – fattore normalizzante:

. (10)

Moltiplicando l'equazione generale del piano per un fattore normalizzante, otteniamo l'equazione normale del piano:

Esempi di problemi sull'argomento “Aereo”.

Esempio 1. Crea un'equazione del piano passante per un dato punto
(2,1,-1) e parallelo al piano.

Soluzione. Normale al piano :
. Poiché i piani sono paralleli, allora è normale è anche normale al piano desiderato . Utilizzando l'equazione di un piano passante per un dato punto (3), otteniamo per il piano l'equazione:

Risposta:

Esempio 2. La base di una perpendicolare cade dall'origine su un piano , è il punto
. Trova l'equazione del piano .

Soluzione. Vettore
è normale all'aereo . Punto M 0 appartiene all'aereo. Puoi usare l'equazione di un piano che passa per un dato punto (3):

Risposta:

Esempio 3. Costruisci il piano , passando per i punti

e perpendicolare al piano :.

Pertanto, per un certo punto M (X, sì, z) apparteneva all'aereo , è necessario che tre vettori
erano complanari:

=0.

Resta da rivelare il determinante e portare l'espressione risultante nella forma dell'equazione generale (1).

Esempio 4. Aereo data dall’equazione generale:

Trova la deviazione del punto
da un dato piano.

Soluzione. Portiamo l'equazione del piano alla forma normale.

,

.

Sostituiamo le coordinate del punto nell'equazione normale risultante M*.

.

Risposta:
.

Esempio 5. L'aereo interseca il segmento?

Soluzione. Tagliare AB attraversato l'aereo, deviazioni E dall'aereo deve avere segni diversi:

.

Esempio 6. L'intersezione di tre piani in un punto.



.

Il sistema ha un'unica soluzione, quindi i tre piani hanno un punto comune.

Esempio 7. Trovare le bisettrici di un angolo diedro formato da due piani dati.

Permettere E - deviazione di qualche punto
dal primo e dal secondo piano.

Su uno dei piani bisettoriali (corrispondente all'angolo in cui giace l'origine delle coordinate) queste deviazioni sono uguali in grandezza e segno, mentre sull'altro sono uguali in grandezza e opposte in segno.

Questa è l'equazione del primo piano bisettrice.

Questa è l'equazione del secondo piano bisettore.

Esempio 8. Determinazione della posizione di due punti dati E rispetto agli angoli diedri formati da questi piani.

Permettere
. Determina: ci sono punti in uno, angoli adiacenti o verticali E .


UN). Se E giacere su un lato di e da , allora giacciono nello stesso angolo diedro.

B). Se E giacere su un lato di e diverso da , quindi giacciono negli angoli adiacenti.

V). Se E giacciono sui lati opposti di E , quindi giacciono negli angoli verticali.

Sistemi di coordinate 3

Rette su un piano 8

Linee del primo ordine. Dritto su un aereo. 10

Angolo tra rette 12

Equazione generale della linea 13

Equazione di primo grado incompleta 14

Equazione di una retta “a segmenti” 14

Studio congiunto delle equazioni di due linee 15

Normale alla linea 15

Angolo tra due rette 16

Equazione canonica della linea 16

Equazioni parametriche di una retta 17

Equazione normale (normalizzata) di una linea 18

Distanza dal punto alla linea 19

Equazione di una matita di linee 20

Esempi di problemi sull'argomento “linea su un piano” 22

Prodotto vettoriale di vettori 24

Proprietà del prodotto incrociato 24

Proprietà geometriche 24

Proprietà algebriche 25

Esprimere il prodotto vettoriale attraverso le coordinate dei fattori 26

Prodotto misto di tre vettori 28

Significato geometrico del prodotto misto 28

Esprimere un prodotto misto tramite coordinate vettoriali 29

Esempi di risoluzione dei problemi

Trovare la distanza da un punto a un piano è un problema comune che si presenta quando si risolvono vari problemi di geometria analitica, ad esempio questo problema può essere ridotto a trovare la distanza tra due rette che si intersecano o tra una retta e un piano parallelo ad essa; Esso.

Consideriamo il piano $β$ e un punto $M_0$ di coordinate $(x_0;y_0; z_0)$ che non appartiene al piano $β$.

Definizione 1

La distanza più breve tra un punto e un piano sarà la perpendicolare tracciata dal punto $M_0$ al piano $β$.

Figura 1. Distanza da un punto a un piano. Author24 - scambio online di lavori degli studenti

Di seguito discuteremo come trovare la distanza da un punto a un piano utilizzando il metodo delle coordinate.

Derivazione della formula per il metodo delle coordinate per trovare la distanza da un punto a un piano nello spazio

La perpendicolare che dal punto $M_0$ interseca il piano $β$ nel punto $M_1$ di coordinate $(x_1;y_1; z_1)$ giace su una retta il cui vettore direzione è il vettore normale del piano $β$. In questo caso la lunghezza del vettore unitario $n$ è uguale a uno. Di conseguenza, la distanza da $β$ al punto $M_0$ sarà:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, dove $\vec(M_1M_0)$ è il vettore normale del piano $β$ e $\vec( n)$ è il vettore normale unitario del piano considerato.

Nel caso in cui l'equazione del piano sia data nella forma generale $Ax+ By + Cz + D=0$, le coordinate del vettore normale del piano sono i coefficienti dell'equazione $\(A;B;C\ )$, e il vettore normale in questo caso ha le coordinate , calcolate utilizzando la seguente equazione:

$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

Ora possiamo trovare le coordinate del vettore normale $\vec(M_1M_0)$:

$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\sinistra(3\destra)$.

Inoltre esprimiamo il coefficiente $D$ utilizzando le coordinate di un punto che giace nel piano $β$:

$D= Ascia_1+Per_1+Cz_1$

Le coordinate del vettore normale unitario dall'uguaglianza $(2)$ possono essere sostituite nell'equazione del piano $β$, quindi abbiamo:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2 +B^2+C^2))\sinistra(4\destra)$

L'uguaglianza $(4)$ è una formula per trovare la distanza da un punto a un piano nello spazio.

Algoritmo generale per trovare la distanza dal punto $M_0$ ad un piano

  1. Se l'equazione del piano non è data in forma generale, è necessario prima ridurla alla forma generale.
  2. Successivamente è necessario esprimere dall'equazione generale del piano il vettore normale di un dato piano attraverso il punto $M_0$ e un punto appartenente a un dato piano, per questo è necessario utilizzare l'uguaglianza $(3)$ .
  3. La fase successiva è la ricerca delle coordinate del vettore unitario normale del piano utilizzando la formula $(2)$.
  4. Infine, puoi iniziare a trovare la distanza dal punto al piano, questo si fa calcolando il prodotto scalare dei vettori $\vec(n)$ e $\vec(M_1M_0)$.